1. himpunan - bambangtriatma - home · pdf file14. bilangan rasional adalah bilangan yang...

1. Himpunan Himpunan adalah kumpulan obyek yang ciri keanggotaannya

terdefinisikan dengan jelas

2. Kumpulan angka yang membawa keberuntungan;

kumpulan angka pembawa sial; dsj., tak bisa disebut

himpunan, karena ciri keanggotaannya tidak jelas, karena

berbeda-beda antara orang satu dengan lainnya.

3. Kumpulan bilangan kelipatan dua bisa disebut himpunan,

karena ciri keanggotaannya jelas.

4. Kumpulan mahasiswa miskin tidak bisa disebut himpunan,

karena kriteria miskin tidak jelas. Tetapi jika kriteria miskin

sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan

tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan.

5. Kumpulan mahasiswa cantik tidak bisa disebut himpunan,

karena kriteria cantik tidak jelas. Tetapi jika kriteria cantik

sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan

tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan.

6. Batasan tertentu ini kemudian menghasilkan himpunan

universal.

7. Himpunan universal adalah himpunan yang menjadi topik

pembicaraan

8. Misalnya himpunan universal bagi bilangan bulat positif

ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, . . . , dst.

Cerdik Matematika 2011

2 Cerdik Pustaka: e-mail: [email protected]

9. Himpunan universal untuk mahasiswa miskin misalnya

mahasiswa yang gaji orang tuanya kurang dari

Rp.1.000.000,- per bulan.

10. Himpunan universal untuk mahasiswa cantik misalnya

yang memenuhi syarat: harus berjenis kelamin

perempuan, harus memiliki mata, harus memiliki mulut,

letak hidung harus di bawah mata, letak mulut harus di

bawah hidung, dst.

11. Ciri keanggotaan himpunan bisa dinyatakan secara

verbal (dengan kata-kata) maupun dengan simbol.

12. Misal himpunan kelompok belajar Alfa Omega

beranggotakan: Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah,

Nurul, bisa dinyatakan sbb:

A = { Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul}

Mirna A (dibaca: Mirna anggota himpunan A).

tetapi M A (dibaca: M bukan anggota himpunan A), karena

tak ada anggota bernama M.

13. Mendeskripsikan himpunan secara verbal, misalnya:

{a, b, c, . . . , z} bisa dideskripsikan sebagai himpunan

alfabet Inggris.

{1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung

(counting numbers). Bilangan dapat dihitung (counting

numbers) juga disebut bilangan asli (natural) oleh sebab

itu sering disimbolkan dengan N.



{1, 3, 5, . . . } = himpunan bilangan dapat dihitung ganjil

(odd counting numbers).

{0, 1, 2, 3, . . . } = himpunan bilangan utuh (the whole

numbers).

{. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } = himpunan bilangan bulat (the

integers}.

4

5,

3

4,

2

3,

3

1,

5

0,

2

2,

3

2 adalah salah satu himpunan bagian dari

himpunan bilangan rasional.

14. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai b

a , dimana a maupun b anggota

bilangan bulat, tetapi b tak boleh = 0. Dengan demikian

himpunan bilangan rasional bisa dinyatakan sebagai Q = {x

= b

a a maupun b = bilangan bulat, tetapi b ≠ 0}. 4

merupakan anggota bilangan rasional, karena bisa

dinyatakan sebagai 1

2 atau 2

4 , tetapi 3 = 1,732050808.......

menghasilkan desimal tak ada hentinya dan tak berulang.

Oleh sebab itu 3 tak dapat dinyatakan sebagai b

a , dimana

a maupun b = bilangan bulat, maka 3 bukan bilangan

rasional, tetapi 3 masuk bilangan irasional.

15. Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tak dapat

dinyatakan sebagai b

a , dimana a maupun b anggota

bilangan bulat. Bilangan irasional bila dinyatakan dengan



desimal menghasilkan angka di belakang koma yang tak

ada habisnya dan tak berulang, misalnya 2 =

1,414213562........ tetapi jika desimalnya berulang,

bilangan termasuk ke dalam bilangan rasional, misal

0,666666..... merupakan hasil dari 3

2 , maka masuk bilangan

rasional, demikian pula 0,33333.... = 3

1 . Himpunan

bilangan irasional bisa dinyatakan sebagai: P = {x ≠ b

a a

maupun b bilangan bulat (the whole numbers)} misal {..., -

5 , 3 , 2 , ...}.

