MATEMÁTICAS

1º BACHILLER CIENCIAS

IES LOS CARDONES

2015-2016

PLAN DE RECUPERACIÓN

Contenidos Mínimos

BLOQUE DE APRENDIZAJE I: PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

BLOQUE DE APRENDIZAJE II: NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Identificar y utilizar los números reales sus operaciones y propiedades y resolver problemas de la vida

cotidiana, valorar las soluciones obtenidas, analizar su adecuación al contexto y expresarlas según la

precisión exigida; además, conocer y utilizar los números complejos y sus operaciones para resolver

ecuaciones de segundo grado. Resolver problemas contextualizados mediante el planteamiento y

resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones.

BLOQUE DE APRENDIZAJE 3: ANÁLISIS

Identificar y analizar las funciones elementales, dadas a través de enunciados, tablas, gráficas o

expresiones algebraicas, que describan una situación real, a partir de sus propiedades locales y globales, y

después de un estudio completo de sus características para representarlas gráficamente y extraer

información práctica.

Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos en el cálculo de límites y el

estudio de la continuidad de una función en un punto o un intervalo

BLOQUE DE APRENDIZAJE 4: GEOMETRÍA

Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble, mitad, y las transformaciones, los teoremas

del seno y coseno, y las fórmulas trigonométricas para aplicarlas en la resolución de ecuaciones, de

triángulos o de problemas geométricos del mundo natural, artístico, o tecnológico.

Utilizar los vectores en el plano, sus operaciones y propiedades, para resolver problemas geométricos

contextualizados, interpretando los resultados; además, identificar y construir las distintas ecuaciones de

la recta

FECHA DE ENTREGA → 01 de Septiembre de 2016

ALUMNO/A: ___________________________________________________________ Curso: ______________

1. Un empresario nos encarga pintar la parte alta de una nave industrial que posee. El plano que nos envía es el siguiente:

Zona A

Material: 1 l cubre 10 𝑚2. Bote de 20 l. Precio: 93€ Mano de obra: Un 1 𝑚2 cuesta:

3,2€

Zona B

Material: 1 l cubre 10 𝑚2. Bote de 20 l. Precio: 120€ Mano de obra: Un 1 𝑚2 cuesta:

4,066666666..€

Completa la siguiente factura, con la mayor exactitud posible: (indica todos los cálculos que realices)

Cantidad Precio Unidad Descripción Total

PINTURA ZONA A

MANO DE OBRA ZONA A

PINTURA ZONA B

MANO DE OBRA ZONA B

TOTAL……….

2. Clasifica los siguientes números:

N Z Q I R C

√81

−√−273

√−81

e

−3,25

3. La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 × 102 segundos

en llegar a la Tierra . ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra? (realiza todos los cálculos en notación científica)

4. Realiza: a) Escribe en forma de intervalo Ent(-4;0,3). b) Encuentra el centro y el radio del siguiente entorno: (0,10)

5. Completa el siguiente cuadro:

Intervalo Desigualdad Significado Gráfico

[-3,12)

Todos los número reales mayores o iguales que 3,2

Entorno de: centro 6 y radio 1,4.

6. Hay 89,51 km de distancia entre Santa Cruz de Tenerife y Las Palmas de Gran Canaria. La banda del campo de fútbol de Granadilla mide 93,5 m. Hemos pedido a 1º A que busque cual es la distancia entre Tenerife y Las Palmas, han encontrado un folleto en una agencia de viajes que pone 88 Km. 1º B tenía que medir el campo y nos han dicho: 91,5 m. ¿Quién ha realizado una mejor medida? (explícalo)

7. Opera y simplifica:

a) √𝑥3√𝑥√𝑥53

=

b) 5

√3−√2+

2

√3−√5−

8√3

2=

c) √323

∙ √334

√36

d) √375

3− 2√3

3− √24

3=

8. Calcula:

a) log𝑥 0,04 = −2

b) log3√813

9=

9. Sabiendo que log A= -0,1 y log B= 0,1. Calcula:

a) ln(− log𝐴

log𝐵)

b) log √𝐴2∙𝐵33

1000 + 3

10. Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, estaba muy deprimido por haber perdido a su hijo en una batalla. Un sabio de su corte llamado Sissa Ben Dahir le llevó el juego del ajedrez para animarlo y le enseñó a jugar. El rey Shirham, quedó tan impresionado con el juego que se ofreció a regarle a su inventor lo que pidiera como recompensa.

