calculo i - derivadas

Sumario

1 Limites de Funcoes 3

2 Derivadas 12.1 Coeficiente angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Definicao de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 A Derivada como funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Derivada de Funcoes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Derivadas de Funcoes Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Novas derivadas a partir de antigas . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Derivadas de Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 162.3.5 Regras da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.6 EXERCICIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.7 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.8 Derivacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.9 Derivadas de Funcoes Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.10 EXERCICIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.11 Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . 282.3.12 LISTA ESPECIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A Funcoes Transcendentes 33A.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B Demonstracoes dos Teoremas 39

1

2 SUMARIO

Capıtulo 1

Limites de Funcoes

3

Capıtulo 2

Derivadas

Esse capıtulo dara ao estudante uma ferramenta muito poderosa: a derivada.Com ela se estuda com ricos detalhes o comportamento de uma funcao; podemosencontrar os intervalos onde a funcao e cresente ou decrescente, intervalos onde suavelocidade de crescimento aumenta ou diminui, pontos de maximo e de mınimo, im-portantıssimos quando se quer otimizar resultados de um problema pratico e muitasoutras informacoes podem ser extraidas da funcao estudada com essa ferramenta.

Para falarmos de derivada, e necessario conhecer o conceito de inclinacao de umareta.

2.1 Coeficiente angular

Definicao 2.1. Sejam (x0, y0) e (x1, y1) dois pontos distintos quaisquer sobre umareta que nao esta na posicao vertical (x0 6= x1). A inclinacao desta reta e dada peladivisao da variacao ∆y = y1 − y0 em y , pela variacao ∆x = x1 − x0 em x.

A inclinacao e dada pelo quociente:∆y∆x = y1−y0

x1−x0

Dizemos que uma reta que esta na posicao vertical possui inclinacao infinita.

1

2 CAPITULO 2. DERIVADAS

Quando a reta esta na posicao horizontal a sua inclinacao e zero.

Definicao 2.2. A funcao f : R → R definida por f(x) = ax + b com a, b ∈ R ea 6= 0 e chamada de Afim.

Exemplo 2.1. Observe os graficos das funcoes f(x) = 2x + 1 e g(x) = −2x + 1 ecalcule a inclinacao de cada reta.

Exemplo 2.2. Observe os graficos das funcoes f(x) = 12x + 1 e g(x) = −1

2x + 1 e

calcule a inclinacao de cada reta.

2.1. COEFICIENTE ANGULAR 3

Independentemente dos pontos escolhidos pelo aluno, para calcular a inclinacaoda reta nos exemplos anteriores, o resultado sempre sera dado pelo coeficiente aencontrado na expressao da funcao afim y = ax + b. Esse coeficiente tambem echamado de coeficiente angular da reta.

Observacao 2.1. Quando b = 0 a funcao Afim recebe o nome de Linear. Quandob = 0 e a = 1 a funcao afim recebe o nome de Identidade.

Exemplo 2.3. Observe os graficos das funcoes f(x) = 4x , g(x) = 14x e h(x) = x

e calcule a inclinacao de cada reta.


Reta secante e reta tangente

Desde o ensino fundamental, o aluno sempre teve contato com as ideias de retatangente e reta secante a uma circunferencia. Veja a figura abaixo:

Qualquer aluno identificaria a reta r como tangente e a reta s como secante acircunferencia, baseando-se nas definicoes dadas a ele ate o momento.O que dizer a respeito das retas r e s abaixo que cortam o grafico da funcao f? Qualreta e tangente? Alguma e secante?

Uma reta, por sı so, nao e secante e nem tangente, essas ideias sao pontuais. Porexemplo, a reta s e secante ao grafico de f nos pontos (a, f(a)) e (c, f(c)), porem se tangente ao grafico de f no ponto (d, f(d)). A reta r toca o grafico em apenas um

2.1. COEFICIENTE ANGULAR 5

ponto, porem nao e tangente ao grafico.

Vejamos abaixo como encontrar a inclinacao de uma reta secante que toca ografico de uma funcao f em dois pontos distintos.

Definicao 2.3. Se y = f(x) esta definida no intervalo [x0, x1], entao o coeficienteangular da reta secante ao grafico de f que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1))e dado por

∆y

∆x=f(x1)− f(x0)

x1 − x0

(2.1)

Este quociente e chamado de taxa media de variacao de y em relacao a x no intervalo[x0, x1]; quando f descreve um movimento retilıneo de um movel este quociente nosda a velocidade media deste movel no intervalo [x0, x1].

A definicao de reta tangente em um ponto do grafico de uma funcao f naopode ser apenas visual, requer um pouco mais de esforco algebrico e a aplicacao doconceito de limite, visto no capıtulo anterior.

Definicao 2.4. Seja f uma funcao definida em x0 e em um intervalo aberto contendox0. O coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f(x) no ponto (x0, f(x0)) edado pelo limite

m = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

(2.2)

desde que o limite exista. Este limite, quando existe, nos da a taxa instantanea devariacao de y = f(x) em x0 ; quando f descreve um movimento retilıneo de ummovel este limite nos da a velocidade instantanea deste movel no instante x0.

A expressao dentro do limite (2.2) nada mais e do que o coeficiente angular deuma reta secante que passa por (x0, f(x0)) e por um outro ponto auxiliar (x, f(x)).Observe que o valor x e variavel e esta proximo de x0 e o limite faz x tender a x0.Estamos entao calculando o coeficiente angular da reta tangente usando os coefi-cientes angulares de retas secantes que possuem o ponto (x0, f(x0)) em comum.


Uma maneira mais pratica para escrever e calcular o limite (2.2) pode ser encon-trada realizando a seguinte substituicao: h = x− x0

O novo limite sera entao:

m = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Observacao 2.2. Dada uma funcao f e um ponto (x0, f(x0)) de seu grafico, se olimite

m = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

existir, entao existe uma reta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) e suaequacao e: y − y0 = m(x− x0)

2.2 Definicao de derivada

Definicao 2.5. Seja f uma funcao definida em a e em um intervalo aberto contendoa. Se o limite

limh→0

f(a+ h)− f(x)

h(2.3)

existir, ele sera sera chamado de ”a derivada de f em a ”e sera denotado por f ′(a).

