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Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 4

Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sistemas de EDOs de 1er. Orden.

Transformación de EDOs de orden n.

Resolución de Sistemas de 1er. Orden.

Estabilidad del método de Runge-Kutta (4to.)

Estrategias de ajuste del paso h.


Sistemas de EDOs de 1er. orden

Infinidad de problemas de diversas áreas del conocimiento como la física, la química, la biología, la economía, la ingeniería, etc. se expresan a menudo en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Estas ecuaciones pueden estar relacionadas entre sí, por lo que conforman sistemas de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales de orden n, pueden transformarse en sistemas de ecuaciones de primer orden, para su resolución.


Ejemplo de Sistemas de EDOs

El modelo SIR, desarrollado por el químico escocés William Ogilvy Kernack y el matemático A.G. McKendrick , modela la evolución de una enfermedad infecto-contagiosa.

dSdt

=−⋅I⋅S

dIdt

=⋅I⋅S−v⋅I

dRdt

=v⋅I

MODELO SIREl modelo divide a la población en individuos suceptibles de ser infectados, individuos infectados e individuos recuperados de la enfermedad.

SUCEPTIBLE

RECUPERADO

INFECTADO


Ejemplo de Sistemas de EDOs

En el año 1978 en la revista científica British Medical Journal se publicaron los datos de un brote de gripe en un internado del norte de Inglaterra que se extendio del 22 de enero al 4 de febrero, infectando a 512 de las 763 personas que allí estudiaban.

Debido a que en este caso concreto se cuenta con datos reales y la cantidad de individuos permanece constante, es un escenario ideal para corroborar la exactitud del modelo SIR para predecir la evolución de la infección.

Precisamente para este caso en particular se han determinado los siguientes valores: v = 0.4477 y β = 0.0022.


Ejemplo de Sistemas de EDOsEn este caso los valores iniciales son:Individuos Infectados: I

0 = 1,

Individuos Suceptibles: S0 = 762,

Individuos Recuperados: R0

= 0


EDOs de orden n

dn y

dxn =f x , y ,dydx

,d2 y

dx2, ,dn−1 y

dxn−1

y∣x=x0= y0

dydx ∣

x=x0

= y ' 0

d(2) y

dx2 ∣x=x0

= y ' '0

………………

d(n−1) y

dxn−1 ∣x=x0

= y0(n−1)

Una EDO de orden n puede transformarse en un sistema de n ecuaciones de primer orden.

CONDICIONESINICIALES


dn y

dxn =f x , y ,dydx

,d2 y

dx2, ,dn−1 y

dxn−1 =f x , y , p , q , , w

dydx

= y '= p

d2 y

dx2 = y ' '=p '= q

dn−1 y

dxn−1=z '= w

Las EDOs de orden n se transforman en sistemas de n ecuaciones de primer orden para poder resolverlas con los métodos ya vistos.

Sustituimos cada derivada por una nueva variable.

Algoritmo de transformación


y ' ' 'x⋅y ' '−x⋅y '−2⋅y=xx0=0 ; y x0

= y ' ' x0=0 ; y ' x0

=1

y '= pp '= qq '= x−x⋅qx⋅p2⋅y

Sustituimos cada derivada por una nueva variable.

Ecuación diferencial de orden 3

Sistema de 3 ecuaciones diferenciales de 1er. orden

Ejemplo (I)


Ejemplo (II)

La fuerza de atracción gravitatoria que experimenta un cuerpo que se mueve en el espacio rodeado por otros cuerpos, puede describirse por medio de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden.

mi⋅∂

2qi

∂ t 2 =∑i=1i≠ j

n −G⋅mi⋅m j⋅(qi−q j)

r i , j3

r i , j=∥qi−q j∥

Siendo :


Ejemplo de aplicación

Calcular la trayectoria de un cometa que se desplaza en la proximidad de un planeta, considerando la siguiente ecuación diferencial, que considera despreciables a las fuerzas inducidas por otros cuerpos más lejanos ó con masas mucho más pequeñas.

m2⋅∂

2 qi

∂ t2 =−G⋅m1⋅m2⋅(q1−q2)

r1,23

Este modelo es particularmente interesante, ya que en el caso de 3 ó más cuerpos, que interactúan gravitatoriamente entre sí, no es posible calcular, en forma analítica, la solución a este problema.


Trayectoria del CometaEn este caso, la posición del planeta no permanece fija, sino que posee un leve desplazamiento circular.


