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FGV – Economia – 2a Fase – 07/dez/2014

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MATEMÁTICA

01. Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devida à inflação, responda as perguntas a seguir.

a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o valor inicialmente aplicado.

b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3 meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log 2 = 0,301 e log 202 = 2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E = t – 139,3 ao erro cometido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E.

Resolução:

a) Temos que m = c(1 + i)t portanto

c + 4020 = c(1 + 0,01)2

c + 4020 = c(1,01)2 Þ 4020 = c(1,01)2 – c

4020 = c(1,01)2 – c

4020 = 0,0201c c = 200000

Resposta Valor inicial aplicado foi de R$ 200.000,00.

b) m = c(1 + i)t Þ 4c = c(1,01)t

Logo 4 = (1,01)t Þ log4 = log(1,01)t

Então log22 = log(1,01)t Þ 2 log2 = tlog (101100) Þ 2(0,301) = t[log 101 – log 100]

Mas log202 = log2 (101) = log2 + log101 Þ 2,305 = 0301 + log 101 Þ log 101 = 2,004

Portanto 2(0,301) = t(2,004 – 2) Þ t = 0,6020,04

Þ t = 150,5

Logo E = 150,5 – 139, 3 Þ E = 11,2

Resposta: O Erro cometido foi de E = 11,2

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02. A tabela indica o horário do por do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de cada um dos doze meses de 2013. O horário indicado na tabela (y) é dado em “minutos depois das 18 horas”. Por exemplo, em 1o de janeiro de 2013, o por do sol se deu às 18h02.

Mês Horário (y) Mês HorárioJaneiro 2 = 2 – 0 Julho 2 = 2 – 0

Fevereiro 1,5 = 2 – 12

Agosto 2,5 = 2 + 12

Março1,1 ≈ 2 – 3

2Setembro

2,9 ≈ 2 + 32

Abril 1 = 2 – 1 Outubro 3 = 2 + 1Maio

1,1 ≈ 2 – 32

Novembro2,9 ≈ 2 – 3

2Junho 1,5 = 2 – 1

2Dezembro 2,5 = 2 + 1

2

a) Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em função de x no intervalo π6

≤ x ≤ 2π.

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

π6

π3

π2

2π3

5π6 π 7π

64π3

3π2

5π3

11π6 2π

b) Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x, cujo gráfico passe por todos os pontos definidos pelas tabelas anteriores. Em seguida, use essa função para prever o horário do por do Sol quando x = π

4. (Use: 6 = 2,4 e 2 = 1,4)

Resolução: a) Temos que y = 2 + sen ( π6 – x) b) Temos que y = 2 + sen ( π6 – x)

3

2

1

π6

π3

π3

2π3

5π6

7π6

4π3

3π2

11π6

5π3

π 2π

3

2

1

π6

π3

π3

2π3

5π6

7π6

4π3

3π2

11π6

5π3

π 2π

Para x = π4

temos y = 2 + sen (π6 – π4 )

y = 2 + sen π6

. cos π4

– sen π4

. cos π6

y = 2 + 12

. 2

2 –

22

. 3

2 = 2 +

24

– 6

4 Þ y @ 1,75

O por do Sol ocorrerá às 18 horas, 10 min e 45 segundos.

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03. Uma companhia do setor químico fabrica um produto a partir de dois componentes químicos, A e B. Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S1, 1 grama da substância S2, 1 grama da substância S3, e custa R$

30,00 para a companhia. Cada quilograma de B contém 1 grama da substância S1, 2 gramas da substância S2, não contém a substância S3, e custa

R$ 20,00 para a companhia. O produto fabricado deve conter uma mistura de, pelo menos, 20 gramas da substância S1, 10 gramas da substância S2, e 2 gramas da substância S3.

