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Análisis Numérico para Ingeniería
Clase Nro. 1
Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 2
Integrantes de la Cátedra
Constanza R. Huapaya - Prof. Titular
Francisco A. Lizarralde - Prof. Adjunto
Carla Mana - J.T.P.
Francisco Alvarez - J.T.P.
Ezequiel Ayarzábal - Ayte. Graduado
Lucas Sánchez Fellay - Ayte. Graduado
Belén Posadas - Ayte. Alumno
Ignacio Hegoburu - Ayte. Alumno
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Evaluación y Régimen de Promoción
Se tomarán 2 (dos) exámenes parciales.
Los exámenes parciales serán teórico-prácticos.
En la parte práctica se evaluará la habilidad para
resolver problemas concretos en computadora.
Se deberá presentar un Trabajo Final Integrador por
grupo, preferentemente de 3 integrantes.
El trabajo final, al igual que los parciales, sólo serán
válidos durante la correspondiente cursada.
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Software para la asignatura
Entorno Integrado de Desarrollo GEANY *
Lenguaje FORTRAN (95/08) GFORTRAN *
Librerías especializadas BLAS * y LAPACK *
Gráficos y visualización de datos GNUPLOT *
(*) Software Libre.
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GEANY Integrated Development Environment
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GFORTRAN Compilador y Bibliotecas
BLASBasic Linear Algebra Subprograms
LAPACKLinear Algebra Package
GFORTRAN
GNU FORTRAN
Compilador FORTRAN
Bibliotecas de Funciones Especializadas
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GNUPLOT Visualización de Resultados
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Sistemas Operativos Libres
Existe una amplia variedad de Sistemas Operativos Libres
GNU/Linux. (Se denominan Distribuciones)
Ubuntu es una excelente opción, si desean una instalación
sencilla.
Una vez instalado, le pueden cargar los programas que
usamos en la asignatura, Geany, GFortran, GnuPlot, etc.
Si no desean instalar nada, pueden usar la distribución SLAX.
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Sistema Operativo SLAX
SLAX es un Sistema
Operativo Libre, derivado de
Slackware.
No requiere instalación.
Adaptado para nuestros
requerimientos.
Posee todos los programas
necesarios para el estudio
de nuestra asignatura.
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Cómo obtengo dichas herramientas ?
Un CD auto-arrancable (LIVE CD) basado en la distribución SLAX, se encuentra a disposición de los alumnos, así como una versión para USB (ver enlaces en la página de novedades de la asignatura).
Es de destacar que tanto la copia como la distribución de Software Libre es totalmente legal.
Por esta razón, nuestra cátedra se encuentra fuertemente comprometida en el proceso de utilización, difusión y distribución de Software Libre, sobre todo en lo referente a las herramientas necesarias para la resolución de problemas en sus clases prácticas.
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Qué significa Software Libre ?
NOT
FREE AS IN
Un Software es Libre, si respeta las 4 Libertades
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Otras fuentes de información
En la página de la asignatura http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis
encontrarán enlaces con información sobre algunos temas,
bibliografía y novedades sobre fechas y horarios de consultas,
exámenes, etc.
Existe una lista de correo electrónico a la que pueden
suscribirse en http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/lista/lista.htm para
enviar consultas sobre temas de la asignatura.
Consulten la página de FAQs. (Preguntas muy frecuentes)
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Temas a tratar
Introducción al Análisis Numérico.
Errores Numéricos.
Representación de Números en Punto Flotante.
Errores en las Operaciones.
Introducción a FORTRAN.
Estructuras de Decisión y Repetición.
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Para qué sirve el Análisis Numérico ?
El Análisis Numérico nos permite abordar aquellos problemas que son extremadamente complicados, cuando no imposibles de resolver en forma analítica.
El principal objeto de estudio consiste en analizar diferentes métodos de resolución, para elegir el más adecuado para resolver cada problema en particular, y así lograr una solución con la exactitud requerida.
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Que se estudia en Análisis Numérico ?