16. Gabungan bilangan rasional dan irasional

dikelompokkan ke dalam bilangan riil. Maka himpunan

bilangan riil bisa dinyatakan sebagai R = semua bilangan

rasional maupun irasional.

17. Bilangan kompleks: Jika - 5 bisa dinyatakan sebagai -

2,236067977, tidak demikian dengan 5 . Bilangan 5

tidak dikelompokkan riil, karena tidak ada bilangan yang

kalau dikuadratkan menghasilkan bilangan negativ. Maka

5 kemudian disederhanakan menjadi )1(5 = ( 5 )( 1 ).

Selanjutnya 1 disimbolkan sebagai i, sedang 5

diselesaikan menjadi 2.236067977........, sehingga akhirnya

menjadi (2.236067977....) i. Oleh sebab itu bilangan

kompleks bisa dinyatakan sebagai C = {a + bi a maupun b

anggota bilangan riil, sedangkan i = 1 .



Gambar 1

18. Himpunan bilangan asli (N) = himpunan bagian dari

himpunan bilangan utuh (W), ditulis dalam simbol: N

W. Bilangan 0 bukan anggota himpunan bilangan asli (N),

ditulis dengan simbol: 0 N, tetapi 0 anggota himpunan

bilangan utuh (W), ditulis dengan simbol: 0 W.

19. Himpunan bilangan utuh (W) = himpunan bagian

sejati dari himpunan bulat (I), ditulis W I. Bilangan bulat



negativ (I-) bukan anggota himpunan bilangan utuh (W),

misal -3 W, tetapi bilangan -3 anggota himpunan

bilangan bulat (I), simbolnya -3 I.

20. Himpunan bilangan bulat (I) = himpunan bagian sejati

dari himpunan bilangan rasional (Q).

21. Himpunan bilangan rasional = himpunan bagian sejati

dari himpunan bilangan riil (R). Himpunan bilangan riil (R)

= himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan

kompleks (C).

22. Dengan demikian: N W I Q R C.

23. Contoh penerapan: {3, 6, 9, . . . , 27} bisa

dideskripsikan sebagai himpunan bilangan asli (atau

bilangan dapat dihitung) kelipatan 3 dan kurang dari 28

(atau kurang dari 29, atau kurang dari 30).

24. Mengubah penulisan himpunan dari bentuk simbol ke

dalam bentuk daftar bisa sbb:

25. Misal A = {x x adalah simbol digit pembentuk

bilangan 1896}, dibaca: A adalah himpunan

beranggotakan x dimana x adalah simbol dari bilangan

1896, maka anggota himpunan A terdiri dari: 1, 8, 9, dan 6

dan dituliskan sebagai {1, 8, 9, 6}.

B = {x x > 5, x bilangan bulat ganjil}, dibaca: B adalah

himpunan beranggotakan x dimana nilai x lebih besar dari

5, sedangkan x bilangan bulat ganjil, maka anggota

himpunan B adalah {7, 9, 11, . . . }



C = {x 0 < x < 1, x bilangan dapat dihitung (counting

numbers)}, dibaca: C adalah himpunan beranggotakan x

dimana nilai-nilai x berada pada kisaran lebih dari 0 tetapi

kurang dari 1, maka himpunan C tidak memiliki anggota

sama sekali. Dengan demikian C adalah himpunan kosong,

ditulis C = { } atau C = .

D = {x x = 4n, n bilangan dapat dihitung (counting

numbers)} maka D = {4, 8, 12, . . . }.

26. Dua himpunan disebut sama (equal) jika banyak

maupun macam anggota-anggotanya sama, meskipun

urutan penulisannya tidak sama. Misal: Himpunan { 1, 2, 3

} = { 3, 1, 2 } = { 3, 2, 1 }.

