contenido.contenido. razones trigonométricas.razones trigonométricas. funciones...
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Contenido.Contenido.Contenido.Contenido.
•Razones Trigonométricas.Razones Trigonométricas.
•Funciones Trigonométricas.Funciones Trigonométricas.
•Funciones Trigonométrica Inversas.Funciones Trigonométrica Inversas.
•Identidades y Ecuaciones.Identidades y Ecuaciones.
•Probabilidad.Probabilidad.
•Razones Trigonométricas.Razones Trigonométricas.
•Funciones Trigonométricas.Funciones Trigonométricas.
•Funciones Trigonométrica Inversas.Funciones Trigonométrica Inversas.
•Identidades y Ecuaciones.Identidades y Ecuaciones.
•Probabilidad.Probabilidad.
Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas•Ángulos y Sistema de Medición.
Ángulos y Sistema de Medición.•Triángulos y Rectángulos.
Triángulos y Rectángulos.•Razones Trigonométricas.
Razones Trigonométricas.
•Ángulos y Sistema de Medición.
Ángulos y Sistema de Medición.•Triángulos y Rectángulos.
Triángulos y Rectángulos.•Razones Trigonométricas.
Razones Trigonométricas.
Ángulos y Sistema de Ángulos y Sistema de Medición.Medición.
Ángulos y Sistema de Ángulos y Sistema de Medición.Medición.
La palabra trigonometría se deriva del griego que significa medida
La palabra trigonometría se deriva del griego que significa medida
de triángulos .Inicialmente la trigonometría trato la relación entre
de triángulos .Inicialmente la trigonometría trato la relación entre
los lados de los ángulos de un triángulo, y fue usada en el
los lados de los ángulos de un triángulo, y fue usada en el
desarrollo de la astronomía y la navegación. Hoy día es muy
desarrollo de la astronomía y la navegación. Hoy día es muy
utilizada por otras ciencias, para resolver situaciones que
utilizada por otras ciencias, para resolver situaciones que
involucran medida de longitudes.
involucran medida de longitudes.
Para medir un ángulo en grados se asigna un valor de 360 al
Para medir un ángulo en grados se asigna un valor de 360 al
ángulo de una vuelta en sentido positivo y mediante particiones de
ángulo de una vuelta en sentido positivo y mediante particiones de
la unidad, se dan los valores en grados de los respectivos ángulos.
la unidad, se dan los valores en grados de los respectivos ángulos.
La palabra trigonometría se deriva del griego que significa medida
La palabra trigonometría se deriva del griego que significa medida
de triángulos .Inicialmente la trigonometría trato la relación entre
de triángulos .Inicialmente la trigonometría trato la relación entre
los lados de los ángulos de un triángulo, y fue usada en el
los lados de los ángulos de un triángulo, y fue usada en el
desarrollo de la astronomía y la navegación. Hoy día es muy
desarrollo de la astronomía y la navegación. Hoy día es muy
utilizada por otras ciencias, para resolver situaciones que
utilizada por otras ciencias, para resolver situaciones que
involucran medida de longitudes.
involucran medida de longitudes.
Para medir un ángulo en grados se asigna un valor de 360 al
Para medir un ángulo en grados se asigna un valor de 360 al
ángulo de una vuelta en sentido positivo y mediante particiones de
ángulo de una vuelta en sentido positivo y mediante particiones de
la unidad, se dan los valores en grados de los respectivos ángulos.
la unidad, se dan los valores en grados de los respectivos ángulos.
Un radian es la medición de un ángulo cuya longitud de arco es igual al radio de la circunferencia. Para el ángulo de medida S=R
Un radian es la medición de un ángulo cuya longitud de arco es igual al radio de la circunferencia. Para el ángulo de medida S=R
Triángulos y Rectángulos.
Triángulos y Rectángulos.
Triángulos y Rectángulos.
Triángulos y Rectángulos.
Cuando clasificamos los triángulos según la
Cuando clasificamos los triángulos según la
medida de sus ángulos, obtenemos tres calces:
medida de sus ángulos, obtenemos tres calces:
Acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
Acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo
recto.recto.
Teorema de Pitágoras.Teorema de Pitágoras.