M 1⋅y ' '1+B1⋅y '1+k1⋅y1−B1⋅y '2−k 2⋅y2=F1(t)−B1⋅y '1−k1⋅y1+M 2⋅y ' '2+B1⋅y '2+(k1+k2)⋅y2=0

Sistema de 2 ecuaciones diferenciales de orden 2

Sistema Masa – Resorte - Amortiguador

Resolución completa de un problema


M 1⋅y ' '1B1⋅y '1k1⋅y1−B1⋅y '2−k2⋅y2=F1t −B1⋅y '1−k1⋅y1M 2⋅y ' '2B1⋅y '2k1k2⋅y2=0

y1 '= v1

v1 '=F1 t −B1⋅v1B1⋅v2−k1⋅y1k2⋅y2

M1

y2 '= v2

v2 '=B1⋅v1k1⋅y1−B1⋅v2− k1k2⋅y2

M2


Sistema de 4 ecuaciones diferenciales de 1er. orden

Transformación del Ejemplo (II)


1

v = t y1

v1

y2

v2

v(0) v(1) v(2) v(3) v(4)

vp = y'1

v'1

y'2

v'2

vp(0) vp(1) vp(2) vp(3) vp(4)

Vector de variables

Vector de derivadas

La utilización de vectores simplifica notablemente la implementación de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.

Implementación con vectores


1

v = t y1

v1

y2

v2

v(0) v(1) v(2) v(3) v(4)

vp = y'1

v'1

y'2

v'2

vp(0) vp(1) vp(2) vp(3) vp(4)

Vector de variables

Vector de derivadas

y1 '= v1

v1 '=F1 t −B1⋅v1B1⋅v2−k1⋅y1k2⋅y2

M1

y2 '= v2

v2 '=B1⋅v1k1⋅y1−B1⋅v2− k1k2⋅y2

M2

Implementación con vectores (II)


1

v = t y1

v1

y2

v2

v(0) v(1) v(2) v(3) v(4)

vp = y'1

v'1

y'2

v'2

vp(0) vp(1) vp(2) vp(3) vp(4)

Vector de variables

Vector de derivadas

vp(1)= v (2)

vp(2)=F1(v (0))−B1⋅v (2)+B1⋅v (4)−k1⋅v (1)+ k2⋅v (3)

M1

vp(3)= v (4)

vp(4)=B1⋅v (2)+k1⋅v (1)−B1⋅v (4)−(k1+k2)⋅v (3)

M 2

Implementación con vectores (III)


Definición de la Función Derivada

MODULE sistema_MRA! Cantidad de Ecuaciones del SistemaINTEGER, PARAMETER :: cant_ec = 4

CONTAINS

FUNCTION v_prima(v)! Definición del Sistema de Ecuaciones DiferencialesREAL(8), PARAMETER :: m1=1.0, m2=0.05, k1=5.0, k2=5.0, b1=1.0REAL(8), DIMENSION(0:cant_ec) :: v, v_prima

v_prima(0) = 1.0 v_prima(1) = v(2) v_prima(2) = (-b1*v(2)+b1*v(4)-k1*v(1)+k2*v(3))/m1 v_prima(3) = v(4) v_prima(4) = (-b1*v(4)+b1*v(2)-k1*v(3)+k1*v(1)-k2*v(3))/m2 END FUNCTION v_prima

END MODULE


Solución Euler Simple (h=0.1)


Solución Euler Modificado (h=0.1)


Solución Runge-Kutta 4to. Orden (h=0.1)


Runge-Kutta-Fehlberg (h=0.1)


Estabilidad en Runge Kutta (4to.Orden)

Para analizar la estabilidad del método de Runge-Kutta de 4to. orden, consideremos por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial:

y '=α⋅y

y t = y0⋅e⋅t Cuya solución analítica es:

Donde α < 0

yn1= yn⋅e⋅hSiendo el valor exacto de yn+1

:

Por lo tanto el valor de | yn+1

| decrece a medida que aumenta n.

[2]

[1]


k1=α⋅h⋅yn

k2=α⋅h⋅( yn+k1

2) =α⋅h⋅(1+

α⋅h2

)⋅yn

k3=α⋅h⋅( yn+k2

2) =α⋅h⋅(1+

α⋅h2

⋅(1+α⋅h2

))⋅yn

k4=α⋅h⋅( yn+k3) =α⋅h⋅(1+α⋅h2

⋅(1+α⋅h2

⋅(1+α⋅h2

)))⋅yn

yn+1=[1+α⋅h+12⋅(α⋅h)2+

16⋅(α⋅h)3+

124

⋅(α⋅h)4]⋅yn

La solución numérica de la ecuación diferencial , obtenida por medio del método de Runge-Kutta de 4to. Orden se puede expresar como:

y '=α⋅y

[3]



La ecuación [3], expresada en la página anterior es igual a los primeros términos del desarrollo de Taylor para el lado derecho de la ecuación [2].

