Matemática Básica para Economistas MA99

Tema: Función Lineal y Función Cuadrática

UNIDAD 6

Clase 11.2

Objetivos:

• Presentar la fórmula general de la función lineal e identificar sus elementos (pendiente y ordenada en el origen)

• Presentar la fórmula general de la función cuadrática e identificar sus elementos (vértice)

• Estudiar las aplicaciones de la función lineal y cuadrática.

Función LinealFunción Lineal

f(x) = mx + bf(x) = mx + b

m es la pendiente de la ecuación de la rectab es la ordenada en el origen

Cuando m = 0, la función se denomina “función constante”

f(x) = bf(x) = b

Función LinealFunción Lineal

f(x) = mx + bf(x) = mx + b

-3 -2 -1 0 1 2 3

4

3

2

1

-1

-2

-3

b

Rfdom )(

Ejemplo:Ejemplo: 2,1;3)( xxxf

f(x) = x

Ejemplo:Ejemplo:

Función IdentidadFunción Identidad

f(x) = c

-2 -1 0 1 2

4

3

c2

1

Ejemplo:Ejemplo:

Función ConstanteFunción Constante

Función Lineal: AplicacionesFunción Lineal: Aplicaciones

1. Los costos variables y fijos de producción de cierto artículo son $30 y $24,000, respectivamente. Si el precio es de $40, determine y grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones de costo e ingreso. Determine el punto de equilibrio y grafique la utilidad.

2. Dadas las funciones de oferta: p – q =10 y de demanda: 2p + q = 80. Si la gráfica de la función de oferta se traslada en forma paralela de tal manera que el nuevo precio de equilibrio es 28. Hallar la nueva ecuación de la oferta y la cantidad de equilibrio correspondiente. Grafique.

Función Lineal: AplicacionesFunción Lineal: Aplicaciones

3. Un consumidor gasta siempre todo su ingreso (I) en la compra de dos tipos de bienes (x,y) cuyos precios unitarios son Px y Py.

a) Hallar y graficar una ecuación que represente todas las combinaciones posibles de cantidades que se pueden adquirir de cada bien.

b) ¿Cómo se traslada la gráfica si: Px se triplica? Px se reduce a la mitad? I se duplica? Ambos precios se duplican?

Aplicaciones:Aplicaciones:Razón de cambio promedioRazón de cambio promedio

f

x

y

x

yP

Q

a b

f(a)

f(b)

QyPporpasaquerectaladependienteRCP

abafbfRCP

XYRCP

)()(

La siguiente tabla muestra las ventas en dos años diferentes en dos tiendas en una cadena de tiendas de descuento.

Tienda

Ventas en 1992

Ventas en 1995

A $100 000 $160 000B $50 000 $140 000

Un estudio de los libros de la empresa sugiere que las ventas de ambas tiendas han crecido linealmente (es decir, las ventas pueden aproximarse por una función lineal con bastante precisión).

Aplicaciones:Aplicaciones:Razón de cambio promedioRazón de cambio promedio

a) Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda A

b) Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda B

c) Encuentre la razón de cambio promedio en “a”.

000 100 000x 20 y

000 50 000x 30 y

añopor 000 20 $3000 60 $en ventas R.C.P

Aplicaciones:Aplicaciones:Razón de cambio promedioRazón de cambio promedio

d) Encuentre la razón de cambio promedio en “b”.

Conclusión:Si f(x) = mx +b es una función lineal, entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x es la pendiente de la recta y = mx +b.

añopor 000 03 $3000 90 $en ventas R.C.P

e) Compare resultados

Aplicaciones:Aplicaciones:Razón de cambio promedioRazón de cambio promedio

Suponga que el costo de producir radios – reloj puede aproximarse mediante el modelo lineal C(x) = 12x + 100

Costo Marginal

a) ¿Cuál es el costo de producir 0 radios-reloj?b) ¿Cuál es el costo de producir 5 radios- reloj?c) ¿Cuál es el costo de producir 6 radios- reloj?d) ¿Cuál es el costo de producir el sexto radio?e) ¿Cuál es el costo de producir el radio

número 81?f) ¿Cuál es el costo adicional por radio?

donde C(x) es el costo en dólares por producir “x” radios- reloj.