Como visto anteriormente, f ′(a) nos da o coeficiente angular da reta tangenteao grafico de f no ponto (a, f(a)).

2.2. DEFINICAO DE DERIVADA 7

Exemplo 2.4. Calculando a derivada no pontoEncontre a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x2 + 1 no ponto(1, f(1)).

SOLUCAO:Aplicando o limite (2.3) tem-se:

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

limh→0

f(1 + h)− f(1)

h

limh→0

[(1 + h)2 + 1]− [12 + 1]

h

limh→0

1 + 2h+ h2 + 1− 2

h

limh→0

2h+ h2

h

limh→0

h(2 + h)

hlimh→0

2 + h = 2

Logo, f ′(1) = 2.

x

y

01

ƒ ƒ’

Sabendo que f ′(1) = 2 e o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f noponto (1, f(1)) e substituindo o ponto e a inclinacao na equacao geral da reta temos:

y − y0 = m(x− x0)y − 2 = 2(x− 1)

y = 2x

A equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (1, 2) e entao : y = 2x. Observeo grafico acima.

2.2.1 A Derivada como funcao

Definicao 2.6. A derivada de uma funcao f em relacao a variavel x e a funcao f ′

cuja expressao para x e

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h(2.4)

e cujo domınio e formado pelos valores x do domınio de f , para os quais o limiteexiste.

Observacao 2.3. Os pontos onde a funcao f ′ esta definida sao os pontos onde f ederivavel ou diferenciavel.


Observacao 2.4. Outros sımbolos para representar a funcao derivada de y = f(x)sao:

f ′ = dfdx

= y′ = dydx

= Dxf

Exemplo 2.5. Aplicacao da definicao de derivada(a) Determine a derivada da funcao f(x) = x2 − 2x;(b) Esboce o grafico de f e f ′.(c) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (−1, f(−1)).

SOLUCAO:(a)Observe primeiro que o domınio de f e R. Aplicando o limite (2.4), temos:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

[(x+ h)2 − 2(x+ h)]− [x2 − 2x]

h

= limh→0

(x2 + 2xh+ h2 − 2x− 2h− x2 + 2x

h

= limh→0

(2xh+ h2 − 2h

h

= limh→0

h(2x+ h− 2)

h= lim

h→0(2x+ h− 2)

f ′(x) = 2x− 2

O domınio de f ′ e entao R tambem.(b) Vejamos nas figuras abaixo, os graficos de f e f ′.

x

y

0 2

x

y

-2

1

ƒƒ’

Podemos observar que quando f ′(x) = 0, ou seja, para x = 1, a funcao f possuiuma tangente horizontal.(c)O coeficiente angular da reta tangente e f ′(−1) = 2(−1) − 2 = −4 e a equacaoy − 3 = −4(x+ 1).

2.2. DEFINICAO DE DERIVADA 9

Veja o grafico de f e da reta tangente.

Exemplo 2.6. Prove que a funcao f(x) = |x| nao e derivavel em x = 0.

Lembramdo a definicao de modulo temos:

f(x) = |x| ={x, x ≥ 0−x, x < 0

Vamos provar que o limite limh→0|x+h|−|x|

hnao existe para x = 0.

limh→0

|x+ h| − |x|h

= limh→0

|0 + h| − |0|h

= limh→0

|h|h

Como

limh→0+

|h|h

= limh→0+

h

h= lim

h→0+1 = 1

e

limh→0−

|h|h

= limh→0−

−hh

= limh→0−

−1 = −1

os limites laterais sao diferentes, logo o limite nao existe, e se o limite nao existe, afuncao nao e derivavel em x = 0.


2.3 Regras de Derivacao

Usando a definicao ??, vejamos como as derivadas de algumas funcoes se com-portam.

2.3.1 Derivada de Funcoes Constantes

Seja f(x) = c, com c ∈ R.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

c− ch

= limh→0

0

f ′(x) = 0

Assim, podemos definir a regra.

Teorema 2.1. Derivada de uma Funcao Constante

d

dxc = 0

2.3.2 Derivadas de Funcoes Potencias

Tomemos a mais simples das funcoes potencias, f(x) = x, aplicando a definicaode derivada temos:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

x+ h− xh

= limh→0

h

h= lim

h→01

f ′(x) = 1

Logo, podemos escrever:d

dxx = 1

Tomemos agora a funcao potencia f(x) = x3, aplicando a definicao de derivada

2.3. REGRAS DE DERIVACAO 11

a essa funcao temos:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)3 − x3

h

= limh→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h

= limh→0

3x2h+ 3xh2 + h3

h

= limh→0

h(3x2 + 3xh+ h2)

h= lim

h→03x2 + 3xh+ h2

f ′(x) = 3x2

Logo, podemos escrever:

d

dxx3 = 3x2

Aplicando a definicao, observamos que

d

dxx2 = 2x ,

d

dxx4 = 4x3 e

d

dxx5 = 5x4,

e ainda,d

dxx1 = 1x0.

Teorema 2.2. Derivada de uma Funcao Potencia Inteira (ou Regra da Potencia)

d

dxxn = nxn−1, n ∈ N

Vejamos a demostracao desse resultado.Demonstracao:Seja a funcao f(x) = xn, com n ∈ N. Pela definicao ?? temos:

d

dx(xn) = f ′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

f ′(x) = limh→0

(x+ h)n − xn

h

Para conclusao da resolucao, deveremos desenvolver o termo (x + h)n e para isso


aplicaremos o Teorema Binomial 1 e entao

f ′(x) = limh→0

[xn + nxn−1h+

n(n− 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

]− xn

h

= limh→0

nxn−1h+n(n− 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

h

= limh→0

[nxn−1 +

n(n− 1)

2xn−2h+ · · ·+ · · ·+ nxhn−2 + hn−1

]f ′(x) = nxn−1

Aplicando o limite para h→ 0, todos os termos, exceto o primeiro, tenderam a zero,ou seja,

d

dxxn = nxn−1, ∀n ∈ N.

