Ljubia Koci

MATEMATIKA I ESTETIKA

NKCNI, 2003

Biblioteka JEDAN SVETGLAVNI I ODGOVORNI UREDNIK Stevan Bonjak

UREIVAKI ODBOR Ljubia Koci Verica Novakov Ognjen Radovi Ljiljana Jevti Zoran Pei Sigma Stevan Bonjak

SADRAJ Uvod Matematika istraivanja u estetici Skriveni broj: egzegeza transcedentnog Ponone refleksije o simetriji Komentari na Peri Elikon Ortogonalnost kognitivno estetska funkcija Umetniki elementi u fraktalnim konstrukcijama 7 13 55 71 87 147 179

UVOD U LEPO I RACIONALNO

S

aznanje je magian proces iz nekoliko razloga. Onaj koji saznaje ima doivljaj otkrovenja. Onaj od koga saznanje potie, dobija trajni oreol intelektualnog autoriteta dok predmet saznanja podjednako koristi i jednom i drugom. Ipak, najvie dobija ljudska zajednica budui da se jednom zapoeti proces lanano nastavlja u oba smera. Jer, uenik tei da postane uitelj a uitelj, opet, da bude uenik nekog jo boljeg uitelja. Ovaj lanac nita ne prekida. Nita, osim lepote.

Ako se u saznanju naie na lepotu saznajni proces postaje ozbiljno ugroen. Zbog ega? Zbog toga to se lepota ne da saznati. A to zato jer je lepota sastavljena od materije koja nije od iste vrste kao to su, na primer, zakoni Fizike. No, i to da se lepota ne saznaje, i to je saznanje. Na duh je beskrajno fina meavina racionalnog i iracionalnog. Svrsishodna i koncentrisana iracionalnost je neophodna za postojanje mitologije i, simetrino tome, svrsishodna i koncentrisana racionalnost vodi nauci. Mit i nauka (koja se sve otrije izdvaja iz filozofije) dva su pola ljudskog intelekta. I mit i nauka trae svoje sublimne izraze. Tako se mit izraava kroz Umetnost a nauka kroz Matematiku. Umetnost je Lepota, Matematika je Logika. Ali nuno, u Logici takoe ima Lepote kao to u Lepoti ima Logike. One se, ustvari, ne mogu potpuno razdvojiti, kao to se ni Nebo i Zemlja ne mogu potpuno razdvojiti. Tako se ta dva, prividno

7

suprotna pola, spajaju u harmonini dualizam lepo-logino. Najvei umetnici su vrhunski logini kao to su i najvei naunici prevashodno ljubitelji Lepog. U Srednjem veku gotovo potpuno zaboravljena Euklidova geometrija je vaskrsla iz tame kada su renesansni umetnici poeli njeno sistematsko prouavanje zbog primene u perspektivi. Na taj nain je Umetnost uvala Matematiku koja je u samom svom sreditu imala Umetnost za inspiraciju i tako u beskraj. Kada je civilizacijska svest jednom stavila Matematiku i Umetnost jednu kraj druge, pokazalo se da su proimanja mnogo dublja i temeljnija nego to se u poetku i slutilo. Geometrijske proporcije doprinose estetskom doivljaju. Krug je lepa geometrijska figura. Sonet je ciklian. Matematiki grafovi su obojeni dok se muziki komadi oslanjaju na ornamentalnu kombinatoriku. Klasini hramovi i graevine sadre kanon Zlatnog preseka koji je saet u jednom iracionalnom broju sa najjednostavnijim neprekidnim razvojem. Pozorini komadi imaju svoju numeriku koja se ogleda u prebrojavanju konfiguracija diskretnih topolokih struktura. Slikarstvo se koristi iterativnim preslikavanjima i raunarskom grafikom, dok stroge matematike teorije trae ilustraciju u Haiku poeziji. Broj se pojavljuje u Bibliji a ortogonalnost u lingvistici i antropologiji. Dezeni tradicionalne japanske kimono svile sadre matrice koje se pojavljuju u Teoriji haosa, a u tlocrtu Katedrale u artru (Chartres, Francuska) otkriven je ifrirani muziki zapis skriven u odnosima rastojanja noseih stubova od dve fokusne take u osi glavnog broda Katedrale.

