variables aleat. discretas y continuas, 2º, 3 er. per., 2013
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INSTITUTO NACIONAL SAN RAFAEL
MATERIA
PROFESOR
ALUMNO
INSTITUTO NACIONAL DE SAN RAFAEL
UNIDAD Nº 5:
UTILICEMOS
PROBABILIDADES
OBJETIVO DE UNIDAD:
Tomar decisiones acertadas, a partir de la determinación de la ocurrencia de un suceso,
aplicando los métodos de distribución binomial o normal que conlleven variables discretas o continuas, para estimar la probabilidad de eventos en diferentes ámbitos de la vida social, cultural y económica.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
EL ALUMNO(A) DE SEGUNDO AÑO SERÁ CAPAZ
DE:
1. DEFINIR VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y
CONTINUA.
2. RESOLVER EJERCICIOS DE LA TEMÁTICA.
3. MOSTRAR ESMERO E INTERESARSE POR
COMPRENDER LA TEMÁTICA EN ESTUDIO.
VARIABLES ALEATORIAS
Variables aleatorias
discretas y
continuas.
DESARROLLO
Se llama variable aleatoria a toda función
que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para
designar variables aleatorias, y las
respectivas minúsculas (x, y, ...) para
designar valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo
puede tomar valores enteros.
Ejemplos
El número de hijos de una familia, la puntuación
obtenida al lanzar un dado.
Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es aquella que
puede tomar todos los valores posibles dentro de
un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos
La altura de los alumnos de una clase, las horas
de duración de una pila.
Ejercicios resueltos de
distribuciones discretas
1. Se lanza un par de dados. Se
define la variable aleatoria X como
la suma de las puntuaciones
obtenidas. Hallar la función de
probabilidad, la esperanza
matemática y la varianza.
x p i x · p i x 2· pi
2 1/36 2/36 4/36
3 2/36 6/36 18/36
4 3/36 12/36 48/36
5 4 /36 20/3 6 100/36
6 5/36 30/36 180/36
7 6/36 42/36 294/36
8 5/36 40/36 320/36
9 4 /36 36/36 324/36
10 3/36 30/36 300/36
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 144/36
7 54.83
Ejercicios de distribuciones discretas
2. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2
€ si aparecen una o dos caras. Por otra parte
pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la
esperanza matemática del juego y si éste es
favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es
desfavorable
Ejemplo
3. Supongamos que se lanzan dos monedas al
aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de
resultados elementales posibles asociado al
experimento, es
,
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del
experimento el número de caras obtenidas. De este modo se
definiría la variable aleatoria X como la función
4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número
primo, gana tantos cientos de euros como marca el
dado, pero si no sale número primo, pierde tantos
cientos de euros como marca el dado. Determinar la
función de probabilidad y la esperanza matemática del
juego.
x p i x. p i
+100 1/6 100/6
+ 200 1/6 200/6
+ 300 1/6 300/6
- 400 1/6 -400/6
+ 500 1/6 500/6
-600 1/6 - 600/6
100/6
µ =16.667
Ejercicios resueltos de distribuciones
discretas
5. Si una persona compra una papeleta
en una rifa, en la que puede ganar de
5.000 € ó un segundo premio de 2000 €
con probabilidades de: 0.001 y 0.003.
¿Cuál sería el precio justo a pagar por la
papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
Sea X una variable aleatoria discreta
cuya función de probabilidad es:
6. Calcular, representar gráficamente la
función de distribución.
7. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) =
0.9 - 0.4 = 0.5
8. Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥
= 0.75. Hallar:
La esperanza matemática, la varianza
y la desviación típica.
x p i x · p i x 2· pi
0 0.1 0 0
1 0.15 0.15 0.15
2 0.45 0.9 1.8
3 0.1 0.3 0.9
4 0.2 0.8 3.2
2.15 6.05
μ =2.15
σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275
σ = 1.19