Exemplo 2.7. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = x21

(b) g(x) = x160

SOLUCAO:Aplicando a Regra da Potencia temos:(a) f ′(x) = 21 · x21−1 = 21x20

(b) g′(x) = 160 · x160−1 = 160x159

1Teorema Binomial:

(a + b)n = an + nan−1b +n(n− 1)

2an−2b2 + · · ·+

(nk

)an−kbk + · · ·+ nabn−1 + bn, com n ∈ N


Exemplo 2.8. Calcule a derivada da funcao potencia g(x) =√x usando a definicao.

g′(x) = limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

= limh→0

√x+ h−

√x

h

= limh→0

(√x+ h−

√x)(√x+ h+

√x)

h(√x+ h+

√x))

= limh→0

x+ h− xh(√x+ h+

√x)

= limh→0

h

h(√x+ h+

√x)

= limh→0

1√x+ h+

√x

=1√

x+√x

g′(x) =1

2√x

Logo, podemos escrever:d

dx

√x =

1

2√x

Verificando os limites das funcoes f(x) =1

xe g(x) =

√x, temos

d

dx

(1

x

)= − 1

x2e

d

dx

√x =

1

2√x

que podem ser reescritas da forma

d

dxx−1 = −1x−2 e

d

dxx1/2 =

1

2x−1/2.

Assim, para n = −1 e n =1

2, a Regra da Potencia e valida. De fato, a Regra da

Potencia vale para n ∈ R, a qual sera verificada mais a frente.


Teorema 2.3. Regra da Potencia (caso geral)

d

dxxn = nxn−1, n ∈ R

Exemplo 2.9. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = 3

√x

(b) g(x) = 1x2

(c) h(x) = xπ+1

SOLUCAO:(a) Como f(x) = 3

√x = x1/3, aplicando a regra da potencia temos:

f ′(x) =1

3· x

13−1 =

1

3x−23 =

1

33√x2

(b)Como g(x) = 1x2 = x−2, aplicando a regra da potencia temos:

g′(x) = −2 · x−2−1 = −2x−3 =−2

x3

(c) h′(x) = (π + 1) · x(π+1)−1 = (π + 1)xπ

2.3.3 Novas derivadas a partir de antigas

Para c ∈ R, f e g funcoes diferenciaveis, os seguintes resultados sao verificados.

Teorema 2.4. Regra do Multiplo Constante

d

dx[cf(x)] = c

d

dxf(x)

Teorema 2.5. Regra da Soma

d

dx[f(x) + g(x)] =

d

dxf(x) +

d

dxg(x)

De maneira analoga, podemos escrever a Regra da Diferenca.

Teorema 2.6. Regra da Diferenca

d

dx[f(x)− g(x)] =

d

dxf(x)− d

dxg(x)

Agora veremos o resultado da derivada do produto de duas funcoes. Sejamf(x) = x2 e g(x) = x3. Com base nos resultados anteriores, podemos conjecturarque, a derivada do produto e o produto das derivadas, ou seja, (fg)′ = f ′g′. Vejamos:

(fg)′(x) = (x2 · x3)′ = (x5)′ = 5x4


ef ′(x)g′(x) = (x2)′ · (x3)′ = 2x · 3x2 = 6x3,

ou seja, (fg)′ 6= f ′g′. Deste modo, Leibniz obteve a expressao para a derivada doproduto dada no teorema abaixo.

Teorema 2.7. Regra do Produto

d

dx[f(x)g(x)] = g(x)

d

dxf(x) + f(x)

d

dxg(x)

Teorema 2.8. Regra do Quociente

d

dx

[f(x)

g(x)

]=g(x)

d

dxf(x)− f(x)

d

dxg(x)

[g(x)]2

Vejamos a demonstracao do Teorema 2.7.Demonstracao:Seja F (x) = f(x)g(x). Aplicando a definicao ?? a funcao F temos:

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

Adicionando e subtraindo a quantidade f(x+ h)g(x) do limite temos:

F ′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)

h

= limh→0

[f(x+ h) · g(x+ h)− g(x)

h+ g(x) · f(x+ h)− f(x)

h

]= lim

h→0f(x+ h) · lim

h→0

g(x+ h)− g(x)

h+ lim

h→0g(x) · lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

F ′(x) = f(x)d

dxg(x) + g(x)

d

dxf(x)

As demais demonstracoes se encontram no Apendice B.

Exemplo 2.10. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = 5x3 + x2 − 3x+ 2

(b) g(x) =x3 − 1

x− 1(c) h(x) = (3x2 − x) · (x− 1)


SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra da Soma e do Multiplo Constante temos:

f ′(x) =d

dx5x3 +

d

dxx2 − d

dx3x+

d

dx2

= 5 · 3x2 + 2x− 3 + 0

f ′(x) = 15x2 + 2x− 3

(b) Aplicando a Regra do Quociente temos:

g′(x) =(x− 1) · d

dx(x3 − 1)− (x3 − 1) · d

dx(x− 1)

(x− 1)2

=(x− 1) · 3x2 − (x3 − 1) · 1

(x− 1)2

=3x3 − 3x2 − x3 + 1

(x− 1)2

g′(x) =2x3 − 3x2 + 1

(x− 1)2

(c) Aplicando a Regra do Produto temos:

h′(x) = (x− 1) · ddx

(3x2 − x) + (3x2 − x) · ddx

(x− 1)

= (x− 1) · (6x− 1) + (3x2 − x) · 1= 6x2 − x− 6x+ 1 + 3x2 − x

h′(x) = 9x2 − 8x+ 1

2.3.4 Derivadas de Funcoes Trigonometricas

Esta secao tem por objetivo obter as expressoes das derivadas das principaisfuncoes trigonometricas.

Alguns resultados obtidos no capıtulo 1 merecem ser relembrados, como porexemplo, o limite trigonometrico fundamental.

Teorema 2.9. Limite trigonometrico fundamental limx→0

sen(x)

x= 1

Desse teorema tiramos o resultado abaixo, util nas demonstracoes mais a frente.

