grado 10° - maceo
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Guía de Matemáticas
Grado 10°
Juan Diego Vergara García
Docente
Tabla de Contenidos
Datos Generales ................................................................................................................. iv
¿Qué voy a aprender? .......................................................................................................... 6
Lo que estoy aprendiendo ................................................................................................... 7
Practico lo que aprendí ...................................................................................................... 13
¿Cómo sé que aprendí? ..................................................................................................... 15
¿Qué aprendí? ................................................................................................................... 29
iv
Datos Generales
En esta guía encontrarás teoría,
ejemplos, ejercicios de práctica, ejercicios
para entregar y una autoevaluación relacionada con las secciones cónicas: circunferencia,
parábola, elipse e hipérbola.
Primero, realiza la sección ¿Qué voy a aprender? En la cual podrás explorar tus
conocimientos previos, la cual servirá de base para seguir aprendiendo o afianzar tus
conocimientos. Realizarlo correctamente o no, no tiene calificación numérica, pero el
hacerlo sí se tendrá en cuenta para la evaluación.
Luego, lee detenidamente la sección Lo que estoy aprendiendo y revisa muy bien
los ejemplos dados. Si quieres toma nota en tu cuaderno.
Posteriormente, en la sección Practico lo que aprendí encontrarás diversos
ejercicios para que practiques lo aprendido; estos no se tendrán en cuenta para la
calificación.
Objetivo de Aprendizaje
Describir la circunferencia, la parábola, la elipse y la
hipérbola como lugares geométricos en el plano.
Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la circunferencia, la
parábola, la elipse y la hipérbola con centro en el origen y con centro
fuera del origen para resolver y plantear problemas, identificando la
validez y pertinencia de los resultados obtenidos.
Introducción
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No obstante, en la sección ¿Cómo sé que aprendí? Estarán algunos ejercicios
disponibles para que demuestres lo aprendido; estos serán tenidos en cuenta para la
calificación. Además, encontrarán una actividad socioemocional que deben desarrollar.
En la sección ¿Qué aprendí? Habrá una lista de chequeo que permitirá que realices
una autoevaluación del trabajo realizado.
Igualmente, se aclara que como evidencias deberás enviar la solución de las
secciones ¿Qué aprendí? Y ¿Cómo sé que aprendí? Teniendo como plazo máximo el
viernes 23 de octubre de 2020 (hasta las 2:00 p.m. GMT-5). Además, recuerda que si
tienes alguna duda puede consultarla por medio del WhatsApp 3127655379 los días
hábiles de lunes a viernes desde las 8:00 a.m. hasta la 1:00 p.m.
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¿Qué voy a aprender?
Antes de leer la guía o buscar en internet, ¿podrías responder las siguientes
preguntas?
¿Qué es una circunferencia? ¿Cuáles son sus elementos? ¿Qué es un círculo? ¿En
qué se diferencian?
¿Qué es una elipse? ¿Cuáles son sus elementos?
Observa el video enviado y responde:
En la época de Hipatia, ¿cómo se pensaba que eran los movimientos de los cuerpos
celestes?
¿Conoces algún otro personaje que en su día se cuestionara la creencia de que la
Tierra orbita de manera circular alrededor del Sol?
¿Quién fue el primer personaje en demostrar que las órbitas de los planetas eran
elípticas? ¿Cómo llegó a esta conclusión?
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Lo que estoy aprendiendo
Cono. Si giramos una recta alrededor de un eje con el que tiene un punto en común,
obtenemos una superficie cónica de revolución:
Cónicas o Secciones Cónicas. La intersección de un cono con un plano determina
una familia de curvas que tienen una gran importancia en campos como la arquitectura o
la ingeniería: las cónicas.
La ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 donde 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 y 𝐹 son
números reales y 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son diferentes de cero, se denomina ecuación general de
segundo grado y permite determinar una sección cónica.
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Si la cónica es no degenerada (es decir que el plano que corta al cono no contiene
al vértice del cono), de acuerdo con el signo de 𝐵2 − 4𝐴𝐶 (discriminante de la ecuación)
se puede establecer de qué tipo es:
Si 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 es una elipse.
Si 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 es una parábola.
Si 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0 es una hipérbola.