8

Muziki zapis u Katedrali u artru

Svakidanji dokaz proimanja Umetnosti i Matematike je sve vea zavisnost Umetnosti od Tehnologije i obratno, proizvodi Tehnologije ne mogu se prodavati ukoliko nisu oplemenjeni umetnikim dizajnom. Oblik karoserije automobila prati poslednja ostvarenja savremene skulpture a kist starih majstora zamenjen je raunarskom grafikom. Kada je na prelasku iz XIX u XX vek dolo do eksplozije umetnikih pravaca i raznih -izama bilo je jasno da je Umetnost kontaminirana hiper-analitinou specijalnih nauka. Jer, Umetnost u Periklovoj Atini se malo razlikovala od Umetnosti u Robespjerovom Parizu. Prodor je doao kasnije, kada se Estetika osetila ugroenom od naizgled superiornije Logike odenute u ruho prividnog tehnolokog napretka. Kakva zabluda! Kada su u XX veku planuli veliki ratovi, bilo je ve kasno. Fatalna greka je bila nainjena. Nazad se nije moglo, napred takoe.

9

Ova knjiga nudi jedno reenje. Nita revolucionarno. Pre iskreno. To reenje se zasniva na ubeenju autora da je mogua nova Renesansa i nova velika integracija Umetnosti. Kako? Moda treba poeti sa jednim iskrenim priznanjem da Umetnost ne moe bez Matematike a Matematika bez Umetnosti. Taj se brak vie ne moe razvenati. Zatim, mogue je, treba osloboditi umetnike straha od Logike, straha koji stvara nezdravu zavisnost, kao i logiare, straha od Lepog. Umesto straha i zavisnosti, neka Logiari prouavaju Umetnost a umetnici Logiku. Kao u drevnoj Heladi. Za to

oro Morandi: Mrtva priroda (1919)

10

nije potreban ak ni veliki napor. Samo odustajanje od licemernog zatvaranja u svoje male, ali vrsto ograene prostore gde smo dovoljni sami sebi i samo sebi. Tako se, mogue je, moe razdvojiti racionalni deo Lepote od iracionalnog i iracionalni deo Logike od racionalnog. Iz Nauke treba proterati mitologizirane i kvazi-naune sadraje. Iz Umetnosti odstraniti nauni mit. Na taj nain bi se mogla osloboditi prava kreativnost, a visoka koncentracija kreativnosti donela bi Umetnosti novu Renesansu a Nauci nove prodore, ranije nepoznate. Na kraju, treba glasno opomenuti svakog i svakud: Nema napretka bez snanog etikog opredeljenja. Moda je to klju. Jer Jedan Svet najpre mora biti bolji da bi bio lepi i pametniji. U Niu, novembra 2003. Autor

11

12

MATEMATIKA ISTRAIVANJA U ESTETICIUVODSa smru Boga, umetnost je dobila na vrednosti. Nietzsche

M

nogi auditivni i vizuelni doivljaji su praeni izvesnim intuitivnim oseajem vrednosti, koji je jasno odvojen od senzualnog, emotivnog, moralnog ili intelektualnog oseanja. Tim oseanjem, koje su antiki Grci zvali aisthesis () bavi se estetika. Predmeti koji iniciraju estetsko oseanje, nazivaju se estetskim predmetima. Lice estetike je dvostruko. Ona se moe smatrati filozofskom disciplinom, kako su smatrali Platon, Kant, Schelling, Hegel i njihovi sledbenici, ili naunom disciplinom za ta su se zalagali Fechner, Mller-Freienfels, Meumann, Lips, Desoar, Utic, Laloux, Munro i drugi. U prvom sluaju, estetske norme se uvode deduktivno, iz filozofskih refleksija, to daje estetiku odozgo. U drugom, estetika je zamiljena kao strogo induktivna, eksperimentalno-empirijska nauka, dakle estetika odozdo. U ovom lanku, posmatraemo nauno lice estetike, uz posebno paljivo postavljanje pi13

