HAND OUT KULIAH

PENGANTAR ANALISIS REAL

MAT-21414

Oleh :

Pipit Pratiwi Rahayu, S.Si.

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2009

2

Daftar Isi :

1. Sistem Bilangan Real………………………………………………...... 3

2. Supremum dan Infimum……………………………………………..... 8

3. Barisan Bilangan Real………………………………………………… 11

4. Limit Fungsi…………………………………………………………… 18

5. Fungsi Kontinu………………………………………………………… 23

6. Derivatif……………………………………………………………….. 30

7. Integral Riemann…………………………………………………….... 37

3

1. Sistem Bilangan Real

1. Sifat-sifat dasar bilangan real

Sistem bilangan real dinotasikan dengan , berikut definisinya

Definisi 1.1.1

Sistem bilangan real adalah suatu system aljabar yang terhadap operasi

penjumlahan (+) dan operasi perkalian (.) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

a. merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan (+), yaitu :

(i). Untuk setiap ,x y terdapat tepat satu z sehingga x y z .

(ii). Untuk setiap , ,x y z selalu berlaku x y z x y z .

(iii). Terdapat tepat satu 0 sehingga untuk setiap x berlaku

0 0x x x .

(iv). Untuk setiap x terdapat tepat satu y sehingga 0x y y x ,

Selanjutnya y dituliskan dengan x , jadi 0x x x x .

(v). Untuk setiap ,x y berlaku x y y x .

b. 0 merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian (.), yaitu :

(i). Untuk setiap , 0x y terdapat tepat satu z sehingga .x y z .

(ii). Untuk setiap , , 0x y z selalu berlaku . . . .x y z x y z .

(iii). Terdapat tepat satu 1 0 sehingga untuk setiap x berlaku

1. .1x x x .

(iv). Untuk setiap 0x terdapat tepat satu 0y sehingga

. . 1x y y x , Selanjutnya y dituliskan dengan 1x atau 1

x, jadi 1 1. . 1x x x x

atau 1 1

. . 1x xx x .

(v). Untuk setiap , 0x y selalu berlaku . .x y y x .

c. Untuk setiap , ,x y z berlaku . . .x y z x y x z .

Teorema 1.1.2

(i). Jika ,x a dan x a a maka 0x .

(ii). Jika ,x a dengan 0a dan .x a a maka 1x .

4

Bukti

(i). Menurut Definisi 1.a.(iv), terdapat a sehingga 0a a a a .

Mengingat x a a maka

0

0 0

0

x a a a a

x a a

x

x

(ii). Coba !

Teorema 1.1.3

(i). Jika ,a b dan 0a b maka b a .

(ii). Jika ,a b , 0b dan . 1a b maka 1a b .

Teorema 1.1.4

(i). Untuk setiap ,a b maka terdapat tepat satu x sehingga a x b .

(ii). Untuk setiap ,a b dan 0a maka terdapat tept satu x sehingga .a x b .

Teorema 1.1.5

Untuk setiap a , diperoleh :

(i). .0 0a . (iii). a a .

(ii). 1 .a a . (iv). 1 1 .

Teorema 1.1.6

Diketahui , ,a b c

(i). Jika 0a , maka 1 10a

a

dan

11

aa

.

(ii). Jika ab ac dan 0a , maka b c .

(iii). Jika 0ab maka 0a atau 0b .

Teorema 1.1.7 (Aksioma Peano)

Jika 1,2,3,....I N memenuhi syarat-syarat :

(i). 1 I , dan

(ii). untuk setiap n I berakibat 1n I

Maka I N

5

2. Urutan

Urutan linear pada sistem bilangan real dapat disusun melalui

pengangkatan atau pembentukan suatu himpunan di dalam yang disebut himpunan

bilangan real positif.

Definisi 1.2.1

Himpunan p disebut himpunan semua bilangan positif , jika P memenuhi tiga

syarat sebagai berikut :

(i). Untuk setiap ,x y P berakibat x y P

(ii). Untuk setiap ,x y P berakibat xy P , dan

(iii). P mempunyai sifat trikhotomi (trichotomy property) , yaitu untuk setiap x

tepat satu terjadi x P , x P , atau 0x

Untuk selanjutnya, anggota P disebut bilangan positif (positive number). Jika x ,

0x , dan x P , maka x disebut bilangan negatif (negative number). Himpunan

0P disebut himpunan semua bilangan nonnegative dan anggotanya disebut

bilangan nonnegative (nonnegative number).

Definisi 1.2.2

Diberikan ,x y ,

(i). x dikatakan lebih kecil daripada y atau y lebih besar daripada x ditulis

dengan x y jika y x P .

(ii). x dikatakan lebih kecil daripada atau sama dengan y atau y lebih besar

daripada atau sama dengan x atau ditulis dengan x y jika y x P atau

0x y .

Teorema 1.2.3

Diketahui , , ,x y z u ,

(i). Jika x y dan y z maka x z .

(ii). Tepat satu terjadi x y , y x , atau x y .

(iii). Jika x y dan y x maka x y .

(iv). Jika x y maka x z y z .

(v). Jika x y dan z u maka x z y u .

(vi). Jika x y dan 0z maka . .x z y z .

Jika x y dan 0z maka . .x z y z .

6

(vii). Jika 0x maka 1 10x

x

.

Jika 0x maka 1 10x

x

.

Teorema 1.2.4

(i). Jika x dan 0x maka 2 . 0x x x .

(ii). 1 0 .

(iii). Jika n N maka 0n .

Teorema 1.2.5

Jika ,x y dan x y maka 2

x yx y

.

Akibat 1.2.6

Jika x dan 0x maka 1

02

x x .

Teorema 1.2.7

Jika x sedemikian sehingga 0 x untuk sebarang 0 maka 0x .

Akibat 1.2.8

Diketahui ,x y . x y jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan 0 berlaku

0 x y .

Teorema 1.2.9

Jika ,x y dan untuk setiap bilangan 0 berlaku x y maka x y .

Teorema 1.2.10

Jika ,x y dan 0xy maka

(i). 0x dan 0y , atau

(ii). 0x dan 0y .

Jika ,x y dan 0xy maka

(i). 0x dan 0y , atau

(ii). 0x dan 0y .

7

3. Ketidaksamaan dan Nilai Mutlak

Jika x , nilai mutlak x dituliskan dengan x didefinisikan sebagai

berikut

Definisi 1.3.1

, 0

, 0

x untuk xx

x untuk x

Teorema 1.3.2

Diketahui ,x y ,

(i). Jika 0x dan 0y , berlaku 2 2x y x y x y .

(ii). Jika 0x dan 0y , berlaku 2 2x y x y x y .

(iii). Jika 0x dan 0y maka 2

x yxy

.

(iv). Untuk setiap ,x y berlaku 2 2

2

x yxy

.

Teorema 1.3.3

Jika ,x y maka

(i). 0x .

0x jika dan hanya jika 0x .

(ii). x x .

(iii). xy x y .

(iv). 2 2x x .

(iv). x y x y (ketaksamaan segitiga).

(v). untuk 0y , x y jika dan hanya jika y x y .

(vi). x x x .

(vii). x y x y .

(viii). x y x y .