Teorema 2.10.

limx→0

cos(x)− 1

x= 0


Demonstracao:

limx→0

cos(x)− 1

x= lim

x→0

[cos(x)− 1][cos(x) + 1]

x[cos(x) + 1]= lim

x→0

cos2(x)− 1

x[cos(x) + 1]= lim

x→0

sen2(x)

x[cos(x) + 1]=

limx→0

sen(x)

x

sen(x)

[cos(x) + 1]= lim

x→0

sen(x)

xlimx→0

sen(x)

[cos(x) + 1]= [1]

[0

2

]= 0

Exemplo 2.11. Usando o limite trigonometrico fundamental, calcule os limitesabaixo:

(a) limx→0

sen(3x)

x

(b) limx→0

sen(5x)

7x

(c) limx→0

tg(4x)

x

SOLUCAO:

(a) limx→0

sen(3x)

x= lim

x→0

3sen(3x)

3xAplicando agora a substituicao de 3x por θ temos :

limθ→0

3sen(θ)

θ= 3 lim

θ→0

sen(θ)

θ= 3 · 1 = 3

(b) limx→0

sen(5x)

7x= lim

x→0

5

7

sen(5x)

5x=

5

7· 1 =

5

7

(c) limx→0

tg(4x)

x= lim

x→0

sen(4x)

cos(4x)x= lim

x→0

sen(4x)

4x

1

cos(4x)= lim

x→0

sen(4x)

4xlimx→0

1

cos(4x)=

1 · 1 = 1

Seja f(x) = senx, onde x e um arco qualquer medido em radianos. Assim,aplicando a Definicao ?? temos:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

sen(x+ h)− senx

h

Desenvolvendo a expressao do seno da soma de dois arcos,

f ′(x) = limh→0

senx cosh+ cosxsenh− senx

h

= limh→0

[senx cosh− senx

h+

cosxsenh

h

]= lim

h→0

[senx · cosh− 1

h+ cosx · senh

h

]= lim

h→0

[senx · cosh− 1

h

]+ lim

h→0

[cosx · senh

h

]


Como as funcoes senx e cos x nao dependem de h, estas podem sair dos limites;

f ′(x) = senx · limh→0

cosh− 1

h+ cosx · lim

h→0

senh

h

Como ja visto ,

limh→0

cosh− 1

h= 0 e lim

h→0

senh

h= 1,

e assim,

f ′(x) = senx · 0 + cos x · 1f ′(x) = cos x

Analogamente e possıvel mostrarmos que a derivada da funcao cosseno e o oposto

da funcao seno, ou seja,d

dxcosx = −senx, que e deixado como atividade para o

leitor.

Teorema 2.11. Derivadas das Funcoes Trigonometricas

d

dxsenx = cosx

d

dxcossecx = −cossecx · cotgx

d

dxcosx = −senx

d

dxsecx = secx · tgx

d

dxtgx = sec2 x

d

dxcotgx = −cossec2x

A demonstracao deste Teorema, encontra-se no Apendice.

Exemplo 2.12. Determine as derivadas:(a) f(x) =

√x cos(x);

(b) h(x) =sen2x+ cos2 x

tgx;

SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra do Produto temos:

f ′(x) = cos x · ddx

√x+√x · d

dxcosx

= cosx · 1

2√x

+√x · (−senx)

f ′(x) =cosx− 2x · (senx)

2√x

(b) Antes de aplicar a derivada, pode-se reescrever a funcao h por

h(x) =1

tgx


pois sen2x+ cos2 x = 1 (Relacao Fundamental da Trigonometria) e ainda,

h(x) = cotgx,

logo:

h′(x) =d

dxcotgx

h′(x) = −cossec2x

2.3.5 Regras da Cadeia

Ate o presente momento, nao foram apresentadas tecnicas para encontrarmosF ′(x) se F (x) = (2x − 1)100. Abaixo segue uma tecnica para derivacao de funcoescompostas.

Teorema 2.12. Regra da CadeiaSeja f e g funcoes diferenciaveis e F = f ◦ g uma funcao composta definida porF = f(g(x)), entao F e diferenciavel e F ′ e dada por

F ′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

ou pela notacao de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) entao

dy

dx=dy

du· dudx.

Assim, para F (x) = (2x − 1)100, vejamos F ′(x). Podemos pensar na seguintecomposicao F = f ◦ g onde f(x) = x100 e g(x) = 2x − 1. Derivando f e g temosf ′(x) = 100x99 e g′(x) = 2 e pela Regra da Cadeia

F ′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

= 100(2x− 1)99 · 2F ′(x) = 200(2x− 1)99


2.3.6 EXERCICIOS PROPOSTOS

Nos exercıcios de 1 a 3 use a definicao de derivada de uma funcao para calcu-lar f ′ (x0) e determine a equacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto(x0, f (x0)).

1. f(x) =√x+ 4, x0 = 5 2. f(x) =

4

x+ 2, x0 = 0 3. fx) =

1

x, x0 =

1

3

4. Quantas retas tangentes ao grafico de y = x3 + 3x sao paralelas a reta y =6x+ 1? Determine as equacoes dessas tangentes.

5. Considere a funcao f(x) = 1x

e responda as questoes abaixo:

(a) Qual o domınio e a imagem de f ?

(b) Esboce o grafico de f .

(c) Em quais pontos f e contınua?

(d) Calcule f ´(x).

(e) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (2, 1).

(f) Existe uma outra reta que seja tangente ao grafico de f e que seja paralelaa reta do item anterior ? Caso exista, de sua equacao e o seu ponto detangencia.

6. Ache a coordenada x do ponto sobre o grafico de f(x) =√x no qual a reta

tangente e paralela a reta secante que corta a curva quando x = 1 e x = 4.

7. Um projetil e lancado do solo e sua distancia em relacao ao solo apos t segundose dada por

s(t) = 120t− 4, 9t2 metros

(a) Calcule s(0) , s(5) , s(10) e s(20).

(b) Calcule a velocidade media do projetil nos primeiros 10 segundos.

(c) Calcule a velocidade media do projetil nos primeiros 20 segundos.

(d) Calcule a velocidade do projetil para t = 0 , t = 5 , t = 10 e t = 20segundos.

(e) Em que instante o projetil estara mais alto ?

(f) Em que instante o projetil atinge o solo ?

(g) Qual a velocidade do projetil ao atingir o solo ?


