Ley de Newton de Enfriamiento y Calentamiento

La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de

temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t es proporcional a la diferencial

de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Si

consideramos a T como la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm la

temperatura del medio circundante y To la temperatura inicial del cuerpo (t=0).

Como las variaciones de la temperatura puede ser que aumenta o disminuya.

Por tanto de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante

la ecuación diferencial:

( ) (1) Para aumento o calentamiento

( ) (2) Para disminución o enfriamiento

Donde K es una constante de proporcionalidad.

Y la solución de (1) es: ( )

Y la solución de (2) es: ( )

Ejemplos

Ejemplo 1.

Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el

aire es proporcional a la diferencia en la temperatura T del cuerpo y la

temperatura Tm del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo

se enfría en 2 minutos desde 100°C a 60°C. ¿En cuanto tiempo su

temperatura descenderá hasta 30°C?

Solución:

Sea T= Temperatura del Cuerpo Tm= Temperatura del aire

T0 = Temperatura inicial

Teniendo en cuenta que es enfriamiento entonces se toma la ecuación

diferencial (2). Entonces usamos la ecuación:

( )

Donde tenemos Tm= 20°C, T= 60°C, T0 = 100°C y t = 20 minutos.

Remplazamos en la ecuación anterior para hallar el valor de k.

Luego se tiene que 60 = 20 + (100 – 20) e–20k

De lo anterior se obtiene 40 = 80 e–20k, por lo tanto k = ln2/20 por tanto k

es aproximadamente k ≈ 0,0347

Ahora con el valor de k se remplaza en la ecuación para hallar el tiempo

que solicitan, entonces:

T = 20 + 80 e–0,0347t

Entonces como están requiriendo el tiempo t para T = 30°C se remplaza

en la ecuación anterior entonces se tiene:

30 = 20 + 80 e–0,0347t → 30 – 20 = 80 e–0,0347t → 1/8 = e–0,0347t,

despejamos a t luego t = –ln (1/8) /(0,0347), de aquí que es igual a:

Respuesta t = 60 minutos

Ejemplo 2.

Un termómetro que marca 18°F se lleva a un cuarto cuya temperatura es de

70°F, un minuto después la lectura del termómetro es de 31°F. Determinar

las medidas como una función del tiempo y en particular encontrar la

temperatura que marca el termómetro cinco minutos después que se lleve

al cuarto.

Solución

Tenemos: T = Temperatura del cuerpo T0 = Temperatura inicial Tm = Temperatura del cuarto t = tiempo Luego: T = 31°F, Tm = 70°F, T0 = 18°F, t = 1 minuto después. Como es calentamiento se tiene en cuenta la ecuación

( )

Remplazando los datos en la ecuación anterior se halla el valor de k, se tiene entonces que:

31 = 70 + (18 – 70)ek

39 = 52ek

39/52 = ek

K = ln (3/4)

Como ya conocemos k, tenemos entonces la ecuación general:

T = 70 – 52 et*ln(3/4)

Con esta ecuación hallamos la temperatura después de cinco minutos,

luego:

T = 70 – 52 e(5)*ln(3/4)

T = 58°F

Crecimiento y reacciones químicas

La rapidez del crecimiento del número de bacterias en una solución es

proporcional al número de bacterias presente. Si S representa la masa de una

sustancia radiactiva presente en el tiempo t, o el número de bacterias en una

solución en el tiempo t, entonces la Ley de descomposición y crecimiento esta

expresado por dP/dt= –kP para la descomposición y dP/dt= kP para el

crecimiento, en donde K es un factor de proporcionalidad.

Al resolver la ecuación diferencial dP/dt = kP por el método de variables

separables, se obtiene la solución P = P0 ekt, donde P0 representa la cantidad

inicial para t=0

Ejemplos