27. Diagram Venn: Jika himpunan universal U = {a, b, c,

d, e}, A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, gambarkan diagram Venn

untuk situasi ini.

Jawab:

Gambar 2



28. Perpotongan (intersection) antara A dan B

disimbolkan: A B = {a}. Kesimpulan: A B = {x x A

dan x B}.

29. Gabungan (union) antara A dan B disimbolkan: A B

= {a, b, c, e}, boleh juga = {a, c, e, b}, boleh juga = {c, a, b,

e}. Kesimpulan: A B = {x x A dan/atau x B}.

30. Komplemen A atau disimbolkan A’ (dibaca A prime) =

{e, d} = {d, e}. Kesimpulan : A’ {x x U dan x A }. Bisa

juga A’ = U-A.

31. Komplemen B disimbolkan B’ = {b, c, d} = {b, d, c} = {c,

d, b} (urutan tidak mempengaruhi).

32. Diketahui A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, maka A - B = {b,

c}, sedang B - A = {e},

33. Diketahui U = {a, b, c, d, e}; sedang A B = {a, b, c,

e}, maka U – (A B) = {d},

Kesimpulan : A-B = {x x A dan x B}

(A B)’ = {d}.

34. Jika U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedang A = {1, 3, 5},

sementara B = {2, 4}, tentukan : A’, B’, A’ B’, dan A B.

Gambarkan pula

diagram Venn-nya.

Jawab:

A’ = {2, 4, 6};

B’ = {1, 3, 5, 6};

A’ B’ = { 6 };

Gambar 3



sedangkan A B = { } atau

35. Himpunan bagian (subset) (simbol : Misal jika A =

{a, b, c}, sedang B = {a, b}, lalu C = {b}, maka B merupakan

himpunan bagian dari A, simbolnya : B A; demikian pula

C A; juga C B. Kesimpulan: BA jika setiap anggota

dari B juga merupakan anggota dari A.

36. Menghitung banyaknya himpunan bagian.

Jika A = { } maka A mempunyai 1 himpunan bagian yaitu { }

atau .

Jika A = { a } maka A mempunyai 2 himpunan bagian yaitu

, dan { a}.

Jika A = { a, b } maka A mempunyai 4 himpunan bagian

yaitu , { a }, { b }, dan {a, b}.

Maka A; juga {a} A, juga {b} A, juga {a, b} A.

Tabel 1

Banyaknya anggota dalam himpunan

induk

Banyaknya himpunan bagian

0 2 pangkat 0 1

1 2 pangkat 1 2 2 2 pangkat 2 4

3 2 pangkat 3 8

n 2 pangkat n 2n Teori himpunan bagian di atas membuktikan bahwa segala

bilangan jika dipangkatkan NOL menghasilkan SATU.



37. Banyaknya himpunan bagian dengan anggota

sebanyak tertentu:

Tabel 2

Banyaknya anggota dalam himpunan induk

Banyaknya himpunan bagian beranggotakan:

0 1 2 3

0 { } atau

{ }

1 1 {a} { } {a}

1 1

2 {a, b} { } {a}; {b}

{a, b}

1 2 1 3 {a,b,c} { } {a};

{b}; {c}

{a, b}; {a, c};

{b, c}

{a, b, c}

1 3 3 1

38. Banyaknya himpunan bagian dengan anggota

sebanyak tertentu ini menghasilkan segita yang dikenal

sebagai Segitiga Pascal (untuk menghormati Blaise Pascal,

1623-1662).

39. Selain himpunan bagian ( ), ada juga himpunan

bagian sejati ( ) atau the proper subset. Banyaknya

himpunan bagian sejati adalah 2n-1 karena semua



merupakan himpunan bagian dari {a,b,c} kecuali {a,b,c} itu

sendiri. Jadi {a,b,c} bukan himpunan bagian sejati ( ) dari

{a,b,c}.

