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MAT001 - Calculo-1Prof. Vladimir Pershin
2011, 1 semestre, truma ECOLista de Exercıcios
1. Funcoes reais de uma variavel real
1. Ache o domınio da funcao
(a)√
1 + x
(b) 3√
1 + x
(c)√x2 − 2
(d)1
4− x2
(e)√
2 + x− x2
(f)√x− x3
(g) arccos2x
1 + x
(h)√
sen 2x
(i)√
cosx2
(j) lg2 + x
2− x
(k) lgx2 − 3x+ 2
x+ 1
(l) arcsen lgx
10
2. Ache f(0), f(−x), f(x+ 1), f(x) + 1, f(1
x),
1
f(x)se f(x) =
1− x1 + x
3. Ache f(x) se
(a) f(x+ 1) = x2 − 3x+ 2 (b) f(
1
x
)= x+
√1 + x2, x > 0 (c) f
(x
x+ 1
)= x2
4. Simplifique as expressoes algebricas:
(a)
x− y√x−√y
− x− y√x+√y√
x−√yx− y
+
√x+√y
x− y
·2√xy
y − x(b)
1
(a1/2 + b1/2)−2−( √
a−√b
a3/2 − b3/2
)−1 (ab)−1/2
(c) a
(√a+√b
2b√a
)−1
+ b
(√a+√b
2a√b
)−1
(d)
(x1/2 + y1/2
x1/2 − y1/2− x1/2 − y1/2
x1/2 + y1/2
)(y−1/2 − x−1/2)
(e)((
4√a− 4√b)−2
+(
4√a+
4√b)−2
):
(√a+√b
a− b
)2
(f)(a1/m − a1/n)2 + 4a(m+n)/mn
(a2/m − a2/n)(
m√am+1 +
n√an+1
)5. Simplifique as expressoes com funcao valor absoluto:
(a)x |x− 3|
(x2 − x− 6) |x|(b)
x |x− 3|+ x2 − 9
2x3 − 3x2 − 9x(c)
2 |y + 5| − y +25
y3y2 + 10y − 25
(d)
√4x+ 4 + x−1
√x |2x2 − x− 1|
(e)|z − 1| · |z|
z2 − z + 1− |z|(f)
√a2 − 2ab+ b2
√a2 + 2ab+ b2
+2a
a+ b, se 0 < a < b
6. Reescreva a funcao
f(x) =
{0, x ≤ 0x, x > 0
utilizando so uma formula (use o sinal da funcao valor absoluto).
7. Resolva as desigualdades:
(a) |x−3| > −1 (b) |4−3x| ≤ 1/2 (c) x2 +2|x+3|−10 ≤ 0 (d) |x−2| ≤ |x+4|
8. Verifique se a funcao e par ou ımpar.
(a) x4 + 3
(b) x2 + |x|(c)√
8x3 + 4
(d) 5x3 + 7
(e)
√1 + sen x
cosx(f)√
1 + x+ x2 −√
1− x+ x2
(g) 3
√(x+ 1)2 + 3
√(x− 1)2
(h)1
2(ax + a−x)
(i) lg1 + x
1− x
(j) lg(x+√
1 + x2)
9. Prove as identidades:
(a) sen 6α + cos6 α = 1− 3
4sen 22α (b)
1 + sen 2α + cos 2α
1 + sen 2α− cos 2α= cotα
(c) (senα + sen β)2 + (cosα + cos β)2 = 4 cos2 α− β2
(d)2senα− sen 2α
2senα + sen 2α= tan2 α
2
(e)senα + 2sen 3α + sen 5α
sen 3α + 2sen 5α + sen 7α=
sen 3α
sen 5α(f)
1
tan 3α− tanα− 1
cot 3α− cotα= cot 2α
(g) cot2 α− cot2 β =cos2 α− cos2 β
sen 2α sen 2β
10. Simplifique as expressoes logarıtmicas:
(a)811/ log5 9 + 33/ log√6 3
409
((√
7)2/ log25 7 − 125log25 6)
(b) a1+2/ logb ab− 2aloga b+1blogb a+1 + ab1+2/ loga b
(c)(2
log 4√2a − 3log27(a2+1)3 − 2a
): (74 log49 a − a− 1)
(d) log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7
(e) log2 2x2 + log2 x · xlogx(log2 x+1) +1
2log2
2 x2 + 2−3 log1/2 log2 x
(f)loga b+ loga
(b
12
logb a2)
loga b− logab b· logab b loga b
b2 logb loga b − 1
(g) 5log1/5(1/2) + log√2
4√7 +√
3+ log1/2
1
10 + 2√
21
11. Resolva as equacoes exponenciais:
(a)√
3x ·√
5x = 225
(b) 23x · 5x = 1600
(c) 93−5x · 75x−3 = 1
(d) 32x−1 · 53x+2 =9
5· 52x · 33x
(e) 3 · 4x +1
3· 9x+2 = 6 · 4x+1 − 1
2· 9x+1
(f) 72x2−5x−9
2 = (√
2)3 log2 7
(g) 4 · 3x+2 + 5 · 3x − 7 · 3x+1 = 40
2
12. Sejam f(x) = sen x, g(x) = x2, h(x) = cos x. Determine a formula para cada funcao abaixo
(a) f ◦ g(b) g ◦ f
(c) g ◦ g(d) g ◦ (f + h)
(e) g ◦ (f/h)
(f) (f/h) ◦ (h/f)
(g) f ◦ (g ◦ h)
(h) (f ◦ g) ◦ h
13. Sejam f(x) = 4x, g(x) = x− 3, h(x) =√x. Expresse cada uma das funcoes abaixo atraves
das composicoes de funcoes escolhidas entre f , g e h.
(a) 4√x (b)
√x− 3 (c) 4x− 12 (d) x− 6 (e)
√4x
14. Ache f [f(x)] e f{f [f(x)]} se f(x) =1
1− x.
15. Ache fn(x) = f(f(. . . f(x)))︸ ︷︷ ︸n vezes
se f(x) =x√
1 + x2.
16. Para cada funcao abaixo determine a funcao inversa (nao esqueca indicar o domınio dela)
(a) 7x− 13
(b) x2 − 3
(c)2x− 3
3x− 2
(d) 3√
1− x3
(e) arctan 3x
(f) lgx
2
(g) y =
{x, x ≤ 0x2, x > 0
17. Resolve as desigualdades:
(a) arcsen x ≤ 5
(b) arcsen x ≥ −2
(c) arccos x ≤ arccos1
4
(d) arccos x >π
6
(e) arctan x > −π3
(f) arccot x > 2
(g) arcsen x < arccosx
(h) arccos x > arccosx2
(i) arctan x > arccotx
(j) tan2(arcsenx) > 1
18. Calcule os valores das funcoes trigonometricas:
(a) sen(
2 arccos1
4
)(b) cos
[arcsen
(−1
2
)](c) sen
(arcsen
3
5+ arcsen
8
17
)(d) tan
(2 arcsen
2
3
)
(e) arcsen (sen 2)
(f) tan(
arcsen1
3+ arccos
1
4
)(g) sen (arctan 2 + arctan 3)
(h) cos(arcsen
1
3− arccos
2
3
)
19. Prove as identidades:
(a) arcsen x± arcsen y = arcsen (x√
1− y2 ± y√
1− x2)
(b) arccos x± arccos y = arccos(xy ∓√
1− y2√
1− x2)
(c) arctan x± arctan y = arctanx± y1∓ xy
20. Faca graficos de funcoes afim:
3
(a) y = kx, se k = 0, 1, 2, 12,−1,−2
(b) y = x+ b, se b = 0, 1, 2,−1,−2
(c) y = 1, 5x+ 2
21. Faca graficos de funcoes quadraticas:
(a) y = ax2, se k = 0, 1, 2, 12,−1,−2, 0
(b) y = x2 + c, se b = 0, 1, 2,−1
(c) y = (x− x0)2, se x0 = 0, 1, 2,−1
(d) y = y0 + (x− 1)2, se y0 = 0, 1, 2,−1
(e) y = x2 − 2x+ 3
(f) y = 2x2 + 6x
22. Faca graficos de funcoes polinomiais:
(a) y = 2 + (x− 1)3
(b) y = x3 − 3x+ 2
(c) y = x4
(d) y = 2x3 − x4
23. Faca graficos de funcoes racionais:
(a) y =1
1− x
(b) y = −1 +6
x− 1
(c) y =2x− 3
3x+ 2
(d) y = x+1
x
(e) y =x2
x+ 1
(f) y =1
x2
(g) y =1
x3
(h) y =10
x2 + 1
(i) y =2x
x2 + 1
(j) y = x+1
x2
(k) y = x2 +1
x
24. Faca graficos de funcoes algebricas:
(a) y =√x
(b) y = 3√x
(c) y = x2/3
(d) y = x3/2
(e) y =√x2 − 1
(f) y =1√
x2 − 1
25. Faca graficos de funcoes trigonometricas:
(a) y = Asenx, seA = 1, 10, 1
2,−2
(b) y = sennx, sen = 1, 2, 3, 1
2
(c) y = sen (x− ϕ), seϕ = 0, π
2, 3π
2, π,−π
4
(d) y = 5 sen (2x− 3)
(e) y = 6 sen x− 8 cosx
(f) y = cos2 x
(g) y = x+ senx
(h) y = x senx
(i) y = tan2 x
(j) y = 1− 2 cosx
(k) y = cosπ
x
(l) y =√
senx
(m) y = arcsen1
x
(n) y = arccos1
x
(o) y = x+ arctanx
26. Faca graficos de funcoes exponenciais e logarıtmicas:
4
(a) y = ax,se a = 2, 1
2, e
(b) y = loga xse a = 10, 2, 1
2, e
(c) y = tanh x
(d) y = 101/x
(e) y = e−x2
(f) y = 2−1/x2
(g) y = lg x2
(h) y = lg2 x
(i) y = lg(lg x)
(j) y =1
lg x
(k) y = lg1
x
(l) y = lg(−x)
(m) y = log2(1 + x)
(n) y = lg(cos x)
(o) y = 2−x senx
27. Faca graficos de funcoes :
(a) y =1
2(x+ |x|)
(b) y = x|x|
(c) y = log√2 |x|(d) y = senx+ |senx|(e) y = senx− |senx|
(f) y =
3− x2, |x| ≤ 12
|x|, |x| > 1
Respostas
1. a. [−1,∞); b. (−∞,∞); c. (−∞,−√
2] ∪ [√
2,∞); d. (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,∞); e.
