I numeri e la loro rappresentazione, le frazioni

Saeli Donato

26 marzo 2015

“Al mondo ci sono tre tipi di persone: quelle che sanno contare

e quelle che non sanno contare.”

Ian Stewart

Nell’osso sono state intagliate 55 tacche, a gruppi di 5.Le prime 25 tacche sono separate dalle altre da una taccadi lunghezza doppia.

Anche se non sappiamo in che modo siano state prodottequeste tacche, la spiegazione piu plausibile e che un uomopreistorico l’abbia fatto deliberatamente. Forse stavaregistrando il numero di un insieme, probabilmente di pelli,o di familiari, o di giorni trascorsi da un determinato evento.E ragionevole supporre che egli facesse una tacca per ognioggetto appartenente all’insieme che stava considerando.

Nell’osso sono state intagliate 55 tacche, a gruppi di 5.Le prime 25 tacche sono separate dalle altre da una taccadi lunghezza doppia.

Anche se non sappiamo in che modo siano state prodottequeste tacche, la spiegazione piu plausibile e che un uomopreistorico l’abbia fatto deliberatamente. Forse stavaregistrando il numero di un insieme, probabilmente di pelli,o di familiari, o di giorni trascorsi da un determinato evento.E ragionevole supporre che egli facesse una tacca per ognioggetto appartenente all’insieme che stava considerando.

“Le donne porgevano un pezzo di legno, lungo una ventinadi centimetri, segnato da tratti di lima. Ogni pezzo era diverso,alcuni ricavati da rami, altri quadrati e piallati. Il fornaio neaveva il duplicato infilati in una cinghia di cuoio. Egli cercavail nome segnato in cima ai suoi legni, lo confrontava con quellodel cliente; le tacche corrispondevano esattamente”. Allora sipoteva saldare il conto del pane preso a credito. Cosı accadevaancora nel 1869 in Francia dalle parti di Saint-Etienne, ...

Incidere tacche, che si trattasse di ossa ritrovate in cavernedel paleolitico, di bastoncini di fornai francesi o degli “stocks”della Corte dello Scacchiere inglese, e stato per decinedi migliaia di anni il modo di tenere i conti, finche nell’Ottocentoun incendio epocale ha ridotto in Cenere, insieme agli “stocks”,l’intero Parlamento inglese. [Bo, 27]

“Le donne porgevano un pezzo di legno, lungo una ventinadi centimetri, segnato da tratti di lima. Ogni pezzo era diverso,alcuni ricavati da rami, altri quadrati e piallati. Il fornaio neaveva il duplicato infilati in una cinghia di cuoio. Egli cercavail nome segnato in cima ai suoi legni, lo confrontava con quellodel cliente; le tacche corrispondevano esattamente”. Allora sipoteva saldare il conto del pane preso a credito. Cosı accadevaancora nel 1869 in Francia dalle parti di Saint-Etienne, ...

Incidere tacche, che si trattasse di ossa ritrovate in cavernedel paleolitico, di bastoncini di fornai francesi o degli “stocks”della Corte dello Scacchiere inglese, e stato per decinedi migliaia di anni il modo di tenere i conti, finche nell’Ottocentoun incendio epocale ha ridotto in Cenere, insieme agli “stocks”,l’intero Parlamento inglese. [Bo, 27]

S. Kubrick 2001: Odissea nello spazio - 1968

I sistemi posizionali piu quotati

base cifre denominazione2 0, 1 binario8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ottale10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 decimale12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

X, E duodecimale16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

a, b, c, d, e, f esadecimale

Nella tabella seguente i primi 16 numeri naturali vengonorappresentati in tutti questi sistemi.

binario ottale decimale duodecimale esadecimale0 0 0 0 01 1 1 1 110 2 2 2 211 3 3 3 3100 4 4 4 4101 5 5 5 5110 6 6 6 6111 7 7 7 71000 10 8 8 81001 11 9 9 91010 12 10 X a1011 13 11 E b1100 14 12 10 c1101 15 13 11 d1110 16 14 12 e1111 17 15 13 f

v

EsempioConsideriamo la sequenza di cifre 101312 in base 12. •

In questo sistema, le posizioni successive rappresentanopotenze di 12; cosı

101312 = 1 · 123+ 0 · 12

2+ 1 · 12

1+ 3 = 1728 + 12 + 3 = 1743.