Además, las cónicas presenta como elementos el foco, la directriz y la
excentricidad. La excentricidad de una elipse es menor que 1, de una parábola es igual a 1
y de una hipérbola es mayor que 1.
Veamos a continuación cómo definir las cónicas como lugares geométricos del
plano:
1. Una Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado centro. La distancia desde cualquier punto de la
circunferencia al centro se llama radio. La circunferencia es el perímetro del círculo, que
posee los siguientes componentes:
Centro: El punto interior equidistante a todos los puntos de la circunferencia.
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Radio: Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se denota con la letra «r» o bien con sus puntos extremos, su medida es constante.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia de manera interna.
Arco: Porción de la circunferencia definida a partir de dos puntos de dicha
circunferencia. O también puede ser sección de la circunferencia contenida por la cuerda.
Diámetro: Es la cuerda de mayor medida que pasa por el centro de la
circunferencia. Lo denotamos mediante «d» y es el doble del radio (2r).
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Tangente: Es la recta que interseca a solo un punto de la circunferencia.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia, intersecando dos puntos de ella.
1.1. Ecuación canónica de la circunferencia con
centro en (𝟎, 𝟎). En una circunferencia con centro en
𝐶(0,0), radio 𝑟 y un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre la circunferencia
se cumple que:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
Ejemplo 1. Dada la ecuación general 𝑥2 + 𝑦2 = 9, determine los elementos (centro
y radio) de la circunferencia.
Centro: su centro es 𝐶(0,0).
Radio: al llevar la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 9 a su forma canónica 𝑥2 + 𝑦2 = 32
(porque 32 = 9), tenemos que el radio es 𝑟 = 3.
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Ejemplo 2. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia con centro en 𝐶(0,0)
y 𝑟 = 4.
Como la ecuación canónica es 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, entonces 𝑥2 + 𝑦2 = 42 que es igual
𝑥2 + 𝑦2 = 16
Ejemplo 3. ¿El punto 𝑃(−3,4) pertenece a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 25?
Basta con reemplazar las coordenadas en la ecuación; si se cumple la igualdad,
entonces el punto pertenece a la circunferencia, si no se cumple, el punto no pertenece a la
circunferencia.
𝑥2 + 𝑦2 = 25
(−3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25
Por lo tanto, el punto 𝑃(−3,4) pertenece a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 25.
1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
con centro en (𝒉, 𝒌). En una circunferencia con centro
en 𝐶(ℎ, 𝑘), radio 𝑟 y un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre la
circunferencia se cumple que:
(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐
Ejemplo 1. Hallar la ecuación canónica de la
circunferencia con centro en 𝐶(−2,3) y 𝑟 = 4.
Como la ecuación es (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2, entonces
(𝑥 − (−2))2
+ (𝑦 − 3)2 = 42
(𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔
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Ejemplo 2. Dada la ecuación general 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑦2 + 10𝑦 + 16 = 0, determine la
ecuación canónica y los elementos (centro y radio) de la circunferencia.
𝑥2 − 8𝑥 + 𝑦2 + 10𝑦 + 16 = 0
(𝑥2 − 8𝑥 + 16) + (𝑦2 + 10𝑦 + 25) − 16 − 25 + 16 = 0
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 5)2 − 25 = 0
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 5)2 = 25
(𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − (−𝟓))𝟐
= 𝟓𝟐
Centro: su centro es 𝑪(𝟒, −𝟓).
Radio: su radio es 𝒓 = 𝟓.
En este paso se asociaron las 𝒙 y las 𝒚, además se sumó y se restó el mismo
valor: dividir el coeficiente lineal entre 2 y el resultado elevarlo al cuadrado. El de color
azul es 8 ÷ 2 = 4 y luego 42 = 16, por eso sumamos y restamos 16, el de color morado
es 10 ÷ 2 = 5 y luego 52 = 25, por eso sumamos y restamos 25.
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Practico lo que aprendí
Ejercicio mental. En la siguiente figura las cifras han sido reemplazadas por
símbolos. Cada símbolo representa siempre la misma cifra. Los números que aparecen al
costado de cada línea horizontal y debajo de cada línea vertical, han sido obtenidos por las
adiciones sucesivas de las cifras que componen cada línea. Los símbolos que aparecen
representan cifras del 1 al 6. Si =1, = 5 y = 8, ¿puedes descubrir las cifras
que esconden los demás símbolos?