tanja: da li se mogu koristiti i matematike metode za njeno istraivanje, kao to se koriste u drugim naukama? Na osnovu postojee literature moe se zakljuiti da je odgovor na ovo pitanje sasvim sigurno pozitivan, a to je u skladu i sa autorovim najdubljim ubeenjem. Naime, matematika, kao sublimirani i proieni oblik naune misli viestruko je povezana sa estetikom. U prilog ovome idu sledei argumenti. 1. Reavanje matematikih problema praeno je snanim estetskim doivljajem. Dakle, matematiki problem i njegovo reenje predstavljaju i estetske predmete. Ovo iskustvo nije karakteristino samo za matematiare, ve je mnogo ire rasprostranjeno. Istraivanjem estetskih doivljaja mogue je uoiti strukturalne karakteristike estetskih predmeta. U jednom broju sluajeva one su sline karakteristikama matematikih estetskih objekata. Prema Birkhofu ovo omoguuje uvoenje estetske mere jednostavnih objekata. Iz takvih estetsko-matematikih iskustava izvedene su neke tradicionalne karakteristike dobro ureenih estetskih predmeta, kao npr. proporcija, simetrija, harmonija, ritam itd. Ove karakteristike mogu se opisati modelima euklidske geometrije, a u nekim sluajevima i drugim vrstama klasinih neeuklidskih geometrija. Oni estetski predmeti koji nisu dobro ureeni ve su pre amorfni i haotini (oblaci, mahovina, talasi ili enformel slikarstvo) takoe nalaze svoj adekvatni matematiki model u fraktalnim geometrijama.

2.

3.

4.

14

Svakoj od gornjih taaka posveena je po jedna sekcija u daljem tekstu, u kojima se opirnije govori o problemima sa kojima se matematika estetika suoava.

MATEMATIKI ESTETSKI OBJEKTINe mogu da ne poverujem jer je neverovatno! Oscar Wilde U prolee 1919-te, sedamnaestogodinji Werner Heisenberg, itao je Platonov dijalog Timaj, leei u oluku krova na zgradi semenita u Minhenu i grejui se na jutarnjem suncu. Deak je bio zadivljen Platonovom smelou sa kojom tvrdi da su najsitniji delii materije oblika pravouglih trouglova, koji, kada se dva po dva sastave u ravnostrane trouglove ili kvadrate (Sl. 1.), obrazuju pravilna geometrijska tela: kocku, tetraedar, oktaedar i ikosaedar. Ta etiri tela sainjavaju osnovne gradivne jedinice etiri elementa: zemlje, vatre, vazduha i vode. Pritom me je u izvesnom smislu fascinirala predstava kako se kod najsitnijih delia materije naposletku nailazi na matematike oblike pie Heisenberg u [13]. Kasnije e ova jednostavna geometrij-

Slika 1: Platonov trougao i oblici koji se od njega mogu sastaviti15

ska shema biti osnovna ideja vodilja u zametnom opusu ovog vodeeg fiziara XX veka, koji je vie puta naglasio da ga je fascinirala upravo jedinstvena lepota Platonove ideje. Platon je svakako bio svestan injenice da se Zemlja ne sastoji od siunih kockica, ali nije mogao nai pogodniji nain od geometrijskog da izrazi silinu ideje o harmoniji za koju je bio siguran da proima svu prirodu. Da bi iskazao svoje oduevljenje za lepotu koja se nalazi u prapoecima prirodnih stvari, Platon je posegnuo za jezikom geometrije i njenim vrstim zakonima. Moe se rei da je time on svoj estetski doivljaj matematiki kodirao i odaslao ga u budunost kroz tekst svog dijaloga, siguran da e na budueg itaoca koji uspe da dekodira njegovu geometrijsku ifru preneti bar deo tog doivljaja. Heinsenberg je bio pun pogodak. Estetsko oseanje je bilo dominantno kod antikih matematiara Menehma i Apolonija, kada su prouavali zanimljiva svojstva krivih koje su nazvali , i , koje su se dobijale u preseku ravni i kupaste povri. Oni tada nisu mogli ni sanjati o bilo kakvoj praktinoj primeni svojih istraivanja. Dve hiljade godina kasnije, Keppler i Newton pokazali su da su elipsa, parabola i hiperbola upravo osnovni oblici u prirodi pitanje nebeskih tela. Sledei primer je iz XVIII veka. Johann Bernoulli je, privuen lepotom Galilejevog problema brahistohrone krive trajektorije po kojoj telo za najkrae vreme silazi iz vie u niu taku primenio svoju novu metodu beskonano malih veliina i dobio kao reenje cikloidu krivu koja predstavlja pravu riznicu estetskih svojstava.16

