Generación de variables aleatorias continuasMétodo de rechazo

Georgina Flesia

FaMAF

18 de abril, 2013

Método de Aceptación y Rechazo

RepasoI Se desea simular una v. a. X discreta, con probabilidad de masa

pj = P(X = j), j = 0,1,2, . . . .I Hipótesis: Se conoce un método eficiente para generar una v.a.

Y , con probabilidad de masa qj = P(Y = j), j = 0,1,2, . . . , queverifica

I Si pj 6= 0 entonces qj 6= 0.I Existe una constante c (c > 1) tal que

pj

qj≤ c para todo j tal que pj > 0

Método de Aceptación y Rechazo

Algoritmo: Método de aceptación y rechazorepeat

Simular Y , con probabilidad de masa qY ;Generar U ∼ U(0,1)

until U < pY/cqY ;X ← Y

TeoremaEl algoritmo de aceptación y rechazo genera una variable aleatoriadiscreta tal que

P(Xj ) = pj , j = 0,1, . . . .

Además, el número de iteraciones requeridas para obtener X es unav.a. geométrica con media c.

El método de rechazo

Veamos la version para variables continuas

I Sea X una v. a. con densidad f : F (x) = P(X ≤ x) =∫ x−∞ f (t) dt .

I Supongamos que se tiene un método para generar Y , condensidad g, y que

f (y)

g(y)≤ c, para todo y ∈ R tal que f (y) 6= 0.

El método de rechazo para generar X a partir de Y tiene el siguientealgoritmo:

Método de rechazo

Algoritmo: Método de aceptación y rechazorepeat

Generar Y , con densidad g;Generar U ∼ U(0,1)

until U < f (Y )/(cg(Y ));X ← Y

Teorema1. La v. a. generada por el método de rechazo tiene densidad f .2. El número de iteraciones del algoritmo es una variable aleatoria

geométrica con media c.

Cálculo de la cota c

h(x) =f (x)

g(x)≤ c

¿Es h acotada superiormente? ¿Existe un máximo de h?

I Determinar puntos críticos de h.I Un punto crítico x0 es un máximo local de h si en un entorno

(a,b) de x0 ocurre:I h′(x) > 0 para x < x0 y h′(x) < 0 para x > x0, oI h′′(x0) < 0.

I Evaluar h en los extremos del intervalo.

Ejemplo

Utilizar el método de rechazo para generar una v. a. con función dedensidad

f (x) = 20x(1− x)3, 0 < x < 1.

f (x) =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1I(0,1)(x) Variable β

I X es una v. a. Beta (2,4).I Está acotada en (0,1).I Se puede aplicar el método de rechazo con g(x) = 1, 0 < x < 1.I Hallar c tal que

f (x)

g(x)=

f (x)

1≤ c

Ejemplo

h(x) =f (x)

1= 20x(1− x)3, 0 < x < 1

h′(x) = 20(1− x)2 · (1− 4x)

I Puntos críticos: x = 1 y x = 1/4.I h(0) = h(1) = 0, luego 0 y 1, los extremos del intervalo, no son

máximos.I h(1/4) = 135/64 > 0 por lo cual x = 1/4 es un máximo.I h(1/4) = f (1/4) = 135/64 es el valor máximo de h

c =13564

= 2.109375

Ejemplo

I Puntos críticos: x = 1 yx = 1/4.

I f (1) = 0, luego no es unmáximo.

I x = 1/4 es un máximo.I h(1/4) = f (1/4) = 135/64 es

el valor máximo: c.

Ejemplo

f (x)

c g(x)=

f (x)

135/64=

1280135

x(1− x)3 =25627

x(1− x)3

Algoritmo: Método de aceptación y rechazorepeat

Generar V ∼ U(0,1);Generar U ∼ U(0,1)

until U < 25627 V (1− V )3;

X ← V

I El promedio del número de ciclos es c =13564≈ 2.11.

Ejemplo

Generar una v. a. con densidad gamma ( 32 ,1):

f (x) = Kx1/2e−x , x > 0,

con K = 1/Γ( 32 ) = 2/

√π.

X ∼ gamma(α, β) =βα

Γ(α)e−βxxα−1.

E [X ] = α/β.

I X toma valores reales, no negativos.I En el ejemplo, la media es 3/2.I Es razonable rechazar con una exponencial de igual media.