Segitiga Pascal:

1

1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 Gambar 4

40. Hukum-hukum operasi himpunan:

41. Hukum yang melibatkan dan :

42. Hukum komutativ:

A B = BA

A B = B A

43. Hukum asosiativ:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

44. Hukum distributiv:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

45. Hukum yang melibatkan dan U:

A = A A =

AU = U AU = A



AA = A A A = A

46. Hukum yang melibatkan komplemen:

AA’ = U A A’ = U’ =

’ = U (A’)’ = A

47. Hukum De Morgan:

(A B)’ = A’ B’ (A B)’ = A’ B’

48. Hukum yang melibatkan selisih himpunan:

A-B = A B’ U-A = A’

Gambar 8

Gambar 6 Gambar 5

Gambar 7



Latihan:

1. Buatlah daftar anggota himpunan {xx adalah bilangan

bulat kurang dari 10}

2. Gambarlah diagram Venn A B; A B; A-B; A’-B; A’ B;

A' B’.

3. Gambarlah diagram Venn untuk melukiskan himpunan

berikut: {x xA atau xB}; {x A atau xB}; {x xA dan

xB}.

4. Dengan melihat gambar di

samping kanan, tentukan

himpunan berikut: a. B-A, b.

CABA

5. Di antara 200 calon putri

Indonesia, 70 orang bisa berbahasa Perancis, 40 orang bisa

berbahasa Jerman, 75 orang bisa berbahasa Spanyol, 10

orang bisa berbahasa Perancis dan Jerman, 30 orang bisa

berbahasa Perancis dan Spanyol, 15 orang bisa berbahasa

Jerman dan Spanyol, sedangkan 70 orang tidak menguasai

satupun dari bahasa-bahasa itu. Jika diketahui bahwa tak

ada satupun calon yang menguasai tiga bahasa sekaligus:

Gambar 9



a. Berapa banyak calon yang menguasai dua bahasa?, b.

Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol

saja?, c. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa

Spanyol, tetapi tidak menguasai bahasa Perancis?

2. Logika

1. Pernyataan (statement) = kalimat yang dapat ditentukan

nilainya benar atau tidak.

2. Contoh pernyataan:

Dua adalah bilangan genap. (Pernyataan yang nilai

kebenarannya = 1). Simbol angka 1 mewakili nilai benar.

Simbol lain yang sama nilainya adalah T (True).

Dua adalah bilangan ganjil. (Pernyataan yang nilai

kebenarannya = 0). Simbol angka 0 mewakili nilai salah.

Simbol lain yang sama nilainya adalah F (False).

3. Contoh bukan pernyataan:

Benarkah dua bilangan genap? (bukan pernyataan karena

tak dapat ditentukan benar tidaknya).

Jam berapakah sekarang? (bukan pernyataan).

4. Menentukan nilai kebenaran dari gabungan (compound)

dua pernyataan:

p = Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.



Jika kenyataannya Semarang memang ibukota Jawa

Tengah, maka pernyataan p mempunyai nilai kebenaran =

1 atau T (True). Jika ternyata Semarang bukan ibukota

Jawa Tengah, maka pernyataan p nilainya = 0 atau F

(False).

q = Jawa Tengah terletak di pulau Jawa.

Pernyataan gabungan p dan q disimbolkan p q

dinyatakan benar jika dan hanya jika p benar dan q juga

benar. Tabel kebenaran p dan q sbb:

Tabel 3

p q p q

1 1 1 1 0 0

0 1 0

0 0 0 Jika ditulis dengan cara lain sbb:

Tabel 4

p q p q

T T T T F F

F T F F F F

5. Gabungan pernyataan p dan q disebut konjungsi,

sedangkan gabungan pernyataan p atau q disebut

disjungsi seperti berikut ini:



p = Menurunkan harga minyak.

q = Menaikkan gaji pegawai.

p atau q disimbolkan p q memiliki tabel kebenaran sbb:

Tabel 5

p q p q

1 1 1

1 0 1 0 1 1

0 0 0

6. Penyangkalan (negasi): p = Menurunkan harga minyak.

Negasi dari p disimbolkan p = Bukan menurunkan harga

minyak. Jika p nilainya 1 atau T (True), maka p nilainya 0

atau F (False). q = Menaikkan gaji pegawai. Negasi dari q

disimbolkan q = Bukan menaikkan gaji pegawai:

Tabel 6

p p q q

1 0 0 1

0 1 1 0 7. Contoh: Buatlah tabel kebenaran pernyataan (p Q).