Nos exercıcios de 8 a 35 calcule a derivada de cada funcao. (se possıvel,simplifique a funcao e/ou a derivada da funcao)

8. f(x) = (x3 + x+ 10) (x4)

9. f(x) = 2x

+ x2− 2

3x

10. f(x) = 1, 7− 3x

+ 5 7√x

11. f(x) =√

10− 3 secx

12. f(x) = 3x+1

13. f(x) = x+13

14. f(x) = 2x+13−7x

15. f(x) = 10xsecx

16. f(x) = sen (3x)

17. f(x) = sen(

3x

)18. f(x) = 3

xsen (x)

19. f(x) = (x3 + 2x)5

20. f(x) =√

9− 7x

21. f(x) = 3√1+5x

22. f(x) = cosx3x+23x2

23. f(x) = 3x√x

24. f(x) = (x2 + 2x+ 1) tanx

25. f(x) = cos2 x

26. f(x) = cos(x2)

27. f(x) = sen(x2) + sec x

28. f(x) =√x senx

29. f(x) = 5√x+ 3

√7x

30. f(x) = 2x5 secx

31. f(x) = 3 cos2(x) secx

32. f(x) =secx

x3 + 2x+ 3

33. f(x) =x2

x4 + 1

34. f(x) =1

(x2 + 2)2

35. f(x) = |2x− 8|, x 6= 4

36. Dado que f ′(0) = 2 , g(0) = 0 e g′(0) = 3 , ache (f ◦ g)′(0).

37. Dado que f ′(x) =√

3x+ 4 e g(x) = x2 + 1, ache F ′(x) se F (x) = f(g(x)).


Exemplo 2.13. Determine as funcoes derivadas das funcoes abaixo:(a) g(x) = sec(x3 + x2 − x)(b) h(x) = (x3 − 2x)10

SOLUCAO:

(a) Tomando g = s ◦ r onde s(x) = secx e r(x) = x3 + x2 − x, onde s′(x) =secxtgx e r′(x) = 3x2 + 2x− 1, pela Regra da Cadeia temos:

g′(x) = s′(r(x)) · r′(x)

g′(x) = sec(x3 + x2 − x)tg(x3 + x2 − x)(3x2 + 2x− 1)

(b) Tomando h = p ◦ q onde p(x) = x10 e q(x) = x3 − 2x, onde p′(x) = 10x9 eq′(x) = 3x2 − 2, pela Regra da Cadeia temos:

g′(x) = p′(q(x)) · q′(x)

g′(x) = 10(x3 + x2 − x)9(3x2 − 2)

2.3.7 Derivada da Funcao Exponencial

Seja f(x) = ax, a > 0. Aplicando a definicao de derivada 2.6 temos que:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h

= limh→0

ax(ah − 1)

h

Como ax nao depende de h, ele pode sair do limite e entao:

f ′(x) = ax limh→0

ah − 1

h(2.5)

Calculando a derivada f ′ em x = 0, temos:

f ′(0) = limh→0

ah − 1

h

Assim, podemos escrever a equacao 2.5 da forma

f ′(x) = axf ′(0) (2.6)

Como pode ser visto, no Apendice de Funcoes, a funcao f(x) = ex possui como retatangente, a curva y = x + 1, reta com inclinacao m = 1, ou seja, f ′(0) = 1. Assim,podemos definir:


Definicao 2.7. O Numero e e um numero tal que limh→0

eh − 1

h= 1.

Combinando a Definicao 2.7 e a Eq. 2.6, temos:

Teorema 2.13. Derivada da Funcao Exponencial Natural

d

dxex = ex

Exemplo 2.14. Determine as derivadas abaixo:(a) f(x) = ex(x2 − 1)(b) g(x) = (2ex − 3

√x)ex

(c) f(x) = esenx

SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra do Produto temos:

f ′(x) = ex · ddx

(x2 − 1) + (x2 − 1) · ddxex

= ex · 2x+ (x2 − 1) · ex

f ′(x) = (x2 + 2x− 1)ex

(b) Aplicando a Regra do Produto temos:

g′(x) = (2ex − 3√x) · d

dxex + ex · d

dx(2ex − 3

√x)

= (2ex − 3√x) · ex + ex

(2ex − 1

3x−

23

)= ex

(4ex − 3

√x− 1

3x23

)g′(x) = ex

(4ex − 3

√x− 1

33√x2

)(c) Assumindo f = m ◦ n onde m(x) = ex e n(x) = senx, temos que m′(x) = ex

e n′(x) = cos x, daı pela Regra da Cadeia:

f ′(x) = m′(n(x)) · n′(x)

f ′(x) = esenx · cosx

Agora, seja f(x) = ax,∀a > 0. Note que a = eln a e entao f(x) = (eln a)x ⇒f(x) = ex ln a e aplicando a regra da cadeia temos que f ′(x) = ex ln a · ln a, ou seja,f ′(x) = ax · ln a. Logo

Teorema 2.14.d

dxax = ax · ln a


Exemplo 2.15. Determine as derivadas:(a) f(x) = 5x

3+6x2

(b) g(x) = (7x− 7x)9

SOLUCAO:

(a) Tomando f = s ◦ r onde s(x) = 5x e r(x) = x3 + 6x2, onde s′(x) = 5xln(5)e r′(x) = 3x2 + 12x, pela Regra da Cadeia temos:

f ′(x) = s′(r(x)) · r′(x)

f ′(x) = 5x3+6x2

ln(5)(3x2 + 12x)

(b) Tomando g = s ◦ r onde s(x) = x9 e r(x) = 7x − 7x, onde s′(x) = 9x8 er′(x) = 7− 7xln(7), pela Regra da Cadeia temos:

g′(x) = s′(r(x)) · r′(x)

g′(x) = 9(7x− x7)8(7− 7xln(7))

2.3.8 Derivacao Implıcita

Existem funcoes que sao definidas implicitamente por uma relacao entre x e y,ou seja, sao equacoes que em alguns casos podem ser resolvidas, encontrando umaou varias funcoes explicitas de y em x.

Exemplo 2.16. A equacao 3x2 − y + x = 0 define implicitamente y = 3x2 + x , ouseja podemos considerar y como funcao de x.

Exemplo 2.17. A equacao x2 + y2 = 4 pode ser expressa explicitamente pelasfuncoes f(x) =

√4− x2 e g(x) = −

√4− x2.