En el Análisis Numérico es muy importante el estudio de los errores, ya sean estos, de representación, de modelado ó inherentes a los métodos aplicados.
La elección del algoritmo y del modelo matemático tienen gran influencia en el proceso de cálculo y el modo en que debemos interpretar los resultados obtenidos.
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Qué son las Soluciones Numéricas ?
A diferencia de las soluciones analíticas, no se espera que las soluciones numéricas sean exactas. Sino que podemos elegir la grado de aproximación de la solución, en función de nuestros requerimientos.
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Tipos de Error
Error de formulación del Modelo Matemático.
Error inherente al algoritmo. (Error sistemático)
Error de redondeo o truncamiento.
Error de representación numérica.
Error de las operaciones. (Error de
propagación)
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Error Absoluto
Dado un número exacto x y un número aproximado X, el cual difiere ligeramente de x, llamamos error absoluto Δ(X) a:
X =∣x−X∣≤ X
Cota de Error AbsolutoCota de Error Absoluto
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Error Relativo
El error relativo de un número aproximado X, es la relación entre el error absoluto Δ(X) del número y el valor absoluto del número “exacto” x , para x ≠ 0.El error relativo permite independizar el error, de la magnitud de los valores.
δ(X )=∣x−X∣
∣x∣≤δX
Cota de Error RelativoCota de Error Relativo
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Truncamiento
Truncar un número decimal x en el dígito correspondiente a 10d de su representación decimal consiste en reemplazar todos los dígitos a su derecha por ceros.
π=3,14159265358979323846...
T7=3,1415926
Valor truncado en el 7mo. decimal
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Redondeo
Redondear un número x>0 en el dígito 10-d consiste en truncar el valor (x + 0.5 10-d).
Si x<0 al redondear quedará como –|x| redondeado.
=3,14159265358979323846...
R7=3,1415927
Valor redondeado en el 7mo. decimal
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Dígitos Significativos
El dígito más significativo de un número real x no nulo, es el dígito no nulo más a la izquierda de su expansión decimal.
Todos los dígitos, incluyendo los ceros a la derecha del dígito más significativo, son significativos y el último desplegado se llama dígito menos significativo.
Los ceros a la izquierda del dígito más significativo, no son significativos.
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Ejemplo de Dígitos Significativos
0,00724100
Cifras no significativas Cifras significativas
Dígito más significativo
Dígito menos significativo
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Dígitos Significativos Exactos
Definición: Si X es un valor aproximado de un valor exacto x, se dice que X aproxima a x hasta el k-ésimo dígito significativo, si:
También se dice que X posee k dígitos significativos exactos.
∣X−x∣ < 5⋅10−k⋅∣x∣
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Dígitos Significativos Exactos
La exactitud de los dígitos significativos puede expresarse en función de su error relativo.
δ(x) < 5⋅10−k
O escrito de otra forma:
∣X−x∣∣x∣
< 5⋅10−k
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Dígitos Significativos Exactos
Ejemplo: ¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el nro. aproximado 3.1416 con respecto al valor exacto 3.141592654 ?
δ(x) = 2,338⋅10−6 < 5⋅10−6
Por lo tanto, podemos ver que :
δ(x)=∣3,14159254−3,1416∣
3,141592654=2,338⋅10−6
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Error de Representación
No siempre es posible almacenar en una computadora los valores exactos.
La representación aproximada de los valores exactos se suele denominar números de máquina.
La diferencia entre el valor exacto y su representación se denomina error inherente a la representación, ó simplemente error de representación.
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Error de Representación
Representación de los Números Reales
0 +∞∞
0
Máximo Positivo
MáximoNegativo
MínimoPositivo
MínimoNegativo
Representación Numérica en Computadora
ValoresRepresentados
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Error de Representación
Una variable de tipo REAL de 4 bytes (32 bits), posee los siguientes rangos:
Máximo Positivo: 3.4028235E+38Máximo Negativo: -3.4028235E+38
Mínimo Positivo: 1.1754944E-38Mínimo Negativo: -1.1754944E-38
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Representación Numérica
Los números reales se almacenan en la computadora en forma binaria, como números de punto flotante. ( Signo, Mantisa y Exponente )
Actualmente la mayoría de las computadoras representa los valores numéricos de acuerdo a la definición del IEEE-754 Floating Point Numbers Standard.
