numeri razionali2

NUMERI RAZIONALI

Il rapporto

CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

IL RAPPORTO, IN FISICA

In fisica i rapporti tra grandezze sono proprio l’essenza di questa disciplina che infatti si interessa appunto di grandezze.Rapportando grandezze non omogenee si ottengono nuove grandezze.

Il rapporto tra grandezze non omogenee sono tante e di ordine quotidiano: la velocità (tra spazio e tempo), la pressione (tra peso e superficie), la densità (tra massa e volume), l’intensità di corrente (tra differenza di potenziale e resistenza elettrica), …

Questi rapporti sono in ambito scientifico e riguardano grandezze che non hanno solo misure scalari ma a volte anche vettoriali, oppure il rapporto è tra differenziali


IL RAPPORTO TRA GRANDEZZE OMOGENEE

I rapporti tra grandezze omogenee interessano le misure, oppure il paragone tra oggetti misurati con la stessa unità di misura.

Per misurare una grandezza scelgo una unità di misura omogenea alla grandezza data

Vengono utilizzati nella misura anche i multipli e sottomultipli dell’unità scelta

Interessano anche i rapporti tra oggetti. Esempio: una corda lunga 15 cm e una corda di 5 cm, il rapporto tra loro è di 3 a 1 (la prima corda è tripla della seconda)


IL RAPPORTO TRA GRANDEZZE OMOGENEE

I rapporti tra grandezze omogenee interessano le misure, oppure il paragone tra oggetti misurati con grandezze omogenee.

Il rapporto tra grandezze omogenee è sempre un numero puro

Quando rapportiamo due grandezze in realtà rapportiamo le loro misure e il valore del rapporto è il loro quoziente

Quindi in un rapporto il secondo numero deve necessariamente essere diverso da zero


IL RAPPORTO

Tra i vari ruoli svolti dalle frazioni “il rapporto “ si esplica anche tra quantità discrete o numeri.

Il rapporto viene scritto anche come frazione mentre la sua scrittura classica prevede i “ : ” e quindi i due punti sostituiscono di fatto la linea di frazione

12 : 4 si legge dodici sta a quattro e se la rendiamo uguale a 15 : 5 (perché legate dal rapporto di 3 a 1) che si legge quindici sta a cinque, possiamo scrivere una proporzione che è una uguaglianza di rapporti

12 : 4 = 15 : 5 significa anche che la frazione 12/4 e la frazione 15/5 sono espressione dello stesso numero razionale


IL RAPPORTO

Tra i vari ruoli svolti dalle frazioni “il rapporto “ si esplica anche tra quantità discrete o numeri.

La scrittura di un rapporto tra grandezze espresse da numeri non naturali

Se la base di un rettangolo è di 4,2 cm e la sua altezza è di 8,1 cm il loro rapporto sarà 4,2 : 8,1 ma espresso sotto forma di frazione dovrei scrivere 4,2/8,1 e questa non è certamente una vera frazione

Ma anche in questo caso essendo un rapporto tra misure omogenee, il valore del rapporto sarà il numero ottenuto dalla loro divisione


Il rapportoDi rapporti ne abbiamo tra grandezze omogenee e non omogenee, ma anche tra numeri, perimetri, aree, volumi ecc..Dobbiamo però precisare quale rapporto si vuole creare o chiedere

Se si chiede allo studente il rapporto che esprime le parti di area colorate nel rettangolo, l’alunno può indicare 4/6 o 4 : 6 al posto di 4/10 o 4 : 10. Ma se chiedo il rapporto tra l’area colorata di giallo e quella bianca allora abbiamo 4/6 o 4 : 6

Il rapporto 4 : 6 esprime il rapporto tra la parte di area colorata rispetto a quella lasciata in bianco, mentre 6 : 4 esprime il rapporto tra i quadrati bianchi rispetto a quelli colorati. E sono entrambi corretti.


IL RAPPORTO

Il rapporto spesso viene superato dall’idea di differenza

Se abbiamo due segmenti uno di 30 cm e uno di 20 cm il loro rapporto lo scriviamo come “ 30 : 20 “ ma agli alunni appare più immediato che il segmento di 30 cm ha 10 cm in più di quello da 20 cm e non pensa a rapportare le loro misure


Il rapportoSpesso gli alunni, come abbiamo già riferito, notano con

facilità la differenza tra due elementi ma non è altrettanto facile cogliere il loro rapporto.