La suma de las áreas de los cuadrados
La suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos de un
construidos sobre los catetos de un
triángulo rectángulo e equivale al área del
triángulo rectángulo e equivale al área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa.
cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Cuando clasificamos los triángulos según la
Cuando clasificamos los triángulos según la
medida de sus ángulos, obtenemos tres calces:
medida de sus ángulos, obtenemos tres calces:
Acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
Acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo
recto.recto.
Teorema de Pitágoras.Teorema de Pitágoras.
La suma de las áreas de los cuadrados
La suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos de un
construidos sobre los catetos de un
triángulo rectángulo e equivale al área del
triángulo rectángulo e equivale al área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa.
cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Razones TrigonométricasRazones TrigonométricasRazones TrigonométricasRazones Trigonométricas
Algunas aplicaciones inmediatas de la trigonometría
Algunas aplicaciones inmediatas de la trigonometría
requieren el uso de los triángulos rectángulos. Un
requieren el uso de los triángulos rectángulos. Un
triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres
triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres
ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular
ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular
algún elemento del triángulo conociendo otros. Para
algún elemento del triángulo conociendo otros. Para
hacerlo se emplean razones trigonométricas.
hacerlo se emplean razones trigonométricas.
Una razón trigonométrica es el cociente entre
Una razón trigonométrica es el cociente entre
las longitudes de dos lados de un triángulo
las longitudes de dos lados de un triángulo
rectángulo.rectángulo.
Consideramos el triángulo rectángulo de ángulos A,
Consideramos el triángulo rectángulo de ángulos A,
B ,C y C=90º. Puesto que la suma de los ángulos
B ,C y C=90º. Puesto que la suma de los ángulos
anteriores del triángulo es 180º, los ángulos Ay B
anteriores del triángulo es 180º, los ángulos Ay B
son complementarios. Es decir: A+B =90º o en
son complementarios. Es decir: A+B =90º o en
forma equivalente B=90º-A.forma equivalente B=90º-A.
Algunas aplicaciones inmediatas de la trigonometría
Algunas aplicaciones inmediatas de la trigonometría
requieren el uso de los triángulos rectángulos. Un
requieren el uso de los triángulos rectángulos. Un
triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres
triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres
ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular
ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular
algún elemento del triángulo conociendo otros. Para
algún elemento del triángulo conociendo otros. Para
hacerlo se emplean razones trigonométricas.
hacerlo se emplean razones trigonométricas.
Una razón trigonométrica es el cociente entre
Una razón trigonométrica es el cociente entre
las longitudes de dos lados de un triángulo
las longitudes de dos lados de un triángulo
rectángulo.rectángulo.
Consideramos el triángulo rectángulo de ángulos A,
Consideramos el triángulo rectángulo de ángulos A,
B ,C y C=90º. Puesto que la suma de los ángulos
B ,C y C=90º. Puesto que la suma de los ángulos
anteriores del triángulo es 180º, los ángulos Ay B
anteriores del triángulo es 180º, los ángulos Ay B
son complementarios. Es decir: A+B =90º o en
son complementarios. Es decir: A+B =90º o en
forma equivalente B=90º-A.forma equivalente B=90º-A.
Funciones TrigonométricasFunciones Trigonométricas
• Funciones circulares.Funciones circulares.
• Angulos de referencia.Angulos de referencia.
• Gráficas de funciones sen, cos.Gráficas de funciones sen, cos.
• Gráfica de las funciones tan, cot, sec Gráfica de las funciones tan, cot, sec y csc.y csc.
Funciones circulares.Funciones circulares.Funciones circulares.Funciones circulares.
Cuando las funciones trigonométricas se definen
Cuando las funciones trigonométricas se definen
en términos de un triángulo rectángulo, tenemos
en términos de un triángulo rectángulo, tenemos
las razones trigonométricas; ellas son definidas
las razones trigonométricas; ellas son definidas
solo cuando el ángulo 0 es agudo. En esta unidad
solo cuando el ángulo 0 es agudo. En esta unidad
utilizamos un circulo para definir las funciones sen
utilizamos un circulo para definir las funciones sen
y cos, donde 0 puede ser cualquier numero real.
y cos, donde 0 puede ser cualquier numero real.
Posteriormente definimos las demás funciones
Posteriormente definimos las demás funciones
trigonométricas en forma semejante.trigonométricas en forma semejante.