Akibat 1.3.4

Untuk setiap 1 2, ,...., na a a berlaku 1 1

n n

i i

i i

a a

.

8

2. Supremum dan Infimum

1. Himpunan terbatas

Definisi 2.1.1

(i). Himpunan A dan A dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan a

sehingga x a untuk setiap x A . Bilangan a disebut batas atas A . Jika a batas

atas A dan b a maka b juga batas atas A . Batas atas A yang terkecil disebut

supremum A , ditulis sup A .

(ii). Himpunan A dan A dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan

b sehingga x b untuk setiap x A . Bilangan b disebut batas bawah A . Jika

b batas bawah A dan c b maka c juga batas bawah A . Batas bawah A yang

terbesar disebut infimum A , ditulis inf A .

(iii). Himpunan A dikatakan terbatas jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

Contoh :

1. 1, 5 6, 8A .

A terbatas ke atas dengan 1

52

bukan batas atas A , 8 batas atas A , 1

92

batas atas A ,

dan sup 8A A . Himpunan A terbatas ke bawah dengan inf 1A A . Jadi

himpunan A terbatas karena A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

2. [2, 4)B .

sup 4B A dan inf 2B B . Jadi himpunan B terbatas.

Teorema 2.1.2

(i). Jika A B dan B terbatas ke atas maka sup supA B .

(ii). Jika A B dan B terbatas ke bawah maka inf infA B .

Teorema 2.1.3

Jika ,A B dan terbatas maka

(i). sup sup supA B A B .

(ii). inf inf infA B A B .

9

Teorema 2.1.4

Diketahui A ,

(i). Jika supa A maka untuk setiap 0 terdapat 0x A sehingga 0a x .

(ii). Jika infb A maka untuk setiap 0 terdapat 1x A sehingga 1x b .

Catatan :

1. Baik Supremum ataupun Infimum, belum tentu menjadi anggota himpunan

tersebut.

2. Jika A himpunan terbatas ke atas , apakah sup A pasti ada ?

Jawabannya : batas atas ada tetapi batas atas terkecil belum tentu ada, tergantung

himpunannya.

Teorema 2.1.5 (sifat lengkap )

(i). Jika A , A , dan A terbatas ke atas maka sup A ada.

(yaitu : t sehingga supt A ).

(ii). Jika A , A , dan A terbatas ke bawah maka inf A ada.

(yaitu : s sehingga infs A ).

Teorema 2.1.6 (sifat Archimedes)

Jika ,x y dan 0x maka terdapat n N sehingga nx y .

Akibat 2.1.7

(i). Jika y maka terdapat n N sehingga n y .

(ii). Jika x dan 0x maka terdapat n N sehingga 1nx .

Q adalah himpunan bilangan rasional, yaitu , & 0m

Q m n z nn

.

Teorema 2.1.8 (kerapatan bilangan rasional)

Diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan rasional.

( jika ,x y dan x y maka terdapat r Q sehingga x r y ).

Teorema 2.1.9

Diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan irasional.

( jika ,x y dan x y maka terdapat bilangan irasional c sehingga x c y ).

10

Teorema 2.1.10

Jika x , 0x , dan n N maka terdapat dengan tunggal y sehingga ny x .

Bilangan tersebut sering ditulis n x atau 1

nx .

Akibat 2.1.11

Jika ,x y , 0, 0x y dan n N maka 1 11

. .n nnx y x y .

2. Selang susut (Nested Intervals)

Suatu barisan interval ,nI n N dikatakan susut (nested) jika

1 2 1..... ....n nI I I I

Teorema 2.2.1

Jika ,n n nI a b selang tertutup terbatas dan 1n nI I , n N maka terdapat

sehingga nI , n N . ( yaitu sehingga ,n na b n N ).

Teorema 2.2.2

Jika ,n n nI a b selang tertutup terbatas dan 1n nI I , n N dan

inf 0n nb a n N maka terdapat dengan tunggal sehingga nI ,

n N .

Teorema 2.2.3

Selang 0, 1I merupakan himpunan uncountable.

Akibat 2.2.4

Himpunan bilangan real merupakan himpunan uncountable.

11

3. Barisan Bilangan Real

1. Pengertian

Barisan bilangan nyata merupakan fungsi dari N ke . Nilai fungsi f di n

ditulis sebagai na jadi nf n a . Barisan sering ditulis na atau 1 2 3, , ,......a a a

dan na disebut sebagai suku ke-n dari barisan na .

Contoh :

1. 4

n

n

.

,4

n

nf n a n N

n

.

2. 1n

.

1 ,n

nf n a n N .

Definisi 3.1.1

Jika na dan nb dua barisan bilangan real, didefinisikan

(i). Jumlah (addition) : n n n na b a b .

(ii). Perkalian skalar (scalar multiplication) : .n nk a k a .

(iii). Hasil ganda (product) : . .n n n na b a b .

(iv). Hasil bagi (division) :

n n

n n

a a

b b

, asalkan 0nb , n N .

Definisi 3.1.2 (Limit barisan)

Barisan bilangan real na dikatakan konvergen (convergent) untuk n , jika

terdapat a sehingga untuk setiap 0 terdapat on N sehingga untuk setiap

n N dengan 0n n maka berlaku na a .

Dalam hal ini dikatakan barisan bilangan real na konvergen ke a , untuk n

dan ditulis lim nn

a a

atau lim 0nn

a a

atau na a .

Barisan bilangan real na dikatakan terbatas jika terdapat bilangan 0M sehingga

na M , n N .

12

Teorema 3.1.3

Jika barisan bilangan real na konvergen maka na terbatas.

Teorema 3.1.4

Jika barisan na konvergen maka limitnya tunggal.

Teorema 3.1.5

Jika na dan nb masing-masing barisan bilangan real yang konvergen, katakan

lim nn

a a

, lim nn

b b

dan ,c d maka

(i). lim nn

a a

.

(ii). Jika 0na , n N maka lim nn

a a

.

(iii). lim lim limn n n nn n n

a b a b a b

.

(iv). lim . .lim .n nn n

c a c a c a

.

(v). lim . lim .lim .n n n nn n n

a b a b a b

.

(vi). Apabila , 0nb b , n N maka lim

limlim

nn n

nn n

n

aa a

b b b

.

(vii). Jika 0na , n N maka 0a .

(viii). Jika n na b , n N maka a b .

(ix). Jika nc a d , n N maka c a d .

Teorema 3.1.6 (Teorema apit / Squeeze Theorem)

Diketahui , ,n n na b c barisan bilangan real berturut-turut kovergen ke , ,a b dan c .

Jika n n na b c untuk setiap n N maka a b c .

2. Barisan monoton

Definisi 3.2.1

(i). Barisan bilangan real na dikatakan naik monoton jika 1n na a , n N .

(ii). Barisan bilangan real na dikatakan turun monoton jika 1n na a , n N .

(iii). Barisan bilangan real na dikatakan monoton jika na naik monoton atau

turun monoton.

13

Teorema 3.2.2

(i). Jika na naik monoton dan terbatas ke atas, maka na konvergen ke

supremumnya dan ditulis lim supn nn

a a n N

.

(ii). Jika na turun monoton dan terbatas ke bawah, maka na konvergen ke

infimumnya dan ditulis lim infn nn

a a n N

.

Contoh :

Bilangan Euler.

