limit fungsi - alfith.itp.ac.id · lingkaran, maka kita akan dapatkan barisan bilangan rasional,...

LIMIT FUNGSI

Oleh :ALFITH, S.Pd, M.Pd

APA ITU LIMIT?Arti kata:

batas, membatasi, mempersempit,mendekatkan.

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Dalam kehidupan sehari-hari,orang sering dihadapkan padamasalah-masalah pendekatansuatu nilai/besaran.


Contoh:a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang

ditunggu-tunggu.c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9.d. ……dst.

Pertanyaan:Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaranatau nilai-nilai pada contoh di atas denganbesaran/nilai yang sebenarnya?


Dari ketiga contoh tersebut, kitamungkin tidak mengetahuiletak/berat/nilai yangsesungguhnya.

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN)

1. Perhatikan gambar berikut.

……. dst.

Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (npolygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebutberada pada lingkaran. Tentu dapatdibayangkan bahwa apabila n “sangat besar”,maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.

CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN

2. Masalah penjumlahan:

4

3

4

1

2

1

8

7

8

1

4

1

2

1

16

15

16

1

8

1

4

1

2

1


………………..

………………….dst.

32

31

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

211

211

2

1

2

1...

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

n

n


Apabila jumlahan dilakukan untuk n “sangatbesar”, maka hasil jumlahan akan “mendekati” 1.


3. Masalah mekanika:Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakansepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ketempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempatkerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepedamotor dengan kecepatan rata-rata

km/jam3000.0730.07

15


Secara umum, apabila pada pukul 07 lebih t menit,orang tersebut telah menempuh jarak x km, makakecepatan rata-rata orang tersebut berkendaraanadalah

km/jam.60

km/menitt

x

t

x


Yang menjadi pertanyaan adalah berapasesungguhnya kecepatan orang tersebut dalamberkendaaan ketika jam menunjukkan pukul 07 lebiht menit?Pertanyaan ini sulit dijawab, karena nilaiperbandingan jarak tempuh dan selang waktu, yaitu

menjadi mendekati 0/0. Namun demikian nilaipendekatannya dapat ditentukan.

t

x


Salah satu masalah utama di dalam kalkulus adalahnilai slope/kemiringan suatu garis , yaitu ,ketika nilai tersebut menjadi hampir 0/0.

Nilai eksak slope dengan kondisi seperti tersebut diatas sangat sulit ditentukan, namun nilaipendekatannya tidaklah sulit untuk ditentukan.

Proses menentukan nilai pendekatannya itulah yangmenjadi ide dasar konsep limit.

xy


Perhatikan bahwa untuk berbagai nilai dan, maka nilai berupa bilangan rasional.

Oleh karena itu, ide dasar konsep limit tidak lainadalah barisan bilangan rasional.

xy

yx

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(BARISAN BILANGAN RASIONAL)

Barisan bilangan rasional antara lain dapatditemukan dalam geometri, yaitu ketika seseorangakan menentukan hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya (bilangan π).

Untuk mengetahui hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya, kita gambarkanpoligon (segi banyak) beraturan di dalam lingkaran.


Betul bahwa keliling setiap poligon tidak akanpernah sama dengan keliling lingkaran. Akantetapi apabila jumlah sisi poligon “cukup besar”,maka selisih antara keliling lingkaran dengankeliling poligon tersebut sangatlah kecil, lebihkecil dari sebarang bilangan positif yangdiberikan, misalkan0.00000000000000000000000000000001


Jadi, apabila jumlah sisi poligon terus diperbesar ,misalkan dari 4 sisi, 5 sisi, …, 60 sisi, 61 sisi, 62, 63,64, dan seterusnya, dan kita lakukan pembagiankeliling masing-masing poligon dengan diamterlingkaran, maka kita akan dapatkan barisanbilangan rasional, yang masing-masing bilangannilainya kurang dari hasil bagi keliling lingkarandengan diameternya (sebut π).

