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PROPORCIONALIDADE

Uma relação funcional comum ocorre quando uma quanti-dade é proporcional a outra. Por exemplo, a área A de umcírculo é proporcional ao quadrado do raio r, pois

A = f(r) = 7rr2.

UMA BIBUOTECA DE fuNÇÕES 5

Dizemos, também, que uma quantidade é inversamenteproporcional a outra se uma é proporcional ao inverso daoutra. Por exemplo, a velocidade v em que você faz umaviagem de 50 milhas (em torno de 80 km) é inversamenteproporcional ao tempo t que você leva, pois v é proporcio-nal a 1ft:

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS PARA A SEÇÃO 1.1

1. A população P de uma cidade, em milhões, é urna função det, o número de anos desde 1950, de modo que P = f(t). Expli-que o significado da afirmaçãof(35) = 12 em termos da po-pulação dessa cidade.

2. O poluente PCB (bifenil policlorado) afeta a espessura dosovos de pelicano. Pensando na espessura E dos ovos, em rnrn,como urna função da concentração P de PCB em ppm (partespor milhão), ternos E = f(P). Explique o significado def(200)em termos da espessura dos ovos do pelicano e da concentra-ção dePCB.

3. O valor de um carro, V = f(i), em milhares de dólares, é umafunção da idade i do carro, em anos.(a) Interprete a afirmação f(5) = 6.(b) Esboce um gráfico possível de Vem função de i. A fun-

ção f é crescente ou decrescente? Explique.(c) Explique o significado das interseções com os ·eixos

horizontal e vertical em termos do valor do carro.

4. Associe a cada estória o gráfico mais apropriado na Fig. 1.8.Escreva urna estória para o gráfico restante.(a) Durante minha viagem, furou um pneu. Depois de trocá-

10, tive que andar mais depressa para não chegar atrasado.(b) Meu carro quebrou e eu o deixei estacionado no acosta-

mento.(c) Assim que entreguei o pacote, dei meia-volta e retomei

para casa.

velocidade

kc -----"---~temp

velocidade

I · .O /~t.m"(I) (11)

velocidade

1/\ 'f\~ V \_tempo

(111)

velocidade

V~I \J

tempo

(IV)

Figura 1.8

Para os Exercícios de 5 a 7, determine o coeficiente angular e ainterseção com o eixo vertical da reta cuja equação é dada.

5. 7y + 12x - 2 = O 6. -4y + 2x + 8 = O

7. 12x = 6y + 4

Para os Exercícios de 8 a 10, encontre a equação da reta que con-tém os pontos dados.

8. (0,0) e (1,1)10. (-2,1) e (2,3)Para os Exercícios de 11 a 13, use os fatos de que retas paralelas têmcoeficientes angulares iguais e de que os coeficientes angulares deretas perpendiculares são tais que um é menos o inverso do outro.

9. (0,2) e (2,3)

11. Encontre a equação da reta que contém o ponto (2,1) e é per-pendicular à reta y = 5x - 3.

12. Encontre as equações das retas contendo o ponto (1, 5) e quesão, respectivamente, paralela e perpendicular à reta cuja equa-ção é y + 4x = 7.

13. Encontre as equações das retas contendo o ponto (a, b) e quesão, respectivamente, paralela e perpendicular à reta cuja equa-ção é y = nu + c, supondo que m =f:. O.

14. Associe os gráficos na Fig. 1.9 com as equações a seguir. (Noteque as escalas de x e de y podem ser diferentes.)

(11) Y

i/J/ x

(111) Y

+..--" x

(VI) y

+ x

7'(IV) y

~.(V) Y

y :1:

/1Figura 1.9

~---------------------

6' UJ,,'.A BIBLIOTECA DE FuNÇÕES

(a) y = x - 5(c) 5 = y(e) y = x+ 6

(b) -3x+4=y(d) y = -4x - 5

(1) y = x/215. Associe os gráficos na Fig. 1.10 com as equações a seguir.

(Note que as escalas de x e de y podem ser diferentes.)

(a) y = -2,72x(c) y = 27,9 - O,lx(e) y = -5,7 - 200x

(b) y = 0,01 + O,OOlx(d) y = O,lx -27,9

(t) Y = x/3,14

(I) y (11) Y (111) Y

\1 X '" I1\ x a; ! X!\~,

I \\(IV) Y (V) Y (VI) Y

/

~

I;1/ x a; ;t- a;!/

IÍ / I

Figura 1.10

Para os Exercícios de 16 a 18, dê o domínio e a imagem aproxima-dos de cada função. Suponha que todo o gráfico está ilustrado.Encontre o domínio e a imagem nos Exercícios 19 e 20.16. y

:~' rJ!(X)1 V,

x1 3 5

PROBLEMAS

26. Um cano sai devagar e vai cada vez mais rápido até estourarum pneu. Esboce um gráfico possível para a distância percor-rida pelo cano em função do tempo.

27. Um objeto é colocado do lado de fora em um dia frio no ins-tante t = O. O gráfico de sua temperatura, H = f(t), em °C,está ilustrado na Fig. 1.11.(a) O que significa a afirmação fi:30) = 10 em termos da

temperatura? Inclua unidades para 30 e para 10 em suaresposta.

(b) Explique o que representam a interseção com o eixovertical a e a interseção com o eixo horizontal b em ter-mos da temperatura do objeto e de quanto tempo está dolado de fora.

t(min)Figura 1.11

17. y

:bJ-f-t- ~- x-2 2-2:\ v=f(x)

18. y

6 I

4 ~ I/'(X)2

x3 5

19. Y = x2 + 21

20. Y = -0--x~ + 2~21. Se fi:t) = -V t2 - 16, encontre todos os valores de t para os

quais fi:t) é um número real. Resolva a equação fi:t) = 3.

22. Se g(x) = (4 - X2)/(X2 + x), encontre o domínio de g(x). Re-solva a equação g(x) = O.

Nos Exercícios de 23 a 25, escreva uma fórmula que representa afunção.

23. A resistência R de uma viga é proporcional ao quadrado desua espessura h.

24. A energia E despendida por um golfinho nadando é proporci-onal ao cubo de sua velocidade v.

25. O número N de espécies animais com corpo de determina-do comprimento 1 é inversamente proporcional ao quadra-do de I.

28. Um vôo do Aeroporto Dulles, em Washington, DC, até oAeroporto LaGuardia, em Nova York, tem de sobrevoarLaGuardia diversas vezes antes de poder aterrissar, Faça umgráfico da distância do avião do aeroporto em Washington emfunção do tempo, desde o momento do levantamento do vôoaté a aterrissagem,

29. Você está dirigindo de Chicago para Detroit, uma distânciade 215 milhas (em tomo de 442 krn), a uma velocidade cons-tante. A aproximadamente 120 milhas de Chicago você pas-sa por Kalamazoo, em Michigan. Esboce um gráfico de suadistância de Kalamazoo em função do tempo.

30. O custo mensal de um serviço de recolhimento de lixo é deR$32,00 por 100 kg de lixo e de R$48,00 por 180 kg.(a) Encontre uma fórmula linear para o custo C do recolhimento

de lixo em função da quantidade, em quilogramas, de lixo.(b) Qual o coeficiente angular da reta encontrada no item (a)?

Dê unidades na sua resposta e a interprete em termos docusto do recolhimento de lixo.

(c) Qual a interseção com o eixo vertical da reta encontradaem (a)? Dê unidades na sua resposta e a interprete emtermos do custo do recolhimento de lixo.