Diselidiki barisan na dengan 1

1

n

nan

, n N .

Menurut Teorema Binomium :

2

1 1 2 ...2.11 1 1 11 1 ....

1! 2! !

1 1 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 .... 1 1 ... 1

1! 2! 3! !

n

n n

n n n n nna

n n n n n

n

n n n n n n n

Dengan cara yang sama diperoleh

1

1

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 ....

1 1! 2! 1 3! 1 1

1 1 21 1 ... 1

1 ! 1 1 1

n

nan n n n

n

n n n n

Berdasarkan dua hasil tersebut diperoleh 1n na a , n N dengan kata lain

1

1

n

nan

merupakan barisan naik monoton. Selanjutnya diperoleh

2 1

2

1 1 1 11 ...

1! 2! 3! !

1 1 11 1 ...

2 2 2

1 1 11 1 ... 1 3

12 21

2

n

n

an

Dengan kata lain, 1

1

n

nan

merupakan barisan terbatas ke atas. Oleh

karena na naik monoton dan terbatas ke atas maka menurut teorema 3.1.2, na

14

konvergen ke supremumnya. Sup 1

1

n

nan

biasa dituliskan dengan huruf e

yang disebut Bilangan Euler. Jadi 1

lim 1

n

ne

n

.

1lim 1

1 1 1 1 1 21 1 1 1 ...

1! 2! 3!lim

1 1 2 11 1 ... 1

!

1 1 1 11 ...

1! 2! 3! !

n

n

n

en

n n n

n

n n n n

n

Salah satu pendekatan bilangan e (sampai suku ke-15) adalah

2,718281828459045e .

Teorema 3.2.3 (Teorema selang susut)

Jika barisan selang tertutup ,n na b mempunyai sifat :

(i). 1 1, ,n n n na b a b , n N

(ii). lim 0n nn

b a

maka terdapat tepat satu 0x sehingga 0 ,n nx a b , n N .

3. Barisan bagian

Definisi 3.3.1

Diketahui na barisan bilangan real. Jika kn barisan dengan kn N dan

1 2 3 ....n n n maka barisan kna dengan k N disebut barisan bagian dari

na .

Contoh :

1 2 3, , ,...a a a barisan bilangan real.

1. 2 3 7 9, , , ,...a a a a barisan bagian 1 2 3, , ,...a a a karena 1 2n , 2 3n , 3 7n , 4 9n

maka 1 2 3 ...n n n

2. 1 4 3 7, , , ,...a a a a bukan barisan bagian 1 2 3, , ,...a a a karena, 2 34 3n n .

15

Catatan :

(i). Ada tak hingga banyak barisan bagian dari na .

(ii). Untuk setiap k N berlaku kn k .

Teorema 3.3.2

Jika na konvergen ke- a maka setiap barisan bagian dari na yaitu kna juga

konvergen ke- a .

Teorema 3.3.3 (Kriteria kedivergenan)

Diberikan barisan bilangan real na , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen :

(i). na tak konvergen ke a .

(ii). Terdapat bilangan real 0 0 sehingga untuk setiap k N terdapat kn N

dengan kn k dan 0kna a .

(iii). Terdapat bilangan real 0 0 dan barisan bagian na yaitu kna sehingga

0kna a , k N .

Teorema 3.3.4

Setiap barisan bilangan real paling sedikit mempunyai satu barisan bagian yang

monoton.

Teorema 3.3.5 (Bolzano Weierstrass)

Setiap barisan bilangan real yang terbatas mempunyai barisan bagian yang konvergen.

Teorema Bolzano Weierstrass mengatakan bahwa jika na barisan yang

terbatas, maka setiap barisan bagiannya konvergen dengan tak perlu mempunyai limit

yang sama. Tetapi jika setiap barisan bagiannya yang konvergen itu mempunyai limit

yang sama, maka barisan aslinya akan konvergen ke limit itu pula.

Teorema 3.3.6

Diberikan barisan bilangan real na yang terbatas. Jika ada a sehinga setiap

barisan bagian dari na yaitu kna konvergen ke- a maka na juga konvergen ke- a .

16

4. Kriteria Cauchy

Definisi 3.4.1

Barisan bilangan real na disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap 0 terdapat

0n N sehingga untuk setiap ,m n N dengan 0m n dan

0n n berlaku

m na a .

Dengan kata lain :

( na barisan Cauchy :

0 0 00, , , & m nn N m n N m n n n a a )

Contoh :

Barisan na dengan 1

nan

, n N .

Ambil 0 sebarang maka terdapat 0n N sehingga 0

1

n . Dari sifat Archimedes,

yaitu untuk 0 terdapat 0n N sehingga 0

0

11n

n . Oleh karena itu untuk

setiap ,m n N dengan 0m n dan 0n n berlaku

0

1 1 1 1m na a

m n m n .

Terbukti, 0 0 00, , , & m nn N m n N m n n n a a .

Jadi 1

nan

barisan Cauchy.

Teorema 3.4.2

Jika barisan bilangan real na konvergen, maka na merupakan barisan Cauchy.

Teorema 3.4.3

Jika na barisan Cauchy maka na terbatas.

Teorema 3.4.4

Barisan bilangan real na konvergen jika dan hanya jika na barisan Cauchy.

17

Definisi 3.4.5

Barisan bilangan real na dikatakan mengkerut (contractive) jika terdapat c

dengan 0 1c sehingga berlaku 2 1 1n n n na a c a a , n N . Bilangan c

disebut konstanta kerut (contractive constant).

Teorema 3.4.6

Setiap barisan bilangan real na yang mengkerut merupakan barisan Cauchy. Jadi

barisan na yang mengkerut merupakan barisan yang konvergen.

18

4. Limit Fungsi

1. Persekitaran, titik limit, titik dalam (interior)

Definisi 4.1.1

Jika p dan bilangan 0 , himpunan

( ) ,N p p p

x p x p

x x p

x x p

Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini disebut jari-jari

(radius) persekitaran tersebut.

Contoh :

1. 2

1,5

p . Persekitaran 1 dengan radius 2

5adalah 2

5

2 2 3 7(1) 1 , 1 ,

5 5 5 5N

.

2. ,2 2

a b b ap

. Persekitaran

2

a b dengan radius

2

b a adalah

2

( )2

,2 2 2 2

,

b a

a bN p N

a b b a a b b a

a b

Teorema 4.1.2

Setiap selang terbuka ,u v yang memuat p memuat suatu persekitaran titik p, dan

sebaliknya setiap persekitaran titik p memuat suatu selang terbuka ,u v yang

memuat p.

Definisi 4.1.3

Diketahui ,A p . Titik p disebut titik limit A, jika 0 berlaku

( )N p A p atau ( )N p p A .

Dengan kata lain :

Titik p disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik p memuat x A dengan

x p .

Catatan : Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut.

19

Contoh :

1. Diberikan 2, 3 7,8A .

Setiap titik 2, 3p merupakan titik limit himpunan A, sebab untuk setiap 0

berlaku ( )N p A p . Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun

2 A . Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun

7, 8 A sebab ada 0 , misal 1

5 sehingga (7) 7N A dan

(8) 8N A .

2. Diberikan 1 1 1 1

, 1, , , ,....2 3 4

B n Nn

.