Bilangan di dalam barisan yang kita dapatkantersebut, “semakin lama akan semakin dekat” denganπ (yaitu limit atau batas barisan).

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(GENERALISASI MASALAH)

Pada prinsipnya, nilai-nilai yang terletak padasumbu Y dapat dipakai untuk menggambarkan nilaisebarang besaran. Demikian pula nilai-nilai yangterletak pada sumbu X.

Apabila nilai pada sumbu Y menyatakan jaraktempuh benda yang bergerak dan nilai pada sumbu Xmenyatakan waktu tempuh, maka slope mempunyaiarti kecepatan/laju rata-rata.

ARTI LEBIH UMUM: Kecepatan/laju rata-ratadiartikan sebagai perbandingan perubahan suatubesaran terhadap perubahan besaran yang lain.

FUNGSI

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekalidijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antarasatu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antarapedagang dan pembeli suatu barang, antara majikandan pelayan, antara bank dan nasabah, dst.

Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebutrelasi.

Secara sistemik, suatu relasi menggambarkanhubungan antara anggota dari suatu kumpulanobyek dengan anggota dari kumpulan obyek yanglain.

Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabilasetiap unsur dalam suatu kumpulan obyekmempunyai hubungan dengan tepat satu obyek darikumpulan yang lain, disebut fungsi.

FUNGSI

Secara matematis, pengertian fungsi diberikansebagai berikut:

Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasidari A ke B adalah suatu himpunan .

Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggotaA berelasi dengan tepat satu anggota B disebutfungsi dari A ke B.

BAR

FUNGSI

Jika sebarang anggota A diwakili denganvariabel x dan anggota B yang oleh fungsi fberelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasadiberikan dengan rumus

)(xfy

LIMIT FUNGSI

Dari contoh-contoh masalah pendekatansebagaimana diuraikan di atas, kiranya secaramatematis dapat dibuat rumusan umumnya:

“Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumusy=f(x), maka berapa nilai y apabila x “sangat

dekat” dengan c?”

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapacontoh berikut.

LIMIT FUNGSI

Contoh 1. Diberikan . Berapa nilaipada saat x “sangat dekat” dengan 0?

Jawab:Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan diatas sulit ditentukan, bahkan tidak mungkin.Mengapa demikian? Karena kita tidak dapatmemberikan kepastian nilai x yang dimaksud.

Meskipun demikian, nilai pendekatan untukyang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikantabel berikut.

1)( xxf )(xf

)(xf

LIMIT FUNGSI

x f(x) x f(x)–1 0 1,24 2,24

–0,55 0,45 0.997 1,997

–0,125 0,875 0,00195 1,00195

–0,001 0,999 0,0000015 1,0000015

–0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai xsemakin “dekat” dengan 0, maka akansemakin “dekat” dengan 1.

CATATAN:Adalah suatu kebetulan bahwa .

Dengan grafik, dapat digambarkan sebagaiberikut.

)(xf

1)0( f

LIMIT FUNGSI

Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat“dekat” dengan 0, baik untuk x<0 maupun untukx>0, maka sangat “dekat” dengan 1.

1

)(xf

LIMIT FUNGSI

Contoh 2. Diberikan

Berapa nilai pada saat x sangat “dekat”dengan 1?

Jawab:Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak adaatau tak terdefinisi.

Yang menjadi pertanyaan, apakah hal ituberakibat juga tidak ada untuk setiap xsangat “dekat” dengan 1?

1

1)(

2

x

xxg

)(xg

)1(g

)(xg

LIMIT FUNGSI

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlumenganalisanya dengan cermat.

Perhatikan bahwa untuk ,

(Dalam hal ini, kita definisikan ).

Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilaig(x) dapat dilihat pada tabel berikut.