Per rappresentare questo stesso numero in base 16eseguiamone la divisione euclidea per 16; otteniamo1743 = 16 · 108 + 15. Dividiamo ora 108 per 16, abbiamo108 = 16 · 6 + 12, finalmente impiegando questa relazionenella precedente

1743 = 16 · (16 · 6 + 12) + 15 = 6 · 162+ 12 · 16 + 15 = 6cf16 .

Rappresentiamo ora lo stesso numero in base 8. E:1743 = 8 · 217 + 7,217 = 8 · 27 + 1,27 = 8 · 3 + 3; pertanto 1743 = 33178 .

• La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificatacon un indice; conveniamo di omettere l’indicazione della base nel casodi rappresentazioni decimali.

EsempioConsideriamo la sequenza di cifre 101312 in base 12. •

In questo sistema, le posizioni successive rappresentanopotenze di 12; cosı

101312 = 1 · 123+ 0 · 12

2+ 1 · 12

1+ 3 = 1728 + 12 + 3 = 1743.

Per rappresentare questo stesso numero in base 16eseguiamone la divisione euclidea per 16; otteniamo1743 = 16 · 108 + 15. Dividiamo ora 108 per 16, abbiamo108 = 16 · 6 + 12, finalmente impiegando questa relazionenella precedente

1743 = 16 · (16 · 6 + 12) + 15 = 6 · 162+ 12 · 16 + 15 = 6cf16 .

Rappresentiamo ora lo stesso numero in base 8. E:1743 = 8 · 217 + 7,217 = 8 · 27 + 1,27 = 8 · 3 + 3; pertanto 1743 = 33178 .

• La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificatacon un indice; conveniamo di omettere l’indicazione della base nel casodi rappresentazioni decimali.

EsempioConsideriamo la sequenza di cifre 101312 in base 12. •

In questo sistema, le posizioni successive rappresentanopotenze di 12; cosı

101312 = 1 · 123+ 0 · 12

2+ 1 · 12

1+ 3 = 1728 + 12 + 3 = 1743.

Per rappresentare questo stesso numero in base 16eseguiamone la divisione euclidea per 16; otteniamo1743 = 16 · 108 + 15. Dividiamo ora 108 per 16, abbiamo108 = 16 · 6 + 12, finalmente impiegando questa relazionenella precedente

1743 = 16 · (16 · 6 + 12) + 15 = 6 · 162+ 12 · 16 + 15 = 6cf16 .

Rappresentiamo ora lo stesso numero in base 8. E:1743 = 8 · 217 + 7,217 = 8 · 27 + 1,27 = 8 · 3 + 3; pertanto 1743 = 33178 .

• La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificatacon un indice; conveniamo di omettere l’indicazione della base nel casodi rappresentazioni decimali.

Rappresentiamo infine ancora lo stesso numero in base 2.Abbiamo:1743 = 2 · 871 + 1,871 = 2 · 435 + 1,435 = 2 · 217 + 1,217 = 2 · 108 + 1,108 = 2 · 54 + 0,54 = 2 · 27 + 0,27 = 2 · 13 + 1,13 = 2 · 6 + 1,6 = 2 · 3 + 0,3 = 2 · 1 + 1; dunque 1743 = 110110011112 .

Senza parole

ottale3︷︸︸︷

0 1 13︷︸︸︷

0 1 11︷︸︸︷

0 0 17︷︸︸︷

1 1 1binario

0 1 1 0︸ ︷︷ ︸6

1 1 0 0︸ ︷︷ ︸c

1 1 1 1︸ ︷︷ ︸f

esadecimaler

Operazioni

Quale che che sia la base le operazioni si effettuano comenel sistema decimale, ma ....

occorre imparare le tabelle.

In binario tutto e relativamente facile, basta solo ricordareche 1 + 1 fa 102 . (Ma forse anche che 112 + 1 = 1002 ,1112 + 1 = 10002 , 11112 + 1 = 100002 , ...)Sommiamo 111101012 = 245 e 1001111002 = 316, abbiamo:

˙ ˙ 11110101 +100111100 =

10001100012

I puntini sulle cifre del primo addendo indicano il riporto di 1.

Operazioni

Quale che che sia la base le operazioni si effettuano comenel sistema decimale, ma .... occorre imparare le tabelle.

In binario tutto e relativamente facile, basta solo ricordareche 1 + 1 fa 102 . (Ma forse anche che 112 + 1 = 1002 ,1112 + 1 = 10002 , 11112 + 1 = 100002 , ...)Sommiamo 111101012 = 245 e 1001111002 = 316, abbiamo:

˙ ˙ 11110101 +100111100 =

10001100012

I puntini sulle cifre del primo addendo indicano il riporto di 1.