Untuk setiap x B bukan merupakan titik limit himpunan B sebab misalnya diambil

suatu persekitaran 1 1 1

2 100 101 dari titik

1

100p maka

1 1 1 1

100 100 100 100N B

.

Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun 0 B . Jelas

bahwa 1

inf 0n Nn

dan untuk setiap bilangan 0 berlaku

(0) 0N B .

Definisi 4.1.4

Diketahui A .

(i). Titik p disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika terdapat

bilangan 0 sehingga ( )N p A .

(ii). Himpunan A dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan titik

dalam.

( A terbuka ) ( p A p titik dalam A )

( p A 0 N p A )

(iii). Himpunan B dikatakan tertutup (closed) jika cB (komplemen B) terbuka.

(iv). Himpunan B dikatakan tertutup jika B memuat semua titik limitnya.

( B tertutup ) ( p titik limit B p B ).

20

Teorema 4.1.5

Selang-selang yang berbentuk ,a b , ,a , dan , a masing-masing

merupakan himpunan terbuka.

Akibat 4.1.6

Setiap titik di dalam suatu persekitaran merupakan titik dalam. Jadi setiap

persekitaran merupakan himpunan terbuka.

Teorema 4.1.7 (kaitan titik limit dan barisan)

Titik c titik limit A terdapat barisan nx A dengan nx c , n N dan

nx konvergen ke c .

2. Limit Fungsi

Definisi 4.2.1

Diketahui dan dua fungsi : ff D dan : gg D dengan

f gD D . Fungsi , , ,f f g fg dan f

g berturut-turut didefinisikan sebagai

berikut :

(i). .f x f x untuk setiap fx D .

(ii). f g x f x g x untuk setiap f gx D D .

(iii). .fg x f x g x untuk setiap f gx D D .

(iv).

f xfx

g g x untuk setiap : 0f g gx D D x D g x .

Definisi 4.2.2

Diketahui fungsi : ff D dan a titik limit fD . Bilangan L disebut

limit fungsi f di a ditulis lim ( )x a

f x L

, jika untuk setiap 0 terdapat 0

sedemikian sehingga jika fx D dan 0 x a maka f x L .

Dengan kata lain :

Jika fx D N a dan x a berakibat f x N L dikatakan f x berlimit L

untuk x a dan ditulis lim ( )x a

f x L

.

21

Catatan :

Limit fungsi f di a dapat didefinisikan hanya untuk a yang merupakan titik limit fD .

Perhatikan :

(i). fx D N a dan x a , ,fx D a x a x a .

(ii). ( )f x N L f x L .

Sehingga diperoleh Teorema berikut

Teorema 4.2.3

Diberikan fungsi : ff A D dengan a titik limit fD .

lim ( )x a

f x L

0, 0 fx D dan 0 x a

berakibat f x L .

Teorema 4.2.4

Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD . Jika f x mempunyai

limit untuk x a lim ( )x a

f x ada

maka limitnya tunggal.

Teorema 4.2.5

Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD . Jika fa D dan

lim ( )x a

f x L

(ada) maka f terbatas pada fD N a untuk suatu 0 .

Teorema 4.2.6

Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD .

lim ( )x a

f x L

jika dan hanya jika untuk setiap barisan bilangan real n fx D

( n fx D untuk setiap n N ) yang konvergen ke a berakibat barisan bilangan real

nf x konvergen ke L.

Teorema 4.2.7

Diketahui lim ( )x a

f x k

, lim ( )x a

g x l

, dan maka

(i). lim ( ) .lim ( ) .x a x a

f x f x k

.

(ii). lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f g x f x g x k l

.

(iii). lim lim ( ).lim ( ) .x a x a x a

fg x f x g x k l

.

22

(iv).

limlim

lim

x a

x a

x a

f xf kx

g g x l

, asalkan 0l .

Teorema 4.2.8

Diberikan A , fungsi :f A dan a titik limit A. Jika m f x l untuk

setiap x A , x a dan jika lim ( )x a

f x

ada maka limx a

m f x l

.

Teorema 4.2.9 (Teorema apit untuk limit fungsi/ Squeeze Theorem)

Diberikan A , fungsi , , :f g h A dan a titik limit A. Jika

f x g x h x untuk setiap x A , x a dan jika lim ( )x a

f x m

, lim ( )x a

g x k

,

dan lim ( )x a

h x l

maka m k l .

Dengan kata lain :

Jika : ff D , : gg D , : hh D , f g hD D D ,

a titik limit f g hD D D dan f x g x h x , f g hx D D D dengan

lim ( )x a

f x m

, lim ( )x a

g x k

, dan lim ( )x a

h x l

maka m k l .

Definisi 4.2.10

Diketahui fungsi : ff D dan a titik limit fD .

(i). Jika ada bilangan real k sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan

0 sehingga berlaku f x k untuk setiap , fx a a D maka

dikatakan f x mempunyai limit kanan k untuk x a dan dituliskan dengan

lim ( )x a

f x k

.

(ii). Jika ada bilangan real l sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan

0 sehingga berlaku f x l untuk setiap , fx a a D maka

dikatakan f x mempunyai limit kiri k untuk x a dan dituliskan dengan

lim ( )x a

f x l

.

Teorema 4.2.11

Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD .

lim ( )x a

f x l

(ada) lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x l

.

23

5. Fungsi Kontinu

1. Pengertian dan sifat-sifat fungsi kontinu

Definisi 5.1.1

Fungsi : ff D dikatakan

(i). kontinu di (continuous at) fa D jika lim ( ) ( )x a

f x f a

.

Secara lengkap : Fungsi : ff D dikatakan kontinu di fa D dengan a titik

limit fD , jika untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga jika fx D N a

( fx D dan x a ) berakibat f x N f a ( f x f a ).

(ii). kontinu pada (continuous on) fB D jika f kontinu di setiap x B .

Secara lengkap :

Diberikan : ff D . Jika a titik limit fD dan fa D maka f kontinu di a ,

ekuivalen dengan :

(i). f a ada

(ii). lim ( )x a

f x

ada

(iii). lim ( ) ( )x a

f x f a

Teorema 5.1.2

Jika A , fungsi :f A dan a A , maka pernyataan berikut ekuivalen :

(i). f kontinu di a , yaitu ( ( ))N f a terdapat ( )N a sehingga untuk ( )x A N a

berlaku f x N f a .

(ii). 0, 0 sehingga untuk x A dengan x a berlaku

f x f a .

(iii). Jika barisan nx A dan nx konvergen ke a maka barisan nf x

konvergen ke f a .

24

Akibat 5.1.3

Fungsi f diskontinu di a

0

N f a sehingga N a ada ( )x A N a dengan sifat

0

f x N f a .

0 0 , 0 ada x A dengan x a yang bersifat 0f x f a .

ada barisan nx A yang konvergen ke a dan barisan nf x tidak konvergen

ke f a .

Teorema 5.1.4

Fungsi :f A dan a titik limit A. Jika lim ( )x a

f x

ada maka terdapat ( )N a

sehingga f terbatas pada ( )N a .

Teorema 5.1.5

Diberikan A , fungsi , :f g A dan . Jika fungsi f dan g kontinu di

a A maka fungsi , ,f f g dan fg juga kontinu di a .

