UNIVERSITATEA DIN BACĂU

FACULTATEA DE ŞTIINŢE

Marcelina Mocanu

ANALIZĂ MATEMATICĂ

CURS PENTRU STUDENŢII

FACULTĂŢII DE INGINERIE

Introducere

Acest material cuprinde notele unui curs de AnalizăMatematică predatstudenţilor de la Facultatea de Inginerie în primul semestru al anului I.Scopul cursului ” Matematici aplicate 1 (AnalizăMatematică)” este de a-i

învăţa pe studenţi să utilizeze puternicele instrumente ale Calculului diferenţialsi integral, pentru funcţii de una sau mai multe variabile reale. Stăpânireamatematicii de liceu, la nivel mediu, este necesară studenţilor pentru canoţiunile şi metodele Analizei matematice studiate în facultate să le fieaccesibile. Având în vedere această cerinţă, în cursul de faţă cele mai multecunoştinţe de Analiză matematică din liceu sunt recapitulate şi reexplicate,dintr-un punct de vedere superior.Prin metodele şi rezultatele sale, matematica a jucat şi joacă un rol

fundamental în progresele ştiinţei şi tehnicii. Numeroase domenii alematematicii, printre care şi calculul diferenţial şi integral, au apărut dinnecesitatea rezolvării unor probleme practice. Isaac Newton (1642-1727) aajuns să pună bazele calculului diferenţial si integral pentru că avea nevoie deun instrument de rezolvare a problemelor de mecanică. În acelaşi timp,Gottfried Leibniz (1646-1716) a obţinut rezultate asemănătoare cu cele ale luiNewton pornind de la necesitatea rezolvării unor probleme interne alematematicii, de exemplu, probleme cu conţinut geometric. Calculul diferenţialşi integral permite abordarea generală, sistematică şi unitară, a unor problemedin fizică, tehnică, economie, biologie, etc. El este indispensabil pentru diversedomenii ale matematicii ( teoria ecuaţiilor diferenţiale, geometria diferenţială,analiza numerică, calculul probabilităţilor şi statistică).Analiza matematică este un domeniu vast al matematicii, cu multe ramuri,

dintre care abordăm aici doar calculul diferenţial şi integral clasic, dintr-unpunct de vedere modern. Analiza matematică studiază funcţiile pe bazanoţiunii de limită. Noţiunea matematică de limită este specifică Analizei şi stăla baza definirii altor noţiuni fundamentale cum sunt cele de derivată siintegrală. Noţiunea de limită intervine in legătură cu orice procedeu deaproximare în care eroarea aproximării poate fi micşorată oricât de mult.În Calculul diferenţial se studiază derivatele (vitezele de variaţie ale unor

mărimi). Cunoaşterea valorilor unei funcţii si derivatei sale într-un punctpermite aproximarea funcţiei respective, în apropierea acelui punct, printr-oanumită funcţie de gradul I, printr-un procedeu numit liniarizare. Comportareaderivatei unei funcţii de o variabilă pe un interval oferă informaţii privindcontinuitatea, monotonia, extremele funcţiei. În multe probleme de optimizarese face apel la derivate. Câteva mărimi care se exprimă ca derivate sunt pantatangentei la graficul unei funcţii, viteza si acceleraţia unui mobil la un momentdat, intensitatea curentului electric, rata inflaţiei. Calculul integral se ocupăcu problema găsirii variaţiei unei mărimi ca rezultat al cumulării (însumării,într-un anume sens) a vitezelor sale de variaţie. Câteva mărimi care se exprimăca integrale sunt lungimea drumului parcurs de un mobil (pentru carecunoaştem mărimea vectorului viteză ca funcţie de timp), aria unei figuriplane, volumul unui corp în spaţiu, coordonatele centrului de greutate şi

momentele de inerţie ale unui corp material. Operaţiile de derivare si integraresunt într-un anume sens inverse una celeilalte, ceea ce uneşte Calcululdiferenţial si Calculul integral într-un ansamblu unitar .În liceu au fost studiate cu ajutorul metodelor Analizei matematice doar

funcţii reale de o variabilă reală. În procesele studiate de ştiinţele naturii şisocietăţii se consideră sisteme cu multe grade de libertate, a căror stare estecaracterizată de un număr mare de parametri. Se impune astfel studiulfuncţiilor de mai multe variabile, cu valori în spaţii multidimensionale.Pentru aceste tipuri de funcţii este necesară introducerea unor noţiuni noi, cumsunt: derivatele parţiale, diferenţiala, integralele: curbilinii, duble, triple, desuprafaţă, etc.De ce, la nivelul liceului, Analiza matematică este considerată o disciplină

de studiu mai dificilă decât alte discipline matematice? Iată câteva răspunsuriposibile, utile pentru a scoate în evidenţă unele trăsături generale ale acestuidomeniu:- La Algebră şi Trigonometrie au fost studiate anumite funcţii, numite

funcţii elementare. Definirea riguroasă a unor funcţii (exponenţială, logaritm,puteri cu exponent real) nu este posibilă fără contribuţia Analizei matematice.În Analiză se trece de la particular la general în studiul funcţiilor, studiindu-seclase de funcţii având proprietăţi cum sunt continuitatea, derivabilitatea,integrabilitatea;- În Analiză rolul inegalităţilor este preponderent faţă de cel al egalităţilor;- Procedeele de aproximare, aflate in centrul atenţiei in Analiza

matematică, implica un număr nelimitat de etape;-Infinitul este un concept intrinsec, esenţial al Analizei matematice;-Teoremele care exprimă condiţii necesare şi suficiente sunt rare în

Analiză, mai frecvent sunt formulate fie condiţii necesare, fie condiţiisuficiente pentru ca o proprietate să aibă loc.În cadrul acestui curs, am urmărit să introducem cele mai multe noţiuni pe

baza unor exemple care să motiveze utilitatea noţiunilor respective. Teoriastudiată este sintetizată în definiţii, enunţuri şi unele demonstraţii, care suntilustrate cu exemple şi contraexemple. Pe baza teoriei se formulează concluziipractice pentru rezolvarea exerciţiilor si problemelor. Când este cazul, seenunţă algoritmi de rezolvare a unor probleme. Sunt prezentate modele derezolvare completă a unor exerciţii şi probleme tipice. Accesul la parteaaplicativă (exerciţii, probleme, aplicaţii in fizică şi tehnică) este scopul final alparcurgerii teoriei. Experienţa arată că unele chestiuni teoretice fundamentale,deşi dificil de înţeles în profunzime, pot fi totuşi aplicate eficient de către celcare le-a utilizat frecvent şi conştient în rezolvarea de exerciţii şi probleme.Studiul existenţei limitelor şi calculul limitelor (de şiruri sau de funcţii) pot fiprobleme dificile, dar utilizarea unor reguli şi formule de calcul permitdeterminarea derivatelor şi integralelor fără a apela direct la limite.Materia expusă în acest curs este restrânsă, în concordanţă cu timpul alocat

cursurilor şi seminariilor. În Bibliografie am indicat câteva cărţi de Analizămatematică utile pentru aprofundarea teoriei şi a unor culegeri care pot fifolosite cu succes ca surse de de exerciţii şi probleme rezolvate, atât denecesare în studiul individual.

CuprinsCapitolul 1. Spaţii euclidiene1.1. Mulţimea numerelor reale....................................................................11.2. Spaţiul euclidian Rk

Capitolul 2. Şiruri2.1. Şiruri de numere reale

2.1.1. Noţiuni introductive...................................................................92.1.2. Şiruri convergente....................................................................112.1.3. Dreapta reală încheiată. Şiruri care au limită...........................152.1.4. Operaţii cu şiruri care au limită................................................162.1.5. Şiruri fundamentale de numere reale........................................20

2.2. Şiruri în Rk

Capitolul 3. Serii de numere reale3.1. Suma unei serii. Serii convergente.....................................................253.2. Serii cu termeni pozitivi.....................................................................293.3. Criterii de convergenţă pentru serii de numere reale..........................313.4. Serii de puteri.....................................................................................34

Capitolul 4. Limite şi continuitate pentru funcţii între spaţii metrice4.1. Limita unei funcţii într-un punct........................................................39

4.1.1. Condiţii necesare şi suficiente de existenţă a limitei unei funcţiiîntr-un punct

4.1.2. Limite la şi limite infinite ale funcţiilor reale de variabilăreală.

4.1.3. Operaţii cu funcţii reale care au limită într-un punct4.2. Funcţii continue..................................................................................424.3. Proprietăţi globale ale funcţiilor continue..........................................434.4. Limita restricţiei unei funcţii la o submulţime. Limite iterate............44

Capitolul 5. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii de o variabilă reală5.1. Derivata unei funcţii de o variabilă reală într-un punct......................485.2. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile pe intervale.................................515.3. Derivate de ordin superior..................................................................535.4. Diferenţiale. Funcţii diferenţiabile.....................................................555.5. Formula lui Taylor pentru funcţii de o variabilă reală.......................575.6. Extreme locale pentru funcţii reale de o variabilă reală.....................605.7. Derivate ale funcţiilor vectoriale de o variabilă reală........................64

Capitolul 6. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii de mai multevariabile reale6.1. Derivate parţiale.....................................................................................676.2. Aplicaţii ale derivatelor parţiale de ordinul I în teoria câmpurilor..........696.3. Derivata într-un punct după un versor.....................................................736.4. Funcţie diferenţiabilă. Diferenţiala unei funcţii scalare..........................746.5. Funcţii vectoriale diferenţiabile...............................................................786.6. Diferenţiala şi derivatele funcţiilor compuse...........................................806.7. Derivate parţiale de ordin superior..........................................................83

6.8. Conditii suficiente de egalitate a derivatelor mixte..................................84 6.9. Diferenţiale de ordin superior.................................................................85 6.10. .Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile......................87 6.11. Extreme locale ale funcţiilor de mai multe variabile...........................89

Capitolul 7. Integrarea funcţiilor de o variabilă reală. IntegralaRiemann7.1. Noţiunea de integrală Riemann.....................................................................967.2. Criteriul lui Darboux....................................................................................1007.3. Proprietăţi ale integralei Riemann şi ale funcţiilor integrabile....................1017.4. Metode de integrare.....................................................................................1037.5. Aplicaţii ale integralei Riemann..................................................................107

Capitolul 8. Integrarea funcţiilor de o variabilă reală. Integraleimproprii8.1. Definiţii ale integralelor improprii de prima speţă şi de a doua speţă.........1128.2. Proprietăţi generale ale integralelor improprii.............................................1188.3. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii......................................1198.4. Aplicaţii. Transformata Laplace a unei funcţii original...............................123

Capitolul 9. Integrale curbilinii9.1. Noţiunea de curbă.........................................................................................1269.2. Integrale curbilinii de prima speţă şi de a doua speţă. Definiţii şi

formule de calcul.......................................................................................................1309.3. Aplicatii ale integralelor curbilinii...........................................................1349.4. Propriet ăţi ale integralelor curbilinii de prima speţă şi de a doua speţă.....1369.5. Problema independenţei de drum a circulaţiei unui câmp vectorial...........137

Capitolul 10. Integrale duble10.1. Noţiunea de arie a unei mulţimi de puncte din plan...........14210.2. Definiţia integralei duble....................................................14310.3. Proprietăţi ale integralei duble...........................................14410.4. Calculul integralei duble....................................................14510.5. Schimbare de variabile în integrala dublă..........................14810.6. Aplicaţii ale integralei duble..............................................15010.7. Formula lui Green-Riemann...............................................151

Capitolul 11. Integrale triple11.1. Noţiunea de volum al unei mulţimi de puncte din spaţiu...15311.2. Definiţia integralei triple....................................................15311.3. Proprietăţi ale integralei triple............................................15511.4. Calculul integralei triple.....................................................15611.5. Schimbare de variabile în integrala triplă...........................15911.6. Aplicaţii ale integralei triple...............................................161 BIBLIOGRAFIE.........................................................................162

Capitolul 1. Spaţii euclidiene1.1. Mulţimea numerelor reale (R)

Evoluţia noţiunii de număr poate fi sintetizată prin incluziunileN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.Vom considera cunoscute noţiunile de mulţime, relaţie şi funcţie, precum şi

structurile algebrice de grup şi corp. Mulţimea R a numerelor reale estesuficientă pentru exprimarea rezultatului oricărei măsurători, spre deosebire desubmulţimile sale N, Z şi Q.

Structura algebrică şi de ordineDefiniţie. Se numeşte sistem de numere reale orice mulţime R cu

următoarele proprietăţi:(R1) există două operaţii algebrice (adunarea) şi (înmulţirea) pe

mulţimea R, astfel încât R,, este corp comutativ;(R2) există o relaţie de ordine totală ”≤” pe mulţimea R, compatibilă cu

operaţiile algebrice;(R3) orice mulţime majorată din R are un cel mai mic majorant.

Faptul că relaţia de ordine ≤” pe mulţimea R este compatibilă cuoperaţiile algebrice înseamnă că au loc implicaţiile

(1) x ≤ y şi z ∈ Rx z ≤ y z (compatibilitatea cu „“);(2) 0 ≤ x şi 0 ≤ y 0 ≤ x y (compatibilitatea cu „“).

Proprietatea (R3) se numeşte axioma marginii superioare sau axioma luiCantor-Dedekind.Pe scurt, R este un corp comutativ total ordonat, în care este valabilă

axioma marginii superioare.Observaţie. Mulţimea numerelor raţionale Q, cu operaţiile uzuale de

adunare şi înmulţire şi cu relaţia uzuală de ordine ”≤”, satisface de asemeneacondiţiile (R1) şi (R2), dar nu satisface condiţia (R3) din definiţia unui sistemde numere reale. Axioma marginii superioare este cea care face diferenţadintre R şi Q şi stă la baza obţinerii rezultatelor specifice Analizei matematice.Cel mai mic majorant al unei mulţimi A se numeşte margine superioară a

mulţimii A şi se notează cu supA . Cel mai mare minorant al unei mulţimi senumeşte margine inferioară a mulţimii A şi se notează cu infA.Fiind dată o mulţime A ⊂ R , notăm cu −A −a : a ∈ A. Se observă

că M ∈ R este un majorant pentru mulţimea A ⊂ R −M este un minorantpentru mulţimea −A. Mai mult,M supA −M inf−A. Rezultă căproprietatea (R3) este echivalentă cu(R3’) orice mulţime minorată din R are un cel mai mare minorant.Fiind date numerele reale a,b, notăm a b dacă şi numai dacă b a, iar

a ≥ bDEF a b sau a b. Folosind relaţiile de ordine definite pe R mai sus,

se introduc intervalele mărginite a,b, a,b, a,b şi a,b, precum şiintervalele nemărginite a,, a,, −,b, −,b, cu a,b ∈ R. În plus,−, R. Intervalele care nu îşi conţin nici o extremitate, de tipul a,b,

1

a, sau −,b se numesc intervale deschise, iar intervalele care îşi conţinextremităţile finite, de tipul a,b, a, sau −,b se numesc intervaleînchise.Observaţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente pentru o mulţime

A ⊂ R:(1) A este mărginită (adică A admite un minorant şi un majorant în R, ≤ );(2) există un interval mărginit care include pe A (există a,b ∈ R cu a b

astfel încât A ⊂ a,b );(3) există un interval mărginit simetric faţă de origine care include pe A

(există M 0 astfel încât A ⊂ −M,M).Reprezentarea numerelor reale ca fracţii zecimale

O fracţie zecimală este expresie de forma a0 0,a1a2…an… , undea0 ∈ Z şi ak ∈ 0,1,…9,∀k ≥ 1. Cifrele ak, k ≥ 1, se numesc zecimalelefracţiei a0 0,a1a2…an… .Observaţie. 0, 9 0,999… 1, deoarece notând x 0,999. . . obţinem

10x 9 x, de unde x 1. Analog, 0,09 0,1; 0,009 0,01, etc.Pentru a evita ambiguităţile de scriere excludem fracţiile zecimale care auperioada (9). O fracţie zecimală are perioada 9 dacă există un număr naturalnenul n astfel încât ak 9,∀k ≥ n.Dacă x a0 0,a1a2…an… , cu convenţiile de mai sus, atunci numărul

întreg a0 se numeşte partea întreagă a fracţiei zecimale x şi notăm a0 x,iar 0,a1a2…an…

NOT x este partea fracţionară a lui x .Spunem că o fracţie zecimală este periodică, cu perioada de lungime

p ∈ N∗, dacă există n ∈ N astfel încât akp ak pentru orice k ≥ n 1(zecimalele se repetă din p în p, de la n 1 −a zecimală încolo). Scriematunci 0,a1a2… 0,a1a2. . .anan1an2. . .anp. Dacă n 0 fracţia zecimalăperiodică se numeşte periodică simplă şi se scrie sub forma 0, a1a2. . .ap, iardacă n 0 fracţia zecimală periodică se numeşte periodică mixtăDacă x a0 0,a1a2…an… şi ak 0 pentru orice k ≥ n, unde n ∈ N∗,

pentru n 1 scriem x a0, iar pentru n ≥ 2 avem x a0,a1. . .ak−1şiidentificăm x cu a0 a1

10 a2102

. . . ak−110k−1

∈ Q.Mulţimea numerelor raţionale se identifică cu mulţimea fracţiilor zecimale

periodice. Fiind dat un număr raţional x mn (m,n ∈ N∗) obţinem

reprezentarea lui x ca fracţie zecimală aplicând algoritmul împărţirii pentru aefectua m : n. Resturile obţinute la împărţirile succesive sunt din mulţimeafinită 0,1, . . . ,n − 1, deci după cel mult n 1 împărţiri un rest se va repeta,ceea ce atrage periodicitatea fracţiei zecimale ce corespunde număruluiraţional mn . Reciproc, o fracţie zecimală periodică simplă se transformă înfracţie ordinară folosind formula 0, a1a2. . .ap

a1...ap

p ori

99...9 , iar o o fracţie

zecimală periodică mixtă se transformă în fracţie ordinară folosind formula0,a1a2. . .anan1an2. . .anp

a1a2...anan1an2...anp−a1a2...an

p ori

99...9n ori

00...0 . Se poate considera

că prima fomulă de transformare este un caz particular al celei de-a doua,obţinut pentru n 0. Am notata1a2. . .an a1 10n−1 a2 10n−2 . . .an−1 10 an (numărul format cucifrele a1, a2, . . .an).

2

Nu toate fracţiile zecimale sunt periodice; cele neperiodice reprezintănumere iraţionale. De exemplu, rădăcinile pătrate ale numerelor naturale care

nu sunt pătrate perfecte sunt numere iraţionale. În particular, lungimeadiagonalei unui pătrat având lungimea laturilor egală cu un număr raţional leste numărul iraţional l 2 .Se introduc pe mulţimea fracţiilor zecimale relaţia de ordine, apoi

operaţiile interne de adunare şi înmulţire. Mulţimea fracţiilor zecimaleînzestrată cu aceste operaţii este un sistem de numere reale. Datorită faptuluică mulţimea zecimalelor unei fracţii zecimale este infinită şi există fracţiizecimale neperiodice, definirea şi studierea operaţiilor interne pe mulţimeafracţiilor zecimale ridică probleme destul de dificile.Se defineşte întâi relaţia ”” pe mulţimea fracţiilor zecimale: spunem că

a0 0,a1a2…an… b0 0,b1b2…bn… dacă a0 b0 sau există k ∈ N∗astfel încât ak bk şi ai bi pentru orice i ∈ 0,1, . . . ,k − 1. Fiind datefracţiile zecimale x şi y spunem că x ≤ y dacă x y sau x y. Relaţia ”≤” esteo relaţie de ordine pe mulţimea fracţiilor zecimale.Fracţiile zecimale cu o infinitate de zecimale nenule se aproximează cu

fracţii zecimale având un număr finit de zecimale nenule, aproximările prinlipsă şi prin adaos de ordin n, unde n 1,2, . . .Pentru x a0 0,a1a2…an…considerăm aproximările prin lipsă cu k zecimale exacte: x0′ : a0 pentruk 0; x1′ a0,a1 pentru k 1; x2′ a0,a1a2 pentru k 2; ....;xn′ a0 0,a1a2…an pentru k n, etc. Aproximările prin adaos sunt definiteprin xn′′ xn′ 10−n, unde am identificat xn′ cu a0 a1

10 a2102

. . . an10n , pentru

n ≥ 1. Atunci xn′ ≤ x xn′′ şi xn′′ − xn′ 10−n.xn′ ( respectiv, xn′′) se numeşte aproximarea prin lipsă ( respectiv,

aproximarea prin adaos) cu eroare mai mică decât 10−n a fracţiei zecimale x.Exemplu: 2 1,4142135623… are aproximările cu eroare 10−8

următoare: prin lipsă: 1,41421356, prin adaos: 1,41421357. 3,1415926535897932384. . . are aproximările cu eroare 10−5

următoare: prin lipsă: 3,14159, prin adaos 3,14160.Reprezentarea geometrică a numerelor reale

Axa numerelor reale este definită ca fiind o dreaptă înzestrată cu origine,sens de parcurs şi unitate de măsură.Fie d o dreaptă oarecare pe care fixăm un punct O numit origine.

Considerăm ca unitate de măsură lungimea unui segment de pe dreaptă (alecărui capete nu coincid). Atunci distanţa dintre orice două puncte ale dreptei seexprimă printr-un număr pozitiv.Originea împarte dreapta d în două semidrepte. Alegem pe fiecare din

aceste semidrepte câte un punct diferit de origine, A, respectiv B. Fiecare dinsegmentele orientate OA şi OB reprezintă un sens de parcurs pe dreapta d.Alegem în mod convenţional una din aceste sensuri ca fiind pozitiv, deexemplu, cel reprezentat de OA; atunci semidreapta OA se numeşte semiaxăpozitivă, iar semidreapta OB se numeşte semiaxă negativă.Numărului 0 (zero) îi corespunde originea O . Numărului 1 îi corespunde

un punct U ∈ d situat pe semiaxa pozitivă, astfel încât distanţa OU 1. Secunoaşte din gimnaziu modul în care se reprezintă pe axa numerelor mulţimileN, Z, Q.

3

Fiecărui număr real x îi corespunde un punct unic M Mx ∈ d astfel încât

distanţa OM x, dacă x ≥ 0−x, dacă x 0

şi M este situat pe semiaxa pozitivă dacă

x 0, respectiv M este situat pe semiaxa pozitivă dacă x 0. Reciproc,fiecărui punct M ∈ d îi corespunde un număr real unic x astfel încât suntîndeplinite condiţiile de mai sus.Se stabileşte astfel o corespondenţă bijectivă F : R →d ,Fx DEF Mx de

la mulţimea R a numerelor reale la dreapta d. Conform celor de mai sus,funcţia F : R →d definită prin Fx Mx este bijectivă. Fiind dat un punctM ∈ d, numărul real x F−1 M se numeşte abscisa punctului M (pe axanumerelor) şi în acest caz scriemMx. Astfel, numerele reale se identifică cupuncte ale unei drepte, şi reciproc.

Modulul unui număr real. AplicaţiiSe numeşte modul al numărului real x sau valoare absolută a numărului x

numărul definit prin ∣ x ∣x, dacă x ≥ 0−x, dacă x 0

. Observăm că dacă punctul M

are abscisa x , atunci ∣ x ∣ OM (modulul unui număr real este distanţa de laorigine la imaginea acelui număr pe axă).Proprietăţile modulului1) Pozitivitate: ∣ x ∣≥ 0,∀x ∈ R şi ∣ x ∣ 0 x 02) Omogenitate: ∣ x ∣∣ ∣ ∣ x ∣,∀,x ∈ R3) ∣ x y ∣≤∣ x ∣ ∣ y ∣,∀x,y ∈ RDin 3) rezultă inegalităţile:4)

∣ x1 x2 …xn ∣≤∣ x1 ∣ ∣ x2 ∣ … ∣ xn ∣,∀n ≥ 1,∀x1,x2,…xn ∈ R.5) ∣ x − y ∣≥∣∣ x ∣ − ∣ y ∣∣,∀x,y ∈ R.Distanţa dintre două numere realeSe defineşte ca fiind distanţa euclidiană dintre imaginile numerelor pe axa

numerelor. Notând cu da,b distanţa dintre numerele a,b ∈ R, avemda,b DEF AB, unde Aa, Bb. Se demonstrează formula de calcul adistanţei: da,b ∣ a − b ∣ .Aproximări ale numerelor realeSpunem că x este aproximat prin a cu eroare mai mică decât (unde

0) dacă ∣ x − a ∣ .Cum |x − a| este distanţa dintre x şi a, se observă geometric (şi se

demonstrează algebric) că avem: |x − a| x ∈ a − ,a ;|x − a| x ∈ a − ,a ; |x − a| x ∈ −,a − a ,.

1.2. Spaţiul euclidian RkÎn cele mai multe probleme de fizică, tehnică, economie etc. intervin

mărimi care depind de două sau mai multe variabile reale.Unul din obiectivele acestui curs este studiul funcţiilor de k variabile reale

(k ≥ 2), cu valori reale sau cu valori vectoriale. Acestor funcţii li se aplicăoperaţii de derivare şi integrare specifice, care le extind pe cele cunoscute dinstudiul funcţiilor reale de o variabilă reală.Prezentăm pe scurt pentru Rk: structura algebrică (de spaţiu vectorial);

4

norma şi distanţa euclidiană, produsul scalar; noţiuni de topologie; şiruri în Rk(studiul pe coordonate).Rk DEF

k ori

R R …R (produs cartezian), adică

Rk x1,x2,… ,xk : xi ∈ R, i 1,k (R este mulţimea secvenţelorordonate de k numere reale).Un element x x1,x2,… ,xk ∈ R se numeşte vector, iar x1,x2,… ,xk se

numesc componentele vectorului x.Exemple. R2 R R x1,x2 : x1,x2 ∈ R.Mai notăm

R2 x,y : x,y ∈ R.R3 R R R x1,x2,x3 : xi ∈ R, i 1,3 . Mai notăm

R3 x,y, z : x,y, z ∈ RConsiderând în plan (respectiv, în spaţiu) un reper cartezian Oxy (respectiv,

Oxyz), se stabileşte o corespondenţă bijectivă între punctele planului şi R2(respectiv, între punctele spaţiului fizic şi R3). Aceste reprezentări ale R2,respectiv R3, sunt similare reprezentării numerelor reale pe o dreaptă.

Spaţiul euclidian tridimensional R3Operaţii algebrice

Un punct M din spaţiu are coordonatele a,b,c (abscisa a, ordonata b,cota c) dacă şi numai dacă proiecţiile lui M pe Ox,Oy, respectiv Oz aucoordonatele a,b, respectiv c. Descompunem vectorul OM, numit vector depoziţie al punctuluiM în raport cu originea O, după direcţiile axelor decoordonate. AvemMa,b,c OM a i b j c k.Punem în evidenţă corespondenţa dintre operaţiile cu vectori

tridimensionali şi operaţiile respective cu triplete.1) Adunarea vectorilor:

a1i b1j c1k a2i b2j c2k a1 a2i b1 b2j c1 c2k;Adunarea tripletelor:

a1,b1,c1 a2,b2,c2DEF a1 a2,b1 b2,c1 c2.

2) Înmulţirea cu scalari reali a vectorilor: ai bj ck a i b j c k;Înmulţirea cu scalari reali a tripletelor: a,b,c DEF a,b,c.Mulţimea R3, înzestrată cu operaţiile de adunare a tripletelor şi de

înmulţire cu scalari, este spaţiu vectorial izomorf cu spaţiul V3 al vectorilorliberi tridimensionali.

Produs scalar. Normă. Distanţă1) Produsul scalar al vectorilor v1 şi v2 este definit prin

v1 v2DEF ‖v1‖ ‖v2‖ cosv1,v2

Se demonstrează formula de calcul pentru produsul scalar al doi vectoriexprimaţi în baza i , j , k :

a1i b1j c1k a2i b2j c2k a1a2 b1b2 c1c2.

2) Norma (lungimea) unui vector se calculează ca fiind lungimeadiagonalei unui paralelipiped dreptunghic având lungimile muchiilor egale cu

5

lungimile proiecţiilor acelui vector pe axele de coordonate. Aplicând Teoremalui Pitagora obţinem:

v ai bj ck ‖v‖ a2 b2 c2

Observăm legătura dintre normă şi produs scalar: v v ‖v‖2 sau‖v‖ v v .Analog , definim: produsul scalar a două triplete:

a1,b1,c1 ; a2,b2,c2 a1a2 b1b2 c1c2 şi norma unui triplet:‖a,b,c‖ a2 b2 c23) Fie M1a1,b1,c1 şi M2a2,b2,c2 două puncte în spaţiu. Exprimăm

distanţa euclidiană dintre puncte ca lungime a unui vector deplasare:M1M2 M2M1 OM1 − OM2 . Dar

OM1 − OM2 a1 − a2i b1 − b2j c1 − c2k.Aplicând formula normei ‖v‖ rezultă

M1M2 a1 − a22 b1 − b22 c1 − c22 .Distanţa dintre două triplete este distanţa dintre punctele care le corespund

în spaţiu, într-un reper fixat:d a1,b1,c1 ; a2,b2,c2 a1 − a22 b1 − b22 c1 − c22 .Notăm vi ai,bi,ci, i 1,2. Observăm că: dv1,v2 ‖v1 − v2‖.4) Folosind legătura dintre distanţa în R3 şi distanţa euclidiană determinăm

mulţimile din R3 care corespund unei sfere, respectiv unei bile (numite,respectiv, sferă şi bilă în R3).În spaţiul tridimensional, sfera şi respectiv bila de centru A şi rază r 0

sunt definite prin SA, r M : AM r, respectivBA, r M : AM r.Notăm Ax0,y0, z0 şi Mx,y, z. Avem

AM x − x02 y − y02 z − z02 . Observăm căM ∈ SA, r x − x02 y − y02 z − z02 r2 (ecuaţia sferei).M ∈ BA, r x − x02 y − y02 z − z02 r2 (inecuaţia bilei).

Spaţiul RkOperaţii algebrice

Adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari se efectuează pe componente:x1,x2,…xk y1,y2,…yk

DEF x1 y1,x2 y2,…xk yk şix1,x2,… ,xk

DEF x1,x2,… ,xk, unde ∈ R şix1,x2,…xk, y1,y2,…yk ∈ Rk. Împreună cu cele două operaţii Rk estespaţiu vectorial peste R.Observaţie. Spaţiul R2 se identifică în aplicaţii cu subspaţiul

x,y, 0 : x,y ∈ R al lui R3. Mai general, spaţiul Rk se identifică cusubspaţiul x1, . . . ,xk, 0 : xi ∈ R, i 1, . . . ,k al lui Rk1, cu care esteizomorf ca spaţiu vectorial.

Produs scalar. Normă. Distanţă1) Produs scalar în Rk: vectorii x x1,x2,… ,xk şi y y1,y2,… ,yk au

produsul scalar ⟨x,y DEF ∑i1

kxiyi

6

2) Norma uzuală în Rk (norma euclidiană): ‖x1,x2,… ,xk‖DEF ∑

i1

kxi2

Observaţie x x1,x2,… ,xk ∈ Rk ‖x‖ ⟨x,x .3) Distanţa uzuală în Rk (distanţa euclidiană): este dată de formula

d x, y ∑i1

nxi − yi2 , unde am notat x x1, . . . ,xk,

y y1, . . . ,yk ∈ Rk.Observaţie. dx,y ‖x − y‖.Proprietăţi ale normei euclidiene(N1) Pozitivitate: ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk şi ‖x‖ 0 x 0 ;(N2) Omogenitate absolută: ‖x‖ || ‖x‖,∀ ∈ R,∀x ∈ Rk;(N3). Subaditivitate: ‖x y‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖,∀x,y ∈ Rk.

