8/18/2019 Guía de Conteo - Guía 1

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(i).- ¿cuantos de estos n´ umeros son pares? (recuerde que un n´ umero par es un n´ umero que es divisible por 2).

(ii).- ¿cuantos de estos n´ umeros comienzan por 7 o por 8? 

(iii).- ¿en cuantos de estos n´ umeros los d́ıgitos no se repiten? 

Ejercicio 7  ¿Cuantas trayectorias diferentes hay de  (0, 0, 0) a  (3, 4, 8) en el espacio euclı́deoxyz  (tridimensional) si en cada movimiento avanzo ´ o una unidad en la direcci´ on del eje  x,´ o una unidad en la direcci´ on del eje   y   ´ o una unidad en la direcci´ on del eje   z ? Generalize este resultado.

Ejercicio 8  Una secuencia de letras es un   palindromo   si no cambia al invertir su orden (por ejemplo, abcba, reconocer y mattam son palindromos). Si se permite la repeticion de letras, ¿cu´ antos palindromos de 5 letras se pueden formar?, ¿y de 6 letras?. ¿Cu´ al es la respuesta de las preguntas anteriores si 

(i).- no se permite repetici´ on de letras? 

(ii).- cada letra aparece a lo m´ as dos veces? 

Ejercicio 9   ¿De cu´ antas formas puedo ordenar las letras de la palabra   caricaturas? ¿en cu´ antas de estas disposiciones ninguna consonante esta junto a otra? 

Ejercicio 10   ¿Cu´ antas secuencias de 3 letras puedo formar con las letras de la palabra formar?, ¿y con las letras de la palabra   palabra? 

Ejercicio 11   ¿De cu´ antas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesa 

redonda? (dos configuraciones se consideran iguales si una se puede obtener mediante la otra por rotaci´ on). Si dos de las personas insisten en sentarse juntas, ¿cuantas disposiciones son posibles? 

Ejercicio 12   Calcule 52

 y verifique su respuesta enumerando todas las selecciones de tama˜ no

dos que se pueden hacer con las letras   a,b,c,d,e.

Ejercicio 13   ¿Cual es el n´ umero de bytes? (recuerde que un byte es una secuencia de 8 bits) ¿Cu´ antos bytes contienen 

•   exactamente seis unos? 

•  al menos seis unos? 

Ejercicio 14   Si  n > 1  es un entero, demuestre (algebr´ aicamente) que n

2

+n−12

 = (n−1)2.

Puede, adem´ as, dar un argumento combinatorial? 

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Ejercicio 15   Considere la colecci´ on de todas las cadenas de longitud 10 que se forman con el alfabeto 0,1,2 y 3. Si el peso de una cadena esta definido como la suma de los dı́gitos que la componen, ¿cuantas de las cadenas de la colecci´ on tienen peso 3?, ¿cuantas peso 4?,¿cuantas tienen peso par?.

Ejercicio 16  Una moneda se lanza 60 veces, dando como resultado 45 caras y 15 sellos.(a)¿De cu´ antas formas podŕıa haber ocurrido esto?, (b)¿De cu´ antas formas podŕıa haber ocurrido esto de modo que no hubiera sellos consecutivos? 

Ejercicio 17   ¿De cu´ antas formas pueden pintarse los 10 caballos de un carrusel de modoque 3 de ellos sean rojos, tres amarillos y cuatro blancos? (como antes, dos configuraciones son iguales si una se puede obtener mediante la otra por rotaci´ on)

Ejercicio 18   ¿Cu´ antos de los enteros entre 1000 y 9999 (ambos inclúıdos) tienen cuatrod́ıgitos diferentes que son crecientes (como en 1347 y 6789) o decrecientes (como en 6421,8653)? 

¿Cu´ antos de los enteros entre 1000 y 9999 (ambos inclúıdos) tienen cuatro d́ıgitos que son no decrecientes (como en 1347, 1226 y 7778) o no crecientes (como en 6421, 6622 y 9888)? 

Ejercicio 19   ¿Cu´ antas veces debemos tirar un solo dado para obtener el mismo resultado(a) al menos dos veces?, (b) al menos tres veces? (c) al menos  n  veces, para  n ≥  4? 

Ejercicio 20   Un auditorio tiene capacidad para 800 personas. Si el auditorio est´ a lleno,demuestre que hay dos personas en el auditorio cuyos nombres comienzan y terminan por la misma letra (por ejemplo Camila y Carla).

Ejercicio 21   Muestre que si se seleccionan cualesquiera 14 enteros del conjunto S  = {1, 2, . . . , 25},

existen al menos dos cuya suma es 26. Escriba una proposici´ on que generalize este resultado.

Ejercicio 22   Sea   S   un conjunto de cinco enteros positivos, tales que el m´ aximo de ellos es 9. Demuestre que no todas las sumas de los elementos de todos los subconjuntos no vaćıos de  S  pueden ser distintas entre śı.

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