Selanjutnya, fungsi f

g juga kontinu di a asalkan 0,g x x A .

Teorema 5.1.6

Fungsi :f A .

(i). Fungsi f didefinisikan sebagai f x f x untuk x A . Jika fungsi f

kontinu di a A maka fungsi f juga kontinu di a .

(ii). Jika 0,f x x A didefinisikan fungsi f yaitu f x f x untuk

x A maka fungsi f juga kontinu di a .

Teorema 5.1.7

Fungsi :f A kontinu di a A . Fungsi :g B dengan f A B

kontinu di b f a B maka fungsi komposisi 0 :g f A dengan

0g f x g f x , x A juga kontinu di a A .

Definisi 5.1.8

(i). Fungsi :f I terbatas pada I jika 0M sehingga untuk setiap x I ,

f x M .

25

(ii). Fungsi :g I tidak terbatas pada I jika 0M ada x I sehingga

g x M .

Teorema 5.1.9

Jika ,I a b interval tertutup terbatas dan fungsi :f I kontinu pada I maka

fungsi f terbatas pada I .

Definisi 5.1.10

Diberikan fungsi :f A .

Fungsi f mempunyai maksimum mutlak pada A jika terapat *x A sehingga

* ,f x f x x A . Titik *x disebut titik maksimum mutlak.

Fungsi f mempunyai minimum mutlak pada A jika terapat *x A sehingga

* ,f x f x x A . Titik *x disebut titik minimum mutlak.

Teorema 5.1.11

Jika fungsi : ,f I a b kontinu pada I maka f mempunyai maksimum dan

minimum mutlak pada I .

Teorema 5.1.12 (mencari lokasi akar)

Diberikan I interval dan :f I kontinu pada I . Jika 0f a f b atau

0f a f b maka terdapat ,c a b sehingga 0f c .

Teorema 5.1.13 (Teorema nilai antara Bolzano)

Diberikan I interval dan :f I kontinu pada I . Jika a b dengan ,a b I dan

k dengan sifat f a k f b maka terdapat ,c a b sehingga f c k .

Teorema 5.1.14

Jika :f I kontinu pada I dengan I interval tertutup terbatas maka

:f I f x x I interval tertutup terbatas.

Teorema 5.1.15

Jika I interval dan :f I kontinu pada I maka f I interval.

26

2. Fungsi kontinu seragam

Diberikan A dan fungsi :f A .

Fungsi f kontinu pada A def

fungsi f kontinu di setiap a A

0, , 0a sehingga untuk x A

dengan ,x a a berlaku f x f a .

Seringkali fungsi f yang kontinu pada A mempunyai sifat bilangan 0 hanya

tergantung pada 0 saja, tidak tergantung pada pemilihan a A .

Contoh :

:f dengan 2f x x maka 2f x f a x a . Jika diambil 0

sebarang , cukup diambil ,2

a

(bebas terhadap a ).

Oleh karena itu muncul pengertian baru, yaitu

Definisi 5.2.1

Diberikan A dan fungsi :f A . Fungsi f dikatakan kontinu seragam

(uniformly continuous) pada A ,

jika 0, 0 sehingga berlaku untuk setiap ,x a A dengan x a

berlaku f x f a .

Teorema 5.2.2 (Kriteria ke-tak kontinu seragam-an)

Diberikan A dan fungsi :f A . Ketiga pernyataan berikut ekuivalen :

(i). fungsi f tidak kontinu seragam pada A.

(ii). 0 0, sehingga 0 ada x dan a anggota A dengan sifat x a

dan 0f x f a .

(iii). 0 0, dan terdapat 2 barisan nx dan na di A sehingga lim 0n nn

x a

dan 0n nf x f a , untuk semua n N .

Contoh :

Fungsi : 0,g A dengan 1

g xx

tidak kontinu seragam pada A.

27

Teorema 5.2.3

(i). Jika fungsi :f I kontinu seragam pada I maka fungsi f kontinu pada I .

(ii). Jika I interval tertutup terbatas dan fungsi :f I kontinu pada I maka f

kontinu seragam pada I .

Bagaimana jika I bukan interval tertutup terbatas? Apa jaminan agar fungsi

kontinu pada I juga kontinu seragam pada I ? Oleh karena itu muncul pengertian

baru yaitu fungsi itu akan kontinu sergam jika memenuhi kondisi Lipschitz.

Definisi 5.2.4 (kondisi Lipschitz)

Diberikan A dan fungsi :f A . Fungsi f disebut fungsi lipschitz pada A

jika ada konstanta 0k sehingga f x f a k x a , ,x a A . Selanjutnya

dikatakan fungsi f memenuhi kondisi lipschitz pada A.

Teorema 5.2.5

Jika fungsi :f A fungsi Lipschitz maka fungsi f kontinu seragam pada A.

Catatan : kebalikan terorema di atas tidak berlaku. Perhatikan counter example berikut

counter example :

Fungsi : 0, 2g dengan g x x .

3. Pendekatan fungsi kontinu

Definisi 5.3.1

Diberikan interval I dan fungsi :s I disebut fungsi tangga (step function)

jika fungsi s hanya mempunyai beberapa (berhingga) nilai yang berbeda dan setiap

nilai diasumsikan untuk satu atau lebih interval di dalam I .

Contoh :

Fungsi : 2, 4s dengan

Kontinu + Lipschitz Kontinu Seragam

28

0, 2 1

1, 1 0

1 1,0

2 2:

13, 1

2

2, 1 3

2, 3 4

x

x

x

s x

x

x

x

Teorema 5.3.2

Diberikan interval tertutup terbatas I dan fungsi kontinu :f I . Jika 0 maka

terdapat fungsi tangga :s I sehingga ,f x s x x I .

Dengan kata lain :

Setiap fungsi kontinu dapat didekati oleh fungsi tangga dengan selisih nilai kedua

fungsi cukup kecil di setiap titik.

Definisi 5.3.3

Diberikan ,I a b . Fungsi :g I dikatakan linier bagian demi bagian

(piecewise linear) pada I jika I merupakan gabungan sebanyak berhingga interval

saling asing 1 2, ,..., mI I I sehingga fungsi restriksi k

gI

merupakan fungsi linier.

Teorema 5.3.4

Diberikan fungsi kontinu : ,f a b . Jika 0 maka dapat ditemukan fungsi

linier bagian demi bagian yang kontinu : ,g a b sehingga

, ,f x g x x a b .

Definisi 5.3.5

(i). Fungsi :f A dikatakan naik monoton (monotonically increasing) pada

A jika untuk 1 2,x x A dengan 1 2x x berlaku 1 2f x f x .

(ii). Fungsi :f A dikatakan naik tegas (strictly increasing) pada A jika

untuk 1 2,x x A dengan 1 2x x berlaku 1 2f x f x .

(iii). Fungsi :f A dikatakan turun monoton (monotonically decreasing)

pada A jika untuk 1 2,x x A dengan 1 2x x berlaku 1 2f x f x .

29

(iv). Fungsi :f A dikatakan turun tegas (strictly decreasing) pada A jika

untuk 1 2,x x A dengan 1 2x x berlaku 1 2f x f x .

Teorema 5.3.6

Diberikan interval I dan fungsi :f I naik monoton pada I . Jika c I bukan

titik ujung interval I , maka

(i). lim ( ) sup ,x c

f x f x x I x c

.