. Am

notat cu 0 0,0, . . . , 0 vectorul nul din Rk .Proprietăţi ale distanţei euclidieneFolosind proprietăţile de mai sus ale normei euclidiene se demonstrează

următoarele proprietăţi ale distanţei euclidiene dx,y ‖x − y‖.(D1) Pozitivitate: dx,y ≥ 0, ∀x,y ∈ Rk şi dx,y 0;(D2) Simetrie: dx,y dy,x, ∀x,y ∈ Rk;(D3) Inegalitatea triunghiului: dx, z ≤ dx,y dy, z, ∀x,y, z ∈ Rk.4) Sferă şi bilă în Rk (cu centrul a ∈ Rk şi raza r 0)Sa, r DEF x ∈ Rk : dx,a r x ∈ Rk : ‖x − a‖ rBa, r DEF x ∈ Rk : dx,a r x ∈ Rk : ‖x − a‖ r.Observaţie. În cazul k 1 avem x x1 şi

‖x‖ x2 |x|, dx,y |x − y|.Sa, r x ∈ R : |x − a| r a − r,a rBa, r x ∈ R : |x − a| r a − r,a rÎn cazul k 2, notăm uneori elementele din R2 cu x,y, a,b, etc., pentru

a nu încărca notaţia cu indici.‖x,y‖ x2 y2 ; dx1,y1, x2,y2 x1 − x22 y1 − y22 . În

acest caz,Sa,b, r x,y ∈ R2 : x − a2 y − b2 r2 este cercul cu

centrul de coordonate Ma,b, având raza r, notat CM, r;Ba,b, r x,y ∈ R2 : x − a2 y − b2 r2 este interiorul

cercului CM, r de mai sus, numit disc de centru Ma,b şi rază r.Definiţie. Diametrul unei mulţimi A ⊂ Rk este cantitatea

diamA : supdx,y : x,y ∈ A. Spunem că o mulţime A ⊂ Rk estemărginită dacă diamA .O mulţime A ⊂ Rk este mărginită ∃ M 0 astfel încât ‖x‖ ≤ M pentru

orice x ∈ A.Noţiuni de topologie în Rk

Definiţie. Se numeşte vecinătate a unui punct a ∈ Rk o mulţime V ⊂ Rkcare conţine o bilă deschisă centrată în acel punct (∃r 0 a.î. Ba, r ⊂ V).

7

Mulţimea vecinătăţilor unui punct a ∈ Rk se va nota cu Va.Definiţie. O mulţime D ⊂ Rk se numeşte mulţime deschisă dacă fie este

vidă, fie este vecinătate pentru fiecare punct al său.(O mulţime nevidă D ⊂ Rk este deschisă ∀a ∈ D,∃ r ra 0 a.î.

Ba, r ⊂ D).Definiţie. O mulţime D ⊂ Rk se numeşte mulţime deschisă dacă are

complementara deschisă (F ⊂ Rk este închisă Rk\F este deschisă).Exemplu. Bilele deschise Ba, r sunt mulţimi deschise , sferele Sa, r

sunt mulţimi închise, bilele închise Ba, r Sa, r sunt mulţimi închise.În definiţiile de mai jos considerăm un punct a ∈ Rk şi o mulţime M ⊂ Rk.Definiţie. Spunem că a este punct interior pentru mulţimea M dacă M este

o vecinătate a punctului a.(a ∈ Rk este interior mulţimii M ⊂ Rk M ∈ Va ∃ r 0 a.î.

Ba, r ⊂ M).Dacă a este punct interior pentruM, atunci a ∈ M.Definiţie. Spunem că a este punct exterior pentru mulţimea M dacă a este

punct interior pentru complementara Rk ∖M. Dacă a nu este nici punctinterior, nici punct exterior pentruM, spunem că a este punct frontieră pentruM.Definiţie. Spunem că a este punct aderent pentru mulţimea M dacă orice

vecinătate a punctului a conţine puncte dinM (∀V ∈ Va, V ∩ A ≠ ).Orice punct al unei mulţimi este punct aderent pentru mulţime, dar nu şi

reciproc.Definiţie. Spunem că a este punct de acumulare pentru mulţimea M dacă

orice vecinătate a punctului a conţine puncte dinM diferite de a(∀V ∈ Va, V ∩ A\a ≠ ).Definiţie. Spunem că un punct a ∈ M este punct izolat al mulţimii M dacă

a nu este punct de acumulare pentru M.a ∈ M este punct izolat al mulţimii M ∃ r 0 a. î. Ba, r ∩ M a.Mulţimea punctelor interioare pentruM se numeşte interiorul mulţimii M

şi se notează cu intM sau∘M. Mulţimea punctelor aderente pentruM se numeşte

aderenţa sau închiderea mulţimii M şi se notează cu clM sau M. Mulţimeapunctelor frontieră pentru M se numeşte frontiera mulţimii M şi se notează cu∂M. Mulţimea punctelor de acumulare pentruM se numeşte mulţimea derivatăa mulţimii M şi se notează cuM ′.

8

Capitolul 2. Şiruri2.1. Şiruri de numere reale2.1.1. Noţiuni introductive

Noţiunea de şir este fundamentală pentru Analiza matematică şi aplicaţiileacesteia. Importanţa noţiunii de şir rezultă şi din observaţiile de mai jos.Procesele discrete cu o infinitate de etape sunt descrise cu ajutorul şirurilor.

Când studiem în practică procese continue, acestea sunt deseori ”discretizate”,adică sunt aproximate cu procese discrete, mai uşor de abordat. Una dincondiţiile necesare şi suficiente de existenţă a limitei unei funcţiif : D ⊂ Rk → Rp într-un punct se exprimă cu ajutorul limitelor de şiruri.

Definiţii, exempleIntuitiv, un şir cu termeni într-o mulţime dată se reprezintă ca o succesiune

infinită de elemente ale acelei mulţimi. Un şir nu este determinat dacă seprecizează doar mulţimea termenilor săi.Definiţie. Numim şir de numere reale orice funcţie cu valori reale,

definită pe o submulţime a mulţimii numerelor naturale de formaNk n ∈ N : n ≥ k, unde k ∈ N.De obicei luăm k 1 (Nk N∗) sau k 0 (Nk N).Şirul f : Nk R, fn NOT an se notează mai simplu: ann≥k sau ann∈Nk .

Elementul an se numeşte termenul de rang n al şirului.Intuitiv, un subşir al unui şir se obţine selectând o infinitate de termeni ai

şirului, pe care-i vom renumerota păstrându-le ordinea.Fiind dat un şir de numere reale ann≥1 şi un şir strict crescător de numere

naturale n1 n2 … nk nk1 … spunem că ank k≥1 este un subşir al său.Orice şir are o infinitate de subşiruri.Definiţie. Numim subşir al unui şir de numere reale f : Nk R orice

restricţie a acestei funcţii la o submulţime infinită a domeniului său dedefiniţie.Exemple.1) Şirul numerelor naturale (an n,n ∈ N), şirul numerelor naturale pare

(bn 2n,n ∈ N), şirul numerelor naturale impare (an 2n 1,n ∈ N)şirulrăsturnatelor numerelor naturale nenule (an 1

n ,n ∈ N∗, dat şi sub forma:1, 12 ,

13 ,…

1n ,… ).

2) Progresie aritmetică cu raţia r ∈ R : an1 an r n ∈ N∗. Din relaţiade recurenţă rezultă formula termenului general: an a1 n − 1r n ∈ N∗3) Progresie geometrică cu raţia q ∈ R∗ : bn1 bn q n ∈ N∗. Din

relaţia de recurenţă rezultă că bn b1 qn−1 n ∈ N∗ (formula termenuluigeneral).4) Reamintim formulele pentru suma primilor n termeni ai unei progresii:Pentru o progresie aritmetică ann≥1 : a1 a2 …an na1an

2 sau,echivalent: a1 a2 …an na1 nn−1

2 r.Pentru o progresie geometrică bnn≥1: b1 b2 …bn b1 qn−1

q−1 (undeq ≠ 1). Cazul q 1 este foarte simplu : bn b1,∀n ∈ N∗, de undeb1 b2 …bn nb1.

9

Tipuri speciale de şiruri (şiruri monotone, şiruri mărginite)Şiruri monotoneSunt mai uşor de studiat şirurile ai căror termeni fie cresc, fie descresc,

numite şiruri crescătoare, respectiv şiruri descrescătoare.Definiţie. . Un şir ann≥1 se numeşte crescător dacă an ≤ an1,∀n ∈ N∗,

respectiv descrescător dacă an ≥ an1,∀n ∈ N∗.Un şir se numeşte monoton dacă este crescător sau descrescătorObservaţie1) Dacă inegalităţile de mai sus sunt stricte, adică an an1,∀n ∈ N∗ sau

an an1,∀n ∈ N∗, şirul ann≥1 se numeşte strict crescător, respectiv strictdescrescător.2) ann≥1 crescător a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an−1 ≤ an ≤ an1 ≤…ann≥1 descrescător a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥…an−1 ≥ an ≥ an1 ≥… .

3) ann≥1 monoton diferenţa an1 − an (a doi termeni consecutivi)păstrează semn constant când n ∈ N∗.

Exemplu. Studiaţi monotonia şirului an n 1 − n ,n ∈ N.Amplificând cu expresia conjugată numitorului obţinem an 1

n1 n.

Atunci, pentru orice n ∈ N aveman1 − an 1

n2 n1− 1

n1 n n − n2

n2 n1 n1 n 0.

Rezultă că şirul ann≥0 este strict descrescător.4) Unele şiruri nu sunt monotone (Exemplu: an −1n, n ∈ N∗).Şiruri mărginiteDefiniţie. Un şir de numere reale se numeşte mărginit dacă mulţimea

termenilor săi este mărginită, adică există în R un interval mărginit careconţine toţi termenii şirului.Deci: ann≥1 este şir mărginit în R ∃a,b ∈ R cu a ≤ b astfel încât

an ∈ a,b,∀n ≥ 1.Se demonstrează următoarea caracterizare ”simetrică” a şirurilor mărginite:

ann≥1 este mărginit ∃M 0 a.î. |an | ≤ M,∀n ≥ 1.(„“: Dacă |an | ≤ M, atunci an ∈ −M,M; „“: Dacă an ∈ a,b, atunci

|an | ≤ max|a|, |b|)Un şir de numere reale ann≥1se numeşte mărginit superior (majorat),

respectiv mărginit inferior (minorat), dacă mulţimea termenilor săi estemajorată: ∃b ∈ R a.î. an ≤ b,∀n ≥ 1, respectiv minorată : ∃a ∈ R a.î.an ≥ a,∀n ≥ 1. Se observă că un şir este mărginit dacă şi numai dacă el estemărginit inferior şi mărginit superior.

Şirurile care nu sunt mărginite se numesc nemărginite. Un şir care nu estemărginit superior, respectiv nu este mărginit inferior, se numeşte nemajorat,respectiv neminorat.Se observă că:1) ann≥1 este şir nemajorat ∀b ∈ R, ∃ n ≥ 1 a.î. an b ;2) ann≥1 este şir neminorat ∀a ∈ R, ∃ n ≥ 1 a.î. an a .Exemple.1) Orice şir crescător sau descrescător este mărginit inferior, respectiv

mărginit superior, de primul termen.2) Un şir crescător poate să nu fie mărginit superior (de exemplu,

an n, n ≥ 1.

10

3) Un şir descrescător poate să nu fie mărginit inferior (de exemplu,an −n, n ≥ 1.

2.1.2 Şiruri convergenteDefiniţie

Pentru anumite şiruri se constată că termenii şirului se apropie oricât demult de un un număr dat, numit limita şirului, pe măsură ce rangul termenilorcreşte. Această apropiere de limita şirului este sistematică, în sensul că de la unrang încolo toţi termenii şirului se află la distanţă mai mică decât faţă delimită, şi aceasta pentru fiecare 0. Rangul minim începând cu care termeniişirului se află la distanţă mai mică decât faţă de limită creşte pe măsură ce scade.De exemplu, termenii şirului an 1

n , n ∈ N∗ se apropie tot mai mult dezero când n creşte. Mai exact, distanţa de la termenii şirului zero devine maimică decât un 0 dacă şi numai dacă 1

n n 1 n ≥ 1 1, n

fiind număr natural (Notăm cu x partea întreagă a numărului real x, definităprin condiţiile: x ∈ Z şi x ≤ x x 1).Există şi şiruri nemonotone având comportarea descrisă mai sus. De

exemplu, termenii şirului bn 1n −1n, n ∈ N∗ se apropie tot mai mult de

zero când n creşte, dar şirul nu este monoton. De asemenea, este posibil cadistanţele de la termenii şirului la un număr să se apropie oricât de mult dezero, dar fără a forma un şir descrescător (exemplu: 12 , 1,

14 ,

13 ,....,

12n ,

12n−1 ,...).Definiţie. Spunem că şirul de numere reale xnn≥1 are limita a ∈ R dacă

orice interval deschis centrat în a conţine toţi termenii şirului, de la un rangîncolo, adică:

∀ 0,∃ N ∈ N astfel încât |xn − a| , ∀n ≥ N.

Numim şir convergent orice şir care are limită în R (are limită finită). Unşir care nu este convergent se numeşte divergent.Se mai spune că şirul xnn≥1 are limita a ∈ R dacă orice interval deschis

centrat în a conţine toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit determeni. Dacă şirul xnn≥1 are limita a ∈ R, mai spunem că acest şir convergecătre a sau tinde către a.Pentru a exprima pe scurt faptul că xnn≥1 are limita a ∈ R, folosim una

din notaţiile : limn→ xn a sau xn → a.Propoziţia ”∃ N ∈ N astfel încât |xn − a| , ∀n ≥ N” arată că

distanţele de la termenii şirului la limita şirului sunt mai mici decât , de larangul N încolo.Exemple. 1) Limita unui şir constant este constanta respectivă: xn c,

n ≥ 1 limn→ xn c.Evident, în acest caz putem lua N 1 pentru orice 0.2)

limn→1n 0; 1

n − 0 n 1 n 1

2 n ≥ 1

2 1.

Notând N 12

1 (pentru 0 arbitrar), avem îndeplinită condiţia∀n ≥ N, |xn − a| , unde xn 1

n şi a 0.

11

Vecinătăţi. Topologia mulţimii RVecinătăţile unui punct din R sunt mulţimile care includ intervale deschise

şi mărginite centrate în acel punct. Notând familia vecinătăţilor unui punctx0 ∈ R cu Vx0 , avem

V ∈ Vx0 DEF ∃ 0 a.î. x0 − ,x0 ⊂ V.

Echivalent, vecinătăţile unui punct din R sunt mulţimile care includ intervaledeschise şi mărginite ce conţin acel punct, adică

V ∈ Vx0 ∃ a,b ∈ R a.î. a x0 b şi a,b ⊂ V.O mulţime nevidă D ⊂ R se numeşte deschisă dacă D este vecinătate

pentru fiecare punct al său. Mulţimea vidă este prin definiţie submulţimedeschisă a lui R. O mulţime F ⊂ R se numeşte închisă dacă arecomplementara R\F deschisă.Exemple. Orice reuniune de intervale deschise din R este mulţime

deschisă. Reciproc, orice mulţime deschisă D ⊂ R se poate scrie ca reuniunede intervale deschise, mai exact ca reuniune a unei familii finite saunumărabile de intervale deschise disjuncte două câte două. Orice intervalînchis din R este mulţime închisă, în particular orice submulţime cu un singurelement a lui R este închisă.Definiţia noţiunii de şir convergent se reformulează cu ajutorul noţiunii de

vecinătate: un şir de numere reale xnn≥1 este convergent dacă există a ∈ Rastfel încât orice vecinătate a punctului a conţine toţi termenii şirului, de la unrang încolo.

Proprietăţi ale limitei unui şir convergent1) Limita unui şir convergent este unic determinată.2) Când aplicăm una din operaţiile următoare unui şir convergent, obţinem

tot un şir convergent, având aceeaşi limită ca şirul iniţial: extragem un subşir;adăugăm sau eliminăm un număr finit de termeni; schimbăm ordineatermenilor.Consecinţă. Dacă un şir are două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul

este divergent .De exemplu , şirul an −1n, n ∈ N are subşirurile constantea2n 1, n ∈ N şi a2n1 −1, n ∈ N , având limitele 1, respectiv −1, deci şirulann∈N nu este convergent.Faptul că un număr finit de termeni nu influenţează limita şirului explică de

ce uneori în locul notaţiei ann≥k se poate folosi notaţia simplificată an.Limite şi inegalităţi

1) Criteriul majorării Dacă |xn − a| ≤ rn,∀n ≥ 1 şi rn → 0, atuncixn → a.2) Trecerea la limită în inegalităţi Dacă xnn≥1 şi ynn≥1 sunt şiruri

convergente şi xn ≤ yn,∀n ≥ 1, atunci limn→ xn ≤ limn→ yn.În particular, limita unui şir convergent de numere pozitive este pozitivă şi

limita unui şir convergent de numere negative este negativă. Din faptul cătermenii unui şir convergent sunt strict pozitivi (respectiv, strict negativi) nurezultă că limita şirului este strict pozitivă (respectiv, strict negativă), dupăcum se observă considerând şirul 1n n≥1 (respectiv, −

1n n≥1). Se spune că

12

prin trecere la limită în inegalităţi, inegalităţile stricte devin nestricte.3) Criteriul cleştelui Dacă ann≥1 şi bnn≥1 sunt şiruri convergente cu

aceeaşi limită: limn→ an limn→ bn l şi an ≤ xn ≤ bn,∀n ≥ 1, atunci∃ limn→ xn l.Exemplu. Să se arate că limn→

2nn! 0 (În general, limn→

ann! 0 pentru orice

a ∈ R).Soluţie.Estimăm 2n

n! 21

22

23

24 . . .

2n 2

1 22

23

23 . . .

23 . Pentru

orice n ≥ 3 avem 0 2nn! ≤

21

22

23

n−2 , şi cumlimn→

21

22

23

n−2 0, rezultă limn→2nn! 0.

Condiţie necesară de convergenţă. Condiţie suficientă de convergenţă.Studiem legătura şirurilor convergente cu alte clase de şiruri: şiruri

mărginite, şiruri monotone.Teoremă (Condiţie necesară de convergenţă) Orice şir convergent de

numere reale este mărginit.Consecinţă. Orice şir nemărginit de numere reale este divergent.Observaţie. Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu, şirul

xn −1n, n ≥ 1, este mărginit, dar nu are limită.În schimb, se demonstrează următoareaTeoremă (Lema lui Césaro) Orice şir mărginit de numere reale are cel

puţin un subşir convergent.Teoremă. (de convergenţă a şirurilor monotone). Orice şir monoton şi

mărginit de numere reale este convergent. Mai exact: orice şir crescător şimajorat are ca limită marginea superioară a mulţimii termenilor săi; orice şirdescrescător şi minorat are ca limită marginea inferioară a mulţimiitermenilor săi.Observaţie. Nu orice şir convergent este monoton. De exemplu, şirul

xn −1nn ,n ≥ 1, nu este monoton, dar converge la 0.

Operaţii cu şiruri convergenteLemă. Dacă limn→ an limn→ bn 0, atunci limn→an bn 0 şi limn→can 0,

∀c ∈ R.Teoremă.Fie xnn≥1 şi ynn≥1 şiruri convergente. Atunci:1) Şirul xn ynn≥1 este convergent şi limn→xn yn limn→ xn limn→ yn2) Şirul xn ynn≥1 este convergent şi limn→xn yn limn→ xn limn→ yn3) Dacă limn→ yn ≠ 0, atunci există k ≥ 1 astfel încât subşirul

xnyn n≥k este

convergent şi limn→xnyn

limn→xnlimn→yn

4) Dacă xn ≥ 0 pentru orice n, atunci şirul xn n≥1 este convergent şilimn→ xn limn→ xn .Observaţii.Proprietatea de la 1) se numeşte proprietatea de aditivitate a limitei: ”limita

sumei este egală cu suma limitelor”.Luând în 2) şirul ynn≥1 constant deducem că limn→cxn c limn→ xn ,

pentru orice c ∈ R (proprietatea de omogenitate a limitei: ”constanta iese în

13

faţa limitei”)Fiecare egalitate din Teorema precedentă are loc dacă membrul său drept

are sens. Altfel spus, dacă are sens membrul drept al egalităţii, atunci are sensşi membrul stâng şi cei doi membri sunt egali.

Şiruri remarcabile. Şiruri tip1) Limita unei progresii geometrice.Fie şirul puterilor unui număr real q, adică şirul definit prin xn qn pentru

n ≥ 1.Avem q0 1 pentru q ≠ 0.Dacă q 0, şirul este constant : xn 0,∀n ≥ 1 . Dacă q 1, şirul este

constant: xn 1,∀n ≥ 1, deci limn→ qn 1, dacă q 1.

Pentru a studia monotonia şirului, calculămxn1 − xn qn1 − qn qnq − 1.Discuţie după baza q:I. Dacă q 1, atunci xnn≥1 este strict crescător.II. Dacă q ∈ 0,1, atunci xnn≥1 este strict descrescător.În cazul II, şirul xnn≥1 este monoton şi mărginit , deci este convergent.

Trecem la limită în relaţia de recurenţă: xn1 qxn,∀n. Rezultălimn→ xn1 q limn→ xn. Notăm limn→ xn l. Atunci limn→ xn1 l. Obţinem l q l,de unde lq − 1 0. Dar q − 1 ≠ 0, de unde l 0.Am demonstrat că limn→ q

n 0, dacă q ∈ 0,1. Dacă q 0, evidentlimn→ q

n 0.III. Dacă q ∈ −1,0, atunci |xn | |qn | |q|n → 0, deoarece |q| ∈ 0,1,

de unde xn → 0.Rezultă că limn→ q

n 0, dacă q ∈ −1,1 .

Mai general, orice progresie geometrică având raţia de modul subunitarconverge la zero.În cazul I, şirul strict crescător xnn≥1 este nemărginit superior:

qn 1 q − 1n 1 nq − 1,∀n ≥ 1 (inegalitatea lui Bernoulli).Se va arăta că limn→ q

n , dacă q 1 . În plus:

nu există limn→ qn, dacă q ∈ −,−1.

2) Numărul e.an 1 1

n n,n ≥ 1 este un şir crescător, cu termenii în intervalul 2,3.

Fiind monoton şi mărginit, acest şir are limită. Limita sa este un număriraţional din intervalul 2,3, notat cu e. Numărul e 2,718282182845. . . estefolosit pe scară largă în matematică, ca bază a exponenţialei ex (notată şi cuexpx) şi a logaritmului natural lny. De reţinut :

e DEF limn→ 1 1nn.

Se arată că 1 1n

n e 1 1n

n1,∀n ≥ 1.Vom demonstra căe limn→ 1 1

1! 12! . . .

1n! . Cu ajutorul acestei relaţii se calculează de

obicei aproximările prin lipsă ale numărului e, cu eroare oricât de mică.Numerele 1 (unitatea reală), i (unitatea imaginară) , (raportul dintre

lungimea şi diametrul unui cerc oarecare) şi numărul e sunt legate prinurmătoarea relaţie

14

ei 1 0.

3) Limita raportului a două polinoameFiind date două polinoame de acelaşi grad, cu coeficienţi reali,

Px apxp . . .a1x a0 şi Qx bpxp . . .b1x b0 (unde ap ≠ 0 şibp ≠ 0 ) se cere să calculăm limn→

PnQn .

Scoţând factor forţat puterea cea mai mare a lui n, scriemPn np ap ap−1 1n . . .a1 1

np−1 a0 1

np şiQn np bp bp−1 1n . . .b1 1

np−1 b0 1

np . AvemPnQn ap ap−1 1n . . .a1 1

np−1 a0 1

np bp bp−1 1n . . .b1 1np−1

b0 1np

−1.

Toate puterile naturale ale lui 1n tind la 0 când n → , de unde

limn→PnQn

apbp.

Limita la a raportului a două polinoame de acelaşi grad este egală curaportul coeficienţilor termenilor de grad maxim.

2.1.3. Dreapta reală încheiată. Şiruri care au limită. Şiruri cu limită infinită

Pentru a studia în mod unitar mulţimile mărginite şi mulţimile nemărginitede numere reale se ataşează mulţimii R două elemente notate cu şi−.Reuniunea R −, NOT R se mai numeşte şi dreapta realăîncheiată.Relaţia de ordine „≤“ se extinde la R convenind ca − x ,∀x ∈ R.În R orice mulţime are margine inferioară şi margine superioară. Dacă o

mulţime nevidă A ⊂ R nu este majorată, atunci supA în R. Dacă omulţime nevidă A ⊂ R nu este minorată, atunci infA − în R. Pentru oricemulţime A ⊂ R avem infA ≤ supA, cu egalitate doar în cazul când A are unsingur element.Definiţie. Spunem că un şir xnn≥1 are limita dacă orice număr este

mai mic decât toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit de termeni,adică ∀M ∈ R,∃ NM ∈ N astfel încât xn M,∀n ≥ NM. În acest cazscriem limn→ xn .Definiţie. Spunem că un şir xnn≥1 are limita − dacă orice număr este

mai mare decât toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit de termeni,adică ∀m ∈ R,∃ Nm ∈ N astfel încât xn m, ∀n ≥ Nm.În acest cazscriem limn→ xn −.

Observaţii.1) limn→ xn xnn≥1 este nemajorat. Reciproca este falsă (Ex:

1,2,1,3,1,4,1,5,… , 1,n… este un şir nemajorat, dar nu are limită).2) limn→ xn − xnn≥1 este neminorat.3) limn→ xn − limn→−xn .Teoremă (Limita unui şir monoton şi nemărginit) Orice şir monoton şi

nemărginit are limită infinită.Mai exact, dacă un şir nemărginit xnn≥1 este crescător (respectiv,

15

descrescător), atunci limn→ xn (respectiv, limn→ xn −).Vom extinde operaţiile algebrice de la R la R, folosind operaţiile cu şiruri

care au limită.Se extinde structura topologică de la R la R, introducând noţiunea de

vecinătate a lui , respectiv a lui −. O mulţime de numere reale senumeşte vecinătate a punctului dacă mulţimea conţine un interval deschisnemajorat (de forma a,). O mulţime de numere reale se numeştevecinătate a punctului − dacă mulţimea conţine un interval deschisneminorat (de forma −,b).

Definiţia unitară a limiteiFolosind vecinătăţile din R ale punctelor din R se definesc în mod unitar

limitele de şiruri, atât cele finite, cât şi cele infinite.Pe baza definiţiilor anterioare ale limitelor şi vecinătăţilor, se verifică uşor

următoareaPropoziţie. Şirul de numere reale xnn≥1 are limita a ∈ R dacă şi numai

dacă pentru orice vecinătate V ∈ Va există un număr natural NV astfelîncât xn ∈ V pentru orice n ≥ NV.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un şir să aibă o limită dată,

exprimată în Propoziţia anterioară, este numită definiţia cu vecinătăţi a limiteiunui şir.Puncte de acumulare infinite. Reamintim că un punct din Rk se numeşte

punct de acumulare pentru o mulţime dacă orice vecinătate a punctului, dincare scoatem acel punct, are elemente comune cu mulţimea dată. AvândA ⊂ R, se observă că (respectiv, −) este punct de acumulare pentru A înR dacă şi numai dacă A nu este majorată (respectiv, A nu este minorată).Un şir de numere reale poate fi în una din următoarele trei situaţii

distincte: are limită finită (este convergent), are limită infinită sau nu arelimită (este oscilant). Aşadar, şirurile divergente sunt de două tipuri: şiruricare au limită infinită şi şiruri care nu au limită.Unele proprietăţi studiate pentru clasa şirurilor convergente rămân valabile

pentru şiruri care au limită.1) Un şir poate avea cel mult o limită.2) Când aplicăm una din operaţiile următoare unui şir care are limită,

obţinem un şir care are aceeaşi limită ca şirul iniţial:extragem unui subşir; adăugăm sau înlăturăm un număr finit de termeni;

schimbăm ordinea termenilor.Consecinţă. Dacă un şir are două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul

respectiv nu are limită.3) Trecerea la limită în inegalităţi Dacă xnn≥1 şi ynn≥1 sunt şiruri

care au limită şi xn ≤ yn,∀n ≥ 1, atunci limn→ xn ≤ limn→ yn.4) Orice şir monoton de numere reale are limită. Limita unui şir crescător

este marginea superioară a mulţimii termenilor săi. Limita unui şir descrescătoreste marginea inferioară a mulţimii termenilor săi.

2.1.4. Operaţii cu şiruri care au limităSuma a două şiruri care au limită

Am demonstrat că pentru două şiruri cu limite finite limita sumei este egalăcu suma limitelor. Se arată că

16

1) limn→ xn x ∈ Rşi limn→ yn limn→xn yn .2) limn→ xn x ∈ Rşi limn→ yn − limn→xn yn −3) limn→ xn limn→ yn limn→xn yn . .Pe baza acestor reguli de calcul cu limite de şiruri, pentru a putea afirma şi

în aceste cazuri că limita sumei este egală cu suma limitelor, se enunţă regulicorespunzătoare de adunare în R:(1) x ; (2) x − − ∀x ∈ R şi(3.1) ; (3.2) − − −.Se spune că − este caz de nedeterminare (caz exceptat la adunare) în

sensul că din limn→ xn limn→ yn , nu putem trage o concluzie generalăprivind existenţa şi valoarea limitei limn→xn − yn.În toate cazurile următoare avem limn→ xn limn→ yn , dar limn→xn − yn

poate lua orice valoare sau nu există.a) xn n a, yn n n ≥ 1, unde a ∈ R xn − yn → a (limită finită

oarecare );b) xn 2n, yn n xn − yn → c) xn 2n, yn 3n xn − yn → −d) xn n −1n → , yn n xn − yn −1n nu are limită.În consecinţă, în R nu se definesc (nu au sens) −, −,

− −−.Produsul a două şiruri care au limită

Am demonstrat că pentru două şiruri cu limite finite limita sumei este egalăcu suma limitelor. Se arată că1) limn→ xn x ∈ R ∖ 0 şi

limn→ yn limn→xn yn , dacă x 0∓, dacă x 0

2) limn→ xn limn→ yn limn→xn yn 3) limn→ xn şi limn→ yn ∓ limn→xn yn −.Pe baza acestor reguli de calcul cu limite de şiruri , pentru a putea afirma şi

în aceste cazuri că limita produsului este egală cu produsul limitelor se enunţăreguli corespunzătoare de înmulţire în R:

1) x , dacă x 0∓, dacă x 0

;

2) ;3) ∓ −.Spunem că 0 este caz de nedeterminare (caz exceptat la înmulţire) în

sensul că din limn→ xn 0 şi limn→ yn nu putem trage o concluzie generalăprivind existenţa şi valoarea limitei limn→xn yn.În toate cazurile următoare avem limn→ xn 0 şi limn→ yn ∈ −,, dar

limn→xn yn poate lua orice valoare sau nu există.a) xn 1

n , yn a n (unde a ∈ R\0) xn yn a → a (limită finitănenulă oarecare )b) xn 1

n2, yn n xn yn 1

n → 0

17

c) xn 1n , yn n xn yn →

d) xn −1nn , yn n xn yn −1n nu are limită.