−1 ≤ x ≤ 2, f. −∞ < x ≤ −1, 0 ≤ x ≤ 1; g. [−1
3, 1]; h. kπ ≤ x ≤ kπ+
π
2(k = 0,±1,±2, . . .);
i. |x| ≤√π
2,
√π
2(4k − 1) ≤ |x| ≤
√π
2(4k + 1) (k = 1, 2, . . .); j. −2 < x < 2; k. −1 < x < 1,
2 < x < +∞; l. 1 ≤ x ≤ 100.
2. 1,1 + x
1− x,−x
2 + x,
2
1 + x,x− 1
x+ 1,
1 + x
1− x
3. a. x2 − 5x+ 6 b.1 +√x2 + 1
xc.
(x
x− 1
)2
4. a. −2y b. 1 c. 2ab d.4√
x+√y
e. 2(√a+√b) f.
1
a(a1/m − a1/n)
5. a.1
x+ 2em (−∞, 0) ∪ (3,∞), − 1
x+ 2em (0, 3) b.
1
xem (3,∞),
3
x(2x+ 3)em (−∞,−3
2) ∪
(−3
2, 0) ∪ (0, 3) c. −1
yem (−∞,−5),
y + 5
y(3y − 5)em (−5, 0) ∪ (0,
5
3) ∪ (
5
3,∞) d.
1
x− x2em
(0, 1),1
x2 − xem (1,∞) e.
z2 − zz2 + 1
em (−∞, 0),z
1− zem (0,1),
z
z − 1em (1,∞) f. 1.
6.x+ |x|
2
7. a. R b.
[7
6,3
2
]c. [1−
√17,√
5− 1] d. [−1,∞)
8. a. par b. par c. nao d. nao e. nao f. ımpar g. par h. par i. ımpar j. ımpar
9.
10. a. 1; b. ab(a− b)2; c. a2 + a+ 1; d. 1/3; e. (log2 x+ 1)3; f. 1/(loga b− 1); g. 6
5
11. a. 4; b. 2; c. 3/5; d. −3; e. −1/2; f. −3/2, 4; g. log3 2
12. a. senx2 b. sen 2x c. x4 d. (senx+ cosx)2 e. tan2x f. tan (cotx)
g. sen (cos2 x) h. sen (cos2 x)
13. a. f ◦ h b. h ◦ g c. f ◦ g d. g ◦ g e. h ◦ f
14.x− 1
x, x
15.x√
1 + nx2
16. a. [−1, 1] b. [−1, 1] c. [1/4, 1] d. [−1,√
3/2) e. (−√
3,∞) f. (−∞, cot 2) g. [−1, 1/√
2) h. [−1, 0)i. (1,∞) j. (−1,−
√2/2) e (
√2/2, 1)
17. a. (x + 13)/7, R b.√x+ 3, x ≥ −3 c. (2x − 3)/(3x − 2), x 6= 2/3 d. 3
√1− x3,
R e.1
3tanx, −π
2< x <
π
2f. 2 · 10x, R g. x em x ≤ 0,
√x em x > 0
18. a.√
15/8 b.√
3/2 c. 77/85 d. 4√
5 e. π − 2 (Dica: sen 2 = sen (π − 2),
π − 2 ∈ [−π2,π
2]) f.
1 + 2√
30
2√
2−√
15g.√
2/2 h.4√
2 +√
5
9
6
2. Limites e continuidade
1. Calcule limites de funcoes racionais:
(a) limx→0
x2 − 1
2x2 − x− 1
(b) limx→1
x2 − 1
2x2 − x− 1
(c) limx→−1
x3 + 1
x2 + 1
(d) limx→5
x2 − 5x+ 10
x2 − 25
(e) limx→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
(f) limx→2
x2 − 2x
x2 − 4x+ 4
(g) limx→3
x2 − 5x+ 6
x2 − 8x+ 15
(h) limx→−1
x3 − 2x− 1
x5 − 2x− 1
(i) limx→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)− 1
x
(j) limx→0
(1 + x)5 − (1 + 5x)
x2 + x5
(k) limx→1
xm − 1
xn − 1(m e n sao inteiros positivos)
2. Calcule limites de funcoes algebricas:
(a) limx→0
√1 + x−
√1− x
x
(b) limx→4
√1 + 2x− 3√x− 2
(c) limx→3
√x+ 13− 2
√x+ 1
x2 − 9
(d) limx→3
√x2 − 2x+ 6−
√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3
(e) limx→8
x− 83√x− 2
(f) limx→−2
3√x− 6 + 2
x3 + 8
(g) limx→−8
√1− x− 3
2 + 3√x
(h) limx→0
√1 + x−
√1− x
3√
1 + x− 3√
1− x
3. Calcule limites trigonometricos usando o primeiro limite fundamental limx→0
senx
x= 1:
(a) limx→0
sen 5x
2x(b) lim
x→0x cot 3x
(c) limx→0
sen 5x− sen 3x
senx
(d) limx→a
senx− sen a
x− a
(e) limx→a
cosx− cos a
x− a
(f) limx→1
senπx
sen 3πx
(g) limx→−2
tanπx
x+ 2
(h) limx→π/4
senx− cosx
1− tanx
(i) limx→0
arcsenx
x
(j) limx→0
arctan 2x
sen 3x
(k) limx→0
x− sen 2x
x+ sen 3x
(l) limx→0
√1 + senx−
√1− senx
x
(m) limx→π/6
2 sen 2x+ senx− 1
2 sen 2x− 3 senx+ 1
4. Calcule limites no infinito:
(a) limx→∞
(x+ 1)2
x2 + 1
(b) limx→∞
1000x
x2 − 1
(c) limx→∞
x2 − 5x+ 1
3x+ 7
(d) limx→∞
2x2 − x+ 3
x3 − 8x+ 5
(e) limx→∞
(2x+ 3)3(3x− 2)2
x5 + 5
(f) limx→∞
2x2 − 3x− 4√x4 + 1
7
(g) limx→∞
2x+ 3
x+ 3√x
(h) limx→∞
3√x2 + 1
x+ 1
(i) limx→+∞
√x+
√x+√x
√x+ 1
(j) limx→+∞
(√x2 − 5x+ 6− x)
(k) limx→+∞
(√(x+ a)(x+ b)− x
)(l) lim
x→+∞
(√x+
√x+√x−√x)
(m) limx→∞
(x+3√
1− x3)
5. Calcule limites usando (se for necessario) o segundo limite fundamental limx→0
(1 + x)1/x=e
(a) limx→0
(2 + x
3− x
)x(b) lim
x→1
(x− 1
x2 − 1
)x+1
(c) limx→∞
(1
x2
)2x/x+1
(d) limx→0
(x2 − 2x+ 3
x2 − 3x+ 2
)senx/x
(e) limx→∞
(x2 + 2
2x2 + 1
)x2
(f) limn→∞
(1− 1
n
)n(g) lim
x→∞
(1 +
2
x
)x(h) lim
x→∞
(x
x+ 1
)x
(i) limx→∞
(x− 1
x+ 3
)x+2
(j) limn→∞
(1 +
x
n
)n(k) lim
x→0(1 + senx)1/x
(l) limx→0
(cosx)1/x
(m) limx→0
(cosx)1/x2
6. Calcule limites de funcoes logarıtmicas e exponenciais (pode usar o segundo limite fundamental na
forma limx→0
ln(1 + x)
x= 1):
(a) limx→∞
[ln(2x+ 1)− ln(x+ 2)]
(b) limx→0
lg(1 + 10x)
x
(c) limx→0
1
xln
√1 + x
1− x
(d) lim
x→+∞x[ln(x+ 1)− lnx]
(e) limx→0
ln(cosx)
x2
(f) limx→0
ex − 1
x
(g) limx→0
ax − 1
x, a > 0
(h) limn→∞
n( n√a− 1), a > 0
(i) limx→0
eax − ebx
x
(j) limx→0
1− e−x
senx
(k) limx→0
senhx
x
(l) limx→0
coshx− 1
x2
7. Calcule limites laterais
(a) limx→−∞
x√x2 + 1
(b) limx→+∞
x√x2 + 1
(c) limx→−∞
tanhx
(d) limx→+∞
tanhx
(e) limx→0−
1
1 + e1/x
(f) limx→0+
1
1 + e1/x
(g) limx→−∞
ln(1 + ex)
x
(h) limx→+∞
ln(1 + ex)
x
(i) limx→0−
|senx|x
(j) limx→0+
|senx|x
(k) limx→1−
x− 1
|x− 1|
(l) limx→1+
x− 1
|x− 1|
(m) limx→2−
x
x− 2
(n) limx→2+
x
x− 2
8. Faca graficos de funcoes :
(a) y = limn→∞
(cos2n x) (b) y = limn→∞
x
1 + xn, x ≥ 0 (c) y = lim
n→∞(arctannx)
8
9. O que acontece com as raızes da equacao quadratica ax2 + bx+ c = 0 quando o valor do coeficientea se aproxima a zero, os coeficientes b e c sao constantes e b 6= 0?
10. Determine as constantes a e b nas equacoes
(a) limx→∞
(ax+ b− x3 + 1
x2 + 1
)= 0 (b) lim
x→∞(√x2 − x+ 1− ax− b) = 0
11. Uma funcao e definida como
f(x) =
x2 − 4
x− 2, x 6= 2
A, x = 2
Escolha o valor A = f(2) de tal maneira que a funcao f(x) seja contınua em x = 2. Faca o graficode f(x).