)(11

)1)(1(

1

1)(

2

xfxx

xx

x

xxg

1x

1)( xxf

1x

LIMIT FUNGSI

x g(x) x g(x)0 1 1,24 2,24

0,557 1,557 1,0997 2,0997

0,799999 1,799999 1,00195 2,00195

0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015

0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai xyang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat padagambar berikut.

1

2

LIMIT FUNGSI

Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan1, maka nilai g(x) semakin “dekat” dengan 2.

Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.

LIMIT FUNGSI

Contoh 3. Diberikan

Berapa nilai pada saat x sangat “dekat”dengan 1?

1,1

1,1

1

)(

2

x

xx

x

xh

)(xh

LIMIT FUNGSI

Jawab:Jelas bahwa . Muncul pertanyaan serupadengan pertanyaan pada Contoh 2, yaitu:

Apakah keadaan tersebut, yaitu , akanmengakibatkan juga akan bernilai 1 ketikax sangat “dekat” dengan 1?

)(xh1)1( h

1)1( h

LIMIT FUNGSI

Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2,bahwa untuk ,

(Dalam hal ini, kita definisikan ).

Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilaih(x) dapat dilihat pada tabel berikut.

)(11

)1)(1(

1

1)(

2

xfxx

xx

x

xxh

1x

1)( xxf

1x

LIMIT FUNGSI

x h(x) x h(x)0 1 1,24 2,24

0,557 1,557 1,0997 2,0997

0,799999 1,799999 1,00195 2,00195

0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015

0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai xyang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat padagambar berikut.

1

2

LIMIT FUNGSI

Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan1, maka nilai h(x) semakin “dekat” dengan 2.

LIMIT FUNGSI

Dari Contoh 1, Contoh 2, dan Contoh 3, apabilakita perhatikan beberapa hal yang sama (dalamhal ini tidak usah memperhatikan nilai fungsi di0 untuk Contoh 1 dan nilai fungsi di 1 untukContoh 2 dan Contoh 3), berturut-turut kitakatakan: Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1, Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2, Limit h(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,

dan masing-masing ditulis dengan

2)(limdan,2)(lim,1)(lim110

xhxgxfxxx

LIMIT FUNGSI

Dengan demikian, dapat diturunkan definisilimit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.

Definisi 4. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati c, ditulis

jika untuk nilai x yang sangat “dekat” dengan c,tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.

Lxfcx

)(lim

cx

SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI

(i)

(ii)

(iii) Jika dan ada, danmaka:

(a)

(b)

)(lim xfcx

)(lim xgcx

kkcx

lim

cxcx

lim

Rk

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim xfkxkfcxcx


(c)

(d)

)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfcxcxcx

0)(limasalkan,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xg

xf

xg

xfcx

cx

cx

cx


(e) untuk sebarang ,

.0)(limgenap,untukasalkan

,)(lim)(lim)3(

0)(limasalkan

,)(lim)(lim)2(

)(lim)(lim)1(

/1/1

xfn

xfxf

xf

xfxf

xfxf

cx

n

cx

n

cx

cx

n

cx

n

cx

n

cx

n

cx

Nn

CONTOH-CONTOH

1. Hitung .

Penyelesaian:

63lim 2

1

xx

x

261)1(3

61lim3

6)1(lim3

6limlim3lim63lim

2

2

1

2

1

11

2

1

2

1

x

x

xxxx

x

x

xxxx

CONTOH-CONTOH

2. Hitung .

Penyelesaian:3

152lim

2

2

x

xxx

3

32

152.22

3limlim

15limlim2lim

3lim

152lim

3

152lim

2

22

22

2

2

2

2

22

2

xx

xxx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

CONTOH-CONTOH

3. Hitung .

Penyelesaian:15

1lim

2 xx

3

1

12.5

1

1limlim5

1

)15(lim

1

15

1lim

15

1lim

15

1lim

2/1

2/1

22

2/1

2

2/1

2

2/1

22

xxx

xxx

xx

xxx

CONTOH-CONTOH

4. Hitung .

Penyelesaian:Karena ,

maka sifat

tak dapat langsung digunakan. Apakah dengandemikian limit yang ditanyakan menjadi tak ada?