(ii). lim ( ) inf ,x c

f x f x x I x c

.

Akibat 5.3.7

Diberikan interval I dan fungsi :f I naik monoton pada I . Jika c bukan titik

ujung interval I maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen :

(i). f kontinu di c

(ii). lim limx c x c

f x f c f x

(iii). sup , inf ,f x x I x c f c f x x I x c

Lalu bagaimana definisi fungsi :f I kontinu di ujung-ujung interval ?

Definisi 5.3.8

Diberikan interval ,I a b dan fungsi : ,f a b naik monoton pada ,a b .

(i). fungsi f kontinu di a limx a

f x f a

inf ,f x x I a x f a ,

(ii). fungsi f kontinu di b limx b

f x f b

sup ,f x x I x b f b .

30

6. Diferensial (Differentiation)

1. Derivatif suatu fungsi

Definisi 6.1.1

Diberikan interval I , fungsi :f I dan c I . Bilangan real L disebut

derivatif f di c jika 0 0 sehingga untuk setiap x I dengan

0 x c berlaku f x f c

Lx c

. Dalam hal ini dikatakan f mempunyai

derivatif atau terdiferensial (differentiable) di c dan ditulis '( )f c L .

Dengan kata lain :

Derivatif f di c diberikan dengan limit

' limx c

f x f cf c

x c

jika nilai limit ada.

Jika derivatif fungsi :f I ada disetiap x A I maka diperoleh fungsi baru

' :f A .

Teorema 6.1.2

Jika fungsi :f I mempunyai derivatif di c I maka f kontinu di c .

Kebalikan teorema tersebut tidak berlaku.

Contoh penyangkal :

Fungsi :g dengan g x x .

Teorema 6.1.3

Jika interval I , titik c I dan fungsi-fungsi :f I dan :g I

mempunyai derivatif di c I maka berlaku

(i). Jika maka fungsi f mempunyai derivatif di c dan '( ) '( )f c f c .

(ii). Fungsi f g mempunyai derivatif di c dan '( ) '( ) '( )f g c f c g c .

(iii). Fungsi fg mempunyai derivatif di c dan '( ) '( ) ( ) '( )fg c f c g c f c g c .

(iv). Jika 0g c maka fungsi f

g mempunyai derivatif di c dan

'

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

f f c g c f c g cc

g g c

.

31

Teorema 6.1.4 (Aturan rantai)

Diberikan ,I J interval-interval dalam dan fungsi-fungsi :g I dan

:f J yang memenuhi f J I dan c J . Jika f diferensiabel di c dan g

diferensiabel di f c maka fungsi komposisi 0 '( ) ' . '( )g f c g f c f c .

Contoh :

Jika :f I diferensiabel pada I dan ,ng y y y f I dan n N maka oleh

karena 1' ,ng y ny dengan aturan rantai didapat

0

' 1

'( ) ' . '( ),

( ) ( ) . '( )nn

g f x g f x f x x I

f x n f x f x

Teorema 6.1.5 (Derivatif fungsi invers)

Diberikan interval I dan fungsi :f I naik tegas / turun tegas dan kontinu

pada I , dituliskan J f I dan :g J invers fungsi f dengan g naik tegas

dan kontinu pada J . Jika f diferensiabel di c I dan '( ) 0f c maka g

diferensiabel di ( )d f c dan

1 1'( )

'( ) 'g d

f c f g d .

2. Teorema nilai rata-rata

Definisi 6.2.1

(i). Fungsi :f I mempunyai maksimum relatif di c I jika terdapat ( )N c

sehingga f x f c untuk setiap x I N c .

(ii). Fungsi :f I mempunyai minimum relatif di c I jika terdapat ( )N c

sehingga f x f c untuk setiap x I N c .

(iii). Fungsi :f I dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c I jika f

mempunyai maksimum atau minimum relatif di c I .

Teorema 6.2.2 (Teorema ekstrim interior)

Diberikan c titik interior interval I dan fungsi :f I mempunyai ekstrim relatif

di c . Jika f mempunyai derivatif di c maka '( ) 0f c .

32

Akibat 6.2.3

Jika I interval, fungsi :f I kontinu pada I dan f mempunyai ekstrim relatif

di titik c interior I maka '( )f c tidak ada atau '( ) 0f c .

Teorema 6.2.4 (Teorema Rolle)

Jika fungsi f kontinu pada ,a b , '( )f x ada disetiap ,x a b dan

0f a f b maka terdapat ,c a b sehingga '( ) 0f c .

Teorema 6.2.5 (Teorema nilai rata-rata / Mean Value Theorem)

Jika f kontinu pada ,a b dan '( )f x ada disetiap ,x a b maka terdapat

,c a b sehingga '( )f b f a f c b a .

Teorema 6.2.6

Jika f kontinu pada interval tertutup ,a b , '( )f x ada disetiap ,x a b dan

'( ) 0f x untuk setiap ,x a b maka f konstan pada ,a b .

Akibat 6.2.7

Jika f dan g kontinu pada ,a b , '( )f x dan '( )g x ada pada ,a b dan

'( ) '( )f x g x pada ,a b maka terdapat konstanta c sehingga ( )f x g x c

untuk setiap ,x a b .

Kesimpulan :

Fungsi f kontinu pada

,a b dan '( )f x ada,

,x a b

T.Rolle :

0 , , '( ) 0f a f b c a b f c .

M.V.T :

, , '( )c a b f b f a f c b a .

'( ) 0, ,f x x a b f konstan pada

,a b .

Berakibat :

Jika f g h maka ' 0, ,g h x x a b

sehingga g h konstan pada ,a b , ditulis

g h x c g x h x c

g x h x c

33

Teorema 6.2.8

Jika fungsi :f I diferensiabel pada interval I , maka

(i). f naik pada I '( ) 0,f x x I .

(ii). f turun pada I '( ) 0,f x x I .

3. Aturan L’Hospital

Jika lim ( )x c

f x A

dan lim ( )x c

g x B

dengan 0B maka ( )

lim( )x c

f x A

g x B .

(i). Jika 0B maka tidak dapat diambil kesimpulan tentang ( )

lim( )x c

f x

g x.

(ii). Untuk 0A dan 0B , ( )

lim( )x c

f x

g x disebut bentuk tak tentu (Indeterminate

Forms).

Teorema 6.3.1

Diberikan fungsi-fungsi f dan g yang didefinisikan pada ,a b dengan

0f a g a dan 0g x untuk a x b . Jika fungsi f dan g diferensiabel

di a dan jika '( ) 0g a maka ( )

lim( )x a

f x

g x ada dan sama dengan

'( )

'( )

f a

g a. Jadi

( ) '( )lim

( ) '( )x a

f x f a

g x g a .

Catatan : Teorema ini juga berlaku untuk limit kiri. Jadi berlaku untuk limit.

Teorema 6.3.2 (Nilai rata-rata Cauchy / Cauchy Mean Value)

Jika f dan g kontinu pada ,a b , diferensiabel pada ,a b dan '( ) 0g x untuk

,x a b maka terdapat ,c a b sehingga

'( )

'( )

f b f a f c

g b g a g c

.

