ley enfriamiento

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ESIME Azcapotzalco IPN Ecuaciones Diferenciales Jeanette González Robles Sánchez 1 Solución Examen ETS V2 280114 Aplicaciones Parte 4 Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton Circuitos eléctricos en serie o Circuito RL o Circuito RC o Circuito RLC (segundo orden) Drenado de un fluido de un cono circular invertido I. Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton. Un termopar (termómetro) al inicio t0=0 s, registra una temperatura T0 =30 °C (Temperatura a cierta hora en que se verifica el experimento). A continuación se sumerge dentro de un recipiente que contiene etilenglicol (anticongelante automotriz) hirviendo (Ta=196 °C, temperatura medio o contorno que lo rodea y se mantiene constante). Transcurrido t=50 s el termopar registra T =90 o C. Si el proceso se justifica con la Ley del calentamiento o enfriamiento de Newton: “La razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo t (derivada: !" !" ) es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo T y la del contorno Ta, ( ). Si es calentamiento (Ta>T), pero si es enfriamiento (Ta<T)”. “El calor se transmite de la parte caliente a la fría. Modelos: Para el calentamiento: Ta>T ; El termómetro frío se sumerge en un medio caliente. !" !" ( ) ; !" !" = ( ) ; Para el enfriamiento: Ta<T; El termómetro caliente se expone a un contorno frio !" !" ( ) ; !" !" = ( ) Determine: a) A partir de la ED, la constante C, y la solución general; la constante k y la solución particular, del proceso como una función: T(t) b) Que temperatura alcanza a los t=100 s. c) ¿Cuánto tiempo tardará el termómetro en alcanzar T=150 o C; d) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanza el 98% de la temperatura final (equilibrio térmico con su contorno es decir del punto de ebullición de etilenglicol)?. e) La gráfica de T Vs t, indique los valores encontrados en (b), (c), (d) Datos a) Condiciones iniciales: t0=0 s, T0=30 o C b) Ta= 196 o C (temperatura de ebullición del etilenglicol) c) Condiciones intermedias: t1=50 o C, T1=90 o C Proceso. A partir de la ecuación diferencial, determine: a) La constante arbitraria de integración C y la solución general de T(t), con las condiciones iniciales.

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Page 1: LEY ENFRIAMIENTO

ESIME Azcapotzalco IPN Ecuaciones Diferenciales Jeanette González Robles Sánchez

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Solución Examen ETS V2 280114 Aplicaciones

Parte 4 ü Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton ü Circuitos eléctricos en serie

o Circuito RL o Circuito RC o Circuito RLC (segundo orden)

ü Drenado de un fluido de un cono circular invertido

I. Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton. Un termopar (termómetro) al inicio t0=0 s, registra una temperatura T0 =30 °C (Temperatura a cierta hora en que se verifica el experimento). A continuación se sumerge dentro de un recipiente que contiene etilenglicol (anticongelante automotriz) hirviendo (Ta=196 °C, temperatura medio o contorno que lo rodea y se mantiene constante). Transcurrido t=50 s el termopar registra T =90 oC. Si el proceso se justifica con la Ley del calentamiento o enfriamiento de Newton: “La razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo t (derivada: !"

!" ) es

directamente proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo T y la del contorno Ta, ∝ (𝑇𝑎 − 𝑇). Si es calentamiento (Ta>T), pero si es enfriamiento (Ta<T)”. “El calor se transmite de la parte caliente a la fría. Modelos: Para el calentamiento: Ta>T ; El termómetro frío se sumerge en un medio caliente.

!"!"∝ (𝑇𝑎 − 𝑇) ; !"

!"= 𝑘 ∙ (𝑇𝑎 − 𝑇) ;

Para el enfriamiento: Ta<T; El termómetro caliente se expone a un contorno frio !"!"∝ (𝑇 − 𝑇𝑎) ; !"