12. A formula f(x) = 1−x sen1
xnao tem sentido em x = 0. Como escolher o valor f(0) para que f(x)
seja contınua em x = 0?
13. A funcao f(x) = arctan1
x− 2nao esta definida em x = 2. E possıvel determinar o valor f(2) de
tal maneira que f(x) seja contınua em x = 2?
14. A funcao f(x) nao esta definida em x = 0. Determine f(0) de tal forma que f(x) seja contınua emx = 0.
(a)(1 + x)n − 1
x, n ∈ N
(b)1− cosx
x2
(c)ln(1 + x)− ln(1− x)
x
(d)ex − e−x
x
(e) x2 sen1
x
(f) x cotx
15. Determine os pontos de descontinuidade das funcoes abaixo e diga qual e o tipo de cada ponto dedescontinuidade.
(a)x2
x− 2
(b)1 + x3
1 + x
(c)
√7 + x− 3
x2 − 4
(d) x senπ
x
(e) ln | cosx|
(f) ln
∣∣∣∣tanx
2
∣∣∣∣(g) e1/(x+1)
(h) e−1/x2
(i)1
1 + e1/(1−x)
(j) arctan1
x
(k) (1 + x) arctan1
1− x2
(l)
{x2, x ≤ 3
2x+ 1, x > 3
Respostas
1. a. 1 b. 2/3 c. 0 d. ∞ e. −2 f. ∞ g. −1/2 h. 1/3 i. 6 j. 10 k. m/n
2. a. 1 b. 4/3 c. −1/16 d. −1/3 e. 12 f. 1/144 g. −2 h. 3/2
3. a. 5/2 b. 1/3 c. 2 d. cos a e. −sen a f. 1/3 g. π h. −√
2/2 i. 1 j. 2/3 k. −1/4 l. 1m. −3
4. a. 1 b. 0 c. ∞ d. 0 e. 72 f. 2 g. 2 h. 0 i. 1 j. −5/2 k. (a+ b)/2 l. 1/2 m. 0
9
5. a. 1 b. 1/4 c. 0 d. 3/2 e. 0 f. 1/e g. e2 h. 1/e i. e−4 j. ex k. e l. 1 m. 1/√e
6. a. lnx b. 10 lg 2 c. 1 d. 1 e. −1/2 f. 1 g. ln a h. ln a i. a− b j. 1 k. 1 l. 1/2
7. a. −1 b. 1 c. −1 d. 1 e. 1 f. 0 g. 0 h. 1 i. −1 j. 1 k. −1 l. 1 m. −∞ n. +∞
8. a. y = 0 se x 6= kπ, y = 1 se x = kπ b. y = x se 0 ≤ x < 1, y = 1/2 se x = 1, y = 0 se x > 1c. y = −π/2 se x < 0, y = 0 se x = 0, y = π/2 se x > 0
9. x1 → −c/b, x2 →∞
10. a. a = 1, b = 0 b. a = ±1, b = ∓1/2
11. A = 4
12. f(0) = 1
13. Nao
14. a. n b. 1/2 c. 2 d. 2 e. 0 f. 1
15. a. x = 2 infinita b. x = −1 removıvel c. x = −2 infinita, x = 2 removıvel d. x = 0 removıvel
e. x =π
2+ πk, k ∈ Z infinitas f. x = πk, k ∈ Z infinitas g. x = −1 infinita h. x = 0 removıvel
i. x = 1 em salto j. x = 0 em salto k. x = 1 em salto, x = −1 removıvel l. x = 3 em salto
10
3. Derivada
1. Determine o incremento da funcao y = x2 que corresponde ao incremento do argumento x:
(a) de x = 1 a x1 = 2 (b) de x = 1 a x1 = 1, 1 (c) de x = 1 a x1 = 1 + h
2. Ache ∆y para a funcao y = 3√x se
(a) x = 0, ∆x = 0, 001 (b) x = 8, ∆x = −9 (c) x = a, ∆x = h
3. Qual e a taxa media de crescimento da funcao y = x3 no intervalo 1 ≤ x ≤ 4?
4. A lei de movimento de um ponto e s = 2t2 +3t+5, onde s se mede em centimeros e t em segundos.Qual e a velocidade media do ponto no intervalo de t = 1 a t = 5?
5. Ache a razao∆y
∆xpara a funcao y =
1
xno ponto x = 2, se (a) ∆x = 1; (b) ∆x = 0, 1; (c)
∆x = 0, 01. Qual e o valor da derivada y′ em x = 2?
6. De uma definicao de (a) velocidade media de rotacao ; (b) velocidade instantanea de rotacao.
7. Um corpo aquecido ate temperatura T esta se esfriando. De uma definicao de (a) taxa media deesfriamento; (b) taxa instantanea de esfriamento.
8. Em uma reacao quımica, as moleculas de uma substancia A se decompoem em moleculas de umaoutra substancia B. De uma definicao de (a) taxa media de reacao quımica; (b) taxa instantaneade reacao quımica.
9. Calcule a derivada da funcao diretamente da definicao
(a) 3√x (b) tanx (c)
1 + x
1− x(d)√
1− x2
10. Calcule usando a definicao da derivada como limite f ′(a) = lim∆x→0
∆f(a)
∆x
(a) f ′(2), se f(x) = x2 sen (x− 2)
(b) f ′(1), se f(x) = x+ (x− 1) arcsen
√x
x+ 1
(c) f ′(0), f ′(1) e f ′(2), se f(x) = x(x− 1)2(x− 2)3
11. Calcule as derivadas das funcoes algebricas:
(a) y = x5 − 4x3 + 2x− 3
(b) y =1
4− 1
3x+ x2 − 0, 5x4
(c) y = −5x3
a
(d) y = atm + btm+n
(e) y =ax6 + b√a2 + b2
(f) y = 3x2/3 − 2x5/2 + x−3
(g) y = x2 3√x2
(h) y =a
3√x2− b
x 3√x
(i) y =a+ bx
c+ dx
(j) y =2x+ 3
x2 − 5x+ 5
(k) y =2
2x− 1− 1
x
(l) y =1 +√z
1−√z
12. Calcule as derivadas das funcoes trigonometricas
11
(a) y = 5 senx+ 3 cosx
(b) y = tanx− cotx
(c) y =senx+ cosx
senx− cosx
(d) y = 2t sen t− (t2 − 2) cos t
(e) y = arctanx+ arccotx
(f) y = x cotx
(g) y = xarcsenx
(h) y =(1 + x2) arctanx− x
2
13. Determine as derivadas de funcoes exponenciais e logarıtmicas
(a) y = x7ex
(b) y = (x− 1)ex
(c) y =ex
x2
(d) y =x5
ex
(e) y = ex cosx
(f) y = (x2 − 2x+ 2) ex
(g) y = exarcsenx
(h) y =x2
lnx
(i) y = x3 lnx− x3
3
(j) y =1
x+ 2 lnx− lnx
x
(k) y = lnx · lg x− ln a · loga x
(l) y = x senhx
(m) y =x2
coshx
(n) y = tanhx− x
(o) y =3 cothx
lnx
14. Calcule derivadas de funcoes compostas
(a) y =
(ax+ b
c
)3
(b) y = (3 + 2x2)4
(c) y =3
56(2x− 1)7− 1
24(2x− 1)6−
1
40(2x− 1)5
(d) y =√
1− x2
(e) y = 3√a+ bx3
(f) y = (a2/3 − x2/3)3/2
(g) y = (3− 2senx)5
(h) y = tanx− 1
3tan3 x+
1
5tan5 x
(i) y =√
cotx−√
cotα
(j) y = 2x+ 5 cos3 x
(k) y = − 1
6(1− 3 cosx)2
(l) y =1
3 cos3 x− 1
cosx
(m) y =
√3senx− 2 cosx
5
(n) y = sen 3x+ cosx
5+ tan
√x
(o) y = sen (x2 − 5x+ 1) + tana
x
(p) y =1 + cos 2x
1− cos 2x
(q) y = a cotx
a
(r) y = − 1
20cos(5x2)− 1
4cosx2
(s) y = arcsen1
x2
(t) y = arccos√x
(u) y = arctan1
x
(v) y = arctan1 + x
1− x
(w) y = arctanx
1 +√
1− x2
(x) y = 2√
1− x2arcsenx− 2x+ x(arcsenx)2
(y) y = arccot
(senx+ cosx
senx− cosx
)(z) y =
3− x2
√1− 2x− x2 + 2arcsen
1 + x√2
15. Calcule derivadas de funcoes compostas
12
(a) y =√xex + x
(b) y = 3√
2ex − 2x + 1 + ln5 x
(c) y = 5e−x2
(d) y =1
5x2
(e) y = x2102x
(f) f(t) = tsen 2t
(g) y = arccos ex
(h) y = ln(2x+ 7)
(i) y = lg senx
(j) y = ln(1− x2)
(k) y = ln2 x− ln(lnx)
(l) y = arctan(lnx) + ln(arctanx)
(m) y =√
lnx+ 1 + ln(√x+ 1)
(n) y = x√x
(o) y = (senx)cosx + (cosx)senx
(p) y = logx e
(q) y = ln( coshx) +1
2 cosh 2x
(r) y =coshx
senh 2x− ln( coth
x
2)
(s) y = ln(arccos1√x
)
(t) y =1
6ln
(x+ 1)2
x2 − x+ 1+
1√3
arctan2x− 1√
3
(u) y =1
4√
2lnx2 + x
√2 + 1
x2 − x√
2 + 1− 1
2√
2arctan
x√
2
x2 − 1
(v) y =arcsenx√
1− x2+
1
2ln
1− x1 + x
(w) y = ln(ex +√
1 + e2x)
(x) y = arctan ex − ln
√e2x
e2x + 1
16. Calcule as segundas derivadas das funcoes
(a) y = x8 + 7x6 − 5x+ 4
(b) y = sen 2x
(c) y = (1 + x2) arctanx
(d) y = (arcsenx)2
(e) y = ex2
(f) y = ln 3√
1 + x2
(g) y = ln(x+√a2 + x2)
(h) y = a coshx
a
17. Calcule as derivadas da ordem indicada
(a) y = x(2x− 1)2(x+ 3)3, y(6) e y(7) (b) y =√x, y(10) (c) y = xsenx, y(50)
18. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto indicado
(a) y = tan 2x, na origem
(b) y = arcsenx− 1
2, no ponto de intersecao com o eixo OX
(c) y = arccos 3x, no ponto de intersecao com o eixo OY
(d) y = 3√x− 1, no ponto (1; 0)
(e) y = (x+ 1) 3√
3− x, no ponto (2; 3)
(f) y = lnx, no ponto de intersecao com o eixo OX
(g) y = e1−x2 , nos pontos de intersecao com a reta y = 1
19. Com qual angulo se interseptam os graficos das funcoes
(a) y1 = x2, y2 =√x, (b) y1 = senx, y2 = cosx
20. Determine as derivadas laterais f ′−(0) e f ′+(0) para as funcoes
13
(a) f(x) =√
sen 2x
(b) f(x) =x
1 + e1/x, x 6= 0; f(0) = 0
(c) f(x) = x2sen1
x, x 6= 0; f(0) = 0
(d) f(x) = xsen1
x, x 6= 0; f(0) = 0
21. Quais devem ser os coeficientes a e b para que a funcao
f(x) =
{x2 x ≤ 1ax+ b x > 1
seja contınua e diferencialvel em x = 1?
