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UNIDAD I
Estadstica I ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ Distribuciones de Probabilidad Continuas
UNIDAD
1
Distribuciones de Probabilidad ContinuasOBJETIVO EDUCACIONAL
Al trmino de esta unidad el alumno:
Caracterizar las diferentes distribuciones de probabilidad continuas e interpretar su significado1.1. Introduccin
En la prctica pueden presentarse pequeas variaciones en las longitudes medidas, por muchas causas, tales como vibraciones, fluctuaciones de temperatura, diferencias entre quienes toman las mediciones, calibraciones, desgaste en la herramienta de corte, desgaste en los cojinetes y cambios en la materia prima. Incluso el procedimiento de medicin puede producir variaciones en los resultados finales.
En estos tipos de experimentos, las mediciones de inters pueden representarse con una variable aleatoria. Es razonable modelar el rango de los valores posibles de la variable aleatoria con un intervalo de nmeros reales.
Variable aleatoria continua. Si el rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo (ya sea finito o infinito) de nmeros reales, entonces X es una variable aleatoria continua.1.2. Distribucin de probabilidad de una variable aleatoria continua
Una funcin f(x) es una funcin de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X si para cualquier intervalo de nmeros reales se satisfacen:1)
2)
3)
La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria continua X esF(x)=
Cuando se ha obtenido la funcin de distribucin acumulada se pueden evaluar las probabilidades siguientes:
a)
b)
c)
1.3. Media y varianza de una variable aleatoria continua
La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones, la integracin reemplaza a la sumatoria.Suponga que X es una variable aleatoria continua con funcin de densidad de probabilidad f(x), para
La media de X, es
La varianza de X, es
La desviacin estndar de X, es
Ejemplo 1.1 Determine el valor de k para que la siguiente funcin sea una funcin de densidad de probabilidad
SolucinPara que f(x) sea una funcin de densidad de probabilidad se debe cumplir que y
Entonces ( (
(
Ejemplo 1.2 Suponga que la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X es
Calcule:
a) P(X < 2.8)
b) P(X > 1.5)Solucin
a) P(X < 2.8)= F(x = 2.8) = 0.2*(2.8) = 0.56= 56%
b) P(X > 1.5)= 1 ( F(x = 1.5) = 1 ( 0.2*(1.5) = 0.7 = 70%
Ejemplo 1.3 Suponga que para 0 < x < 4. Calcule la media y la varianza de X.
Solucin
EJERCICIOS 1.1
1. Determine el valor de k para que la siguiente funcin sea una funcin de densidad de probabilidad
a)
b)
c)
2. La funcin de densidad de probabilidad del tiempo de falla (en horas) de un componente electrnico de una copiadora es . Calcule la probabilidad de que el componentea) Tarde ms de 3000 horas en fallarb) Falle en un lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas
c) Falle antes de 1000 horas
3. Suponga que la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X es
Calcule:
a) P(X < 1.8)
b) P(X >( 1.5)
c) P(( 1 1, las curvas toman la forma de campana como la curva normal, pero muestran asimetra.
1. Suponga que la vida de servicio, en aos, de la batera de un aparato para sordos es una variable aleatoria que tiene una distribucin de Weibull con ( = 1/2 y ( = 2.
a) Cunto tiempo se puede esperar que dure tal batera?
b) Cul es la probabilidad de que tal batera est en operacin despus de dos aos?
2. Suponga que el tiempo de falla (en minutos) de ciertos componentes electrnicos, sujetos a vibraciones continuas, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene la distribucin de Weibull con ( = 1/5 y ( = 1/3.
a) Cunto puede esperarse que dure un componente?
b) Cul es la probabilidad de que ese componente falle en menos de 5 horas?
3. Suponga que la vida til (en horas) de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene una distribucin de Weibull con ( =0.025 y ( =0.500. Cul es la probabilidad de que el semiconductor an est funcionando despus de 4000 horas?1.8 Distribucin de Probabilidad ji-cuadrada, (2Teorema 1.4. Si es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una poblacin normal que tiene la varianza , entonces la estadstica
Tiene una distribucin Ji-cuadrada con v = n 1 grados de libertad.
Para las aplicaciones de la distribucin (2 (Tabla 2 del Apndice), utilizaremos el procedimiento siguiente:
Sean: X = una variable aleatoria continua
X ~ Normal
n variables aleatorias independientes
)
Entonces:
a)
b)
c)
Ejemplo 1.5 Se sabe que la duracin de los cinescopios para televisin fabricados por una compaa se distribuye en forma normal con una media de 3000 horas y una desviacin estndar de 60 horas. Si se seleccionan 10 de estos cinescopios al azar, hallar la probabilidad de que la varianza muestral: a) no exceda de 2360 horas2, b) se encuentre entre 2360 y 6768 horas2.