Función CuadráticaFunción Cuadráticaf(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c

Su gráfica es una parábola cuya forma dependerá de los valores de a, b y c. Por ejemplo:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Función CuadráticaFunción Cuadrática

cbxaxy 2

cxabxay

2

cab

abx

abxay

222

22

abc

abxay

42

222

22

2

24

abxa

abcy

2hxaky

abh2

abck4

2

ParábolaParábola

Una vez puesta en su forma estándar se aprecia que la gráfica de f es una parábola de vértice (h, k) (valor extremo)Se abre hacia arriba si a > 0Se abre hacia abajo si a < 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345678

x

y

(h, k)

a > 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345678

x

y

(h, k)a < 0

b, c son diferentes de cero

khxaxf 2)()(

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345678

x

y

(h, k)

a > 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6-5-4-3-2-1

12345678

x

y

(h, k)a < 0

Sea V(h,k) el vértice:f(h) = k es el mínimo valor de f cuando a>0f(h) = k es el máximo valor de f cuando a<0

Para cada función cuadráticaa. Exprese f en forma estándarb. Trace la gráfica de fc. Determine el valor extremo de f.d. Intersecciones con los ejes.e. Determine el valor de las funciones f y g

para x = -b/2a Analice.

49305)( 2 xxxf542)( 2 xxxg

Ejemplos:Ejemplos:

Conclusión:Conclusión:

La gráfica de la función :

f(x) = a x2+ b x + c

tiene su vértice en el punto de coordenadas:

x= -b/2a ; y = f(-b/2a)

= c - b2/4a

1912x2xg(x) 2

6xxh(x) 2

Para cada función cuadráticaa. Determine el valor extremo de f.b. Intersecciones con los ejes.c. Trace la gráfica de f.

Ejemplos:Ejemplos:

Cuando se traza la gráfica de una función cuadrática, a la recta vertical que pasa por el vértice se le denomina “eje de simetría”

Si la gráfica de una función cuadrática corta al eje “x” en dos puntos, la abscisa del vértice es igual a la semi-suma de las abscisas de estos puntos de corte.

Un caso particularUn caso particular

Si la función cuadrática f se puede expresar f(x) = a(x-p)(x-q) entonces:

a<0a>0

p q

x

y

p q

x

y

)5)(2(3 xxf(x)

Trace la gráfica de las siguientes funciones:

)5)(1(3 xxg(x)

Ejemplo:Ejemplo:

Si tiene como datos al vértice y otro punto de paso de una parábola, ¿cómo puede obtener la regla de correspondencia de la función que tiene por gráfica a dicha parábola?

En otras palabras, teniendo h y k más un punto (x,y) por donde pasa la gráfica, ¿podemos obtener la regla de correspondencia?

Otro caso particularOtro caso particular

Ejemplo: Encuentre la regla de correspondencia de una función cuadrática cuya gráfica tiene el vértice (3;4) y pasa por el punto (6;,22).

1) Utilizamos khxa 2)(

2) Para obtener 4)3( 2 xa3) Por la información dada -pasa por el punto (6,22)- sabemos que f(6) = 22

4)36(22 2 a4) Por lo tanto:

5) De donde: 2918 a

6) Finalmente: 4)3(2 2 x

V(3,4)

(6,22)

4)3(2 2 x

Función CuadráticaFunción CuadráticaAplicacionesAplicaciones

1. Al producir q artículos el costo total está dado por 1,500 + 12q dólares y el precio por p = 40 – q/20 dólares. Determinar:

a) La función de utilidad y el punto de equilibrio. Graficar.b) La utilidad máxima.c) ¿Para qué cantidad de artículos se produce ganancia?

2. Dadas las ecuaciones de oferta: p = q2/20 – q/5 + 16/5 y de demanda: p = -q2/30 – q/5 +76/5:

a) Graficarlas en un mismo plano.b) Determine el punto de equilibrio.