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1. Usa el discriminante para determinar si la ecuación dada corresponde a una
parábola, una elipse o una hipérbola.
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑦 = 0
153𝑥2 + 192𝑥𝑦 + 97𝑦2 = 225
9𝑥2 − 24𝑥𝑦 − 16𝑦2 = 100𝑥 − 100𝑦 − 100
25𝑥2 − 120𝑥𝑦 = −144𝑦2 + 156𝑥 + 65𝑦
53𝑥2 + 72𝑥𝑦 + 73𝑦2 − 40𝑥 + 30𝑦 = 75
2. Representa cada circunferencia
en el plano.
𝑥2 + 𝑦2 = 81
𝑥2 = −𝑦2 + 4
𝑥2 + 𝑦2 = 2
𝑥2 + 𝑦2 =4
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3. Halla la ecuación canónica de
cada circunferencia con centro en 𝐶(0,0)
y
𝑟 = 6
𝑟 = √5
𝑟 = 23
Que pase por el punto 𝑃(−4,−2)
Que pase por el punto 𝑃(0,7)
Que pase por el punto 𝑃(6,−3)
4. Halle el radio y el centro de la
circunferencia dada. Luego, grafíquelas.
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 61)2 = 25
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 7
𝑥2 + (𝑦 + 4)2 =1
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¿Cómo sé que aprendí?
Ejercicio mental. En la siguiente figura las cifras han sido reemplazadas por
símbolos. Cada símbolo representa siempre la misma cifra. Los números que aparecen al
costado de cada línea horizontal y debajo de cada línea vertical, han sido obtenidos por las
adiciones sucesivas de las cifras que componen cada línea. Los símbolos que aparecen
=5 y =3, ¿puedes descubrir las cifras que representan cifras del 1 al 5. Si
esconden los demás símbolos?
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1. Halle la ecuación canónica, el
radio y el centro de las circunferencias:
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 − 11 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 21
𝑥2 + 𝑦2 + 12𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 12𝑥 − 8𝑦 + 32 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 15 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 121 = 0
2. Halle la ecuación general de
cada circunferencia a partir de la
ecuación canónica:
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 4
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 16
𝑥2 + (𝑦 − 5)2 = 81
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 9
(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 3)2 =4
5
(𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 4)2 = 1
3. Halle la ecuación canónica y la ecuación general de las circunferencias que
cumplen con las condiciones dadas:
a. Tiene centro en 𝐶(2, −1) y 𝑟 = 2.
b. Tiene centro en 𝐶(−6, −2) y es tangente al eje 𝑦.
c. Tiene centro en 𝐶(2, −3) y diámetro igual a 8.
d. Los extremos del diámetro están en 𝐴(4,6) y 𝐵(−8, −2). (Recuerda que el centro
está en el punto medio del diámetro y el radio mide la mitad del diámetro).
4. Observa las gráficas. Luego escribe las ecuaciones canónicas y general de
cada circunferencia:
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9. Actividad Socioemocional
Lee atentamente:
¿Qué es el tiempo? Es una pregunta
verdaderamente difícil de responder
pues siempre lo sentimos de manera distinta.
Cuando nos quedamos encerrados en algún
lugar oscuro sentimos que un solo minuto
puede durar una eternidad. Por el contrario,
cuando vivimos momentos de gran felicidad,
acompañados de amigos, disfrutando de días
soleados y chapoteando en el agua, sentimos
que el tiempo puede volar muy rápido, y la
felicidad que iba a durar toda una semana se
esfuma en un segundo.
Somos seres “hechos” de tiempo. El tiempo es la medida de nuestros días y de nuestra vida, puede ser nuestro aliado y también nuestro enemigo. Nada podemos hacer en contra del paso del tiempo, pero podemos aprender a ser más sabios y más felices con el tiempo.
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El tiempo cambia de un momento a otro, y
sobre todo, de una edad a otra: cuando somos
niños, los días se nos hacen larguísimos, y se
necesitan muchos días y muchas noches para
que volvamos a cumplir años; pero mientras
más edad tenemos, los años se nos pasan cada
vez más rápido. ¿Hasta cuándo somos niños?