El circulo de radio 1 centrado en el origen del
El circulo de radio 1 centrado en el origen del
plano cartesiano, se llama circulo unitario.
plano cartesiano, se llama circulo unitario.
Cuando las funciones trigonométricas se definen
Cuando las funciones trigonométricas se definen
en términos de un triángulo rectángulo, tenemos
en términos de un triángulo rectángulo, tenemos
las razones trigonométricas; ellas son definidas
las razones trigonométricas; ellas son definidas
solo cuando el ángulo 0 es agudo. En esta unidad
solo cuando el ángulo 0 es agudo. En esta unidad
utilizamos un circulo para definir las funciones sen
utilizamos un circulo para definir las funciones sen
y cos, donde 0 puede ser cualquier numero real.
y cos, donde 0 puede ser cualquier numero real.
Posteriormente definimos las demás funciones
Posteriormente definimos las demás funciones
trigonométricas en forma semejante.trigonométricas en forma semejante.
El circulo de radio 1 centrado en el origen del
El circulo de radio 1 centrado en el origen del
plano cartesiano, se llama circulo unitario.
plano cartesiano, se llama circulo unitario.
El circulo unitario determina una
circunferencia unitaria de ecuación
x2+y2=1El circulo unitario determina una
circunferencia unitaria de ecuación
x2+y2=1
..Ángulos de referenciaÁngulos de referenciaÁngulos de referenciaÁngulos de referencia
Las funciones trigonométricas de cualquier
Las funciones trigonométricas de cualquier numero real se puede reducir a las funciones
numero real se puede reducir a las funciones trigonométricas de un numero en el intervalo 0
trigonométricas de un numero en el intervalo 0 mayor o igual t mayor o igual “pi”/2 con algunas
mayor o igual t mayor o igual “pi”/2 con algunas consideraciones.consideraciones.Se le llama ángulo de referencia de un
Se le llama ángulo de referencia de un ángulo 0, al ángulo agudo positivo alfa
ángulo 0, al ángulo agudo positivo alfa formado por el lado final de 0 y el eje X
formado por el lado final de 0 y el eje X..
Las funciones trigonométricas de cualquier
Las funciones trigonométricas de cualquier numero real se puede reducir a las funciones
numero real se puede reducir a las funciones trigonométricas de un numero en el intervalo 0
trigonométricas de un numero en el intervalo 0 mayor o igual t mayor o igual “pi”/2 con algunas
mayor o igual t mayor o igual “pi”/2 con algunas consideraciones.consideraciones.Se le llama ángulo de referencia de un
Se le llama ángulo de referencia de un ángulo 0, al ángulo agudo positivo alfa
ángulo 0, al ángulo agudo positivo alfa formado por el lado final de 0 y el eje X
formado por el lado final de 0 y el eje X..
..Funciones sen, cosFunciones sen, cosFunciones sen, cosFunciones sen, cos
Observemos que los ángulos 0 y 0+2pi, por tanto, las seis Observemos que los ángulos 0 y 0+2pi, por tanto, las seis
funciones trigonometricas satisfacen:funciones trigonometricas satisfacen:
Sen(0+2pi)=sen0; cos(0+2pi)=cos0 tan(0+2pi)=tan0Sen(0+2pi)=sen0; cos(0+2pi)=cos0 tan(0+2pi)=tan0
CSC(0+2pi)=csc0; SEC(0+2pi)=sec0 cot(0+2pi)=cot0CSC(0+2pi)=csc0; SEC(0+2pi)=sec0 cot(0+2pi)=cot0
Las funciones trigonometrías hacen parte de la clase Las funciones trigonometrías hacen parte de la clase
importante de funciones que definimos a continuación.importante de funciones que definimos a continuación.
Una función f es periódica si existe una constante p>o Una función f es periódica si existe una constante p>o
tal que f (x+p)=f (x), para todo x en el dominio de f.tal que f (x+p)=f (x), para todo x en el dominio de f.
El periodo positivo mas pequeño de una función El periodo positivo mas pequeño de una función
periódica se llama periodo principal de la función.periódica se llama periodo principal de la función.