!"= 𝑘 ∙ (𝑇 − 𝑇𝑎)

Determine: a) A partir de la ED, la constante C, y la solución general; la constante k y la solución

particular, del proceso como una función: T(t) b) Que temperatura alcanza a los t=100 s. c) ¿Cuánto tiempo tardará el termómetro en alcanzar T=150 oC; d) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanza el 98% de la temperatura final (equilibrio térmico

con su contorno es decir del punto de ebullición de etilenglicol)?. e) La gráfica de T Vs t, indique los valores encontrados en (b), (c), (d)

Datos

a) Condiciones iniciales: t0=0 s, T0=30 oC

b) Ta= 196 oC (temperatura de ebullición del etilenglicol) c) Condiciones intermedias: t1=50 oC, T1=90 oC

Proceso. A partir de la ecuación diferencial, determine: a) La constante arbitraria de integración C y la solución general de T(t), con las

condiciones iniciales.

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b) La constante de proporcionalidad k y la solución particular de T(t), con las condiciones intermedias.

c) T2 cuando t2=100 s d) t3 cuando T3=150 oC e) t4 cuando T4=0.98Tf =0.98(Teb)

Solución Consideraciones: Trabajar sin unidades, pero consistentes t en s; T en oC 1) Ecuación diferencial: La razón de cambio instantáneo de la Temperatura T respecto del

tiempo t es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo T y la del contorno Ta. Pasando de la relación empírica a una ecuación diferencial.

!"!"∝ (𝑇𝑎 − 𝑇)

Sustituyendo la constante de proporcionalidad por un signo igual ( =) y una constante (k) !"!"= 𝑘 ∙ (𝑇𝑎 − 𝑇)

Por separación de variables

𝑑𝑇(𝑇𝑎 − 𝑇) = 𝑘 ∙ 𝑑𝑡

Integración

−−𝑑𝑇

(𝑇𝑎 − 𝑇) = 𝑘 𝑑𝑡 + 𝐶

Solución directa −ln 𝑇𝑎 − 𝑇 =  𝑘   ⋅ 𝑡 + 𝐶

Exponenciación 𝑒!!"  (!"!!) = 𝑒!⋅!!! = 𝑒!⋅! ⋅ 𝑒! = 𝐶 ⋅ 𝑒!⋅!

𝑒!"  !

!"!! = 𝐶 ⋅ 𝑒!⋅!

Solución general y C

1𝑇𝑎 − 𝑇 = 𝐶 ⋅ 𝑒!⋅!

𝑇𝑎 − 𝑇 =1

𝐶 ⋅ 𝑒!⋅! = 𝐶 ⋅ 𝑒!!⋅!;              1𝐶 = 𝐶

−𝑇 = −𝑇𝑎 + 𝐶  𝑒!!  !

Solución general 𝑇 = 𝑇𝑎 + 𝐶  𝑒!!  !;            (−𝐶 = 𝐶)

Condición inicial: 𝑡0 = 0;𝑇0 = 30 ; Ta=196, sustituyendo valores de la condición inicial

30 = 196+ 𝐶  ;    𝐶 = 30− 196  ;𝐶 = −166 Sustituyendo el valor de C en la solución general, queda la solución semi-particular

𝑇 = 196− 166  𝑒!!  !

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Solución particular: con las condiciones intermedias: t1:=50; T1=90 para determinar k, por logaritmos naturales

𝑇 − 196 = −166  𝑒!!  !

𝑒!!" = (𝑇 − 196−166 )

ln  (𝑒!!") = 𝑙𝑛(𝑇 − 196−166 )

−𝑘 ⋅ 𝑡 ⋅ ln 𝑒 = 𝑙𝑛𝑇 − 196−166 ; ln 𝑒 = 1

Modelo solución k t sirve para calcular: k ó t

𝑘 ⋅ 𝑡 = −  𝑙𝑛(𝑇 − 196−166 )

𝑘 = −1𝑡 ⋅ 𝑙𝑛(

𝑇 − 196−166 )

Sustituyendo valores: t1=50; T1=90

𝑘 = −150 ⋅ 𝑙𝑛(

90− 196−166 )

𝑘 = 0.00897

Si, k>0, es incremento (calentamiento), si k<0 es decremento (enfriamiento) Solución particular, sustituyendo k en la solución general.