Kako pie Hadamard [12], godine 1913-te, francuski matematiar E. Cartan je doao do znaajne klase analitikih i geometrijskih transformacija koja je u vezi sa Teorijom grupa. U to vreme nije bilo nikakvih praktinih primena ovih rezultata. Petnaest godina kasnije, fiziari su eksperimentalnim putem otkrili neobino ponaanje elektrona koje se moglo objasniti samo zahvaljujui Cartanovim idejama. Ovaj Cartanov primer se moe lepo ilustrovati (Sl. 2.) na kojoj je prikazana mikrofotografija biljnih elija i Mondrianova raster-slika Losangique sa sivim linijama [2]. Mon-

Slika 2: Mikroskopski snimak elija u stabljici site (levo) i raster-slika Pieta Mondriana Losangique sa sivim linijama

drian, poput Cartana postavlja osnovnu strukturu, rukovodei se estetskim idejama, a takva slina struktura biva otkrivena u mikroprirodi.

17

STRUKTURA ESTETSKOG DOIVLJAJA I ESTETSKA MERAVano je da uvati istinu. ika Boo, starac sa Durmitora Edgar Allan Poe, taj zagonetni pesnik Novog sveta bio je, uprkos svojoj emocionalnoj osetljivosti i nekim iracionalnim postupcima, jedan od najgorljivijih zagovornika naune estetike. Naravno, to ga je zanimalo u okvirima vetine stihotvorstva versifikacije. Tako, on na jednom mestu kae, odgovarajui na pitanje ta su stihovi? [19, s. 363]: Jer, iako se moe uzeti da treinu toga pitanja sainjava metafizika, i da se zato o njoj moe raspravljati po udi ovog ili onog pojedinca, jo uvek one dve preostale treine pripadaju, neosporno matematici. Zalaui se za uvoenje optih zakona versifikacije, Poe polemie sa eventualnim prigovorom da tvorac Ilijade nije znao za takve zakone pa ipak je Ilijada milozvunija i skladnija od svega to je napisano u novije vreme, i kae da bi ta nova nauka o versifikaciji moda mogla da pobolja ahajski ep, jer verovatno ni Homer nije bio zadovoljan pojedinim njegovim mestima. Na kraju, slepi pesnik sa Hiosa je moda te zakone naslutio u svom duhu, ali ipak je Ilijada produkt njegovih uiju i prstiju pa ih nije mogao valjano oteloviti (setimo se Hofmannove tragedije raskoraka izmeu muzike imaginacije i tehnike izvoenja). Moda je Hesse upravo ovo imao na umu kada u romanu Narcis i Zlatousta pie Posmatrao je kako je lie male biljke tako ljupko, tako neobino pametno sloeno oko stabljiice. Lepi su Vergilijevi stihovi, on ih je voleo, ali bilo je kod Vergilija mno18

go stihova koji nisu bili ni upola tako lepi i krcati smislom kao to je spiralni poredak ovih siunih listia du stabljike. Poe je dao i neka praktina uputstva kako bi neki od estetskih zakona versifikacije trebalo da izgledaju. U Filozofiji kompozicije on [19, s. 350] pie da duina pesme treba da bude u matematikom odnosu s njenom vrednou On ak sugerie i nain kvantifikovanja intenziteta estetskog oseaja u odlomku koji citira i Georg Birkfoff, ameriki matematiar koji se meu prvima ozbiljno pozabavio idejom estetske mere: Posmatrajmo, na primer, neki kristal. Nau panju odmah privlai jednakost strana i uglova jedne od njegovih povrina, ali kad uoimo drugu njegovu povrinu, u svakom pogledu istovetnu prvoj, nae uivanje izgleda kao da se uetvorostruilo: kad uoimo i treu kao da se uosmostruilo, itd: nimalo ne sumnjam, zaista, da bi se nalo da doivljeno uivanje, kad bi se moglo meriti, ima pravilne matematike odnose, onakve, ili skoro onakve, kakve sam naveo to e rei, do jedne odreene take, posle koje bi u istim odnosima nastupilo opadanje. [19, s. 365]. Svakako jedna od najvie pominjanih konstanti matematike estetike je zlatni broj = 1+ 5 1,618 , 2

koji predstavlja odnos duina pri tzv. zlatnom preseku tj. takvoj podeli dui kod koje se cela duina prema veem delu odnosi kao vei prema manjem delu. Zlatni presek, a naroito zlatni pravougaonik, kod koga je odnos due prema kraoj stranici jednak (srednji pravougaonik u nizu19