Operazioni

Quale che che sia la base le operazioni si effettuano comenel sistema decimale, ma .... occorre imparare le tabelle.

In binario tutto e relativamente facile, basta solo ricordareche 1 + 1 fa 102 . (Ma forse anche che 112 + 1 = 1002 ,1112 + 1 = 10002 , 11112 + 1 = 100002 , ...)

Sommiamo 111101012 = 245 e 1001111002 = 316, abbiamo:

˙ ˙ 11110101 +100111100 =

10001100012

I puntini sulle cifre del primo addendo indicano il riporto di 1.

Operazioni

Quale che che sia la base le operazioni si effettuano comenel sistema decimale, ma .... occorre imparare le tabelle.

In binario tutto e relativamente facile, basta solo ricordareche 1 + 1 fa 102 . (Ma forse anche che 112 + 1 = 1002 ,1112 + 1 = 10002 , 11112 + 1 = 100002 , ...)Sommiamo 111101012 = 245 e 1001111002 = 316, abbiamo:

˙ ˙ 11110101 +100111100 =

10001100012

I puntini sulle cifre del primo addendo indicano il riporto di 1.

La moltiplicazione e piu laboriosa a causa dei riporti,anche a piu cifre, nell’addizione dei prodotti parziali:

11110101 ×100111100 =

˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 111101010011110101

1111010111110101

1111010100100101110011011002

Tavola “pitagorica” in ottale:

× 2 3 4 5 6 72 4 6 10 12 14 163 6 11 14 17 22 254 10 14 20 24 30 345 12 17 24 31 36 436 14 22 30 36 44 527 16 25 34 43 52 61

Moltiplichiamo 3658 = 245 per 4748 = 316 :

365×474 =

17243263

17242271548

Tavola “pitagorica” in ottale:

× 2 3 4 5 6 72 4 6 10 12 14 163 6 11 14 17 22 254 10 14 20 24 30 345 12 17 24 31 36 436 14 22 30 36 44 527 16 25 34 43 52 61

Moltiplichiamo 3658 = 245 per 4748 = 316 :

365×474 =

17243263

17242271548

Tabella di moltiplicazione in base sedici:

× 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f2 4 6 8 a c e 10 12 14 16 18 1a 1c 1e3 6 9 c f 12 15 18 1b 1e 21 24 27 2a 2d4 8 c 10 14 18 1c 20 24 28 2c 30 34 38 3c5 a f 14 19 1e 23 28 2d 32 37 3c 41 46 4b6 c 12 18 1e 24 2a 30 36 3c 42 48 4e 54 5a7 e 15 1c 23 2a 31 38 3f 46 4d 54 5b 62 698 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 789 12 1b 24 2d 36 3f 48 51 5a 63 6c 75 7e 87a 14 1e 28 32 3c 46 50 5a 64 6e 78 82 8c 96b 16 21 2c 37 42 4d 58 63 6e 79 84 8f 9a a5c 18 24 30 3c 48 54 60 6c 78 84 90 9c a8 b4d 1a 27 34 41 4e 5b 68 75 82 8f 9c a9 b6 c3e 1c 2a 38 46 54 62 70 7e 8c 9a a8 b6 c4 d2f 1e 2d 3c 4b 5a 69 78 87 96 a5 b4 c3 d2 e1

La medesima moltiplicazione eseguita in base 16

f 5×13c =b7c

2d ff 5

12e6c16

ed infine, in base 10

245×316 =

1470245

73577420

La medesima moltiplicazione eseguita in base 16

f 5×13c =b7c

2d ff 5

12e6c16

ed infine, in base 10

245×316 =

1470245

73577420

Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematicadei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedescoG. W. Leibniz; anche se l’inglese T. Harriot ne aveva discussoe scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare.

Leibniz, filosofo e teologo oltre che matematico, era affascinatodal sistema binario; il fatto che nel sistema binaro tutti i numeripossono essere rappresentati mediante due soli simboligli richiamava la creazione dell’universo, tratto dal nulla (0)per opera di Dio (1). [BJB, 265-267]

La possibilita di rapppresentare ogni numero con soli duesimboli ha pero un costo: la lunghezza della rappresentazione.Infatti una cifra binaria (bit) ha capacita di esprimeresolo la minima quantita possibile di informazione.

Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematicadei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedescoG. W. Leibniz; anche se l’inglese T. Harriot ne aveva discussoe scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare.