Nem todas as equacoes que envolvem x e y podem ser resolvidas para y, e algumaso trabalho para isolar y e muito grande, por exemplo a equacao x3 + y3 = 6xy.Nesta secao mostraremos que nao e necessario termos uma funcao explıcita paracalcularmos a sua derivada. Uma funcao definida implictamente por uma equacaopode ser tambem derivada, basta fixar uma das variaveis como dependente e aoutra como independente e assumir que a variavel dependente y seja uma funcaodiferenciavel de x.

A diferenciacao implıcita consiste em diferenciar ambos os membros da equacao


e resolver a equacao para y′, . Vejamos como determinardy

dxpara x2 + y2 = 4.

d

dx(x2 + y2) =

d

dx4

d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

2x+ 2ydy

dx= 0

2ydy

dx= −2x

dy

dx= −2x

2y,

logo,dy

dx= −x

y.

Exemplo 2.18. Determine a equacao da reta tangente a curva y2 = 5x4 − x2,conhecida por kumpyle de Eudoxus, no ponto (1, 2).

SOLUCAO:A curva, nao pode ser expressada por uma unica funcao em x, por isso, aplicaremosderivacao implıcita. Suponha y = f(x) seja uma funcao definida implicitamentepela equacao dada e que seja derivavel. Assim, derivando em relacao a x temos:

d

dx(y2) =

d

dx(5x4 − x2)

2ydy

dx= 20x3 − 2x

dy

dx=

20x3 − 2x

2y

dy

dx=

10x3 − xy

Calculando o valor da derivada para x = 1 temos:

dy

dx

∣∣∣∣x=1

=10(1)3 − (1)

2=

9

2

Logo, a equacao da reta tangente a curva y2 = 5x4 − x2 no ponto (1, 2) e

y − 2 =9

2(x− 1)⇒ y =

9x− 5

2

2.3.9 Derivadas de Funcoes Logarıtmicas

Esta secao apresenta a aplicacao da tecnica de derivacao implıcita para encontrara derivada de funcoes logarıtmicas.


Seja y = loga x para a > 0, a 6= 1 e x > 0, entao

ay = x

que diferenciando implicitamente temos

d

dx(ay) =

d

dxx

ay(ln a)dy

dx= 1

dy

dx=

1

ay(ln a)

dy

dx=

1

x ln a

Assim,d

dx(loga x) =

1

x ln aTomando a = e, y = loga x = lnx e entao

d

dx(lnx) =

1

x

uma vez que ln e = 1.

Exemplo 2.19. Determine as derivadas.(a) y = ln(cos(2x))(a) y = log2(ex + 1)

SOLUCAO:Aplicando a tecnica de derivacao de funcoes logarıtmicas junto com a Regra daCadeia, temos:(a)

y′ =1

cos(2x)· ddx

cos(2x)

=1

cos(2x)· (−sen(2x)) · 2

=−2sen(2x)

cos(2x)

y′ = −2tg(2x)

(b)

y′ =1

(ex + 1) ln 2· ddx

(ex + 1)

=1

(ex + 1) ln 2· ex

y′ =ex

(ex + 1) ln 2


2.3.10 EXERCICIOS PROPOSTOS

1. Mostre atraves da definicao que se f(x) = x2 + 3x− 2 entao f ′(−1) = 1.

2. A partir da definicao, mostre que f ′(x) = 4− 6x se f(x) = 2 + 4x− 3x2.

Nos exercıcios de 3 a 23 calcule a funcao derivada e quando possıvel simplifiqueantes e/ou depois de derivar.

3. f(x) = esenx;

4. m(x) = (x7 − x5 + x3 − x)13 ;

5. g(x) = cos

(x3 − 5

ex

);

6. h(x) =cos2 x− 1

tg2x;

7. k(x) = ex · senx− 1

e−x · secx;

8. z(x) =

(x2 − 4x− 4

x− 2

)100

.

9. f(x) = ecosx;

10. m(x) = (x4 − x3 + x2 − x+ 1)23 ;

11. g(x) = sen

(ex

3x4 − 5

);

12. h(x) =sen2x+ cos2 x

tg2x;

13. k(x) = ex · cosx− 1

e−x · cossecx;

14. z(x) =

(x2 − 4

x− 2

)100

;

15. f(x) = log10 x2;

16. g(x) = ln

(1− cos2 x

senx

);

17. h(x) =x2

lnx;

18. d(x) = ln2(tgx− cotgx);


19. f(x) = log2(x2 − 2);

20. g(x) = ln3( x

senx

);

21. h(x) =x

lnx;

22. k(x) = log2(cosx− senx).

23. Determine a equacao da reta tangente a curva f(x) =ex − 1

2− exquanto x = 0.

24. A funcao y =4

3x3−x2−2x+1 possui tangente horizontal? Se sim, para quais

valores de x?

Nos exercıcios de 25 a 28 aplique uma transformacao logarıtmica e deriveimplicitamente.

25. f(x) = (senx)cosx

26. g(x) = xx2

27. k(x) = (tg2x)x

28. h(x) = xlnx

2.3.11 Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversas

Para determinar as derivadas Funcoes Trigonometricas Inversas, usa-se derivacaoimplıcita.

Seja y = sen−1x que significa seny = x com −π2≤ y ≤ π

2. Diferenciando seny = x

implicitamente temos

d

dx(seny) =

d

dxx

cos ydy

dx= 1

Limitando agora y ao intervalo −π2< y <

π

2temos cos y > 0 logo:

dy

dx=

1

cos y


Pela relacao fundamental da trigonometria,

cos y =√

1− sen2y ⇒ cos y =√

1− x2

edy

dx=

1

cos y=

1√1− x2

.

Logod

dx(sen−1x) =

1√1− x2

Teorema 2.15. Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversasd

dxsen−1x =

1√1− x2

d

dxcossec−1x = − 1

x√x2 − 1

d

dxcos−1 x = − 1√

1− x2

d

dxsec−1 x =

1

x√x2 − 1

d

dxtg−1x =

1

1 + x2

d

dxcotg−1x = − 1

1 + x2

A demonstracao dos demais itens deste teorema e analoga a prova feita acima e edeixada a cargo do leitor.

