STATISTIC CUPRINS: 1. Statistica instrument de cunoatere i conducere n economie 1.1. Obiectul statisticii 1.2. Noiuni fundamentale ale statisticii 1.3. Scale de msurare folosite n statistic 2. Observarea statistic 2.1. Culegerea datelor statistice 2.2. Sistematizarea datelor statistice i prezentarea lor 2.3. Indicatorii statistici 3. Analiza statistic a seriilor unidimensionale 3.1. Indicatorii tendinei centrale 3.1.1. Mrimile Medii 3.1.2. Indicatorii de poziie 3.2. Indicatorii variaiei 3.3. Analiza variaiei ntr-o serie de repartiie bidimensional 3.4. Analiza asimetriei repartiiilor empirice 4. Cercetarea prin sondaj 4.1. Sondajul aleator simplu 4.2. Sondajul tipic (stratificat) 5. Analiza statistic a seriilor multidimensionale 5.1. Tipuri de legturi dintre fenomenele social-economice 5.2.Metodeparametricedemsurareianalizalegturilordintre fenomenele i procesele economice 5.3.Metodeneparametricedemsurareaintensitiilegturilordintre fenomene 6. Analiza statistic a seriilor cronologice 6.1. Concepte i particulariti ale seriilor cronologice (SCR) 6.2. Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice 6.3. Ajustarea seriilor cronologice 6.4. Previzionarea indicatorilor prin extrapolare 7.Metoda indicilor STATISTICA TEORETIC Tema 1. Statistica instrument de cunoaterei conducere n economie Ca disciplin tiinific, statistica, n funcie de scopul cunoa-terii, se subdivide n: Statistica descriptiv vizeaz descrierea strii i variabilitii colectivitii statistice, dup una sau mai multe caracteristici. Realizarea acestui obiectiv presupune: culegerea datelor statistice; prelucrarea i prezentarea lor sintetic, fie sub form numeric, prin indicatori statistici, fie sub form grafic, prin diagrame i tabele statistice. n funcie de numrul caracteristicilor, exist: - Statistic descriptiv unidimensional (pentru o variabil); - Statistic descriptiv multidimensional (pentru dou sau mai multe variabile). Statisticinferenialvizeazestimareacaracteristiciloruneicolectivitiporninddelacunoaterea unuieantionipresupunemsurareaincertitudiniirezultateloricalculareariscurilorpecareleimplic luarea unor decizii fundamentale pe baza unei informaii.Analizastatisticurmretedescoperireaatotceeaceestepermanent,esenial,logicnvariaia proceselor statistice i msurarea influenei factorilor care le determin variaia n timp, n spaiu i din punct de vedere calitativ. Pentru aceasta se folosesc: analiza de regresie, analiza de core-laie, analiza seriilor de timp. 1.1. Obiectul statisticii Obiectul de studiul al statisticii l reprezint fenomenele de mas. Spredeosebiredeceledinnatur,fenomeneledemassuntfenomenecomplexe,atipice,rezultatedin aciunea combinat i repe-tat a unui numr mare de factori de influen. Conceptul de fenomen de mas, presupune luarea n considerare a raporturilor: necesitate intmplare; legea statistic ilegea dinamic; model statistic imodel determinist. Legeastatisticnupoateficunoscutdectdacseianstudiuunnumrmaredecazuriindividuale, care sunt legate ntre ele datorit aciunii diferite a acelorai factori de influen. Legilestatisticesemanifestsubformdetendinisuntvala-bilepentruunansambludeuniti individuale. n esen, rolul statisticii este de-a determina, pe baza datelor empirice, informaii ct mai precise asupra legii statistice de repartiie a fenomenelor individuale, a fenomenelor de mas ce ne intereseaz. Statistica este tiina care studiaz aspectele cantitative ale determinrilor calitative ale fenomenelor de mas, fenomene care sunt supuse legilor statistice ce se manifest n condiii concrete, variabile n timp, spaiu i organizare socio-economic. Cercetareastatistictrebuiesinseamanmodobiectivdeprincipiileteorieiprobabilitiloride cerinele legii numerelor mari. Aceastlegeastatisticiiaratc,ntr-unnumrsuficientdemaredecazuriindividuale,influenele factorilor se pot compensa, astfel nct s ajung la o anumit valoare tipic pentru ntreg ansamblul. 1.2. Noiuni fundamentale ale statisticii Statisticafolosete,nstudiulfenomenelordemas,unnumrmaredeconcepteinoiuni.Dintre acestea, unele au caracter general i formeaz vocabularul de baz al statisticii.1.Colectivitateastatistic(populaiastatistic)desemneaztotalitateaelementelordeaceeainatur, ce sunt supuse studiului sta-tistic, au o serie de trsturi eseniale comune i sunt generate de acelai complex de cauze eseniale. Colectivitile statistice au un caracter obiectiv i finit, delimi-tarea lor presupune definirea elementelor din punctul de vedere al coninutului, spaiului, timpului i formei de organizare. Ele pot fi privite ca: a)colectiviti statice cele ce exprim o stare i au o anumit ntindere n spaiu, formnd un stoc la un moment dat; b) colectivitidinamiceceleceexprimunflux,odevenirentimp,caracterizarealorpresupunnd nregistrarea elementelor compo-nente pe un interval de timp. 2. Unitilecolectivitiisuntpurttoaredeinformaii,reprezen-tndelementelecomponenteale colectivitii statistice. Unitilecolectivitiistaticeexistlaunmomentdat,iarunit-ilecolectivitiidinamicedesemneaz evenimente,procesesauflu-xuriiseproducndecursulperioadei,sauintervaluluidetimpncareauloc evenimentele statistice. Unitile statistice pot fi: a)unitisimplereprezentndelementeconstitutivespecificenaturiifenomenului(ex.angajatul, produsul etc.), care formeaz aceeai colectivitate; b)uniti complexe - sunt formate din mai multe uniti simple, organizate n funcie de criterii social economice (ex. familie, echipe de lucru, grupe de studeni etc.). 3.Caracteristicastatisticdesemneaznsuirea,proprietatea,trsturacomununitilorunei colectivitistatistice,reinutnprogramulstatisticpentruafinregistraticarearevaloridiferitedelao unitate la alta (exemple de caracteristici pot fi: vrsta, greutatea, sexul, naionalitatea, ocupaia, cifra de afaceri etc.). Formele concrete de manifestare a caracteristicilor statistice la nivelul fiecrei uniti se numesc variante sau valori. Caracteristicastatisticsemainumetevariabilstatistic,deoareceareproprietateadea-imodifica valoarea n timp i spaiu, de la o unitate la alta, iar numrul de apariii ale unei variante ntr-o colectivitate se numete pondere, frecven. Caracteristicile statistice se pot clasifica: a)dup coninut: -caracteristici de timp: arat apartenena la un moment sau in-terval de timp; -caracteristici de spaiu: exprim teritoriul cruia i aparin; -caracteristicileatributivecarepotficaracteristicinumericecesereferlacantiti,noteobinute, vrste etc., caracteristici calitative, exprimate n cuvinte cum ar fi: naionalitate, studii, meserii etc. b) dup modul de manifestare: -caracteristicialternative,carepresupunnumaidouvaloriindividuale,complementare(ex.sexul (F.M), produsul (bun, rebut)); -caracteristicinealternativeseprezintcuvariantenumericesaucalitativedistinctelanivelul unitilor colectivitii. c)dup gradul de esenialitate: -caracteristici eseniale care rspund scopului propus n pro-gramul de observare; -caracteristici neeseniale, care sunt considerate ajuttoare, aduc un plus de informaie. d) dup modul de obinere i caracterizare a fenomenului: -caracteristici primare, obinute direct prin nregistrare; -caracteristici derivate, care rezult n urma prelucrrii celor primare. e)dup natura variaiei, caracteristicile numerice: -caracteristicicuvariaiecontinu,carepotluaoricevaloarentr-unintervaldat.Valorileunei caracteristici numerice se stabilesc prin msurare, numrare sau calcul; -caracteristici cu variaie discontinu sau discret, care pot lua numai valori ntregi. 