¿Cuándo empezamos a ser viejos?
Hace apenas un siglo la vida de los seres hu-
manos duraba en promedio unos 40 años;
hoy en día es superior a los 80. Algunos cien-
tíficos creen que dentro de poco tiempo vivi-
remos más de 100 años. ¿Cómo sentiremos en
el futuro el paso del tiempo?
Sería interesante poder preguntarle a algunas
criaturas que viven muchos más años que no-
sotros cómo sienten ellas el paso del tiempo.
Podríamos preguntar a ciertas especies de tor-
tugas que alcanzan los 200 años o a los pinos
longevos, unos árboles que pueden llegar a vi-
vir más de 4.000 años ¿qué alcanzan a sentir, a
hacer y a pensar durante un tiempo tan largo?
¿Cómo será el paso del tiempo para otras cria-
turas cuya vida no se mide en años sino en
días? ¿Será terrible o magnífico vivir solo un
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par de semanas como lo hacen las plantas efí-
meras que crecen en el desierto de Atacama?
Todos en la Tierra tenemos un tiempo para
vivir, más largo el de unos y más corto el de
otros, y no se puede afirmar que un tiempo
es mejor que el otro. Lo que sí importa es que
cada uno viva a plenitud el tiempo que le ha
sido dado, así dure una semana o un siglo.
El planeta Tierra existe hace más de 4.500 mi-
llones de años, y según los científicos, la vida
en él durará unos 3.500 millones de años más,
hasta cuando el Sol se expanda y se convierta
en una estrella gigante roja, cuyo calor hará
que se evapore toda el agua de este planeta.
Mientras esto sucede, tendremos tiempo sufi-
ciente para hacernos muchas más preguntas
sobre el tiempo.
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Estos pinos son los seres vivos más viejos del planeta. Se descubrió que uno de ellos, ubicado en el Bosque Nacional Inyo, en California, Estados Unidos, alcanzó los 4.847 años de edad.
Estos árboles son como un libro de historia escrito en madera, pues en los anillos de su tronco se puede observar el número de años que han vivido, y la información sobre sequías, inviernos, incendios y pla-gas que han padecido. Su aspecto retorcido revela la dura vida que han llevado en las altas montañas a más de 3.000 metros de altura, donde en invierno hay constantes tormentas de nieve y soplan vientos helados; y en verano calienta un sol insoportable y el agua es muy escasa. Al parecer, es esa adversidad del ambiente lo que los hace tan longevos.
El pino longevo vive muchos años
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El desierto de Atacama, en Chile, es el lugar más seco del planeta, pero cuando llueve se convierte en un alucinante tapete de muchos colores. Son los colores de miles de flores efímeras, que han desper-tado del sueño en que vivieron durante mucho tiempo en forma de semillas, y ahora florecen para pintar el desierto durante unas pocas semanas.
La mayoría de plantas con flor nacen de una semilla, y desarrollan hojas, tallos, raíces y flores. A dife-rencia de ellas, las plantas efímeras son capaces de culminar ese complejo ciclo en cuestión de días. Es como si adelantaran su reloj biológico para acelerar sus procesos vitales. ¿Te imaginas pasar de niño a adulto y tener hijos en solo dos semanas? Esto es lo que les ocurre a estas maravillosas plantas.
Las flores efímeras viven muy poco
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Las tortugas galápagos pueden llegar a vivir más de 150 años, y son los animales vertebrados más longevos que existen en el planeta.
Es posible que tan larga vida se deba a su lento metabolismo, que las lleva a dedicar la mayor parte de su existencia a comer de manera lenta su dieta de hierbas y hojas, a echarse a la sombra de un árbol a ver pasar el tiempo y a dormir 16 horas seguidas. ¿Cuál afán? Ellas acumulan en su cuerpo suficiente agua y nutrientes como para poder vivir más de un año sin comer ni beber. Ojalá vivan por miles de años más.
La tortuga galápagos tiene una larga vida
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Son insectos cuya vida como adultos es corta, pues solo viven un día, y algunos solo cinco minutos. Cuando llegan a la vida adulta emergen del agua, despliegan sus alas y vuelan en busca de otros efíme-ros, y se aparean durante el único día que dura su vida, para luego depositar los huevos fertilizados en el agua y caer muertos.