Slika 3: Oblici pravougaonika

na Sl. 3, korien je u arhitekturi i vajarstvu stare Grke (Fidia), a koristio ga je Euclid za konstrukciju pravilnih poligona, ali je bio poznat pod nazivom srednjeg i krajnjeg odnosa. Za razliku od broja , koji je transcedentan i ne moe se geometrijski konstruisati (ime je stavljena taka na problem kvadrature kruga), broj je iracionalan, moe se konstruisati i to vrlo jednostavno, i ima priblinu vrednost 1,618. Termin zlatni presek uveden je u XIX veku, a oznaku predloio je ameriki matematiar M. Bar u ast vajara Fidie. U doba Renesanse, zlatni presek je ponovo doao u sredite panje, pa su tako otkrivene mnoge njegove interesantne osobine. Na primer, kada se iz zlatnog pravougaonika izdvoji kvadrat, preostali pravougaonik je takoe zlatan (Sl. 4). Produujui ovaj postupak dobijaju se sve manji i manji zlatni pravougaonici.Slika 4: Zlatni pravougaonici se smanjuju po Zakonu logaritamske spirale20

Take koje dele stranice pravougaonika u odnosu zlatnog preseka lee na logaritamskoj spirali, a pol ove spirale nalazi se u preseku prva dva pravougaonika iz zlatnog niza. Oblik ove spirale sree se na mnogim mestima u prirodi (Sl. 5), o emu je pisao M. Ghyka u svojoj sjajnoj knjizi [9], koja je tako mnogo uticala na Salvadora Dalia, da je na mnogim slikama koristio rog nosoroga koji je takoe savijen po Zakonu logaritamske spirale. Na primer, u slikama Naturaleza muerta viva ili Joven virgen sodomizada por los cuernos de su propia castidad, oblik roga je

Slika 5: Oblici spirale u prirodi21

klju kompozicionog reenja slike. U Otkrivenim tajnama Salvadora Dalia, Bernard tvrdi da je Dali, u vezi sa zlatnim presekom, od 1948-me godine, u svojim slikama koristio i boansku proporciju koju je uveo italijanski matematiar Luca Pacioli, i uz pomo jednog rumunskog matematiara proraunava poloaj Lede na slici La Leda Atomica, kako bi se figura Lede tano uklopila u geometriju ove obrnute proporcijske sheme. Boansku proporciju prouavao je i koristio i Mili od Mave. U intervalu od 1854-te do 1884-te godine, nemaki filozof Adolf Zeising, koji je bio pod Hegelovim uticajem, objavljuje nekoliko rasprava u kojima tvrdi da od svih proporcija zlatni presek ostavlja najpovoljniji estetski utisak na posmatraa. Ovo e eksperimentalno potvrditi lajpciki profesor Gustav Fechner, utemeljiva eksperimentalne estetike. Rezultat eksperimentalnog istraivanja estetinosti pravougaonika razliitih oblika mogu se ukratko izraziti sledeim reima: Kvadrat i specijalno, pravougaonik ije dimenzije stoje u odnosu od priblino 8 5 se uopteno procenjuju kao najbolje forme meu razliitim pravougaonim oblicima. Fechnerove ideje razvie dalje Ernst Meumann u svom delu Uvod u savremenu estetiku koje i danas slui kao standardni univerzitetski udbenik. Sledei u nizu nemakih mislilaca, poklonika estetike odozdo (Asthetik von unten), je psiholog i filozof Rihard Mller Freienfels koji umetnost shvata kao estetsku impresiju a estetsko uivanje je po njemu rezultat psihofizikog principa stvaralake, ivotne ekonominosti. Takoe treba pomenuti i Theodora Lippsa, jo jednog nemakog filozofa, autora Teorije o22

uivljavanju (Einfuhlung) iz koje izvodi svoju estetiku. Thomas Manro, ameriki estetiar, smatra da estetika jo uvek nije prava nauka, ali da ima sve uslove da to postane, koristei pre svega striktno klasifikacionu i induktivnu metodu. U daljem tekstu zadraemo se podrobnije na objanjavanju ideja poznatog amerikog matematiara Georga Birkhoffa koji je, polazei od Fechnerovih istraivanja i ideja E. A. Poea doao do estetske mere, naina da se estetski doivljaj pri posmatranju jednostavnijih geometrijskih tela izrazi brojnom vrednou. Osnovu metode G. Birkhoffa [3], [4], ini povezivanje tri veliine, koje se mogu meriti. To su: 1. 2. Intenzitet estetskog doivljaja ili estetska mera M; Kompleksnost (sloenost) estetskog predmeta, koji je proporcionalan naporu panje potrebnom za njegovu percepciju C i Mera ureenosti, harmonija ili simetrija predmeta koji se posmatra O.