În consecinţă, în R nu se definesc (nu are sens) produsele 0 ,0 −.

Câtul a două şiruri care au limităAvem limn→

xnyn limn→xn

1yn , unde yn ≠ 0 pentru orice n. Deoarece am

studiat complet limitele produselor de şiruri, e suficient să studiem limn→1yn . Se

arată că1) limn→ yn limn→

1yn 0.

2) limn→ yn 0 şi yn 0 (de la un rang încolo) limn→1yn .

3) limn→ yn 0 şi yn 0 (de la un rang încolo) limn→1yn −.

4) Dacă şirul yn cu limn→ yn 0 are termeni strict pozitivi şi termeni strictnegativi de rang oricât de mare, atunci limn→

1yn nu există.

5) limn→ xn şi limn→ yn c ≠ 0 limn→xnyn

dacă c 0∓ dacă c 0

.

Pe baza acestor regulilor de la 1) şi 5), pentru a putea afirma şi în acestecazuri că limita raportului este egală cu raportul limitelor, se enunţă regulilecorespunzătoare de împărţire în R: 1

0, de unde c 0 , ∀c ∈ R,

respectiv c

dacă c 0∓ dacă c 0

.

Observaţii. Nu putem asocia o regulă de calcul algebric cazurilor 2) şi3), totuşi, scriem convenţional: 1

0 şi 1−0 −.

Afirmaţia de la punctul 4) arată că raportul 10 nu are sens în R, după cumnu avea sens în R.Spunem că 0

0 şi sunt cazuri de nedeterminare (cazuri exceptate la

împărţire), în sensul că nu putem trage o concluzie generală privind existenţa şivaloarea limitei limn→

xnyn în cazurile următoare:

a) limn→ xn limn→ yn 0 ;b) Limitele limn→ xn, limn→ yn sunt ambele infinite.Pentru orice număr real a ∈ R există şirurile xn → 0 şi yn → 0 astfel încât

xnyn → a, de exemplu xn a

n , yn 1n , n ≥ 1. De asemenea, dacă a ,

există şirurile xn → 0 şi yn → 0 astfel încât xnyn → a, de exemplu xn 1n ,

yn 1n2, n ≥ 1.

Calculul unei limite în cazul de nedeterminare se reduce cu uşurinţă la

calculul unei alte limite în cazul 00 . Dacă limn→ xn, limn→ yn ∈ , scriemlimn→

xnyn limn→

1/yn1/xn, iar ultima limită este de tip 0

0 .Dacă limn→ xn ∈ R ∖ 0 şi limn→ yn 0, iar şirul yn are termeni strict

pozitivi şi termeni strict negativi de rang oricât de mare, atunci nu existălimn→

xnyn .Cele de mai sus justifică de ce nu se definesc (nu au sens) în R rapoartele

cu numitorul zero şi rapoartele , − ,

− , −− .

18

PuteriPentru puteri de şiruri convergente se demonstrează că: dacă limn→ xn x şi

limn→ yn y şi dacă xy are sens (adică x 0 pentru y ≤ 0 şi x ≥ 0 pentru y 0),

atunci limn→xnyn limn→ xn

limn→yn . În acest caz se spune că, pentru a calculalimita unei puteri, limita se distribuie bazei şi exponentului.Presupunem că limn→ xn x ∈ 0,\1.1) Dacă x 1 şi limn→ yn , atunci limn→xn

yn .2) Dacă x 1 şi limn→ yn −, atunci limn→xn

yn 0.3) Dacă x ∈ 0,1 şi limn→ yn , atunci limn→xn

yn 0.4) Dacă x ∈ 0,1 şi limn→ yn −, atunci limn→xn

yn .5) Dacă x şi limn→ yn y ≠ 0, atunci

limn→xnyn

, dacă y 00, dacă y 0

Observaţie. 1) 2) şi, analog, 3) 4).Fie x 1 şi limn→ yn −. Atunci xn

yn 1xn−yn

şi

xn → x 1−yn →

.Aplicând 1) xn−yn → xnyn → 0 1 .

Astfel, se definesc în R : x , dacă x ∈ 1,0, dacă x ∈ 0,1

şi

x− 0, dacă x ∈ 1,, dacă x ∈ 0,1

.

Cazurile de nedeterminare (cazurile exceptate) la calcul limitei unei puterisunt 1 , 00 , 0 . Altfel spus, nu putem afirma nimic despre existenţa şivaloarea limitei limn→xn

yn dacă are loc una din situaţiile limn→ xn 1 şilimn→ yn , sau limn→ xn limn→ yn 0, respectiv limn→ xn , limn→ yn 0.Cea mai simplă limită de tipul 1 este cea care defineşte numărul e:

limn→1 1n n e. Mai general, se demonstrează că:

limn→ xn limn→1 1xn

xn e.

Prin logaritmare, cazurile de nederminare 1, 00 şi 0 se reduc la cazul denedeterminare mai uşor de tratat 0 .Scriem xnyn e lnxn

yn eynlnxna) xn → 1, yn → limn→ yn lnxn e de tip 0b) xn ↘ 0, yn → 0 limn→ yn lnxn e de tip 0 −c) xn → , yn → 0 limn→ yn lnxn e de tip 0 .Nu se definesc (nu au sens) în R puterile 1, 00 şi 0.Exemple. 1) Limita unui polinom. Fie Px apxp . . .a1x a0 un

19

polinom cu coeficienţi reali, de grad p ≥ 1. Se cere limn→Pn.Dacă toţi coeficienţii polinomului sunt strict pozitivi, respectiv strict

negativi, atunci limita cerută este , respectiv −, pe scurt este egală cuap . Dacă polinomul are cel puţin un coeficient strict pozitiv şi cel puţinun coeficient strict negativ, atunci limita cerută este de tip − . Scoţândfactor forţat puterea lui n cu exponent maxim, scriemPn np ap ap−1 1n . . .a1 1

np−1 a0 1

np . Cum limn→ np şi

limn→ ap ap−1 1n . . .a1 1np−1

a0 1np ap, rezultă că limn→Pn ap .

2) Limita unei progresii geometrice.Revenim la problema calculării limitei limn→ q

n pentru q 1 şi q ≤ −1.3) Calculaţi limn→a

n − bn, unde a,b 1 sunt numere distincte.limn→ a

n şi limn→ bn , deci limita este de tip − . Puterea cu baza

mai mare tinde ”mai rapid” la infinit şi va fi scoasă factor forţat.Dacă a b scriem an − bn an1 − ba

n şi cum limn→ba

n 0,limn→a

n − bn . Dacă b a scriem an − bn bn ab

n − 1 şi cumlimn→

ab

n 0, limn→a

n − bn −.4) Limita raportului a două polinoameFiind date două polinoame cu coeficienţi reali, Px apxp . . .a1x a0

şi Qx bqxq . . .b1x b0 (unde ap ≠ 0 şi bq ≠ 0 ) se cere să calculămlimn→

PnQn .Q are un număr finit de rădăcini reale, de unde rezultă că există un număr

natural N mai mare decât orice rădăcină a lui Q. Atunci Qx ≠ 0,∀x ∈ N,, în particular are sens raportul PnQn , ∀n ≥ N.Observăm că dacă p,q ≥ 1, limita cerută este de tip

. Scoţând factorforţat puterea cea mai mare a lui n din fiecare polinom, scriemPn np ap ap−1 1n . . .a1 1

np−1 a0 1

np şiQn nq bq bq−1 1n . . .b1 1

nq−1 b0 1

nq .Atunci PnQn np−qap ap−1 1n . . .a0 1

np bq bq−11n . . .b0 1

nq −1.

Avem limn→ap ap−11n . . .a0 1

np bq bq−11n . . .b0 1

nq −1 ap

bq. Pe de

altă parte, limn→ np−q

1, dacă p q0, dacă p q, dacă p q

. Rezultă că

limn→PnQn

apbp, dacă p q

0, dacă p qapbq , dacă p q

.

Limita la a raportului a două polinoame de acelaşi grad este egală curaportul coeficienţilor dominanţi corespunzători.

2.1.5. Şiruri fundamentale de numere realeDe regulă, într-un proces de aproximare a unei mărimi x ∈ R printr-un şir

20

xnn≥1 nu cunoaştem dinainte pe x, dar intuim că şirul xnn≥1 este convergentobservând că distanţele mutuale dintre termeni devin oricât de mici cândrangurile termenilor cresc.Pentru a caracteriza noţiunea de şir convergent fără a face apel la elemente

exterioare şirului, cum este limita, Cauchy a introdus noţiunea de şirfundamental. Noţiunea de şir fundamental este necesară şi pentru a defininoţiunea de număr real pornind de la şiruri de numere raţionale.Se va arăta că în mulţimea numerelor reale noţiunile de şir convergent şi şir

fundamental sunt echivalente.Definiţie. Un şir de numere reale xnn≥1 se numeşte şir fundamental (sau

şir Cauchy) dacă:

∀ 0,∃ N număr natural a.î ∀m,n ≥ N avem |xm − xn | .

Reformulări ale definiţiei Următoarele afirmaţii sunt echivalente:(F1) xnn≥1 este şir fundamental (în sensul definiţiei de mai sus);(F2) ∀ 0,∃N număr natural a.î. ∀n ≥ N,∀p ∈ N avem

|xnp − xn | ;(F3) Există un şir de numere pozitive convergent la zero ann≥1 astfel încât

|xnp − xn | ≤ an,∀p ∈ N,∀n ∈ N.Teoremă. Orice şir convergent din R este şir fundamental.Lemă. Orice şir fundamental din R este mărginit.Lemă. (Lema lui Cesaro) Orice şir mărginit din R are un subşir

convergent.Lemă. Dacă un şir fundamental din R are un subşir convergent, atunci

acel şir este convergent la limita subşirului respectiv.Din cele trei leme de mai sus rezultă următoareaTeoremă. Orice şir fundamental din R este convergent (R este spaţiu

metric complet).Din ultimele două teoreme urmeazăCriteriul lui Cauchy. Un şir de numere reale este convergent dacă şi

numai dacă este şir fundamental.Exemple. Folosind criteriul lui Cauchy, stabiliţi dacă şirul dat este sau nu

convergent.1) xn 1 1

22 1

32… 1

n2; xnp − xn 1

n12 1

n22… 1

np2.

x 1 1x2

1x−1x 1

x−1 −1x ;

|xnp − xn | 1n − 1n1

1n1 −

1n2 … 1

np−1 −1np

|xnp − xn | 1n − 1

np |xnp − xn | 1n → 0 xnn≥1 este

fundamental, deci este convergent.Se arată că limn→ 1 1

22… 1

n2 2

6 .2) xn 1 1

2 … 1n ;

xnp − xn 1n1

1n2 … 1

np pnp |xnp − xn | p

n1 . Pentru.p n rezultă: |x2n − xn | n

nn 12 .

Distanţele |x2n − xn | nu devin oricât de mici când n creşte xnn≥1 nu esteşir fundamental, deci xnn≥1 este divergent.Dar şirul xnn≥1 este crescător, deci are limita . Am arătat că

21

limn→1 12 … 1

n .

3) xn sin3 sin2

32… sinn

3n .xnp − xn sinn1

3n1 sinn2

3n2… sinnp

3np |xnp − xn | ≤ 1

3n1

≤1

|sinn 1| 13n2

≤1

|sinn 2| … 13np

≤1

|sinn p|

|xnp − xn | ≤ 13n1

13n2

… 13np 1

3n11 1

3 132… 1

3p−1.

Aplicăm formula sumei unei progresii geometrice:1 q q2 …qn qn1−1

q−1 q ≠ 1.

1 13

132… 1

3p−1

13p−1

13 −1

1− 1

3p23

32 1 − 1

3p 32 .

Rezultă că: |xnp − xn | 13n1

32 1

23n → 0, deci xnn≥1 estefundamental şi implicit, convergent.Folosind faptul că orice şir Cauchy de numere reale este convergent se

demonstrează următorul rezultat, foarte important prin aplicaţiile sale.Teoremă (Metoda aproximaţiilor succesive)Fie I ⊂ R un interval închis şi f : I I o funcţie cu proprietatea că există

∈ 0,1 astfel încât |fx − fy| ≤ |x − y|,∀x,y ∈ I. Atunci ecuaţiafx x, x ∈ I are o soluţia unică şi pentru orice x0 ∈ R şirul definit prinrelaţia de recurenţă xn1 fxn, n ∈ N, este convergent către . În plus,pentru orice n ∈ N are loc inegalitatea

|xn − | ≤ n1 − |x1 − x0 |.

Observaţie. O funcţie f : A ⊂ R → R cu proprietatea că există ∈ 0,1astfel încât |fx − fy| ≤ |x − y|,∀x,y ∈ A se numeşte contracţie.Pentru ca o funcţie derivabilă pe un interval f : I R să fie contracţie

este suficient ca M : sup|f ′x| : x ∈ R 1.Observaţie. Dacă f : I I este o contracţie, orice şir definit prin

xn1 fxn, n ∈ N este numit şir al aproximaţiilor succesive. Acest şir esteutilizat pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiei fx x, x ∈ I, atunci cândnu este posibil să aflăm o soluţie exactă. x0 se numeşte aproximaţie iniţială,iar termenul xn se numeşte aproximaţie de ordinul n.Exemplu. Să se arate că ecuaţia x 1tgx − 1 0 are o soluţie unică în

intervalul 0, 4 . Să se construiască un şir al aproximaţiilor succesive xnn∈Ncu x0 0, având limita , şi să se determine un număr natural n cât mai micpentru care |xn − | 10−4.Soluţie. Fie Fx x 1tgx − 1, x ∈ 0, 4 . Calculăm F0 −1 0

şi F 4 4 0. Funcţia continuă F are proprietatea valorilor intermediare

(vezi capitolul ”Limite şi continuitate”), de unde rezultă că ecuaţia Fx 0,x ∈ 0, 4 are cel puţin o soluţie. Dar F este strict crescătoare (ca produs alfuncţiilor strict crescătoare şi pozitive x 1 şi tgx, x ∈ 0, 4 , este funcţiestrict crescătoare), de unde rezultă că ecuaţia Fx 0, x ∈ 0, 4 are cel multo soluţie. În concluzie, ecuaţia Fx 0, x ∈ 0, 4 are exact o soluţie.Pentru a putea aplica metoda aproximaţiilor succesive, trebuie să punem

22

ecuaţia dată sub forma fx x, unde f : 0, 4 → 0, 4 este o contracţie.Observăm că x 1tgx − 1 0, x ∈ 0, 4 tgx 1

x1 ,x ∈ 0, 4 x arctg 1

x1 , x ∈ 0,4 . Funcţia fx : arctg

1x1 este

descrescătoare şi pozitivă pe 0, 4 , deci pentru orice x ∈ 0,4 avem

0 f 4 ≤ fx ≤ f0 4 . Putem considera I 0,

4 şi f : I → I.

Avem f ′x − 1x121

, de unde |f ′x| 1x121

≤ |f ′0| 12 , pentru

orice x ≥ 0. Din |f′x| ≤ 12 , ∀x ∈ 0,

4 rezultă

|fx − fy| ≤ 12 |x − y|,∀x,y ∈ I, deci f este o contracţie, cu 1

2 .Construim şirul aproximaţiilor succesive xn1 fxn, adică xn1 arctg 1

xn1 ,n ∈ N, cu x0 0. Avem x1 arctg1

4 . Aplicând estimarea erorii|xn − | ≤ n

1− |x1 − x0 | rezultă |xn − | ≤2n1. Pentru ca |xn − | 10−4 este

suficient ca 2n1

10−4, adică 2n1 104. Calculând puterile lui 2 observămcă 214 16384 31415 104 31416 215. Pentru n 14 are locestimarea cerută |x14 − | 10−4.

2.2. Şiruri în RkFie Rk x1,x2,… ,xk : x1,x2, . . . ,xk ∈ R. Pe Rk definim norma

euclidiană ‖x‖ ∑i1

kxi2 , unde x x1,x2,… ,xk. Funcţia

d : Rk Rk → R definită prin dx − y ‖x − y‖ este o distanţă, numitădistanţa euclidiană pe Rk. Vom lucra cu şiruri din spaţiul metric Rk,d.Notăm termenii unui şir oarecare xnn≥1 din R

k prinxn xn1,xn2,… ,xnk.Definiţie. Fie xnn≥1 şir din R

k şi x ∈ Rk. Spunem că limn→ xn x în Rk

dacă limn→ dxn,x 0 în R.Observaţie. limn→ xn x în

Rk limn→‖xn − x‖ 0 limn→ ∑i1

kxni − xi2 0.

Definiţie. Un şir xnn≥1 din Rk se numeşte şir fundamental dacă

∀ 0,∃ N număr natural a.î ∀m,n ≥ N avem dxm,xn .Definiţie. Spunem că un şir xnn≥1 din R

k este mărginit dacămulţimea termenilor săi este mărginită.Observaţie. Un şir xnn≥1 din R

k este mărginit există M 0 astfel încât‖xn‖ ≤ M pentru orice n ≥ 1.Teoremă (Convergenţa pe componente)Fie xn xn1,xn2,… ,xnk ∈ Rk, n ≥ 1 şi x x1,x2,… ,xk ∈ Rk. Atunci

limn→ xn x în Rk limn→ xni xi în R, pentru i ∈ 1,2,… ,k.

(Aplicăm regula limn→xn1,xn2,… ,xnk limn→ xn1, limn→ xn2,… , limn→ xnk dacălimita din membrul stâng există sau toate limitele din membrul drept există).Demonstraţie. Necesitatea („“): Fie i ∈ 1,2,… ,k. Avem

|xni − xi | ≤ ∑j1

kxnj − xj2 ‖xn − x‖. Din 0 ≤ |xni − xi | ≤ ‖xn − x‖ şi

limn→‖xn − x‖ 0, aplicând Criteriul majorării sau Criteriul cleştelui, rezultă

23

limn→ xni xi.

Suficienţa („“) : Avem ‖xn − x‖ ≤ ∑i1

k|xni − xi |. Din limn→ xni xi,

∀i ∈ 1,2,… ,k rezultă limn→ ∑i1

k|xni − xi | 0. Din inegalitatea precedentă,

aplicând Criteriul majorării sau Criteriul cleştelui, rezultă limn→‖xn − x‖ 0,adică limn→ xn x în R

k. Observaţie. Analog se demonstrează că:a) şirul xnn≥1 este mărginit în R

k ∀i ∈ 1,… ,k şirul componentelorxnin≥1 este mărginit în R.b) şirul xnn≥1 este fundamental în R

k ∀i ∈ 1,… ,k şirul xnin≥1 estefundamental în R.Folosind echivalenţa de la punctul b), teorema precedentă şi faptul că în R

orice şir fundamental este convergent, se arată în Rk un şir este convergentdacă şi numai dacă este şir fundamental.Exemplu. Fie în R3 şirul xn 2n3n

3n4n ,2n2−n3n22n−4

,n sin 1n . Calculaţi

n→lim xn.

Soluţie. Avemn→lim 2n3n

3n4n 0,n→lim 2n2−n3

n22n−4 2 şi

n→lim n sin 1

n n→lim sin1/n

1/n x→0lim sinx

x 1, de unden→lim xn 0,1,2.

Teoremă (Operaţii cu şiruri convergente în Rk)Fie xnn≥1 şi ynn≥1 şiruri convergente în R

k . Atunci:1) Şirul xn ynn≥1 este convergent în R

k şin→lim xn yn

n→lim xn

n→lim yn;2) Pentru orice ∈ R, şirul xnn≥1 este convergent în R

k şi

n→lim xn

n→lim xn.

Demonstraţie. Notămn→lim xn x şi

n→lim yn y. Atunci

n→lim ‖xn − x‖ 0

şin→lim ‖yn − y‖ 0.1) Scriem ‖xn yn − x y‖ ‖xn − x yn − y‖, de unde rezultă,

aplicând inegalitatea triunghiului:‖xn yn − x y‖ ≤ ‖xn − x‖ ‖yn − y‖. Cum

n→lim ‖xn − x‖ ‖yn − y‖ 0, deducem că

n→lim ‖xn yn − x y‖ 0,

adicăn→lim xn yn x y.

2) Fie ∈ R. Avem ‖xn − x‖ ‖xn − x‖ || ‖xn − x‖ → 0pentru n → , de unde

n→lim xn x.

24

Capitolul 3. Serii de numere realeVom studia noţiunea de serie de numere reale, strâns legată de noţiunea de

şir. Intuitiv, a considera o serie înseamnă a încerca să aflăm suma termenilorunui şir ( a1 a2 …an … ?).

3.1. Suma unei serii. Serii convergenteAdunarea este o operaţie binară pe R: x,y ∈ R R x y ∈ R.Prin recurenţă se defineşte suma a 3,4,… ,n numere reale:

a1 a2 a3 a1 a2 a3; a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3a4;…a1 a2 …an−1 an a1 a2 …an−1 an.

Sumele cu număr finit de termeni nu se schimbă prin gruparea termenilor şischimbarea ordinii termenilor, deoarece adunarea este asociativă şi comutativăpe R . Se utilizează notaţia prescurtată a sumelor cu simbolul∑ ("sigma"):

∑k1

n

akDEF a1 a2 …an.

Exemple.∑k1

nk 1 2 …n nn1

2 ; ∑k1

nk2 12 22 …n2 nn12n1

6 ;

∑k0

nqk 1−qn1

1−q , ∀q ∈ C ∖1.

Definiţie. Se numeşte serie de numere reale o expresie de forma

∑n1

an a1 a2 …an … ,

unde an ∈ R,n ≥ 1. (Numim an termenul general al seriei).Ca şi termenii unui şir, termenii unei serii pot fi numerotaţi şi începând cu

n 0 sau n 2,…n N0,… ∑nN0

an aN0 aN01 aN02 … N0 ∈ N.

Sumele parţiale ale unei serii. Suma unei seriiDacă vrem să calculăm suma primilor n termeni, sn a1 a2 …an,

vom calcula succesiv sumeles2 a1 a2, s3 s2 a3, s4 s3 a4,… , sk1 sk ak1,… , sn sn−1 an.Asociem seriei∑

n1

an, sumele sn ∑

k1

nak, n ≥ 1, numite sume parţiale ale

seriei.Observaţie. Cunoscând sumele parţiale ale seriei se află termenii seriei.

Dinsn a1 a2 …an−1 ansn−1 a1 a2 …an−1

deducem: an sn − sn−1 , pentru

n ≥ 2.Ne interesează comportarea şirului sumelor parţiale când n → .

25

Definiţie. Spunem că o serie de numere reale are suma s ∈ R dacă şirulsumelor parţiale ale seriei are limită şi limita este egală cu sCu alte cuvinte, suma unei serii este limita şirului sumelor parţiale ale

seriei, dacă această limită există. Dacă şirului sumelor parţiale ale seriei nuare limită, spunem că seria nu are sumă.Scriem cele de mai sus sub forma: (suma seriei)∑

n1

an s limn→ ∑

k1

nak s

sau: (suma seriei)∑n1

an limn→ ∑

k1

nak.

Definiţie Se numeşte serie convergentă o serie pentru care şirulsumelor parţiale este convergent. O serie care nu este convergentă se numeştedivergentă.Vom folosi abrevierile: serie C:serie convergentă, serie D:serie

divergentă.Observaţii.1) O serie este convergentă dacă şi numai dacă seria are sumă finită.2) A stabili natura unei serii înseamnă a decide dacă seria este convergentă

sau divergentă.3) Seriile divergente sunt de două tipuri: cele care nu au sumă ( pentru care

nu există limn→ sn) şi cele care au sumă infinită (limn→ sn ∈ ,−).Dacă putem afla o formulă a termenului general pentru şirul sumelor

parţiale snn≥1, studiul seriei se reduce la problema calculării limitei limn→ sn.Pentru cele mai multe serii nu se poate proceda astfel şi atunci sunt

necesare criterii care ne ajută să stabilim natura seriei. Vom enunţa o condiţienecesară de convergenţă, o condiţie necesară şi suficientă de convergenţă,precum şi numeroase condiţii suficiente de convergenţă/divergenţă.În studiul seriilor se pun următoarele probleme:1∘ Determinarea naturii seriei ;2∘ Calculul exact al sumei seriei ;3∘ Aproximarea sumei seriei, cu eroare mai mică decât un 0 dat , în

cazul în când seria este convergentă.Evident, rezolvarea problemei 2∘ asigură şi rezolvarea problemelor

problemelor 1∘ şi 3∘. Dacă nu putem aborda direct 2∘, trecem la rezolvareaproblemei 1∘. În cazul unei serii convergente pentru care nu putem rezolvaproblema 2∘ abordăm problema 3∘.

Influenţa unui număr finit de termeni asupra serieiDacă aplicăm unei serii una din următoarele transformări: adăugăm un

număr finit de termeni sau eliminăm un număr finit de termeni, natura serieinu se schimbă.(De la un rang încolo, termenii noului şir al sumelor parţiale se obţin

adunând o constantă la termenii vechiului şir al sumelor parţiale. Prin adunareacu un şir constant, natura unui şir dat –convergent sau divergent – nu seschimbă.)Astfel, seriile∑

n0

an,∑

n1

an,∑

n2

an,…∑

nN

an,… au aceeaşi natură.

Exemple. 1) Seria geometrică∑n0

qn q ∈ R

26

Sumele parţiale sn 1 q q2 …qn n ≥ 0 se pot calcula:q ≠ 1 sn 1−qn1

1−q ; q 1 s1 n1 ori

1 1 …1 n 1

Suma seriei geometrice : s limn→ sn 11−q , dacă|q| 1

, dacă q ≥ 1şi nu există,

dacă q ≤ −1. Vom scrie: ∑n0

qn 1

1−q , dacă |q| 1 .

∑n0

12n 1 1

2 122 1

23… 2; ∑

n0

13n 1

1− 13 3

2 ; ∑n0

−1n nu

are limită (şirul sumelor parţiale: 1,0,1,0,1,0... nu are limită).2)∑

n1

1n2n

; sn ∑k1

n1k2k

∑k1

n1

kk1 ∑k1

n1k −

1k1

Avem suma „telescopică“:sn 11 −

12

12 −

13 1

3 −14 … 1

n−1 −1n 1n − 1

n1 După reduceri obţinem sn 1 − 1

n1 . Suma seriei este s limn→ sn 1.

3)∑n1

1n ; sn 1 1

2 … 1n şirul snn≥1 este crescător, deci are

limită, finită sau egală cu .Am arătat (pe baza criteriului lui Cauchy) că şirul snn≥1 nu este

convergent. Aşadar, limn→ sn , deci (suma seriei)∑n1

1n .

4)∑n1

1n2; sn 1 1

22… 1

n2este şir crescător.

Din 1k2

1k−1k ∀k ≥ 1 deducem (luând k 2,3,… ,n şi însumând

inegalităţile obţinute): sn 1 ∑k2

n1

k−1k 1 1 − 1n 2. Şirul snn≥1

este monoton şi este mărginit (1 sn 2, ∀n ≥ 1, rezultă că esteconvergent. Se arată că limn→ sn

26 ≃ 1,644934.

Condiţii de convergenţă (necesară; necesară şi suficientă)Fie seria∑

n1

an. Am arătat că an sn − sn−1, pentru n ≥ 2.

Teoremă (Condiţie necesară de convergenţă a seriilor). Dacă o serieeste convergentă, atunci termenul său general tinde la zero.Demonstraţie. Teorema afirmă că:∑

n1

an este convergentă

limn→ an 0. Fie∑n1

an o serie convergentă. Considerăm sumele parţiale

sn a1 a2 …an, n ≥ 1. Prin ipoteză, ∃ s : limn→ sn ∈ R. Dinan sn − sn−1,∀n ≥ 2 şi limn→ sn limn→ sn−1 s rezultă limn→ an s − s 0.

Corolar. Dacă nu avem limn→ an 0, atunci seria∑n1

an este divergentă.

Teoremă ( Criteriul general al lui Cauchy)O serie de numere reale este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor

27

sale parţiale este şir fundamental. Cu alte cuvinte,∑n1

an este convergentă ∀ 0,∃N ∈ N a.î. ∀n ≥ N,∀p ∈ N,

avem |an1 an2 …anp | .Demonstraţie. Aplicăm criteriul lui Cauchy şirului sumelor parţiale (în

virtutea faptului că∑n1

an este convergentă

DEF snn≥1 este convergent

crit.

Cauchy snn≥1 este fundamental). snn≥1 şir fundamental

DEF ∀ 0,∃N

a.î. ∀n ≥ N,∀p ∈ N, avem |snp − sn | .Dar sn a1 a2 …an şi snp a1 a2 …an an1 …anp, deci

|snp − sn | |an1 an2 …anp |. Pentru exemple de aplicare a Criteriului lui Cauchy pentru serii, vezi

paragraful ”Şiruri fundamentale de numere reale”.Serii absolut convergente. Serii semiconvergente

Definiţie. O serie∑n1

an se numeşte absolut convergentă dacă seria

∑n1

|an | este convergentă .

Exemple. 1) Seria geometrică∑n0

qn, cu q ∈ −1,1 este absolut

convergentă.2) Seria∑

n1

−1nn este convergentă, dar nu este absolut convergentă.

Teoremă. Orice serie absolut convergentă de numere reale esteconvergentă.Observaţie. Există serii convergente care nu sunt absolut convergente

şi ele se numesc serii semiconvergente.Operaţii cu serii de numere reale

Pentru sume obişnuite reamintim următoarele reguli de calcul:a) Adunarea termen cu termen a sumelor cu aceiaşi indici

∑k1

n

ak ∑k1

n

bk ∑k1

n

ak bk

b) Înmulţirea unei sume cu o constantă („termen cu termen“):

∑k1

n

ak ∑k1

n

ak.

Analog, suma a două serii∑n1

an şi∑

n1

bn este seria∑

n1

an bn, iar

produsul cu ∈ R al unei serii∑n1

an este∑

n1

an.

Teoremă Fie∑n1

an şi∑

n1

bn serii convergente de numere reale. Atunci:

a) Suma seriilor date este convergentă şi:

28

(suma seriei)∑n1

an bn (suma seriei)∑n1

an (suma seriei)∑n1

bn

b) ∀ ∈ R, seria∑n1

an este convergentă şi:

(suma seriei) ∑n1

an (suma seriei) ∑n1

an.

3.2. Serii cu termeni pozitiviStudiul seriilor cu termeni pozitivi este mai simplu decât cel al seriilor cu

termeni reali oarecare, dar este relevant pentru cazul general , deoarece dinconvergenţa seriei cu termeni pozitivi∑

n1

|an | rezultă convergenţa seriei∑n1

an.