Molte attività mettono in evidenza questo aspetto che va curato e approfondito.

Ecco alcuni esempi di come far riflettere gli alunni sul significato di rapporto


Il rapporto (dal libro “Il racconto della matematica” autori: Giuliano Spirito, Margherita D’Onofrio, Grazia

Petrini secondo volume ed. La Nuova Italia)

“È bello avere una sorella maggiore. Piero di appena due anni, ha una sorella, Chiara di 8 anni. Piero è molto contento della sorella e la guarda con occhi incantati. Ma quando i genitori comprano le patate fritte o la cioccolata per Chiara e lasciano Piero a bocca asciutta (“Tu sei troppo piccolo !”), Piero è un po’ meno contento di avere una sorella maggiore. L’unica consolazione, in queste occasioni, è quella di pensare: “Ora sono piccolo e Chiara è grande, ma prima o dopo la raggiungerò e diventerò grande come lei”.

Cosa c’è di falso in quello che pensa Piero?Cosa c’è di vero in quello che pensa Piero?


Il rapporto (dal libro “Il racconto della matematica” autori: Giuliano Spirito, Margherita D’Onofrio, Grazia

Petrini secondo volume ed. La Nuova Italia)

È bene che gli alunni si esprimano liberamente e la lettura delle loro risposte può portare ad altre domande

Gli studenti possono esprimersi sulla questione valutando anche dal punto di vista psicologico e relazionale cosa accade, sia tra fratelli e sorelle sia tra genitori e figli

Infine si invitano gli alunni a riempire una tabella in cui riporteranno la differenza di età tra i protagonisti della storia e il rapporto tra le età con il passare degli anni


Differenza e rapportoEtà di Piero

Età di Chiara

Differenza

oggi 2 8 6

Tra 10 anni

12 18 6

Tra 20 anni

22 28 6

Tra 30 anni

32 38 6

Età di Piero

Età di Chiara

Rapporto

Oggi 2 8 2/8=0,25

Tra 10 anni

12 18 12/18=0,66…

Tra 20 anni

22 28 22/28=0,78…

Tra 30 anni

32 38 32/38=0,84…

La differenza è sempre la stessa mentre il rapporto cambia e man mano aumenta ed è sempre più vicino a 1. Ma non potrà mai essere 1 il rapporto neppure tra milioni di anni …Altre tabelle possono essere riempite con i dati riferiti a loro stessi e alle persone della loro famiglia, anche con distanze maggiori di età come con i genitori


Il pensiero proporzionale

Un percorso per l’apprendimento del concetto di rapporto.

Sviluppo di abilità che si possono basare sulle chiarezza interpretativa di un aspetto che presenta spesso molti fraintendimenti.

Alla base esiste sempre la ricerca per osservare se viene scelta la differenza invece del rapporto

Il percorso abitua anche a far proprie procedure algoritmiche più semplici e immediate rispetto ai calcoli spesso solo ripetuti per abitudine formale


“Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella discussione di classe” titolo del libro di Angela Pesci (Pitagora editrice)

Il pensiero proporzionalePrimo percorso

Si devono dipingere di verde tre pannelli di dimensioni diverse e si hanno a disposizione barattoli tutti uguali, di colore giallo e blu. I pannelli devono avere tutti la stessa tonalità di colore. Marco ha dipinto il primo pannello utilizzando un miscuglio ottenuto con

4 barattoli blu e 6 barattoli di gialloLuisa deve dipingere il secondo pannello e per ottenere la stessa

tonalità di colore ed avendo a disposizione 10 barattoli di blu, di quanti barattoli di giallo ha bisogno?

Piero, per il terzo pannello, ha 3 barattoli di giallo: di quanti barattoli di blu ha bisogno?

Spiega il tuo ragionamento per completare la tabella per Luisa e per Piero



La tabella:

Per ottenere la stessa tonalità di verde

BARATTOLI di BLU BARATTOLI di GIALLO

MARCO 4 6

LUISA 10

PIERO 3

È probabile che alcuni alunni durante la discussione sceglieranno l’operazione di sottrazione valutando la differenza di quantità dei barattoli.Per Luisa probabilmente scriveranno 12 barattoli di gialloPer Piero probabilmente scriveranno 1 come quantità di barattoli blu



Una provocazione …. per alimentare il dibattito

Per ottenere una certa tonalità di verde si mescolano:Tipo di colore BLU GIALLONumero di barattoli 4 6

Si possono presentare situazioni diverse alla lavagna con l’intento di alimentare il dibattito e di ottenere risposte per noi molto interessanti che ci fanno comprendere cosa pensano gli alunni. In questo caso gli alunni possono vedere il rapporto in riga ma anche in colonna.