22. Determine derivadas de funcoes inversas x′y =dx
dy, se
(a) y = 2x+ x2(b) y = x− 1
2senx (c) y = 0, 1x+ ex/2
23. Determine derivadas y′ =dy
dxdas funcoes implıcitas determinadas pelas equacoes:
(a) 2x− 5y + 10 = 0
(b)x2
a2+y2
b2= 1
(c) x3 + y3 = a3
(d) x3 + x2y + y2 = 0
(e)√x+√y =√a
(f)3√x2 + 3
√y2 =
3√a2
(g) y3 =x− yx+ y
(h) y − 0, 3sen y = x
(i) a cos2(x+ y) = b
(j) tan y = xy
(k) xy = arctanx
y
(l) arctan(x+ y) = x
(m) ey = x+ y
(n) lnx+ e−y/x = C
(o) ln y +x
y= C
(p) arctany
x=
1
2ln(x2 + y2)
(q)√x2 + y2 = C arctan
y
x
(r) xy = yx
24. Determine o coeficiente angular da tangente ao grafico da equacao no ponto P
(a) xy + 16 = 0, P (−2; 8) (b) y2 − 4x2 = 0, P (−1; 3) (c) x2y + sen y = 2π, P (1; 2π)
25. Admitindo que a equacao defina uma funcao implıcita y = f(x), calcule y′′ se existir
(a) 3x2 + 4y2 = 4 (b) sen y + y = x (c) cosx+ sen y = 1
Respostas
1. a. 3 b. 0, 21 c. 2h+ h2
2. a. 0, 1 b. −3 c. 3√a+ h− 3
√a
3. 21
4. 15 cm/seg
5. a. −1
6≈ −0, 16; b. − 5
21≈ −0, 238; c. − 50
201≈ −0, 249; y′(2) = −0, 25.
6. a.α(t2)− α(t1)
t2 − t1, b.
dα
dt, α(t) e o angulo
14
7. a.T (t2)− T (t1)
t2 − t1, b.
dT
dt
8. a.A(t2)−A(t1)
t2 − t1, b.
dA
dt, A(t) e a quantidade da substancia A
9. a.1
33√x2
b.1
cos2 xc.
2
(1− x)2d. − x√
1− x2
10. a. 4 b. 1 +π
4c. -8; 0; 0
11. a. 5x4 − 12x2 + 2 b. −1
3+ 2x − 2x3 c. −15x2
ad. matm−1 + b(m + n)tm+n−1 e.
6ax5
√a2 + b2
f. 2x−1/3 − 5x3/2 − 3x−4 g.8
3x5/3 h.
4b
3x2 3√x− 2a
3x3√x2
i.bc− ad
(c+ dx)2j.−2x2 − 6x+ 25
(x2 − 5x+ 5)2
k.1− 4x
x2(2x− 1)2l.
1√z(1−
√z)2
12. a. 5 cosx−3senx b.4
sen 22xc.− 2
(senx− cosx)2d. t2sen t e. 0 f. cotx− x
sen 2xg. arcsenx+
x√1− x2
h. x arctanx
13. a. x6ex(7 + x) b. xex c.ex(x− 2)
x3d.
5x4 − x5
exe. ex(cosx− senx) f. x2ex
g. ex(
arcsenx+1√
1− x2
)h.x(2 lnx− 1)
ln2 xi. 3x2 lnx j.
2
x+
lnx
x2− 2
x2k.
2 lnx
x ln 10−1
xl. senhx+
x coshx m.2x coshx− x2 senhx
cosh 2xn. − tanh 2x o. −3(x lnx+ senhx coshx)
x ln2 x senh 2x
14. a.3a
c
(ax+ b
c
)2
b. 16x(3+2x2)3 c.x2 − 1
(2x− 1)8d.
−x√1− x2
e.bx2
3√
(a+ bx3)2f.−
√(a
x
)2/3
− 1
g. −10 cosx(3− 2senx)4 h.1− tan2 x+ tan4 x
cos2 xi.
−1
2sen 2x√
cotxj. 2− 15 cos2 xsenx
k.senx
(1− 3 cosx)3l.
sen 3x
cos4 xm.
3 cosx+ 2senx
2√
15senx− 10 cosxn. 3 cos 3x−1
5sen
x
5+
1
2√x cos2
√x
o. (2x−
5) cos(x2 − 5x+ 1)− a
x2 cos2(a/x)p.−2 cosx
sen 3xq.
−1
sen 2(x/a)r. xsen 3x2 cos 2x2 s.
−2
x√x4 − 1
t.−1
2√x− x2
u.−1
1 + x2v.
1
1 + x2w.
1
2√
1− x2x. (arcsenx)2 y. 1, x 6= π
4+πn z.
x2
√1− 2x− x2
15. a.ex + xex + 1
2√xex + x
b.2ex − 2x ln 2
3 3√
(2ex − 2x + 1)2+
5 ln4 x
xc. −10xe−x
2d. −2x·5−x2 ln 5 e. 2x·102x(1+
x ln 10) f. sen 2t+ t cos 2t ·2t ln 2 g.−ex√1− e2x
h.2
2x+ 7i.
cotx
ln 10j.−2x
1− x2k.
2 lnx
x− 1
x lnx
l.1
x(1 + ln2 x)+
1
arctanx(1 + x2)m.
1
2x√
lnx+ 1+
1
2(x+√x)
n. x1/x−2(1 − lnx), x > 0
o. (senx)1+cosx(cot2 x − ln senx) − (cosx)1+senx(tan2 x − ln cosx) p. − 1
x(logx e)
2, x > 0,
x 6= 1 q. tanh 3x r. − 2
senh 3x, x > 0 s.
1
2x√x− 1 arccos(1/
√x)
, x > 1 t.1
x3 + 1
u.1
x4 + 1, |x| 6= 1 v.
xarcsenx
(1− x2)3/2, |x| < 1 w.
ex√1 + e2x
x.ex − 1
e2x + 1
15
16. a. 56x6 + 210x4 b. 2 cos 2x c. 2 arctanx +2x
1 + x2d.
2
1− x2+
2xarcsenx
(1− x2)3/2e. ex
2(4x2 + 2)
f.2(1− x2)
3(1 + x2)2g. − x/
√(a2 + x2)3 h.
1
acosh
x
a
17. a. y(6) = 4 · 6!, y(7) = 0 b. − 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 · 15 · 17
210x9√x
c. 50 cosx− xsenx
18. a. y = 2x b. x−2y−1 = 0 c. 6x+2y−π = 0 d. x = 1 e. y = 3 f. y = x−1 g. 2x−y+3 = 0em (−1; 1), 2x+ y − 3 em (1; 1)
19. a.π
2; arctan
3
4b. arctan 2
√2
20. a. f ′−(0) = −1, f ′+(0) = 1 b. f ′−(0) = 1, f ′+(0) = 0 c. f ′−(0) = f ′+(0) = 0 d. nao existem
21. a = 2, b = −1
22. a.1
3(1 + x2)b.
2
2− cosxc.
10
1 + 5ex/2
23. a.2
5b.− b
2x
a2yc.−x
2
y2d.−x(3x+ 2y)
x2 + 2ye.−
√y
xf.− 3
√y
xg.
2y2
3(x2 − y2) + 2xy=
1− y3
1 + 3xy2 + 4y3
h.10
10− 3 cos yi. −1 j.
y cos2 y
1− x cos2 yk.y
x
1− x2 − y2
1 + x2 + y2l. (x+ y)2 m.
1
x+ y − 1n.
y
x+ ey/x
o.y
x− yp.x+ y
x− yq.Cy + x
√x2 + y2
Cx− y√x2 + y2
r.y(x ln y − y)
x(y lnx− x)
24. a. 4 b. −4/3 c. −2π
25. a. − 3
4y3b.
sen y
(1 + cos y)3c.