1

23lim

2

2

1

x

xxx

023limdan01lim 2

1

2

1

xxx

xx

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

CONTOH-CONTOH

Perhatikan bahwa untuk , .

Oleh karena itu,,

1

2

)1)(1(

)2)(1(

1

232

2

x

x

xx

xx

x

xx

2

1

11

21

)1(lim

)2(lim1

2lim

1

23lim

1

1

12

2

1

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

1x

CONTOH-CONTOH

5. Hitung .

Penyelesaian:

2

35lim

2

2

x

xx

3

2

39

22

35

2lim

352

22lim

352

95lim

35

35.

2

35lim

2

35lim

22

222

2

2

2

22

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

LIMIT TAK HINGGA

Untuk , definisi limit dapat dituliskansebagai berikut.

Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati ∞ , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah positif berakibat f(x) “mendekati”L.

Lxfx

)(lim

c

LIMIT TAK HINGGA

Untuk , definisi limit dapat dituliskansebagai berikut.

Definisi 6. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati ─∞ , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah negatif berakibat f(x) “mendekati”L.

Lxfx

)(lim

c

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 7. Fungsi f dikatakan mempunyai limittak hingga untuk x mendekati c , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besartak terbatas” arah positif.

)(lim xfcx

cx

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 8. Fungsi f dikatakan mempunyai limitnegatif tak hingga untuk x mendekati c , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besartak terbatas” arah negatif.

)(lim xfcx

cx

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 9. Fungsi f dikatakan mempunyai limittak hingga untuk x mendekati tak hingga ,ditulis

jika untuk nilai x yang “cukup besar” arahpositif, berakibat nilai f(x) menjadi “besar takterbatas” arah positif.

)(lim xfx

LIMIT TAK HINGGA

Untuk limit-limit

didefinisikan secara sama.

)(limdan,)(lim,)(lim xfxfxfxxx

LIMIT TAK HINGGA

Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

lim.601

lim.4

lim.501

lim.3

0untuk,1

lim.2

0untuk,1

lim.1

0

0

CONTOH-CONTOH

7lim)3(lim73lim.3

0

)1(,1

lim1

1lim.2

.11

lim)1(lim1

lim.1

2

2

0020

xxx

yx

xxx

xxxx

xyyx

xx

x

x

CONTOH-CONTOH

1. Hitunglah

Penyelesaian:Perhatikan bahwa

Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakanmenjadi susah dikatakan. Apakah limittersebut tak ada?

52

13lim

2

2

xx

xx

)52(limdan)13(lim 22 xxxxx

CONTOH-CONTOH

Perhatikan bahwa

Oleh karena itu, menggunakan sifat limitdiperoleh

31

3

521

13lim

52

13lim

2

2

2

2

xx

x

xx

xxx

2

2

22

22

2

2

521

13

)521(

)13(

52

13

xx

x

xxx

xx

xx

x

CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI

Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkarandengan jari-jari R sama dengan .

Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalamlingkaran sehingga setiap titik sudutnya beradapada lingkaran.

R2


Keliling segi n tersebut adalah

Untuk n cukup besar, maka nilai akanmendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu,keliling lingkaran adalah

n

nRnRnLn 1

2cos122cos12

22

nL

RLL nn

2lim


Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikutipersamaan

dengan t menyatakan waktu (dalam jam) danS(t) menyatakan jarak tempuh. Berapakecepatan partikel pada jam 2?

0,4)( 2 ttttS


Penyelesaian:Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampaidengan jam 2+h, dengan adalah

Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0,maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2,yaitu

hh

ShSvh

8

)2()2(0h

8lim)2(0

hh

vv

SELESAI

limit fungsi - alfith.itp.ac.id · lingkaran, maka kita akan dapatkan barisan bilangan rasional,...

Documents