3.

Ono to sigurno znamo, to je da estetska mera funkcionalno zavisi od kompleksnosti i ureenosti, tj.

M = f (O, C )

(1)

gde je f nepoznata funkcija (u matematici se (1) naziva funkcionalnom jednainom). Ako poveamo ureenost O pri nepromenljivoj kompleksnosti, vrednost M raste. Isto je i ako smanjujemo kompleksnost uz istu vrednost ureenosti, meutim, ovo nije dovoljno za odreivanje funkcije f. U tu svrhu, Birkhoff predlae sledei hipotetiki eksperiment: Pretpostavimo da pred nama imamo skup od k ob23

jekata iz iste klase i neka svi imaju istu ureenost O i kompleksnost C, i drugi skup od k objekata sa ureenou O i takoe kompleksnou C. Izaberimo k i k tako da je k C = k C . Osmotrimo sada prvi skup objekata, jedan za drugim; ukupni oseaj kompleksnosti bie jednak zbiru pojedinanih, dakle k C (pretpostavlja se da naa panja ne slabi, tj. da smo idealni posmatrai). Takoe, ukupna mera ureenosti za itav skup je k O . U sluaju drugog skupa, ukupna kompleksnost je kC to je jednako k C , dok je ureenost kO . Ako su estetske vrednosti objekata iste za obe klase, jasno je da je rezultujua mera ureenosti za obe klase jednaka, tj. kO = k O . Na taj nain odnosi O C i O C moraju biti isti, tj. estetska mera zavisi samo od odnosa O C , iliO M= f C

(2)

Kako M mora da raste sa porastom kolinika O C to je f nuno rastua funkcija. Takoe, po prirodi stvari, ona mora biti neprekidna. Posmatrajmo sada dva objekta iste kompleksnosti ali razliite ureenosti O1 i O2 ; tada e mera doivljaja pri percepciji svakog predmeta pojedinano biti jednaka doivljaju oba predmeta istovremeno tj.O O O O f 1 + f 2 = f 1 + 2 C C C C

to predstavlja Cauchyevu funkcionalnu jednainu f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) , ije je reenje na skupu nepre24

kidnih funkcija, (videti, npr. [1]), f (x ) = A x , gde je A proizvoljna konstanta. Iz naeg uslova monotonosti dobijamo A > 0 . Budui da stvarna numerika vrednost funkcije f moe biti proizvoljna jer zavisi od skale koju smo uveli, to treba obratiti panju samo na njenu relativnu vrednost, pa moemo staviti A = 1 . Tako dobijamo f (x ) = x , tj. na osnovu (2), konano jeM= O C

(3)

Osim ovog, strogo matematikog izvoenja, Birkhoff nudi i drugi, vie intuitivni metod, kojim dolazi do istog rezultata. Potvrdu svoje formule on nalazi u definiciji lepote holandskog estetiara T. Hemsterhuisa: Lepota je ono to daje najvei broj ideja u najkraem vremenskom intervalu. Drugim reima, Birkhoff smatra da se estetska vrednost sastoji u postizanju to veeg reda uz to manju sloenost i odnos O C naziva gustinom ureenosti estetskog objekta. Ovo je u skladu i sa Voltaireovom misli da poezija sa manje rei kazuje vie nego proza, kao i sa Gaussovom izrekom o maksimumu ideja u minimumu obima. Ovu formulu Birkhoff testira na primerima jednostavnih geometrijskih objekata. On najpre polemie o oblicima pravougaonika, (Sl. 3), koje karakterie odnos r vee stranice prema manjoj [5]. Na prvom mestu je kvadrat, r = 1 , na drugom pravougaonik koji ima osobinu da se sastoji od dva pravougaonika istog oblika, r = 2 1,414 , to daje proporciju dravne zastave. Trei je zlatni pravougaonik, r = 1 + 5 2 1,618 . Zatim dolazi Platonov pravo-

(

)