Tabel 7

p q q p q (p q)

1 1 0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1



8. Jika dua pernyataan memiliki kesamaan nilai pada tabel

kebenaran, maka dua pernyataan tersebut disebut

ekuivalen (disimbolkan ). Contoh: Buktikan dengan tabel

kebenaran bahwa pernyataan p (q r) (p q) (p r).

Jawab:

Tabel 8

p q r q r p(qr) pq pr (p q) (p r)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Hasil menunjukkan bahwa isian pada kolom p (q r) identik

dengan kolom (p q) (p r), membuktikan bahwa p (q r)

ekuivalen dengan (p q) (p r).

9. Pernyataan Kondisional:satu arah dan

dua arah. p = Pernyataan penyebab (antecedent);

q = Pernyataan akibat (consequent).

Misal:

p = Saya lupa lupa mengisi bensin;

q = Motor saya mogok.



10. Jika p maka q disimbolkan p q (Kondisional 1 arah)

Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, tetapi

tidak berarti bahwa mogoknya motor saya selalu disebabkan

oleh kelupaan saya mengisi bensin. Juga tak masuk akal bila

saya lupa mengisi bensin, tetapi motor saya tetap jalan. Oleh

sebab itu tabel kebenaran p q sbb:

Tabel 9

p q p q

1 1 1

1 0 0 0 1 1

0 0 1

11. Pernyataan kondisional dua arah sbb:

p = Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang.

q = Seseorang pasti mati.

q jika dan hanya jika P, disimbolkan p q (kondisional 2 arah).

Seseorang pasti mati, jika dan hanya jika Tuhan sudah

berkehendak menyambil nyawa orang itu.

Pernyataan: “Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa

seseorang, tetapi ternyata orang itu tidak mati”, pasti tidak

mengandung kebenaran.

Demikian pula pernyataan: “Seseorang telah mati, tetapi

setelah dicheck ternyata Tuhan tidak berkehendak mengambil



nyawa orang itu”, pasti tidak mengandung kebenaran. Oleh

sebab itu tabel kebenaran p q sbb:

Tabel 10

p q p q

1 1 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

12. Buktikan bahwa p q ekuivalen dengan (pq)

(qp):

Tabel 11

p q pq pq qp (pq) (qp)

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1

Terbukti p q (pq) (qp).

13. Buktikan bahwa pernyataan “Jika saya lupa mengisi

bensin, maka motor saya mogok” ekuivalen dengan

pernyataan “Saya tak boleh lupa mengisi bensin atau

motor saya mogok”.

p = Saya lupa mengisi bensin;

q = Motor saya mogok.



Tabel 12

p q pq p q p q 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1

Terbukti (pq) (pq).

14. Variasi kondisional

q p merupakan converse dari p q

q p merupakan contrapositive dari p q

p q merupakan inverse dari p q

Tabel 13

conditional contrapositive converse Inverse

p q pq qp qp pq

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 Perhatikan bahwa (p q) (q p)

15. Misal buktikan bahwa jika n2 adalah ganjil, maka n

juga ganjil. Jawab:

p = n2 ganjil; q = n ganjil; (pq) (qp)

q = n genap; p = n2 genap; misal n = 2k, maka n2 = 4k2 = 2

(2k2). Karena 2k = genap; maka 2 (2k2) = genap.

terbukti bahwa “jika n genap, maka n2 juga genap”.



Karena kontrapositiv ekuivalen dengan kondisional, maka

terbukti bahwa “jika n2 ganjil, maka n juga ganjil”.

16. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan

“Jika dia teman saya, maka dia pasti mengenali saya”

ekuivalen dengan “Ternyata dia tidak mengenali saya,

maka dia bukan teman saya”. Jawab:

p = dia teman saya; q = dia mengenali saya.

Tabel 14

p q pq q p qp 1 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1

Terbukti bahwa (pq)(qp).