4.Datestatistice. Sunt mrimi concrete obinute din experi-mente, observaii, numrare, msuraresau calcule.Prindatestatisticesenelegeocaracterizarenumeric,cantitativ,obinutdestatistic,despre unitile colectivitii observate. Datele statistice cuprind urmtoarele elemente: -noiunea care precizeaz fenomenul sau procesul la care se refer; -identificare (de timp, de spaiu, organizatoric); -valoarea numeric (datele statistice pot fi absolute, relative, primare, derivate). 5.Informaiastatisticreprezintconinutulspecific(semnifi-caia,mesajuldatelor).Pentru nelegerealegitilordemanifestarealefenomeneloreconomice,informaiastatistictrebuiestructuratn funcie de coninutul i organizarea lor. Datele statistice cu ajutorul crora se cerceteaz un fenomen economic sau social, sub raportul structurii, interdependenelor, al modificrii lor n timp sau n spaiu, se numesc indicatori statistici. Conceptuldeindicatorstatisticestestrnslegatdeconceptulde model statistic. Acesta exprim sub forma unei construcii logice sau matematice (funcie, sistem de ecuaii etc.) trsturile, momentele, corelaiile eseniale din manifestrile reale ale fenomenelor i proceselor. 1.3. Scale de msurare folosite n statistic Datelecucareseopereaznstatisticsedeosebescnfunciedescalalordemsurare,cuajutorul creia se stabilesc valorile observate. Scala se poate reprezenta printr-un ir de numere, valori, simboluri care sesuccedprogresivpentruaartagradulncareunfenomenposedocaracteristicsauoproprietate. Activitateadeformareascalelorsenumetescalare.npracticastatisticsefolosescpatruniveluride msurare, gradate dup creterea nivelului lor de eficien: Scalanominalseutilizeazpentrureprezentareavariabilelor,alecrorvariantesuntexprimaten cuvinteicodificateprinnumerenaturale(ex.sexularedouvariante(MiF)cepotficodificateM = 0 i F=1). Scala ordinal se folosete pentru reprezentarea variabilelor ale cror variante sunt ordonate. Valorile de peaceastscalindicdoarpoziiaunitiintr-unir ordonat, fr sacorde importan difereneice exist ntre poziii succesive. Relaiile tipice ntre clase sunt: mai mare (mic); mai dificil (uor); primul, al doilea etc. Scaladeinterval.Cndoscalaretoatecaracteristicileuneiscaleordinaleinplusdistanasau diferenadintredounumerealescaleiaresemnificaie,spunemcmsurtoareas-afcutpeoscalde interval.Sefolosetepentrureprezentareanumerelorcardinale,lacarevaloareazeronusemnificabsena complet a caracteristicii urmrite. Scala de raport. Cnd o scal are toate caracteristicile unei scale de interval i n plus punctul zero este datnmodnatural,spunemcmsurareaserealizeazpeoscalderaport.Peaceastscalvaloareazero indic absena complet a caracteristicii urmrite. Variantele obinute pot fi supuse operaiilor matematice. Cuvintecheie:statistica-obiect,colectivitatestatistic,unitatestatistic,caracteristicstatistic,date statistice, scal. Teste gril: 1. Punctajul obinut de 10 concureni la un test de cultur general este o scal nominal? Adevrat/Fals Rspuns: Fals 2. Pentru urmtoarele afirmaii, precizai unitatea statistic i variabila statistic: a) Timpii de execuie, a 100 de programe BASIC; unitate statistic: programul BASIC; variabil statistic: timpul de execuie cantitativ; b) Profesiile salariailor dintr-o firm; unitate statistic: salariatul; variabil statistic: profesia calitativ. 3.Precizaipentruurmtoareleafirmaii,scalalordemsurareitipuldateistatistice[numerice (cantitative) i nenumerice (calitative)]; a) marca de calculator cea mai nou cumprat de 10 familii; Rspuns: scala nominal calitativ; b) cheltuieli cu reclama fcut de 5 firme selectate aleatoriu; Rspuns: scala de raport cantitativ. Tema 2. Observarea statistic 2.1. Culegerea datelor statistice Cunoatereafenomeneloriproceseloreconomico-socialeserealizeazprinlucrricomplexe, de mare amploare, bazate pe un numr mare de operaii temeinic organizate ce poart denumirea de cercetare statistic. Cercetareastatisticcuprindetotalitateaoperaiilordeculegere,observare,sistematizare,prelucrare, stocare,analiz,interpretareainfor-maiilornecesarepentrucunoaterea,conducereaproceselorsocial-economice. Etapele cercetrii statistice sunt: Observarea statistic, reprezentnd culegerea datelor primare; Prelucrarea statistic: - sistematizarea datelor, prin gruparea statistic; - calculul indicatorilor statistici; - prezentarea datelor: tabele statistice, serii statistice, grafice statistice. Analiza i interpretarea statistic: - confruntarea, compararea datelor; - verificarea ipotezelor; - formularea concluziilor, asupra cercetrilor; - fundamentarea calculelor de prognoz.Observareastatistic,constnculegereadeinformaii,dupometodologieunitar,pentrutoate unitile colectivitii. Planul obser-vrii statistice poate cuprinde: Scopul observrii, care este legat de scopul general al cercetrii statistice. Trebuie bine precizat pentru c n funcie de el se deli-miteaz obiectul observrii, erorile de observare etc. Colectivitatea statistic reprezint elementele colectivitii investigate. Unitile de observare reprezint elementele colectivitii investigate. Caracteristicilestatisticereprezintrspunsurilelantrebrilepuseprinchestionare(ex.salariu, vechime etc.). Timpul observrii vizeaz dou momente eseniale: timpul la care se refer datele i timpul n care se efectueaz culegerea datelor. Locul observrii are ca scop stabilirea facil a unitilor de observare. Msurile organizatorice asigur condiiile favorabile pentru desfurarea observrii statistice. Felurile observrii statistice observare direct se face prin contactul direct cu unitile de observat. observarepebazdedocumentepresupuneprelucrareadedatedinevidenatehnico-operativ, contabil, statistic. Metodele de observare statistic sunt n funcie de natura feno-menelor observate, agenilor economici, de posibilitile tehnice de prelucrare de care se dispune. Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi: a) dup modul de organizare a activitii social-economice: -observaii permanente, care se efectueaz prin intermediul sistemului informatic statistic; -observaii special-organizate ca: recensminte, anchete, monografii. b) dup timpul la care se refer datele: -observaii curente, ca: rapoarte statistice; -observaii periodice, care se efectueaz la un anumit interval de timp (recensmntul); -observaii unice, care se fac pentru consemnarea statistic a unui eveniment nerepetabil. c) dup numrul unitilor nregistrate: -observaiitotale,princareseculegdatedelatoateunitilecolectivitii(recensmnt,rapoarte statistice); -observaiipariale,princareserealizeaznregistrrinumailaoparteaunitilorcolectivitii (sondajul). 2.2. Sistematizarea datelor statistice i prezentarea lor Datele culese sunt colectatela un centru de prelucrare i sunt supuse unor prelucrri primare, destinate sistematizrii lor i desprin-derii unor concluzii generale. Etapele sistematizrii implic: 1.Centralizareadatelorstatisticenecesitcadateleutilizatesfiecomparabileiaditive,pentrua putea totaliza unitile statistice sau valorile unei caracteristici, la nivelul grupelor tipice sau a colectivit-ilor observate. Totalizareavalorilorsefaceprinnsumaredirectsaucuajuto-rulunorcoeficienideechivalen.n urma centralizrii, se obin indi-catori statistici de nivel (ex. producia de antibiotice ntr-un interval dat). Centralizarea pe subcolectiviti omogene are ca scop o cunoa-tere mai detaliat a fenomenului, ceea ce este o centralizare pe grupe i permite analiza fenomenului pe elemente structurale. 2. Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unitilor unei colectiviti dup variaiauneiasauamaimultorcaracteristicidegrupare.Tehnicagrupriinecesitparcurgereaurmtoarelor etape: a) Alegerea i folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea nsuire care st la baza mpririi colectivitilor n grupe omogene. Dreptcaracteristicdegruparesealegeocaracteristicesenialcuuncaracterstabilpentruunitile colectivitii, care exprim natura fenomenului cercetat i corespunde scopului urmrit. n funcie de numrul caracteristicilor de grupare putem avea: -grupe simple cu o singur caracteristic de grupare; -grupecombinateserealizeazprinluareanconsiderareadousaumaimultecaracteristicide grupare, ce se gsesc n relaii de interdependen. Dup natura caracteristicilor de grupare pot fi: -grupri teritoriale, n care caracteristica de spaiu este defini-torie (grupare pe ri, judee etc.); -grupri cronologice, ce se fac dup caracteristica de timp; -grupri dup caracteristici atributive, exprimate numeric sau prin cuvinte. b) Stabilirea numrului de grupe (r). Notm cu r numrul de grupe ce se va stabili n funcie de amplitudinea variaieiidenumruldeunitiiale colectivitii. Astfel dac gruparea se va folosica metod de sistematizarea datelor pentru calcularea indicatorilor derivai i aplicarea analizei statistice, este indicat s se foloseasc un numr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaiei caracteristicilor). Dac se va analiza structura, mutaiile de structur n raport cu tipurile calita-tive, este indicat s se foloseasc un numr restrns de grupe.n funcie de mrimea variaiei, caracteristicilor studiate pot fi: -grupri pe variante (se folosete cnd numrul variantelor este redus i amplitudinea mic); -grupripeintervaledevariaie(cndnumrulunitilorcolec-tivitiiestemareiamplitudinea variaiei este mare). c) Alegerea intervalului de grupare. Intervalul de variaie este un grup omogen de variante, desprit de restulcolectivuluiprinceledoulimitealegrupei:inferioarisuperioar.Mrimeaintervaluluide grupare (h) se afl n funcie de amplitudinea variaiei (A) i num-rul de grupe (r). A = Xmax Xmin, unde: Xmax = limita superioar a caracteristicii Xmin = limita inferioar a caracteristicii h = rA, h mrimea intervalului de grupare;r numrul de grupe. Pentru determinarea mrimii intervalului de grupare, n cazul colectivitilor de dimensiuni relativ mari se poate utiliza i formula lui Sturges: h = n lg 322 , 3 1A+;n = numrul de uniti statistice ale colectivitii analizate. Intervaleledegruparepotfi:egaleiinegale,nchiseideschise,cuvariaiecontinuicuvariaie direct. Cndintervaleledegruparesuntdeschise,eletrebuiescnchisenfunciedemrimeaintervalului alturat. nintervalelecuvariaiecontinu,limitasuperioarafiecruiintervalserepetcalimitinferioara intervalului urmtor. Pentru a se evita includerea dubl a unor uniti, ce au valoarea egal cu una din limitele intervalului,sestabileteoconvenie(limitinferioarsaulimitsuperioarinclusninterval)princarese precizeaz limita inclus n interval. La intervalele cu variaie discret, limita inferioar este depla-sat cu o unitate de msur fa de limita superioar a intervalului precedent. 3.Prezentareadatelorstatisticeseutilizeazpentrupercepereainelegereamanifestrilordintr-o colectivitate,pentruadecideprelucrareaeiulterioar,pentrupopularizareadatelor,ctipentruinformarea opiniei publice.Aceste metode sunt folosite ica mijloace auxiliare, dar eficiente de investigare a legturilor dintre fenomene i a formelor de evoluie n timp. Prezentarea se poate face sub form de: Seriistatistice.Carezultatalsistematizrii,seriastatisticdefinetecorespondenadintredouiruri dedatestatistice,ncareprimulreprezintvariaiacaracteristiciiurmrite,iaraldoileaircu-prinde frecveneledeapariieavariantelorcaracteristicii.Seriatrebuiesofereinformaiicu privire lasuccesiunea, mrirea valorilor nre-gistrate i a frecvenelor corespunztoare. ntreceledouiruriexistolegturunivoc,nsensulcuneivaloriindividualeoarecarei corespundeoanumitfrecven,respec-tivunnumrcarearatdecteoriserepetvaloareaindividual respectiv. Grafice statistice. Graficul este o imagine spaial, cu caracter convenional, care, prin diferite mijloace plasticedereprezentare,reliefeazceeaceestecaracteristic,esenialpentruobiectulcercetrii.Graficele reprezintdateleiproporiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi, suprafee, volume. Principalele metode de reprezentaresunt:figurigeometrice;graficentr-unsistemdecoordonate(cadranulI,dinsistemuldeaxe rectangulare); reprezentri cu ajutorul hrilor. Utilizareagraficelorpresupunecunoatereaelementelorcon-structiveirespectareaunorregulii principii referitoare la proporii. Principalele tipuri de grafice statistice: Diagrameprinbenziicoloane.Sefolosescnscopulpopula-rizriiunoraspectedinviaasocial-economic, pentru a reda imaginea unui fenomen n evoluia luintimp, cnd distanele dintre perioade sunt mari i inegale; Diagrame prin figuri geometrice: Diagrame de suprafa - Grafice prin areale - Diagrame de structur Diagrame de volum (piramid, cilindru, stereograme) Graficeleprinareale.Seconstruiescsubformaunorfigurigeometricenplan,acrorsuprafaeste proporional cu mrimea caracteristicii. Diagramedestructur.Presupununraportdeproporionalitatentresuprafaafiguriigeometricei totalulstructuriide100%.Fiecarefigurgeometricsevamprinatteaprictearecolectivitatea cercetat, prile se vor distinge prin haurarea sau colorarea suprafe-elor respective. Diagramele seriilor de timp: diagrame prin coloane, crono-grama, diagrame polare. Cronogramasefolosetepentruadesprindetendinadedezvol-tareafenomenelorpentrufiecareetap dat. n seria dinamic, valo-rile indicatorilor sunt reprezentate n succesiunea lor n timp. Diagrama polar ajut la interpretarea gradului i formei de variaie sezonier ce este datorat schimbrii anotimpurilor, nceperii colilor etc. Diagramele seriilor de repartiie de frecvene. -Pentruseriiledefrecvenunidimensionalesefolosesc:histo-grama,poligonulfrecvenelor,curba cumulativ a frecvenelor (ogiv). - Pentru seriile de frecven bidimensionale se folosesc: corelo-grama (diagrama norului de puncte). Diagramele seriilor de spaiu:cartogramele (hrialeterito-riului),cartodiagramele (combinaie ntre cartogramidiagramedesuprafa),pictogramele(folosescfigurinaturaleiconvenionale,fotografii asociate cu diagrame prin areale pentru a mri efectul). Tabelestatisticeconstituieunansambludejudeciprezentatntr-oformsuccint,ncuvintei expresiinumerice,referitoarelafenomeneleiproceselestudiate.Sefolosescattpentruprezentarea rezultatelor cercetrii, ct i n cadrul analizei indicatorilor derivai. Tabelul trebuie s respecte elementele de coninut (subiectul i predi-catul tabelului) i cele de form (macheta tabelului). Tabelele statistice sunt variate i se folosesc n etapa culegerii datelor, n cursul pre-lucrrii sau al analizei statistice. 