consultatie 2016-01-16 analiza matematica
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
1/28
Universitatea Politehnica din Bucuresti
CONSULTATIE
MATEMATICA 1
Alexandru NEGRESCU
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 1 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
2/28
1 Suprafete parametrizate si ariile acestora
Suprafete parametrizate
Plane tangente
Aria unei suprafete parametrizate
Integrarea functiilor scalare
Integrarea functiilor vectoriale
Integrarea 2-formelor diferentiale
2 Formule integrale
Formula Riemann-Green
Formula Gauss-Ostrogradski
Formula lui Stokes
3 Bibliografie si recomandari
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 2 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
3/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Suprafete parametrizate
Suprafete parametrizate
1. Parametrizati elipsoidul de ecuatie
9x2 + 4y2 + z2 = 36.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 3 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
4/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Suprafete parametrizate
Suprafete parametrizate
Parametrizarea unei suprafeteeste data de o functie :D R2 R3.SuprafataSce corespunde functiei este imagineaS= (D). Astfel,
(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
iar ecuatiile parametrice ale suprafeteiSsunt:
x=x(u, v),
y=y(u, v),
z=z(u, v),
unde(u, v)D.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 4 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
5/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Suprafete parametrizate
Suprafete parametrizate
2. Parametrizati conul de ecuatie
z = 2
x2 + y2.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 5 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
6/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Plane tangente
Plane tangente
3. Aflati ecuatia planului tangent n punctul (2, 3, 0)la suprafataparametrizata astfel:
x= u + v,y= 3u2,
z=u v.UCLA
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 6 / 28
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
7/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Plane tangente
Plane tangente
Presupunem caeste diferentiabila n(u0, v0) R2. Fixandu=u0,obtinem o functie de la R R3 data dev(u0, v), a carei imagineeste o curba pe suprafataS.
Vectorul tangent la curba n punctul (u0, v0)este
Tv = x
v(u0, v0)i +
y
v(u0, v0)j +
z
v(u0, v0)k.
Analog,
Tu= xu
(u0, v0)i + yu
(u0, v0)j + zu
(u0, v0)k.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 7 / 28
S f i i ii l A i i f i
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
8/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Aria unei suprafete parametrizate
Aria unei suprafete parametrizate
4. Aflati aria conului parametrizat astfel:
x= r cos t,y=r sin t,
z=r,
unde0
r
1 si0
t
2.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 8 / 28
S f t t i t i ii l t A i i f t t i t
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
9/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Aria unei suprafete parametrizate
Aria unei suprafete parametrizate
Aria suprafeteiSeste egala cu
A(S) =S
d=
D
Tu Tv dudv,
unde Tu Tveste norma vectorului Tu Tv.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 9 / 28
Suprafete parametrizate si ariile acestora Aria unei suprafete parametrizate
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
10/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Aria unei suprafete parametrizate
Aria unei suprafete parametrizate
5. Calculati aria paraboloidului de ecuatiez=x2 + y2, undez[0, 4].
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 10 / 28
Suprafete parametrizate si ariile acestora Aria unei suprafete parametrizate
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
11/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Aria unei suprafete parametrizate
Aria unei suprafete parametrizate
Daca suprafataSeste parametrizata:
x=x,
y=y,
z =f(x, y),
cu(x, y)D, atunci aria acesteia este egala cu
A(S) =D
1 +
fx
2+f
y2
dxdy.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 11 / 28
Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor scalare
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
12/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor scalare
Integrarea functiilor scalare
6. Calculati integrala
Syz d,
unde suprafataSeste portiunea din paraboloidul de ecuatie
x2 + y2 = 6z, cuz[0; 2].
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 12 / 28
Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor scalare
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
13/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor scalare
Integrarea functiilor scalare
S
f(x,y,z) d =
D
f((u, v))Tu Tv dudv
S
f(x,y,z) d =
D
f(x,y,g(x, y))
1 +
g
x
2+
g
y
2dxdy
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 13 / 28
Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor vectoriale
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
14/28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor vectoriale
Integrarea functiilor vectoriale
7. Aflati fluxul campului de vectoriF(x,y,z) =xi + yj + zkprinportiunea paraboloiduluiz =x2 + y2 1, cu1z0, orientata nsus.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 14 / 28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor vectoriale
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
15/28
p p g
Integrarea functiilor vectoriale
FieF un camp vectorial sinversorul normalei indus de suprafata
parametrizata. Fluxulcampului de vectoriFprin suprafataS(n raport
cu orientarea data de versoruln) esteS
F dS=
D
F((u, v)) (Tu Tv) dudv.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 15 / 28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea 2-formelor diferentiale
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
16/28
Integrarea 2-formelor diferentiale
8. Calculati S
(y+ z) dy dz+ (x + y) dx dy,unde suprafataS:x2 + y2 = 1, cuz[0, 1].