Solucin
Sean: X = duracin de los cinescopios, en horas
X ~ Normal ()
X > 0
n =10 variables aleatorias independientes
)
Entonces:
a)
Por lo tanto, esperamos que 25 de cada cien muestras, de tamao 10, tengan una varianza muestral inferior a 2360 horas2.
b)
= 0.70
Por lo tanto, esperamos que 70 de cada cien muestras, de tamao 10, tengan una varianza muestral mayor de 2360 horas2 pero menor de 6768 horas2.
1.9 Distribucin de probabilidad t Student
Teorema 1.5. Sea Z una variable aleatoria normal estndar y V una variable aleatoria Ji-cuadrada con v grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la distribucin de la variable aleatoria T, donde
Est dada por
Esta se conoce como la distribucin t con v grados de libertad.
Corolario Sean variables aleatorias independientes que son todas normales con media y desviacin estndar . Sean
y ,
Entonces la variable aleatoria tiene una distribucin t con v = n 1 grados de libertad.
Para las aplicaciones de la distribucin t Student (Tabla 3 del Apndice), utilizaremos el procedimiento siguiente:
Sean: X = una variable aleatoria continua
n variables aleatorias independientes (n < 30)
;
Entonces:
a)
b)
c)
d)
Ejemplo 1.6 Un fabricante de focos afirma que su producto durar en promedio de 500 horas de trabajo. Para verificar este promedio, esta persona prueba 25 focos cada mes. Si el valor de t calculado cae entre y , l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra que tiene una media de horas y una desviacin estndar horas? Asuma que la distribucin de los tiempos de vida es normal?
Sean: X = tiempos de vida de los focos producidos por un fabricante, en horas
n=25 variables aleatorias independientes (n < 30)
;
Entonces: De la Tabla 3 obtenemos el valor de para 24 grados de libertad. Por lo tanto, el fabricante estar de acuerdo con esta afirmacin si una muestra de 25 focos da un valor de t entre -1.711 y 1.711.
De aqu que el fabricante est en condiciones de concluir que sus focos duran ms de 500 horas.
1.10 Distribucin de Probabilidad F
Teorema 1.6. Sean U y V dos variables aleatorias que tienen distribuciones Ji-cuadradas con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente, entonces la distribucin de la variable aleatoria est dada por
Esta se conoce como la distribucin F con v1 y v2 grados de libertad.
Teorema 1.7. Al escribir para con v1 y v2 grados de libertad, obtenemos
As, el valor F con v1 = 6 y v2 = 10 grados de libertad, que deja un rea de 0.95 a la derecha, es
Suponga que las muestras aleatorias de tamao n1 y n2 se seleccionan de dos poblaciones normales con varianzas y , respectivamente. Del Teorema 1.4 sabemos que
y
son variables aleatorias que tienen distribuciones Ji-cuadradas con y grados de libertad. Adems, como las muestras se seleccionan al azar, tratamos con variables aleatorias independientes, y entonces con el uso del teorema 1.6 con y , obtenemos el siguiente resultado
Teorema 1.8. Si y son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaos n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas y , respectivamente, entonces
tiene una distribucin F con y grados de libertad.
1. Para una distribucin Ji-cuadrada encuentre
a) cuando v = 15
b) cuando v = 7 c) cuando v = 24
2. Para una distribucin Ji-cuadrada encuentre los siguiente:
a) cuando v = 5
b) cuando v = 19 c) cuando v = 123. Para una distribucin Ji-cuadrada encuentre tal que
a) cuando v = 4b) cuando v =19c) si v = 254. Para una distribucin Ji-cuadrada encuentre tal que
a) cuando v = 21b) cuando v =6c) si v = 105. Para la distribucin T-Student encuentre:
a) cuando v = 14b) cuando v = 10c) cuando v = 76. Para la distribucin T-Student encuentre:
a) cuando v = 7
b) cuando v = 24c) cuando v = 12
d) cuando v = 177. Para la distribucin T-Student encuentre:
a)
b)
8. Dada una muestra aleatoria de tamao 24 de una distribucin normal, con ( desconocida, encuentre k tal que
a) b) c)
9. Para la distribucin F encuentre:
a) con v1 = 7 y v2 = 15
b) con v1 = 15 y v2 = 7c) con v1 = 24 y v2 = 19
d) con v1 = 19 y v2 = 24b) con v1 = 28 y v2 = 12 EJERCICIOS 1.6
Distribuciones de Weibull (( = 1)
EJERCICIOS 1.6
EJERCICIOS 1.5
EJERCICIOS 1.3
14 MOISS MUOZ DAZMOISS MUOZ DAZ 5
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