2.3. Indicatorii statistici Indicatorul statistic este expresia numeric a unor fenomene, procese, activiti sau categorii economice isociale,delimitatentimp,spaiuistructurorganizatoric.Pentrucunoatereafenome-nelordemas, indicatoriistatisticindeplinescmaimultefuncii:demsurare,decomparare,deanalizsausintez,de estimare, de verifi-care a ipotezelor, de testare a semnificaiei parametrilor utilizai. Dup etapa n care apar n procesul cercetrii statistice, indicatorii statistici sunt: Indicatoriprimari,ceseobinnprocesulprelucrriiprimare,princentralizareadatelorprovenitedin observare total sau parial. Indicatoriderivai,ceseobinprincomparri,abstractizri,generalizri,prinaplicareaunorprocedee specifice de prelucrare a mrimilor absolute a indicatorilor primari. Ei pun n eviden aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate: - relaia dintre prile colectivitii, dintre caracteristici; - legturile de interdependen dintre fenomene sau valori tipice; - contribuiile diverilor factori la variaia unui fenomen etc. Comparaiiledintredatepotfifcuteprinraportare(mrimilerelative)sauprindiferen(modificare absolut).Mrimearelativ(M.R.)esterezultatulcomparrii,subformderaport,adoiindicatoristatistici,i aratprintr-unsingurnumrcteunitidinindicatorulraportatrevinlaounitateaindicatoruluibazde raportare. Se poate exprima sub form de: Coeficieni care arat cte uniti din indicatorul de raportat revin unei singure uniti baza de raportare. Procente,carearatcte uniti din indicatorulbaz de raportarerevinla 100 de uniti din indicatorul de baz de raportare. n analiza statistic se utilizeaz n funcie de scopul analizei: Mrimirelativedestructur (MRS)suntnumiteponderisaugreutispecifice,frecvenerelative, exprimnd raportuldintre parte i ntreg i secalculeaz ca raport ntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivitii, fa de volumul ntregii colectiviti. Ponderea sau greutatea specific: 100xxgn1 iiii==, unde: gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente xi = totalul colectivitii Frecvene relative: 100nnnn1 iii *i==, unde: ni* = frecvena relativ ni = frecvena absolut ni = suma frecvenelor absolute Proprietate:Sumafrecvenelorrelative*in =1,dacseexprimncoeficieni/Sumafrecvenelor relative*in = 100, dac este n procente. Mrimi relative de intensitate (MRI) evideniaz gradul, intensitatea de rspndire a fenomenului , n raportcuvariabilalacareseraporteaz.Suntconsideratecaracteristiciderivateceseobinprinraportareaa doiindicatoriabsolui,denaturdiferitceseaflntr-unraportdeinterdependencusemnificaie economic concret. Se poate calcula sub form de raport: iiizyx =unde:xi= mrimea de intensitate z i yi= cei doi indicatori absolui ex.W = TQunde W = productivitatea muncii,Q = producia, T = nr. de salariai Mrimi relative de coordonare (MRC) caracterizeaz raportul n care se afl doi indicatori de acelai fel, aparinnd unor grupe ale aceleai colectiviti statistice, sau unor colectiviti de acelai fel, dar situate n spaii diferite. AstfelM.R.C.: BABAXXk =sauABABXXk = Mrimirelativealeprevederii(MRPL)fiindspecificeoric-reieconomiimoderneneconomiade pia,secalculeaznumailanivelulfiecreiunitisaufirme,nfunciedeprogrameleelaborateprivind aprovizionarea, producia, desfacerea de mrfuri. Noiuni: X0 = nivelul fenomenului realizat n perioada de baza Xpl=nivelulfenomenuluiprogramatpentruperioada curent X1 = nivelul fenomenului realizat n perioada curent n funcie de aceste notaii putem calcula: a) Mrimi relative ale sarcinii de plan :100 .XXK0pl0pl= b) Mrimi relative ale realizrii planului:100 * .XXKpl1pl1= c) Gradul de realizare a produciei n perioada curent fa de baz 100 *XXK0101=Toi aceti coeficieni ne arat dac activitatea firmei s-a desf-urat conform planului stabilit, sau dac s-auconstatatpierderi,cassepoatinterveninmodutilpentrurecuperarealor.Adeseareinemnumai valoarea ce depete sau estesub 100%. Acest procent se mai numete ritm de cretere sau scdere, sau ritm de depire sau realizri a planului. Cuvinte cheie: observare statistic, grupare statistic, numr de grupe (r), interval de grupare (h), serii statistice, grafice, indicator, mrimi relative. Teste gril: 1. Recensmntul ca metod de observare statistic: a) este o metod de observare total; b) este o metod de observare total, cu caracter periodic; c) are exclusiv un caracter demografic; d) este o observare total cu caracter permanent. Rspuns: b) 2. Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea: a) amplitudinii variaiei unei caracteristici; b) mrimea intervalului de grupare; c) numrul de grupe; d) numrul de caracteristici. Rspuns: b) 3. Avnd urmtoarea distribuie statistic: Grupe de salariai dup vechime 5-1010-1515-2020-2525-30Total Numr salariai351610236 calculai frecvenele relative( )*% inprocentuale corespunztoare acestei distribuii (rotunjire la ntreg). Rspuns:: n*% i8; 14; 44; 28; 6. Remarc:calcululsevafacecuformula:100nnnii *% i =;exemplupentruintervalul(5-10): 8 100363n*% i= =etc. 4. Un ef de serviciu studiaz munca a 30 de angajai n legtur cu timpul de munc pierdut (min) ntr-o lun: 20262630353537373737 39414545454848485050 54555757606065656970 Grupaiacestedatestatisticepe5-6intervaleegaledevariaieicalculaifrecvenaabsolut corespunztoare. Rspuns: [20-30] : 3; [30-40] : 8; [40-50] : 7; [50-60] : 6; [60-70] : 6; Model de lucru 10550520 70rX XrAhmin max= === = Grupe de salariai dup timp (min)Numrul salariai (ni) 20-303 30-408 40-507 50-606 60-706 Total ni = 30 Not:Limitainferioarinclusninterval(excepievaloarea70fiindunasingurnuinflueneaz puternic distribuia astfel se va include n ultimul interval (60-70)). Tema 3. Analiza statistic a seriilor unidimensionale 3.1. Indicatorii tendinei centrale Analiza tendinei centrale, n seriile de repartiie, presupune luarea n consideraie, nu numai a valorilor individuale, ci i a formei n care se repartizeazfrecvenele de apariie a acestor valori. 3.1.1. Mrimile Medii sunt instrumente statistice ce exprim, n mod sintetic i generalizat, ceea ce este normal esenial, tipic i general n evoluia fenomenelor. Pentru aplicarea corect a mediilor este necesar s se respecte urmtoarele condiii: a) calcululmediilor ssebazeze pefolosirea unui numr mare de cazuri individualediferite, sub care s-a nregistrat caracteristica, a cror variaie este ntmpltoare n raport cu fenomenul n totalitatea lui; b) valorile din care se va calcula media s fie omogene; c)alegereaaceleiformedemediecarecorespundecelmaibineformeidevariaieacaracteristicii cercetate i informaiilor de care se dispune.Mediavalorilorindividualealeunuifenomendemasesteexpresiasintetizriintr-unsingurnivel reprezentativ, ceea ce este esenial, tipic n apariia, manifestarea i dezvoltarea lui. Mediile cele mai frecvent ntlnite: Mediaaritmetic( X).Sefolosetengeneralcndfenomenulsupuscercetriinregistreaz modificri aproximativ constante ntr-o progresie aritmetic. Poate fi:Media aritmetic simpl: nxXn1 ii== , unde:X = media aritmetic n =nr. variantelor individuale ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii Media aritmetic ponderat: se folosete pentru seriile de distri-buie, cnd variante ale caracteristicii se nregistreaz de mai multe ori. ip1 iip1 iinn xX===unde: x1, x2,..., xp niveluri individuale,ni frecvena grupelor Formula de calcul a mediei simplificate:a h *nn *ha XXiiiii+ ||