Exemplo 2.20. Determine as derivadas.(a) y = sen−1(x2)(a) y = tg−1(ex)

SOLUCAO:Aplicando a Regra da Cadeia (diretamente) e o Teorema 2.15 para ambos os itens:(a)

y′ =1√

1− (x2)2· ddxx2

y′ =2x√

1− x4

(b)

y′ =1

1 + (ex)2· ddxex

y′ =ex√

1− e2x


2.3.12 LISTA ESPECIAL

1. Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo que a distancia s(t)percorrida apos t segundos e dada por

s(t) =1

5t2 + 8t

.

(a) Calcule s(0) , s(2) , s(5) e s(10).

(b) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 2 segundos.

(c) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 5 segundos

(d) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 10 segundos.

(e) Calcule a velocidade do atleta para t = 0 .

(f) Calcule a velocidade do atleta no final da pista.

Nos exercıcios de 2 a 8 calcule a derivada de cada funcao. (se possıvel, simpli-fique a funcao e/ou a derivada da funcao)

2. f(x) =(3x + x3 + 3

x+ x

3

)100

3. f(x) = sen(5x+ 2)√x2 + 4

4. f(x) = log3(x)sec(x)

5. f(x) =√

10x− 3 sec(5x)

6. f(x) = 7x+tg(x)x3+1

7. f(x) = ex + 3e2x + ln(5x) + 16x

8. f(x) = 5√

sen(3x+ 20x7)

Admitindo que a equacao determine uma funcao derivavel f tal que y = f(x)calcule y′ nos exercıcos 9 e 10:

9. y = x2sen(y)

10. 2√x+ 6

√y = 400

Usando o limite trigonometrico fundamental, calcule os limites de 11 a 13:

11. limx→0

sen(7x)

3x

12. limx→0

5x

sen(x)

13. limx→0

tg(15x)

sen(x)


Calcule os limites abaixo:

14. limx→0

sen(x)

x− 8

15. limx→7

x− 7

x2 − 49

16. limx→1

x2 − 1

x− 1

17. limx→3

5x

x− 3

18. limx→3

−7x

(x− 3)2

19. limx→+∞

(x3 − x4

)

20. limx→+∞

x2 + 3x− 5000

4x2 − 3

21. limx→+∞

x2 + 8x3

x3 + 20

22. limx→+∞

4x2 + 15000

x3 − 1

23. limx→+∞

x5

400x2 + 3x4 + 700

24. limx→+∞

√x2 − 2x+ 2

x+ 1

25. Determine as equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico da

funcao f(x) =3x2

x2 − 4e faca um esboco do grafico de f .

26. Considere a funcao f(x) = (x+ 2)2 − 4 e responda as questoes abaixo:

(a) Qual o domınio e a imagem de f ?

(b) Esboce o grafico de f .

(c) Em quais pontos f e contınua?

(d) Calcule f ′(x) .

(e) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (1,5).

(f) Existe uma outra reta que seja tangente ao grafico de f e que seja per-pendicular a reta do item anterior ? Caso exista de sua equacao e o seuponto de tangencia.

Apendice A

Funcoes Transcendentes

A.1 Funcao Exponencial

Desde o ensino fundamental temos contato com potencias de expoente natural,inteiros e racionais ensinados nessa ordem segundo a ideia abaixo.

an = a× a× a× ...× a︸︷︷︸nfatores

n ∈ N

a−n = 1an

=(

1a

)na 6= 0 e n ∈ N

amn = n

√am a 6= 0 e m,n ∈ N (se n for par a potencia am deve ser maior

que zero)

Como definir potencias com expoentes irracionais do tipo 2√

2? Uma das maneirase definir a potencia com expoente irracional como o limite de potencias com expoenteracional. Vejamos abaixo a tabela:

x 2x

1,4 21,4

1,41 21,41

1,414 21,414

1,4142 21,4142

A primeira coluna e uma sequencia de numeros racionais que tende ao numeroirracional

√2, a segunda coluna e formada por potencias com expoentes racionais e

tende a 2√

2. E razoavel entao definir 2√

2 como o limite um limite de potencias debase 2 com expoentes racionais tendendo a

√2.

A funcao exponencial aparece naturalmente em muitas aplicacoes, desde descr-ever o crescimento de populacoes de bacterias em um tubo de ensaio ao calculo dejuros em um banco.

33

34 APENDICE A. FUNCOES TRANSCENDENTES

Definicao A.1. Se a > 0 e a 6= 1 , a funcao exponencial de base a e dada porf(x) = ax , seu domınio e R e sua imagem e (0,+∞).

Exemplo A.1. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = 2x

Exemplo A.2. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) =(

12

)x

O numero irracional e = 2, 71828182... e a base mais usada para representar umafuncao exponencial. Esse numero e conhecido como numero de Euler, em homenagenao matematico suıco Leonard Euler e a funcao f(x) = ex e chamada de exponencialnatural e aparece em modelagens de fenomenos naturais e fısicos.

O numero e aparece na construcao do grafico da funcao f(x) =(1 + 1

x

)xcomo

uma assıntota horizontal.

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e e lim

x→−∞

(1 +

1

x

)x= e.

A.1. FUNCAO EXPONENCIAL 35

Outra maneira de representar o numero e e realizar mudanca de variavel noslimites anteriores. Substituindo 1/x por θ temos:

θ =1

x⇒ x =

1

θ

e quando x→ ±∞ temos θ → 0, logo

limθ→0

(1 + θ)1θ = e

Observe abaixo os graficos de f(x) = 2x e g(x) = 3x e de suas tangentes no ponto(0, 1).


A inclinacao da tangente na primeira funcao e menor que 1 enquanto a inclinacaoda tangente na segunda e maior que 1. Pergunta-se: sera que existe alguma funcaoexponencial cuja inclinacao da reta tangente no ponto (0, 1) seja 1?A resposta e: sim existe, e e a funcao f(x) = ex. Veja seu grafico abaixo:

Usando a definicao de derivada no ponto x = 0 temos

f ′(x) = limh→0

f(a+ h)− f(x)

h

f ′(0) limh→0

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0

e0+h − e0

h= lim

h→0

eh − 1

h= 1

Observacao A.1. A funcao exponencial e contınua no seu domınio R

Exemplo A.3. Construa o grafico das funcoes abaixo:

a) F (x) = 32x

b) G(x) = 3x + 2

A.2. FUNCAO LOGARITMICA 37

c) H(x) = −3x + 4d) T (x) = 3x+2 + 5

A.2 Funcao Logarıtmica

Definicao A.2. O logaritmo de x na base b e o numero y tal que by = x e denotadopor logbx , sempre com b > 0 e x > 0. Em outras palavras, logbx = y se e somentese by = x.