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 16 / 28
Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea 2-formelor diferentiale
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
17/28
Integrarea 2-formelor diferentiale
Consideram 2-forma diferentiala
=P(x,y,z) dy dz+ Q(x,y,z) dz dx + R(x,y,z) dx dy.
Atunci S
=
D
P((u, v))
D(y, z)
D(u, v)+ Q((u, v))
D(z, x)
D(u, v) +
+R((u, v))
D(x, y)
D(u, v)
dudv.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 17 / 28
Formule integrale Formula Riemann-Green
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
18/28
Formula Riemann-Green
9. Fie campul de vectoriV, de componenteP(x, y) =yx2 siQ(x, y) =xy2. ConsideramD ={(x, y) R2 |x2 + y2 2y
-
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
19/28
Formula Riemann-Green
Teorema Riemann-Green
Fie o curba nchisa, simpla, neteda, orientata pozitiv, siDregiunea
marginita deC. DacaP siQsunt de clasaC1 peD, atunci
Pdx + Q dy =
D
Q
x P
y
dxdy.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 19 / 28
Formule integrale Formula Riemann-Green
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
20/28
Formula Riemann-Green
10. Calculati aria suprafetei plane marginite de astroida
x(t) =a cos3 t,y(t) =a sin3 t,
cua >0.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 20 / 28
Formule integrale Formula Riemann-Green
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
21/28
Formula Riemann-Green
A(D) =C
x dy= C
y dx=12
C
x dy y dx
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 21 / 28
Formule integrale Formula Gauss-Ostrogradski
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
22/28
Formula Gauss-Ostrogradski
11. Folosind formula Gauss-Ostrogradski evualuati fluxul campului de
vectori
F=ey2 i +
y+ sin
z2
j + (z 1)kprin emisfera superioaraS :x2 + y2 + z2 = 1,z0, orientata laexterior.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 22 / 28
Formule integrale Formula Gauss-Ostrogradski
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
23/28
Formula Gauss-Ostrogradski
Teorema Gauss-Ostrogradski
Fie R3 un compact elementar cu frontiera o suprafata nchisasiF= Pi + Qj + Rkun camp vectorial de clasaC1 pe un deschis carecontine. Atunci fluxul lui Fprin dupa normala exterioaranesteegal cu integrala divergentei luiFpe, i.e.,
F n d=
div F dxdydz=
P
x +
Q
y +
R
z dxdydz.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 23 / 28
Formule integrale Formula lui Stokes
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
24/28
Formula lui Stokes
12. Consideram curbaCobtinuta prin intersectia cilindruluix2 + y2 = 1
cu planulz =x, orientata trigonometric. FieSsuprafata planamarginita de aceasta curba, orientata n sus. Verificati teorema lui
Stokes pentru campul vectorialF=xi + zj + 2yk.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 24 / 28
Formule integrale Formula lui Stokes
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
25/28
Formula lui Stokes
Teorema lui Stokes
FieS R3 o portiune de suprafata elementara de clasaC2 siCbordul
orientat nchis al suprafeteiS
. FieF
un camp vectorial de clas
a
C1
peun deschis din R3 care contineS. Atunci circulatia luiFde-a lungul
curbeiCeste egala cu fluxul rotorului lui F prinS, i.e.,
CF dr= Srot F n d.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 25 / 28
Formule integrale Formula lui Stokes
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
26/28
Formula lui Stokes
rot F = F= i j kx
y
z
P Q R
=
R
y Q
z
i +
P
z R
x
j +
Q
x P
y
k
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 26 / 28
Bibliografie si recomandari
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
27/28
Bibliografie si recomandari
L.-T. Costache,Analiz a matematic a. Culegere de probleme, Ed.Printech, 2009.
O. Stanasila,Analiz a matematic a, Fundatia Floarea Darurilor, 2014.
A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiz a matematic a,
Ed. Matrix Rom, 2003.
J. E. Marsden, A. J. Tromba, Vector Calculus, W. H. Freeman andCompany, 2003.
M. Olteanu,Analiz a matematic a. Notiuni teoretice si probleme rezolvate,Ed. Printech, 2004.
J. Stewart,Calculus, Sixth edition, Brooks/Cole, Cengage Learning,2009.
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 27 / 28
Bibliografie si recomandari
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica
28/28
Va multumesc pentru atentie!
Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 28 / 28
http://find/