\| =

unde a = valoarea caracteristicii cu frecven maxim Observaii: sensibilitatea ei, fa de valorile extreme ale seriei; devine nereprezentativ, dac termenii seriei sunt foarte mprtiai; omogenitatea colectivitii este o condiie a reprezentativitii, pentru orice tip de mrime medie; este indicat a se calcula cnd frecvenele maxime sunt n cen-trul seriei. Mediaarmonic(hX )Secalculeazdinvalorileinversealeter-menilorseriei,camediesimplsau ponderat. Pentru serii simple: =i ihx1nX i = 1,p Pentru serii de frecven:=iiiiihn *x1nXObservaii: pentru distribuiile de frecven este indicat a se folosi cnd n serie predomin valorile mici, seria fiind asimetric ctre valorile minime ale caracteristicii (frecvena maxim este n prima grup). Media ptratic (pX ) Se calculeaz prin extragerea rdcinii ptrate din media aritmetic a ptratelor termenilor seriei, ca medie simpl sau ponderat: Pentru seriile simple: nxX2ip=Pentru seriile de frecven: ii2ipnn xX=Observaii: Se folosete cnd dm o importan mare termenilor mari ai seriei sau n cazul n care termenii seriei au valori pozitive i negative. Frecvena maxim va fi la ultima grup a seriei. Mediageometric(gX ).Sebazeazperelaiadeprodusater-menilorserieiisemainumetei medie logaritmic. Pentru seria simpl:n , 1 i ,x Xni g= =Pentru seria frecvenelor:n , 1 i ,x Xiining= = Daclogaritmm rezult:Pentru seria simpl: lggX=nx lgi

Pentru seria frecvenelor: lggX= ii inx lg n.Media (gX ) se afl prin antilogaritm. Observaii: nu poate fi folosit dac n cadrul seriei exist cel puin un termen negativ, expresia devine imaginar; sau dac exist un termen zero, anuleaz produsul termenilor; mai este denumit i medie de ritm, fiind folosit pentru cal-culul ritmului mediu de cretere. Relaiile existente ntre aceste medii sunt date de inegalitile: pghX X X X . 3.1.2. Indicatorii de poziie Sunt denumii i medii de structur, iar dintre acetia amintim: quantiledeordinulK:pentruK=2mediana(Me);pentruK = 4 quartilele (Q1, Q2= Me, Q3); pentru K = 10decilele(D1, .,D5 = Me, .., D9) modul (Mo) Acetiindicatorievideniaztendinadeaglomeraresaucon-centrareavalorilorindividuale,ctre anumite valori tipice. Se folosesc pentru: estimarea nivelului mediu; evaluarea asimetriei seriei etc.; Mediana (Me) reprezint acea valoare a caracteristicii situat n mijlocul seriei dup ce termenii seriei au fost aranjai cresctor sau descresctor. Cazul seriei simple numr impar de termeni:1 5 9 12 16 20 25 Me =12 numr par de termeni:158121620 10220212 8Me = =+=

Cazul seriei de distribuie de frecven Seria statistic fr intervale (ex. distribuia loturilor de pro-duse dup numrul rebuturilor) Nr. rebuturi din lot xi Nr. de loturi ni Frecvene cumulate 01010 12030 24070 31585 41095 55100 TOTAL 100 PentruaceastserievaloareaMevafiaceavaloareacaracteris-ticiicorespunztoareprimeifrecvene cumulate ascendent ce dep-ete valoarea lui 21 ni + . Aceast relaie ne d locul medianei pen-tru seriile de frecven cu intervale. ex. 21 ni + = 21 100 += 50,5 prima frecven mai mare este 70, Me = 2 Cazul seriei statistice cu intervale: Pentru calculul Me se urmresc etapele: cumularea cresctoare a frecvenelor determinarea locului Me cu relaia 21 ni + ; calculul medianei cu formula: MepMei0nn21 nh X Me + + = 21 ni + = locul Me,unde: X0 limita inferioar a intervalului median h mrimea intervalului pMen= suma frecvenelor cumulate, precedente intervalului median Men=frecvena absolut a intervalului median. Exemplu: Gruparea muncitorilor dup vechime Numr muncitori Frecvene cumulate 0-555 5-10712 10-151022 15-201234 20-251852 25-301567 30-35774 TOTAL74 LoculMe =) 25 , 20 ( 5 , 3721 7421 ni =+= + Me= 20+597 , 201834 5 , 37= Me= 20,97 Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce mpart seria ordo-nat n patru pri egale. Sunt n numr de trei (Q1, Q2, Q3) i se calculeaz cu relaiile: 1 Q1 pQi0 1nn41 nh X Q ++ =X0= limita inferioar a intervalului Q1, h =mrimea intervalului 41 ni + = locul primei quartile Q1 1 pQn= frecvene cumulate precedente ale intervalului Q1 1 Qn= frecvena absolut a intervalului Q1 Q2= MeQ3= ( )3 Q3 pQ i0nn 1 n43h X ++X0= limita inferioar a intervalului Q3, ( )+1 n43i = locul Q3 3 pQn=frecvene cumulate precedente intervalului Q3 3 Qn=frecvena absolut a Q3 Valoarea modal. Reprezint acea valoare a caracteristicii, care are cea mai mare frecven de apariie. Se calculeaz numai n distri-buie de frecven. Pentru o repartiie de frecven pe variate M0 se identific pe calea simplei examinri a irului de frecvene. Mo = 2 Numr rebuturi