25

ugaonik (videti takoe Sl. 1), kod koga je r = 3 1,732 , i najzad, poslednji u nizu je udvojeni kvadrat, dakle r = 2 . Izmeu ovih pet pravougaonih oblika, Birkhoff se opredeljuje za zastavu pre nego za zlatni pravougaonik, uglavnom zbog zaista lepog svojstva da se deljenjem tog oblika na pola ponovo dobija isti oblik. To je, ustvari, fraktalno svojstvo koje e dobiti na vrednosti tek sedamdesetih godina, sa pojavom fraktalnih geometrija, o emu e biti rei u petoj sekciji. U radu [5], Birkhoff daje podrobniju formulu za izraunavanje estetske mere kod mnogouglova: M = O C , pri emu je ureenje O dato saO = V + E + R HV F ,

(4)

gde su znaenja veliina sledea: V vertikalna simetrija, E ravnotea, R rotaciona simetrija, HV veza sa horizontalno-vertikalne mree, F faktor koji umanjuje ureenje zbog suvie kratkih strana, suvie malih ili velikih uglova, nedostatka simetrije i sl. U daljem tekstu, Birkhoff podrobno analizira primenu gornje formule na 90 razliitih poligona, od kojih, na (Sl. 6), izdvajamo 20. Ispod svakog poligona oznaena je njegova estetska mera. Vidimo da je prema Birkhoffu, najvie estetski vrednovan kvadrat, a najslabije zvezdasti mnogouglovi pri dnu. Vrednost svoje formule Birkhoff je eksperimentalno proverio tako to je listu sa slikama svih 90 poligona pokazao dvema grupama studenata na Columbia University (1929te godine) i na Harvardu (1930-te). Oni su se sloili da je rejting pojedinih poligona koji daje formula (3), sasvim u skladu sa estetskim izgledom poligona.26

Slika 6: Prvih dvadeset mnogouglova sa vrednou estetske mere po Birkhoffu

Jedino su postojale rezerve prema suvie niskom kotiranju pravouglog trougla (oznaenom sa o na Sl. 6). U radu [3], Birkhoff proiruje primenu svoje formule na krivolinijske konture vaza. Pri tome, ureenost je data27

slino kao u [4]. Slika 7 prikazuje studije etiri razliita profila (levo), kao i vaze koja ima idealnu formu sa vrednou estetske mere M = 1 (desno). U istom radu Birkhoff naglaava da bi se slina formula mogla primeniti i na poeziju, pri emu bi O oznaavalo muzikalnost stihova po odreenim pravilima koje bi trebalo dobro izabrati, a kompleksnost C bi bio broj stihova pesme koja se posmatra. Takoe, on se osvre i na muziku pri emu naglaava vrednost istraivanja koja su u toj grani umetnosti vrili Helmholz i Gurney. Birkhoff je svakako znaajan kao jedan od pionira naune estetike. Njegove ideje preispitivali su Rul Ganzenhauser i Max Bense, koristei savremene metode Teorije informacija i uporeujui ih sa nekim pojavama iz fizike i logike. Meutim, ako govorimo o matematikoj estetici poezije i

Slika 7: Vaze i njihova estetska mera28

knjievnosti uopte, nezaobilazna je Monografija [18] Solomona Marcusa, ije su osnovne karakteristike multidisciplinarnost, lep stil i bogatstvo citirane bibliografije (citirano je 1.336 jedinica). Ukratko emo navesti osnovne ideje koje su iznete u ovoj knjizi. Na poetku se diskutuje o problemu mogunosti primene naunog i posebno matematikog jezika, kao njegovog najvieg oblika na prouavanje pesnikog jezika. Nabrajaju se suprotnosti ova dva jezika: Nauni jezik je logiki gust, beskonaan u sinonimiji a lien homonimije, vetaki, opti, prevodljiv, lien stilskih problema, fiksiran u vremenu i prostoru, prebrojivog skupa fraza, nepodudarne kardinalnosti tog skupa i skupa znaenja, proziran, tranzitivan, nezavistan od izraza i muzike strukture, paradigmatski, podudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, kratkih konteksta, logian, denotativan, rutinski, opte stereotipije, trezven, predvidljiv itd. Pesniki jezik je: sugestivno gust, lien sinonimije a beskonane homonimije, prirodan, pojedinaan, neprevodiv, krcat stilskim problemima, promenljiv u vremenu i prostoru, neprebrojivog skupa fraza, podudarne kardinalnosti tog skupa i skupa znaenja, neproziran, refleksivan, zavistan od izraza i muzike strukture, sintagmatski, nepodudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, dugih konteksta, alogian, konotativan, stvaralaki, line stereotipije, pun zanosa, nepredvidiv itd. Zakljuak koji Marcus izvlai iz ovih suprotnosti je da, bez obzira na njih, nema nikakve prepreke da se matematiki jezik (kao sublimat naunog) koristi za analizu pes29