1− cosxsen y
cos3 y
16
4. Aplicacoes da Derivada
1. Calcule limites usando a regra de L’Hopital
(a) limx→1
x3 − 2x2 − x+ 2
x3 − 7x+ 6
(b) limx→0
x cosx− senx
x3
(c) limx→1
1− x1− sen (πx/2)
(d) limx→0
tanx− senx
x− senx
(e) limx→π/4
sec2 x− 2 tanx
1 + cos 4x
(f) limx→π/2
tanx
tan 5x
(g) limx→∞
ex
x5
(h) limx→∞
lnx3√x
(i) limx→0
π/x
cot(πx/2)
(j) limx→0
ln(senmx)
ln senx(k) lim
x→0(1− cosx) cotx
(l) limx→1
(1− x) tanπx
2(m) lim
x→0arcsenx cotx
(n) limx→∞
xsena
x
(o) limx→1
lnx ln(x− 1)
(p) limx→1
(x
x− 1− 1
lnx
)(q) lim
x→3
(1
x− 3− 5
x2 − x− 6
)(r) lim
x→1
(1
2(1−√x)− 1
3(1− 3√x)
)
(s) limx→π/2
(x
cotx− π
2 cosx
)(t) lim
x→0xx
(u) limx→+∞
x1/x
(v) limx→0
x3/(4+lnx)
(w) limx→1
(1− x)cos(πx/2)
(x) limx→0
(1 + x2)1/x
(y) limx→1
x1/(1−x)
(z) limx→0
(cotx)senx
2. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funcoes
(a) y = 1− 4x− x2
(b) y = (x− 2)2
(c) y = (x+ 4)3
(d) y = x2(x− 3)
(e) y =x
x− 2
(f) y =1
(x− 1)2
(g) y =x
x2 − 6x− 16
(h) y = (x− 3)√x
(i) y =x
3− 3√x
(j) y = x+ senx
(k) y = arcsen (1 + x)
(l) y = x lnx
(m) y = 2 ex2−4x
(n) y = 21/(x−a)
(o) y =ex
x
3. Determine os extremos locais das funcoes
(a) y = 2 + x− x2
(b) y = x3 − 3x2 + 3x+ 2
(c) y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 5
(d) y = x2(x− 12)2
(e) y = x(x− 1)2(x− 2)3
(f) y =x3
x2 + 3
(g) y =x2 − 2x+ 2
x− 1
(h) y =(x− 2)(8− x)
x2
17
(i) y =16
x(4− x2)
(j) y =4√
x2 + 8
(k) y =x
3√x2 − 4
(l) y = 3√
(x2 − 1)2
(m) y = x− arctanx
(n) y = x− ln(1 + x)
(o) y = x lnx
(p) y = x ln2 x
(q) y = coshx
(r) y = xex
(s) y = x2e−x
(t) y =ex
x
4. Determine os extremos absolutos da funcao no intervalo indicado (se intervalo nao esta indicado,considere o domınio inteiro da funcao)
(a) y =x
1 + x2
(b) y =√x(10− x)
(c) y = sen 4x+ cos4 x
(d) y = arccosx
(e) y = x3 em [−1, 3]
(f) y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 em [−1, 5]
(g) y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 em [−10, 12]
5. Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo e os pontos de inflexaodos graficos:
(a) y = x3 − 6x2 + 12x+ 4
(b) y = (x+ 1)4
(c) y =1
x+ 3
(d) y =x3
x2 + 12
(e) y = 3√
4x3 − 12x
(f) y = arctanx− x
(g) y = x2 lnx
(h) y = (1 + x2) ex
6. Determine assıntotas dos graficos:
(a) y =1
(x− 2)2
(b) y =x
x2 − 4x+ 3
(c) y =x2
x2 − 4
(d) y =x3
x2 + 9
(e) y =√x2 − 1
(f) y =x√
x2 + 3
(g) y =x2 + 1√x2 − 1
(h) y = x− 2 +x2
√x2 + 9
(i) y = e−x2
+ 2
(j) y =1
1− ex
(k) y = e1/x
(l) y = ln(1 + x)
7. Faca os graficos, determinando para cada funcao: domınio, pontos de descontinuidade, extremoslocais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexao e assıntotas.
(a) y = x3 − 3x2
(b) y = 6x2 − x4
(c) y = (x− 1)2(x+ 2)
(d) y =(x2 − 5)3
125
(e) y =x2 − 2x+ 2
x− 1
(f) y =x4 − 3
x
(g) y =x4 + 3
x
(h) y =√x+√
4− x
(i) y =√
8 + x−√
8− x
(j) y = x√x+ 3
(k) y = 2x+ 2− 3 3√
(x+ 1)2
(l) y = 2|x| − x2
(m) y =4√
4− x2
(n) y =x
3√x2 − 1
(o) y = xe−x
(p) y =
(a+
x2
a
)ex/a
(q) y = e8x−x2−14
(r) y =lnx√x
(s) y =x
lnx
(t) y = ln(1 + e−x)
(u) y =arcsenx√
1− x2
(v) y = x arctanx
18
(w) y = x+ 2 arctanx
(x) y = earctanx
(y) y = arctan(lnx)
(z) y = xx
8. Problemas de otimizacao:
(a) Dentre todos os retangulos com uma dada area, qual tem o menor perımetro?
(b) Uma caixa da base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m3 de volume. Determine as dimensoesque exigem o mınimo de material.
(c) Como cortar um setor circular de uma folha redonda para fazer um funil de maximo volume?
(d) O texto deve ocupar 384 cm2 da pagina. As margens superiores e inferiores devem ser de3 cm, e as margens esquerdas e direitas de 2 cm. Quais sao os tramanhos da pagina quepermitem economizar melhor o papel?
(e) O preco de qualquer brilhante e proporcional ao quadrado da massa. Um brilhante foi que-brado em duas partes. Quais sao os tamanhos das partes, se aconteceu a perda maxima dopreco?
(f) Um hotel que cobra R$ 80,00 diaria, da descontos especiais a grupos. Se sao reservados maisde 30 quartos, o preco de cada quarto e reduzido de uma quantia igual a R$ 1,00 vezes onumero de quartos reservados. Cada quarto alugado acarreta uma despesa diaria de R$ 6,00de limpeza e manutencao. Quantos quartos devem ser alugados para produzir a receita diariamaxima?
(g) Os gastos de combustıvel de um navio sao proporcionais ao cubo da velocidade. Sabe-se quecom a velocidade de 10 km/h gastam-se R$30 por hora. Outros gastos, que nao dependemda velocidade, sao R$480 por hora. Com qual velocidade os gastos para 1 km de distanciaserao mınimos?
(h) Uma estatua com 4 m de altura esta em cima de uma coluna de 5,6 m de altura. Em qualdistancia da coluna deve estar uma pessoa com 1,6 de altura para ver a estatua com o maiorangulo possıvel?
(i) Determine a distancia mais curta entre o ponto (0, b) e a parabola y = x2.
(j) Uma bateria de voltagem V e resistencia interna r esta ligada a um circuito de resistencia R.Pela lei de Ohm, V = I(R+ r), I e a corrente no circuito. Qual deve ser a resistencia R paraque a potencia P = I2R seja maxima?
Respostas
1. a. 1/2 b. −1/3 c. ∞ d. 3 e. 1/2 f. 5 g. ∞ h. 0 i. π2/2 j. 1 k. 0 l. 2/π m. 1 n. ao. 0 p. 1/2 q. 1/5 r. 1/12 s. −1 t. 1 u. 1 v. e3 w. 1 x. 1 y. 1/e z. e
2. a. (−∞,−2) cresce, (−2,∞) desrcesce; b. (−∞, 2) descresce, (2,∞) cresce; c. (−∞,∞) cresce;d. (−∞, 0) e (2,∞) cresce, (0, 2) decresce; e. (−∞, 2) e (2,∞) decresce; f. (−∞, 1) cresce, (1,∞)decresce; g. (−∞, 2), (−2, 8) e (8,∞) decresce; h. (0, 1) decresce, (1,∞) cresce; i. (−∞,−1) e(1,∞) cresce, (−1, 1) decresce; j. (−∞,∞) cresce; k. (−2, 0) cresce; l. (0, 1/e) decresce, (1/e,∞)cresce; m. (−∞, 2) decresce, (2,∞) cresce; n. (−∞, a) e (a,∞) decresce; o. (−∞, 0) e (0, 1)decresce, (1,∞) cresce.
19
3. a. ymax = 9/4 em x = 1/2; b. nao ha; c. ymax = 25 em x = −2, ymin = −2 em x = 1;d. ymin = 0 em x = 0, ymin = 0 em x = 12, ymax = 1296 em x = 6; e. ymin ≈ −0, 76 em x ≈ 0, 23,ymax = 0 em x = 1, ymin ≈ −0, 05 em x ≈ 1, 43; f. nao ha; g. ymax = −2 em x = 0, ymin = 2 emx = 2; h. ymax = 9/16 em x = 3, 2; i. ymax = −3
√3 em x = −2/
√3, ymin = 3
√3 em x = 2/
√3;
j. ymax =√
2 em x = 0; k. ymax = −√
3 em x = −2√
3, ymin =√
3 em x = 2√
3; l. ymin = 0 emx = ±1, ymax = 1 em x = 0; m. nao ha; n. ymin = 0 em x = 0; o. ymin = −1/e em x = 1/e;p. ymin = 0 em x = 1, ymax = 4/e2 em x = 1/e2; q. ymin = 1 em x = 0; r. ymin = −1/e emx = −1; s. ymin = 0 em x = 0, ymax = 4/e2 em x = 2; t. ymin = e em x = 1
4. a. m = −1/2 em x = −1, M = 1/2 em x = 1; b. m = 0 em x = 0 e x = 10, M = 5 em x = 5;c. m = 1/2 em x = (2k + 1)π/4, M = 1 em x = kπ/2, k = 0,±1,±2, . . .; d. m = 0 em x = 1,M = π em x = −1; e. m = −1 em x = −1, M = 27 em x = 3; f. m = −6 em x = 1, M = 266em x = 5; g. m = −1579 em x = −10, M = 3745 em x = 12;
5. a. (−∞, 2) para baixo, (2,∞) para cima, p. de inflexao (2, 12); b. (−∞,∞) para cima; c. (−∞,−3)para baixo, (−3,∞) para cima, nao ha pontos de inflexao; d. (−∞,−6) e (0, 6) para cima, (−6, 0)e (6,∞) para baixo, p. de inflexao (−6,−9/2), (0, 0), (6, 9/2); e. (−∞,−
√3) e (0,
√3) para cima,
(√
3,∞) para baixo, p. de inflexao (±√
3, 0), (0, 0); f. (−∞, 0) para cima, (0,∞) para baixo, p. deinflexao (0, 0); g. (0, 1/
√e3) para baixo, (1/
√e3,∞) para cima, p. de inflexao (1/
√e3,−3/2e3);
h. (−∞,−3) e (−1,∞) para cima, (−3,−1) para baixo, p. de inflexao (−3, 10/e3), (−1, 2/e).