xi012345TOTAL Numr loturi ni10204015105100 Pentru o serie de frecven pe intervale, determinarea M0 se face pe etape: - determinarea intervalului modal, fiind intervalul de variaie al caracteristicii cu frecven maxim - estimarea valorii modale cu relaia: 2 11h Xo Mo + + =unde: 0X =limita inferioar a intervalului modal 1=diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului precedent 2 =diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului urmtor h = mrimea intervalului. Exemplu: Calculul M0pe exemplul seriei de frecvene pe intervale de la Me cu intervalul modal (20,25) Mo = 20 +5 ( )( ) ( )33 , 2315 18 12 1812 18= + 20 < 23,33 < 25 Observaii: Mpoatenlocuimediacndeanusepoatecalculasaunuaresensaficalculat:industria confeciilor: nu exist mrime medie, ci talia cea mai cutat (la fel la nclminte) M este util pentru seria de repartiie asimetric M i M se exprim n aceleai unitate de msur ca i variabila studiat. 3.2. Indicatorii variaiei Cuctgraduldecomplexitatealunuifenomenestemai mare, cu att gama factorilor de influeneste mai larg i implicit cu att mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiie. Indicatorii tendinei centrale nu dau nici o explicaie asupra mprtierii, respectiv a modului n care termenii seriei se abat ntre ei sau de la medie. Astfel, apare necesitatea calculrii indicatorilor statistici ai variaiei, care rezolv: -verificarea reprezentativitii mediei ca valoare tipic a seriei de distribuie; -verificarea gradului de omogenitate al seriei; -verificarea sistematizrii informaiilor prin gruparea statistic; -caracterizarea gradului i formei de variaie a unei variabile statistice. Clasificarea indicatorilor variaiei: 1. Dup numrul variantelor cuprinse n metodologia lor de calcul: -indicatori simpli; -indicatori sintetici ai variaiei. 2. Dup metodologia de calcul i forma de exprimare, deosebim: -indicatori ai mprtierii, calculai ca mrimi absolute; -indicatoridevariaiecalculaicamrimirelative,nraportcuvaloareaunuiindicatoraltendinei centrale (media). 3. Dup modul de sistematizare a datelor complexe: -indicatori ai variaiei, calculai pentru serii de distribuie unidi-mensionale. -indicatori ai variaiei, calculai pentru serii de distribuie multidimensionale. Indicatorii simpli ai variaiei se caracterizeaz prin acea c se calculeaz n cifre absolute sau relative, prin compararea valorilor individuale extreme, sau prin compararea fiecrei valori individuale cu valoarea lor medie. Amplitudineamprtieriiesteexpresiacantitativadomeniuluidevariaiealunuifenomenise calculeaz ca mrime absolut sau relativ. Amplitudinea absolut: A = Xmax - Xmin Amplitudinea relativ: A% =100XASeutilizeazlaalegereanumruluidegrupe(r),lastabilireamrimiiintervaluluidegrupare(h),la dirijarea statistic a procesului de fabricaie. Abaterileindividuale(di)nearatcucteunitidemsur,saudecteorivaloareaindividuala caracteristiciiestemaimaresaumaimicdectmrimeaunuiindicatoraltendineicentrale.Abaterile individuale se calculeaz n cifre absolute sau relative: Abaterile individuale absolute (di):di = Xi -X , pentru i =n , 1 Abaterile individuale relative (di%): di%=100xdi, pentru i =n , 1 Indicatoriisimpliaivariaieipermitocaracterizareparialiaproximativavariaiei:pentrucse calculeaz pe baza relaiei ntre doi termeni ai seriei, sau ntre fiecare termen i media lor. Indicatorii sintetici ai mprtierii caracterizeaz gradul de va-riaie lund n considerare toi termenii seriei. Indicatorii sintetizeaz ntr-o singur expresie numeric, variaia valorilor individuale, fa de tendina central a caracteristicilor urmrite ntr-o populaie statistic. n funcie de metodologia de calcul n statistic se calculeaz: Abatereamedieabsolut( ) d reprezintmediaaritmeticsim-plsauponderataabaterilorabsolute ale termenilor seriei de la tendina lor central. Pentru serii simple: nx xidi = pentru i = 1, k Pentru serii de frecven: =ii2iinin * x xd pentru i = 1, k unde:k = numrul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvene absolute Observaii: Pentru seriile de distribuie pe intervale se iau centrele de interval. Este concludent numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate. Dispersia( )2 secalculeazcaomediearitmeticsimplsauponderataptratelorabaterilor termenilor de la media lor. Pentru seria simpl: ( )2ii2nx x = pentru i = p , 1Pentru seria de frecven :( ) = ii2ii2nin * x x Pentru serii de frecvene relative :( )100n * x x*i2ii2% = Formula de calcul simplificat al dispersiei : ( )22ii2ii2a x h *nin *ha x ||