Teorema 6.3.3 ( Aturan L’Hospital I / bentuk 0

0 )

Jika fungsi-fungsi f dan g kontinu pada ,a b , diferensiabel pada ,a b dan

0f a g a dan jika 0g x dan ' 0g x untuk a x b , maka berlaku :

34

(i). Jika '( )

lim'( )x a

f xL

g x dengan L maka

( )lim

( )x a

f xL

g x .

(ii). Jika '( )

lim'( )x a

f x

g x ( atau ) maka

( )lim

( )x a

f x

g x ( atau ).

Untuk limit dengan x digunakan teorema berikut :

Teorema 6.3.4

Jika fungsi f dan g kontinu dan diferensiabel pada ,b dan

lim ( ) lim ( ) 0x x

f x g x

dan jika 0g x dan ' 0g x untuk x b , maka

( ) '( )lim lim

( ) '( )x x

f x f x

g x g x .

Teorema 6.3.5 ( Aturan L’Hospital II / bentuk

)

Jika fungsi f dan g diferensiabel pada ,a b , lim ( )x a

f x

dan lim ( )x a

g x

dan

jika 0g x dan ' 0g x untuk a x b , maka berlaku :

(i). Jika '( )

lim'( )x a

f xL

g x dengan L maka

( )lim

( )x a

f xL

g x .

(ii). Jika '( )

lim'( )x a

f x

g x ( atau ) maka

( )lim

( )x a

f x

g x ( atau ).

Catatan : Teorema ini juga berlaku untuk hipotesa dengan

(i). lim ( )x

f x

( atau ) dan lim ( )x

g x

( atau ), atau

(ii). lim ( )x

f x

( atau ) dan lim ( )x

g x

( atau ).

Contoh :

1. 0, 1I , 0

sinlimx

x

x

= ? ( Bentuk 0

0 ).

( ) sin , ( )f x x g x x kontinu pada 0, 1 . ', 'f g ada pada 0, 1 dan

(0) (0) 0f g dan 0g x , ' 0g x 0, 1x .

Dengan L’Hospital :

0 0 0

sin coslim lim lim 2 cos 0

12

x x x

x xx x

xx

.

35

2. 0,I , log

limx

x

x= ? ( Bentuk

).

Fungsi-fungsi logf x x dan g x x mempunyai derivatif pada 0, dan

0g x dan ' 0g x untuk 0,x .

Diperoleh : ( ) '( ) 1/

lim lim lim 0( ) '( ) 1x x x

f x f x x

g x g x .

3. 0,I , 0

logsinlim

logx

x

x= ? ( Bentuk

).

Fungsi-fungsi logsinf x x dan logg x x mempunyai derivatif pada

0, dan 0g x dan 1

' 0g xx

untuk 0,x .

0 0lim ( ) lim logsinx x

f x x

dan 0 0

lim ( ) lim logx x

g x x

, maka

0 0 0 0

1cos

( ) '( ) sinlim lim lim lim cos 11( ) '( ) sinx x x x

xf x f x xx xg x g x x

x

.

4. 0,2

I

, 0

1 1lim

sinx x x

= ? ( Bentuk ).

0 0

1 1 sinlim lim

sin sinx x

x x

x x x x

(bentuk

0

0), ( ) sinf x x x dan ( ) sing x x x ,

0 0

0

sin cos 1 0lim lim ( )

sin sin cos 0

sinlim 0

cos cos sin

x x

x

x x xbentuk

x x x x x

x

x x x x

5. 0,I , 0

lim logx

x x

= ? ( Bentuk 0. ).

0 0

2

20 0

loglim log lim ( )

1/

1/lim lim 0

1/

x x

x x

xx x bentuk

x

x x

x x

6. 0,I , 0

lim x

xx

= ? ( Bentuk 00 ).

0

20 0

lim lnln

0 0

ln 1/lim lim

01/ 1/

lim lim

1

x

x x

x xx x x

x x

x x

x x

x e e

e e e

36

7. 1,I , lim 1 1/x

xx

= ? ( Bentuk 1 ).

1ln 1

12

2

11

1 1ln 1 1 ( )1lim ln 1 lim lim

1 ( )

1lim 1

11

x xx

x x x

x

ex

xx x

xx x

x

x

Jadi 1lim 1 1/x

xx e e

.

8. 0,I , 0

lim 1 1/x

xx

= ? ( Bentuk 0 ).

1ln 1

0 0 0

11

1ln 1 11lim ln 1 lim lim 01 11

x xx

x x x

ex

xx

xx x

Jadi 0

0lim 1 1/ 1

x

xx e

.

37

7. Integral Riemann

1. Pengertian

Definisi 7.1.1

Diberikan interval ,a b . Himpunan 0 1 2, , ,..., ,...,i nP x x x x x disebut

partisi pada ,a b jika 0 1 2 ... ...i na x x x x x b .

Contoh : Diberikan interval 2, 3 .

1 2, 1,1,2,3P partisi pada 2, 3 .

2 0,1,3P bukan partisi pada 2, 3 .

3 2,0,3,2P bukan partisi pada 2, 3 .

4 2,0,3P partisi pada 2, 3 .

Oleh partisi P interval ,a b di partisi menjadi n sub interval yaitu

1, , 1,2,3,...,i ix x i n . Panjang subinterval ke-i, ditulis dengan ix didefinisikan

sebagai 1, 1,2,...,i i ix x x i n . Norma partisi P, ditulis dengan p didefinisikan

sebagai 1

ii n

p maks x

.

Contoh : Diberikan 2, 3 , partisi

1. 4 2,0,3P ada 2 subinterval yaitu 2, 0 dan 0, 3 .

1 2 4 1 22, 3, , 2,3 3x x p maks x x maks .

2. 1 2, 1,1,2,3P , 1 1,2,1,1 2p maks .

Definisi 7.1.2

Diberikan p̂ dan p partisi pada ,a b . Partisi p̂ disebut penghalus dari p jika

ˆp p .

Contoh : 4 2,0,3P dan 5 2, 1,0,1,2,3P . 5p penghalus 4p .

38

Lemma 7.1.3

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas pada ,a b . Didefinisikan

1

1

1

, , ,

sup , , sup , , 1,2,...,

inf , , inf , , 1,2,...,

i i

i i i

i i i

A f x x a b B f x x x x B A

M f x x a b M f x x x x i n

m f x x a b m f x x x x i n

Jika *

1, ,i i ix x x i maka * ,i i im m f x M M i .

Definisi 7.1.4

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas dan partisi p pada ,a b .

(i). Jumlah Riemann atas fungsi f terhadap partisi p ditulis ,U f p didefinisikan

sebagai 1

, .n

i i

i

U f p M x

.

(ii). Jumlah Riemann tengah fungsi f terhadap partisi p ditulis ,S f p

didefinisikan sebagai *

1

, .n

i i

i

S f p f x x

.

(iii). Jumlah Riemann bawah fungsi f terhadap partisi p ditulis ,L f p

didefinisikan sebagai 1

, .n

i i

i

L f p m x

.

Contoh :

Diberikan

2

2, 2 0

0, 0

1 , 0 1

2, 1 3

x x

xf x

x x

x x

dan partisi

1

2

2,0,1,3

12, , ,1 ,3 , 0

4

p

p h h h h

Hitung :

a. 1,U f p dan 1,L f p .

b. 2,U f p dan 2,L f p .