Fie seria∑n1

an cu termeni pozitivi: an ≥ 0,∀n ≥ 1. Considerăm şirul

sumelor parţiale: sn a1 a2 …an, n ≥ 1. Cumsn1 − sn an1 ≥ 0,∀n ≥ 1, şirul sumelor parţiale ale unei serii cutermeni pozitivi este crescător.Cunoaştem că orice şir crescător are limită şi limita sa este finită (respectiv,

este ) dacă şirul este majorat (respectiv, nemajorat). De aici rezultă că oriceserie cu termeni pozitivi are sumă, iar suma seriei este finită (respectiv )dacă şirul sumelor parţiale este majorat (respectiv, nemajorat).Teoremă. O serie cu termeni pozitivi este convergentă dacă şi numai dacă

şirul sumelor parţiale este majorat. Suma oricărei serii cu termeni pozitivi estemarginea superioară a mulţimii sumelor parţiale ale seriei.În multe cazuri convergenţa sau divergenţa unei serii cu termeni pozitivi se

stabileşte comparând seria dată cu o altă serie cu termeni pozitivi, a căreinatură este cunoscută. De obicei comparăm seria dată cu o serie geometricăsau o serie armonică generalizată.Teoremă (Primul criteriu al comparaţiei cu inegalităţi)Fie seriile cu termeni pozitivi∑

n1

an şi∑

n1

bn a.î. an ≤ bn,∀n ≥ n0 (pentru

un număr natural n0 ≥ 1).a) Dacă seria∑

n1

bn este convergentă , atunci seria∑

n1

an este convergentă .

b) Dacă seria∑n1

an este divergentă, , atunci seria∑

n1

bn este divergentă.

Demonstraţie. Eliminând eventual câţiva termeni din fiecare serieputem presupune că n0 1, iar natura fiecărei serii rămâne neschimbată.Fie sumele parţiale ale celor două serii, sn a1 a2 …an şi

n b1 b2 …bn. Din ipoteză rezultă

0 ≤ sn ≤ n,∀n ≥ 1.

a) Dacă seria∑n1

bn este convergentă, atunci ∃M 0 a.î. n ≤ M,∀n ≥ 1.

29

Inegalitatea de mai sus arată că sn ≤ M,∀n ≥ 1, deci sn este mărginitsuperior şi conform teoremei precedente, seria∑

n1

an este convergentă.

b) Presupunem că seria∑n1

an este divergentă. Dacă seria∑

n1

bn ar fi

convergentă, rezultă conform punctului precedent că seria∑n1

an este

convergentă, ceea ce contrazice ipoteza. Aşadar, seria∑n1

bn este divergentă.

Teorema (Al doilea criteriu al comparaţiei cu inegalităţi)Fie seriile cu termeni pozitivi∑

n1

an şi∑

n1

bn a.î. an1an ≤

bn1bn,∀n ≥ n0

(pentru un număr natural n0 ≥ 1).a) Dacă seria∑

n1

bn este convergentă , atunci seria∑

n1

an este convergentă .

b) Dacă seria∑n1

an este divergentă, , atunci seria∑

n1

bn este divergentă.

Teorema ( Criteriul comparaţiei cu limită)Fie seriile cu termeni pozitivi∑

n1

an şi∑

n1

bn. Presupunem că bn 0 de la

un rang încolo şi că există limn→anbn

l. Atunci:a) În cazul l ∈ 0, seriile date au aceeaşi natură.b) l 0 şi∑

n1

bn este convergentă ∑

n1

an este convergentă.

c) l şi∑n1

bn este divergentă ∑

n1

an este divergentă.

Vom folosi mai jos abrevierile: CCI:criteriul comparaţiei cu inegalităţi,CCL: criteriul comparaţiei cu limită.Exemple. Folosind criteriile de comparaţie pentru serii cu termeni pozitivi

stabiliţi natura seriilor următoare:1)∑

n1

1n pentru ∈ −, 1 2, (serie armonică generalizată); 2)

∑n1

1n! ; 3)∑

n0

11an a ≥ 0 dat); 4)∑

n1

sin

n ∈ 0,dat.

Soluţie.

1)∑n1

1n este divergentă şi 1

n ≥1n ,∀n ≥ 1, dacă ∈ −, 1

(CCI) ∑

n1

1n

este divergentă, ∀ ∈ −, 1.

∑n1

1n2este convergentă şi 1

n ≤1n2,∀n ≥ 1, dacă ∈ 2,

(CCI) ∑

n1

1n

este convergentă, ∀ ∈ 2,.2) Observăm că ∗ 1

n! 1

12…n−2n−1n ≤1

n−2n−1n ,∀n ≥ 3.

Considerăm seria∑n3

1

n−2n−1n . Avem

limn→1

n−2n−1n1n3

limn→n3

n−2n−1n 1(CCL) seria precedentă are aceeaşi natură ca

30

∑n1

1n3, deci este convergentă

∗

(CCI) seria dată este convergentă.

3) Calculăm limita termenului general al seriei:

limn→1

1 an

1, dacă a ∈ 0,112 , dacă a 1

0, dacă a 1

Pentru ca seria să fie convergentă, este necesar ca limita termenului generalsă fie zero. Deci a ∈ 0,1 seria este divergentă.Cazul a 1 : 1

1an 1an 1a

n ∀n ≥ 0 şi seria∑n1

1a

n este

convergentă (fiind serie geometrică cu raţia q 1a ∈ 0,1

(CCI) seria dată e

convergentă.4)∑

n1

sin

n ∈ 0, dat. Seria dată este cu temeni pozitivi, datorită

faptului că funcţia sinus este pozitivă pe 0,. Avândn→lim

n 0, pentru aestima sin

n apelăm la limita fundamentală limx→0

sinxx 1 „sinx ≃ x dacă

x ≃ 0“. Din limn→sin

nn

1 şi faptul că seria∑n1

n este divergentă (cu suma

∑n1

1n ) rezultă că seria dată este divergentă. Am aplicat CCL, punctul

a).3.3. Criterii de convergenţă pentru serii de numere reale

Criteriile de convergenţă pentru serii furnizează condiţii suficiente pentruconvergenţa şi, respectiv, divergenţa unei serii.Nici un criteriu de convergenţă nu are aplicabilitate universală (există

cazuri în care nu putem decide, pe baza unui anumit criteriu, dacă o serie esteconvergentă sau nu). Următoarele criterii de convergenţă: criteriul raportului(D’Alembert) şi criteriul rădăcinii (Cauchy) pornesc de la compararea serieidate cu o .serie geometrică.Fie seria∑

n1

an an ∈ R. În aplicarea criteriului raportului studiem

mărginirea sau limita şirului | an1an | dacă an ≠ 0 de la un rang încolo). Înaplicarea criteriului rădăcinii studiem mărginirea sau limita şirului n |an | .Criteriul rădăcinii are o arie de aplicabilitate mai largă decât criteriul

raportului, dar este mai dificil de aplicat decât acesta Amintim următoareaproprietate, care stabileşte o legătură între cele două criterii.Lemă. Fie an ≠ 0,∀n ≥ 1. Avem limn→ n |an | limn→|

an1an |, dacă limita din

membrul drept există.Teoremă (Criteriul raportului)Fie seria∑

n1

an, cu an ≠ 0 de la un rang încolo. Considerăm raportul

Dn | an1an |.

31

I. (Criteriul raportului cu mărginire)a) Dacă de la un rang încolo avem Dn ≤ r 1, unde r este o constantă,

atunci seria dată este absolut convergentă, deci convergentă.b) Dacă de la un rang încolo avem Dn ≥ 1, atunci seria dată este

divergentă.II. (Criteriul raportului cu limită)Presupunem că există limn→|

an1an | L.

a) Dacă L 1 atunci seria dată este convergentă .b) Dacă L 1 atunci seria dată este divergentă.Observaţie. În cazul în care L : limn→|

an1an | 1 nu putem preciza natura

seriei pe baza criteriului raportului. Avem L 1 atât pentru unele seriiconvergente, de exemplu∑

n1

1n2, cât şi pentru unele serii divergente, de

exemplu∑n1

1n .

Demonstraţie (Criteriul raportului).I. Eliminând, eventual, un număr finit de termeni ai seriei putem presupune

că inegalitatea din enunţ are loc ∀n ≥ 1.a) Din: | a2a1 | ≤ L 1, |

a3a2 | ≤ L,… , |

anan−1 | ≤ L rezultă (înmulţind

inegalităţile) că | a2a1 a3a2 … an−1an−2

anan−1 | ≤ Ln−1, adică

|an | ≤ Ln−1 |a1 | ∀n ≥ 1.Seria geometrică∑

n1

Ln−1 este C (deoarece L ∈ 0,1) ∑

n1

Ln−1 |a1 | este

C(CCI) ∑

n1

|an | este C ∑n1

an este C.

b) Din | an1an | ≥ 1 pentru orice n ≥ 1 că şirul cu termeni strict pozitivi|an |n≥1 este crescător, deci există limn→ |an | sup|an | : n ≥ 1 0 . Cum nu

avem limn→ an 0, seria∑n1

an este divergentă.

II. a) limn→Dn L 1 de la un rang încolo Dn ≤L12

NOT r 1Ia)seria

este C.b) limn→Dn L 1 de la un rang încolo Dn ≥

L12

NOT r 1Ib)seria este

D.Teoremă (Criteriul rădăcinii)Fie seria∑

n1

an. Considerăm Cn n |an | n ≥ 1.

I. (Criteriul rădăcinii cu mărginire)a) Dacă de la un rang încolo avem Cn ≤ r 1, unde r este o constantă,

atunci seria dată este absolut convergentă, deci convergentă.b)Dacă pentru o infinitate de termeni avem Cn ≥ 1, atunci seria dată este

divergentă.II. (Criteriul rădăcinii cu limită)Presupunem că există limn→ n |an | L.a) Dacă L 1, seria dată este C.

32

b) Dacă L 1, seria dată este D.Observaţie. În cazul în care L : limn→ n |an | 1 nu putem preciza natura

seriei pe baza criteriului rădăcinii. Avem L 1 atât pentru unele seriiconvergente, de exemplu∑

n1

1n2, cât şi pentru unele serii divergente, de

exemplu∑n1

1n .

Indicaţii.(1) Pentru a reţine implicaţiile din enunţul criteriului raportului sau

criteriului rădăcinii aplicaţi criteriul respectiv seriei geometrice∑n0

qn.

(2) Aplicarea criteriului rădăcinii este recomandabilă dacă an este o puterecu exponent întreg multiplu de n.(3) În majoritatea cazurilor, pentru început încercăm să aplicăm criteriul

raportului, iar dacă acesta nu dă rezultate trecem la aplicarea criteriuluirădăcinii.(4) Dacă seria are o infinitate de termeni nuli, criteriul raportului nu se

poate aplica, spre deosebire de criteriul rădăcinii.Exemple. Stabiliţi natura seriilor următoare folosind criteriul raportului sau

rădăcinii:1)∑

n1

nxn−1 (discuţie după x ∈ R) ; Avem an nxn−1.Aplicăm criteriul

raportului.| an1an |

n1xn

nxn−1 n1

n |x| limn→|an1an | |x|.

|x| 1 seria este C , |x| 1 seria este D.. Cazul |x| 1 trebuie studiatseparat.

|x| 1 x 1 sau x −1. Pentru x 1 : ∑n1

nxn−1 ∑

n1

n seria

este divergentă. Pentrux −1 : ∑

n1

nxn−1 ∑

n1

−1n−1n 1 − 2 3 − 4 5 − 6 … şirul sumelor

parţiale are două subşiruri cu limitele , respectiv −, deci seria nu are sumă(în particular, este D).2)∑

n1

xnn! ; Avem an

xnn! . Aplicăm criteriul raportului, deoarece este greu

să lucrăm cu n n! . | an1an | |x|n1

n1! n!|x|n |x|

n1 limn→|an1an | 0 1 seria

dată este C (∀x ∈ R). Se va demonstra că∑n0

xnn! ex,∀x ∈ R.

3)∑n1

n2 1 − n

n; an n 1 − n n

0.Aplicăm criteriul

rădăcinii.

n |an | n2 1 − n n21−n2

n21 n limn→ n |an | 0 1 seria dată este

C.Pentru serii cu termeni strict pozitivi (de la un rang încolo) se mai poate

aplica următorul criteriu, mai general decât criteriul raportului.

33

Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel (R-D))Fie seria∑

n1

an, cu an 0 de la un rang încolo. Considerăm şirul

Rn n anan∗1 − 1

I. (Criteriul R-D cu mărginire)a) Dacă de la un rang încolo avem Dn ≥ r 1, unde r este o constantă,

atunci seria dată este absolut convergentă, deci convergentă.b) Dacă de la un rang încolo avem Dn ≤ r 1, unde r este o constantă,

atunci seria dată este divergentă.II. (Criteriul R-D cu limită)Presupunem că există limn→Rn L.a) Dacă L 1 atunci seria dată este convergentă .b) Dacă L 1 atunci seria dată este divergentă.Din criteriul Raabe-Duhamel cu limită putem deduce criteriul raportului cu

limită, în cazul seriilor cu termeni strict pozitivi.Definiţie. O serie numere reale se numeşte serie alternată dacă termenii săi

sunt nenuli şi semnele lor alternează. O serie alternată se poate scrie sub forma

∑n1

−1n1an sau∑

n1

−1nan, unde an 0 pentru n ≥ 1. Cele două forme se

obţin una din cealaltă prin înmulţire cu −1, corespunzând cazului cândprimul termen este strict pozitiv, respectiv strict negativ.Teoremă (Criteriul lui Leibniz). Dacă şirul ann≥1 este descrescător şi

convergent la zero, atunci seria alternată∑n1

−1n1an este convergentă.

3.4. Serii de puteriSeriile de puteri sunt utilizate în aproximarea uniformă cu polinoame a

funcţiilor elementare.Numim serie de puteri (centrată în x0 ∈ R) o expresie de forma

∑n0

cnx − x0n, unde cn ∈ R n ≥ 0 sunt constante şi x ∈ R este variabil.

Numerele cn se numesc coeficienţii seriei de puteri. (Notând x − x0 y,studiul seriei de mai sus se reduce la studiul seriei de puteri∑

n0

cnyn. De aceea,

este suficient să analizăm cazul x0 0).Mulţimea de convergenţă

Ne interesează mulţimea de convergenţă a seriei de puteri, adică

M NOT x ∈ R : seria numerică ∑n0

cnxn este convergentă .

Mai scriem∑n0

cnxn c0 c1x c2x2 …cnxn …

Observăm că pentru x 0 sumele parţiale ale seriei sunt toate egale cuc0, deci suma seriei este c0. Rezultă că centrul seriei aparţine mulţimii deconvergenţă.

34

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri∑n0

cnxn există o

cantitate R ∈ 0, unic determinată (numită raza de convergenţă a serieide puteri) astfel încât:(1) dacă |x| R seria este absolut convergentă.(2) dacă |x| R seria este divergentă.Demonstraţie. Notăm cu M mulţimea de convergenţă a seriei de puteri.

Dacă M 0, luăm R 0 şi teorema este demonstrată.I. Dacă există x0 ∈ M ∖ 0, se demonstrează că −|x0 |, |x0 | ⊂ M. (Seria

numerică∑n0

cnx0n este convergentă

n→lim cnx0n 0 şirul cnx0nn≥1 este

mărginit: există M 0 astfel încât |cnx0n | ≤ M, ∀n ≥ 1. Dacă |x| ≤ |x0 |, atunci|cnxn | ≤ |cnx0n |, ∀n ≥ 1. Conform Criteriului comparaţiei cu inegalităţi, seria∑n0

cnxn este absolut convergentă). Deducem că divergenţa seriei de puteri

într-un punct x1 atrage divergenţa seriei pentru orice x cu |x| |x1 |.(Presupunem prin reducere la absurd că există x1 ∉ M şi x2 ∈ M cu |x2 | |x1 |.Conform raţionamentului de mai sus, −|x2 |, |x2 | ⊂ M. Dar x1 ∈ −|x2 |, |x2 |,de unde x1 ∈ M, contradicţie).II. Notăm

R : supM.

Atunci R ∈ 0,. Cazul R 0 a fost discutat mai sus.a) Presupunem că R ∈ 0,. Fiind dat x ∈ −R,R, |x| nu majorează M,

deci există x3 ∈ M astfel încât |x| x3 R. Atunci |x| ∈ −|x3 |, |x3 | ⊂ M,deci seria∑

n0

cnxn este absolut convergentă. Dacă există x ∈ M cu |x| R, din

−|x|, |x| ⊂ M deducem că supM ≥ |x|, adică R ≥ |x|, contradicţie.b) Presupunem că R . Implicaţia (2) este adevărată, întrucât falsul

implică orice. Mulţimea M nu este majorată. Fiind dat x ∈ −,, existăx4 ∈ M astfel încât |x| x4. Conform Criteriului de comparaţie cu inegalităţi,seria∑

n0

cnxn este absolut convergentă.

Observaţie Fie R raza de convergenţă a unei seriei de puteri. Avema) R 0seria de puteri converge numai pentru x 0;b) R seria de puteri converge pentru orice x ∈ R.Mulţimea M de convergenţă a seriei de puteri satisface condiţiile

−R,R ⊂ M ⊂ −R,R, aşadarM este un interval.Calculul razei de convergenţă

Notăm : limn→|cn1cn | sau : limn→ n |cn | , dacă limita respectivă există

Reamintim că dacă există limita limn→|cn1cn |, atunci există limita limn→ n |cn | şi cele

două limite sunt egale.Ca o consecinţă a teoremei Cauchy-Hadamard, rezultă că seria de puteri

∑n0

cnxn are raza de convergenţă dată de :

35

R

1 , dacă 0 ,

0, dacă ,, dacă 0.

Mai putem scrie R limn→|cncn1 | sau R limn→

1n |cn |

(dacă cn ≠ 0 de la un rang

încolo).Justificăm în continuare formulele razei de convergenţă.a) Presupunem că există limn→|

cn1cn |

NOT . Aplicăm seriei∑n0

cnxn criteriul

raportului (pentru x ≠ 0). CalculămL : limn→Dn limn→

cn1xn1cnxn limn→|

cn1cn | |x| |x|. Pentru 0 , seria

este C |x| 1, adică |x| 1 . Dacă , atunci pentru orice x ≠ 0

avem l , deci seria de puteri este D. Dacă 0, atunci l 0 1, deciseria de puteri este C pentru orice x real.

b) Presupunem că există limn→ n |cn |NOT .Aplicăm seriei∑

n0

cnxn criteriul

rădăcinii.L : limn→Cn limn→ n |cnxn | limn→ n |cn | n |x|n |x|. Discuţia se face la fel

ca la a).Operaţii cu serii de puteri

Teoremă (Operaţii algebrice cu serii de puteri)Fie seriile∑

n0

anxn şi∑

n0

bnxn, cu razele de convergenţă R1, respectiv R2.

Atunci:1) Seria∑n0

an bnxn are raza de convergenţă R ′ ≥ minR1,R2.

2) Seria∑n0

anxn are raza de convergenţă R1, pentru orice ∈ R.

3) Produsul seriilor date, definit prin∑n0

∑ijn

aibj xn, are raza de

convergenţă R ′ ≥ minR1,R2.Vom aminti câteva proprietăţi fundamentale ale seriilor de puteri,

presupunând cunoscute noţiunile de derivată şi integrală, precum şi formulelede derivare, respectiv integrare a polinoamelor. Pentru a demonstra afirmaţiileurmătoare sunt necesare proprietăţile seriilor uniform convergente de funcţii.Teoremă (Derivarea şi integrarea seriilor de puteri)Fie seria de puteri∑

n0

cnxn cu raza de convergenţă R 0. Notăm cu sx

suma seriei în punctul x. Atunci:1) Seria derivatelor∑

n0

cnxn ′ ∑

n0

ncnxn−1 are tot raza de convergenţă R.

2) s′x ∑n1

ncnxn−1,∀x ∈ −R,R.

3) Pentru orice număr natural k suma seriei de puteri este derivabilă de k

36

ori pe −R,R şi skx ∑n0

anxnk,∀x ∈ −R,R.

4) Pentru orice interval a,b ⊂ −R,R avem

a

b

sx dx a

b

∑n0

anxn dx ∑n0

a

b

anxn dx ∑n0

ann 1 bn1 − an1

Formulele de mai sus arată că seria de puteri se derivează termen cu termenpe −R,R, respectiv că seria de puteri se integrează termen cu termen pe oriceinterval închis şi mărginit inclus în −R,R.Aplicaţie (Aflarea coeficienţilor seriei de puteri cunoscând suma seriei

de puteri)Dacă sx ∑

n0

cnx − x0n, x ∈ −R,R, se demonstrează că cn snx0

n!

pentru orice n ≥ 0.Scriem sx c0 c1x − x0 c2x − x02 . . .cnx − x0n . . . ,

x ∈ −R,R. Pentru x x0 obţinem sx0 c0. Derivăm suma seriei de puteri:s′x c1 2c2x − x0 . . .ncnx − x0n−1 . . , x ∈ −R,R. Făcând aicix x0 rezultă s′x0 c1. Derivând suma seriei precedente avems′′x 2c2 3 2c3x − x0 . . .nn − 1cnx − x0n−2 . . , x ∈ −R,R şi cuînlocuirea x x0 rezultă s′′x0 2c2.. Se demonstrează prin inducţie după ncă după n derivări termenul liber al seriei de puteri este cnx − x0n n!cn.Atunci snx0 n!cn, q.e.d.Fiind dată o funcţie f : I → R indefinit derivabilă pe intervalul I, pentru

orice punct x0 ∈ I se consideră seria de puteri

∑n0

fnx0n! x − x0n,

numită seria Taylor a funcţiei f relativ la punctul x0. Vom reveni asupra acesteinoţiuni când vom studia formula lui Taylor. Am demonstrat mai sus că oriceserie de puteri centrată într-un punct x0, având raza de convergenţă nenulă,este seria Taylor a sumei sale relativ la x0.Exemple.1) Avem∑

n0

xn 1 x x2 x3 … 1

1−x pentru |x| 1.Pentru |x| 1

seria geometrică cu raţia x este divergentă, deci raza de convergenţă a seriei∑n0

xn este R 1. deoarece Derivând suma seriei obţinem

11−x2

∑n0

nxn−1 0 1 2x 3x2 …nxn−1 … (pentru |x| 1).

2) Considerăm seria ∑n1

xnn x x2

2 x33 … .

Calculăm raza de convergenţă: R limn→|anan1 | limn→|

1n n 1| 1.

Seria este: convergentă pentru |x| 1, divergentă pentru |x| 1. Fie sxsuma seriei pentru |x| 1.

37

s′x ∑n1

x

nn

′ ∑n1

xn−1 1 x x2 … s′x 1

1−x (pentru

|x| 1).sx este o primitivă a funcţiei 1

1−x pe intervalul −1,1, de undesx − ln|x − 1| c − ln1 − x c, unde c este o constantă. Înlocuind

x 0 deducem c 0. Avem ln1 − x −∑n1

xnn pentru x ∈ −1,1. Se arată

că egalitatea precedentă rămâne adevărată pentru x −1.3) 1

1x2 1

1−−x2 ∑n0

−x2n ∑

n0

−1n x2n 1 − x2 x4 − x6 …

Raza de convergenţă: R 1 (seria geometrică de mai sus este C |−x2 | 1 |x| 1).Integrând egalitatea 1

1x2 1 − x2 x4 − x6 … rezultă:

arctg x c x − x33 x5

5 −x77 …−1n x2n1

2n1 … (pentru |x| 1),unde c este o constantă. Înlocuind x 0 rezultă c 0. Obţinemarctg x ∑

n0

−1n x2n1

2n1 , pentru x ∈ −1,1.

4) Fie seria∑n0

xnn! . Raza de convergenţă:

R limn→|anan1 | limn→

1n! n 1! .

Deoarece R , seria de puteri converge pentru orice x ∈ R. Fie sxsuma seriei. Avem:

s′x ∑n0

xnn!

′∑

n1

nxn−1n! ∑

n1

xn−1

n − 1! sx.

Din s′x sx,∀x ∈ R, rezultă că există k ∈ R a.î. sx kex.(Într-adevăr, s′x − sx 0,∀x ∈ R e−xs′x − sx 0,∀x ∈ R 0 e−xs′x e−x ′sx e−xsx ′,∀x ∈ R e−xsx este funcţie

constantă pe R) .Înlocuind x 1 deducem k 1 (cunoscând că e ∑

n0

1n! ).

Am arătat că pentru orice x ∈ R avem

ex ∑n0

xnn! .

38

Capitolul 4. Limite şi continuitateIntroducere. Noţiunea de limită a unei funcţii unui punct este

fundamentală pentru întreaga analiză matematică, noţiunile de limită a unui şirşi de derivată fiind cazuri particulare ale acesteia. Vom trata problema limiteiunei funcţii definită pe o mulţime dintr-un spaţiu X, cu valori în alt spaţiu Y, încazul următor: X Rk şi Y Rp, fiecare înzestrat cu distanţa euclidianărespectivă. Altfel spus, vom studia limitele funcţiilor de mai multe variabilereale, cu valori în spaţii euclidiene finit dimensionale.Fiind dată o funcţie f : A ⊂ X → Y se pune problema studierii comportării

valorilor funcţiei în vecinătatea unui punct dat a ∈ X. Se cere să se cercetezece se întâmplă cu fx când x ∈ A se apropie din ce în ce mai mult de punctula. Pentru ca problema să aibă obiect, este necesar să existe puncte din A oricâtde apropiate de a, adică a să fie punct de acumulare pentru domeniul dedefiniţie al funcţiei. Nu este necesar ca a să aparţină domeniului de definiţie alfuncţiei; chiar dacă a ∈ A, stabilirea comportării funcţiei f în vecinătatea (înjurul) punctului a nu presupune luarea în considerare a valorii fa. Se vaspune că funcţia dată are limita l ∈ Y în punctul a dacă se constată că oricumne-am apropia "suficient de mult" de a prin puncte din mulţimea A valorilefuncţiei în aceste puncte se apropie "oricât de mult" de l.

4.1. Limita unei funcţii într-un punctDefiniţie. Fie funcţia f : A ⊂ Rk → Rp şi a ∈ Rk un punct de acumulare

pentru mulţimea A ⊂ Rk. Se spune că l ∈ Rp este limita funcţiei f în punctul a,şi se notează limx→a fx l, dacă este îndeplinită condiţia:pentru orice vecinătate V a lui l în Rp există o vecinătate U a lui a în Rk

astfel încât fU ∩ A a ⊂ V (adică pentru orice x ∈ U ∩ A cu x ≠ a avemfx ∈ V).Teoremă (de caracterizare a noţiunii de limită )Fie funcţia f : A ⊂ Rk → Rp , a ∈ Rk un punct de acumulare pentru

mulţimea A şi l ∈ Rp. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:(1) ∀V ∈ Vl,∃U ∈ Va a.î. fU ∩ A ∖ a ⊂ V (definiţia cu

vecinătăţi);(2) ∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu

0 ‖x − a‖ avem ‖fx − l‖ (definiţia cu şi );(3) ∀ xnn≥1 şir din A ∖ a cu xn → a, avem fxn → l (definiţia cu

şiruri).Subînţelegem că în (2) folosim normele euclidiene corespunzătoare, dar

proprietatea respectivă rămâne valabilă dacă schimbăm normele, datorităfaptului că orice două norme pe un spaţiu Rm au raportul mărginit peRm ∖ 0,0, . . . , 0.Din definiţia cu şiruri a limitei unei funcţii într-un punct deducem

următoarele proprietăţi.Propoziţia (Unicitatea limitei). O funcţie f : A ⊂ Rk → Rp nu poate

avea două limite distincte într-un punct dat.Demonstraţie. Folosim unicitatea limitei unui şir din Rp.Propoziţie. Dacă există xn′ , xn′′ şiruri din A ∖ a pentru care

39

limn→ xn′ limn→ xn

′′ a şi limn→ fxn′ ≠ limn→ fxn

′′, atunci f nu are limită în punctul a.Pentru a demonstra că nu există limx→a fx l, este suficient să găsim două

şiruri de elemente din A ∖ a, care tind la a şi sunt transformate prin f îndouă şiruri cu limite diferite.

Propoziţia. Fie f : A ⊂ Rk → Rp, f f1, . . . , fp şi a ∈ Rk un punct deacumulare pentru mulţimea A. Atunci

limx→a f1x,… , fpx l1,… , lp ∈ Rp limx→a fix li ∈ R,∀i ∈ 1,… ,p.

Demonstraţie. Aplicăm definiţia cu şiruri a limitei unei funcţii într-unpunct şi Teorema de convergenţă pe componente pentru şiruri din Rp. Practic, echivalenţa de mai sus arată că putem aplica regula

limx→a f1x, f2x,… , fpx limx→a f1x, limx→a f2x, . . . , limx→a fpx, dacă toatelimitele din membrul drept există şi sunt finite (echivalent, dacă limita dinmembrul stâng există).Astfel,studiul limitei unei funcţii vectoriale se reduce la studiul

limitelor componentelor funcţiei .Exemplu.

limx→0

sinxx , e

x−1x ,

ln1xx−1 lim

x→0sinxx , limx→0

ex−1x , limx→0

ln1xx−1 1,e, 0.

Rezultatul următor este o condiţie necesară şi suficientă de existenţă alimitei unei funcţii într-un punct, în care nu intervine valoarea limitei, şi esteanaloga Criteriului lui Cauchy de la şiruri.Teoremă (Criteriul Cauchy-Bolzano)Fie funcţia f : A ⊂ Rk → Rp, a ∈ Rk un punct de acumulare pentru

mulţimea A. Atunci existăx→alim fx ∈ Rp dacă şi numai dacă ∀ 0,

∃ 0 a.î. ∀x ′,x ′′ ∈ A cu 0 dx ′,a şi 0 dx ′′,a , avemdfx ′, fx ′′ .

4.2. Limite la şi limite infinite ale funcţiilor reale de variabilăreală

Fiind dată funcţia f : A ⊂ R → R, a ∈ R un punct de acumulare pentrumulţimea A (în R) şi l ∈ R, se pune problema să precizăm ce înseamnă călimx→a fx l dacă cel puţin una din cantităţile a şi l este infinită.Problema calculării limitei limx→ fx (respectiv, limx→− fx) se pune dacă şi

numai dacă domeniul de definiţie al lui f este mulţime nemajorată (respectiv,neminorată). Semnificaţia intuitivă a faptului că limx→a fx (respectiv, afaptului că limx→a fx −) este aceea că fx creşte peste orice valoare dată(respectiv, fx scade sub orice valoare dată) când x se apropie suficient demult de a ∈ R.Definiţie. Fie funcţia f : A ⊂ R → R şi a ∈ R un punct de acumulare

pentru mulţimea A ⊂ R. Se spune că l ∈ R este limita funcţiei f în punctul a,şi se notează limx→a fx l, dacă este îndeplinită condiţia: pentru orice vecinătateV a lui l în R există o vecinătate U a lui a în R astfel încâtfU ∩ A a ⊂ V.Avem limx→a fx l ∀ xnn≥1 şir din A ∖ a cu xn → a, avem fxn → l

(Definiţia cu şiruri a limitei).

40

Exemplu. O funcţie periodică neconstantă f : R → R nu are limită la, nici la − (Găsim a,b ∈ R a.î. fa ≠ fb şi construim şirurilexn′ a nT, xn′′ b nT, unde T 0 este perioada lui f. Atunci xn′ , xn′′ tindla . Avem fxn′ fa şi fxn′′ fb. Dacă ar exista limx→ fx l, arrezulta fa l fb, de unde se ajunge la concluzia falsă fa fb).Astfel, funcţiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg nu au limită la , nici la −.Observaţie. Dacă avem de calculat

n→lim fn, unde f este o funcţie reală

definită pe un interval de forma a,, studiemx→lim fx. Dacă există

x→lim fx NOT l ∈ R, atunci conform definiţiei cu şiruri a limitei avem şi

n→lim fn l. Dacă nu există

x→lim fx, nu putem afirma nimic despre

n→lim fn.

