INSTITUTO SAN JOSÉ 6º SECUNDARIA CICLO 2020

UNIDAD Nº1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO 1) Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos.

2) Plantear y resolver.

a) En una competencia de natación dos amigos parten

lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo; el

primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el

segundo a 5 km/h. Comienzan a alejarse entre sí con un

ángulo de 35º; después de media hora de competencia, el

segundo sufre un calambre.

¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué

ángulo tendrá la nueva dirección de este?

b) Una ambulancia está socorriendo a los heridos

de un accidente de tráfico. Observa el mapa y

señala cuál de los dos hospitales se encuentra

más cerca del lugar del accidente.

c) Dos barcos parten del mismo puerto. El barco A navega a 40 kilómetros por hora en la dirección N 32º E y el barco B a 50 kilómetros por hora en la dirección S 40º E como se muestra en la figura. ¿A qué distancia entre sí se encuentran ambos barcos transcurridas dos horas desde la partida?

d) Calcular el ancho del río con los datos de la figura.

SISTEMA CIRCULAR 3) Completar la siguiente tabla de equivalencias entre sistema sexagesimal y sistema circular de medición de ángulos.

SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CIRCULAR

20°

13 𝜋

135°

270°

136 𝜋

34 𝜋

4) Verificar las siguientes identidades trigonométricas.

a) cos𝛼 · tan𝛼 = sen𝛼

b) sen𝛼 · 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = cos𝛼

c) tan𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 · sen𝛼 · cos𝛼 = 1

d) 𝑠𝑒𝑛2𝛼 · 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 𝑡𝑎𝑛2𝛼

e) cos𝛼 · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 · tan𝛼 = 1

f) tan𝛼 · 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 +1

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼

g) sen𝛼 − tan𝛼 · cos𝛼 = 0

h) 𝑠𝑒𝑐2𝛼 · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼

i) 1 + tan𝛼 · 1 − tan𝛼 + 𝑠𝑒𝑐2𝛼 = 2

j) sin𝛼 · 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 − cos𝛼 · 𝑠𝑒𝑐 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =

sec𝛼 · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

k) cos𝛼 · tan𝛼 + 1 = sin𝛼 + cos𝛼

l) 𝑠𝑒𝑐2𝛼 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼 =1

𝑠𝑒𝑐 2𝛼 · 1−𝑠𝑒𝑛 2𝛼

m) 𝑡𝑎𝑛 2𝛼 −𝑠𝑒𝑛 2𝛼

𝑠𝑒𝑐 2𝛼 −1= 𝑠𝑒𝑛2𝛼

n) 𝑠𝑒𝑐2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼 − 1 · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼

o) 𝑡𝑎𝑛2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 =𝑠𝑒𝑛 2𝛼 ·𝑠𝑒𝑐 2𝛼

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝛼

p) 𝑠𝑒𝑐2𝛼 · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 1 − tan𝛼 · sec𝛼 − tan𝛼 =1

sin 𝛼 +

2 · 𝑡𝑎𝑛2𝛼 + 1

5) Escribir V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

a) Si el coseno de un ángulo es negativo, el ángulo pertenece al tercer o cuarto cuadrante. b) Si el coseno de un ángulo es negativo y el seno del mismo ángulo es positivo, el ángulo pertenece al segundo

cuadrante.

c) Si la tangente de un ángulo es positiva, se puede asegurar que dicho ángulo pertenece al primer cuadrante.

d) Si un ángulo pertenece al tercer cuadrante, el seno de dicho ángulo es positivo.

e) Si el seno de un ángulo es positivo y la tangente es positiva, el ángulo pertenece al primer cuadrante.

6) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas ∀𝒙 ∈ 𝟎 ;𝟐𝝅 .

a) sin 𝑥 −𝜋

3 =

1

2

b) 2 · 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − sen𝑥 = 1

c) 2 · 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

d) 2 · 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3 · cos𝑥 + 1 = 0

e) 2 · 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − sen 𝑥 + 1 = 0

f) cos 𝑥 +𝜋

2 = 1

g) 2 · tan 𝑥 · sen𝑥 = 3

h) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 3 · cos𝑥 + 1 = 0

i) 3 · 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5 · sen𝑥 + 2 = 0

j) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 · 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0

7) Completar el cuadro y representar gráficamente las siguientes funciones trigonométricas ∀𝒙 ∈ −𝟐𝝅 ;𝟐𝝅 .

FUNCIÓN AMPLITUD PERÍODO ÁNGULO DE FASE DESPLAZAMIENTO

𝑓1 𝑥 = −2 · sen 3𝑥 − 𝜋

𝑓2 𝑥 = 32 · cos 𝑥 + 𝜋

5

𝑓3 𝑥 = − sin 4𝑥 − 𝜋 + 2

𝑓4 𝑥 = 4 · sin 2𝑥 − 3

𝑓5 𝑥 = − 12 · cos 1

2 𝑥 + 𝜋4

𝑓6 𝑥 = 2 + cos −𝜋 + 𝑥

8) Escribir V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

A partir de 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 , la función: a) 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 + 4 , está desplazada 4 unidades con respecto al eje x.

b) 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 + 4𝜋 , está desplazada 4𝜋 hacia la derecha.

c) 𝑓 𝑥 = sen 4𝑥 + 𝜋 , tiene por ángulo de fase a 𝜋.

d) 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 − 2𝜋 , está desplazada 2𝜋 hacia la derecha.

e) 𝑓 𝑥 = sen 2𝑥 + 2𝜋 , está desplazada 𝜋 hacia la izquierda.