Así podemos considerar que el factor:

δ=[1+α⋅h+12⋅(α⋅h)

2+

16⋅(α⋅h)

3+

124

⋅(α⋅h)4] [4]

aproxima a de la ecuación [2], por lo que en esta aproximación se originan tanto el error de truncamiento, como la inestabilidad de la ecuación [3].

eα⋅h



Runge Kutta (h=0.05)


Runge-Kutta (h=0.1)


Runge-Kutta (h=0.15)


Runge-Kutta (h=0.2)


Runge-Kutta (h=0.2) Intervalo [0, 1]


M 1⋅y ' '1+B1⋅y '1+k1⋅y1−B1⋅y '2−k 2⋅y2=F1(t)−B1⋅y '1−k1⋅y1+M 2⋅y ' '2+B1⋅y '2+(k1+k2)⋅y2=0


Sistema Masa – Resorte - Amortiguador

Analicemos otro ejemplo


Estabilidad en Runge-KuttaLa solución obtenida con h=0.14 es bastante satisfactoria.


Estabilidad en Runge-KuttaEn la solución obtenida con h=0.16 se observa un principio de inestabilidad en los valores de la velocidad de la Masa 2.


Estabilidad en Runge-KuttaEn la solución obtenida con h=0.18 la inestabilidad en los valores de la velocidad de la Masa 2, se hace más evidente.


Estabilidad en Runge-KuttaEn la solución obtenida con h=0.19 la inestabilidad en los valores de la velocidad de la Masa 2, se hace más evidente.


Estabilidad en Runge-KuttaEn la solución obtenida con h=0.195 la inestabilidad en los valores de la velocidad de la Masa 2, está presente en todo el intervalo.


Estabilidad en Runge-KuttaEn la solución obtenida con h=0.197 la inestabilidad hace que los valores de la velocidad de la Masa 2 crezcan incontrolablemente.


Estrategias de ajuste del paso h

La exactitud de los métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales depende fuertemente del paso h elegido.

Existen diferentes estrategias para ajustar automáticamente el paso h y de esta forma mantener el error de la solución por debajo de una cierta tolerancia establecida.


Estimación del Error

ERRORESTIMADO

x1

xn

yn+1

yn

h

y*n+1

h/2 h/2

Valor calculado en un solo paso h.

Valor calculado en dos pasos h/2.

En aquellos métodos que no tienen una fórmula específica para la estimación del error, es posible estimarlo por medio de la diferencia del valor calculados con un paso de avance h y del obtenido al avanzar dos pasos h/2.


Estrategia de ajuste 1

Se calcula el valor yn+1

utilizando un paso de avance h.

Se calcula el valor y*n+1

utilizando dos pasos de avance h/2.

Si el valor absoluto de la diferencia entre ambos valores es mayor a la tolerancia establecida, entonces se establece h/2 como nuevo valor de h y se vuelve al paso 1.

Si el valor absoluto de la diferencia entre ambos valores es menor a la mitad de la tolerancia establecida, entonces se establece 2*h como nuevo valor de h y se vuelve al paso 1.


Diagrama de Flujo de la estrategia 1

CALCULAR YN+1

CON UN PASO h

CALCULAR Y*N+1

CON DOS PASOS h/2

|YN+1

– Y*N+1

| > tol

|YN+1

– Y*N+1

| < (tol / 2)

HACER h=h/2

HACER h=2*h

SI

NO

SI

NO


Variación del error con la Estrategia 1El paso se reduce de ser necesario, pero nunca se aumenta.


Variación del paso h con la Estrategia 1El paso se reduce de ser necesario, pero nunca se aumenta.


Variación del error con la Estrategia 1El paso se reduce o se aumenta para lograr la cota de error deseada.


Variación del paso h con la Estrategia 1El paso se reduce o se aumenta para lograr la cota de error deseada.


Estrategia de ajuste 2

A partir de una estimación del error obtenida por medio de un método como por ejemplo Runge-Kutta-Fehlberg, podemos ajustar el valor de h, en cada paso.

hnuevo=hactual⋅∣tol problema

RKF∣

El valor de α se ajusta en base a la relación entre el valor estimado del error y la tolerancia establecida.


Diagrama de la estrategia 2

tol >= errorRKF

SI

NOHACER α=0.2

HACER α=0.22

h=h∗∣tol

error RKF

∣


Variación del error con la Estrategia 2El paso se ajusta de acuerdo al valor de error calculado.


Variación del paso h con la Estrategia 2El paso se ajusta de acuerdo al valor de error calculado.


Comparación de ambas estrategias


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