Así, el inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última. El rey extrañadísimo de lo poco con lo que se conformaba ordenó que le dieran lo que pedía, pero cuando sus contables echaron cuentas, vieron asombrados, que no había trigo en el reino, ni siquiera en toda la tierra para juntar esa cantidad. ¿De qué cantidad estamos hablando? ¿Ante qué tipo de progresión estamos?

11. Indica, en las siguientes sucesiones, cuales son aritméticas y cuales geométricas. Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las siguientes sucesiones (término general):

a) 11, 9, 7, 5, ... b) 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , ... c) 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , ... d) 2,5 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,7 ; .. e) 0, 3, 8, 15, .

12. Calcula los 10 primeros términos de la siguiente sucesión: {𝑎1 = 𝑎2 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2

13. En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 metros de la pantalla y la octava fila está a 16 metros. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la pantalla a una distancia de 25 metros?.

14. El número inicial de moscas de una población es de 50 y cada tres días el número de moscas se duplica, ¿cuántas moscas habrá a los 30 días?

15. Conociendo el primer término de un P.A. es 3, cierto término es 39 y que la suma de todos estos términos es 210, calcula la diferencia y el lugar que ocupa el término 39.

16. ¿Cuánto es la suma de los infinitos términos de la sucesión: 6, 3, 3/2, 3/4...? 17. Calcula el límite de las siguientes sucesiones (indica como lo calculas).

a) an = 3n2

1−n2 b) bn =

n−4

2n2+5𝑛 c) cn = √

4n2+1

n2−1

18. Realiza las siguientes operaciones:

a) 3√2

√5−√2−

1

√10+3=

b) √27∙√33

∙ √94

√813 =

19. Calcula el valor de “x”: a) log𝑥 32 = −5

b) log7 343 = 𝑥

20. Sabiendo que log 2 = 0,30 , calcula: log√235

4000∙ ln 𝑒2

21. Toma un folio y dóblalo por la mitad. Obtienes dos cuartillas que juntas tendrán un grosor doble del grosor del folio. Ahora dobla nuevamente las dos cuartillas y obtienes cuatro octavillas, con un grosor cuádruple que el del folio. Si la hoja inicial tuviera un grosor de 0,1 milímetros y fuese tan grande que pudieras repetir la operación 100 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante?

22. Calcula:

a) log1

2

1

√2

b) Sin usar calculadora, indica cuál es el valor de la siguiente expresión: log2√646

∙16

32∙ √5123

23. Calcula:

a) 2

√3−√2−

6

√5−√2−

4√3

2

b) √3753

− 2√33

− √243

=

c) √𝑥3√𝑥√𝑥53

=

24. Sabiendo que cos 78° =0,20, sin usar calculadora y justificando cada paso, calcula las razones trigonométricas de: 78° , 12° , 168° , 102° , 258° 𝑦 282°

25. En un triángulo se conoce 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑏 = 3 𝑐𝑚 𝑦 �̂� = 85° . ¿Cuántos triángulos hay con estos datos? (explica el porqué razonadamente)

26. Para calcular la altura de la torre Eiffel sin acceder hasta su base, una persona efectúa las medidas de los ángulos del dibujo en dos puntos A y B separados 180 m. ¿Cuánto mide la altura OP de la torre Eiffel?

27. [1 pto] Final femenina de fútbol once de los Juegos Deportivos Municipales de la ciudad de Madrid, y el equipo representante del colegio la disputa. Se produce un penalti en el último segundo del partido favorable al equipo de nuestro colegio y la capitana del equipo se dispone a tirarlo: ¡¡ SI LO METE EL COLEGIO SERÁ POR PRIMERA VEZ EN SU HISTORIA CAMPEÓN DE TAL EVENTO !!. La jugadora lanza el balón a ras del suelo, hacia su derecha y con un ángulo de 18° con respecto a la perpendicular que une el punto de penalti con la línea de gol y con la suficiente fuerza para que el balón no se pare antes de cruzar la línea de gol. La portera del equipo rival se lanza hacia el otro lado. ¿Ha sido gol? ¿Somos campeones? Justifica la respuesta.

49.- Dos observadores se encuentran a una distancia de 4 km. En el plano vertical que pasa

por ellos hay un globo, y cada uno de ellos lo ve bajo el ángulo que se indica en la figura

adjunta. Halla la distancia del globo a cada observador y la altura a la que está sobre el

suelo.

50.- Final femenina de fútbol once de los Juegos Deportivos Municipales de la ciudad de

Madrid, y el equipo representante del colegio la disputa. Se produce un penalty en el último

segundo del partido favorable al equipo de nuestro colegio y la capitana del equipo se

dispone a tirarlo: ¡¡ SI LO METE EL COLEGIO SERÁ POR PRIMERA VEZ EN SU

HISTORIA CAMPEÓN DE TAL EVENTO !!. La jugadora lanza el balón a ras del suelo, hacia

su derecha y con un ángulo de 18º con respecto a la perpendicular que une el punto de

penalty con la línea de gol y con la suficiente fuerza para que el balón no se pare antes de

cruzar la línea de gol. La portera del equipo rival se lanza hacia el otro lado. ¿Ha sido gol?