\| = unde: a = centrul de interval al caracteristicii cu frecven maxim. Observaii: 2 ix calculatepebazaseriilorderepartiiepeintervale,suntmaipuinexactedectdacs-ar folosi date individuale negrupate. cu ct intervalele de grupare sunt mai mari, cu att 2ixsunt mai puin semnificative. 2este un indicator abstract, fr coninut economic. 2 msoar variaia total a caracteristicilor studiate, datorate cauzelor eseniale i ntmpltoare. Abaterea medie ptratic (abaterea standard). Se definete ca medie ptratic simpl sau ponderat, a abaterilor valorilor individuale de la tendina central, sau ca rdcin ptrat a dispersiei. Astfel: 2 = ,unde 2 = dispersia, calculat prin orice metod. Observaii: abatereamedieptratic seexprim n unitatea de msur a caracteristicii studiate iar valoarea sa este cu att mai mare cu ct variaia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare; comparnd cud , calculate pentru aceeai serie:d ; nanalizelestatistice,seprefer,cafiindunparametruallegiinormale(majoritateametodelor statistice au la baz ipoteza normalitii); se preteaz mai bine la calculul algebric; n analizele financiar-bursiere poate fi utilizat ca o msur a riscului. Coeficientul de variaie (v). Este o msur a dispersiei relative care descrie abaterea medie ptratic ca procent din media aritmetic. Permite compararea mprtierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate n aceeai UM. Se calculeaz cu relaia: 100 *xV= Observaii: coeficientul de variaie ia valori n intervalul 0-100%; dactindespre0,esteovariaieslab,ocolectivitateomogeniomediecuungradmarede reprezentativitate; dac tinde spre 100%, variaia este intens, colectivitatea eterogen; practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate: - dac v 35%, colectivitate este omogen, media reprezen-tativ, gruparea bine efectuat. - dac v 35%, colectivitate este eterogen, media nerepre-zentativ, gruparea trebuie refcut. 3.3. Analiza variaiei ntr-o serie de repartiie bidimensional Analizadetaliatafenomenelorsocial-economice,cugradmaredecomplexitate,necesitstructurarea colectivitii pe grupe relativ omogene, n funcie de variaia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare. Astfel,studiulmprtieriiuneicaracteristicinntreagacolecti-vitatetrebuiessecompletezecu analizamprtieriidinfiecaregrupidintregrupe,identificndu-seastfel,roluldiferiilorfactoride influen asupra variaiei caracteristicii n colectivitatea respectiv. Msurareainflueneifactorilorasupravariaieicolectivitiiserealizeazcuunsistemdeindicatori factorialiaivariaieicesecalcu-leazlanivelulfiecreigrupe,daripentreagacolectivitate.Sepoate calcula: Media de grup(cte una pentru fiecare grup dup (x) =ijij iinn yy , m . 1 i =Media general a colectivitii= =iiii i0nn yy yi = p , 1Dispersiafiecrei grupe (dispersieparial)secalculeazcaomediearitmetic ponderat a ptratelor abaterilor variantelor caracte-risticii, de la media de grup. ( ) = jijjij2i ji2nn y y -aratmsurancarefactoriintmpltori,ninteriorulfiecreigrupeinflueneazvariaiavalorilor individuale ale caracteristicii. -Cu ct dispersia din interiorul fiecrei grupe este mai mare, cu att grupa este mai puin omogen. -Mediadispersiilorparialesecalculeazcamediearitmeticponderatadispersiilordegrupi sintetizeaz influena factorilor ntmpltori pe toat colectivitatea:= iiii2i2nn unde:i2= dispersii de grup ni = volumul grupelor - Dispersia dintre gupe secalculeaz ca o medie aritmetic ponderat, a ptratelor abaterilor, mediilor de grup, fa de media caracteristicii generale. ( ) = iiii20 i2nn y y -reflectvariaiacaracteristiciidependente,datorataciuniicauzeloreseniale,pentreaga colectivitate, deci influena factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y). -Dispersiatotalmsoarntreagamprtiereavalorilorcaracteristiciirezultative(y),careeste produs,attdeaciuneafacto-riloreseniali,ctiacelorneeseniali,variabilidelaogruplaalta,saun cadrul aceleai grupe. ( ) = jjjj20 j20nn y y -cu ct dispersia total (20 > 0) cu att colectivitatea, are un caracter mai eterogen. Regula de adunare a dispersiilor arat relaia dintre dispersia total i cele dou dispersii factoriale, cu formula: 2 2 20 + = unde: 20= dispersia total; 2 = media dispersiilor pariale; = dispersia dintre grupe. Pe baza ei se calculeaz: Coeficientul de determinaie 100 R2022= -arat care este ponderea factorului principal de grupare n variaie total a caracteristicii. Coeficientul de nedeterminaie100 K2202=-arat care este ponderea factorilor ntmpltori n variaia total a caracteristicii. ntre cei doi coeficieni exist urmtoarea relaie:1 K R2 2= +Dac: 2 2K R > ,factorulprincipaldegrupareacioneazhot-rtorasupravariaieicaracteristicii rezultative. 2 2K R< , variaia caracteristicii rezultative se datoreaz influen-ei exercitate de alte cauze, aceasta fiind independent de variaia caracteristicii factoriale. 3.4. Analiza asimetriei repartiiilor empirice n urma prelucrrii informaiilor se obin serii de repartiie de frecven empirice, ce se pot compara cu repartiii teoretice, a cror form de repartiie este cunoscut. Cea mai frecvent serie de repar-tiie, ctre care tind seriile empirice, este distribuia normal sau funcia GAUSS-LAPLACE, ale crei frecvene se distribuie simetric,de-oparteidealtaafrecveneimaxime,plasatncentrulseriei.Graficulacesteidistribuiiare form de clopot, n raport cu ordonata maxim, iarMo Me X = = . Noiunea de asimetrie se refer la felul n care frecvenele unei distribuii empirice se abat de la curba normal a frecvenelor. Sunt cunoscute distribuii empirice: uor asimetrice; pronunat asimetrice. Serii n form de U apar atunci cnd frecvenele maxime sunt la capetele intervalului de variaie, iar frecvena minim n centrul intervalului. Reprezentrilegraficeneoferoimagineasupraasimetriei,dargraduldeasimetrieestemsuratcu indicatori specifici, din care amintim pe cel mai important: Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON -se calculeaz ca raport ntre asimetria absolut (AS) i aba-terea medie ptratic. ; Mo X As ==Mo XCas-Casareovaloareabstract,artndmrimeaifelulasime-triei,iarvalorileluisuntcuprinsen intervalul (-1, 1). -Dac:Cas = 0, seria este simetric; Cas 0, asimetrie mic Cas (+/- 1), asimetrie pronunat Cas n intervalul (0,1) asimetrie pozitiv Cas n intervalul (-1,0) asimetrie negativ. Cuvintecheie:tendincentral,mediaaritmetic( X),mediaarmonic( h X ),mediaptratic( p X ), mediageometric( g X ),mediana(Me),modul(Mo),quantile(Q),amplitudine(A),abateriindividuale(di), dispersie(2 ),abatereastandard(),coeficientuldevariaie(v),coeficientuldedeterminaie(R2), coeficientul de nedeterminaie (K2), coeficientul lui Pearson. Teste gril: 1.ntr-untanddenclmintes-auvndutntr-ozi11perechidepantoficuurmtoarelemrimi:38, 39,35,36,37,38,38,39,37,38,39.Denumiimrimeamedieceamaiindicatasecalculanacestcazi precizaii valoarea. Rspuns: Modul; Mo = 38 Model de rezolvare nindustriadenclmintenusepoatecalculamedia,easenlocuietecunumrulmrimii nclmintei cea mai cutat. Ordonm seria: 35, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39. Observm c numrul nclmintei cel mai cutat este 38, a crei frecven de apariie este 4, fiind cea mai mare. 2.Dinamicaproducieirealizatedeofirmnprimele6lunialeanuluiafost:111%,118%,108%, 116%, 121%, 130%. Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula n acest caz: a) aritmetic; b) armonic; c) ptratic; d) geometric. Rspuns: d). Observaie. Media geometric este o medie de ritm. 3. Distribuia studenilor dintr-o serie de studiu dup nota la disciplina statistic este: Nota12345678910Total Numr studeni21015253020953120 Valoarea median (Me) va fi: Me =? Rspuns: Me =5. Model de rezolvare Avemcazulserieidedistribuiedefrecvenfrintervale.ValoareaMevafiaceavaloarea caracteristiciicorespunztoareprimeifrecvenecumulateascendentcedepetevaloarealui 21 ni +, care ne d locul Me. NotaNumr studeni 122 21012 31527 42552 53082 620102 79111 85116 93119 101120 =+=+5 , 6021 12021 ni primavaloaremaimareeste82i corespunztoreiestevaloarea variabilei nota egal cu 5.Deci5 Me = . Total120 4. Se cunosc urmtoarele date referitoare la repartiia salariailor dup vechimea n munc: Gruparea salariailor dup vechime 5-1515-2525-3535-4545-55Total Numr salariai59167340 Calculai vechimea medie a salariailor i verificai reprezen-tativitatea ei. Rspuns:X = 28,5; v = 38,07% (medie nereprezentativ). Model de rezolvare: h = 10, a = 30 Gruparea salariailor dup vechime Numr salariai ni xi ha xi iinha x||