Exemplu.n→lim n n

n→lim e lnn

n en→limlnnn (dacă există

n→lim lnn

n ). Studiemlimita de funcţie

x→lim lnx

x (aflată în cazul de nedeterminare . Putem aplica

regula lui L’Hospital:x→lim lnx

x x→lim lnx ′

x′x→lim 1

x 0. Rezultă că

n→lim lnn

n x→lim lnx

x 0, de unden→lim n n e0 1.

Din definiţia cu vecinătăţi a limitei şi caracterizările vecinătăţilor din Rrezultă următoarele forme ale "definiţiei cu şi " :(1) Pentru a ∈ R, limx→a fx l ∈ R ∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu

0 |x − a| avem |fx − l| (2) limx→ fx l ∈ R ∀ 0 ,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu x avem

|fx − l| ;(3) limx→− fx l ∈ R ∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu x − avem

|fx − l| ;(4)

x→alim fx ∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu |x − a| avem

fx ;(5)

x→alim fx −∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu |x − a| avem

fx −;(6) limx→ fx (respectiv, limx→ fx −)∀ 0,∃ 0 a.î.∀x ∈ A cu x avem fx (respectiv, fx −);(7) limx→− fx (respectiv, limx→− fx −)∀ 0,∃ 0 a.î.∀x ∈ A cu x − avem fx (respectiv, fx −).

4.3. Operaţii cu funcţii reale care au limită într-un punctFolosind definiţia cu şiruri pentru limite de funcţii şi proprietăţile limitelor

de şiruri din spaţii euclidiene se demonstrează următoarele proprietăţi alelimitelor de funcţii reale sau vectoriale definite pe spaţii metrice.Teoremă . Fie f,g : A ⊂ Rk → R şi a ∈ Rk un punct de acumulare pentru

mulţimea A . Presupunem că funcţiile f şi g au limite în punctul a. Atunci:(1) Dacă suma limitelor are sens, funcţia sumă f g are limită în a şi

limx→a fx gx limx→a fx limx→a gx.(2) Pentru orice ∈ R funcţia f are limită în a şi limx→a fx limx→a fx.(3) Dacă produsul limitelor are sens, funcţia produs f g are limită în a şi

limx→a fx gx limx→a fx limx→a gx.

41

(4) Dacă are sens câtul limitelor, funcţia cât f/g are limită în a şilimx→a

fxgx

limx→a fx

limx→a gx.

(5) Dacă f ≥ 0 şi are sens limita lui f la puterea limita lui g, atunci funcţiaputere fg are limită în a şi limx→a fx

gx limx→a fxlimx→a gx.

Teoremă. Fie f,g : A ⊂ Rk → Rp şi a ∈ Rk un punct de acumulare pentruA Presupunem că funcţiile f şi g au limite în punctul a. Atunci:(1) Funcţia sumă f g are limită în a şi

limx→a fx gx limx→a fx limx→a gx.(2) Pentru orice ∈ R funcţia f are limită în a şi limx→a fx limx→a fx.Teorema (Limitele funcţiilor compuse ) Fie X, Y , Z spaţii euclidiene finit

dimensionale, A ⊂ X, B ⊂ Y, C ⊂ Y şi funcţiile f : A → B, g : B → C.Presupunem că a este punct de acumulare pentru A în X şi b este punct deacumulare pentru B în Y. În aceste condiţii, dacă există limx→a fx b, fx ≠ bpentru x ≠ b şi există lim

y→bgy l, atunci există limx→a gfx l.

(Pe scurt: limx→a gfx limy→bgy, dacă limx→a fx b şi fx ≠ b pentru

x ≠ b)4.4. Funcţii continue

Vom compara valorile unei funcţii pe o vecinătate a unui punct fixat cuvaloarea funcţiei în acel punct. Intuitiv, faptul că funcţia f este continuă înpunctul a înseamnă că fx se apropie oricât de mult de fa când x se apropiesuficient de mult de a (într-o exprimare foarte simplificată,x ≃ a fx ≃ fa). Problema continuităţii unei funcţii într-un punct se punenumai dacă funcţia este definită în acel punct.Fie X Rk şi Y Rp spaţii euclidiene finit dimensionale.Definiţie. Fie funcţia f : A ⊂ X → Y şi a ∈ A Se spune că f este continuă

în punctul a dacă pentru orice vecinătate V a lui fa în Y există o vecinătate Ua lui a în X astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ A avem fx ∈ V, pe scurtfU ∩ A ⊂ V.âDefiniţie. Spunem că funcţia f : A ⊂ X → Y este continuă pe mulţimea

B ⊂ A dacă funcţia dată este continuă în fiecare punct a ∈ B.Dacă f nu este continuă într-un punct a al domeniului său de definiţie,

spunem că a este punct de discontinuitate pentru f.Observaţie. O funcţie f : A ⊂ X → Y este continuă în orice punct izolat

al domeniului său de definiţie.Teoremă. Fie funcţia f : A ⊂ X → Y şi a ∈ A punct de acumulare pentru

A. Atunci f este continuă în punctul a dacă şi numai dacă limx→a fx fa.Observaţie. Din punct de vedere practic, limita unei funcţii continue

într-un punct se calculează prin înlocuire, adică limx→a fx se obţine atribuindvaloarea a lui x în expresia fx. Această observaţie facilitează considerabilcalculul limitelor uzuale.Teoremă (de caracterizare a continuităţii într-un punct)Fie X Rk şi Y Rp, funcţia f : A ⊂ X → Y şi a ∈ A. Atunci

următoarele afirmaţii sunt echivalente:(1) ∀V ∈ Vfa,∃U ∈ Va a.î. fU ∩ A ⊂ V (definiţia cu vecinătăţi);(2) ∀ xnn≥1 şir din A cu xn → a, avem fxn → fa (definiţia cu şiruri);

42

(3) ∀ 0,∃ 0 a.î. ∀x ∈ A cu ‖x − a‖ avem ‖fx − fa‖ (definiţia cu − ).Observaţie. O funcţie vectorială este continuă într-un punct (respectiv, pe

o mulţime) dacă şi numai dacă toate componentele sale scalare sunt continueîn acel punct (respectiv, pe acea mulţime).În următoarele teoreme, A,B,C sunt mulţimi din spaţii euclidiene finit

dimensionale.Teoremă (păstrarea semnului pe o vecinătate) Dacă f : A → R este

continuă în punctul a ∈ A şi fa ≠ 0, atunci fx are acelaşi semn cu faîntr-o vecinătate a lui a. (∃U ∈ Va a.î. fx fa 0, ∀x ∈ U ∩ A).Teoremă (Operaţii cu funcţii continue). Fie f,g : A → R p şi a ∈ A .

Dacă funcţiile f şi g sunt continue în punctul a (respectiv, pe o mulţimeB ⊂ A), atunci funcţiile f g , f (unde ∈ R)sunt continue în a (respectiv, peB). În cazul p 1, dacă funcţiile f şi g sunt continue în punctul a (respectiv,pe o mulţime B ⊂ A), atunci funcţiile f g şi f/g (dacă ga ≠ 0) sunt continueîn a (respectiv, pe B).Teorema (Continuitatea funcţiilor compuse) Fie funcţiile f : A → B,

g : B → C şi funcţia compusă g ∘ f : A → C. Dacă f este continuă în punctula ∈ A şi g este continuă în punctul fa, atunci g ∘ f este continuă în punctul a.Calculul limitelor de funcţii se simplifică utilizând continuitatea funcţiilor

elementare şi proprietăţile operaţiilor cu limite.Exemple de funcţii continue1) Funcţiile reale de o variabilă reală numite funcţii elementare (funcţii

polinomiale, funcţii raţionale, funcţii exponenţiale, funcţii logaritmice, funcţiiputere, funcţii trigonometrice directe şi inverse) sunt continue pe domeniile lormaxime de definiţie. Pornind de la un număr finit de funcţii elementare şiaplicându-le operaţii algebrice dintre cele menţionate în teoremele de mai sus ,se obţin funcţii continue pe domeniile lor maxime de definiţie.2) Funcţiile proiecţie x x1,x2,… ,xk

Pi xi i 1,2,… ,k suntcontinue pe Rk deoarece ∀a a1,a2,… ,ak ∈ Rk avem|Pix − Pia| |xi − ai | ≤ ‖x − a‖, deci‖x − a‖ |Pix − Pia| . (Este verificată condiţia din definiţia cu − a continuităţii pentru )Propoziţie. Dacă f : A ⊂ Rk → Rp, fx1, . . . ,xk gxi,

∀x1, . . . ,xk ∈ A şi g : PiA ⊂ R → Rp este funcţie continuă ,atunci f estecontinuă pe A.Cu alte cuvinte, dacă o funcţie f de mai multe variabile depinde efectiv

numai de o variabilă, iar această dependenţă se exprimă printr-o funcţiecontinuă g, atunci f este continuă.3) Polinoamele de n nedeterminate definesc funcţii continue pe Rn

(conform observaţiilor 1) şi 2) de mai sus).4.5. Proprietăţi globale ale funcţiilor continue

În ceea ce urmează, X şi Y sunt spaţii euclidiene finit dimensionale.Definiţie. Spunem că o mulţime A ⊂ X este conexă prin arce dacă pentru

orice două puncte x1,x2 ∈ A există un drum cu extremităţile x1 şi x2, avândimaginea inclusă în A.Un arc din spaţiul X este imaginea unui interval închis şi mărginit a,b din

R printr-o funcţie continuă f : a,b → X.

43

Teoremă . Imaginea printr-o funcţie continuă a unei mulţimi conexe prinarce este o mulţime conexă prin arce.Corolar. (Teorema valorilor intermediare) Orice funcţie reală continuă

pe un interval din R, f : I → R, ia odată cu două valori distincte oarecare fa,fb şi orice valoare dintre fa şi fb, cel puţin într-un punct situat între a şib.Teoremă. Imaginea printr-o funcţie continuă f : A ⊂ Rk → Rp a unei

mulţimi închise şi mărginite este o mulţime închisă şi mărginită.Corolar. (Teorema valorilor extreme) Orice funcţie reală continuă pe o

mulţime închisă şi mărginită şi mărginită din Rk este mărginită şi îşi atingemarginile.Mai exact, dacă funcţia f : A ⊂ Rk → R este continuă şi mulţimea A este

închisă şi mărginită, atunci există punctele x1,x2 ∈ A a.î.

fx1 ≤ fx ≤ fx2 pentru orice x ∈ A.

Valorile extreme ale lui f (margini atinse) sunt fx1, numită minim globalal lui f, şi fx2, numită maxim global al lui f. Punctul x1 ( respectiv, x2) senumeşte punct de minim global (respectiv, punct de maxim global) pentrufuncţia f.Teoremă. Orice funcţie continuă f : A ⊂ Rk → Rp pe o mulţime închisă şi

mărginită A este uniform continuă, adică: .∀ 0,∃ 0 a.î.∀x,y ∈ A cu ‖x − y‖ , avem ‖fx − fy‖

4.6. Limita restricţiei unei funcţii la o submulţime. Limiteiterate

Calculul unor limite conduce la cazuri de nedeterminare. În calculullimitelor pentru funcţii de mai multe variabile, în cazurile de nedeterminare 0

0şi , nu dispunem de un instrument comod cum este regula lui L’Hospitalpentru funcţii reale de o variabilă reală. Să presupunem că nu putem calculadirect limita într-un punct a pentru o funcţie f de mai multe variabile. Pentru aobţine indicii privind existenţa/ inexistenţa limitei sau valoarea limitei, studiemlimitele în a pentru restricţii ale funcţiei date la curbe ce trec prin a. Dacălimitele în punctul a pentru două restricţii ale funcţiei f sunt diferite, atuncifuncţia f nu are limită în a.Vom numi limita uzuală limx→a fx limita globală a funcţiei f în punctul a,

pentru a o deosebi de alte tipuri de limite discutate în continuare.Limite laterale

Fie f : A ⊂ R → R şi a ∈ R. Limita la stânga a funcţiei f în a este limitaîn a pentru restricţia lui f la A ∩ −,a, iar limita la dreapta a funcţiei f în aeste limita în a pentru restricţia lui f la A ∩ a,. Limita la stânga şi limitala dreapta ale unei funcţii într-un punct se numesc limitele laterale ale funcţieiîn acel punct şi se notează cu lim

xax→a fx, respectiv lim

xax→a fx. Studiul limitei la

stânga, respectiv al limitei la dreapta, pentru funcţia f : A ⊂ R → R în a aresens numai dacă a este punct de acumulare pentru A ∩ −,a, respectivpentru A ∩ a,.Presupunând că are sens studiul limitei la stânga şi al limitei la dreapta,

funcţia f are limită în punctul a dacă şi numai dacă limitele sale laterale în a

44

există şi sunt egale.Limita restricţiei funcţiei la o submulţime E („de-a lungul lui E“)

Fie X,d1 şi Y,d2 spaţii metrice şi f : D ⊂ X Y. Presupunem căE ⊂ D şi a ∈ X este punct de acumulare pentru E.Avem lim

x→ax∈E

fx LDEF ∀V ∈ VL,∃U ∈ Va a.î.

x ∈ U ∩ E\a fx ∈ V.Se observă că limx→a fx l lim

x→ax∈E

fx l pentru orice E ⊂ D cu a ∈ E ′

(întrucât fU ∩ E\a ⊂ fU ∩ D\a). În concluzie:Limita de-a lungul oricărei submulţimi este egală cu limita globală , dacă

aceasta din urmă există. De aici rezultă că dacă limitele de-a lungul a douăsubmulţimi sunt diferite, atunci limita globală nu există..

Limita într-un punct după o direcţie pentru funcţii de k variabileSe numeşte astfel limita în acel punct a restricţiei funcţiei la o dreaptă care

trece prin acel punct şi are direcţia considerată. Calculul limitei după o direcţierevine la calculul limitei unei funcţii de o singură variabilă, deoarece pe odreaptă coordonatele punctului curent depind de un singur parametru.

Cazul k 2.Fie a,b ∈ R2 şi d o dreaptă care trece prin a,b.Dacă d ∦ Oy folosim ecuaţia explicită a dreptei d : y − b mx − a

m este panta dreptei d, adică m tg , unde ∡Ox,d. Dacă d ‖ Oy,avem d : x a. Cele două cazuri considerate pot fi tratate unitar folosindecuaţiile d : x−a

p y−bq , unde p,q ∈ R2 ∖ 0,0 este un vector director

al dreptei d. De aici, notând cu t valoarea celor două rapoarte egale obţinemecuaţiile parametrice

dx a pty b qt

, t ∈ R.

Pentru a calcula limita după o direcţie a unei funcţii de două variabileaplicăm formula:

limx,y→a,bx,y∈d

fx,y limt→0fa pt,b qt

Avem limx,y→a,bx,y∈d

fx,y limx→a fx,b mx − a, dacă d ∦ Oy, respectiv

limx,y→a,bx,y∈d

fx,y y→blim fa,y dacă d ‖ Oy.

Exemple. 1) Studiaţi existenţa limitei limx,y→0,0

fx,y unde

fx,y axbycxdy , a,b,c,d ≠ 0 şi ad ≠ bc.

Notăm dm : y mx. Avem Lm : limx,y→0,0x,y∈dm

fx,y limx→0

axbmxcxdmx abm

cdm

45

(depinde efectiv de m).Se arată că m1 ≠ m2 Lm1 ≠ Lm2 (calculăm

abm1cdm1

− abm2cdm2

ad−bcm2−m1cdm1cdm2

) . Rezultă că limita cerută nu există.Mai putem observa că lim

x,y→0,0x,y∈Ox

fx,y limx→0fx, 0 lim

x→0axcx a

c şi

limx,y→0,0x,y∈Oy

fx,y limy→0f0,y b

d sunt diferite.

2) Studiaţi existenţa limitei limx,y→0,0

xy2x2 y4

.

Notăm fx,y xy2x2 y4

, dm : y mx.Avem

limx,y→0,0x,y∈dm

fx,y limx→0

fx,mx limx→0

x m2x2x2 m4x4

limx→0

m2x1 m4x2

0, pentru

orice m real. În plus, limx,y→0,0x,y∈Oy

fx,y limy→0

0

f0,y 0. Deci limita în origine

după orice direcţie este zero. Totuşi, nu există limx,y→0,0

fx,y. Fie parabola

P : x y2. Avem:lim

x,y→0,0x,y∈P

fx,y limy→0

fy2,y limy→0

y2 y2y4 y4

12 ≠ 0 lim

x,y→0,0x,y∈dm

fx,y,

de unde rezultă că nu există limx,y→0,0

fx,y.

Cazul k 3.Fie a,b,c ∈ R3 şi d o dreaptă care trece prin a,b,c, de ecuaţii

d : x − ap y − bq z − c

s . Ecuaţiile parametrice ale drepteisunt d : x a pt, y b qt, z c st ( t ∈ R).Legea de corespondenţă pentru restricţia unei funcţii f fx,y, z la dreapta

d se obţine înlocuind în fx,y, z expresiile date de ecuaţiile parametrice pentrux, y şi z . Pentru n → , avem a ptn,b qtn,c stn → a,b,c dacă şinumai dacă tn → 0. Formula de calcul pentru limita după o direcţie în spaţiueste:

limx,y,z→a,b,cx,y,z∈d

fx,y, z limt→0fa pt,b qt,c st

Observaţie. Dacă limitele după două direcţii ale funcţiei într-un punct suntdiferite, atunci limita globală a unei funcţii în acel punct nu există.Exemplu. Studiaţi dacă există limita considerată, iar în cazul unui răspuns

afirmativ calculaţi limitaL : lim

x,y→0,0x,y∈d

x2 y2 lnx2 y2

Soluţie. Scriem ecuaţiile parametrice ale unei drepte care trece prin origined : x pt, y qt (t ∈ R ). Avem

46

limx,y→0,0x,y∈d

fx,y t→0lim fpt,qt. lim

x,y→0,0x,y∈d

x2 y2 lnx2 y2 t→0lim p2 q2t2 lnp2

pentru pentru orice dreaptă d care trece prin origine. Am aplicat regula decalcul pentru limita compunerii a două funcţii şi regula lui L’Hospital în cazul00 .Dacă limita globală cerută există, atunci ea are valoarea L 0. Faptul că

L 0 înseamnă, conform definiţiei limitei că∀ 0, ∃ 0 a. î. 0 x2 y2 |x2 y2 lnx2 y2| .

Notând r x2 y2 , această implicaţie este echivalentă cur→0lim r2 ln r2 0,

ceea ce este adevărat. Deci limita globală cerută există şi este zero.Limite iterate pentru funcţii de k variabile reale

Cazul k 2. Limitele iterate ale funcţiei f : D ⊂ R2 R într-un puncta,b, punct interior al mulţimii D, se definesc prin: L1 limx→a limy→b fx,y şi

L2 limy→blimx→a fx,y.

Se observă că dacă a,b este punct interior al lui D, există 0 astfelîncât a − ,a b − ,b ⊂ D, adică x ∈ a − ,a şiy ∈ b − ,b x,y ∈ D. Pentru a calcula L1: pentru fiecarex ∈ a − ,a calculăm lim

y→bfx,y NOT l1x, apoi L1 limx→a l1x. Analog,

pentru a calcula L2: pentru fiecare y ∈ b − ,b calculămlimx→a fx,y

NOT l2y, apoi L2 limy→bl2y.

Limitele iterate ale unei funcţii într-un punct nu sunt în mod necesar egale.Dacă există limita globală într-un punct , atunci limitele iterate în acel

punct interior există şi sunt egale cu limita globală.(∃L lim

x,y→a,bfx,y ∃L1 L şi ∃L2 L). Este posibil ca limitele iterate

într-un punct să fie egale fără ca limita globală să existe.Pentru o funcţie de k variabile se pot considera k! limite iterate. De

exemplu, pentru k 3 se pot scrie 3! 6 limite iterate: limx→a limy→b limz→c fx,y, z,

limx→a limz→c limy→b fx,y, z, limy→b limx→a limz→c fx,y, z, limy→b limz→c limx→a fx,y, z, limz→climx→a limy→b fx,y, z şi limz→c limy→b limx→a fx,y, z.

Exemplu. Calculaţi limitele iterate în origine ale funcţiei fx,y axbycxdy ,

unde c ≠ 0, d ≠ 0.Limitele iterate sunt: L1 lim

x→0limy→0

axbycxdy lim

x→0axb0cxd0 lim

x→0ac a

c şi

L2 limy→0limx→0

axbycxdy lim

y→0a0byc0dy lim

y→0bd b

d .

Dacă ac ≠ b

d , atunci L1 ≠ L2, deci nu există limita globală în origine a luif. Dacă a

c bdNOT r, atunci fx,y ≡ r (este funcţie constantă), deci limita

globală în origine a lui f este r.

47

Capitolul 5. Derivate şi diferenţiale pentrufuncţii de o variabilă reală

Calculul diferenţial este o parte clasică fundamentală a Analizeimatematice, bazată pe noţiunea de derivată. Derivata descrie matematic vitezade variaţie a unei funcţii şi admite diferite interpretări, după natura funcţiei şi aargumentului său. Noţiunea de derivată, aşa cum a fost studiată în liceu, esteutilizată în studiul variaţiei funcţiilor de o variabilă şi are aplicaţii importanteîn numeroase ramuri ale matematicii, fizică, tehnică, chimie, economie,biologie, etc. În cadrul cursului de Analiză matematică, trecerea de la derivareafuncţiilor de o variabilă la derivarea parţială a funcţiilor de mai multe variabilese realizează în mod natural şi permite extinderea ariei de aplicabilitate acalculului diferenţial la funcţii de tipul f : D ⊂ Rk → Rp.Noţiunea de derivată a fost introdusă în secolul al XVII-lea, de Isaac

Newton şi Gottfried Leibniz, care au ajuns la necesitatea definirii şi utilizării eipornind de la probleme de mecanică (studiul mişcării planetelor), respectiv degeometrie (problema tangentelor).

5.1. Derivata unei funcţii de o variabilă reală într-un punctIntroducere

Înainte de a trece la însuşirea regulilor şi formulelor de derivare esteimportantă înţelegerea semnificaţiei noţiunii de derivată, pornind de ladefiniţia acesteia şi de la unele aplicaţii ale ei.

Problema vitezeiStudiem mişcarea rectilinie a unui mobil într-un interval de timp I a,b.

Pe traiectoria mişcării alegem un punct de referinţă (origine) O, un sens pozitivşi o unitate de lungime. Notăm cu st spaţiul parcurs de mobil de la momentuliniţial a până la un moment oarecare t ∈ a,b.Dacă mişcarea este uniformă, în orice unitate de timp se parcurge acelaşi

spaţiu v, numit viteza mobilului. Atunci pentru orice momente t0, t ∈ a,bavem st − st0 vt − t0, de unde v st−st0

t−t0 dacă t ≠ t0.Raportul vt0,t :

st−st0t−t0 se numeşte viteza medie în intervalul de timp

t0, t sau t, t0 . Viteza instantanee la momentul t0, notată cu vt0, estevaloarea spre care tinde viteza medie pe intervalul de timp t0, t sau t, t0 când lungimea acestui interval tinde la zero. Altfel spus,

vt0 t→t0lim st − st0

t − t0 .

Problema tangenteiFie graficul unei funcţii f : I → R, definit de ecuaţia explicită

Gf : y fx, x ∈ I. Coarda care uneşte două puncte ale graficului, unulfixat M0x0, fx0 şi celălalt mobil Mx, fx are panta (coeficientul unghiular)mM0M fx−fx0

x−x0 . Se pune problema dacă pentru x → x0 coarda M0M seapropie de o dreaptă fixată M0T. Răspunsul este afirmativ dacă şi numai dacăexistă limita pantei coardeiM0M pentru x → x0, caz în care notăm

48

m : limx→x0fx − fx0x − x0

şi numim m panta tangenteiM0T la graficul considerat, în punctulM0.Definiţii

Definiţie. Fie f : A ⊂ R R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru A.Spunem că funcţia f are derivată în punctul x0 dacă există limitalimx→x0

fx − fx0x − x0 . Limita precedentă se numeşte derivata funcţiei f în punctul

x0 şi se notează cu f ′x0.Spunem că f este derivabilă în punctul x0 dacă derivata funcţiei în punctul

x0 există şi este finită.Pe scurt: f ′x0 : limx→x0

fx − fx0x − x0 dacă limita din membrul drept există,

iar f se numeşte derivabilă în x0 dacă f ′x0 ∈ R.Observaţii1) În aplicaţii se consideră funcţii f : I ⊂ R R, unde I este un interval,

iar în acest caz orice punct x0 ∈ I este punct de acumulare pentru I.1) Pentru derivata funcţiei f (de variabilă x) în punctul x0 se mai utilizează

notaţia dfdx x0, care are avantajul de a pune în evidenţă argumentul x. Deexemplu, dacă g este funcţie de variabila t, derivata funcţiei g în punctul t0 senotează cu dgdt t0.2) "Viteza medie de variaţie“ a unei funcţii f pe un interval de forma x0,x

sau x,x0 este raportul dintre variaţia funcţiei fx − fx0 şi variaţiaargumentului x − x0. „Viteza de variaţie“ în punctul x0 a lui f se defineşte calimită a vitezei medii de variaţie a funcţiei f pe un interval de extremităţi x0 şix, pentru x → x0. Aşadar, f′x0 este „viteza de variaţie“ a funcţiei f în punctulx0.3) Dacă există o limită laterală în x0 a raportului

fx − fx0x − x0 , aceasta se

numeşte derivată laterală a funcţiei f în punctul x0.Aplicaţii1) Revenim la problema tangentei. Graficul funcţiei f admite tangentă în

punctul M0x0, fx0 dacă şi numai dacă f are derivată în x0, iar pantatangentei respective este derivata f ′x0. Dacă f este derivabilă în x0, ecuaţiatangentei este M0T : y f ′x0x − x0 fx0. Dacă f ′x0 este infinită,tangenta M0T este paralelă cu axa Oy, deci are ecuaţia M0T : x x0.Derivata la stânga (respectiv, la dreapta) a funcţiei f în punctul x0 este pantasemitangentei la stânga (respectiv, la dreapta) înM0 la graficul lui f.2) Fie qt sarcina electrică care străbate o secţiune oarecare a unui circuit

în intervalul de timp 0, t. Intensitatea medie a curentului electric în circuit, înintervalul de timp t0, t sau t, t0 este qt−qt0

t−t0 . Intensitatea instantanee lamomentul t0 este lim

t→t0

qt−qt0 t−t0 dq

dt t0.Definiţie. Spunem că funcţia f : A ⊂ R R este derivabilă pe mulţimea

B ⊂ A dacă f este derivabilă în fiecare punct din B. Funcţia care face să-icorespundă fiecărui punct x ∈ B numărul f ′x se numeşte derivata funcţiei fpe mulţimea B şi se notează cu f ′ : B → R.

49

Dacă spunem că funcţia f : A ⊂ R R este derivabilă, se subînţelege căea este derivabilă pe A.

Exemple. Reamintim cum se calculează, folosind definiţia, derivatele unorfuncţii elementare.a) Derivata unei funcţii constante fx ≡ c pe R este funcţia identic nulă

(scriem c ′ 0). Într-adevăr, pentru orice x0 ∈ R,fx − fx0x − x0 c−c

x−x0 0 arelimita 0 pentru x → x0.b) Fie fx xn, x ∈ R, unde n ∈ N. Folosind formula

an − bn a − b∑k1

n

an−kbk−1 rezultă

limx→x0fx − fx0x − x0 limx→x0

1x − x0 x − x0∑

k1

n

xn−kx0k−1 ∑k1

n

x0n−kx0k−1 nx0n−1;

am aplicat continuitatea polinomului∑k1

n

xn−kx0k−1 în x0.

Atunci xn ′ nxn−1 pe R. Se arată că pentru orice p ∈ R avemxp ′ pxp−1 pe 0,.c) Fie fx sinx, x ∈ R.Folosind scrierea diferenţei de sinusuri ca produs

de funcţii trigonometrice, obţinem

limx→x0fx − fx0x − x0 limx→x0

sin x−x02

x−x02

cos x x02 cosx0 limx→x0sin x−x0

2x−x02

cosx0;

am aplicat continuitatea funcţiei cos şi limita fundamentală limt→0

sin tt 1.

Rezultă sinx ′ cosx pe R. Analog, cosx ′ − sinx pe R.Teoremă. Dacă o funcţie reală de variabilă reală este derivabilă într-un

punct, atunci funcţia este continuă în acel punct.Operaţii cu funcţii derivabile

Teoremă (Operaţii algebrice cu funcţii derivabile). Fief,g : A ⊂ R R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru A. Dacă f şi g suntderivabile în x0, atunci:1) suma f g este derivabilă în x0 şi f g ′x0 f ′x0 g′x0;2) pentru orice constantă c ∈ R, cf este derivabilă în x0 şi

c f ′x0 c f ′;3) produsul f g este funcţie derivabilă în x0 şi

fg ′x0 f ′x0 gx0 fx0 g′x0;4) dacă în plus gx0 ≠ 0, atunci câtul f

g este funcţie derivabilă în x0 şifg

′x0 f′x0 gx0 −fx0 g′x0

g2x0 .

În particular, aplicaţia care asociază unei funcţii derivabilef : A ⊂ R R derivata sa f ′ : A R este liniară.Foarte utile în aplicaţii sunt regulile de derivare a funcţiei compuse,

respectiv a inversei unei funcţii, date de următoarele teoreme.Teoremă (Derivata unei funcţii compuse) Fie I,J intervale din R şi

funcţiile f : I → J,g : J → R. Dacă f este derivabilă în punctul x0 ∈ I şi g estederivabilă în punctul fx0, atunci funcţia compusă g ∘ f : I → R estederivabilă în x0 şi

50

g ∘ f ′x0 g′fx0 f ′x0.

Observaţii.1) Dacă u : I → J şi F : J → R sunt funcţii derivabile, regula de derivare a

funcţiilor compuse se mai scrie sub forma Fux ′ F ′ux u ′x, x ∈ I.2) Notăm corespondenţele stabilite de funcţii cu y fx, z gy ,

z g ∘ fx, iar derivatele respective cu dydx x f

′x, dzdy y g′y,

dzdx x g ∘ f

′x. Cu notaţia y0 fx0 regula de derivare a funcţiilorcompuse se scrie sub forma

dzdx x0

dzdy y0

dydx x0,

care formal este analogă cu regula de înmulţire a unor rapoarte.Exemple.uxn ′ nuxn−1 u′x, unde n ∈ N∗; uxp ′ puxp−1 u′x, unde

p ∈ R, dacă ux 0 ;eux ′ eux u′x; aux ′ aux lna u′x;lnux ′ 1

ux u′x;

sinux ′ cosux u′x; cosux ′ − sinux u′x;tgux ′ 1

cos2ux u′x, etc.

Am aplicat formula de derivare a funcţiei compuse luând totdeaunafx ux, respectiv gy yn, gy yp, gy ey, gy ay, gy lny,gy siny, gy cosy, gy tgy.Teoremă (Derivata inversei unei funcţii ) Fie I,J intervale din R şi

funcţia bijectivă f : I → J. Dacă f este derivabilă în punctul x0 şi f ′x0 ≠ 0,atunci funcţia inversă f−1 : J → I este derivabilă în punctul corespunzătorfx0 şi

f−1 ′fx0 1f ′x0

Observaţie.Notăm corespondenţele stabilite de funcţii cu y fx, x f−1y,

derivatele respective cu dydx x f

′x, dxdy y f−1 ′yşi y0 fx0. Regula

de derivare a funcţiei inverse se scrie sub forma dxdy y0

1dydx x0

.