Teorema 7.1.5

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Untuk setiap partisi p pada ,a b berlaku

, , , ( )m b a L f p S f p U f p M b a .

39

Bukti

Dari Lemma 7.3 didapat *. . . . . ,i i i i i i i im x m x f x x M x M x i . Jika hasil

ini dijumlahkan maka akan didapat

*

1 1 1 1 1

1 0 2 1 1

1 1

0

. . . . . ......(*)

. ....

n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i

n n

i i n n

i i

n

m x m x f x x M x M x

m x m x m x x x x x x

m x x m b a

Dari (*) didapat , , , ( )m b a L f p S f p U f p M b a .

Misalkan dibentuk ,p p partisi pada a b maka dari Teorema 7.1.5

didapat , , , ,L f p M b a p dan U f p m b a p . Oleh karena

,L f p p terbatas ke atas maka sup ,p

L f p

ada, dan karena

,U f p p terbatas ke bawah maka inf ,p

U f p

ada.

Definisi 7.1.6

(i). Integral Riemann bawah dari fungsi f ditulis ( )

b

a

f x dx

didefinisikan sebagai

1

( ) sup , sup .

b n

i ip p ia

f x dx L f p m x

.

(ii). Integral Riemann atas dari fungsi f ditulis ( )

b

a

f x dx

didefinisikan sebagai

1

( ) inf , inf .

b n

i ip p

ia

f x dx U f p M x

.

(iii). Fungsi f dikatakan terintegral Riemann pada ,a b jika

( ) ( )

bb

aa

f x dx f x dx

.

Notasi : ,f R a b .

Nilai integralnya : ( ) ( ) ( )

bb b

a aa

f x dx f x dx f x dx

.

40

Contoh :

1. Diberikan fungsi f x c , c konstan. Apakah ,f R a b ?. Jika ya, tentukan

nilainya.

Untuk sebarang partisi p didapat , ,i im c M c i .

1 1 1

, . .n n n

i i i i

i i i

U f p M x c x c x c b a

, dan

1 1 1

, . .n n n

i i i i

i i i

L f p m x c x c x c b a

, maka

( ) sup , sup

b

p pa

f x dx L f p c b a c b a

, dan

( ) inf , inf

b

p pa

f x dx U f p c b a c b a

.

Jadi ( ) ( )

bb

aa

f x dx f x dx c b a

, sehingga ,f R a b dan ( )

b

a

f x dx c b a .

2. Diberikan fungsi

1, ,

0, ,

x Q a bg x

x R Q a b

Apakah ,g R a b ? jika ya, tentukan nilainya.

Ambil sebarang partisi p pada ,a b . Oleh karena setiap sub interval 1,i ix x ,

1,2,..,i n memuat bilangan rasional dan irrasional maka 0, 1,i im M i .

( ) sup , sup 0 0

b

p pa

g x dx L g p

, dan

( ) inf , inf

b

p pa

g x dx U g p b a b a

.

Oleh karena ( ) ( )

bb

aa

g x dx g x dx

maka ,g R a b .

Teorema 7.1.7

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Jika 1p dan 2p partisi pada ,a b dengan

1 2p p maka 1 2 2 1, , , ,L f p L f p U f p U f p .

41

Teorema 7.1.8

Untuk setiap : ,f a b terbatas berlaku ( ) ( )

bb

aa

f x dx f x dx

.

2. Kriteria fungsi yang terintegral Riemann

Teorema 7.2.1 (syarat perlu dan cukup untuk ,f R a b )

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Fungsi ,f R a b jika dan hanya jika

setiap 0 terdapat partisi p pada ,a b sehingga , ,U f p L f p .

Teorema 7.2.2

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Jika f naik monoton pada ,a b maka f

terintegral Riemann pada ,a b . Jika f turun monoton pada ,a b maka f

terintegral Riemann pada ,a b .

Teorema 7.2.3

Jika fungsi f kontinu pada ,a b maka f terintegral Riemann pada ,a b .

Teorema 7.2.4

Jika f kontinu pada ,a b kecuali di berhingga banyak (beberapa) titik maka f

terintegral Riemann pada ,a b .

Teorema 7.2.5

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Fungsi ,f R a b , ,c a b jika dan

hanya jika ,f R a c dan ,f R c b .

Akibat

Jika f terintegral Riemann pada ,a b dan , ,c d a b maka f terintegral

Riemann pada ,c d .

3. Sifat-sifat integral Riemann

Teorema 7.3.1

Diberikan fungsi , : ,f g a b terbatas. Jika , ,f g R a b , k maka

(i). ,kf R a b dan ( )( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx .

42

(ii). ,f g R a b dan ( )( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dx .

(iii). Jika , ,f x g x x a b maka ( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx .

Akibat 7.3.1.(iii)

(i). ,f R a b , 0, ,f x x a b ( ) 0

b

a

f x dx .

(ii). ,f R a b , 0, ,f x x a b ( ) 0

b

a

f x dx .

Definisi 7.3.2

(i). Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada a maka ( ) 0

a

a

f x dx .

(ii). Diberikan ,f R a b maka ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx .

Sifat 7.3.3

(i). Jika ,f R a b maka ,f R a b dan ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx .

(ii). Jika , ,f g R a b maka ,fg R a b .

Definisi 7.3.4

Diberikan fungsi : ff D . Didefinisikan fungsi :

( ), ( ) 0( )

0, ( ) 0

f x jika f xf x

jika f x

dan ( ), ( ) 0

( )0, ( ) 0

f x jika f xf x

jika f x

Catatan :

(i). ( ) 0, ff x x D dan ( ) 0, ff x x D .

(ii). f f f dan f f f .

Teorema 7.3.5

Jika ,f R a b maka , ,f f R a b .

43

4. Integral sebagai fungsi batas atas

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas . Jika fungsi ,f R a b , ,x a b

maka , , ,f R a x x a b . Jadi , , ( )

x

a

x a b f t dt ada.

Didefinisikan

: ,

( ) ( )

x

a

F a b

x F x f t dt

Sifat-sifat fungsi F .

Teorema 7.4.1

Diberikan fungsi : ,f a b terbatas. Jika ,f R a b dan : ,f a b

dengan ( ) ( ) , ,

x

a

F x f t dt x a b maka F kontinu (seragam) pada ,a b .

Teorema 7.4.2

Jika ( ) ( ) , ,

x

a

F x f t dt x a b dan f kontinu di 0x , maka 0 0'( ) ( )F x f x .

Catatan : Jika f kontinu pada ,a b maka '( ) ( ), ,F x f x x a b .

Contoh :

Diberikan fungsi sebagai berikut :

2

1, 1 1

( ) 1 3 , 1 2

3 7 , 2 3

t t

f t t t

t t

Jika 1

( ) ( ) , 1, 3

x

F x f t dt x

.

Tentukan : (a). rumus ( )F x secara eksplisit

(b). '( )F x

44

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Bartle, R.G., and Sherbert, D.R., 2001, Introduction to Real Analysis, 3rd

Edition,

New York: John Wiley and Sons.

[2]. Darmawijaya, S., 2006, Pengantar Analisis real, Yogyakarta : FMIPA UGM.