Una función cuya grafica es simétrica respecto al eje y, Una función cuya grafica es simétrica respecto al eje y,
se llamara función par, es decir si para todo x es un se llamara función par, es decir si para todo x es un
dominiodominio
f(-x)=f (x).f(-x)=f (x).
Observemos que los ángulos 0 y 0+2pi, por tanto, las seis Observemos que los ángulos 0 y 0+2pi, por tanto, las seis
funciones trigonometricas satisfacen:funciones trigonometricas satisfacen:
Sen(0+2pi)=sen0; cos(0+2pi)=cos0 tan(0+2pi)=tan0Sen(0+2pi)=sen0; cos(0+2pi)=cos0 tan(0+2pi)=tan0
CSC(0+2pi)=csc0; SEC(0+2pi)=sec0 cot(0+2pi)=cot0CSC(0+2pi)=csc0; SEC(0+2pi)=sec0 cot(0+2pi)=cot0
Las funciones trigonometrías hacen parte de la clase Las funciones trigonometrías hacen parte de la clase
importante de funciones que definimos a continuación.importante de funciones que definimos a continuación.
Una función f es periódica si existe una constante p>o Una función f es periódica si existe una constante p>o
tal que f (x+p)=f (x), para todo x en el dominio de f.tal que f (x+p)=f (x), para todo x en el dominio de f.
El periodo positivo mas pequeño de una función El periodo positivo mas pequeño de una función
periódica se llama periodo principal de la función.periódica se llama periodo principal de la función.
Una función cuya grafica es simétrica respecto al eje y, Una función cuya grafica es simétrica respecto al eje y,
se llamara función par, es decir si para todo x es un se llamara función par, es decir si para todo x es un
dominiodominio
f(-x)=f (x).f(-x)=f (x).
Funciones tan, cot, SEC Funciones tan, cot, SEC y CSC.y CSC.
Funciones tan, cot, SEC Funciones tan, cot, SEC y CSC.y CSC.
Recordemos que tan0=sen0/cos0, Recordemos que tan0=sen0/cos0,
cot0=cos/sen0, sec0=1/cos0 y cot0=cos/sen0, sec0=1/cos0 y
csc0=1/sen.csc0=1/sen.
Con base en estas rozones, podemos afirmar que los
Con base en estas rozones, podemos afirmar que los
dominios de definición de estas cuatro funciones
dominios de definición de estas cuatro funciones
dependen de cuando sen0 y cos0 son iguales a cero.
dependen de cuando sen0 y cos0 son iguales a cero.
Tan0 y sec0 no están definidas cuando cos0=o, es decir
Tan0 y sec0 no están definidas cuando cos0=o, es decir
cuandocuando
0=+-pi /2, +-3pi/2,+-5pi/2,….0=+-pi /2, +-3pi/2,+-5pi/2,….
Ósea, cuado 0=pi/2+K pi, donde K=o,+-1,+-2….
Ósea, cuado 0=pi/2+K pi, donde K=o,+-1,+-2….
Por tanto:Por tanto:
El dominio tan0 y sec0 es (0E El dominio tan0 y sec0 es (0E R 0 =pi /2+K=o,+-1,+-
R 0 =pi /2+K=o,+-1,+-
2,..,2,..,En el caso de las funciones cot0 y csc0, estas no están
En el caso de las funciones cot0 y csc0, estas no están
definidas definidas
cuando sen0=o, es decir, cuando0=o,+-pi, +-2pi,+-3pi,
cuando sen0=o, es decir, cuando0=o,+-pi, +-2pi,+-3pi,
…, o sea, …, o sea,
cuando 0=n pi, donde n=o, +-1,+-2.cuando 0=n pi, donde n=o, +-1,+-2.
Por lo tanto:Por lo tanto:
El dominio de cot0 y csc0 es (0E El dominio de cot0 y csc0 es (0E RR/ 0=npi, n=o,+-1,+-
/ 0=npi, n=o,+-1,+-
2…..)2…..)
Recordemos que tan0=sen0/cos0, Recordemos que tan0=sen0/cos0,
cot0=cos/sen0, sec0=1/cos0 y cot0=cos/sen0, sec0=1/cos0 y
csc0=1/sen.csc0=1/sen.