Un número real de simple precisión ocupa 32 bits, mientras que uno de doble precisión ocupa 64 bits de memoria.
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Números en Punto Flotante
Un número de máquina consta de 3 partes:
SIGNO
EXPONENTE
MANTISA
SIGNO EXPONENTE MANTISA
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Conversión de Decimal a Binario
Conversión de un número decimal con |x| > 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 23
23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1
(10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 =
= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23)10
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Conversión de Decimal a Binario
Conversión de un número decimal con |x| < 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 0.125
(0.001)2 = 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =
= 0 + 0 + 0.125 = (0.125)10
0.125 x 20.25 x 20.5 x 21.0
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Conversión de Decimal a Binario
No siempre un nro. decimal exacto puede convertirse en un nro. binario exacto. Ejemplo: x = 0.1
0.1 x 20.2 x 20.4 x 20.8 X 21.6
0.6 x 21.2
0.2 x 20.4 x 20.8 x 21.6
Continúo con laparte fraccionaria
Continúo con laparte fraccionaria
(0.1)10
= (0.000110011001100......)2
Número Binario Periódico
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Representación en Punto FlotanteRepresentación del valor 0.15625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard
SIGNO EXPONENTE MANTISA
(−1)SIGNO
∗(1.MANTISA)2∗2(EXPONENTE−127)
−10∗1.012∗2124−127
1∗1.2510∗2−3=
1.258
=0.15625
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Representación en Punto Flotante
SIGNO EXPONENTE MANTISA
−1SIGNO
∗1.MANTISA 2∗2EXPONENTE−127
−11∗1.1101101012∗2133−127
−1∗1.85351562510∗26=1.853515625∗64=−118,625
Representación del valor -118.625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard
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NaN - Not a Number
Operaciones en las que al menos un operando es un NaN.
Indeterminaciones
Operaciones con números reales que dan como resultado un valor complejo.
Existen tres casos de operaciones que generan NaN:
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NaN - Indeterminaciones
Las divisiones 0/0 y ±∞/±∞Las multiplicaciones 0×±∞ y ±∞×0Las sumas ∞ + (−∞), (−∞) + ∞ y las restas equivalentes.El standard, posee además funciones alternativas para el cálculo de potencias:La función pow standard y el exponente entero pown definen 00, 1∞, and ∞0 as 1.La función powr define a las tres formas indeterminadas anteriores como operaciones inválidas y por lo tanto retorna NaN.
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NaN - Operaciones con Reales
La raíz cuadrada de un número negativo.
El logaritmo de un número negativo.
La inversa del seno o coseno de un número que es menor que −1 o mayor que +1.
Operaciones con Reales que dan como resultado un valor complejo:
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Error producido al calcular una Función
Se dice que el cálculo del valor de una función f(x) está bien condicionado (o es numéricamente estable), si la exactitud hallada en el valor calculado f(x) es aproximadamente igual a la de x.
En el caso contrario, se dice que el cálculo del valor de una función está mal condicionado, o bien que f(x) está mal condicionada.
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Condicionamiento de una Función
¿Qué variación porcentual en f(x) = ex resultará de un cambio del 1% en x ?