Leibniz, filosofo e teologo oltre che matematico, era affascinatodal sistema binario; il fatto che nel sistema binaro tutti i numeripossono essere rappresentati mediante due soli simboligli richiamava la creazione dell’universo, tratto dal nulla (0)per opera di Dio (1). [BJB, 265-267]

La possibilita di rapppresentare ogni numero con soli duesimboli ha pero un costo: la lunghezza della rappresentazione.Infatti una cifra binaria (bit) ha capacita di esprimeresolo la minima quantita possibile di informazione.

Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematicadei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedescoG. W. Leibniz; anche se l’inglese T. Harriot ne aveva discussoe scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare.

Leibniz, filosofo e teologo oltre che matematico, era affascinatodal sistema binario; il fatto che nel sistema binaro tutti i numeripossono essere rappresentati mediante due soli simboligli richiamava la creazione dell’universo, tratto dal nulla (0)per opera di Dio (1). [BJB, 265-267]

La possibilita di rapppresentare ogni numero con soli duesimboli ha pero un costo: la lunghezza della rappresentazione.Infatti una cifra binaria (bit) ha capacita di esprimeresolo la minima quantita possibile di informazione.

Sistema babilonese sessagesimale posizionale (incompleto)

Sistema Maya ventesimale posizionale (incompleto)

Frazioni

Aritmetica bizzarra

“No Giacomo, non puoi fare cosı” disse il maestro indicandoil quaderno di Giacomo, su cui lo scolaro aveva scritto

14× 8

5=

1845

“Scusi, sgnor maestro” disse Giacomo. “Che c’e di sbagliato?L’ho controllato con la calcolatrice e sembra che vada bene”.“Be’, Giacomo, il risultato e giusto, direi” ammise il maestro.“Anche se probabilmente dovresti semplificare in mododa ottenere 2/5, che e ridotto ai minimi termini. Quelloche e sbagliato e...”. [St, 173]

Sappiamo bene che

il prodotto della frazioneab

per la frazionecd

e la frazionea·cb ·d

;

ma perche e questa la definizione di moltiplicazione tra frazionie non magari la ricetta proposta da Giacomo?

Un’occhiata ai due disegni che seguono dovrebbe persuaderciche la definizione usuale corrisponde ai fatti.

Sappiamo bene che

il prodotto della frazioneab

per la frazionecd

e la frazionea·cb ·d

;

ma perche e questa la definizione di moltiplicazione tra frazionie non magari la ricetta proposta da Giacomo?

Un’occhiata ai due disegni che seguono dovrebbe persuaderciche la definizione usuale corrisponde ai fatti.

47× 3

5=

1235

=4 · 37 · 5

Il quadrato e l’unita e ogni rettangolino e 1/35 dell’unita. [Va, 15]

207

× 175

=34035

=20 · 17

7 · 5

207×17

5=

(2+

67

)·(

3+25

)= 6 +

45

+187

+1235

34035

=687

= 957

Per addizionare (spesso) occorre (almeno) moltiplicare:

ab

+cd

:=a · d + b · c

b · d

Esempio:

47

+35

=4 · 5 + 7 · 3

7 · 5=

20 + 2135

=4135

= 1635

Altro esempio:

310

+815

=3 · 15 + 10 · 8

10 · 15=

45 + 80150

=125150

,

oppure

310

+815

=3 · 15 + 10 · 8

10 · 15=

3 · 3 · 5 + 2 · 5 · 82 · 5 · 3 · 5

=9 + 16

30=

2530

;

in ogni caso125150

=2530

=56.

In fondo all’aula si sentı la voce sommessa di Giacomo:“Maestro, la sua formula per sommare e troppo complicata,non potrebbe bastare

ab

+cd

=a + cb + d

?

Cosı sarebbe simile a quella del prodotto(che finalmente ho capito).”

[Bo] Bottazzini U. - Numeri - Raccontare la matematica -Intersezioni - il Mulino - Bologna - 2015

[BJB] Bunt L.N.H., Jones P.S., Bedient J.D. - Le radici storichedelle matematiche elementari - Zanichelli - Bologna - 1987

[St] Stewart I. - La piccola bottega delle curiosita matematichedel professor Stewart - Codice edizioni - Torino - 2010

[Va] Valenti D. - Frazioni e numeri razionali - Treccani Scuola -www.treccani.it/portale/opencms/Portale/resources/multimedia/lezioni matematica/frazioni/Frazioni Presenta1.pdf