𝑇 = 196− 166  𝑒!!.!!"#$  ! Determinando las variables con los datos del problema Determina T2 cuando t2=100 s

𝑇 = 196− 166  𝑒!.!!"#$  (!"") 𝑇 = 128.307  (°𝐶)

Determinar t3 cuando T3=150, sustituyendo del modelo-solución (k-t), despejando t

𝑘 ⋅ 𝑡 = −𝑙𝑛(𝑇 − 196−166 )

𝑡 = −1𝑘 𝑙𝑛(

𝑇 − 196−166 )

𝑡 = −1

(0.00897) ⋅ 𝑙𝑛(150− 196−166 )

𝑡 = 143.07  (𝑠)

Determinar t4 cuando T alcanza el 98% del equilibrio térmico con el punto de ebullición del entorno Ta=196; y sustituyendo en la modelo-solución k-t despejando t

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𝑇 = 0.98   196 = 192.08

𝑡 = −1𝑘 𝑙𝑛(

𝑇 − 196−166 )

𝑡 = (−1

0.00897)𝑙𝑛(192.08− 196

−166 )

𝑡 = 417.6  (𝑠)

Tabla de resultados Ecuación diferencial 𝑑𝑇

𝑑𝑡 = 𝑘 ∙ (𝑇𝑎 − 𝑇) Ec dif. separación de variables (formato estádar)

𝑑𝑇(𝑇𝑎 − 𝑇) = 𝑘 ∙ 𝑑𝑡

Integración 𝑑𝑇(𝑇𝑎 − 𝑇) = (−)

(−𝑑𝑇)(𝑇𝑎 − 𝑇) = 𝑘 𝑑𝑡 + 𝐶

Solución directa −ln 𝑇𝑎 − 𝑇 = 𝑙𝑛1

𝑇𝑎 − 𝑇 =  𝑘   ⋅ 𝑡 + 𝐶

Exponenciación 𝑒!"  !

!"!! = 𝑒!⋅!!! = 𝑒!⋅! ⋅ 𝑒! = 𝐶 ⋅ 𝑒!⋅! Solución general directa 1

𝑇𝑎 − 𝑇 = 𝐶 ⋅ 𝑒!⋅!;    𝑇𝑎 − 𝑇 =1

𝐶𝑒!" = 𝐶𝑒!!"

−𝑇 = −𝑇𝑎 + 𝐶𝑒!!";  𝑇 = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒!!" 𝑇 = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒!!"

C y k 𝐶 = 166 ; 𝑘 = 0.00897 Solución Particular 𝑇 = 196− 166  𝑒!!.!!"#$  ! Solución k t 𝑘 ⋅ 𝑡 = −𝑙𝑛(

𝑇 − 196−166 )

Para t=100 s 𝑇 = 128.307 Para T=150 C 𝑡 = 143.07 Para T=0.98(Ta) = 192 s 𝑡 = 417.6 Gráfica

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Ejercicio suplementario. Un termopar (termómetro) está sumergido dentro de un recipiente que contiene agua hirviendo en el D.F. (93 oC). A continuación en t=0, se saca del recipiente y se expone al medio ambiente que está a 20°C (a cierta hora y se mantiene constante en lo que dure el experimento). Transcurrido t=10 s el termopar registra T =85oC. Si el proceso se justifica con la Ley del calentamiento o enfriamiento de Newton: “La razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo t; es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo T y la del contorno Ta”. Determine:

a) A partir de la ED, la constante C, y la solución general; la constante k y la solución particular, del proceso como una función: T(t)

b) Que temperatura alcanza a los t=30 s. c) ¿Cuánto tiempo tardará el termómetro en alcanzar la media aritmética entre ambos

medios; d) La temperatura final (equilibrio térmico) e) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanza el 90% de la temperatura final (equilibrio

térmico)?. f) La grafica con (b), (c), (d), (e)