nikog jezika, i da se te razlike mogu koristiti kao prednosti. Zatim se analizira matematiki jezik i matematiko modeliranje suprotnosti izmeu pesnikog i naunog jezika. U tom smislu uvodi se apstraktna matematika struktura semantikog jezika L nad renikom V. Svaki konaan niz elemenata iz V, naziva se fraza na reniku V, a skup svih fraza na V sainjava univerzalni jezik. Uvodei pojam sinonimije i homonimije pomou stroge Teorije skupova, zatim ritamsku duinu, indeks, dijametar, dimenziju i ritamsku strukturu, Marcus dokazuje 25 stavova, koristei se instrumentima topologije i funkcionalne analize. U narednom poglavlju, razmatraju se pesnike figure kao devijacije naunog jezika. Odstupanja se mere posebno uvedenim rastojanjima. Zatim se razmatraju oni aspekti pesnikog jezika koji su u vezi sa Teorijom verovatnoe i Teorijom informacija. U okviru tzv. stilistike statistike, koja je najbolje prouena oblast matematike poetike, barata se statistikim pokazateljima, kao to su procenat samoglasnika u nekom jeziku (npr. italijanski 47,73%, nemaki 38,86%), verovatnoa sa kojom se dve, sluajno izabrane rei rimuju ili broj rimovanih parova koji se nalazi u uzorku od n rei. Na primer, od 100 rei u ruskom jeziku moe se napraviti 25 a u francuskom 37 rimovanih parova. Na osnovu relativnih parametara moe se izraunati informaciona energija pesnikog stiha i njegova entropija. Rasprava o tome da li je entropija mera poetinosti moe se nai na kraju 6-og poglavlja. Sedmo poglavlje je posveeno komparativnoj analizi pesnikih tekstova. Uvodei Hamingovo rastojanje izmeu pesnikih segmenata, Marcus navodi primer uporeivanja etiri prepeva Baudelaireove pesme A une passante, s tim to je poreeno 16 semantikih karakteristika. Prevodioci su bili Filipide, Karajon, Bas30

kovi i Dau. Rastojanja su pokazala da su najverniji prevodioci Baskovi i Karajon; Filipideov prepev je na prilinom rastojanju, dok je Dauov prevod najudaljeniji od originala. Poslednje poglavlje Marcusove knjige posveeno je matematikim metodama u pozoritu, koje je vie kombinatorika umetnosti od poezije. Iz est dramskih funkcija Etienne Souriau, kombinatornim postupkom dobija 210.141 dramsku situaciju. Razvijajui dalje Souriauove ideje, Paul Ginestier izgradio je tzv. geometriju drame. Ustvari, Ginestier je upotrebio ono to matematiari zovu graf. Pomou standardnih metoda Teorije grafova, mogue je razreiti dublja znaenja radnje i lica u jednom dramskom delu. Prema Raymondu Queneau [20], svaka nauka prolazi kroz etiri faze; empirijsku, kada se nabrajaju injenice; eksperimentalnu, kad se vre merenja; analitiku, kada se rauna i aksiomatsku, kada se uz pomo dedukcije, izvode zakljuci i utvruju zakoni. Prema onome to je napred reeno, jasno je da matematika estetika polako ulazi u treu, analitiku fazu. Naravno, umetnosti se razlikuju meu sobom, i svakako je tee matematiki analizirati film koji je etvorodimenzionalan nego pozorite koje je dvodimenzionalno, pa je taj deo matematike estetike koji se bavi filmom tek na poetku.

31

MOZAICI ALHAMBREKristali blistaju simetrijom. E. S. Fedorov Na pesnik i helenista Laza Kosti, u [16] analizira pojmove simetrije i harmonije i zakljuuje da uzajamna veza ova dva estetska elementa tzv. ukrst (tj. jedinstvo suprotnosti) predstavlja osnovno naelo bia ali i umetnosti. On uvodi grafike znake: >< za simetriju i