Para x = 0,1; x = 10 y x = -10
0,01x %
0,1 1,1051709 0,001 1,1062766 0,0010005 0,10%
10 22026,466 0,1 24343,009 0,1051709 10,52%
-10 4,54E-005 -0,1 4,11E-005 0,0951626 9,52%
x ex ex+0,01x δ(eX)
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Nro. de Condición de una Función
∣δ f (X )∣≈C∗∣δ X∣
C=∣X∗f ' X ∣
∣f X ∣
Siendo el Número de Condición C:
El error relativo de una función es proporcional al error relativo de la variable:
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Nro. de Condición de una Función
∣δ f (X )∣≈C⋅∣δ X∣=10⋅∣0.01∣=0.1≈10 %de X
C=∣X⋅f ' (X )∣
∣f (X )∣=
∣10⋅eX∣
∣eX∣
=10
Número de condición de ex (para x = 10):
Por lo tanto:
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Errores en las Operaciones
Adición Insignificante.
Cancelación Sustractiva.
Amplificación del Error.
Redondeo Escondido.
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Adición Insignificante
La adición insignificante se produce cuando se suman o restan dos números de magnitudes muy diferentes entre sí.
Esto produce que el valor resultante sea aproximadamente igual al mayor de los valores, siendo el menor valor, prácticamente despreciado.
Por ejemplo, la suma de una serie cuyos términos vayan reduciendo su valor, hará que a medida que la suma crezca, los términos más pequeños no alterarán el resultado.
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Cancelación Sustractiva
La cancelación sustractiva ó catastrófica, se produce cuando se restan dos valores muy similares entre sí.
Esto hace que la diferencia entre los valores exactos, sea muy diferente a la diferencia entre los valores representados, resultando en un error realmente devastador
Un ejemplo se presenta al intentar hallar los valores de las raíces de una ecuación de segundo grado.
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Amplificación del Error
La amplificación del error se produce cuando se multiplica un valor por un número muy grande, ó cuando se lo divide por un número muy pequeño.
En ambos casos el error inherente de representación aumenta considerablemente.
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Redondeo Escondido
Es el error en el k-ésimo dígito significativo de las operaciones de máquina, el mismo se produce aún cuando los valores se hallen redondeados correctamente a ks.
La acumulación de este error, en el último dígito significativo, se va produciendo lentamente.
Una estrategia para minimizar la propagación de errores es minimizar la cantidad de operaciones.
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Programación en FORTRAN
FORTRAN FORTRAN
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Lenguaje FORTRAN
FORTRAN es un lenguaje de programación de alto nivel de propósito general, procedural e imperativo, que está especialmente adaptado para el cálculo numérico y la computación científica. Su nombre hace referencia al Mathematical Formula Translating System, desarrollado originalmente por IBM en 1957 para el equipo IBM 704. Siendo ampliamente utilizado desde entonces en aplicaciones científicas y de ingeniería.
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John Backus
John Backus (Filadelfia, 3 de diciembre de 1924 - Oregón, 17 de marzo de 2007) dirigió el proyecto de IBM que dió origen al Lenguaje FORTRAN.
En 1977 ganó el Turing Award por sus trabajos en sistemas de programación de alto nivel, en especial por su trabajo con FORTRAN.
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Tipos de Datos en FORTRAN
INTEGER
REAL
COMPLEX
LOGICAL
CHARACTER
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INTEGER
El tipo de datos INTEGER se utiliza para almacenar valores enteros.
Su rango de valores posibles está determinado por la cantidad de bytes establecida.
Un INTEGER de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:
–2147483648 a 2147483647
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REAL
El tipo de datos REAL se utiliza para almacenar valores reales.
Un REAL de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:
1.1754944E–38 a 3.4028235E+38
-3.4028235E+38 a -1.1754944E–38
y de
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LOGICAL
El tipo de datos LOGICAL se utiliza para
almacenar valores lógicos.
Sólo pueden almacenarse dos posibles
valores, .TRUE. y .FALSE.
FORTRAN está preparado para realizar
operaciones lógicas con este tipo de datos,
utilizando operadores lógicos, .AND. , .OR. ,
.NOT., etc.
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COMPLEX
El tipo de datos COMPLEX se utiliza para
almacenar números complejos.
El mismo consiste en un par ordenado de
números reales.
FORTRAN está preparado para realizar
operaciones complejas con este tipo de
datos en forma totalmente transparente
para el programador.