Viven muy poco, pero la estrategia que tienen como especie es muy exitosa: existían antes de que apa-recieran los dinosaurios, y han sobrevivido en la Tierra por millones de años.
Los insectos efímeros tienen muy corta vida
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La reina es el ser más grande del hormiguero, y llega a vivir hasta 25 años, mil veces más que las hor-migas obreras y unas cien veces más que la mayoría de los insectos. Durante su larga vida permanecen encerradas en una cámara en el interior del hormiguero, poniendo huevos de los que nacerán todos los miembros de la colonia.
Al poco tiempo de nacer, las hormigas reinas salen de su hormiguero natal y emprenden un vuelo en búsqueda de su pareja (los zánganos). Luego de aparearse, la reina pierde sus alas y empieza a escarbar afanosamente para hacer una cámara subterránea y fundar una nueva colonia.
La hormiga arriera reina vive mucho tiempo
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Estas hormigas, a diferencia de su reina que puede vivir hasta 25 años, no viven más de cuatro meses. Durante su vida casi nunca se quedan quietas, pues son incansables y realizan numerosas tareas, como recolectar el alimento, reparar los daños y explorar territorios. Estas tareas las hacen en medio de la lluvia y el sol abrasador, también de las enfermedades y los depredadores que abundan. Por esta razón, es muy poco probable que una hormiga obrera viva por más de cuatro meses.
Estas hormigas deben su nombre a su habilidad para cargar en sus mandíbulas el alimento para llevar al hormiguero. Entre todas son capaces de quitarle las hojas a un árbol grande en pocos días, y luego las utilizan para cultivar un hongo que es su alimento básico.
La hormiga arriera obrera vive muy poco
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Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Qué crees que nos aporta la edad?
b. ¿Cuándo se comienza a ser viejo?
c. ¿Ser viejo es solamente cuestión de años?
d. ¿Por qué crees que dicen que “más sabe el diablo por viejo que por diablo”?
e. ¿En qué se parecen los viejos a los niños?
f. ¿A todos los seres los afecta la vejez de la misma manera? Explica.
g. ¿Conoces algo viejo que está más vivo que nunca?
h. ¿Cómo te gustaría ser cuando seas viejo?
i. ¿Te gustaría ser eterno?
j. ¿Cuándo se deja de ser joven?
k. ¿Qué pasaría si fuéramos jóvenes para siempre?
l. ¿Por qué crees que dicen “juventud, divino tesoro”?
m. ¿Crees que la juventud solo se basa en tener pocos años?
n. ¿Cómo cambiaría la humanidad si todos los humanos vivieran 200 años?
ñ. ¿Cuál es la diferencia entre estar vivo y vivir verdaderamente?
o. ¿Cuál crees que puede ser la fuente de la eterna juventud?
p. Formula una nueva pregunta que se relacione con la vejez o la juventud.
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Para jugar y pensar.
1. El tío Carlos tiene 82 años y su sobrino José, tiene 43. ¿Hace cuántos años que
el tío Carlos tenía el doble de la edad de José?
2. Camilo es tres veces mayor que Manuela, pero dentro de tres años será solamente
dos veces mayor que ella. ¿Cuántos años tiene cada uno?
3. Felipe es cuatro años menor que Guillermo, pero dentro de cuatro años,
Guillermo tendrá el doble de la edad de Felipe. ¿Cuántos años tiene cada uno?
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¿Qué aprendí?
Es momento de autoevaluar tu desempeño. Coloca un ✓ según corresponda.
Criterio Logrado En proceso Se me dificulta
Sé cuándo una ecuación general de
segundo grado es una parábola, cuándo
es una elipse y cuándo es una hipérbola,
usando el discriminante.
Identifico los elementos de una
circunferencia.
Hallo analíticamente los elementos de
una circunferencia.
Hallo analíticamente la ecuación
canónica de una circunferencia.
Hallo analíticamente la ecuación
general de una circunferencia.
Organizo cronograma para el desarrollo
de todas las actividades tanto
académicas como personales.
Otras observaciones y comentarios: _____________________________________
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