¿Somos campeones?

28. El ángulo bajo el cual se ve un barco desde un rascacielos mide 45°. Cuando el barco ha recorrido 140 m dicho ángulo es de 60°. Calcula la altura del rascacielos sobre el nivel del mar y la distancia del barco a la vertical del rascacielos en el momento de la segunda observación.

29.

Se llenan los cuadrados vacíos de la tabla de la figura de manera que los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales forman progresiones aritméticas. ¿Cuál debe ser el número x?

30. Hemos colocado un cable sobre un mástil, según la figura. ¿Cuánto miden el cable y el mástil? (No se puede aplicar el Teorema del Seno ni el del Coseno)

31. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛32° = 0,55. Calcula las razones trigonométricas de 58° , 122° , 148° 𝑦 212°.

sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora

32. Calcula la altura de la siguiente torre:

P10.- En una progresion aritmetica a3.a7 = -12 y a4 +a6 = -4 . Hallar el termino general y la suma de los 20 primeros terminos. P11.- Los tres primeros términos de una progresion aritmetica son a, 4, 3a. Hallar el termino general y la suma de los 30 primeros términos. Si la suma de los n primeros términos es 2550, halla n. P12.- En una progresion aitmetica la suam de los 10 primeros terminos es 140 y la suam de los diez primeros terminos impares es 125. Cuanto vale a6?

P13.- an es una progresion aritmetica y bn =

1

2

na

. Si b1+b2+b3 = 21/8 y b1.b2.b3=1/8 ,

calcula a8 P14.- Los 4 primeros terminos de una progresion aritmetica son a, x, b, 2x. Calcula el valor de a/b P15.- Los 4 primeros terminos de una progresion aritmetica son x+y , x-y , x.y y x/y en ese orden. ¿Cuál es el 5º termino?

P16.- Se llenan los cuadrados vacios de la tabla de la figura de manera que los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales forman progresiones aritméticas. ¿Cuál debe ser el número x?

33. Desde mi casa veo la fuente que está en el centro de la plaza mayor y también veo el

ayuntamiento, siendo el ángulo formado por dichas visuales 26º23'. La distancia desde mi casa a la fuente es de 40 m y la distancia de la fuente al ayuntamiento es de 30 m. ¿Qué distancia hay desde mi casa al ayuntamiento?

34. Sabiendo que 𝜋 2⁄ < 𝛼 < 3𝜋2⁄ 𝑦 sen α = 1/3 sin utilizar las teclas trigonométricas de la

calculadora a) Hallar el cuadrante y el resto de razones trigonométricas de 𝛼 b) Hallar el cuadrante y el valor del 𝑐𝑜𝑠2𝛼

c) Hallar el cuadrante y el valor del 𝑠𝑒𝑛(𝛼 2⁄ )

d) Hallar el cuadrante y el valor de 𝑡𝑎𝑔(𝛼 − 𝜋4⁄ )

35. Hallar el valor de la expresión 𝑠𝑒𝑛(

𝜋

2+𝑥)+cos(𝜋−𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝜋−𝑥)

cos(−𝑥)+𝑠𝑒𝑛(−𝑥)

36. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 =

37. Si sabemos que log 𝑘 = 0,9 , calcula: log 𝑘3

100 – log (100𝑘).

38. Calcula: log𝑥 0,04 = −2

39. Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse con sus estudios. Cada día es capaz de repartir 30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo día repartió 2.285 cartas:

a) ¿Cuántas cartas repartió el primer día? ¿Y el décimo? b) ¿En qué día repartió 2165 cartas? c) Calcula cuántas cartas repartió hasta el día 15.

40. Mi prima Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 4 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 4, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de mi prima, si se han compartido hasta el 5° grado de amistad?.

41. Desde un punto del suelo situado a 5 m de la base de un pedestal se ve la parte superior de éste bajo un ángulo de 30°, mientras que la parte superior de la estatua que descansa sobre él se ve bajo un ángulo de 45° (ver figura). Hallar la altura del pedestal y de la estatua.

42. Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37°. Hallar la altura del globo y la longitud del cable más extenso.

43. Dado el siguiente complejo 𝑧 = −4 − 3𝑖 , calcula: a) Módulo de z.

b) Argumento de z.

c) Forma polar.

d) Conjugado.