\| in2haix|||

\| 5-15510-2-1020 15-25920-1-99 25-351630000 35-45740177 45-553502612 Total40-648 5 , 28 30 10406a hnnha xXiii= + = +||

\| =

75 , 117 ) 30 5 , 28 ( 1004048) a x ( hnnha x2 2 2iiii2i2= = ||

\| = 85 , 10 75 , 1172= = = 07 , 38 1005 , 2885 , 10100xV = = = >35% medie nereprezentativ. 5. La o firm se analizeaz situaia angajailor dup vechime: Gruparea salariailor dup vechime 5-1010-1515-2020-2525-30Total Numr salariai571510845 Verificai asimetria seriei (Cas). Rspuns: Cas = 0,0687 (uoar asimetrie pozitiv). Model de rezolvare: h = 5, a = 17,5 Gruparea salariailor dup vechime Numr salariai ni xi ha xi iinha x||

\| in2haix|||

\| 5-1057,5 -2-1020 10-15712,5 -1-77 15-201717,5 000 20-251022,5 11010 25-30827,5 21632 Totalni = 45969 5 , 18 5 , 17 5459a hnnha xXiii= + = +||

\| =

33 , 37 ) 5 , 17 5 , 18 ( 254569) a x ( hnnha x2 2 2iiii2i2= = ||

\| = 11 , 6 33 , 372= = = ( )( ) ( )08 , 181385 15 Mo10 15 7 157 155 15 h x Mo 20 , 15 Mo2 110= + = + + = + + = ( ) 1 , 1Mo xCas = == 0687 , 011 , 608 , 18 5 , 18Casseria este uor asimetric pozitiv (0,1) Tema4. Cercetarea prin sondaj ntr-oeconomiedepia,sondajulesteoformpreponderentdeobinereadatelorstatistice,datorit operativitii i economicitii obinerii lor. Sondajul este o procedur prin care se caracterizeaz o populaie, nbazacercetriiuneipriaacesteia,deciaunuieantionprelevatdinpopulaiadeorigine.Rezultatul obinutpebazasonda-juluiseextrapoleaz,ladimensiuneantregiipopulaii.Extinderearezultatelordela parte,lantreg,nuare caracter determinist, ci probabilist,fiind supuseunui risc de-a fi eronate.Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate, ce se pot msura: Absolut,cadimensiuneadeplasriiparamentuluidesondaj( X)delamrimeaadevrataluin populaie general (0X ) respectiv: 0X X x d = Relativ, se poate exprima 00XX Xx d= * 100. Oastfeldeeroaresub5%,permiteaseapreciacsondajulestereprezentativ,deciaratoimagine aproximativ fidel a realitii. Statistica ofer variante de prelevare a unitilor i alctuirea eantioanelor, astfel nct s asigure un grad ridicat dereprezentativitateprin:sondajealeatoare;sondajulsimplu;sondajultipic(stratificat);sondajuldeserii;sondaje dirijate; sondaje sistematice. Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua: -repetat, cnd unitatea prelevat este restituit populaiei de origine i are anse s reintre n eantion; -nerepetat, cnd unitile nu sunt restituite n populaia general. ModelulteoreticalacestordouvariantedeprelevareseaflnURNALUIBERNOULLI,cubila revenit i nerevenit. 4.1. Sondajul aleator simplu Estevariantaaleatoareelementar,celelaltetipuriputndfinelesecasoluiiobinuteprin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj. Simboluri de baz Media caracteristiciiDispersia caracteristiciiIndicatori din: Nr. de unitiNumericAlternativNumericAlternativ Populaia generala N 0X p 20( ) p 1 p2p = Eantionn X w 2x( ) w 1 w2w = Indicatorii sondajului aleator simplu sunt: Indicatori Caracteristic numericCaracteristic alternativ Selecie repetat Selecie nerepetatSelecie repetatSelecie nerepetat 1. Eroarea medie de sondaj n2xx= ||

\| = Nn1n2xx ( )= = nw 1 ww n2w== = ||

\|Nn12w w( )||

\| =Nn1nw 1 w 2. Eroarealimit xZx = xZx = wZw = wZw = 3. Volumul eantionului(n) x22x2Zn =N2x2Zx22x2Zn + = = =w22w2Zn ( )w2w 1 w2Z =

= + =N2w2Zw22w2Zn ( )( )Nw 1 w2Zw2w 1 w2Z + =4. Intervalul de ncredere pt. media general xx0xxx + < < ww pww + < < Observaie: Dacseajungelasituaiacan=N,atuncifactorul||

\|Nn1 devinenulidispare,pentruc cercetarea parial s-a transformat n cercetare total. Dac N volumul colectivitii este ridicat, iar n al sondajului este redus atunci||

\|Nn1 1, practic coincide n ambele tipuri de sondaj. Z este argumentul funciei de probabilitate Gauss-Laplace (Z), care are o repartiie normal, fiind o valoare tabelar (Tabelul cu valorile funciei Gauss-Laplace). Intervaluldencrederedelimiteazzonaprobabilncaresevaplasavaloareaadevratdar necunoscut a mediei populaiei generale) x ( 0 . 4.2. Sondajul tipic (stratificat) Sondajultipicseapliccelmaifrecventncercetareafenomenelorsocial-economicedemas.Acest sondajseapliccolectivitilorneomogene,careaugrupeomogene(tipurideuniti)dupocaracteristic esenial notate cu N1, N2,..., Nr i reprezentate n sondaj prin volumul subeantioanelor n1, n2,..., nr. Dacgrupelecolectivitiisuntomogene,mediiledegrup( )ix auvaloriapropiatedevalorile individuale din care s-au calculat,abaterile lor sunt mici, iar gradul de variaie este mic. Variaia mediilor de selecie posibile va fi n funcie de variaia fiecrei grupe msurat prin dispersiile de grup( )2ii sintetizat prin media dispersiilor pariale( )2.Remarc: Dinreguladeadunareadispersiilortimc 202 < ,deaicirezultcvomaveaerorimaimicin selecia tipic. Mediadeselecie() x sevacalculacaomediearitmeticponderatamediilorsubeantioanelor respective:=ii inn xx, pentrur , 1 i = . Mediadispersiilordegrup||

\|2secalculeazcaomediearitmeticponderatadispersiilorde grup:= ||

\|ii2i2nn . Eantionul se obine prin extragerea de subeantioane din nivelurile populaiei totale folosind procedee de selecie aleatoare. Repartizarea eantionului pe subeantioane se poate face prin trei procedee: 1. Selecia tipic simpl Repartizareanmodegalaeantionuluipesubeantioane,indiferentdenumrulunitilorcecompun straturile populaiei totale: rnni = , unde: r = numrul de straturi n populaia total.2. Selecia tipic proporionalFormeazsubeantioanelenraportdepondereafiecareigrupencolectivitateatotaliserespect proporia de selecie n/N. Volumul fiecrui subeantion va fi:r , 1 i unde ,NNn niiip= = . 3. Selecia tipic optimLa formarea subeantioanelor se are n vedere att ponderea fiecrei grupe n colectivitatea general, ct i gradul de omogenitate al fiecrei grupe msurat prin abaterea standard: r , 1 i pentru,NNn ni ii iio= = unde: Ni = numrul unitilor pe grupe din colectivitatea total; i = abaterea standard pe grupe ale colectivitii totale. Observaie: Selecia tipic d cele mai mici erori, dar n activitatea practic este greu de aplicat. Indicatorii seleciei tipice: Indicatori Caracteristic numericCaracteristic alternativ Selecie repetat Selecie nerepetatSelecie repetatSelecie nerepetat Eroarea medie de sondaj n2xx= ||

\| = Nn1n2xx ( )= = nw 1 ww n2w== = ||

\|Nn1n2ww( )||

\| =Nn1nw 1 w Eroarealimit xZx = x xZ = wZw = w wZ = Volumul eantionului x22x2Zn =N2x2Zx22x2Zn + = = =w22w2Zn ( )w2w 1 w2Z =

= + =N2w2Zw22w2Zn ( )( )Nw 1 w2Zw2w 1 w2Z + =Intervalul de ncredere pentru media colectivitii generale xx0xxx + < < ww pww + < < Intervalul de ncrederepentru nivelul totalizat al caracteristicii ( ) ( )NxxN1 iixxx N + < =< ( ) + < < )ww ( NiMww N Observaie: pentru caracteristica alternativ vom calcula: media mediilor de sondaj ( w ):=ii inn ww media dispersiilor de selecie: ( ) [ ]== ii i iii2iw2wnn w 1 wnn Cuvinte cheie: sondaj, eroare medie, eroare limit, volumul eantion, interval de ncredere, sondaj tipic, selecie tipic optim, selecie tipic proporional. Teste gril: 1.Pentrudeterminareavolumuluieantionuluinvariantatipicnerepetatcaracteristic alternativ, se folosete relaia: a) x22x2Zn = b) =2i i2i i2NN nnc) NZZn2x2x22x2+ = d) NZZn2w2x22w2+ =e) N ZZn2x2x22x2 + = Rspuns: d) 2. Determinai numrul de piese ce trebuie extrase aleator i nerepetat, dac se cunosc urmtoarele date: ntregul lot de piese: N = 3.000; diametrul mediu al pieselor din eantion nu trebuie s difere mai mult de 1 cm fa de diametrul mediu al ntregului lot:1x = cm; variaia caracteristicii studiate 2x = 20 cm; probabilitatea garantrii rezultatelor Z = 2,9. Rspuns: n = 160 piese. Model de rezolvare: N = 3.000 1x = 2x = 20 Z = 2,9 160000 . 32029 , 212029 , 2N2x2Zx22x2Zn =+=+ = piese 3. Pentru o unitate economic se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10% selectat aleator i repetat: Grupe angajai dup mrimea produciei 8-1010-1212-1414-1616-1818-20Total Numr angajai26122218666 Estimailimitelentrecaresevancadraproduciamedieacolectivitiitotalepentruoprobabilitate(Z)= 0,9545 pentru care Z = 2.Rspuns: . 68 , 15 x 32 , 14 0