Exemplo A.4. log28 = 3, pois 23 = 8

log2(1/4) = −2, pois 2−2 = 1/4

Teorema A.1. (Propriedades dos logaritmos) Sejam b, n,x e y numeros reais taisque b > 0 , x > 0 , y > 0 e b 6= 1.

logb(xy) = logb(x) + logb(y)

logb

(x

y

)= logb(x)− logb(y)

logb(xn) = n · logb(x)

Teorema A.2. (Mudanca de base) Sejam b, a e c numeros reais tais que b > 0 ,a > 0 , c 6= 1 e b 6= 1.

logb(a) =logc(a)

logc(b)

Definicao A.3. Seja b ∈ R, com b > 0 e b 6= 1. Definimos a funcao logarıtmica nabase b por f(x) = logbx , cujo domınio e (0,+∞) e sua imagem e R

Observacao A.2. A funcao f(x) = logbx e a funcao inversa da funcao g(x) = bx ,pois f(g(x)) = x para todo x no domınio de g e g(f(x)) = x para todo x no domıniode f .

Exemplo A.5. log2(2x) = x e 2log2(x) = x

Observacao A.3. A funcao f(x) = log10(x) (base 10) e denotada simplesmentepor f(x) = log(x) . A funcao g(x) = loge(x) (base e) e denotada simplesmentepor g(x) = ln(x) (logaritmo natural).

Observacao A.4. A funcao logarıtmica e contınua em seu domınio (0,+∞).


Exemplo A.6. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = log2(x)

Exemplo A.7. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = log1/2(x)

Exemplo A.8. Construa o grafico das funcoes abaixo:a) f(x) = log2(x)b) g(x) = log2(x+ 3)c) h(x) = log2(x) + 4d) t(x) = 3log2(x)

Apendice B

Demonstracoes dos Teoremas

Teorema B.1. Regra do Multiplo Constante

d

dx[cf(x)] = c

d

dxf(x)

Demonstracao:Sejam c ∈ R, f uma funcao diferenciavel e G(x) = cf(x). Aplicando a definicao ??a funcao G temos:

G′(x) = limh→0

G(x+ h)−G(x)

h

= limh→0

cf(x+ h)− cf(x)

h

= limh→0

c

[f(x+ h)− f(x)

h

]= c lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

hG′(x) = cf ′(x)

Teorema B.2. Regra da Soma

d

dx[f(x) + g(x)] =

d

dxf(x) +

d

dxg(x)

Demonstracao:Seja H uma funcao definida pela soma H(x) = f(x) + g(x). Calculando a derivada

39

40 APENDICE B. DEMONSTRACOES DOS TEOREMAS

de H temos:

H ′(x) = limh→0

H(x+ h)−H(x)

h

= limh→0

[f(x+ h) + g(x+ h)]− [f(x) + g(x)]

h

= limh→0

[f(x+ h)− f(x)] + [g(x+ h)− g(x)]

h

= limh→0

[f(x+ h)− f(x)

h+g(x+ h)− g(x)

h

]H ′(x) = f ′(x) + g′(x)

Teorema B.3. Regra do Produto

d

dx[f(x)g(x)] = f(x)

d

dxg(x) + g(x)

d

dxf(x)

Demonstracao:Seja F (x) = f(x)g(x). Aplicando a definicao ?? a funcao F temos:

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

Adicionando e subtraindo a quantidade f(x+ h)g(x) do limite temos:

F ′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)

h

= limh→0

[f(x+ h) · g(x+ h)− g(x)

h+ g(x) · f(x+ h)− f(x)

h

]= lim

h→0f(x+ h) · lim

h→0

g(x+ h)− g(x)

h+ lim

h→0g(x) · lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

F ′(x) = f(x)d

dxg(x) + g(x)

d

dxf(x)

Teorema B.4. Regra do Quociente

d

dx

[f(x)

g(x)

]=g(x)

d

dxf(x)− f(x)

d

dxg(x)

[g(x)]2

Demonstracao:

41

Seja a funcao F dada pelo quociente F (x) =f(x)

g(x). Aplicando a definicao ?? temos:

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

= limh→0

f(x+ h)

g(x+ h)− f(x)

g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)

g(x+ h)g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)

h · g(x+ h)g(x)

Adicionando e subtraindo a quantidade f(x)g(x) do limite temos:

F ′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)

h · g(x+ h)g(x)

= limh→0

[g(x) · f(x+ h)− f(x)

h

]−[f(x) · g(x+ h)− g(x)

h

]g(x+ h)g(x)

=

[limh→0

g(x)] [

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

]−[limh→0

f(x)] [

limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

][limh→0

g(x+ h)] [

limh→0

g(x)]

F ′(x) =g(x)

d

dxf(x)− f(x)

d

dxg(x)

[g(x)]2

Teorema B.5. Derivadas das Funcoes Trigonometricas

d

dxsenx = cosx

d

dxcossecx = −cossecx · cotgx

d

dxcosx = −senx

d

dxsecx = secx · tgx

d

dxtgx = sec2 x

d

dxcotgx = −cossec2x

Demonstracao:Abaixo segue a demonstracao para funcao tangente,as demais sao deixadas a cargo

do leitor. Seja f(x) = tg(x), reescrevendo-a, f(x) =senx

cosxe aplicando a Regra do

42 APENDICE B. DEMONSTRACOES DOS TEOREMAS

Quociente para encontra f ′(x) temos:

f ′(x) =cosx

d

dxsenx− senx

d

dxcosx

[cosx]2

=cosx · cosx− senx · (−senx)

cos2 x

=cos2 x+ sen2x

cos2 x

=1

cos2 xf ′(x) = sec2 x

calculo i - derivadas

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