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5 Semejanza
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Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas.
6
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La proporción y la forma
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Leonardo da Vinci
El número de oro en el arte y la naturaleza φ ó
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Esquema de contenidos
Semejanza
Semejanza
Construcción de triángulos
Teorema de Thales
Semejanza en triángulos
Criterios
Semejanza en áreas y volúmenes
Semejanza en triángulos rectángulos
Aplicaciones
Cálculo de distancias
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Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.
Semejanza
Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza.
Figuras semejantes
Figuras no semejantes
Figuras no semejantes
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La forma más sencilla es el método de la proyección.
Construcción de figuras semejantes
• Fijamos un punto O.
• Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original.
• Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original.
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Teorema de Thales
Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales.
Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales.
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Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Teorema de ThalesTeorema de Thales
Bastón
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Rayos del sol
Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Teorema de ThalesTeorema de Thales
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Rayos del sol
Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Teorema de ThalesTeorema de Thales
S (sombra pirámide)
s (sombra bastón)
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Rayos del sol
Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Teorema de ThalesTeorema de Thales
H
S (sombra pirámide)
s (sombra bastón)
h
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Rayos del sol
Pirámide
Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.
Podemos establecer la proporción
Teorema de ThalesTeorema de Thales
HS=hs
H=h⋅Ss
H
S (sombra pirámide)
s (sombra bastón)
h
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Ejemplo:
Calcular la medida del segmento x.
Teorema de Thales
Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales.
824
=x
15
8⋅15=24⋅x 120=24x x=12024
=5
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Dividimos un segmento AB en tres partes iguales.
Aplicaciones del teorema de Thales
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.
3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.
Por el teorema de Thales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.
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Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones:
- Sus lados son proporcionales:
- Sus ángulos son iguales:
Semejanza de triángulos
aa '
=bb '
=cc '
A= A' B= B ' C= C '
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
A= A'B= B '
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
aa '
=bb '
=cc '
A= A'B= B '
SIGUIENTE
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
aa '
=bb '
=cc '
A= A'bb '
=cc ' SIGUIENTE
A= A'B= B '
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Los triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos.
Semejanza de triángulos rectángulos
Cualquier triángulo obtenido trazando una recta perpendicular sobre uno de sus lados es semejante al primero.
Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes al primero.
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Teorema del cateto
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
El cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este sobre la hipotenusa.
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos.
Teorema de la altura
ca=mc c2
=m⋅aba=nb b2
=n⋅a
mh=hn h2
=m⋅n
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:a 2=42
33 a2
=25a=25=5 cm
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:a 2=42
33 a2
=25a=25=5 cm
Aplicando el teorema del cateto:
cm 8,15953
cm 2,35
1654
22
22
==→⋅=→⋅=
==→⋅=→⋅=
nnanb
mmamc
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:a 2=42
33 a2
=25a=25=5 cm
Aplicando el teorema del cateto:
Aplicando el teorema de la altura:
h2=m⋅n h2
=3,2⋅1,8 h=5,76=2,4 cm
cm 8,15953
cm 2,35
1654
22
22
==→⋅=→⋅=
==→⋅=→⋅=
nnanb
mmamc
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Calcular la altura de la torre.
Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común.
50m
37m
6 m
h
h50
=6
37 h=
6⋅5037
=8, 12 m
Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.
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Semejanza de áreas y volúmenes
Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de
la proporción es r2.
A=l⋅l=l2
A=2l⋅2l=4⋅l 2
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Semejanza de áreas y volúmenes
Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la
proporción es r3.
V=2l⋅2l⋅2l=23⋅l 3
V=l⋅l⋅l=l3
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Actividad: El teorema de Thales
Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad4b.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad del teorema de Tales describen las relaciones que se observan en los segmentos obtenidos al intersectar rectas paralelas con rectas secantes.Para desarrollarla, sigue este enlace.
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