Pero podemos despues verificar si no podemos hacer unalgoritmo mejor.

Ejemplo: generación de gamma (32 ,1)

I Y ∼ E( 23 )

I g(x) = 23 e−2/3 x , x > 0.

I h(x) = f (x)/g(x) =3K2 x1/2e−x/3

I c = 3( 3

2πe

)1/2

Ejemplo

h(x) =f (x)

g(x)= CTE x1/2e−x/3, 0 < x

h′(x) = CTE [12

x−1/2e−x/3 + x1/2−13

e−x/3]

0 =12

x−1/2e−x/3 + x1/2−13

e−x/3

|x | =32

I Puntos críticos: 32 cuando x>0.

I h(0) < h( 32 ); h(2) < h( 3

2 ), luego 0 extremo del intervalo, no esmáximo y h( 3

2 es el máximo.

I h( 32 = 3

( 32πe

)1/2por lo cual

c = 3(

32πe

)1/2

Generación de una v. a. exponencialSabemos que

I Si X ∼ E(λ), entonces c · X también es exponencial.

I c · X ∼ E(λ

c).

I Calculamos la inversa de la función de distribución de X ∼ E(1):

FX (x) = 1− e−x

u = 1− e−x

1− u = e−x

x = − loge(1− u)

X ∼ E(1)

Generar U;X ← −log(U)

X ∼ E(λ)

Generar U;

X ← −1λ

log(U)

Ejemplo: generación de gamma (32 ,1)

f (x)

cg(x)=

(2e3

)1/2

x1/2e−x/3

Algoritmo: Método de rechazorepeat

Generar V ∼ U(0,1);Y ← − 3

2 log(V );Generar U ∼ U(0,1)

until U <( 2e

3

)1/2Y 1/2e−Y/3;

X ← Y

c = 3(

32πe

)1/2

≈ 1.257

Ejemplo

I ¿Es cierto que es ”razonable” rechazar con una exponencial deigual media que la gamma?

Tomamos g(x) = λe−λx , exponencial con razón λ, media 1/λ.Obtenemos:

f (x)

g(x)=

Kx1/2e−(1−λ)x

λ, 0 < λ < 1

Máximo en → x =1

2(1− λ), 0 < λ < 1.

Valor máximo → c =Kλ

(2(1− λ))−1/2e−1/2.

λ =23

minimiza el valor de c.

Generación de una v. a. normal

EjemploGenerar una v. a. normal estándar, es decir, Z con densidad

f (x) =1√2π

e−x2/2.

I |Z | tiene densidad f|Z |(x) = 2√2π

e−x2/2, en 0 < x <∞.

I Si sabemos generar |Z |, generamos Z por composición.

Generación de una v. a. normal

Para generar |Z |:I Elegimos g(x) = e−x ,

0 < x <∞.I Resulta c =

√2e/π

I c ≈ 1.32.

Generación de una v. a. normal

f (x)

cg(x)= exp

{− (x − 1)2

2

}.

Generación de |Z |repeat

Generar V ∼ U(0,1);Y ← − log(V );Generar U ∼ U(0,1)

until U < exp{− (Y−1)2

2 };|Z | ← Y

I U < exp{− (Y−1)2

2 }

I − log(U) > (Y−1)2

2I Y2 = − log(U) ∼ E(1).

Generación de una v. a. normal

Generación de |Z |repeat

Generar Y1 ∼ E(1);Generar Y2 ∼ E(1)

until Y2 > (Y1 − 1)2/2};|Z | ← Y1

I Si Y2 > (Y1 − 1)2/2}, entonces X = Y2 − (Y1 − 1)2/2 esexponencial con media 1, por la propiedad de falta de memoria.

I Luego podemos generar la normal y también una exponencial.

Generación de una v. a. normal

Generación de Z normal y X exponencialrepeat

Generar Y1 ∼ E(1);Generar Y2 ∼ E(1)

until Y2 − (Y1 − 1)2/2 > 0;X ← Y2 − (Y1 − 1)2/2;Generar U ∼ U(0,1);if U < 0.5 then

Z = Y1else

Z = −Y1end

Generación de una v. a. normal

Observaciones.I c ≈ 1.32.I Para generar una secuencia de normales, se puede utilizar X

como siguiente exponencial:I en promedio, se necesitan generar 1.64 exponenciales y calcular

1.32 cuadrados.