17. Pernyataan yang kesimpulannya selalu benar disebut

tautologi. Misal : Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa

pernyataan p atau bukan p adalah tautologi.

Tabel 15

p p p p

1 0 1 0 1 1

terbukti bahwa pp selalu menghasilkan nilai 1, jadi p p

suatu tautologi.



18. Pernyataan yang kesimpulannya selalu salah disebut

kontradiksi. Misal: Buktikan dengan tabel kebenaran

bahwa pernyataan p dan bukan p adalah kontradiksi.

Tabel 16

p p p p

1 0 0

0 1 0 terbukti bahwa p p selalu menghasilkan nilai 0, jadi p p

suatu kontradiksi.

19. pq jika dan hanya jika pq suatu tautologi.Misal:

Buktikan bahwa pernyataan (pq) pq.

Tabel 17

p q pq (pq) p q pq [(pq)]( pq) 1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

terbukti bahwa [(pq)]( pq) suatu tautologi.

20. Implikasi: Pernyataan p dikatakan berimplikasi

terhadap pernyataan q (simbolnya p q) jika dan hanya

jika kondisional jika p maka q (simbolnya p q) tautologi.

Contoh: Buktikan bahwa [(p q) p] q.

Jawab:



Tabel 18

p q p q [(p q) p] [(p q) p] q 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

terbukti bahwa [(p q) p] q tautologi.

21. Hukum-hukum yang melibatkan pernyataan:

Hukum commutative :

(p q) (q p), dibaca: p atau q ekuivalen dengan q atau p.

(p q) (q p), dibaca: p dan q ekuivalen dengan q dan p.

Hukum assosiative:

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

Hukum distributive:

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

Jika t adalah tautologi (pernyataan yang nilainya selalu benar),

dan c adalah kontradiksi (pernyataan yang nilainya selalu

salah), maka:

(p c) p (p c) c

(p t) t (p t) p

(p p) p (p p) p

Hukum-hukum yang melibatkan negasi:

Jika t adalah tautologi, sedang c adalah kontradiksi, maka:



(p p) t (p p) c

t c c t p p

Hukum-hukum De Morgan:

(p q) p q (p q) p q

22. Penerapan logika:

Himpunan universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6].

p = pernyataan “bilangannya adalah genap”.

Himpunan yang sesuai dengan pernyataan p adalah

P = {2, 4, 6}. P adalah himpunan bagian dari U, yang mana P

merupakan himpunan kebenaran dari p, yaitu himpunan yang

menyatakan bahwa p bernilai benar.

Jika q adalah pernyataan “bilangannya ganjil”, maka himpunan

yang sesuai dengan pernyataan q adalah Q = {1, 3, 5}. Q adalah

himpunan kebenaran dari q.

23. Argumen:

Premis adalah pernyataan sebelumnya yang mendahului

kesimpulan.

Kesimpulan (conclusion) adalah pernyataan yang dibuat

berdasarkan premis.

Argumen adalah klaim bahwa suatu kesimpulan dibuat

sudah berdasarkan premis-premis yang ada sebelumnya.

Argumen ada yang valid dan ada yang invalid.



24. Argumen yang valid adalah argumen yang ketika

semua premis benar, maka semua kesimpulannya juga

benar. Contoh kesimpulan yang valid sbb:

p = saya lupa mengisi bensin; q = motor saya mogok

Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok.

Sesampainya di tengah perjalanan, ternyata motor saya mogok.

Kesimpulan: kemungkinan karena saya lupa mengisi bensin

atau karena penyebab lain, alias bukan karena lupa mengisi

bensin. Bukti bahwa kesimpulan ini valid sbb:

Tabel 19

Premis 1

Premis 2

Kesimpulan Pemeriksaan kevalidan

p q p p q q p p

1 1 0 1 1 1 1 dan 1 hasil 1

1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1

0 0 1 1 0 1 Jadi Kesimpulan valid

Simbol argumennya sbb:

p q

q

---------------------------

p p valid.



25. Jika ketika semua premis benar, kesimpulannya tidak

semuanya benar, maka argumen yang dibentuk tidak valid.