Con base en estas rozones, podemos afirmar que los
Con base en estas rozones, podemos afirmar que los
dominios de definición de estas cuatro funciones
dominios de definición de estas cuatro funciones
dependen de cuando sen0 y cos0 son iguales a cero.
dependen de cuando sen0 y cos0 son iguales a cero.
Tan0 y sec0 no están definidas cuando cos0=o, es decir
Tan0 y sec0 no están definidas cuando cos0=o, es decir
cuandocuando
0=+-pi /2, +-3pi/2,+-5pi/2,….0=+-pi /2, +-3pi/2,+-5pi/2,….
Ósea, cuado 0=pi/2+K pi, donde K=o,+-1,+-2….
Ósea, cuado 0=pi/2+K pi, donde K=o,+-1,+-2….
Por tanto:Por tanto:
El dominio tan0 y sec0 es (0E El dominio tan0 y sec0 es (0E R 0 =pi /2+K=o,+-1,+-
R 0 =pi /2+K=o,+-1,+-
2,..,2,..,En el caso de las funciones cot0 y csc0, estas no están
En el caso de las funciones cot0 y csc0, estas no están
definidas definidas
cuando sen0=o, es decir, cuando0=o,+-pi, +-2pi,+-3pi,
cuando sen0=o, es decir, cuando0=o,+-pi, +-2pi,+-3pi,
…, o sea, …, o sea,
cuando 0=n pi, donde n=o, +-1,+-2.cuando 0=n pi, donde n=o, +-1,+-2.
Por lo tanto:Por lo tanto:
El dominio de cot0 y csc0 es (0E El dominio de cot0 y csc0 es (0E RR/ 0=npi, n=o,+-1,+-
/ 0=npi, n=o,+-1,+-
2…..)2…..)
Identidades y ecuaciones
Identidades y ecuaciones
Identidades y ecuaciones
Identidades y ecuaciones
•Identidades.Identidades.•Ecuaciones trigonometricas.Ecuaciones trigonometricas.
•Identidades.Identidades.•Ecuaciones trigonometricas.Ecuaciones trigonometricas.
IdentidadesIdentidadesIdentidadesIdentidades
Un estudio de la trigonometría involucra dos aspectos
Un estudio de la trigonometría involucra dos aspectos
importantes: simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
importantes: simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
Para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas
Para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas
básicas del algebra y el manejo apropiado de las identidades
básicas del algebra y el manejo apropiado de las identidades
básicas. En la parte algebraica es importante desarrollar en
básicas. En la parte algebraica es importante desarrollar en
forma correcta productos, factorizas iones, expresiones
forma correcta productos, factorizas iones, expresiones
fraccionarias, racionalización de denominadores y solución
fraccionarias, racionalización de denominadores y solución
de ecuaciones.de ecuaciones.
Como paso fundamental en el manejo de las identidades
Como paso fundamental en el manejo de las identidades
vamos a estudiar algunos procedimientos útiles para
vamos a estudiar algunos procedimientos útiles para
trasformar una expresión de otra. Utilizaremos las
trasformar una expresión de otra. Utilizaremos las
propiedades algebraicas y las identidades trigonometricas
propiedades algebraicas y las identidades trigonometricas
fundamentales. fundamentales.
Un estudio de la trigonometría involucra dos aspectos
Un estudio de la trigonometría involucra dos aspectos
importantes: simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
importantes: simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
Para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas
Para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas
básicas del algebra y el manejo apropiado de las identidades
básicas del algebra y el manejo apropiado de las identidades
básicas. En la parte algebraica es importante desarrollar en
básicas. En la parte algebraica es importante desarrollar en
forma correcta productos, factorizas iones, expresiones
forma correcta productos, factorizas iones, expresiones
fraccionarias, racionalización de denominadores y solución
fraccionarias, racionalización de denominadores y solución
de ecuaciones.de ecuaciones.
Como paso fundamental en el manejo de las identidades
Como paso fundamental en el manejo de las identidades
vamos a estudiar algunos procedimientos útiles para
vamos a estudiar algunos procedimientos útiles para
trasformar una expresión de otra. Utilizaremos las
trasformar una expresión de otra. Utilizaremos las
propiedades algebraicas y las identidades trigonometricas
propiedades algebraicas y las identidades trigonometricas
fundamentales. fundamentales.