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CHARACTER
El tipo de datos CHARACTER se utiliza por lo
general para almacenar letras ó palabras.
Si no se especifica el tamaño asume que se
trata de un sólo caracter.
Para almacenar palabras ó frases es necesario
especificar la cantidad de caracteres, para
reservar el espacio de memoria necesario.
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Los operadores intrínsecos se utilizan para operar sobre los tipos de datos intrínsecos.
ARITMETICOS:
RELACIONALES:
Operadores Intrínsecos
.EQ. .NE. .GT. .GE. .LT. .LE. == /= > >= < <=
SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN POTENCIA + - * / **
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Estructura de un programa FORTRAN
[ PROGRAM nombre del programa ]
[ sección de especificación]
[ sección ejecutable]
[ sección de sub-programas internos]
END [ PROGRAM [ nombre de programa ] ]
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Consejos de Programación
SI PROGRAMAN SIN CREAR UN PROYECTO, HAY TABLA.
SI NO ESCRIBEN COMENTARIOS EN EL PROGRAMA, HAY TABLA.
SI LOS NOMBRES DE LAS VARIABLES NO TIENEN SENTIDO, HAY TABLA.
SI LOS NOMBRES DE LAS FUNCIONES NO TIENEN SENTIDO, HAY TABLA.
SI NO USAN PARÁMETROS EN SUBRUTINAS Y FUNCIONES, HAY TABLA.
SI NO UTILIZAN LAS BIBLIOTECAS BLAS Y LAPACK, HAY TABLA.
SI UNA FUNCIÓN NO DEVUELVE AL MENOS UN VALOR, HAY TABLA.
SI NO UTILIZAN LOS TIPOS DE DATOS CORRECTOS, HAY TABLA.
SI USAN UN PROGRAMA QUE NO ENTIENDEN, HAY TABLA.
SI NO USAN SUBRUTINAS Y FUNCIONES, HAY TABLA.
SI PROGRAMAN “SPAGHETTI CODE”, HAY TABLA.
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IF
IF (a < b ) THEN aux = a a = b b = auxEND IF
Ejemplo:
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IF ELSE
Ejemplo:
IF (leftCornerX < 0) THEN leftCornerX = 0ELSE aux = leftCornerX leftCornerX = rightCornerX rightCornerX = auxEND IF
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IF ELSE IF
IF (kWatts < 50) THEN costo = 30ELSE IF (kWatts < 100) THEN costo = 20+ 0.5*kWattsELSE IF (kWatts < 150) THEN costo = 15+ 0.3*kWattsELSE IF (kWatts < 200) THEN costo = 5+ 0.2*kWattsELSE costo = 0.15*kWattsEND IF
Ejemplo:
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SELECT CASE
Ejemplo: SELECT CASE (kWatts) CASE (:49) costo = 30 CASE (50:99) costo = 20 + 0.5*kWatts CASE (100:149) costo = 15 + 0.3*kWatts CASE (150:199) costo = 5 + 0.2*kWatts ELSE costo = 0.15*kWattsEND SELECT
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DO
Ejemplo:DO fila=1, maxFilas, 2 DO col=1, maxCols, 3 matriz(fila, col) = fila+2*col END DOEND DO
Ejemplo:
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DO WHILE
Ejemplo:
DO WHILE (sigue /= 'n') WRITE (*, 'Desea continuar ?') READ(*,''), sigueEND DO
Ejemplo:
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CUESTIONES PARA INVESTIGAR...
¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el número aproximado 0.0027 con respecto al número exacto 0.00265 ?
¿ Cuál es el número más cercano a 2.0, que puede almacenarse en una variable REAL(8) ? ¿Por qué ?
¿ Qué significan estas sentencias en FORTRAN ? CEILING, CMPLX, CONJG, DBLE, DIGITS, EPSILON, FLOOR, HUGE, INT, PRECISION, REAL, SPACING, TINY.
¿ Por qué la representación de números en punto flotante normalizado es discreta ?
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PREGUNTAS ...