Exemplu. arcsin : −1,1 → este inversa funcţiei bijectivef : sin : −

2 ,2 → −1,1. Avem f−1 ′x 1

f′f−1x, adică

arcsinx ′ 1cosarcsinx .Dar cosarcsinx 1 − sin2arcsinx

′1 − x2 , de

unde arcsinx ′ 11−x2

pentru x ∈ −1,1.

Se arată că funcţia arcsin are derivata egală cu în fiecare din punctele−1 şi 1.

5.2. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile pe intervaleReamintim principalele rezultate studiate în liceu referitoare la funcţii

derivabile pe intervale. Vom aprofunda chestiunile referitoare la puncte deextrem local în paragraful ”Extreme locale ale funcţiilor de o variabilă reală”.

51

Teorema lui FermatFie I un interval din R. Dacă funcţia f : I → R are derivată într-un punct

de extrem local a situat în interiorul intervalului I, atunci f′a 0.Consecinţă a Teoremei lui Fermat (Teorema lui Darboux) Dacă

f : I → R este o funcţie derivabilă pe intervalul I, atunci derivata saf ′ : I → R are proprietatea valorilor intermediare: pentru orice a b din I,pentru care f ′a ≠ f ′b, şi orice număr cuprins între f ′a şi f ′b, existăc ∈ a,b astfel încât f ′c.De aici deducem că dacă derivata f ′ nu se anulează pe un interval, atunci

derivata este fie strict pozitivă, fie strict negativă, pe acel interval.Teorema lui RolleFie f : a,b → R o funcţie continuă pe a,b şi derivabilă pe a,b. Dacă

fa fb, atunci există cel puţin un punct c ∈ a,b astfel încât f ′c 0.Teorema lui LagrangeFie f : a,b → R o funcţie continuă pe a,b şi derivabilă pe a,b.Atunci există cel puţin un punct c ∈ a,b astfel încât

fb − fa f ′c b − a.

Consecinţe ale Teoremei lui Lagrange1) Dacă derivatele a două funcţii derivabile pe un interval sunt egale pe

acel interval, atunci diferenţa celor două funcţii este constantă pe acel interval.În particular, dacă derivata unei funcţii este nulă pe un interval, atunci funcţiaeste constantă pe acel interval.2) Folosind semnul derivatei unei funcţii pe un interval, deducem

monotonia funcţiei pe acel interval.Propoziţie. Fie f : I → R o funcţie derivabilă pe intervalul I. Dacă f ′ este

strict pozitivă pe I, atunci f este strict crescătoare pe I. Dacă f ′ este strictnegativă pe I, atunci f este strict descrescătoare pe I. În plus, f este crescătoarepe I dacă şi numai dacă f ′ este pozitivă pe I, iar f este descrescătoare pe I dacăşi numai dacă f ′ este negativă pe I.Folosind Propoziţia de mai sus şi Teorema lui Darboux deducem

următoarea regulăCorolar. Dacă derivata unei funcţii derivabile pe un interval nu se

anulează pe acel interval, atunci funcţia este strict monotonă.Pentru a studia monotonia unei funcţii derivabile pe un interval f : I → R,

stabilim intervalele pe care derivata păstrează semn constant. Notămextremităţile intervalului I cu a şi b, unde − ≤ a b ≤ . Rezolvămecuaţia f ′x 0, x ∈ I Presupunem că ecuaţia are un număr finit de soluţii,notate x1 x2 . . . xn. Pe fiecare din intervalele a,x1, x1,x2, ...,xn−1,xn,xn,b derivata f ′ păstrează semn constant, deci f este strict monotonă.Exemplu. Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f : R → R,

fx 3x4 − 16x3 6x2 72x − 12.Soluţie. Am arătat în exemplul anterior că f ′x 12x 1x − 2x − 3,

deci f ′x 0 x ∈ −1,2,3. Folosind semnele factorilor de gradul I dindescompunerea polinomului f ′x obţinem f ′x 0 pentrux ∈ −,−1 2,3 şi f ′x 0 pentru x ∈ −1,2 3,. Rezultă că f areurmătoarele intervale de monotonie: descreşte strict pe −,−1 (de la

52

x→−lim fx la f−1 −1), creşte strict pe −1,2 (de la f−1 −1 laf2 16), descreşte strict pe 2,3 (de la f2 16 la f3 9) şi creşte strictpe 3, (de la f3 9 la

x→lim fx ).

Teorema lui CauchyFie f,g : a,b → R două funcţii continue pe a,b şi derivabile pe a,b,

astfel încât g′x ≠ 0 pentru orice x ∈ a,b. Atunci există cel puţin un punctc ∈ a,b astfel încât

fb − fagb − ga f ′c

g′c.

Următoarele consecinţe ale Teoremei lui Cauchy, regulile lui L’Hospitalpentru cazurile de nedeterminare 0

0 , respectiv , au o deosebită importanţă

practică pentru calculul limitelor.Teoremă. (Regula lui L’Hospital pentru cazul 00 ) Fie I un interval din

R, x0 ∈ R un punct de acumulare pentru I şi f,g : I ∖ x0 → R două funcţii.Presupunem că sunt îndeplinite următoarele condiţii:1)

x→x0lim fx 0 şi

x→x0lim gx 0;

2) f şi g sunt derivabile pe I ∖ x0;3) g′x ≠ 0 pentru orice x ∈ I ∖ x0;4) există limita în x0 a raportului derivatelor celor două funcţii (finită sau

infinită);Atunci

x→x0lim fx

gx x→x0lim f ′x

g′x.

Teoremă. (Regula lui L’Hospital pentru cazul ) Fie I un interval dinR, x0 ∈ R un punct de acumulare pentru I şi f,g : I ∖ x0 → R două funcţii.Presupunem că sunt îndeplinite următoarele condiţii:1)

x→x0lim |gx|

2) f şi g sunt derivabile pe I ∖ x0;3) g′x ≠ 0 pentru orice x ∈ I ∖ x0;4) există limita în x0 a raportului derivatelor celor două funcţii (finită sau

infinită);Atunci

x→x0lim fx

gx x→x0lim f ′x

g′x.

5.3. Derivate de ordin superiorFie f : A ⊂ R → R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru A. Dacă f este

derivabilă într-o vecinătate a punctului x0 (adică există 0 a.î. f derivabilăpe A ∩ x0 − ,x0 ), se poate pune problema dacă funcţia derivată f ′(definită pe A ∩ x0 − ,x0 ) este derivabilă sau nu în x0.Definiţie. Fiind date f : A ⊂ R → R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru

A, spunem că f este derivabilă de două ori în punctul x0 dacă f este derivabilă

53

într-o vecinătate a punctului x0 şi derivata f ′ este derivabilă în punctul x0.Derivata lui f ′ în punctul x0 se notează f ′′x0 sau d2f

dx2x0 şi se numeşte

derivata a doua (sau de ordinul doi) a funcţiei f în punctul x0.Pentru a evita ambiguităţile, vom numi f ′ derivata de ordinul întâi a funcţiei

f. De asemenea, convenim să spunem că o funcţie f este propria sa derivată deordinul zero. Se folosesc notaţiile: f0 f, f1 f ′, f2 f ′′, f3 f ′′′,f4 fIV, etc.Inductiv, se definesc derivabilitatea de n ori şi derivata de ordinul n ≥ 2 a

unei funcţii într-un punct. Derivata de ordinul n a funcţiei f în punctul x0 senotează cu fnx0.Definiţie. Fiind date f : A ⊂ R → R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru

A, spunem că f este derivabilă de n ori în punctul x0 dacă f este derivabilă den − 1 ori într-o vecinătate a punctului x0 şi derivata de ordinul n − 1 estederivabilă în punctul x0. Derivata lui fn−1 în punctul x0 se notează fnx0 saudnfdxn x0 şi se numeşte derivata de ordinul n a funcţiei f în punctul x0.Dacă f este derivabilă de n ori pe intervalul I ⊂ R, scriem fn fn−1 ′ pe

I.Definiţie. Spunem că o funcţie f : I → R este de clasă Cn pe intervalul

I ⊂ R, n ≥ 1, dacă f este derivabilă de n ori pe I şi derivata sa de ordinul n,fn, este continuă pe I. Mulţimea funcţiilor reale de clasă Cn pe I se notează cuCnI.Pentru uniformitatea limbajului se notează cu C0I mulţimea funcţiilor

reale continue pe I.Deoarece orice funcţie derivabilă pe un interval este continuă pe acel

interval, se observă că C0I ⊃ C1I ⊃ C2I ⊃. . .CnI ⊃ Cn1I ⊃. . . Se

notează CI : n0

CnI.

Definiţie. Spunem că funcţia f : I → R este indefinit derivabilă peintervalul I ⊂ R dacă pentru orice n ∈ N∗ funcţia f este derivabilă de n oriSe observă că mulţimea funcţiilor reale indefinit derivabile pe intervalul I

este tocmai CI.Exemple. O funcţie elementară este indefinit derivabilă pe orice interval

deschis inclus în domeniul său de definiţie.Prin inducţie după n se arată că pentru orice n au loc egalităţile:1) eaxn aneax pe R, unde a ∈ R este o constantă;2) sinxn sinx n

2 şi cosxn cosx n

2 pe R;3) 1

xc n −1nn!

xcn1pe R ∖−c, unde c ∈ R este o constantă.

Teoremă (Operaţii algebrice cu funcţii derivabile de n ori)Fie f,g : A ⊂ R R şi x0 ∈ A punct de acumulare pentru A. Dacă f şi g

sunt derivabile de n ori în x0, atunci:1) suma f g este derivabilă de n ori în x0 şi

f gnx0 fnx0 gnx0;2) pentru orice constantă c ∈ R, cf este derivabilă în x0 şi

c fnx0 c fnx0;3) produsul f g este funcţie derivabilă de n ori în x0 şi

54

fgnx0 ∑k0

n

Cnkfn−kx0gkx0.

Ultima formula de mai sus se numeşte regula lui Leibniz şi poate fi reţinutăprin analogie cu formula binomului lui Newton:

a bn ∑k0

n

Cnkan−kbk.

5.4. Diferenţiale. Funcţii diferenţiabileDefiniţii. Caracterizare

Noţiunea de diferenţială a fost introdusă pentru a aproxima local, învecinătatea unui punct, o funcţie dată cu o funcţie de grad cel mult 1 . Maimult, dacă aproximăm fx într-o vecinătate a punctului a printr-o funcţie degrad cel mult 1, se cere ca eroarea aproximării să tindă la zero pentru x → a,mai repede decât distanţa de la x la a. Această condiţie relativă la aproximareva fi formulată riguros în ceea ce urmează.Definiţie. Fie I un interval din R, f : I → R o funcţie şi a ∈ I. Spunem că f

este diferenţiabilă în punctul a dacă există o constantă c ∈ R şi o funcţie : I → R cu limx→a x 0 a astfel încât pentru orice x ∈ I avemfx fa cx − a x |x − a|.Vom spune că f : I → R este diferenţiabilă pe o mulţime A ⊂ I dacă

funcţia este diferenţiabilă în fiecare punct din A.Constanta c şi funcţia din definiţia unei funcţii diferenţiabile într-un

punct sunt unic determinate.Definiţie. Dacă f satisface egalitatea de mai sus, numim diferenţială a

funcţiei f în punctul a aplicaţia liniară T : R → R definită prin Th ch. Mainotăm T dfa.Teoremă. O funcţie f : I → R este diferenţiabilă într-un punct din I dacă şi

numai dacă este derivabilă în acel punct. În cazul când f este diferenţiabilă(derivabilă) în punctul a ∈ I, condiţia de diferenţiabilitatefx fa cx − a x |x − a| este satisfăcută pentru constantac f ′a.Obţinem legea de corespondenţă a diferenţialei în punctul a :

dfah f ′ah .Formula de calcul a diferenţialei

Aplicând formula de mai sus pentru funcţia identitate fx x, x ∈ R,avem dxah h, h ∈ R, pentru orice a ∈ R. Cum aplicaţia dxa nudepinde de a, fiind funcţia identitate pentru orice a ∈ R, o vom nota maisimplu cu dx.Să presupunem acum că f : I → R este diferenţiabilă în punctul a. Atunci

dfah f ′a dxh pentru h ∈ R, adică are loc egalitatea de funcţiidfa f ′a dx. Dacă f : I → R este diferenţiabilă pe intervalul I, scriempentru orice x ∈ I egalitatea

55

dfx f ′xdx,

adică diferenţiala funcţiei f este egală cu produsul dintre derivata sa şidiferenţiala lui x.

Aproximare liniarăDacă f satisface condiţia de diferenţiabilitate

fx fa cx − a x |x − a|, neglijăm termenul x |x − a| (caretinde la zero pentru x → a, mai repede decât distanţa de la x la a) şi astfelobţinem aproximarea următoare, pentru x ≅ a:

fx ≅ fa f ′ax − a.

Din punct de vedere geometric, relaţia de mai sus arată că aproximăm graficulunei funcţii, pe o vecinătate a unui punct a punct în care funcţia estederivabilă, cu tangenta la grafic în punctul de abscisă a. Într-adevăr,y fa f ′ax − a este ecuaţia tangentei la graficul lui f în punctul deabscisă a.Mai putem scrie, pentru x ≅ a, relaţia de aproximare

fx − fa ≅ f ′ax − a, adică diferenţa fx − fa este aproximativproporţională cu diferenţa x − a, coeficientul de proporţionalitate fiindderivata f ′a.Exemplu. Pentru x ≅ 0 utilizăm aproximările liniare ex ≅ 1 x,

1 x ≅ 1 x2 , n 1 x ≅ 1 x

n , sinx ≅ x, cosx ≅ 1, ln1 x ≅ x.Aplicaţie. Estimaţi cu cât creşte raza unui disc cu raza R0 1 m dacă aria

sa creşte cu ΔA 2 m2.Notăm fR R2, R ∈ 0, aria discului de rază R. Dacă raza discului

creşte cu h metri, aria creşte cu ΔA fR0 h − fR0 ≅ f ′R0h. Darf ′R 2R. Se cere fR0 h − fR0 2. Atunci ΔA ≅ 2R0h, de undeh ≅ 1

2R0ΔA. Pentru datele numerice considerate obţinem h ≅ 1

.Dacă nu utilizăm aproximarea liniară, calculăm fR0 h − fR0

R0 h2 − R02 h2 2R0h. Impunând condiţia ca aria discului săcrească cu ΔA obţinem ecuaţia de gradul II h2 2R0h − 1

ΔA 0, curădăcinile h1 −R0 R02 1

ΔA şi h2 −R0 R02 1 ΔA . Valoarea cerută

este h1 (unica rădăcină pozitivă a ecuaţiei de gradul II); se observă căR0 h2 0, deci h2 nu poate fi soluţia problemei. Rezultăh R02 1

ΔA − R0, care se aproximează cu 12R0

ΔA.

Diferenţiale de ordin superiorFie I un interval din R, f : I → R o funcţie şi a ∈ I. Spunem că f este

diferenţiabilă de două ori în punctul a dacă este derivabilă într-o vecinătate apunctului a şi derivata f ′ este diferenţiabilă în a.Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei f în punctul a se notează cu d2fa şi

se defineşte prin

d2fah f ′′ah2.

Inductiv, se definesc noţiunile de funcţie diferenţiabilă de n ori şi diferenţialăde ordinul n într-un punct, unde n ≥ 2.

56

Definiţie. Spunem că funcţia f : I → R este diferenţiabilă de n ori înpunctul a ∈ I dacă fn−1, derivata de ordinul n − 1 a funcţiei, există într-ovecinătate a punctului a şi este diferenţiabilă în a.Diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul a se notează cu dnfa şi şi

se defineşte prin

dnfah fnahn.

Se observă că dnfa este fie un polinom omogen de gradul n, fiepolinomul identic nul.

5.5. Formula lui Taylor pentru funcţii de o variabilă realăFormula lui Taylor permite aproximarea controlată a funcţiilor derivabile

prin polinoame. Astfel, fiind dată o funcţie f derivabilă de n 1 ori pe uninterval I ⊂ R , se va aproxima f în vecinătatea unui punct oarecare a ∈ Dprintr-un polinom de grad ≤ n, notat Tn,a astfel încât:(i) Derivatele de ordin ≤ n în punctul a ale lui f şi Tn,a coincid;(ii) limx→a

fx−Tn,axx−an 0.

Polinomul Tn,a cu proprietatea (i) există, este unic determinat şi se numeştepolinomul Taylor de ordin n asociat funcţiei f în punctul a.Relaţia (ii) arată că eroarea aproximării fx ≅ Tn,ax, adică

|fx − Tn,ax|, tinde la zero mai repede decât x − an, când x → a.Formula lui Taylor pentru polinoame

Teoremă (Formula lui Taylor pentru polinoame)Fie P : R R, Px anxn an−1xn−1 …a1x a0 o funcţie

polinomială şi fie a ∈ R (ak ∈ R, k 0,n şi an ≠ 0). Atunci

Px ∑k0

n Pkak! x − ak

Demonstraţie. Se demonstrează (prin inducţie după n, folosind Schema luiHorner) că există c0,c1,… ,cn ∈ R, cu cn ≠ 0, astfel încât

∗ Px c0 c1x − a c2x − a2 …cnx − an

Să determinăm coeficienţii ck în funcţie de polinomul P şi de a ∈ R.Înlocuim x a în ∗ Pa c0 . Derivăm ∗ apoi înlocuim x a în

relaţia obţinută:P ′x c1 2c2x − a …kckx − ak …ncnx − an P ′a c1 .Derivând ∗ de k oric0 c1x − a …ck−1x − ak−1

k ≡ 0; x − ak k k! obţinem:

Pkx k!ck k 1k…2ck1x − a …nn − 1… n − k 1cnx − an−k,

de unde Pka k!ck, deci ck Pkak! (pentru orice k ∈ 0,1,… ,n).

Să observăm că Pk ≡ 0 pentru orice k mai mare decât gradul polinomului P.

57

Deci Px ∑k0

nckx − ak ∑

k0

nPkak! x − ak.

Aplicaţie. Un număr real a este rădăcină cu ordinul de multiplicitate m apolinomului P dacă şi numai dacă P ′a 0, P ′′a 0,..., Pm−1a 0 şiPma ≠ 0.

Formula lui Taylor pentru funcţii derivabile de n oriÎn cele de mai jos I ⊂ R este un interval care nu se reduce la un punct.Fie a ∈ I şi f : I → R derivabilă de n ori în punctul a, unde n ∈ N∗. Prin

analogie cu membrul drept al formulei lui Taylor pentru polinoame vomdefini Tn,ax : ∑

k0

nfkak! x − ak pentru x ∈ I. Dezvoltat scriem

Tn,ax fa f ′a1! x − a f

′′a2! x − a2 . . . f

nan! x − an.

Tn,a este un polinom de grad cel mult n, numit polinomul Taylor de ordin nasociat funcţiei f în punctul a. DinTn,apx ∑

k0

nfkak! kk − 1. . . k − p 1x − ak−p ∑

kp

nfkak−p! x − a

k−p

rezultă că, pentru p 0,1, . . . ,n avem:

Tn,apa fpa,

Notăm Rn,ax fx − Tn,ax, x ∈ I. Identitatea fx Tn,ax Rn,ax,x ∈ I, se numeşte formula lui Taylor de ordinul n, corespunzătoare funcţiei f înpunctul a, iar funcţia Rn,a se numeşte restul formulei lui Taylor de ordinul nrespective.Aplicând de n ori Teorema lui Cauchy rezultă :Lemă. Dacă f : I → R este derivabilă de n ori în punctul a ∈ I, atunci

limx→afx−Tn,axx−an 0.

Teoremă (Formula lui Taylor cu rest Peano)Dacă f : I → R este derivabilă de n ori în punctul a ∈ I, unde n ∈ N∗,

atunci există o funcţie n : I → R cu limx→a nx 0 na astfel încâtpentru orice x ∈ I avem

fx ∑k0

n fkak! x − ak nx x − an.

În cazul particular n 1 se obţine o variantă a identităţii din definiţiadiferenţiabilităţii funcţiei f în punctul a.Teoremă (Formula lui Taylor cu rest Lagrange)Dacă f : I → R este derivabilă de n 1 ori pe intervalul I, unde n ∈ N∗,

atunci pentru orice puncte distincte a,x ∈ I există un punct între a şi x astfelîncât

fx ∑k0

n fkak! x − ak f

n1n 1! x − a

n1.

58

Teorema (Formula lui Taylor cu rest sub forma integrală)Dacă f : I → R este clasă Cn1 pe intervalul I, atunci pentru orice puncte

a,x ∈ I avem

fx ∑k0

n fkak! x − ak n 1

a

xfn1tn 1! x − t

ndt.

Demonstraţie. Se calculează integrala din membrul drept integrând prinpărţi de n ori (vezi Capitolul ” Integrarea funcţiilor de o variabilă reală.Integrala Riemann”).Exemple. Scrieţi formula lui Taylor cu rest Lagrange corespunzătoare

funcţiei f în punctul a :1) fx ex, x ∈ R şi a ∈ R.fkx exk ex,∀k ≥ 0 ex ea ea

1! x − a ea2! x − a

2 ean! x − a

n

Rnx

enn1! x − a

n1,

unde n este între a şi x.Fie M maximul funcţiei f pe a,x ∀n ≥ 1, en ∈ 0,M.Cum limn→

x−an1

n1! 0 şi en este mărginit

limn→Rnx 0 ex limn→ ∑k0

neak! x − a

k.

Obţinem dezvoltarea în serie de puteri:ex ∑

n0

ean! x − a

n ∀a ∈ R,∀x ∈ R. Pentru a 0 : ex ∑n0

xnn! ,∀x ∈ R.

2) fx lnx 1, x ∈ −1, şi a 0.f ′x 1

x1 x 1−1; f ′′x −1x 1−2; … ;fnx −1n−1n−1!

x1n n ≥ 1. Atunci fk0k! −1k−1k−1!

k!x1k x0 −1k−1

k .

Rezultă lnx 1 ln1 ∑k1

n−1k−1

k xk −1nn!n1! 1

n1nxn1.Aici

Rnx −1nn!n1! 1

n1nxn1.

Se arată că limn→Rnx 0,∀x ∈ −1,1, de unde

lnx 1 ∑n1

−1n−1n xn,∀x ∈ −1,1.

3) fx cosx; gx sinx şi a 0.fnx cosxn cosx n

2 ; gnx sinxn sinx n

2 .

cosx ∑k0

n1k! cos

k2 x

k

Rnx

xn1n1! cosn

n2 , unde n este între 0 şi x;

sinx ∑k0

n1k! sin

k2 x

k

nx

xn1n1! sinn

n2 unde n este între 0 şi x..

Deoarece limn→xn1n1! 0,∀x ∈ R, iar

59

cosn n2 , sinn

n2 ∈ −1,1, rezultă că limn→Rnx 0 şi

limn→nx 0,∀x ∈ R.

Atunci, pentru orice x ∈ R: cosx limn→ ∑k0

n1k! cos

k2 x

k, deci

cosx ∑n0

1n! cos

n2 xn şi sinx limn→ ∑

k0

n1k! sin

k2 x

k, deci

sinx ∑n0

1n! sin

n2 xn. Calculând cos n2 , respectiv sin

n2 , obţinem :

cosx ∑k0

−1k

2k! x2k 1 − x

2

2! x44! −

x66!

x88! −

sinx ∑k0

−1k

2k 1! x2k1 x − x

3

3! x55! −

x77!

x99! −

5.6. Extreme locale pentru funcţii reale de o variabilă realăMulte probleme practice pot fi formulate matematic ca probleme de extrem

– probleme în care se cere determinarea valorilor maxime sau minime ale uneifuncţii, precum şi a punctelor în care aceste valori sunt atinse, numite punctede extrem.Pentru unele funcţii elementare, cum sunt funcţia de gradul I şi funcţia de

gradul II, funcţiile exponenţiale şi funcţiile logaritmice, funcţiiletrigonometrice directe sin, cos, tg , ctg şi funcţiile trigonometrice inverse,aflarea punctelor de extrem pe un anumit interval se face cu uşurinţă, deoareceştim să studiem monotonia funcţiilor respective. Vom arăta cum putem aflapunctele de extrem local în cazul mai general al unei funcţii derivabile pe uninterval, pe baza determinării rădăcinilor şi semnului derivatei de ordinul I afuncţiei. Dacă am calculat rădăcinile derivatei de ordinul I , dar studiulsemnului derivatei se face cu dificultate, vom afla punctele de extrem localdeterminând semnele unor derivate de ordin superior în punctele rădăcinilederivatei de ordinul I.

Definiţii. ExempleDefiniţie. Fie o funcţie f : D ⊂ R R. Spunem că a ∈ D este punct de

minim global al funcţiei f dacă fx ≥ fa pentru orice x ∈ D. Spunem căa ∈ D este punct de maxim global al funcţiei f dacă fx ≤ fa pentru oricex ∈ D.Definiţie. Fie o funcţie f : D ⊂ R R.Spunem că a ∈ A este punct de minim local al funcţiei f dacă există o

vecinătate V a punctului a astfel încât fx ≥ fa pentru orice x ∈ V ∩ D.Spunem că a ∈ D este punct de maxim local al funcţiei f dacă există o

vecinătate V a punctului a astfel încât fx ≤ fa pentru orice x ∈ V ∩ D.Punctele de minim şi cele de maxim (local, respectiv global) se numesc

puncte de extrem (local, respectiv global).Valoarea funcţiei într-un punct de minim/maxim (local, respectiv global) se

numeşte minim/maxim (local, respectiv global) al funcţiei f.Observaţie.

60

1) Orice punct de minim (respectiv, maxim) global este şi punct de minim(respectiv, maxim) local, în schimb reciproca este falsă.2) Un punct a ∈ A este punct de extrem global (respectiv, local) al funcţiei

f : D ⊂ R R dacă şi numai dacă diferenţa fx − fa păstrează semnconstant pe D (respectiv, pe intersecţia lui D cu o vecinătate a punctului a), cuposibilitatea de a se anula.Cazuri particulare remarcabile1) Dacă f este monotonă pe a,b (crescătoare sau descrescătoare),atunci

extremele globale ale lui f sunt fa şi fb2) Dacă f este continuă pe un interval închis şi mărginit a,b, atunci

conform Teoremei valorilor extreme ∃xm,xM ∈ a,b a.î.fxm ≤ fx ≤ fxM,∀x ∈ a,b (f este mărginită şi îşi atinge marginile).Astfel, xm este un punct de minim global, iar xM este un punct de maximglobal.3) Fie f : I R şi a un punct interior al intervalului I. Dacă ∃ 0 a.î.

f este crescătoare pe a − ,a şi descrescătoare pe a,a (respectiv,descrescătoare pe a − ,a, crescătoare pe a,a ) , atunci a este punct demaxim local pentru f (respectiv, punct de minim local pentru f). Dacă f estestrict monotonă pe un interval de forma a − ,a , unde 0, atunci a nueste punct de extrem local pentru f.Exemplu. Fie funcţia de gradul II f : R R , fx ax2 bx c, unde

a,b,c ∈ R, cu a ≠ 0. Notăm ca de obicei Δ b2 − 4ac.Din forma canonică fx ax b

2a 2 −Δ

4a se observă că singurul punctde extrem local al funcţiei date este xV − b

2a , iar acesta este şi punct deextrem global. xV este punct de minim local dacă a 0, respectiv xV este punctde maxim local dacă a 0. Valoarea extremă corespunzătoare estefxV − Δ

4a .Derivata funcţiei de gradul II este f ′x 2ax b, care se anulează pentru

x − b2a xV. Avem a f ′x 0 pentru orice x xV şi af ′x 0 pentru orice

x xV . Pentru a 0 a 0funcţia f este strict descrescătoaret (crescătoare)pe −,xV şi strict crescătoare (descrescătoare) pe xV,, deci xV este punctde minim (maxim) local şi nu există puncte de maxim (minim) local.

Determinarea punctelor de extrem local cu ajutorul derivatelorDacă f : I R este derivabilă pe intervalul I studiul monotoniei funcţiei f

se realizează cu ajutorul derivatei f ′ : I R, stabilind rădăcinile acesteia şi,implicit, intervalele pe care derivata păstrează semn constant. Această tehnicăde lucru ne sugerează o metodă de determinare a punctelor de extrem local aleunei funcţii derivabile. Rezultatul fundamental pentru această metodă esteTeorema lui Fermat, enunţată în paragraful ”Proprietăţi ale funcţiilorderivabile pe intervale”.Teorema lui FermatFie I un interval din R. Dacă funcţia f : I → R are derivată într-un punct

de extrem local a situat în interiorul intervalului I, atunci f′a 0.Demonstraţie. Vom presupune că a este punct de minim local. Deoarece a

este punct de minim local interior al intervalului I, există 0 astfel încâta − ,a ⊂ I şi fx ≥ fa pentru orice x ∈ a − ,a . Din existenţaderivatei f ′a limx→a

fx−fax−a şi observaţiile anterioare rezultă

61

f ′a xa

limx→afx − fax − a ≤ 0 şi f ′a

xa

limx→afx − fax − a ≥ 0,

deoarece x ∈ a − ,a fx − fa ≥ 0 şi x − a 0 fx−fax−a ≤ 0, iar

x ∈ a,a fx − fa ≥ 0 şi x − a 0 fx−fax−a ≥ 0.

Din f′a ≤ 0 şi f ′a ≥ 0 rezultă f ′a 0.Dacă a este punct de maxim local pentru f, atunci a este punct de minim

local pentru − f, şi din raţionamentul anterior rezultă −f′a 0, adicăf ′a 0. Observaţie. Dacă funcţia f : I → R are derivată într-un punct de extrem

local a situat într-o extremitate intervalului I, nu este necesar ca f′a 0. Deexemplu, o funcţie f : a,b → R cu derivata strict pozitivă are punctul deminim x a şi punctul de maxim x b.Definiţie. Numim punct staţionar al unei funcţii f : I ⊂ R R un

punct în care f are derivată nulă.Dacă f : I ⊂ R R este derivabilă, punctele staţionare ale funcţiei f sunt

rădăcinile derivatei f ′ : I ⊂ R R.Teorema lui Fermat arată că punctele de extrem local ale unei funcţii

f : I ⊂ R R, situate în interiorul intervalului I şi în care f are derivată, suntpuncte staţionare ale funcţiei. Însă nu orice punct staţionar este un punct deextrem local: de exemplufuncţia f : R R, fx x3 are punctulstaţionar a 0, care nu este punct de extrem local, întrucât f este strictcrescătoare.Pentru a stabili dacă un punct staţionar a al unei funcţii f : I ⊂ R R

este sau nu punct de extrem pentru f , iar când a este punct de extrem, dacă estepunct de minim sau punct de maxim, avem două metode principale. Ambelemetode sunt aplicabile şi la cazul când punctul staţionar este o extremitate aintervalului de definiţie I, dar aici prezentăm numai cazul în care punctulstaţionar este interior lui I.Metoda I. Studiem semnul derivatei într-o vecinătate a unui punct

staţionar (cu alte cuvinte, stabilim monotonia funcţiei la stânga şi la dreaptapunctului critic).