6. a. x = 2, y = 0; b. x = 1, x = 3, y = 0; c. x = ±2, y = 1; d. y = x; e. y = −x (esquerda),y = x (direita); f. y = −1 (esquerda), y = 1 (direita); g. x = ±1, y = −x (esquerda), y = x(direita); h. y = −2 (esquerda), y = 2x − 2 (direita); i. y = 2; j. y = 1 (esquerda), y = 0(direita); k. x = 0, y = 1; l. x = −1.
7. a. ymax = 0 em x = 0, ymin = −4 em x = 2, p. de inflexao (1,−2); b. ymax = 1 em x = ±√
3,ymin = 0 em x = 0, p. de inflexao (±1, 5/9); c. ymax = 4 em x = −1, ymin = 0 em x = 1, p.de inflexao (0, 2); d. ymin = −1 em x = 0, p. de inflexao (±5, 0), (±1, 64/125); e. ymax = −2em x = 0, ymin = 2 em x = 2, assıntotas x = 1, y = x − 1; f. p. de inflexao (±1,±2),assıntota x = 0; g. ymax = −4 em x = −1, ymin = 4 em x = 1, assıntota x = 0; h. domınio[0, 4], ymax = 2
√2 em x = 2; i. domınio [−8, 8], p. de inflexao (0, 0); j. domınio [−3,∞),
ymin = −2 em x = −2; k. ymax = 0 em x = −1, ymin = −1 em x = 0; l. ymax = 1 em x = ±1,ymin = 0 em x = 0; m. domınio (−2, 2), ymin = 2 em x = 0, assıntotas x = ±2; n. domınio(−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞), ymax = −
√3/ 3√
2 em x = −√
3, ymin =√
3/ 3√
2 em x =√
3, p. deinflexao (±3,±3/2), (0, 0), assıntotas x = ±1; o. ymax = 1/e em x = 1, p. de inflexao (2, 2/e2),assıntota y = 0; p. p. de inflexao (−3a, 10a/e3), (−a, 2a/e), assıntota y = 0; q. ymax = e2 emx = 4, p. de inflexao ((8 ± 2
√2)/2, e3/2), assıntota y = 0; r. domınio (0,∞), ymax = 0, 74 em
x = e2, p. de inflexao (e8/3; 0, 7), assıntotas x = 0, y = 0; s. domınio (0, 1) ∪ (1,∞), ymin = e emx = e, p. de inflexao (e2, e2/2), assıntota x = 0, y → 0 quando x→ 0; t. assıntotas y = 0 (direita)e y = −x (esquerda); u. domınio (−1, 1), p. de inflexao (0, 0), assıntotas x = ±1; v. ymin = 0em x = 0, assıntotas y = (πx/2)− 1 (direita) e y = −(πx/2)− 1 (esquerda); w. ymax = 3π/2− 1em x = −1, ymin = 1 + π/2 em x = 1 p. de inflexao (0, π), assıntotas y = x + 2π (esquerda)e y = x (direita); x. p. de inflexao (0, 5; 1, 59), assıntotas y ≈ 0, 21 (esquerda) e y ≈ 4, 81(direita); y. domınio (0,∞), assıntota y ≈ 1, 57, y → −π/2 quando x → 0; z. domınio (0,∞),ymin = (1/e)1/e ≈ 0, 69 em x = 1/e ≈ 0, 37, y → 1 quando x→ 0+.
8. a. quadrado; b.3√
2 × 3√
2 × 13√
4m; c. φ = 2π
√2/3; d. 20 × 30 cm; e. em duas metades
iguais; f. 37 quartos; g. 20 km/h; h. 4√
2 m; i. b se b < 12 ;√b− 1
4 se b > 12 ; j. R = r.
20
5. Integral Indefinida
1. Ache o incremento ∆y e a diferencial dy da funcao y = 5x+ x2 para x = 2 e ∆x = 0, 001.
2. A area de um quadrado com o lado x e dada pela funcao S = x2. Ache o icremento e a diferencialdesta funcao e de uma interpretacao geometrica deles.
3. Ache a diferencial da funcao para x e ∆x dados
(a) y = cosx, x =π
6, ∆x =
π
36
(b) y =2√x
, x = 9, ∆x = −0, 01
(c) y = tanx, x =π
3, ∆x =
π
180
4. Ache dy em termos de x e dx
(a) y =1
xm(b) y =
x
1− x(c) y = arcsen
x
a(d) y = arctan
x
a
5. Use as regras basicas de antidiferenciacao para calcular as integrais indefenidas
(a)
∫5a2x6 dx
(b)
∫(6x2 + 8x+ 3) dx
(c)
∫x(x+ a)(x+ b) dx
(d)
∫(a+ bx3)2 dx
(e)
∫ √2px dx
(f)
∫dxn√x
(g)
∫(nx)(1−n)/n dx
(h)
∫(a2/3 − x2/3)3 dx
(i)
∫(√x+ 1)(x−
√x+ 1) dx
(j)
∫(x2 + 1)(x2 − 2)
3√x2
dx
(k)
∫(xm − xn)2
√x
dx
(l)
∫(√a−√x)4
√ax
dx
(m)
∫dx
x2 + 7
(n)
∫dx√
8− x2
(o)
∫tan2 x dx
(p)
∫cot2 x dx
(q)
∫x2
x2 + 2dx
6. Calcule as integrais usando mudanca de variavel
(a)
∫b dy√1− y
(b)
∫ √a− bx dx
(c)
∫x√
x2 + 1dx
(d)
∫dx
3x2 + 5
(e)
∫dx√
7− 5x2
(f)
∫x dx√a4 − x4
(g)
∫x2
1 + x6dx
(h)
∫ √arcsenx
1− x2dx
(i)
∫arctan x
2
4 + x2dx
(j)
∫sen (a+ bx) dx
(k)
∫cos
x√2dx
(l)
∫(cos ax+ sen ax)2 dx
(m)
∫cos√x · dx√
x
(n)
∫sec2(ax+ b) dx
(o)
∫cot2 ax dx
(p)
∫x dx
cos2(x2)
(q)
∫xsen (1− x2) dx
(r)
∫cos
x
asen
x
adx
(s)
∫sen 36x cos 6x dx
(t)
∫cos ax
sen 5axdx
(u)
∫senx cosx√
cos2 x− sen 2xdx
21
(v)
∫ √1 + 3 cos2 x sen 2x dx
(w)
∫tan3 x
3sec2 x
3dx
(x)
∫ √tanx
cos2 xdx
(y)
∫cot2/3 x
sen 2xdx
(z)
∫1 + sen 3x
cos2 3xdx
7. Calcule as integrais
(a)
∫x
5√
5− x2 dx
(b)
∫x3
x8 + 5dx
(c)
∫ (2 +
x
2x2 + 1
)dx
2x2 + 1
(d)
∫x2
3√x3 + 1
dx
(e)
∫x dx√1− x4
(f)
∫sen 2x
2dx
(g)
∫sec2 x dx√4− tan2 x
(h)
∫5− 3x√4− 3x2
dx
(i)
∫dx
(a+ b) + (a− b)x2
(0 < b < a)
(j)
∫sen
(2πt
T+ ϕ0
)dt
(k)
∫senx cosx√2− sen 4x
dx
(l)
∫dx
sen 2x cos2 x
(m)
∫arcsenx+ x√
1− x2dx
(n)
∫dx
1 + cos2 x
(o)
∫x2dx√1− x2
(x = sen t)
(p)
∫x3dx√2− x2
(x =√
2sen t)
(q)
∫dx
x√x2 − 1
(x = 1/t)
8. Calcule as integrais usando a formula∫u′(x)
u(x)dx =
∫d(u(x))
u(x)= lnu(x) + C
(a)
∫a dx
a− x
(b)
∫2x+ 3
2x+ 1dx,
(use 2x+32x+1 = 1 + 2
2x+1)
(c)
∫1− 3x
3 + 2xdx
(d)
∫xdx
a+ bx
(e)
∫ax+ b
αx+ βdx
(f)
∫x2 + 1
x− 1dx
(g)
∫x2 + 5x+ 7
x+ 3dx
(h)
∫x4 + x2 + 1
x− 1dx
(i)
∫ (a+
b
x− a
)2
dx
(j)
∫x
(x+ 1)2dx
(use xdx = 12d(x2 + 1))
(k)
∫ √x+ lnx
xdx
(l)
∫x3
a2 − x2dx
(m)
∫x2 − 5x+ 6
x2 + 4dx
(n)
∫3− 2x
5x2 + 7dx
(o)
∫xdx
x2 − 5
(p)
∫xdx
2x2 + 3
(q)
∫ax+ b
a2x2 + b2dx
(r)
∫x−√
arctan 2x
1 + 4x2dx
(s)
∫sen (lg x)
dx
x
9. Calcule as integrais de funcoes exponenciais
(a)
∫3xex dx
(b)
∫ae−mx dx
(c)
∫42−3x dx
(d)
∫(et − e−t) dt
(e)
∫(ex/a + e−x/a)2dx
(f)
∫(ax − bx)2
axbxdx
(g)
∫a2x − 1√
axdx
22
(h)
∫x e−(x2+1) dx
(i)
∫x · 7x2 dx
(j)