Identidades reciprocas.Cot x=1/tan x cos x=1/cos x CSC x=1/sen xIdentidades por cociente.Tan x=sen x/cos x cot x=cos x/sen xIdentidades pitagóricas Sen2 x+ cos2 x=1 1+tan2 x=sec2 x 1+cot2 x=csc2x
Identidades de ángulos complementarios Cos (pi/2-x)=sen x cot (pi/2-x)=tan x CSC (pi/2-x)=SEC xFunciones pares e impares Cos(-x)=cos x sen(-x)=-sen x
Identidades reciprocas.Cot x=1/tan x cos x=1/cos x CSC x=1/sen xIdentidades por cociente.Tan x=sen x/cos x cot x=cos x/sen xIdentidades pitagóricas Sen2 x+ cos2 x=1 1+tan2 x=sec2 x 1+cot2 x=csc2x
Identidades de ángulos complementarios Cos (pi/2-x)=sen x cot (pi/2-x)=tan x CSC (pi/2-x)=SEC xFunciones pares e impares Cos(-x)=cos x sen(-x)=-sen x
•
Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones simplesEcuaciones simplesLlamaremos ecuación simple a una expresión de la forma f
Llamaremos ecuación simple a una expresión de la forma f (x)=c, donde f (x) es una función trigonometrica y c una
(x)=c, donde f (x) es una función trigonometrica y c una constante.constante.
Solución de una ecuación en general Solución de una ecuación en general Para obtener las soluciones de una ecuación trigonometrica
Para obtener las soluciones de una ecuación trigonometrica es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en
es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en algebra, como agrupación de términos semejantes,
algebra, como agrupación de términos semejantes, factorizas ión estación de raíces y, desde luego el uso de
factorizas ión estación de raíces y, desde luego el uso de identidades que permitan escribir unas funciones en
identidades que permitan escribir unas funciones en términos de otras.términos de otras.
Ecuaciones simplesEcuaciones simplesLlamaremos ecuación simple a una expresión de la forma f
Llamaremos ecuación simple a una expresión de la forma f (x)=c, donde f (x) es una función trigonometrica y c una
(x)=c, donde f (x) es una función trigonometrica y c una constante.constante.
Solución de una ecuación en general Solución de una ecuación en general Para obtener las soluciones de una ecuación trigonometrica
Para obtener las soluciones de una ecuación trigonometrica es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en
es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en algebra, como agrupación de términos semejantes,
algebra, como agrupación de términos semejantes, factorizas ión estación de raíces y, desde luego el uso de
factorizas ión estación de raíces y, desde luego el uso de identidades que permitan escribir unas funciones en
identidades que permitan escribir unas funciones en términos de otras.términos de otras.
ProbabilidadProbabilidadProbabilidadProbabilidad
Espacios Muéstrales
Espacios Muéstrales
Principios fundamentales de conteo
Principios fundamentales de conteo..
Espacios Muéstrales
Espacios Muéstrales
Principios fundamentales de conteo
Principios fundamentales de conteo..
Espacios MuéstralesEspacios MuéstralesEspacios MuéstralesEspacios Muéstrales
Los modelos deterministicos caracterizan fenómenos cuyo
Los modelos deterministicos caracterizan fenómenos cuyo
resultado puede predecirse con seguridad, si conocemos las
resultado puede predecirse con seguridad, si conocemos las
condiciones en las cuales se presentan. Con mayor precisión si
condiciones en las cuales se presentan. Con mayor precisión si
conocemos las condiciones iniciales de un experimento, que da
conocemos las condiciones iniciales de un experimento, que da
lugar a un fenómeno, entonces podemos prever los resultados
lugar a un fenómeno, entonces podemos prever los resultados
posteriores de este.posteriores de este.
Los modelos probabilisticos caracterizan fenómenos aleatorios
Los modelos probabilisticos caracterizan fenómenos aleatorios
(fortuitos, al azar) o inciertos, con la propiedad de que al
(fortuitos, al azar) o inciertos, con la propiedad de que al
observarlos en determinado conjunto de condiciones, no siempre
observarlos en determinado conjunto de condiciones, no siempre
se obtenga el mismo resultado, es decir que no presentan la
se obtenga el mismo resultado, es decir que no presentan la
regularidad de los fenómenos deterministicos (clásicos).
regularidad de los fenómenos deterministicos (clásicos).