Dacă derivata are semn negativ la stânga lui a şi semn pozitiv la dreaptalui a, atunci a este punct de minim. Dacă derivata are semn pozitiv la stângalui a şi semn negativ la dreapta lui a, atunci a este punct de maxim. Dacăderivata are acelaşi semn (strict negativ sau strict pozitiv) la stânga şi ladreapta lui a , atunci a nu este punct de extrem.Exemplu. Determinaţi maximul volumului unei piramide triunghiulare

regulate având muchiile laterale de lungime l.Soluţie Volumul unei piramide este V Abh

3 . Fie x lungimea laturiibazei. x ∈ 0, l 3 . (Pentru x 0 şi x l 3 piramida degenerează). AtunciAb x2 3

4 , h l2 − x23 , de unde rezultă că volumul piramidei triunghiulare

regulate cu latura bazei egală cu x este Vx 334 x

2 l2 − x23 , unde

x ∈ 0, l 3 . (Pentru x 0 şi x l 3 piramida degenerează). Calculămderivata volumului în raport cu x.

62

V ′x 334 2x l2 − x2

3 x2 1

2 l2− x23

− 2x3 V ′x 334

2x

3 l2− x23

Pentru a stabilim semnul derivatei V′x aflăm întâi punctele în care seanulează derivata. V ′x 0 x 0 sau 2l2 − x2 0 şix ∈ 0, l 3 x 0 sau x l 2 şi x ∈ 0, l 3 x ∈ 0, l 2Facem tabelul de variaţie al funcţiei volum:

x 0 l 2 l 3V ′x 0 0 − −

Vx 0 ↗ V l 2 ↘ 0

Tabelul arată că Vx ≤ V l 2 ,∀x ∈ 0, l 3 , de undemax

x∈ 0,l 3Vx V l 2 3

34 2l2 l

3 l3

32 l36 . Punctul x l 2 este

punct de maxim global. Se observă că maxx∈ 0,l 3

Vx se obţine dacă şi numai

dacă muchiile laterale sunt două câte două perpendiculare.Metoda II . Studiem semnul derivatei a doua în punctul staţionar.Pentru a reţine mai uşor criteriul de mai jos, reamintim semnificaţia

geometrică a semnului derivatei a doua . Fie f : I ⊂ R R derivabilă dedouă ori.1) f ′′x ≥ 0,∀x ∈ I f este convexă (graficul lui f „ţine apa“). Exemple

de funcţii convexe pe R: x2, ex;2) f ′′x ≤ 0,∀x ∈ I f este concavă (graficul lui f „nu ţine apa“).

Exemple de funcţii concave: lnx pe 0,; sinx pe 0,; −g, unde g econvexă pe intervalul I.Teoremă (Testul derivatei a doua). Fie f : I R o funcţie

derivabilă de două ori într-un punct a ∈ I . Presupunem că f ′a 0.1) Dacă f ′′a 0,atunci a este punct de minim local pentru f.2) Dacă f ′′a 0, atunci a este punct de maxim local pentru f.Cele două cazuri din teorema precedentă pot fi ilustrate cu următoarele

tabele de variaţie.1) Dacă f ′′a 0:

x a − 1 a a 2fx ↘

(minim local)fa ↗

2) Dacă f ′′a 0:

x a − 1 a a 2fx ↗

(maxim local)fa ↘

5.7. Derivarea funcţiilor vectoriale de o variabilă reală

63

Considerăm funcţii vectoriale de o variabilă reală, de forma f : I Rk,unde I ⊂ R este un interval şi k ≥ 2. Notămft f1t, f2t,… , fkt ∈ Rk, unde t ∈ I. Funcţiile fi : I R i 1,kse numesc componentele funcţiei vectoriale f.Fie t0 ∈ I. Dacă există limita limt→t0

1t−t0 ft − ft0 ∈ R

k, atunci valoareaacestei limite se numeşte derivata funcţiei f în punctul t0 şi se notează f ′t0sau df

dt t0.S-a arătat în paragraful 4.1.1. că existenţa limitei într-un punct a unei

funcţii vectoriale este echivalentă cu existenţa limitelor finite în acel punct aletuturor componentelor scalare ale funcţiei. În plus, limita se distribuiecomponentelor funcţiei. În cazul de faţă, deducem că există limitalimt→t0

1t−t0 ft − ft0 dacă şi numai dacă pentru i 1, . . . ,k există limita

limt→t0

fit−fit0 t−t0 ∈ R. În plus,

limt→t0

1t−t0 ft − ft0 lim

t→t0

f1t−f1t0 t−t0 , . . . , lim

t→t0

fkt−fkt0 t−t0 , adică

f ′t0 f 1′ t0, f 2′ t0,… , f k′ t0 .

Cu alte cuvinte, derivarea unei funcţii vectoriale se efectuează pe componente.În cazul k 2 (respectiv, k 3) funcţiile vectoriale de o variabilă reală

sunt utilizate pentru a descrie curbele plane (respectiv, din spaţiu) şi mişcareapunctelor materiale în plan (respectiv, în spaţiu).Mulţimea valorilor unei funcţii continue

f : I R3, ft f1t, f2t, f3t are ca imagine o curbă în spaţiul fizic,curba Γ dată de ecuaţiile parametrice:

Γ

x f1ty f2tz f3t

, t ∈ a,b Γ : r f1t i f2t j f3t k.

Dacă t reprezintă variabila timp, ecuaţiile de mai sus sunt ecuaţii demişcare ale unui punct material, pe traiectoria Γ.

Vectorul viteză. Ecuaţia tangentei la o curbă în spaţiuConsiderăm un punct a cărui mişcare este descrisă de ecuaţiile de mai sus.

Notăm poziţia punctului la un moment oarecare t prinMt . AvemMtf1t, f2t, f3t. Pentru t t0 notămM0 : Mt0 . Notăm cu rt OMtvectorul de poziţie la momentul t. Avem

rt f1ti f2tj f3tk

Vectorul deplasare corespunzător intervalului de timp t0, t esteM0Mt rt − rt0Vectorul viteză medie în intervalul de timp t0, t sau t, t0 este:

1t − t0 M0Mt

rt − rt0t − t0 .

64

Vectorul viteză instantanee la momentul t0, pe care-l vom nota cu vt0,este prin definiţie limita pentru t → t0 a vectorului viteză medie pe intervalulde timp determinat de t0 şi t, dacă această limită există:

vt0 : limt→t0rt − rt0t − t0

Mai notăm vt0 drdt t0. În mecanică se mai utilizează următoarea

notaţie a derivatei , inspirată de lucrările lui Newton: drdtNOT

r .Vectorul viteză instantanee este derivata vectorului de poziţie în raport cu

timpul.Cum rt−rt0

t−t0 f1t−f1t0 t−t0 i f2t−f2t0

t−t0 j f3t−f3t0 t−t0 k , observăm că vt0

există dacă şi numai dacă există şi sunt finite limitele limt→t0

fmt−fmt0 t−t0 f m′ t0,

m 1,2,3. În plus, dacă este definit, vectorul viteză la momentul t0 estevt0 f1′ t0i f2′ t0j f3′ t0k.Dacă vectorul viteză instantanee la momentul t0 este definit şi nenul,

atunci pentru t → t0 coarda M0Mt se apropie de o dreaptă fixată, care trece prinM0, numită tangenta în M0 la Γ. Vectorul viteză instantanee este tangent latraiectorie, în fiecare punct al acesteia. Ecuaţiile tangentei înM0 la Γ sunt:x − f1t0f1′ t0

y − f2t0f2′ t0

z − f3t0f3′ t0

, dacă

f1′ t0, f2′ t0, f3′ t0 ≠ 0,0,0.Vectorul acceleraţie

Să presupunem că vectorul viteză (instantanee) v este definit pe un intervalde timp I ⊂ R. Variaţia vectorului viteză este descrisă cu ajutorul noţiunii deacceleraţie. Vectorul acceleraţie (instantanee) la un moment t0 ∈ I estederivata în punctul t0 a vectorului viteză:

at0 : limt→t0vt − vt0t − t0 .

Cum vectorul viteză este derivata vectorului de poziţie în raport cu timpul,dacă există, vectorul acceleraţie este derivata a doua a vectorului de poziţie înraport cu timpul, at0 d2r

dt2t0. În mecanică se foloseşte şi notaţia d2r

dt2

r .A doua lege a dinamicii (legea lui Newton) arată că rezultanta forţelor care

acţionează asupra unui punct material este egală cu produsul dintre masapunctului material şi acceleraţia acestuia : F ma . Din cele de mai sus rezultăcă legea lui Newton se mai scrie sub forma

F m d2rdt2.

Aplicaţie.Un punct de masă m se mişcă astfel încât vectorul său de poziţie la

momentul t este r t acost i b sint j , t ∈ 0,, unde a,b, suntconstante strict pozitive. a) Să se arate că traiectoria punctului considerat este oelipsă şi rezultanta forţelor care acţionează asupra punctului considerat aredirecţia vectorului de poziţie şi sens opus acestuia; b) Verificaţi prin calcul că

65

vectorul viteză este tangent la traiectorie; c) Determinaţi momentele de timp lacare mărimea vectorului viteză este minimă, respectiv maximă.Soluţie. a) Traiectoria mişcării este curba situată în planul xOy definită

prin ecuaţiile parametrice Γ : x acost, y b sint (t ∈ 0,). Seobservă că mişcarea este periodică, cu perioada T 2

, deoarece funcţiilecost şi sint au această perioadă. Eliminând parametrul t din ecuaţiile de maisus obţinem ecuaţia x2

a2 y2

b2 1, ecuaţia unei elipse E cu axele de simetrie

Ox şi Oy, având lungimile semiaxelor a şi b. Reciproc, pentru orice punctx,y ∈ E există t ∈ 0, astfel încât x acost, y b sint. Rezultă căΓ E.Pentru a afla rezultanta F a forţelor care acţionează asupra punctului

considerat aplicăm legea lui Newton şi calculăm derivata a doua a vectoruluide poziţie.Vectorul viteză la momentul t este dr

dt ddt acost i

ddt b sint j ,

deci drdt −a sint i bcost j . Vectorul acceleraţie la momentul t ested2rdt2

−2acost i − 2b sint j . AtunciF m d2r

dt2 −m2 acost i b sint j . Se observă că F −m2 r t, de

unde rezultă că F are direcţia lui r t şi sens opus acestuia.b) Ecuaţia tangentei la traiectorie în punctul corespunzător unui moment

oarecare t se obţine din ecuaţia elipsei E, prin dedublare. Această ecuaţie estedt : xacost

a2 yb sint

b2 1. Un vector normal la tangenta dt este

nt 1a cost i 1

b sint j . Produsul scalarnt dr

dt 1a cost−a sint 1

b sintbcost 0, decidrdt nt .

Rezultă că vectorul viteză drdt are direcţia dreptei dt, deci este tangent la

traiectoria Γ în punctul având vectorul de poziţie r t.c) Mărimea vitezei este

vt : drdt −a sint2 bcost2 a2 sin2t b2 cos2t

b2 a2 − b2 sin2t .Dacă a b avem vt b (mărimea vitezei este constantă); în acest caz

mişcarea considerată este circulară uniformă.Dacă a b (respectiv,a b), din 0 ≤ sin2t ≤ 1 rezultă a ≤ vt ≤ b

(respectiv, b ≤ vt ≤ a), valoarea minimă (respectiv, maximă) a fiindatinsă pentru t 2k1

2 , k ∈ N şi valoarea maximă (respectiv, minimă) bfiind atinsă pentru t k, k ∈ N.

66

Capitolul 6. Derivate şi diferenţiale pentru funcţiide mai multe variabile reale

6.1. Derivate parţialeEste dificil să studiem variaţia unei funcţii când valorile variabilelor de

care depinde funcţia se modifică simultan. Vom folosi metoda variaţieiparţiale: fixăm valorile tuturor variabilelor cu excepţia uneia din ele şi studiemfuncţia de o singură variabilă obţinută astfel. Din punct de vedere geometric,aceasta înseamnă să studiem restricţia funcţiei la o dreaptă paralelă cu o axă decoordonate.

Cazul funcţiilor scalare de două variabile realeNotăm x1,x2 x,y. Fie a,b ∈ D punct fixat, interior lui D. Studiem

variaţia funcţiei într-o vecinătate a punctului fixat când păstrăm o coordonatăconstantă, egală cu coordonata respectivă a punctului a,b şi lăsăm să variezecealaltă coordonată. Deoarece a,b este punct interior al lui D, există o razăr 0 astfel încât discul de centru a,b şi rază r este inclus în D. Funcţiileparţiale ale lui f relativ la a,b sunt

g1x fx,b, x ∈ a − r,a r şi g2y fa,y, y ∈ b − r,b r.

Derivatele parţiale ale funcţiei f în punctul a,b se definesc ca fiind derivatelefuncţiilor parţiale ale lui f relativ la a,b în punctele corespunzătoare.Pe scurt, păstrăm constant y b şi studiem funcţia x fx,b, pentru care

calculăm derivata în x a, respectiv păstrăm constant x a şi studiem funcţiay fa,y, pentru care calculăm derivata în y b. .Definiţie Spunem că f fx,y are în punctul a,b:1) derivată parţială în raport cu x dacă există limita:

limx→afx,b − fa,b

x − a .

Această limită se numeşte derivata parţială în raport cu x a funcţiei f în punctula,b şi se notează ∂f

∂x a,b (sau fx′ a,b).2) derivată parţială în raport cu y dacă există limita:

limy→b

fa,y − fa,by − b .

Această limită se numeşte derivata parţială în raport cu y a funcţiei f în punctula,b şi se notează ∂f

∂y a,b (sau fy′ a,b).Spunem că f este derivabilă parţial în a,b în raport cu una din variabile

dacă f are derivată parţială finită în a,b în raport cu acea variabilă.Pe scurt, scriem ∂f

∂x a,bDEF limx→a

fx,b−fa,bx−a (respectiv,

∂f∂y a,b,c

DEF limy→b

fa,y−fa,by−b ), dacă limita din membrul drept există.

Definiţie Spunem că f este derivabilă parţial în raport cu x (respectiv, în

67

raport cu y) pe o mulţime A ⊂ D dacă f este derivabilă parţial în raport cu x(respectiv, în raport cu y) în orice punct din A. În acest caz, se defineşte funcţia∂f∂x : A R numită derivata parţială a funcţiei f în raport cu x pe mulţimea A(respectiv, ∂f∂y : A R numită derivata parţială a funcţiei f în raport cu x pemulţimea A).Practic, ∂f∂x x,y se calculează considerând y constant şi derivând f ca

funcţie de x şi ∂f∂y x,y se calculează considerând x constant şi derivând f cafuncţie de y. Observăm că nu mai este necesar să enunţăm reguli de derivareparţială a sumei, produsului, câtului, etc., menţinându-se regulile de derivare afuncţiilor de o singură variabilă.Exemple1) Calculaţi pe baza definiţiei derivatele parţiale ∂f∂x 1,

2 şi

∂f∂y 1,0

pentru fx,y esinxy.

∂f∂x 1, 2 lim

x→1

fx, 2 − f1,2

x − 1 limx→1

e 2 x − e

2

x − 1 limx→1

2 e

2 x

1 2 e

2 ;

∂f∂y 1,0 limy→0

f1,y − f1,0y − 0 lim

y→0esiny − 1y lim

y→0

esiny cosy1 1.

2)fx,y ax3 bx2y cxy2 dy3 ex2 fxy gy2 hx ky (a,b,… ,k ∈ Rconstante).

∂f∂x x,y 3ax

2 2bxy cy2 0 2ex fy 0 h 0,∂f∂y x,y 0 bx

2 2cxy 3dy2 0 fx 2gy 0 k.(Observaţie: ∂x∂y 0 şi ∂y∂x 0).4)

fx,y arctg yx ;∂f∂x arctg ′ yx ∂

∂x yx 1

1 yx 2 y − 1

x2 − y

x2y2.

∂f∂y arctg ′ yx ∂

∂y yx 1

1 yx 2

1x 1 x

x2y2.

Cazul funcţiilor scalare de trei variabile realeNotăm x1,x2,x3 x,y, z. Fie a,b,c ∈ D punct fixat, interior lui D.

Există r 0 astfel încât bila de centru a,b,c şi rază r este inclusă în D.Definim derivatele parţiale ale funcţiei f în a,b ca fiind derivatele funcţiilorparţiale ale lui f relativ la a,b,c: g1x fx,b,c, x ∈ a − r,a r;g2y fa,y,c, y ∈ b − r,b r; g3z fa,b, z, z ∈ c − r,c r înpunctele x a, y b, respectiv z c.Vom nota

∂f∂x a,b,c

DEF limx→afx,b,c − fa,b,c

x − a∂f∂y a,b,c

DEF limy→b

fa,y,c − fa,b,cy − b

∂f∂z a,b,c

DEF limz→cfa,b, z − fa,b,c

z − c

68

(dacă limita respectivă din membrul drept există ).Practic, ∂f∂x x,y se calculează considerând y şi z constante şi derivând f

ca funcţie de x, ∂f∂y x,y se calculează considerând x şi z constante şiderivând f ca funcţie de y, iar ∂f

∂z x,y se calculează considerând x şi yconstante şi derivând f ca funcţie de z.Exemple1) fx,y, z xpyqzr ∂f

∂x pxp−1yqzr; ∂f∂y xpqyq−1zr; ∂f

∂z xpyqrzr−1.(Factorii care nu depind de variabila în raport cu care derivăm sunt

consideraţi constanţi, deci rămân neschimbaţi când derivăm produsul).2) Calculaţi pe baza definiţiei ∂f∂z 1,2,3 pentru fx,y, z x2 y2 z2 .∂f∂z 1,2,3 limz→3

f1,2,z−f1,2,3z−3 lim

z→35z2 − 14z−3 lim

z→31

2 5z22z 3

14.

Altă metodă: derivăm f în raport cu z considerând x şi y constante;∂f∂z x,y, z

12 x2y2z2

2z zx2y2z2

, pe R3 ∖ 0,0,0, de unde∂f∂z 1,2,3

314.

Cazul generalDefiniţie. Fie f : D ⊂ Rk → R, f fx1,x2, . . . ,xk şi

a a1,a2,…ak ∈ D punct interior lui D. Fie j ∈ 1,2,… ,k.Spunem că f are derivată parţială în raport cu variabila xj în punctul a

dacă există limita

limxj→ajfa1,… ,aj−1,xj,aj1,… ,an − fa1,… ,aj−1,aj,aj1,… ,an

xj − aj .

Valoarea limitei de mai sus se numeşte derivata parţială în raport cu xj afuncţiei f în punctul a şi se notează ∂f

∂xja1,a2,… ,an sau fxj′ a1,a2,… ,an.

Spunem că f este derivabilă parţial în raport cu xj în punctul a dacă existăşi este finită derivata parţială ∂f

∂xja1,a2,… ,an.

Pe scurt,∂f∂xja1,a2,… ,an

DEF limxj→ajfa1,…,aj−1,xj,aj1,…,an −fa1,…,aj−1,aj,aj1,…,an

xj−aj

Observaţie. Derivata unei coordonate în raport cu altă coordonată estenulă ∂xi

∂xj 0 pentru orice i ≠ j, deoarece când derivăm în raport cu xj

coordonata xi rămâne constantă).6.2. Aplicaţii ale derivatelor parţiale de ordinul I în teoriacâmpurilor

Introducem noţiunile de gradient al unui câmp scalar, respectiv dedivergenţă şi rotor ale unui câmp vectorial, necesare pentru formulareamatematică a unor legi ale fizicii. De exemplu, divergenţa şi rotorul apar înecuaţiile lui Maxwell ale câmpului electromagnetic. Noţiunea de gradientintervine în exprimarea forţei gravitaţionale (respectiv, electrostatice) înfuncţie de potenţialul gravitaţional (respectiv, electrostatic). Gradientul esteutil şi în geometrie (studiul suprafeţelor definite de ecuaţii implicite), problemede optimizare (metoda gradientului), etc. Teoria câmpurilor studiază cumijloacele Analizei matematice funcţii scalare sau vectoriale care descriu

69

variaţia în spaţiu a unor mărimi fizice.Definiţie. Se numeşte câmp scalar o funcţie cu valori reale definită pe o

mulţime din R3. Notăm un câmp scalar sub formaf : D ⊂ R3 R, f fx,y, z.De exemplu, temperatura la un moment dat este descrisă de un câmp scalar

f dacă fixăm în spaţiu un reper cartezian şi notăm cu fx,y, z temperatura înpunctul de coordonate x,y, z.Definiţie. Numim câmp vectorial pe mulţimea D ⊂ R3 o funcţie de

forma vx,y, z v1x,y, z i v2x,y, z j v3x,y, z k, undev1,v2,v3 : D R sunt câmpuri scalare.Exemple de câmpuri vectoriale: viteza particulei unui fluid la un moment

dat, intensitatea unui câmp electrostatic generat de o sarcină electrică,acceleraţia gravitaţională.Pentru a descrie ”viteza de variaţie” a unui câmp scalar f într-un punct

a,b,c se defineşte un vector ale cărui coordonate în baza i , j , k sunt

derivatele parţiale ∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂f∂z calculate în a,b,c.

Definiţie. Se numeşte gradient al câmpului scalarf : D ⊂ R3 R, f fx,y, z în punctul a,b,c ∈ D vectorul

grad fa,b,c DEF ∂f∂x a,b,c i

∂f∂y a,b,c j

∂f∂z a,b,c k

.

Am presupus că f este derivabilă în a,b,c în raport cu fiecare dinvariabilele sale.Se defineşte operatorul lui Hamilton (nabla) prin

∇ i ∂∂x j ∂

∂y k ∂∂z .

Formal avem ∇f i ∂f∂x j ∂f∂y k

∂f∂z , adică ∇f grad f.

O imagine asupra câmpului vectorial f : D ⊂ R3 R este dată desuprafeţele de nivel ale acestuia, definite ca mulţimi de puncte din spaţiu pecare f rămâne constantă. De exemplu, punctele unei regiuni care au aceeaşitemperatură formează o suprafaţă izotermă, iar punctele de egală presiunealcătuiesc o suprafaţă izobară.Se demonstrează că vectorul gradient grad fa,b,c este perpendicular pe

planul tangent în punctul a,b,c la suprafaţa de nivel a câmpului f, care treceprin punctul a,b,c. Atunci, dacă vectorul grad fa,b,c este nenul, ecuaţiaplanului tangent în a,b,c la suprafaţa de nivel S : fx,y, z fa,b,c este

∂f∂x a,b,cx − a

∂f∂y a,b,cy − b

∂f∂z a,b,cz − c 0.

Exemple.1) Fie rx,y, z x2 y2 z2 ( distanţa de la originea O la Mx,y, z,

mărimea vectorului de poziţie r x i y j z k). Avem∂r∂x x,y, z

12 x2y2z2

∂∂x x

2 y2 z2 12 x2y2z2

2x xrx,y,z

.

70

Analog ∂r∂y x,y, z

yrx,y,z

şi ∂r∂z x,y, z z

rx,y,z.

Rezultă grad rx,y, z 1rx,y,z x i y j z k . Pe scurt,

grad r 1r r ( versorul vectorului de poziţie).

Suprafeţele de nivel ale câmpului scalar r sunt sferele centrate în origine.Notăm Aa,b,c. Planul tangent la sfera SA : x2 y2 z2 a2 b2 c2în punctul A este perpendicular pe raza OA. Se observă că grad ra,b,c esteversorul lui OA, deci este perpendicular pe planul tangent în A la suprafaţa denivel SA.2) grad 1

r ∂

∂x1r

i ∂∂y

1r

j ∂∂z

1r

k . Avem∂∂x

1r

− 1r2∂r∂x − 1

r2 xr

− xr3. Analog, ∂∂y

1r

− yr3,

∂∂z

1r

− zr3. Rezultă

grad 1r

− 1r3r .

Câmpul vectorial 1r3r este definit în orice punct cu excepţia originii. Acest

câmp vectorial intervine, înmulţit cu constante scalare, în expresia forţeigravitaţionale care acţionează asupra unui punct material plasat în Mx,y, zdatorită un punct material plasat în origine, ca şi în expresia forţeielectrostatice care acţionează asupra unei sarcini electrice punctiforme plasateînMx,y, z datorită unei sarcini electrice plasate în origine.Definiţie. Un câmp scalar f : D ⊂ R3 R se numeşte potenţial scalar al

câmpului vectorial v v1i v2j v3k, unde v1,v2,v3 : D ⊂ R3 R, pemulţimea D dacă

grad f v pe D.

De exemplu, câmpul scalar 1r se numeşte potenţial newtonian, fiind potenţial

scalar pentru câmpul − 1r3r a cărui importanţă fizică a fost amintită mai sus.

Definiţie. Fie câmpul vectorial v v1i v2j v3k, undev1,v2,v3 : D ⊂ R3 R. Se numeşte divergenţa câmpului vectorial v înpunctul a,b,c şi se notează cu div v numărul

div va,b,c DEF ∂v1∂x a,b,c

∂v2∂y a,b,c

∂v3∂z a,b,c.

Am presupus că derivatele parţiale din membrul drept al formulei de maisus există şi sunt finite.Dacă toate componentele v1,v2,v3 : D ⊂ R3 R ale unui câmp vectorial

v v1i v2j v3k sunt derivabile parţial în raport cu x, y respectiv z pe D,atunci se defineşte cîmpul scalar div v : D R.Folosind operatorul nabla se scrie div v ∇ v , adică divergenţa div v este

un produs scalar formal între vectorul nabla şi vectorul v.Un câmp vectorial cu divergenţa identic nulă se numeşte solenoidal sau

fără surse.Exemple. 1) Fie vectorul de poziţie r x i y j z k. Avem

71

div r div x i y j z k ∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z 1 1 1 3.

2) Fie vx,y, z 1r3r.

Componentele lui v sunt v1x,y, z 1r3x, v2x,y, z 1

r3y,

v3x,y, z 1r3z.

Avem

∂v1∂x x,y, z

∂∂x

1r3

x 1r3∂x∂x x ∂

∂x r−3 1

r3

−3x 1r4∂r∂x 1

r3 − 3x

r4 xr

1r3

− 3x2

r5 1r3.

Analog, ∂v2∂y x,y, z −3y2

r5 1

r3şi ∂v3∂z x,y, z −

3z2r5

1r3. Atunci

div 1r3r − 3

r5x2 y2 z2 3

r3 − 3

r5r2 3

r3 0. Pe scurt,

div 1r3r 0 pe R3 ∖ 0,0,0. Altfel spus, div grad r 0 pe

R3 ∖ 0,0,0.Definiţie. Fie câmpul vectorial v v1i v2j v3k, unde

v1,v2,v3 : D ⊂ R3 R sunt derivabile parţial pe D în raport cu toatevariabilele lor. Se numeşte rotorul câmpului vectorial v şi se notează cu rot vcâmpul vectorial care se scrie sub forma simbolică:

rot v DEF

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

v1 v2 v3

Dezvoltând după prima linie determinantul simbolic de mai sus obţinemexpresia explicită a rotorului:

rot v DEF ∂v3∂y −

∂v2∂z i− ∂v3

∂x −∂v1∂z j ∂v2

∂x −∂v1∂y k.

Formal, putem scrie rot v ca produsul vectorial al vectorilor nabla şi v:rot v ∇ v.Un câmp vectorial cu rotorul identic nul se numeşte irotaţional sau

laminar.Exemple.1) rot r ∂z

∂y −∂y∂z i− ∂z

∂x −∂x∂z j ∂y

∂x −∂x∂y k 0 (vectorul

nul), deoarece orice derivată parţială a unei coordonate în raport cu altăcoordonată este identic nulă.2) Fie v câmpul vitezelor pe care le au la un moment dat punctele unui corp

care efectuează o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară constantă în jurulunei axe fixe, ce trece prin origine. Notăm cu s s1i s2j s3k versorul axeide rotaţie. Se notează s (vectorul viteză unghiulară). Atunci

vx,y, z r

este viteza punctului de coordonate x,y, z. Folosind formula produsului

72

vectorial avem vx,y, z s2z − s3y i − s1z − s3x j s1y − s2x k

Atunci rot v i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

s2z − s3y s3x − s1z s1y − s2x

, de unde

rot v 2s1i s2j s3k. Aşadar, rotorul câmpului vitezelor în mişcarea derotaţie în jurul unei axe, cu viteză unghiulară constantă, este dublul vectoruluiviteză unghiulară.

3) rot 1r3r

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

xr3

yr3

zr3

, de unde

rot rr3

∂∂y

zr3− ∂∂z

yr3

i− ∂∂x

zr3− ∂∂z

xr3

j

∂∂x

yr3− ∂∂y

xr3

k. Dar ∂∂y

zr3

z −3r−4 ∂r∂y −3 yzr5şi

∂∂z

yr3

−3 zyr5, deci coeficientul lui idin rot 1

r3r este 0. Analog,

coeficienţii versorilor j şi k sunt nuli. Rezultă rot 1r3r 0 (în tot spaţiul,

cu excepţia originii).6.3. Derivata într-un punct după un versor

Considerăm o funcţie de 3 variabile f : D ⊂ R3 R, f fx,y, z şia,b,c ∈ D punct interior al mulţimii D. Fie v p i q j s k un versor(adică un vector de lungime 1: ‖v‖ p2 q2 s2 1).Studiem viteza de variaţie a funcţiei f în punctul fixatM0a,b,c sesizată

de un observator care se deplasează pe o dreaptă care trece prin a,b,c, îndirecţia şi sensul indicate de versorul v. Această viteză de variaţie, notatădfdv a,b,c, se numeşte derivata funcţiei f în punctul a,b,c după versorul v.Scriem ecuaţiile parametrice ale dreptei care trece prin a,b,c şi are

direcţia dată de versorul v: d : x a pt, y b qt, z c st, unde t ∈ R.Acestea sunt ecuaţiile unei mişcări uniforme pe dreapta d, cu viteza v, pentrucare poziţia la momentul t 0 este punctul a,b,c. Deoarece a,b,c ∈ Deste punct interior al mulţimii D există un număr r 0 astfel încâta pt,b qt,c st ∈ D pentru orice t ∈ −r, r. La un moment t ∈ −r, robservatorul sesizează valoarea fa pt,b qt,c st NOT gt a mărimiidescrise de f. Viteza de variaţie df

dv a,b,c este derivata g′0.

Definiţie. Fie funcţia f : D ⊂ R3 R, f fx,y, z, punctul interiora,b,c ∈ D şi versorul v p i q j s k. Spunem că funcţia f estederivabilă în punctul a,b,c după versorul v dacă funcţiagt : fa pt,b qt,c st este derivabilă în t 0. Derivata funcţiei f îna,b,c după versorul v este numărul real df

dv a,b,c : g′0.

Pe scurt,

dfdv a,b,c limt→0

fa pt,b qt,c st − fa,b,ct .

73

Mai general, pentru f : D ⊂ Rk R, f fx1,… ,xk şiā a1,a2,… ,ak ∈ D, v v1,v2,… ,vk ∈ Rk cu ‖v‖ 1 se defineştederivata funcţiei f în punctul ā după versorul v prin

dfdv a limt→0

fā tv − fāt ,

dacă există limita din membrul drept.Se va arăta că: dacă f admite derivate parţiale continue într-o vecinătate a

unui punct, atunci derivata după un versor v a funcţiei f în acel punct este egalăcu produsul scalar dintre gradientul lui f în acel punct şi v, adică

dfdv a,b,c grad fa,b,c v

,

respectiv

dfdv ā grad fā v.

Mai explicit, dfdv a,b,c

∂f∂x a,b,c p

∂f∂y a,b,c q

∂f∂z a,b,c s,

respectiv: dfdv ā ∑

i1

k∂f∂xiā vi.