Contoh kesimpulan yang tidak valid:

p = saya lupa mengisi bensin.

q = motor saya mogok.

Premis 1 = jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya

mogok, disimbolkan: p q

Premis 2 = ternyata motor saya mogok, disimbolkan q

Kesimpulan :Saya lupa mengisi bensin, disimbolkan p. Kita akan

membuktikan bahwa kesimpulan ini tidak valid sbb:

Tabel 20

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Pemeriksaan kevalidan

p q p q q p

1 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1 1 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 dan 1 hasil 0

0 0 1 0 0 Jadi Kesimpulan tidak valid

Simbol argumennya sbb:

p q

q

---------------------------

p, tidak valid.



26. “Jika dia ayah saya, maka dia tahu nama kecil saya.

Kenyataannya dia tidak tahu nama kecil saya, jadi saya

pastikan bahwa dia bukan ayah saya”, buktikan

kesimpulan ini valid.

p = dia ayah saya; q = dia tahu nama kecil saya;

p q

q

---------------------------

p

Pembuktian sbb:

Tabel 21

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Kevalidan

p q p q q p

1 1 1 0 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 dan 1 hasil 1 Valid

27. Buktikan bahwa kesimpulan argumen berikut valid.

Komputer adalah alat yang penting.

Alat penting biasanya harganya mahal.

----------------------------------------------

Komputer biasanya harganya mahal.



JAWAB: Premis 1 “Jika barang yang dimaksud adalah komputer

(k), maka barang tersebut adalah alat yang penting (t)”.

Premis 2 “Jika suatu barang adalah alat yang penting (t), maka

biasanya harganya mahal (h)”.

Kesimpulan : “Komputer biasanya harganya mahal”.

k t

t h

-----------

k h

Pembuktian:

Tabel 22

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan kevalidan

k t h kt th kh

1 1 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1 0 0 1 1 1 1 1 dan 1 hasil 1

0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 1 dan 1 hasil 1

Kesimpulan valid



Bentuk-bentuk argumen yang umum:

Modus Ponens

Modus Tollens

Hypothetical Syllogism

Disjunctive Syllogism

p q p q p q p q p q q r p ---------- ---------- ---------- ----------

q p p r q

LATIHAN:

1. Buktikan apakah kedua pasangan pernyataan ini ekuivalen

apa tidak:

(p q); p q p q; p q

p q; p q p (p q); p

p (p q); p p q ; p q

(p q) r; p q r

2. Buktikan bahwa pasangan-pasangan pernyataan ini

ekuivalen satu sama lain:

p (p q) (p q)

p (p q) p q

(p q) (p q) p

[(p q) (p r)] r [p (q r)]

p (p q) p



3. Berikan kesimpulan yang benar terhadap premis-premis

ini:

p q

q r

s r

---------

......................................

4. Buktikan validitas argumen ini. Jika Anda sudah

menyelesaikan tugas (t), maka Anda boleh pulang (p).

Anda belum menyelesaikan tugas: jadi Anda belum boleh

pulang.

5. Premis 1: Jika Agus sedang belajar, maka Beni juga ikut

belajar. Premis 2: Cinta akan belajar, jika dan hanya jika

Beni belajar. Premis 3: Devi tak pernah belajar, jika Cinta

sedang belajar. Premis 4: Devi selalu ikut belajar, jika Edi

sedang belajar. Buktikan kesimpulan bahwa Agus tak

pernah belajar, jika Edi sedang belajar.



3. Sistem Bilangan

ab x ac = .... ab / ac = ....

Tulislah bilangan decimal berikut ke dalam bilangan biner:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17

Tulislah bilangan basis non sepuluh berikut ini ke dalam basis

sepuluh (decimal): 11012 1435 4678

Selesaikan operasi bilangan-bilangan basis dua dan lima ini:

1101 dua 1101 dua 342 lima 342 lima + 101 dua - 111 dua + 213 lima -123 lima ---------- ---------- ---------- ----------

1. himpunan - bambangtriatma - home · pdf file14. bilangan rasional adalah bilangan yang...

Documents