Función Cuadrátic

a

Prof. Cristian Maldonado

OBJETIVOS:

Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.

Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad.

Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general

Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos.

Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.

Uso de una planilla de calculo para la interpretación de una función cuadrática.

• Este contenido esta dirigido a los alumnos de 2° de la escuela secundaria.

• Contenidos previos disponibles: Ecuaciones lineales. Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas. Ecuaciones de 2° grado.

Expectativas de logro Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un problema

y expresarlas mediante el lenguaje algebraico. Conocer funciones cuadráticas. Construir sus gráficos. Analizar sus aplicaciones. Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de

enseñanza y aprendizaje. Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el

intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Situación Problemática

Clase N° 1

“El rendimiento del cultivo de naranjas”

Un productor tiene una plantación de una hectárea con 40 naranjos, cada uno de ellos produce 500 naranjas por año. Desea saber cual será la evolución de su producción si decide aumentar la cantidad de plantas en esa parcela. Para ello encarga el estudio a un ingeniero agrónomo. El profesional concluye que por cada planta que se incorpore, la producción de cada naranjo disminuirá en 5 unidades, dado que los nutrientes del suelo tienen un potencial limitado. Además presenta un informe en el que figuran; la fórmula que describe la producción total de la chacra, en función de la cantidad de naranjos que se agreguen.

¿Cuál seria la producción de naranjas sin efectuar modificaciones?

(4x500)=20.000

(400x50)=20.000

(40x500)=20.000

La producción de naranjas sin efectuar

modificaciones resulta:

Si el número de árboles aumenta en una cantidad “x”, el total de árboles resulta ser:

40x

(40-x)

(X-40)

Como consecuencia el rendimiento por árbol. ¿Cómo seria?

(500-5x)

(500+5x)

(5x-500)

¿Cómo se expresa la fórmula que define la producción en función de los naranjos

agregados?

(40-x)+(500-5x)

(x-40) × (5x-500)

(40-x) × (500-5x)

Si el número de árboles aumenta en una cantidad “x”, el total de árboles resulta ser 40 + X, y como consecuencia el rendimiento por árbol es: 500 -5x, entonces la fórmula que define la producción en función de los naranjos agregados se expresa:

P(x) expresa la producción de naranjas en función de la cantidad de naranjos

Aplicando propiedad distributiva se obtiene la ecuación polinómica

¿Cómo quedaría la ecuación?

y= -5x-300x+20.000

y= -5x²-300x+20.000

y= -5x²+300x+20.00

0

• Para calcular la cantidad de plantas adicionales que anularían la producción bastará con determinar los “ceros de la función”, es decir resolver la ecuación:

Aplicando propiedad distributiva a la ecuación anterior se obtiene la ecuación polinómica:

Presentación

Definición: una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

1. Función Cuadrática Es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Ejemplos:

y su gráfica es una parábola.

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2

a = 2, b = 3 y c = 1

a = 4, b = -5 y c = -2

con a =0; a,b,c IR

1.1. Intersección con eje Y

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el

coeficiente c indica la ordenada del punto donde la

parábola intersecta al eje Y.

x

y

x

y

c(0,C)

1.2. ConcavidadEn la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava

hacia arriba o hacia abajo.

Si a > 0,es cóncava hacia arriba

Si a < 0,es cóncava hacia abajo

1.3. Eje de simetría y vértice

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y.

x

y Eje de simetría

Vértice

El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad.

Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:

b) Su vértice es:

a) Su eje de simetría es:

2a 2aV = -b , f -b

4a

-b , 4ac – b2

2aV =

-b

2ax =

2.1. Raíces Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado:

- b ± b2 – 4ac

2ax =

Ejemplo:

Determinar las raíces de la ecuación: x2 +2x - 8 = 0

-(2) ± (2)2 – 4·1(- 8)

2x =

-2 ± 36

2x =

x1 = 2

x2 = -4

2·1

-2x =

En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces:

V = ( -1, f(-1) )

a) Su eje de simetría es:

x = -1

b) Su vértice es:

V = ( -1, -9 )

2a

-bx =

-b , f -b

2a 2aV =

f(x)

V = ( -1, -9 )

x = -1Eje de simetría:

Vértice:

Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

¿Cual seria la solución?

Sol (-40;100)

Sol (40;100)

y= -5x²+300x+20.00

0

Volviendo al problema de los naranjos ahora podemos graficar aplicando los conocimientos aprendidos:

El caso de x = -40, significaría considerar una cantidad de árboles plantados, negativa ¡absurdo! Solo nos queda la opción de x = 100, que representa que si se plantaran 100 árboles más, la producción sería nula, pues P (100) = 0.

Para mostrar la situación gráficamente, primero obtenemos las coordenadas del vértice:

El punto (30; 24500) es el vértice de la parábola y resulta el punto máximo, de la producción de naranjas y plantación de árboles, todas las posibles combinaciones están representadas en el área sombreada, en el intervalo

Grafico