∫e1/x
x2dx
(k)
∫5√x dx√
x
(l)
∫ex
ex − 1dx
(m)
∫ex√a− bex dx
(n)
∫(ex/a + 1)1/3ex/a dx
(o)
∫dx
2x + 3(use 1
2x+3 = 13
(1− 2x
2x+3
))
(p)
∫ax dx
1 + a2x
(q)
∫et dt√1− e2t
(r)
∫(2 senh 5x− 3 cosh 5x) dx
(s)
∫senh 2x dx
(t)
∫tanhx dx
(u)
∫cothx dx
(v)
∫x2 cosh (x3 + 3) dx
(w)
∫3 tanhx
cosh 2xdx
(x)
∫dx√ex − 1
(use u =√ex − 1)
(y)
∫e2x
√ex + 1
dx
10. Calcule usando integracao por partes
(a)
∫arcsenx dx
(b)
∫x cos 3x dx
(c)
∫x
exdx
(d)
∫x · 2−x dx
(e)
∫x2e3x dx
(f)
∫xsenx cosx dx
(g)
∫x2 lnx dx
(h)
∫ln2 x dx
(i)
∫lnx
x3dx
(j)
∫lnx√xdx
(k)
∫x arctanx dx
(l)
∫ln(x+
√1 + x2) dx
(m)
∫eaxsen bx dx
(n)
∫sen (lnx) dx
11. Calcule integrais completando quadrado
(a)
∫dx
x2 + 2x+ 5
(b)
∫dx
x2 + 2x
(c)
∫dx
3x2 − x+ 1
(d)
∫xdx
x2 − 7x+ 13
(e)
∫3x− 2
x2 − 4x+ 5dx
(f)
∫(x− 1)2
x2 + 3x+ 4dx
(g)
∫x2dx
x2 − 6x+ 10
(h)
∫xdx
x4 − 2x2 − 1
12. Calcule integrais pelo metodo de fracoes parciais
(a)
∫2x+ 3
(x− 2)(x+ 5)dx
(b)
∫x dx
(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)
(c)
∫x3 + 1
x3 − 5x2 + 6xdx
(d)
∫x2 + 1
(x+ 1)2(x− 1)dx
(e)
∫x dx
(x− 1)2(x2 + 2x+ 2)
(f)
∫x4 dx
x4 − 1
13. Calcule integrais trigonometricas
23
(a)
∫cos3 x dx
(b)
∫sen 2x cos3 x dx
(c)
∫sen 3x
2cos5 x
2dx
(d)
∫sen 4x dx
(e)
∫sen 2x cos2 x dx
(f)
∫sen 10xsen 15x dx
(g)
∫cos
x
2cos
x
3dx
(h)
∫cosx cos 2x cos 3x dx
(i)
∫dx
3 + 5 cosx
(j)
∫cosx dx
1 + cosx
(k)
∫dx
cosx+ 2 cosx+ 3
(l)
∫1 + tanx
1− tanxdx
(m)
∫dx
3sen 2x+ 5 cos2 x
(divida o numerador edenominador por cos2 x)
(n)
∫sen 2x dx
1 + sen 2x
Para calcular as integrais do tipo∫senmx cosnx dx,
∫senmxsennx dx,
∫cosmx cosnx dx
use as formulas
senmx cosnx =1
2(sen (m+ n)x+ sen (m− n)x)
senmxsennx =1
2(cos(m− n)x− cos(m+ n)x)
cosmx cosnx =1
2(cos(m− n)x+ cos(m+ n)x)
Para calcular as integrais do tipo ∫R(senmx, cosnx) dx
onde R e uma funcao racional, use a substituicao
tanx
2= t, dx =
2dt
1 + t2, senx =
2t
1 + t2, cosx =
1− t2
1 + t2
Se R(−senmx,− cosnx) = R(senmx, cosnx), a substituicao mais facil e
tanx = t, dx =dt
1 + t2, senx =
t√1 + t2
, cosx =1√
1 + t2
Respostas (as constantes de integracao C estao omitidas)
1. ∆y = 0, 009001, dy = 0, 009
2. ∆S = 2x∆x+ ∆x2, dS = 2x∆x
3. a. −π/72 b. 1/2700 c. π/45
4. a. − m
xm+1dx b.
dx
(1− x)2c.
dx√a2 − x2
d.a dx
a2 + x2
24
5. a.5
7a2x7 b. 2x3 + 4x2 + 3x c.
x4
4+ (a + b)
x3
3+ ab
x2
2d. a2x +
ab
2x4 +
b2
7x7 e.
2x
3
√2px
f.nx(n−1)/n
n− 1g. n√nx h. a2x− 9
5a4/3x5/3 +
9
7a2/3x7/3− 1
3x3 i.
2
5x2√x+x j.
3
13x4 3√x− 3
7x2 3√x−
6 3√x k.
2x2m√x4m+ 1
+2x2n√x4n+ 1
− 4xm+n√x2m+ 2n+ 1
l. 2a√ax−4ax+4x
√ax−2x2+
2x3
5√ax
m.1√7
arctanx√7
n. arcsenx
2√
2o. tanx− x p. − cotx− x q. x−
√2 arctan
x√2
6. a. −2b√
1− y b. − 2
3b
√(a− bx)3 c.
√x2 + 1 d.
1√15
arctan
(x
√3
5
)e.
1√5
arctan
(x
√5
7
)
f.1
2arcsen
x2
a2g.
1
3arctanx3 h.
2
3
√(arcsenx)3 i.
1
4
(arctan
x
2
)2
j.−1
bcos(a+bx) k.
√2 sen
x√2
l. x − 1
2acos 2ax m. 2sen
√x n.
1
atan(ax + b) o. −cot ax
a− x p.
1
2tan2 x q.
1
2cos(1 − x2)
r.a
2sen 2x
as.
sen 46x
24t. − 1
4a sen 4axu. −1
2
√cos 2x v. −2
9
√(1 + 3 cos2 x)3 w.
3
4tan4 x
3
x.2
3
√tan3 x y. −3
5cot5/3 x z.
1
3
(tan 3x+
1
cos 3x
)
7. a. − 5
125
√(5− x2)6 b.
1
4√
5arctan
x4
√5
c.√
2 arctan(√
2x)− 1
4(2x2 + 1)d.
1
23
√(x3 + 1)2
e.1
2arcsen (x2) f.
x
2− senx
2g. arcsen
(1
2tanx
)h.
5√3
arcsen
(√3x
2
)+√
4− 3x2
i.1√
a2 − b2arctan
x√a− ba+ b
j. − T
2πcos
(2πt
T+ ϕ0
)k.
1
2arcsen
(sen 2x√
2
)l. −2 cot 2x
m.1
2(arcsenx)2−
√1− x2 n.
1√2
arctan
(tanx√
2
)o.
1
2arcsenx− 1
2x√
1− x2 p. −1
3
√2− x2(4+
x2) q. arccos1
xse x > 0, arccos
(−1
x
)se x < 0
8. a. a ln
∣∣∣∣ c
a− x
∣∣∣∣ b. x+ln |2x+1| c.−3
2x+
11
4ln |2x+3| d.
x
b− ab2
ln |a+bx| e.a
αx+
bα− aβα2
ln |αx+
β| f.x2
2+ x+ 2 ln |x− 1| g.
x2
2+ 2x+ ln |x+ 3| h.
x4
4+x3
3+ x2 + 2x+ 3 ln |x− 1| i. a2x+
2ab ln |x − a| − b2
x− aj. ln |x + 1| + 1
x+ 1k. 2√x +
1
2ln2 x l. −x
2
2− a2
2ln |x2 − a2| m. x −
5
2ln(x2 + 4) + arctan
x
2n.
3√35
arctanx
√5
7− 1
5ln(5x2 + 7) o.
1
2ln |x2 − 5| p.
1
4ln(2x2 + 3)
q.1
2aln(a2x2 + b2) +
1
barctan
ax
br.
1
8ln(1 + 4x2)− 1
3
√(arctan 2x)3 s. − ln 10 · cos(lg x)
9. a.3xex
ln 3 + 1b.− a
me−mx c.− 1
3 ln 442−3x d. et+e−t e.
a
2e2x/a−a
2e−2x/a+2x f.
1
ln a− ln b
(ax
bx−
bx
ax
)−2x g.
2
ln a
(1
3a3x/2 + a−x/2
)h.− 1
2ex2+1i.
1
2 ln 77x
2j.−e1/x k.
2
ln 55√x l. ln |ex−1|
m. − 2
3b
√(a− bex)3 n.
3a
4(ex/a + 1)4/3 o.
x
3− 1
3 ln 2ln(2x + 3) p.
1
ln aarctan ax q. arcsen et
r.2
5cosh 5x − 3
5senh 5x s.
1
4senh 2x − x
2t. ln coshx u. ln | senhx| v.
1
3senh (x3 + 3)
w.1
lnx3 tanhx x. 2 arctan
√ex − 1 y.
2
3(ex − 2)
√ex + 1
25
10. a. xarcsenx +√
1− x2 b.xsen 3x
3+
cos 3x
9c. −x+ 1
exd. −x ln 2 + 1
2x ln2 2e.e3x
27(9x2 − 6x + 2)
f. −x cos 2x
4+
sen 2x
8g.x3
3lnx− x
3
9h. x ln2 x−2x lnx+x i. − lnx
2x2− 1
4x2j. 2√x lnx−4
√x
k.x2 + 1
2arctanx−x
2l. x ln(x+
√1 + x2)−
√1 + x2 m.
eax
a2 + b2(asen bx−b cos bx) n.
x
2
(sen (lnx)−
cos(lnx))
11. a.1
2arctan
x+ 1
2b.
1
2ln
∣∣∣∣ x
x+ 2
∣∣∣∣ c.2√11
arctan6x− 1√
11d.
1
2ln(x2−7x+13)+
7√3
arctan2x− 7√
3
e.3
2ln(x2−4x+15)+4 arctan(x−2) f. x− 5
2ln(x2 +3x+4)+
9√7
arctan2x+ 3√
7g. x+3 ln(x2−
6x+ 10) + 8 arctan(x− 3) h.1
4√
2ln
∣∣∣∣∣x2 − (√
2 + 1)
x2 + (√
2− 1)
∣∣∣∣∣12. a. ln |x − 2| + ln |x + 5| b.