44. Calcula las siguientes operaciones con los complejos: 𝑧1 = −2 − 2𝑖 y 𝑧2 = 2𝑖 a) Forma polar del complejo 𝑧1

b) 𝑧1 ∙ 𝑧2

c) 𝑧1/𝑧2

d) 𝑧28

e) √𝑧14

45. Resolver la siguiente ecuación: sin 2𝑥 − sin 𝑥 = 0

46. Resolver la siguiente ecuación : 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −√3cos 𝑥

47. Comprobar las siguiente identidad notable: 𝑠𝑖𝑛3𝑎+sin𝑎∙𝑐𝑜𝑠2𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑎 = tan𝑎

48. Sea 𝑧1 = 3225° y 𝑧2 = −2 + √5𝑖 . Realiza las siguientes operaciones:

a) 𝑧1 ∙ 𝑧2 b) 𝑧1/𝑧2 c) 𝑧2

4

49. Resuelve la siguiente ecuación: 𝑧5 + 𝑖 = 0 . Y representa sus soluciones.

50. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: cos 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 cos 𝑥 = −3 sin 𝑥 cos 𝑥

51. Demuestra (si es posible) la siguiente igualdad: cot𝜃∙𝑠𝑒𝑐2𝜃

1+𝑐𝑜𝑡2𝜃 = tan𝜃

52. Sabiendo que cos 40° ≈ 0,76 , sin 40° ≈ 0,74 , sin 10° ≈ 0,17 y cos 10° ≈ 0,98 . Calcula los siguientes valores: (Sin usar las teclas trigonométricas)

a) cos 80°

b) sin 80°

c) sin 5°

d) cos 5°

e) tan 85°

53. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 4𝑥 + 2𝑥+1 = 80

b) log(2𝑥 − 3) + log(3𝑥 − 2) = 2 − log 25

c) 1

𝑥+3−

2

𝑥=

2−5𝑥

𝑥2+3𝑥

Resolver el siguiente sistema: {𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑦

√𝑦 + 𝑥 = 5

Resolver el siguiente sistema por el método de Gauss: {

4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −33𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −2−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

(escribir el sistema resultante, antes de resolver definitivamente)

54. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso (empleando el método de Gauss).

55. Calcular el valor de “a” para que el vector �⃗� (−2,1) forme un ángulo de 30° con el vector

𝑣 (2, 𝑎).

56. Indica cuáles de los siguientes vectores son unitarios, y de ellos, cuáles tienen la misma dirección

que el vector �⃗� (2, √5):

𝑎 (−2

3, −

5

3√5) �⃗� (−

2

5,1

5) 𝑐 (−

1

2, −

√3

2)

57. Escribe todas las ecuaciones de la recta, indicando su nombre, que pasen por los puntos: 𝐴(2,5) 𝑦 𝐵(3,3).

58. Dadas las rectas 𝑎𝑥 + (𝑎 + 2)𝑦 = 𝑎 + 2 “y” 𝑥 + 𝑎𝑦 = 3 , donde “a” es un parámetro. a) Calcula un vector director de cada una de estas rectas. b) Halla los valores de “a” para los que las rectas son paralelas. c) Calcula los valores de “a” para los cuales las rectas son perpendiculares.

59. En el triángulo de vértices A(0,3), B(3,7) y C(6,0), calcula: a) El perímetro. b) La ecuación de la recta perpendicular a BC que pasa por A, es decir, la altura del triángulo

desde el vértice A. c) La distancia del punto A a la recta que contiene el segmento BC. d) El área.

60. Halla las características de la siguiente función: Puntos de corte con eje x e y, dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos y absolutos, continuidad y discontinuidad, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, simetría, periodicidad, acotación, asíntotas.

61. Halla el dominio de las siguientes funciones: f(x)= 𝑥−1

√𝑥2−16 g(x)=√𝑥2 + 𝑥 − 12

62. Dadas las siguientes funciones:

f(x)=𝑥2−1

𝑥2 g(x)=√𝑥2 + 1 j(x)=𝑥

3𝑥−1

a) Halla (𝑓 °𝑔)(𝑥)

b) Halla la función recíproca de g(x)

c) La función inversa de 𝑗(𝑥).

d) Estudia la simetría de f(x).

63. Representa la siguiente función a trozos y estudia la continuidad de la misma. Indica los

tipos de discontinuidad si los hubiera:

a) 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 18 − 2𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 4

√𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 4

𝑏) 𝑓(𝑥) = {

6

𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

2𝑥 − 6 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 4ln(𝑥 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 > 4

64. Resuelve los siguientes límites: