actividad iii.33 - ondas de calor y calentamiento...

Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 1

Actividad III.33 - Ondas de Calor y CalentamientoGlobal

Objetivo

Estudio experimental de ondas de calor. Determinación de la cantante de

difusividad y de la conductividad térmica de un material. Caracterización de las

propiedades térmicas del suelo, penetración de las variaciones térmicas superficiales en

el interior de la Tierra. Estudio de un sistema unidimensional simple, análogo a un

modelo real usado para determinar temperaturas ambientales del pasado remoto, de gran

interés para analizar las posibles causas del calentamiento global.

Introducción

Uno de los desafíos científicos de mayor interés y relevancia en esta primera parte

del tercer milenio, es poder predecir la evolución de la condiciones climáticas del

planeta, y dilucidar con la mayor certeza posible, el origen y las causas del

calentamiento que ha venido ocurriendo en la Tierra durante el último siglo. Nuestra

civilización se desarrolló durante estos últimos milenios, que sucedieron a la última

glaciación, durante ese período la temperatura media de la Tierra era de unos 5ºC más

baja que en la actualidad. La tendencia de las temperaturas de los últimos 50 años indica

que la misma se está elevando a razón de unos 2.5ºC/siglo! De persistir esta tendencia,

en dos siglos habría ocurrido un incremento de temperatura de igual magnitud que la

ocurrida en unos 10000 años, lo cual podría ser una serio amenaza para toda la

humanidad. Es crucial para el futuro de nuestra civilización dilucidar si estas tendencias

térmicas (ver Fig. 1) son consecuencia de la actividad humana o se produce por causas

naturales.1,2 Existe un creciente consenso en la comunidad científica que el incremento

de CO2 en la atmósfera está relacionada con este calentamiento.

Fig.1 Variación de las temperaturas globales, curva roja, referida al eje vertical derecho. En esta figuratambién se muestra la variación de CO2 en la atmósfera, curva azul, referida al eje vertical izquierdo. El

aumento de temperatura en el mundo en el siglo XX fue de unos 2.5 °C/siglo3,4,5

.

2.5 ºC/Siglo


Hay un creciente consenso que el aumento de CO2 en la atmósfera es

consecuencia del uso intensivo de combustibles fósiles que ha tenido lugar a partir del

inicio de la revolución industrial, más notablemente a partir de la segunda mitad del

siglo XX. Hay fundadas sospechas que el incremento de las temperaturas globales es

consecuencia, en buena medida, de la actividad humana. 5,6

Fig.2 Perfil de temperaturas en función de la profundidad para dos momentos del año, verano e invierno.

La superficie de suelo sigue la temperatura ambiente, pero entre 1 a 2 m la temperatura es representativa

de la estación anterior. De igual modo, las variaciones térmicas de un siglo de oscilación están registradas

en los perfiles térmicos de unos 100m y así sucesivamente. Las líneas rectas representan el gradiente

térmico de la tierra de uno 9.2x10-2°C/m

7,8.

Desde luego también se sabe que existen causas naturales que afectan el clima de la

Tierra, la ocurrencia de la última glaciación es una evidencia de ello. Entre las causas

naturales que pueden afectar el clima de la Tierra tenemos: variaciones en la emisión

energética del Sol; erupciones volcánicas, que con sus cenizas o aerosoles afectan el

balance energético de la Tierra y variaciones en el movimiento de la Tierra alrededor

del Sol. Hay mucha evidencia que indica que la Tierra ha tenido oscilaciones

cuasiperiódicas de cambios climáticos. Milutin Milankovitch (1879-1958) propuso un

modelo astronómico para explicar sus causas. Está teoría se basa en que la Tierra

además de su movimiento de rotación y traslación, se mueve en una orbita elíptica que

tiene una variación en su excentricidad de unos 100 kyr (1 kyr=1000 años). Además el

eje de la Tierra que tiene una inclinación (tilt) de unos 23º, respecto de la norma al

plano de la elíptica, que genera las estaciones del año, el eje de la Tierra tiene una

presesión de unos 26 kyr. Esto es cada 13 kyr las estaciones se invierten o sea a veces

en el sur enero es verano y en la otra parte del ciclo es invierno. Por otro lado, ángulo de

inclinación de la Tierra (respecto de la normal de la elíptica) oscila entre 21.5º y 24.5º

en unos 41 kyr. Como es de suponer estos movimientos presentan acoplamientos entre

ellos que generan los llamados ciclos de Milankovitch que tiene periodos de

aproximadamente 22 kyr, 41 kyr y 98 kyr, en los que se han observado alteraciones

importantes del clima. Esta teoría, no esta libre de criticas y dista de ser una teoría

universalmente aceptada, pero tiene una importante apoyatura observacional.1


Para poder poner a prueba los modelos de clima es necesario poder determinar las

temperaturas del pasado. Los registros térmicos estándares son confiables a partir de

fines del siglo XIX y para pocos sitios principalmente de Europa. Por lo tanto conocer

temperaturas del pasado se ha transformado en un desafió de gran importancia e interés

científico. Afortunadamente existen varios metidos para estudiar las temperaturas

pasadas. Uno de ellos se basa en la abundancia isotópica del oxigeno (relación 18O/

16O)

en grandes bloque de hielos (Groenlandia, Antártica, etc.). Otro método consiste en

estudiar perfiles térmicos de temperaturas a grandes profundidades. En la Figura 2 se

ilustra como las temperaturas del pasado dejan una clara signatura que permite

caracterizarla.7 En este experimento, estudiaremos un análogo unidimensional que

ilustra gran parte de la física involucrada en este problema.

Introducción: El calor se transfiere básicamente por tres procesos distintos;

conducción, convección y radiación. En la naturaleza, todos los mecanismos de

transmisión intervienen simultáneamente con distintos grados de importancia.

Los líquidos y los gases no son, en general, buenos conductores de calor. Sin

embargo pueden transmitirlo eficientemente por convección. Un calentador de aire

forzado, en el que el aire se calienta y luego se distribuye mediante un ventilador, es un

ejemplo de convección forzada. La convección también ocurre en forma natural

espontánea, por ejemplo, en el aire caliente que se eleva. Las corrientes oceánicas, como

la corriente del Golfo, son un ejemplo de convección natural a gran escala. El viento es

otro ejemplo de convección y el clima, por lo general, es el resultado de corrientes

conectivas de aire. En el caso de la convección natural, en general al rededor del objeto

caliente se forma una capa delgada (capa límite) de aire que es la que por conducción

propaga el calor de la superficie caliente al medio. Es posible escribir el flujo de calor

disipado por convención natural como:

( )esconv

conv TThAdt

dQH −⋅⋅== sup , (1)

donde As es la superficie del cuerpo expuesta al medio, h una constante característica,

coeficiente de convección, que depende del régimen de disipación (laminar, turbulento,

etc.) de la conductividad térmica del medio fluido y el estado de las superficies. Tsup y Tedesignan a las temperaturas de la superficie del cuerpo y del medio fluido

respectivamente (Ver Tabla 1, Apéndice A). Esta ley de enfriamiento de un objeto se

conoce como la ley de enfriamiento de Newton.

La conducción del calor, para problemas unidimensionales, está caracterizada por la

Ley de Fourier:9,10

dx

dTAK

dt

dQP ⋅−== , (2)

aquí P=dQ/dt es la potencia transmitida a través del área A transversal al eje de la

muestra (figura 3), dT/dx es el gradiente térmico y K es la constante de conductividad de

la barra (Ver Tabla 2, Apéndice A).

Fig.3 (a) Transmisión del calor a lo largo de una barra de materia, asilada por los lados laterales, de

longitud l con un extremo caliente (TCaliente) y el otro frío (TFrío). (b) Transmisión de calor a través de un

elemento de materia de espesor infinitesimal dx.

Tcaliente P=dQ/dt TFrío

A

ldx

A(b)(a)


Si consideramos el elemento infinitesimal ilustrado en la figura 3(b), suponemos que en su

interior hay una fuente de energía, que genera calor a una potencia g por unidad de volumen y

su temperatura es T(x,t). Suponemos además que el único mecanismo de transmisión de calor es

la conducción. Denotamos con ρ y c a su densidad y calor especifico respectivamente.

Aplicando un balance de energía tenemos:

),()()( txgAdxdx

dT

dx

dTAK

dt

dTcAdx

dt

dQ

dxxx

ρρ +

−⋅−==

+

, (3)

la cual puede re escribirse como:

),(2

2

txgx

T

c

K

t

T+

∂

∂⋅

⋅=

∂

∂

ρ, o bien ),(

2

2

txgx

Tk

t

T+

∂

∂=

∂

∂. (4)

Aquí ρ./ cKk = es la difusividad del material, que como vemos depende de la

conductividad térmica, su densidad y calor específico. En el caso tridimensional, esta

expresión puede generalizarse como:

),(),(),( 2 txgtxTk

t

txT+∇=

∂

∂. (5)

Esta es la ecuación fundamental de conducción del calor, con fuentes, en tres

dimensiones, conocida como la Ecuación de Fourier-Biot.11

Análisis teórico: La ecuación fundamental, sin fuentes, en una dimensión puede

escribirse como:11

t

T

kx

T

∂

∂=

∂

∂.

12

2

, (6)

con k (=K/c.ρ).

Modelo I: Consideremos el caso de una barra cuya longitud L sea mucho mayor que su

diámetro 2a. Su extremo izquierdo se encuentra en contacto con una fuente térmica que

tiene una temperatura que varia como:

000

0

0

0000

0 )2

cos()cos()( Ttp

TTtTtT aaa ++=++= φπ

φω , (7)

donde 0

aT es la amplitud de la oscilación térmica alrededor del valor medio T00, ω0=

2π/p0 la frecuencia de la variación térmica, p0 su periodo y φ0 es la fase inicial de la

oscilación. Si 0

aT =0 (Ta=constante) es de esperar que la barra tendrá una temperatura

Tb(x), dada por:

xmTxL

TTTxT e

b ⋅−=−

−= 0000

00

)()( , (8)

donde Te es la temperatura del extremo derecho que suponemos coincide con la

temperatura exterior a la barra (Temperatura ambiente). En este análisis hemos

despreciado las perdidas de calor por otro mecanismo, como ser convección o radiación.

A propósito, este modelo se puede aplicar asimismo a un sistema seminfinito

unidimensional, por ejemplo a la Tierra, donde la fuente de calor esta en la superficie y

es calentada por el Sol.

Volviendo al caso ≠0

aT 0, en estado estacionario, la temperatura media de la barra

vendrá dada por la Ec.(8). Definiendo la temperatura normalizada θ(x,t)=T(x,t)-Tb(x), laEc.(6) se puede escribir como:

tkx ∂

∂=

∂

∂ θθ.

12

2

, (9)


ya que 0/ 22 =∂∂ xTb . Esta es una ecuación lineal que puede resolverse por separación de

variables.12 Su solución para condiciones de borde periódicas, para x=0 de período p0, puede

escribirse como:13,14

( ) ( ) ( )0000000000 )(cos)/exp(cos)exp(, φεµφεωεθ +−−=+−−= tvxxAxtxAtx , (10)

esta expresión representa la ecuación de una onda atenuada que se propaga hacia la derecha con

velocidad v0. Aquí µ0 representa la distancia de penetración de la onda. Reemplazando (9) en (8)

obtenemos:

πωεµ

kpk ⋅=== 0

00

0

21. (10)

y

000 /2/4 pkpkv ππ == , ondaLongkp .24 00 === πµπλ . (11)

Las constantes A0 y φ0 dependen de las condiciones de borde del problema. El parámetro µ0

= π/kp ⋅ tiene las unidades de longitud y es indicativo de la longitud a la penetra la onda

térmica, λ es la longitud de onda. A medida que el período p0 de la onda es mayor, mayor será

la penetración de la onda térmica. Así mismo la onda térmica penetra más cuando mayor sea la

difusividad del material (k). Este resultado explica porque las variaciones diarias de temperatura

sólo penetran en el suelo a sólo uno 20 cm (con ktierra ≈3.8 m2/s y p0=24 h resulta µ0≈10 cm, λ

≈60 cm)16, en cambio las variaciones anuales (p0=365 días) penetran el la tierra hasta unos 4 o 5

m (µ0≈2 m y λ≈8 m)7, las temperaturas asociadas a la última era glacial ( p0≈10 000 años)estarían entre unos 200 a 300m de profundidad (ver Fig.4). Este fenómeno de las ondas térmicas

de poseer una penetración que depende de la frecuencia o periodo de la onda, tiene un

equivalente electromagnético (para ondas que se propagan en conductores) y se conoce

genéricamente como efecto piel. Extrapolando esta idea, se puede inferir que variaciones

seculares de temperaturas, penetrarán más profundamente en la tierra. De este modo el estudio

de los perfiles térmicos a distintas profundidades nos puede brindar información de los cambios

de temperaturas ocurridos en el pasado remoto. Más específicamente, Más específicamente,

supongamos que en la Ec.(9) φ0=0, esto significa que comenzamos a la medición cuando la

temperatura es máxima en la superficie (x=0). De la Ec. (9) vemos que para y un tiempo

posterior τ=p0/2, a una profundidad x= λ tendremos una temperatura:

)0,0(043.0/)0,0(),2/( θθτλθ π ⋅≈= −e . (12)

Fig.4 Variación de la longitud de penetración de las ondas térmicas, µ0, en distintos materiales. Se ve que

en la tierra las variaciones diarias se atenúan en unos 50cm, las anules en pocos metros y las seculares en

algunos cientos de metros.

Penetracion de onda de calor

0

1

10

100

1,000

10,000

0 1 10 100 1,000 10,000 100,000

Período (años)

λλ λλ0 (

m)

Aluminio

Cobre

Tierra seca

Hielo (0°C)

Agua


Por lo tanto, midiendo la temperatura en la profundidad, x= λ/2, podemos inferir la

temperatura de la superficie a un tiempo pasado (p0/2), más específicamente a esta

profundidad la temperatura será un 4.3 % de su valor en la superficie, en el tiempo pasado

τ = p0/2. Este es un resultado de inmenso valor para inferir las temperaturas del pasado, ya

que estudiando los perfiles térmicos de perforaciones en la tierra y en los hielos podemos

reconstruir las temperaturas del pasado.1,7

En la Figura 4, se observa la variación de la

longitud de penetración de las ondas térmicas, µ0, en distintos materiales como función del

periodo p0.

Modelo II (tema opcional): Consideremos ahora el caso en que la variación de la

fuente térmica colocada en el extremo izquierdo sea periódica pero no senoidal. Por el

teorema de Furrier, esta señal se puede descomponer en una seria de la forma:15

( ) ( )0cos,0 φωθ ntAtx n

n

n −== ∑ , (13)

y

( ) ( ),cos,02

0

00

0

tntxp

A

P

n ωθ ⋅== ∫ (14)

donde p0=2π/ω0 es el periodo de la onda periódica. Usando el método de separación de variable

y superposición, la solución de la Ec.(8) se puede escribir en este caso como:

( ) ( )0cos)exp(, φεωεθ nxtxAtx nnn

n

n +−−=∑ , (15)

o bien:

( ) ( )0)(cos)/exp(, φεµθ nxtvxAtx nnn

n

n +−−=∑ , (16)

donde

0vnvn

nn ⋅==

ε

ω, con pkpkv /2/40 ππ == . (17)

Estos últimos parámetros dan una idea la velocidad de penetración de las armónicas (n >1)

respecto de la fundamental (n=1). Las constantes ωn, y εn se obtienen reemplazando la Eq.(13)

en (8).

0

2ω

πω ⋅== n

p

nn (18)

y

n

nn

n

k µµ

ωε

1

2 0

=== . (19)

Las constantes An y φ0 dependen de la condiciones de borde del problema. Nótese que las ondas

armónicas (n >1) tiene una penetración µn=µ0/n, menor que la fundamental. De este modo, a

cierta distancia del origen (x=0), donde esta la fuente térmica que impone la condición de

periodicidad, la onda térmica estará dominada por la onda fundamental, mientras que las

armónicas se irán atenuando progresivamente a medida que x aumente. Esto significa que a

cierta distancia del origen o a cierta “profundidad” la onda térmica estará dominada por una

onda senoidal cuya frecuencia será la fundamental, independientemente de la forma de la forma

de la señal térmica para x=0.

A) Si suponemos que la condiciones de borde, para x=0, es una señal cuadrada de periodo p, y

amplitud θ0, o sea:


( ) ( ) ( ))(cos

4cos,0 00

00 φω

π

θφωθ +

=+= ∑∑

==

tnn

ntAtimparn

n

imparn

n (20)

con

nAn

4 0

π

θ= para n = impar y An=0 para n par, (21)

aquí, φ0 es la fase inicial de la onda, que depende de las condiciones iniciales, o sea el valor deθ(0,0).

B) Similarmente si suponemos que las condiciones de borde, para x=0, es una señal triangular

de periodo p y amplitud θ0, tenemos:

( ) ( ) ( ))(cos

4cos,0 002

00 φω

π

θφωθ +

=+= ∑∑

==

tnn

ntAtimparn

n

imparn

n (22)

con

2

04

nAn

π

θ= para n = impar y An=0 para n par. (23)

Combinando (21) con (13) obtenemos:

( ) ( )02

0 cos)exp(

4, φεωε

π

θθ nxtx

ntx nnn

imparn

+−−

= ∑

=

. (24)

C) En el caso que el elemento generador de calor sea una resistencia, dado que al

encender la misma lo que se genera es un flujo de calor constante H0=dQ/dt, hacia la

barra, por la ecuación de conducción de calor, aplicada al extremo de la barra conectada

al calefactor, tenemos: H0=-K.A.dTa/dt. Aquí Ta es la temperatura del extremo de la

barra adyacente a la fuente de calor. Si suponemos que H0 es una función cuadrada,

como: .d Ta/dt = -H0 /(K.A), podemos suponer que Ta(t)será una función triangular. Por

lo tanto la condición que mejor se aproxima a la realidad es la onda triangular, Ec.(24).

Fig.5 Variación de la temperatura de una barra a distintas profundidades x, como función del

tiempo normalizado t/p0, para dos valores de la conducción térmica de la barra. A medida que la

conducción térmica disminuye, la onda térmica se atenúa más rápidamente. Además la onda se

Barra Al L(m)=0.8 T0(s)=180 Nmax=20 Diam(cm)=1.5 K(w/mk)=250

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

t(s)/T0

T [

ºC]

T(x(m)=0,t)

T(x(cm)=7,t)

T(x(cm)=10,t)

T(x(cm)=15,t)

T(x(cm)=20,t)

T(x(cm)=30,t)


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

t(s)/T0

T [

ºC]

T(x(m)=0,t)

T(x(cm)=7,t)

T(x(cm)=10,t)

T(x(cm)=15,t)

T(x(cm)=20,t)

T(x(cm)=30,t)


va atrasando y las componentes de orden superior (n>1) van atenuándose rápidamente. Estos

gráficos se obtuvieron usando la Ec.(24).

En todos los casos es importante observar el comportamiento del termómetro más

cercano al calefactor y verificar cual es la condición de borde que mejor describe el

sistema en estudio. Un modo de simular el efecto de que el calefactor tiene una masa

finita, consiste en definir la coordenada x (que se usa en las Ec.(24)) como:

0xxx real δ+= , (25)

donde xreal es la posición medida del termómetro y δx0 un parámetro que se ajusta de

modo tal que la Ec.(24) reproduzca los valores medidos de la temperatura para el

termómetro más cercano al calefactor.

Es interesante notar que los máximos de temperatura Tmax para una dada profundidad (x)

ocurrirán cuando el valor de coseno sea igual a 1. O sea:

( ) )/exp(

4)exp(

40

0

2

0 µπ

θε

π

θθ xx

nx n

imparn

max −

≈−

= ∑

=

, (26)

Fig.6 Perfiles de la temperatura de una barra a distintas profundidades para distintos tiempos,

suponiendo una condición de temperatura periódica en su extremo izquierdo (x=0) de periodo

p0=180 s. Las distintas curvas correspondes a distintos tiempo normalizados t/p0. El panel

superior corresponde a K=250 w/m.k y el panel inferior a K=120 w/m.k. Estos gráficos se

obtuvieron usando la Ec.(24).

esto es consecuencia de que los términos asociados a n>1 se atenúan a distancias cada vez

menores, por lo tanto, para una barra metálica, a unos pocos centímetros del extremo en

contacto con el calefactor, la expresión (25) es una buena aproximación y no indica un

posible modo de medir k, se determina la amplitud de la onda térmica, θmax(xi), en función dela profundidad xi (posición de termómetro i). Si el grafico de ln(θmax(xi)/θmax(x1)) en función


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35x (m)

T(t

) [º

C]

0.00

0.10

0.20

0.50

0.60

0.85


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35x (m)

T(t

) [º

C]

0.00

0.10

0.20

0.50

0.60

0.85


de xi es lineal de la pendiente, ec.(25), podemos determinar k, x1 es la posición del

termómetro más cercano al calefactor.

Proyecto 1 – Propiedades térmicas del suelo16

Un problema de mucha importancia práctica en muchos campos es comprender las

propiedades térmicas del suelo. En agricultura, es importante conocer la temperatura a

la que se encuentran las semillas para su correcta germinación y crecimiento. También

en ingeniería es impotente conocer las variaciones térmicas del suelo. En particular

tanto los gasoductos como oleoductos no deben estar sometidos a grandes variaciones

térmicas, ya que por su longitud las variaciones de longitudes pueden ser grandes y

afectar su estructura. Para estudiar las propiedades térmicas del suelo, se propone medir

la temperatura a diversas profundidades como función del tiempo, a lo largo de uno o

dos días. Para este experimento es conveniente elegir días despejados de gran amplitud

térmica. Se sugiere colocar varios termómetros, conectados a un sistema de adquisición

de datos por computadora. Es conveniente tener un sensor que registre la temperatura

ambiente a, uno o dos cm del suelo. El más profundo no debería superar unos 20 cm.

Los sensores térmicos pueden ser termistores, termocuplas, Pt100, o sensores basados en

circuitos integrados como los LM35.17

� Comience la adquisición de datos, midiendo las temperaturas a una tasa de

aproximadamente 1 medición por minuto,

� Con los datos obtenidos a lo largo de uno o dos días completos, graficar para cada

termómetro (xi) la temperatura en función del tiempo.

� Para cada sensor, determine la amplitud térmica ∆T=(Tmax-Tmin) para un díacompleto, y grafique ∆T como función de la profundidad x, en escala lineal y

semilogarítmica. Si observa una dependencia exponencial, como la que predice la

Ec.(24), determine µ0 a partir de sus datos. Estime el valor de la difusividad del

suelo y compare con los valores los valores tabulado. Para un suelo seco k= 3.81

m2/s ( K= 1.2 w/m.k, ρ= 2500 kg/m3

y c= 1260 J/kg.k), Ver Apéndice A.

� A partir de la posición temporal de los máximos de dos termómetro, 1 y 2,

determine el intervalo de tiempo ∆t12 en que cada uno alcanza su máximo. A partir

de estos datos estime la velocidad de propagación de las ondas de calor en el suelo

v0 = (x2-x1)/∆t12 para los distintos pares de termómetros usados y obtenga el mejor

valor de v0 y k y sus respectivas incertezas. Compare su valor con el predicho por el

modelo teórico, Ec.(11). Un método mejor de obtener el valor promedio de v0

Equipamiento recomendado: tres o más termómetros conectados a un sistema de adquisición de datos

por computadora.


consiste en graficar la posición de cada termómetro xi como función de defasaje ∆t1ide cada uno de ellos respecto del primero (el que está en la superficie 1). Si los datos

se alinean, la pendiente será el mejor valor de v0.

� Usando todos los datos medidos de T(x,t), con el modelo descrito por la Ec.(16),

intente ajustar sus datos con esta expresión teórica. Varíe el valor de la constante k

hasta obtener el mejor ajuste de los datos posible. Discuta la bondad del modelo

propuesto. En el apéndice A se proveen datos de conductividades y difusividades de

distintos materiales. (Los datos de las Ref. 11, se indican en el archivo Soil_2k1.xls,

hoja=Datos_ref)

� Usando el modelo descrito por la Ec.(16), intente describir los datos de temperatura

en función de profundidad para el ciclo anual (verano invierno) usando los datos de

la Fig. 1, ref. 4. (Los datos de las Ref. 4, se indican en el archivo Soil_2k1.xls,

hoja=Datos_ref). En el mismo grafico represente los datos experimentales, y los

teóricos. ¿Qué puede concluir de estos gráficos respecto al modelo propuesto?

� (Análisis avanzado - opcional) Usando todos los datos medidos de T(x1,t)=

temperaturas de la superficie, con el modelo descrito por la Ec.(13), determine los

primeros 5 o 7 coeficiente de Fourier An para describir la temperatura de 1 día.

Usando estos coeficientes y la expresión (15), intente ajustar sus datos medidos con

esta expresión teórica. Varíe el valor de la constante k hasta obtener el mejor ajuste

de los datos posible. Discuta la bondad del modelo propuesto.

Proyecto 2 – Estudio de conducción y convección

Para este experimento se propone usar al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1

m de longitud y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. El

arreglo experimental propuesto consiste en disponer de dos recipientes de poliuretano

expandido (telgopor) de ½ a 1 litro, los envase de helado pueden servir muy bien para

este experimento. Realice perforaciones a los lados de dichos recipientes de modo de

introducir las barras uno 4 o 5 cm dentro de los mismos y selle con epoxy como se

indica en la Fig. 6.

Fig.6 Arreglo experimental, barra metálica de cobre o acero inoxidable. Los recipientes de los extremos

actúan como reservorios de calor. Un termómetro o termocupla mide la temperatura de la barra en

función de la posición x.

En cada uno de los recipientes mantenga la temperatura lo más constante posible, por ejemplo colocando

hielo en la parte fría y haciendo hervir el agua en la caliente. Controle la temperatura en cada uno de los

x

xx

ºC

Te= Temperatura ambiente

L

T≈100ºC T≈0ºC

Equipamiento recomendado: Al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1 m de longitud

y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. Dos termómetros

estándares (alcohol o mercurio). Un termómetro basado en un termistor o termocupla. Dos

recipientes de poliuretano expandido (telgopor) de ½ a 1 litro


reservorios. Con un termómetro basado en un termistor, o termocupla, controle la temperatura en un

punto cercano a la fuente caliente, pero unos 5 a 10 cm de ella.

�� Cuando la temperatura deje de variar con el tiempo, habremos alcanzado un régimen

estacionario. En estas condiciones, mida la temperatura de cada una de las barras usada en

función de la posición x.

�� Para cada barra grafique la temperatura T(x) como función de x. En el mismo grafico, trace la

curva correspondiente al modelo teórico, Ec.(A7), Ver apéndice A. Varié el parámetro α ydetermine el valor de mismo que mejor reproduzca sus datos experimentales.

�� Usando los valores de conductividad de tablas (apéndice B) estime el mejor valor del coeficiente

de convección h para las barras en el aire. Compare su valor con los valores de tabla.

�� Discuta la bondad del modelo para reproducir sus datos y para cada caso indique la relevancia

del fenómeno de convección en cada tipo de barra usada.

Proyecto 3 – Ondas de Calor

Para este experimento se propone usar una barra metálica de unos 60 cm a 1 m de longitud y

de diámetro entre 1 a 2 cm. Uno de los extremos se reduce con un torno de modo que pueda

conectase al calefactor de un soldador de estaño estándar. Se realizan perforaciones de unos 5 a

8 mm de profundidad de modo de insertar en ellos los sensores de temperatura. A distancias de

unos 4 a 5 cm sobre el largo de la barra. En estas perforaciones se colocan los sensores de

temperaturas conectados a un sistema de adquisición de datos conectados a una computadora. El

calefactor puede ser encendido de modo periódico. Es conveniente disponer de unas tres o más

barras de características geométricas similares pero de distintos materiales. Una de ellas es

conveniente que sea de un metal cuyas propiedades térmicas sean bien conocidas, de modo de

poder usarla como banco de prueba del método experimental propuesto. Los sensores térmicos

pueden ser termistores, termocuplas, Pt100, o sensores basados en circuitos integrados como los

LM35.17 En la Fig. 6 se muestra un diagrama esquemático del experimento.

Las posiciones de los sensores térmicos, xi, nos indican la coordenada o “profundidad” a

la que medimos la temperatura. Es conveniente elegir un periodo p de excitación de la

fuente térmica entre unos 100 a 500 s.

Fig.7 Arreglo experimental, barra metálica de unos 60 a 1 m y de diámetro de aproximadamente 1 cm,

conectada a un calefactor que puede ser encendido de modo periódico.

� Elija un período, p0, de excitación y comience a ciclar la fuente térmica hasta que se

observe que se encontró una situación estacionaria. Esto significa que la temperatura

media de cada termómetro se mantiene constante. Operacionalmente, se puede

Calefactor

Interruptor

Termómetros

conectados a una PC

Barra metálica

Fuente de

potencia

Equipamiento recomendado: Al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1 m de longitud

y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. Al menos tres termómetros

conectados a un sistema de adquisición de datos por computadora.


verificar si la barra llegó al estado estacionario graficando las temperaturas máximas

Tmax(x) y Tmin(x) en función de x. Si la relación entre estas variables es lineal, esto es

indicativo que estamos en condiciones estacionarias.

Temperaturas en función de t

-5

0

5

10

15

20

25

- 5 10 15 20t

T(°

C)

x=x 1

x=x 2

x=x 3

T min

T max

Fig.8 Variación de la temperatura de distintos termómetro en distintas posiciones (xi), como función del

tiempo. Nótese que los valores máximos y mínimos se alcanzan en distinto tiempo ti.

� Comience la adquisición de datos, midiendo las temperaturas a una taza de

aproximadamente 1 a 5 mediciones por segundo, asegurándose de medir al menos

unos 5 ciclos completos.

� Con los datos obtenidos, graficar para cada termómetro (xi) la temperatura en

función del tiempo y verifique si se llegó a una situación estacionaria. En estas

condiciones la señal oscila manteniendo los mismos máximos, mínimos y valor

medio.

� Graficar para cada termómetro su valor medio temporal <T(x)>(≈0.5(Tmax+ Tmin)) ygraficar como función de x. Si la relación es lineal, obtener los parámetros T00

y m

de la relación (8), Tb(x)=T00-m.x. Una vez determinada esta expresión, calcular la

temperatura normalizada θ(x,t)=Tmedida(x,t)-Tb(x),

� En condiciones estacionarias, graficar la temperatura máxima θmax (observada paracada termómetro i en la posición xi) como función de la posición xi, en escala lineal

y semilogarítmica. ¿Qué pude concluir a cerca de la dependencia de θmax(x) confunción de x?. Si la dependencia es exponencial, usando la expresión (26),

determine µ0 para cada una de las barras estudiadas y a partir de esta información,

usando la expresión (10) determine la difusividad k y la conductividad K de cada

barra.

� A partir de la posición temporal de los máximos de dos termómetro, 1 y j, determine

el intervalo de tiempo ∆tj1 en que cada uno alcanza su máximo. A partir de estos

datos estime la velocidad de propagación de las ondas de calor en el suelo v0 = (xj-

x1)/∆tj1 para los distintos pares de termómetros usados y obtenga el mejor valor de

v0 y k y sus respectivas incertezas. Compare su valor con el predicho por el modelo

teórico, Ec.(11). Un método mejor de obtener el valor promedio de v0 consiste en

graficar la posición de cada termómetro xi como función de defasaje ∆tj1 de cadauno de ellos respecto del primero (el que está en la superficie 1). Si los datos se

alinean, la pendiente será el mejor valor de v0.

� Usando estas expresiones, Eqs (19) y (20), comparar las predicciones de ese modelo

con los datos medidos. Ajustar los datos experimentales con esta expresión y

obtener el mejor valor de la constante µ0 = π/kp ⋅ y una estimación de su error.

� Determine el mejor valor de k y estime su error.

� Usando los datos de los máximos (Tmax) para una dada barra, excitada con diversos

períodos p, de ser adecuado el modelo descrito por la Ec. (16), el gráfico de

t3


Tmax/θmax como función de z= π// px debería tener una dependencia exponencial

común para todos los datos de distintos periodos. Usando sus datos experimentales,

grafique Tmax/θ0 en función de z en escala semilogarítmica y discuta la validez de

esta hipótesis. De verificarse esta hipótesis, obtenga el valor de k para esta barra y

estime su error. ¿Cómo se compara este valor con los obtenidos anteriormente y los

valores de tabla?

� A partir de sus resultados experimentales, determine la velocidad de propagación v0

de las ondas térmica para los distintos periodos usados. Grafique kv /2

0 como

función de 1/p0. ¿Qué puede concluir de este gráfico?

� Discuta como se atenúan las ondas térmicas para ondas excitadoras de distintas

frecuencias usando sus datos experimentales.

� Para la barra de propiedades térmicas conocida, compare el valor obtenido para k

con los valores tabulados para esta misma cantidad. ¿Qué puede concluir de este

análisis?

� Usando todos los datos medidos de T(x,t), usando el modelo descrito por la Ec.(17),

intente ajustar los datos medidos con esta expresión teórica. Varíe el valor de la

constante k hasta obtener el mejor ajuste de los datos posible. Discuta la bondad del

modelo propuesto.

� Repita este análisis para todas las barras que tenga disponible y compare sus

resultados con los obtenidos por otros compañeros para sistemas similares.

Apéndice A

Estudio de una barra metálica con enfriamiento lateral debido a la convección

Convección libre- Ley de Newton: Para un cuerpo que se encuentra a una temperatura

T(t) en un medio fluido a una temperatura Te, su enfriamiento es consecuencia de la

conducción a través del fluido y el movimiento del mismo. Este proceso combinado se

llama convección y es en general un proceso muy complejo. Si embargo una

aproximación útil de este proceso viene descripta por la ley de Newton:

))(( TetTAhdt

dQP s

convconv −⋅== , (A1)

donde As es la superficie del cuerpo y h es el coeficiente de transferencia de calor por

convección. Si existen ventiladores la convección es forzada, en caso contrario la

convección se denomina natural o libre. En la Tabla 1 se indican valores aproximados

para h.11

Consideremos una barra de longitud L y radio a. Si los efectos de convección no son

despreciables, realizando un balance de energía en un elemento infinitesimal, tenemos:

Fig.7 Balance de energía para un elemento infinitesimal de volumen de una barra.

( ) )),((),(

esdxxxTtxThAxTxTKA

t

txTxAc −−∂∂−∂∂−=

∂

∂+

δρ (A2)

o bien,

P(x+dx)=-K A dxx

dxdT+

P(x+dx)=-K A x

dxdT

Pconv=-h As (T-Te)

T, ρ, c


)),((),(

2

2

eTtxTAc

Perh

x

T

c

K

t

txT−

⋅−

∂

∂+=

∂

∂

ρρ. (A3)

Aquí Per(=2π.a) es el perímetro de la superficie y As (Per.δx) es la superficie lateral deelemento en análisis. Definiendo k=K/cρ y β=h.Per/cρA, y θ(x,t)=T(x,t)-Te, tenemos:

),(),(

2

2

txx

kt

txθβ

θθ⋅−

∂

∂+=

∂

∂. (A4)

En condiciones estacionaria ( 0/ =∂∂ tθ ):

),(),( 2

2

2

txtxkx

θαθβθ

⋅=⋅=∂

∂. (A5)

Para una barra de sección circular y radio a, tenemos:

aK

h

A

Per

K

hk

2/2 === βα . (A6)

Consideremos una barra cuyo extremo izquierdo está a una temperatura fija Ta y su

extremo derecho está a otra temperatura Tb, resolviendo (A4) tenemos:

)sinh(

)sinh()(

)sinh(

))(sinh()()(

L

xTT

L

xLTTTxT ebeae

α

α

α

α ⋅−+

−−+= . (A7)

Es útil definir el Número de Biot (Bi) como el cociente entre los efectos convectivos a

los conductivos en un cuerpo:

2

2 4

2

a

a

K

h

A

Per

K

h

PerK

Ah

conducciónporcalordeFlujo

convecciónporcalordeFlujoBi α===

⋅

⋅== . (A7)

Fig.8 Efecto de la convección en una barra de cobre en aire (panel superior Bi=9 10-5) y de aceroinoxidable en agua(panel inferior Bi=2.3 10

-2), ambas en estado estacionario y diámetro 1.5 cm. La línea

continua gruesa es la solución (A4) teniendo en cuenta la convección y conducción. La línea fina es el

resultado de desprecia la convección. Se ve claramente que cuando Bi<<1 depreciar la convección es una

aproximación razonable, en caso contrario el efecto de la convección es importante. La temperatura

externa es de 25°C.

Cu (aire) L(m)=0.8 K(W/mc)=401 h(w/m2c)=10 L(cm)=80 Tex(°C)=25

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80x(cm)

T [

ºC]

T_cond(X)

T(x) [°C]

Barra Acero Inox (agua) L(m)=0.8 K(W/mc)=16.2 h(w/m2c)=100 L(cm)=80

Tex(°C)=25

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80x(cm)

T [

ºC]

T_cond(X)

T(x) [°C]


En general hay bastante incerteza en el valor de h (un 10% es característico), en la

práctica se considera que los efectos convectivos son despreciables respecto de los

conductivos si Bi<0.01. En la Figura 8 se representan la variaciones de temperatura para

una barra de cobre (buen conductor) en aire y una de acero inoxidable (mal conductor)

en agua, ambas de radio a =1cm. Vemos que el segundo caso no es posible despreciar

los efectos de la convección.

Estado transitorioConsideremos una barra de longitud L y radio a, que originalmente está a una

temperatura descripta por la función F(x), la temperatura externa es Te y Ti es otra

temperatura de referencia. Definimos los siguientes parámetros adimensionales:

ei

e

TT

TtxTtx

−

−=

),(),(θ

LxX /= (A8)2/ Lkt=τ

Con estos cambios de variables, la Ec.(6) se puede escribir como:

2

2),(

X

X

∂

∂=

∂

∂ θ

τ

τθ. (A9)

Consideremos una barra de buena conductividad de modo que los efectos de convección

puedan ser despreciados (Bi<<1) y cuyo diámetro sea mucho menor que su longitud,

suponiendo que para t=0 la temperatura de la misma viene descripta por la función F(x),

que tiene una transformada de Fourier dada por:

∫∞

∞−

⋅= νννdfxF exj

)()( . (A8)

con

∫∞

∞−

−⋅= dxxFf e

xjν

πν )(

2

1)( . (A9)

ωνωννω

ddgftxT eexjtj

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅⋅⋅= )()(),( . (A10)

Resolviendo la Ec.(6) por separación de variables,18 tenemos:

αββπ

βααddftxT ee

xjtk

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−⋅−⋅=

)()( 2

)(1

),( . (A10)

o también

∫∞

∞−

⋅−−⋅

⋅= ββ

π

βdf

kttxT e

tkx )4/()( 2

)(2

1),( . (A11)

Apéndice B.

Tabla 1 – Coeficiente de convección

Tipo h[w/m2ºC]

Convección libre en gases 2 - 25

Convección libre en líquido 10 - 1000

Convección forzada en gases 25 - 250

Convección forzada en líquido 2500 - 105


Conductividades y difusividades: de distintos materiales.19 Más información se puede

obtener de la Ref. 7 y http://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html

Tabla 2 – Conductividad térmica y coeficiente de difusividad

Material

ConductividadDifusividad

K(W/mºC) k(m2/s)x106

Plata 429 177.6

Diamante 2300 149.0

Oro 317 127.0

Cobre 401 113.0

Aluminio 237 97.5

Bronce

(Cu63%,Zn37%)109 33.6

Hierro 80.2 22.8

Aire (g) 0.026 21.559

Bronze

(Cu89%,Sn11%)52 16.1

Mercurio (liq) 8.54 4.7

Acero

Inoxidable(25°C)16.2 4.03

Tierra seca 1.5 2.778

Saladar (Salt-Marsh) 0.61 0.157

Suelo (seco) 2.5 0.47

Hielo 1.97 1.2

Expanded polystyrene 0.033 1.1

Suelo (seco) 1.5 0.52

Ladrillo 0.72 0.52

Vidrio 0.78 0.34

Fibra de Vidrio 0.043 0.23

Agua (LIQ) 0.613 0.14

Madera (Roble) 0.17 0.13

Bibliografía

1 R. B. Alley and M. D. Bender, “Greenland Ice Cores: Frozen in Time,” Scientific American, 273 (2)

p. 80, Feb. 1998.2 M.D. Mastrandrea and S.H.Schneider, ”Resource Letter GW-2: Global Warming,” Am.J.

Phys.76(7),

608-614(2008)3 M. E. Mann, et al. “Optimal surface temperature reconstructions using terrestrial borehole data, “ J.

Geophys. Res. 108, (D7), 4203, (2003)4 P.D. Jones, D.E. Parker, T.J. Osborn & K.R. Briffa (2005) as "Global and hemispheric temperature

anomalies – land and marine instrumental records". In Trends: A Compendium of Data on Global

Change. Carbon Dioxide Information Analysis Center, Oak Ridge National Laboratory, U.S.

Department of Energy, Oak Ridge, Tenn., U.S.A.

http://cdiac.esd.ornl.gov/trends/temp/jonescru/jones.html


5 World Meteorological Organization, Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC), Fourth

Assessment Report: Climate Change 2007 http://www.wmo.int/pages/partners/ipcc/index_en.html6 R. A. Muller, G. J. MacDonald, Ice Ages and Astronomical Causes: Data, Spectral Analysis, and

Mechanisms, (Springer-Verlag Telos N.Y. 2000). http://muller.lbl.gov,

http://muller.lbl.gov/pages/iceagebook/IceAgeTheories.html7 A. C. Redfield, “Terrestrial Heat Flow through Sal-Marsh Peat” Science 148, (3674) May 28,

1291-92 (1965).8 H. N. Pollack and D. S. Chapman, “Underground Records of Changing Climate,” Scientific

American, 268 (6) p. 44, June 19939 D.C. Giancoli Física - Principios con Aplicaciones. Prentince Hall México 1997

10 J. D. Wilson Física - 2nda Ed. - Prentince Hall México 1996

11 Y.A. Cengel, Heat transfer, a practical approach, ( The Mc Graw-Hill Co. NY 2003)

12 M. R Spiegel, Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, (McGraw Hill, N.Y. 1980)

13 A. Bodas, V. Gandía, and E. López-Baezab , “An undergraduate experiment on the propagation of

thermal waves,” J. Phys., 66, (6), 528, (1998)14 M. C. Sullivan and B. G. Thompson, “An experiment on the dynamics of thermal diffusion,” J.

Phys., 76, (7), 637, (2008)15 Hwe P. Hsu, Applied Fourier Analysis ( Int. Thompson, NY, 1984)

16 G. McIntosh and B.S. Sharratt, “Thermal Properties of soil,” The Phys. Teach. 39, 458-460 (2001).

17 National semiconductor Precision Centigrade Temperature Sensor (LM 35)

http://www.national.com/mpf/LM/LM35.html18 L. A. Pipes and L. R. Harvill, Applied Mathematics for Engineers and Physicists (McGraw-Hill,

New York, 1970), 3rd ed19Tablas muy completas pueden encontrarse en: The Engineering ToolBox:

http://www.engineeringtoolbox.com/material-properties-t_24.html

actividad iii.33 - ondas de calor y calentamiento...

Documents