Per avere la stessa tonalità di verde con diverso numero di barattoliTipo di colore BLU GIALLONumero di barattoli 8 x



Una provocazione per ottenere maggiori precisazioni

Per ottenere una certa tonalità di verde si mescolano:Tipo di colore BLU GIALLONumero di barattoli 4 6

Anche in questo caso si possono osservare reazioni sulla valutazione in riga o in colonna

Per avere la stessa tonalità di verde con diverso numero di barattoliTipo di colore BLU GIALLONumero di barattoli x 18


Percorsi di paragoni tra rapportiQuesti percorsi permettono di paragonare rapporti I calcoli però sono mentali e il confronto a volte anche

solo visivo basta a stabilire una valutazione Questi stimoli per gli studenti permettono di raggiungere

obiettivi come:Confronti rapidi con ricorso solo all’aritmetica di baseValutazione anche in forma percentuale

Il pensiero proporzionaleSecondo percorso

I giocatori di tennisAlberto, Bruno, Carlo e Dario sono giocatori di tennis della stessa

categoria. Durante l’anno scolastico hanno partecipato a diversi tornei ottenendo i seguenti risultati:

In base agli esiti ottenuti, secondo te, chi è il più bravo?Spiega come sei arrivato alla tua conclusione. Se ti sembra utile puoi

utilizzare tabelle, schemi, segmenti, …


ALBERTO BRUNO CARLO DARIO

Partite vinte 15 20 28 48

Partite giocate 30 90 52 100

Il pensiero proporzionaleTerzo percorso

I giocatori di tennisNella seguente tabella ci sono gli esiti delle partite a tennis giocate da

alcuni giocatori della stessa categoria. Completa la tabella in modo che i giocatori si possano considerare ugualmente bravi (in base agli esiti della tabella):

Spiega come hai fatto a trovare i numeri per completare la tabella


CLAUDIO ENZO ANNA MARCO ELENA

Partite vinte 20 10 … 50 …

Partite giocate

70 … 105 … …

La misura e le frazioniNel quadrato il doppio della misura del lato come influisce sul suo perimetro e poi sulla sua area ?

Avviene solo nel quadrato?

La carta millimetrata offre diverse opportunità per favorire aspetti di rapporti tra misure. A partire dal quadrato per esempio


La misura e le frazioniQui forse si potrebbe presentare una domanda stimolo e favorire la discussione tra compagni

Come posso disegnare un quadrato di area doppia facendo riferimento a figure equiscomponibili ?


La misura dell’area e la proprietà invariantivaCaso particolare tra misure lineari e misure di superficie


cm 2

cm 3

cm 6

cm 2

Rapporto tra le basi = 3/6 = 1/2 Rapporto tra le aree = 6/12 = 1/2In questo caso il rapporto si mantiene.Sapete perché?

Proprietà invariantivaProprietà presente nelle operazioni che non godono della proprietà

commutativaSi applica nella sottrazione e quindi nella differenzaSi applica nella divisione e quindi nel rapportoMa se aggiungo una stessa quantità rimane la differenza ma cambia il

rapportoIl rapporto non cambia se moltiplico o divido per uno stesso numero i

due termini del rapporto Il rapporto cambia se si opera con l’elevamento a potenza, per esempio

elevamento alla secondaDiverse attività sulle misure di figure piane possono far riflettere su

questo aspetto (rapporto tra lati e rapporto tra aree)


BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIAa. Vinicio Villani-Maurizio Berni “Ricomincio da zero” Pitagora Editrice

Bolognab. Martha Isabel Fandiño Pinilla: “ Le frazioni - aspetti concettuali e didattici”c. Carl B. Boyer “Storia della matematica” Oscar Mondadorid. Angela Pesci: “Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella discussione di

classe” Editore: Pitagorae. Giuliano Spirito – Margherita D’Onofrio – Grazia Petrini: “Il racconto della

matematica” Numeri secondo volume Ed. La Nuova Italiaf. www.cidi.itg. http://utenti.quipo.it/base5/index.htm

numeri razionali2

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