Los modelos deterministicos caracterizan fenómenos cuyo
Los modelos deterministicos caracterizan fenómenos cuyo
resultado puede predecirse con seguridad, si conocemos las
resultado puede predecirse con seguridad, si conocemos las
condiciones en las cuales se presentan. Con mayor precisión si
condiciones en las cuales se presentan. Con mayor precisión si
conocemos las condiciones iniciales de un experimento, que da
conocemos las condiciones iniciales de un experimento, que da
lugar a un fenómeno, entonces podemos prever los resultados
lugar a un fenómeno, entonces podemos prever los resultados
posteriores de este.posteriores de este.
Los modelos probabilisticos caracterizan fenómenos aleatorios
Los modelos probabilisticos caracterizan fenómenos aleatorios
(fortuitos, al azar) o inciertos, con la propiedad de que al
(fortuitos, al azar) o inciertos, con la propiedad de que al
observarlos en determinado conjunto de condiciones, no siempre
observarlos en determinado conjunto de condiciones, no siempre
se obtenga el mismo resultado, es decir que no presentan la
se obtenga el mismo resultado, es decir que no presentan la
regularidad de los fenómenos deterministicos (clásicos).
regularidad de los fenómenos deterministicos (clásicos).
Principios fundamentales de conteoPrincipios fundamentales de conteoPrincipios fundamentales de conteoPrincipios fundamentales de conteo
Principio de multiplicación.Principio de multiplicación.
Si un proceso consta de N eventos, A1, A2…,A n y A1 pude
Si un proceso consta de N eventos, A1, A2…,A n y A1 pude
ocurrir de m, maneras diferentes, A2 pude suceder m2
ocurrir de m, maneras diferentes, A2 pude suceder m2
formas distintas,…, A n puede ocurrir de m n maneras
formas distintas,…, A n puede ocurrir de m n maneras
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
puede ocurrir el procesó completo puede realizarse de m1 x
puede ocurrir el procesó completo puede realizarse de m1 x
m2 x … x m n formas distintas.m2 x … x m n formas distintas.
Principio de adición Principio de adición
Sea n eventos A1, A2,..,A n y supongamos que A1 pude
Sea n eventos A1, A2,..,A n y supongamos que A1 pude
ocurrir de m1 maneras distintas, A2 pude suceder de m2
ocurrir de m1 maneras distintas, A2 pude suceder de m2
formas distintas,…, An pude ocurrir de m n maneras
formas distintas,…, An pude ocurrir de m n maneras
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
pude presentarse el proceso “ocurre o bien A1, o bien A2, o
pude presentarse el proceso “ocurre o bien A1, o bien A2, o
bien A3…, o bien A n “es m1+m2+…+m n.
bien A3…, o bien A n “es m1+m2+…+m n.
Principio de multiplicación.Principio de multiplicación.
Si un proceso consta de N eventos, A1, A2…,A n y A1 pude
Si un proceso consta de N eventos, A1, A2…,A n y A1 pude
ocurrir de m, maneras diferentes, A2 pude suceder m2
ocurrir de m, maneras diferentes, A2 pude suceder m2
formas distintas,…, A n puede ocurrir de m n maneras
formas distintas,…, A n puede ocurrir de m n maneras
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
puede ocurrir el procesó completo puede realizarse de m1 x
puede ocurrir el procesó completo puede realizarse de m1 x
m2 x … x m n formas distintas.m2 x … x m n formas distintas.
Principio de adición Principio de adición
Sea n eventos A1, A2,..,A n y supongamos que A1 pude
Sea n eventos A1, A2,..,A n y supongamos que A1 pude
ocurrir de m1 maneras distintas, A2 pude suceder de m2
ocurrir de m1 maneras distintas, A2 pude suceder de m2
formas distintas,…, An pude ocurrir de m n maneras
formas distintas,…, An pude ocurrir de m n maneras
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que
pude presentarse el proceso “ocurre o bien A1, o bien A2, o
pude presentarse el proceso “ocurre o bien A1, o bien A2, o
bien A3…, o bien A n “es m1+m2+…+m n.
bien A3…, o bien A n “es m1+m2+…+m n.