Adote na resolução do problema a letra x para a quantidade do componente A (em quilogramas), y para a quantidade do componente B (em quilogramas), e B para o custo total do produto fabricado, em reais.

a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros positivos, que atendam simultaneamente a todas as restrições do problema. Em seguida, calcule o valor de C para cada um dos três pares (x, y) listados.

b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, que atenda simultaneamente a todas as restrições do problema e para o qual C atinja o menor valor possível. Em seguida, determine C, que também será um número racional, para o par ordenado (x, y) solicitado.

Resolução:

a) Temos:

(4S1 + S2 + S3)x + (S1 + 2S2)y ≥ 20S1 + 10S2 + 2S3

(4x + y) . S1 + (x + 2y) . S2 + x . S3 ≥ 20S1 + 10S2 + 2S3

4x + y ≥ 20 Assim, x + 2y ≥ 10, cuja representação gráfica é: x ≥ 2

Então, três pontos que atendem o enunciado podem ser (5;10), (10;10) e (20;20). Para (5;10) Þ C = 30 . 5 + 20 . 10 = 350 reais Para (10;10) Þ C = 30 . 10 + 20 . 10 = 500 reais Para (20;20) Þ C = 30 . 20 + 20 . 10 = 800 reais

20

x = 2 4x + y = 20

x + 2y = 10

x102 5

y

5

b) Temos C = 30x + 20y Þ y = – 32

x + C20

Então, entre todas as retas com coeficiente angular igual a – 32

,

devemos procurar aquela que possui o menor coeficiente linear.

Graficamente, observamos que isto ocorre na intersecção

entre as retas x + 2y = 10

4x + y = 20, cuja solução é o ponto ( 30

7;

207 ).

Logo o custo mínimo será

C = 30 . 307

+ 20 . 207

= 1300

7 @ 185,71 reais.

20

x = 2 4x + y = 20

x + 2y = 10x102 5

y

5

y = – 3

2 x +

c

20

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04. Um sistema de código de barras tem extensão de 13 cm, e é composto por barras alternadas de cor branca ou preta, começando e terminando sempre por uma barra preta. Cada barra (branca ou preta) mede 1 ou 2 cm. A figura indica uma possibilidade de código nesse sistema. A leitura de código no sistema sempre é feita da esquerda para a direita.

a) Pinte, em cada um dos dois conjuntos de barras indicadas a seguir, um código desse sistema que atenda à condição solicitada logo abaixo das barras. Código com exatamente 2 Código com o máximo de barras pretas barras pretas de 2 cm. de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm.

b) Calcule o total de códigos diferentes que podem ser formados nesse sistema. Resolução:

a)

b) No diagrama, podemos observar as possibilidades de formação do código a partir da primeira barra:

A primeira barra é preta (P). A segunda barra pode ser preta (P) ou branca (B), com possibilidades iguais. A terceira barra pode ser preta (P) ou branca (B) caso a segunda seja branca ou, em caso contrário, deve ser branca (B). Observamos que o número de possibilidades obedece à Série Fibonacci, a partir da terceira casa, em que qualquer termo é a soma dos

dois anteriores. Assim, temos a sequência: 1a barra: 1 ( 1 preta) 2a barra: 2 ( 1 preta e 1 branca) 3a barra: 3 ( 1 preta e 2 brancas) 4a barra: 5 ( 3 pretas e 2 brancas) 5a barra: 8 ( 4 pretas e 4 brancas) 6a barra: 13 ( 6 pretas e 5 brancas) 7a barra: 21 ( 11 pretas e 10 brancas) 8a barra: 34 ( 17 pretas e 17 brancas) 9a barra: 55 ( 27 pretas e 28 brancas) 10a barra: 89 ( 45 pretas e 44 brancas) 11a barra: 144 ( 72 pretas e 72 brancas) 12a barra: 233 (116 pretas e 117 brancas) 13a barra: 377 (189 pretas e 188 brancas) Como na última barra devemos ter apenas a preta, podem ser formados nesse sistema 189 possibilidades de códigos diferentes.

Código com exatamente 2barras pretas de 2 cm.

Código com o máximo de barras pretas de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm

1 cm 1 cm