1
2ln
∣∣∣∣∣ (x+ 2)4
(x+ 1)(x+ 3)3
∣∣∣∣∣ c. x +1
6ln |x| − 9
2ln |x − 2| + 28
3ln |x − 3|
d.1
x+ 1+
1
2ln |x2−1| e. − 1
5(x− 1)+
1
50ln
(x− 12)2
x2 + 2x+ 2− 7
25arctan(x+1) f. x+
1
4ln
∣∣∣∣x− 1
x+ 1
∣∣∣∣−1
2arctanx
13. a. senx − 1
3sen 3x b.
sen 3x
3− sen 5x
5c. −1
3cos6 x
2+
1
4cos8 x
2d.
3
8x − 1
4sen 2x +
1
32sen 4x
e.x
8− 1
32sen 4x f. −sen 25x
50+
sen 5x
10g.
3
5sen
5x
6+ 3sen
x
6h.
x
4+
sen 2x
8+
sen 4x
16+
sen 6x
24
i.1
4ln
∣∣∣∣∣2 + tan x2
2− tan x2
∣∣∣∣∣ j. x− 2 tanx
2k. arctan
(1 + tan
x
2
)l. − ln | cosx− senx|
m.1√15
arctan
(√3
5tanx
)n. ln(1 + sen 2x)
26
6. Integral Definida
1. Expresse em notacao de somacao
(a) 1 + 5 + 9 + 13 + 17
(b) 2 + 5 + 8 + 11 + 14
(c)1
2+
2
5+
3
8+
4
11(d)
1
4+
2
9+
3
14+
4
19
(e) 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + 37
2. Obtenha as formulas a seguir usando a propriedade telescopica do somatorio
n∑k=1
(ak − ak−1) = an − a0
(a)n∑k=1
k =n2
2+n
2(sugestao : k2 − (k − 1)2 = 2k − 1)
(b)n∑k=1
k2 =n3
3+n2
2+n
6(sugestao : k3 − (k − 1)3 = 3k2 − 3k + 1)
(c)n∑k=1
k3 =n4
4+n3
2+n2
4(sugestao : k4 − (k − 1)4 = 4k3 − 6k2 + 4k − 1)
3. Expresse a soma em termos de n
(a)n∑k=1
(k2 + 3k + 5) (b)n∑k=0
(3k2 − 2k + 1) (c)n∑k=3
(k3 + 2k2 − k + 4)
4. Calcule as integrais definidas diretamente da definicao
(a)
∫ b
ax2 dx
(b)
∫ b
ax3 dx
(c)
∫ b
asenx dx, sugestao : multiplique a soma de Riemann por
sen (∆x/2)
sen (∆x/2)e use a formula
senAsenB =1
2cos(A−B)− 1
2cos(A+B)
(d)
∫ b
acosx dx
5. Sem calcular as integrais, determine qual delas e maior
(a)
1∫0
x dx ,
1∫0
dx
(b)
2∫1
x2 dx ,
2∫1
x dx
(c)
1∫0
x5 dx ,
1∫0
x6 dx
(d)
π/2∫0
sen 10x dx ,
π/2∫0
sen 2x dx
27
(e)
1∫0
√1 + x2 dx ,
1∫0
x dx (f)
1∫0
x2 sen 2x dx ,
1∫0
x sen 2x dx
6. Calcule o valor medio da funcao no intervalo indicado
(a) x2 + 1 em [1; 4]
(b) |x| em [−1; 1]
(c) 10 + 2 senx+ 3 cosx em [0; 2π]
(d) senx sen (x+ ϕ) em [0; 2π]
7. Calcule as derivadas das funcoes
(a) F (x) =
x∫1
sen t
tdt (b) F (x) =
0∫x
√1 + t4 dt (c) F (x) =
√x∫
1/x
cos(t2) dt
8. Calcule as integrais definidas usando o teorema fundamental do calculo
(a)
8∫−1
3√x dx
(b)
π∫0
senx dx
(c)
√3∫
1/√
3
dx
1 + x2
(d)
1/2∫−1/2
dx√1− x2
(e)
2∫0
|1− x| dx
(f)
1∫−1
tan3 x dx
(g)
2∫1
(x2 − 2x+ 3) dx
(h)
8∫0
(√
2x+ 3√x) dx
(i)
4∫1
1 +√y
y2dy
(j)
1∫0
coshx dx
(k)
ln 3∫ln 2
dx
cosh 2x
(l)
π∫0
senh 2x dx
9. Calcule as integrais fazendo mudanca de variavel
(a)
6∫2
√x− 2 dx
(b)
−3∫0
dx√25 + 3x
(c)
1∫0
z3
z8 + 1dz
(d)
1∫−1
x dx√5− 4x
(e)
1∫0
arcsen√x√
x(1− x)dx
(f)
1∫0
x(2− x2)12 dx
(g)
2∫1
x 3√
1− x dx
(h)
1∫0
x15√
1 + 3x8 dx
(i)
e2∫e
dx
x lnx
(j)
e∫1
sen (lnx)
xdx
(k)
1∫0
ex
1 + e2xdx
10. Calcule usando integracao por partes
28
(a)
π/2∫0
x cosx dx
(b)
e∫1
lnx dx
(c)
1∫0
x3e2x dx
(d)
π∫0
exsenx dx
(e)
∞∫0
xe−x dx
(f)
∞∫0
e−ax cos bx dx, a > 0
11. Calcule a area delimitada pelos graficos das equacoes
(a) y = 4x− x2, eixo OX
(b) y = x(x− 1)(x− 2), eixo OX
(c) y3 = x, y = 1, x = 8
(d) metade do perıodo de y = senx,eixo OX
(e) y = x3, y = 8, eixo OY
(f) y2 = 2px, x2 = 2py
(g) y = 2x− x2, y = −x
(h) y = 3− 2x, y = x2
(i) y = x2, y = x2/2, y = 2x
(j) y =x3
3, y = 4− 2
3x2
(k) y =1
1 + x2, y =
x2
2
(l) x2 + y2 = 8, y2 = 2x
12. Calcule o comprimento da curva dada pela equacao
(a) y = x3/2, 0 < x < 4/3
(b) y =x3
6+
1
2x, 1 < x < 3
(c) y = a coshx
a, do vertice (0; a) a (b;h)
(d) x = ln sec y, de y = 0 a y =π
3
13. Determine a area da superfıcie do solido indicado
(a) Um cone circular reto de altura h e raio da base r.
(b) Um segmento esferico de altura h em uma esfera de raio R.
(c) A superfıcie gerada pela revolucao da curva y = a coshx
a, 0 ≤ x ≤ a em torno do eixo x.
14. Ache o volume de cada solido
(a) Um tetraedro com tres faces mutuamente perpendiculares e tres arestas mutuamente perpen-diculares de comprimentos a, b, c.
(b) Um sotao de base retangular com os lados de comprimentos A e B, com aresta superior decomprimento C e altura H.
(c) Um trapezoide de bases paralelas retangulares. A base inferior tem os lados de comprimentosA e B, a base superior tem os lados de comprimentos a e b, e a altura do trapezoide e H.
15. Determine o volume do solido gerado pela rotacao da regiao limitada pelas curvas dadas em tornodo eixo OX.
(a) y = b
(x
a
)2/3
, 0 < x < a
(b) y = senx, y = 0, 0 < x < π
(c) y = x2, y = |x|
(d) x2 + (y − b)2 = a2 (um toro)
16. Uma esfera de raio R esta preenchida com agua ate uma altura h. Calcule o volume da agua.
29
17. Calcule a pressao da agua nas superfıcies indicadas
(a) Um triangulo vertical com base b e altura h. A base esta na superfıcie da agua, com o verticepara baixo.
(b) Uma barragem com a forma de um trapezio. A base superior e a , a base inferior e b e aaltura e h
(c) Um cone circular vertical com base de raio R e altura H. A base esta na superfıcie da agua.
18. Determine quantidade de calor gerado por uma corrente eletrica I = I0sen2π
Tt durante um perıodo
T em fio com resistencia R.
Respostas
1. a.5∑
k=1
(4k − 3) b.5∑
n=1
(3n− 1) c.4∑
k=1
k
3k − 1d.
4∑k=1
k
5k − 1e.
6∑k=1
(k2 + 1)
2.
3. a.n3
3+ 2n2 +
20
3n b. n3 +
n2
2+n
2+ 1 c.
n4
4+
7
6n3 +
3
4n2 +
13
3n− 24
4. a.b3 − a3
3b.
b4 − a4
4c. −(cos b− cos a) d. sen b− sen a
5. a. a segunda b. a primeira c. a primeira d. a segunda e. a primeira f. a segunda
6. a. 8 b. 0 c. 10 d. 12 cosϕ
7. a.senx
xb. −
√1 + x4 c.
cosx
2√x
+cos(1/x2)
x2
8. a. 45/4 b. 2 c. π/6 d. π/3 e. 1 f. 0 g. 7/3 h. 100/3 i. 7/4 j. 12
(e− 1
e
)k. 1/5
l. 14 senh 2π − π
2
9. a. 16/3 b. −2/3 c. π/16 d. 1/6 e. π2/4 f. 8191/26 g. −33/28 h. 29/270 i. ln 2j. 1− cos 1 k. arctan e− π
4
10. a.π
2− 1 b. 1 c.
e2 + 3
8d.
1 + eπ
2e. 1 f.
a
a2 + b2
11. a. 32/3 b. 1/2 c. 17/4 d. 2 e. 12 f. 4p2/3 g. 9/2 h. 32/3 i. 4 j. 32/3 k.π
2− 1
3l.
2π +4
3
12. a.56
27b.
14
3c.√h2 − a2 d. ln(2 +
√3)
13. a. πr√r2 + h2 b. 2πRh c.
πa2
2(2 + senh 2)
14. a.1
6abc b.
1
6HA(2B + C) c.
1
2H(2AB +Ab+Ba+ 2ab)
30
15. a.3
7πab2 b.
π2
2c.
4
15π d. 2π2a2b
16. πh2(R− h
3)
17. a.1
6ρgh2b b.
1
6ρgh2(a+ 2b) c.
π
3ρgHR
18. Q = 0, 5TRI20
31