Exemplu. Calculaţi derivata după versorul vectorului: w 2i− j 3k afuncţiei fx,y, z x2yz − xy3z2 xy2z3 în punctul A0,1,2.Soluţie Versorul cerut este

v w‖w‖ 1

22−1232 w 1

142i− j 3k .

grad f ∂f∂x i

∂f∂y j

∂f∂z k

grad f 2xyz − y3z2 y2z3 i x2z − 3xyx2y − 2xy3z 3xyz2 k grad f0,1,2 4i.

dfdv 0,1,2 grad f0,1,2 v 4i

114

2i− j 3k 4 214

814.

6.4. Funcţie diferenţiabilă. Diferenţiala unei funcţii scalareDerivatele parţiale ale unei funcţii sunt utilizate pentru a aproxima variaţia

unei funcţii între un punct fixat şi un punct mobil (apropiat de cel fixat) cu ocombinaţie liniară a variaţiilor coordonatelor, combinaţie în care coeficienţiisunt derivatele parţiale corespunzătoare. De exemplu, pentru o funcţie de 3variabile se pune problema efectuării aproximăriifx,y, z − fa,b,c ≃ ∂f

∂x a,b,c x − a ∂f∂y a,b,c y − b

∂f∂z a,b,c z − c

O funcţie f pentru care eroarea aproximării de mai sus tinde la zero cândx,y, z → a,b,c, mai rapid decât distanţa de la x,y, z la a,b,c, se va numifuncţie diferenţiabilă în a,b,c.

Definiţii. Condiţii necesare, condiţie suficientă de diferenţiabilitateDefiniţie. Fie f : D ⊂ R3 R, f fx,y, z şi a,b,c punct interior

al mulţimii D. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul a,b,c dacăexistă constantele c1,c2,c3 ∈ R şi funcţia : D R culim

x,y,z→a,b,cx,y, z 0 astfel încât pentru orice x,y, z ∈ D avem:

74

(*) fx,y, z − fa,b,c c1x − a c2y − b c3z − c

x,y, z x − a2 y − b2 z − c2.

Spunem că f este diferenţiabilă pe o mulţime A ⊂ D dacă f este diferenţiabilăîn fiecare punct din A.Dăm definiţia noţiunii de funcţie diferenţiabilă în cazul general al funcţiilor

de mai multe variabile. Pentru k 1 se regăseşte definiţia unei funcţiidiferenţiabile de o variabilă reală.Definiţie. Fie f : D ⊂ Rk R şi ā a1,… ,ak punct interior al

mulţimii D. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul ā dacă existăconstantele ci ∈ R i 1,k şi funcţia : D R cu lim

x→āx 0 astfel

încât pentru orice x x1, . . . ,xk ∈ D avem:

(**) fx − fā ∑i1

k

cixi − ai x ‖x − ā‖.

Observaţie. Se arată că, dacă există, constantele c1, . . . ,ck şi funcţia pentru care are loc (**) sunt unic determinate.Definiţie. Fie funcţia f : D ⊂ R3 R diferenţiabilă în punctul

a,b,c ∈ D, satisfăcând identitatea (*). Se numeşte diferenţială a funcţiei f înpunctul a,b,c aplicaţia liniară T : R3 R definită prinTh1,h2,h3 c1h1 c2h2 c3h3. Se notează T dfa,b,c.Definiţie. Fie funcţia f : D ⊂ Rk R diferenţiabilă în punctul

ā a1,… ,ak ∈ D, satisfăcând satisfăcând identitatea (**). Se numeştediferenţială a funcţiei f în punctul ā aplicaţia liniară T : Rk R definită prin

Th1,… ,hk ∑i1

kcihi. Se notează T dfā.

Cu notaţiile de mai sus, (*) şi (**) se scriu sub forma:

fx,y, z − fa,b,c dfa,b,cx − a,y − b, z − c

x,y, z x − a2 y − b2 z − c2 ,

respectiv

fx − fā dfāx − ā x ‖x − ā‖.

Citim expresia dfāx − ā sub forma: diferenţiala funcţiei f în punctul āaplicată vectorului x − ā.Observaţie. Orice funcţie diferenţiabilă într-un punct este continuă în

acel punct.Dacă în identitatea (**) facem x → ā, observăm că ‖x − ā‖ → 0 şi xi → ai

pentru i 1, . . . ,k, de unde fx − fā → 0, adică fx → fā.Teoremă ( Condiţie necesară de diferenţiabilitate pentru funcţii de 3

variabile)Dacă funcţia f : D ⊂ R3 R este diferenţiabilă în punctul a,b,c,

75

atunci f are derivate parţiale în a,b,c. Mai exact, dacă este satisfăcutăidentitatea (*), atunci

∂f∂x a,b,c c1,

∂f∂y a,b,c c2,

∂f∂z a,b,c c3.

Demonstraţie.∂f∂x a,b,c

DEF limx→afx,b,c−fa,b,c

x−a3 limx→a

c1x−a00x,b,c|x−a|x−a , deci

∂f∂x a,b,c limx→a c1

→0

x,b,c

1|x−a|x−a c1

Analog se arată că ∂f∂y c2, ∂f∂z c3.

Teoremă ( Condiţie necesară de diferenţiabilitate pentru funcţii de kvariabile)Dacă funcţia f : D ⊂ Rk R este diferenţiabilă în punctul ā, atunci f are

derivate parţiale în ā. Mai exact, dacă este satisfăcută identitatea (**), atunci

∂f∂xi

ā ci pentru i 1, . . . ,k.

Existenţa derivatelor parţiale finite într-un punct este condiţia necesară, darnu şi suficientă pentru diferenţiabilitatea în acel punct.Teoremă. (Diferenţiabilitate şi derivabilitate după un versor) Dacă

funcţia f : D ⊂ Rk R este diferenţiabilă în punctul ā a1,… ,ak, atunci feste derivabilă în ā în raport cu orice versor v v1,v2,… ,vk ∈ Rk şidfdv ā grad fā v.Teoremă (Condiţie suficientă de diferenţiabilitate)Dacă f : D ⊂ Rk R admite derivate parţiale continue ∂f

∂xi, i 1, . . . ,k,

pe o vecinătate a punctului ā ∈ D interior lui D, atunci f este diferenţiabilă înpunctul a,b,c.

Formula de calcul a diferenţialeiFie f diferenţiabilă în a,b,c. Conform teoremei precedente,

dfa,b,ch1,h2,h3 ∂f∂x a,b,c h1

∂f∂y a,b,c h2

∂f∂z a,b,c h3.

Considerăm cazul particular al proiecţiilor P1,P2,P3 : R3 R,P1x,y, z x, P2x,y, z y, P3x,y, z z. Se observă că pentru orice puncta,b,c ∈ R3, P1x,y, z − P1a,b,c 1 x − a 0 y − b 0 z − c 0 x − a2 y − b2 z − c2 , de unde dP1a,b,ch1,h2,h3 h1.

Pe scurt, scriem (dxh1,h2,h3 h1. Analog, (dyh1,h2,h3 h2 şi(dzh1,h2,h3 h3. Atunci putem scrie

dfa,b,c ∂f∂x a,b,cdx

∂f∂y a,b,cdy

∂f∂z a,b,cdz.

Dacă f este diferenţiabilă pe o mulţime deschisă D ⊂ R3 scriem:df ∂f

∂x dx ∂f∂y dy

∂f∂z dz pe D.

76

Analog, dacă f este diferenţiabilă pe o mulţime deschisă D ⊂ Rk scriem:

df ∑i1

k∂f∂xidxi pe D.

Operaţii cu funcţii diferenţiabileAmintim regulile de diferenţiere a sumei, produsului, puterii, câtului.Dacă f şi g sunt funcţii diferenţiabile într-un punct interior ā al mulţimii

D ⊂ Rk, atunci au loc egalităţile de funcţii

df g df dg; df g g df f dg

dfp pfp−1df ; d fg gdf−fdg

g2,

unde toate diferenţialele sunt calculate în punctul ā .Se demonstrează că se poate aplica următoarea regulă de diferenţiere a

funcţiilor compuse: dacă f : D ⊂ Rk → R este diferenţiabilă într-un punct āşi g : fD → R este diferenţiabilă (derivabilă) în punctul corespunzător fā ,atunci g ∘ f : D ⊂ Rk → R este diferenţiabilă în ā şi

dg ∘ fā g ′fā dfā.

Aproximare liniarăPe baza Teoremei ”Condiţie necesară de diferenţiabilitate pentru funcţii de

k variabile” , identitatea (*) din definiţia diferenţiabilităţii devine

fx,y, z − fa,b,c ∂f∂x a,b,cx − a

∂f∂y a,b,cy − b

∂f∂z a,b,cz − c

x,y, z x − a2 y − b2 z − c2

Neglijând în formula de mai sus ultimul termen, care tinde la zero mai repededecât distanţa de la x,y, z la a,b,c, obţinem aproximarea

fx,y, z − fa,b,c ≃ ∂f∂x a,b,cx − a ∂f∂y a,b,cy − b

∂f∂z a,b,cz − c

În general, pentru o funcţie f : D ⊂ Rk R diferenţiabilă în punctul āvom folosi aproximarea

fx − fā ≃ ∑i1

k∂f∂xi

ā xi − ai,

pentru valori mici ale distanţei ‖x − ā‖. Se spune că aproximăm variaţiafuncţiei f de la punctul ā la punctul x prin variaţia corespunzătoare adiferenţialei funcţiei. Formula de aproximare de mai sus se mai scriesimplificat sub forma

Δf ≅ ∑i1

k∂f∂xi

ā Δxi.

77

Interpretare geometricăÎn cazul unei funcţii de 3 variabile, planul de ecuaţie

∂f∂x a,b,cx − a

∂f∂y a,b,cy − b

∂f∂z a,b,cz − c 0 trece prin

punctul a,b,c şi are normala N grad fa,b,c, unde presupunemgrad fa,b,c ≠ 0. După cum am menţionat când am introdus noţiunea degradient, acest plan este planul tangent la suprafaţa de nivel S :fx,y, z fa,b,c. Astfel, formula de aproximare a variaţiei funcţiei prinvariaţia diferenţialei arată că în vecinătatea punctului a,b,c dediferenţiabilitate aproximăm suprafaţa de nivel a funcţiei f prin acel punct cuplanul tangent în a,b,c la această suprafaţă.Exemple.1) Aproximaţi E 9 1,952 8,12 .Soluţie Fie fx,y 9x2 y2 ; E f 1,95; 8,1 .Aproximăm:1,95 ≃ 2 a8,1 ≃ 8 b

. Folosim aproximarea liniară:

fx,y − fa,b ≃ ∂f∂x a,b x − a

∂f∂y a,b y − b.

∂f∂x 1

2 9x2y2 9 2x 9x

9x2y2; ∂f∂y 1

2 9x2y2 2y y

9x2y2. . Avem

E − f2,8 ≃ 9292282

1,95 − 2 892282

8,1 − 8 −1,8 0,05 0,8

2) Se prelucrează o piesă conică având raza R 10 cm şi înălţimea h 25cm. Ştiind că erorile maxime admise la prelucrare sunt de 0,1 cm pentru rază şide 0,2 cm pentru înălţime, să se estimeze valoarea abaterii volumului faţă devolumul standard.Soluţie Volumul conului este V fR,h , unde fR,h

3 R2h. Vom

utiliza aproximarea liniară sub formafR,h − fR0,h0 ≃ ∂f

∂R R0,h0 R − R0 ∂f∂h R0,h0 h − h0. Valoarea

absolută a abaterii volumului faţă de volumul standard este|fR,h − fR0,h0| ≃ ∂f

∂R R0,h0 R − R0 ∂f∂h R0,h0 h − h0 ≤

∂f∂R R0,h0 |R − R0 | ∂f

∂R R0,h0 |h − h0 |.Calculăm derivatele parţiale ∂f

∂R R,h 3 2Rh şi

∂f∂h R,h

3 R

2.Datele problemei arată că R0 10, h0 25, |R − R0 | ≤ 0,1 şi

|h − h0 | ≤ 0,2. Atunci|fR,h − fR0,h0| ≤ 500

3 0,1 1003 0,2 70

3 ≤ 70

3,153 , de unde

rezultă că abaterea volumului faţă de volumul standard este de aproximativ73,5 (cm3).

6.5. Funcţii vectoriale diferenţiabileFie f : D ⊂Rk Rp, f f1, . . . , fp, unde fi : D ⊂ Rk R . Notăm

variabila vectorială a funcţiei f sub forma x x1, . . . ,xk. Definiţia noţiunii defuncţie diferenţiabilă se extinde uşor de la funcţii scalare la funcţii vectoriale.

Definiţii. CaracterizareDefiniţie. Fie f : D ⊂ Rk Rp şi a a1,… ,ak punct interior al

mulţimii D. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul a dacă există o

78

aplicaţie liniară T : Rk Rp şi funcţia : D Rp cu limx→a x 0 astfelîncât pentru orice x x1, . . . ,xk ∈ D avem:

(***) fx − fa Tx − a x ‖x − a‖.

Observaţie. Condiţia ca relaţia (***) să aibă loc şi limx→a x 0 esteechivalentă cu

x→alim fx − fa − Tx − a

‖x − a‖ 0.

Aplicaţia liniară T pentru care are loc relaţia de mai sus, dacă există, este unicdeterminată.Definiţie. Fie f : D ⊂ Rk Rp diferenţiabilă în punctul a, satisfăcând

(***). Aplicaţia liniară T se numeşte diferenţiala lui f în punctul a şi se noteazădfa.Aşadar, dacă f diferenţiabilă în punctul a, avem

fx − fa dfax − a x ‖x − a‖, unde limx→a x 0.Teoremă. Fie f : D ⊂ Rk Rp, f f1, . . . , fp şi a a1,… ,ak punct

interior al mulţimii D. Atunci f este diferenţiabilă în punctul a dacă şi numaidacă toate componentele sale fi, i 1, . . . ,p sunt diferenţiabile în punctul a. Înplus, dacă f este diferenţiabilă în a, are loc egalitatea

dfa df1a, . . . ,dfpa.

Astfel, studiul diferenţiabilităţii unei funcţii vectoriale se reduce la studiuldiferenţiabilităţii componentelor sale scalare.

Matrice jacobiană. Determinant funcţionalFie f f1, f2,… , fp : D ⊂ Rk Rp diferenţiabilă în punctul a. Atunci,

pentru fiecare i ∈ 1, . . ,p, componenta fi este diferenţiabilă în punctul a, deciexistă o funcţie i : D R cu

x→alim ix 0, astfel încât pentru orice x ∈ D

avem

fix − fia ∑j1

k∂fi∂xj

axj − aj ix‖x − a‖.

Ansamblul relaţiilor de mai sus se mai poate scrie sub forma matriceală:

fix − fia i1,pT ∂fi

∂xja

j1,ki1,p xj − aj j1,k

T ‖x − a‖ix i1,pT .

Notând x : 1x,2x, . . . ,px, avemx→alim x 0

Definiţie. Se numeşte matrice jacobiană a funcţiei f : D ⊂ Rk Rp înpunctul a matricea Jfa ∂fi

∂xja

j1,ki1,p, unde presupunem că toate

derivatele parţiale ∂fi∂xja există şi sunt finite.

Definiţie. Se numeşte determinant funcţional al funcţiilor f1, f2,… , fk

79

relativ la variabilele x1,x2,… ,xk, calculat în punctul a, şi se notează cuDf1,f2,…,fk Dx1,x2,…,xk

a determinantul matricii jacobiene ∂fi∂xja

1≤i,j≤ka funcţiei

f : D ⊂ Rk Rk, f f1, f2, . . . , fk în punctul a.Exemplu.Considerăm aplicaţia care indică modul de calcul al coordonatelor

carteziene când cunoaştem coordonatele polare (în planul xOy).

1.x rcosy r sin

sau x,y fr, rcos, r sin .Aici f1r, rcos,

f2r, r sin

Atunci Dx,yDr,

∂x∂r

∂x∂

∂y∂r

∂y∂

cos −r sinsin rcos

rcos2 sin2 r.

6.6. Diferenţiala şi derivatele funcţiilor compuseÎn problemele care implică o schimbare de variabilă sau dependenţa unei

mărimi z de o mărime x, nu directă, ci prin intermediul unei a treia variabile y,este necesar adesea calculul unor derivate de funcţii compuse.Reamintim teorema de derivare a funcţiilor compuse de la funcţii de o

variabilă.Teoremă Fie I,J intervale din R şi f : I J, g : J R. Dacă f

derivabilă în a şi g derivabilă în fa, atunci g ∘ f este derivabilă în a şig ∘ f ′a g′fa f ′a.Observaţie. Folosind diferenţialele relaţia de mai sus se scrie:

dg ∘ fa dgfa ∘ dfaFolosind notaţia y fx, z gy; f ′x dy

dx , g′y dz

dy regula dederivare a funcţiei compuse se mai scrie sub forma:

dzdx a

dzdy fa

dydx a

(Relaţia de mai sus este analogă identităţii algebrice ΔzΔx Δz

Δy ΔyΔx şi de

aceea mai uşor de reţinut).În cazul funcţiilor de mai multe variabile, regula de derivare a funcţiei

compuse se demonstrează cu ajutorul noţiunii de diferenţială.Teoremă (Diferenţiala unei funcţii compuse)Fie f : D ⊂ Rk → Δ ⊂ Rp şi g : Δ ⊂ Rp → Rq , unde D şi Δ sunt mulţimi

deschise. Dacă f este diferenţiabilă în punctul a ∈ D şi g este diferenţiabilă înpunctul corespunzător fa, atunci funcţia compusă g ∘ f este diferenţiabilă îna şi

dg ∘ fa dgfa ∘ dfa

(„Diferenţiala funcţiei compuse se obţine compunând diferenţialele celordouă funcţii, calculate în puncte corespunzătoare“).Consecinţă (Regula de derivare în lanţ pentru funcţii compuse)Notăm y fx, z gy, de unde z g ∘ fx NOT hx.Considerând matricele asociate diferenţialelor, relaţia

80

dha dgfa ∘ dfa devine: ∂hi∂xja

j1,ki1,q

∂gi∂ym

am1,pi1,q

∂fm∂xja

j1,km1,p

În membrul drept înmulţim „linia i“ a matricei lui g cu „coloana j“ amatricei lui f. Rezultă

∂hi∂xj

a ∂gi∂y1fa … ∂gi

∂ypfa

∂f1∂xja

∂fp∂xja

,

adică, pentru i 1,q, j 1,k, avem

∂g ∘ f i∂xj

a ∂gi∂y1fa ∂f1∂xj

a ∂gi∂yp

fa ∂fp∂xja.

Dacă nu mai precizăm punctele în care calculăm derivatele şi notămy fx, z gy relaţia de mai sus se scrie:

∂zi∂xj

∂zi∂y1

∂y1∂xj

∂zi∂y2

∂y2∂xj

∂zi∂yp

∂yp∂xj

,

unde zi zi y1x1,… ,xk, ypx1,… ,xk .Cazuri particulare.Vom presupune că f : D ⊂ Rk → Δ ⊂ Rp şi g : Δ ⊂ Rp → Rq sunt

diferenţiabile (pe domeniile lor de definiţie). Particularizăm formula dederivare a funcţiilor compuse dând valori numerelor naturale k,p şi q astfelîncât să obţinem cazuri des întâlnite în aplicaţii.1) Fie p 1şi q 1. Notăm y : y1. Pentru x1, . . .xk ∈ D avem

∂∂xjgfx1, . . .xk g′fx1, . . .xk

∂f∂xj

x1, . . .xk.

Pentru a deduce formula de mai sus direct, este suficient să aplicămTeorema de derivare a funcţiei compuse pentru funcţia de o singură variabilăxj gfx1, . . .xk, unde xi rămân constante pentru i ≠ j.2) Fie k 1 şi q 1. Notăm t : x1. Pentru t ∈ D avem

ddt gf1t, . . . , fpt ∂g

∂y1ft df1dt t ∂g

∂ypft dfpdt t.

Dacă p 3 regăsim, cu alte notaţii, fomula dedusă în Exemplul care precedeTeorema privind diferenţiala unei funcţii compuse.3) Fie k 2 , p 3 şi q 1. Notăm u,v : x1,x2,

x,y, z : y1,y2,y3 şi t gxu,v,yu,v, zu,v. Avem

81

∂t∂u ∂t

∂x ∂x∂u ∂t

∂y ∂y∂u ∂t

∂z ∂z∂u ;

∂t∂v ∂t

∂x ∂x∂v ∂t

∂y ∂y∂v ∂t

∂z ∂z∂v .

Exemplu.Calculaţi uxvx ′, unde u,v : I → R sunt funcţii derivabile peintervalul I ⊂ R şi ux 0 pentru orice x ∈ I.Soluţie. Avem de calculat d

dx gfx, unde fx ux,vx şigu,v uv.

ddx ux

vx ∂∂u u

vuux,vvx

dudx x ∂∂v u

vuux,vvx

dvdx x.

Dar ∂∂u u

v vuv−1 (am derivat o funcţie putere) şi ∂∂v u

v uv lnu (amderivat o funcţie exponenţială). Atunci

uv ′ vuv−1 u′ uv lnu v ′,

unde se subînţelege variabila x.Formula de mai sus se demonstra la liceu scriind puterea ca exponenţială

cu baza e şi aplicând regula de derivare a funcţiilor compuse pentru funcţii deo variabilă. Derivând uxvx e lnuxvx evx lnux rezultăuxvx ′ evx lnux vx lnux ′ uxvx vx lnux ′. Darvx lnux ′ v ′x lnux vx 1

ux u′x, de unde

uxvx ′ uxvx lnux v ′x vxuxvx−1 u′x.Aplicaţie.Două maşini A şi B se deplasează pe două străzi perpendiculare, către

intersecţia străzilor, cu vitezele constante vA 80 km/h şi vB 90 km/h.Calculaţi viteza instantanee cu care se apropie A şi B între ele când A,B se aflăla 0,3 km şi respectiv 0,4 km de intersecţie.Soluţie. Notăm cu O punctul de intersecţie al străzilor (asimilăm fiecare

stradă cu un segment de dreaptă). Dacă x : OA şi y : OB, atunci distanţadintre cele două maşini este AB x2 y2 NOT fx,y.Distanţa dintre cele două maşini la momentul t este fxt,yt. Viteza cu

care se modifică această distanţă (la momentul t):ddt fxt,yt

∂f∂x xt,yt

dxdt t

∂f∂y xt,yt

dydt t.

Avem ∂f∂x 1

2 x2y2 ∂∂x x

2 y2 xx2y2

şi∂f∂y 1

2 x2y2 ∂∂y x

2 y2 y

x2y2

În cazul considerat: dxdt 80 km/h,dydt 90 km/h,xt0 0,3

km,yt0 0,4 km. Atunci ∂f∂x 0,3;0,4 35 şi ∂f∂y 0,3;0,4

45

(mărimi adimensionale), de unde ddt fxt,yt tt0

35 80

45 90 120

(km/h.

82

6.7. Derivate parţiale de ordin superiorCazul funcţiilor de 2 variabile

Fie f : D ⊂ R2 R şi a,b ∈ D punct interior lui D. Dacă derivateleparţiale ∂f

∂x şi∂f∂y există şi sunt finite pe o vecinătate V a punctului a,b, se

pune problema determinării derivatelor parţiale ale acestora în a,b. Avem

∂∂x

∂f∂x a,b limx→a

∂f∂x x,b −

∂f∂x a,b

x − a ,

dacă limita din membrul drept există. Analog,∂∂y

∂f∂x a,b lim

y→b

∂f∂x a,y−

∂f∂x a,b

y−b , ∂∂x∂f∂y a,b limx→a

∂f∂y x,b−

∂f∂y a,b

x−a ,

∂∂y

∂f∂y a,b lim

y→b

∂f∂y a,y−

∂f∂y a,b

y−b .

Derivatele parţiale ale funcţiilor ∂f∂x şi∂f∂y se numesc derivate parţiale de

ordinul doi ale lui f şi se notează:

∂∂x

∂f∂x ∂2f

∂x2NOT fxx′′

∂∂y

∂f∂x ∂2f

∂y∂xNOT fxy′′

;∂∂x

∂f∂y ∂2f

∂x∂yNOT fyx′′

∂∂y

∂f∂y ∂2f

∂y2NOT fyy′′

.

O funcţie de două variabile poate avea 22 4 derivate parţiale de ordinuldoi. Derivatele ∂2f

∂x∂y şi∂2f∂y∂x se numesc derivate mixte.

Prin recurenţă se definesc derivatele parţiale de ordin n ≥ 1, care senotează sub forma ∂nf

∂x1∂x2...∂xnunde x1,x2, . . . ,xn ∈ x,y. O funcţie de două

variabile poate avea 2n derivate parţiale de ordinul n şi toate derivatele salesunt mixte , cu excepţia derivatelor ∂

nf∂xn şi ∂

nf∂yn .

De exemplu, ∂3f∂x∂y2

∂∂x

∂2f∂y2

, ∂3f∂y∂x∂y ∂

∂y∂2f∂x∂y , ∂3f

∂x2∂y ∂

∂x∂2f∂x∂y ,

∂3f∂y3

∂∂y

∂2f∂y2

.

Cazul general (funcţii de k variabile)Fie f : D ⊂ Rk R, f fx1,… ,xk şi ā a1,… ,ak ∈ D. Dacă

derivata parţială ∂f∂xi

i ∈ 1,…k există şi este finită pe o vecinătate V apunctului ā, se pune problema calculării sale derivatelor parţiale

∂∂xj

∂f∂xi

ā NOT ∂2f∂xj∂xi

ā, j ∈ 1,2,… ,k

Se observă că există cel mult k2derivate parţiale de ordinul doi ale funcţieif în punctul ā.Prin inducţie după n se definesc derivatele de ordinul n ale lui f, care sunt

de forma ∂nf∂y1∂y2...∂yn

, unde y1,y2, . . . ,yn ∈ x1, . . . ,xk. Se pune problemaexistenţei unei derivate de ordin n de forma ∂nf

∂y1∂y2...∂ynîntr-un punct dacă există

şi este finită pe o vecinătate a acelui punct derivata de ordin n − 1 notată cu

83

∂n−1f∂y2...∂yn

. Avem ∂nf∂y1∂y2...∂yn

ā DEF ∂∂y1

∂n−1f∂y2...∂yn

āExemple.1) Pentru ux,y ex2−y2 cos2xy calculaţi ∂2u

∂x2 ∂2u∂y2

şi ∂2u∂x∂y −∂2u∂y∂x .

∂u∂x 2xex2−y2 cos2xy − 2yex2−y2 sin2xy 2ex2−y2xcos2xy − y sin2xy;

∂u∂y −2yex2−y2 cos2xy − 2xex2−y2 sin2xy −2ex2−y2ycos2xy x sin2xy;

∂2u∂x2

∂∂x

∂u∂x ex2−y24x2 − 4y2 2cos2xy − 8xy sin2xy;

∂2u∂y2

∂∂y

∂u∂y ex2−y24y2 − 4x2 − 2cos2xy 8xy sin2xy, de unde

∂2u∂x2

∂2u∂y2

0 (în orice punct din R2).∂2u∂x∂y ∂

∂x∂u∂y ex2−y2−8xzcos2xy 4y2 − 4x2 − 2 sin2xy ∂2u

∂y∂x ,de unde ∂2u

∂x∂y −∂2u∂y∂x 0 (în orice punct din R2).

2ex cosy; ∂2u∂y∂x ∂∂y

∂u∂x −ex siny

2) Fie fx,y x3y − y2x2, x,y ∈ R2.Calculaţi derivatele parţiale de ordinul 3 ale lui f (în care derivăm de două

ori în raport cu x şi o dată în raport cu y).fx′ 3x2y − 2xy2 fxx′′ 6xy − 2y2 ; fxy′′ 3x2 − 4xyfy′ x3 − 2x2y fyx′′ 3x2 − 4xy ; fyy′′ −2x2

;

fxxx′′′ 6y ; fxxy′′′ 6x − 4y ; fxyx′′′ 6x − 4y ; fxyy′′′ −4xfyxx′′′ 6x − 4y ; fyxy′′′ −4x ; fyyx′′′ −4x ; fyyy′′′ 0

.

Observăm că: fxy′′ fyx′′ şifxxy′′′ fxyx′′′ fyxx′′′ 6x − 4y, fxyy′′′ fyxy′′′ fyyx′′′ −4x.

6.8. Condiţii suficiente pentru egalitatea derivatelor mixteCazul funcţiilor de 2 variabile

În condiţii pe care le vom preciza, derivatele mixte ∂2f∂x∂y şi

∂2f∂y∂x sunt egale.

Teoremă (Egalitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea).Fie f : D ⊂ R2 R, f fx,y şi a,b punct interior al mulţimii D.a) Dacă derivatele mixte ∂2f

∂x∂y şi∂2f∂y∂x sunt definite pe o vecinătate a

punctului a,b şi dacă acestea sunt continue în a,b, atunci∂2f∂x∂y a,b

∂2f∂y∂x a,b (Criteriul lui Schwartz).

b) Dacă derivatele de ordinul I ∂f∂x şi∂f∂y sunt definite pe o vecinătate a

punctului a,b şi sunt diferenţiabile în a,b, atunci ∂2f∂x∂y a,b

∂2f∂y∂x a,b

(Criteriul lui Young).Corolar (Consecinţă a Criteriului lui Schwarz) Dacă f : D ⊂ R2 R

are derivate parţiale mixte de ordinul doi continue pe mulţimea deschisă D,atunci aceste derivate coincid pe D.

Cazul funcţiilor de k variabileFie n ≥ 1 un număr natural.Definiţie. Spunem că o funcţie f : D ⊂ Rk R este de clasă Cn pe

mulţimea deschisă D şi notăm f ∈ CnD dacă toate derivatele parţiale deordin n ale lui f există şi sunt continue pe D. Spunem că f este de clasă C pe D

84

dacă f ∈ CnD pentru orice n ≥ 1.Observaţie. Notăm cu C0D mulţimea funcţiilor continue pe D.

Avem:

C0D ⊃ C1D ⊃ C2D ⊃ ⊃ CnD ⊃ Cn1D ⊃

Dacă f ∈ C1D, atunci f este diferenţiabilă pe D, deci este continuă pe D.Dacă f ∈ Cn1D, atunci toate derivatele parţiale de ordin (n 1 ale lui f suntcontinue pe D, de unde rezultă că toate derivatele parţiale de ordin n ale lui fsunt diferenţiabile, implicit continue, pe D., deci f ∈ CnD.Teoremă ( Egalitatea derivatelor mixte).Dacă f ∈ CnD, unde D ⊂ Rk este o mulţime deschisă, atunci valoarea

într-un punct oarecare a unei derivate mixte de ordin cel mult n a funcţiei f nudepinde de ordinea în care se efectuează derivările succesive.De exemplu, dacă f ∈ C3D, f fx,y, atunci fxy′′ fyx′′ ,

fxxy′′′ fxyx′′′ fyxx′′′ şi fxyy′′′ fyxy′′′ fyyx′′′ pe D.Mai general, dacă f ∈ CnD , unde D ⊂ Rk este o mulţime deschisă,

atunci ∂nf∂xi1∂xi2 ...∂xin

∂nf∂xi1∂xi2 ...∂xin

pe D, pentru orice

i1, i2, . . . , in ∈ 1,2, . . . ,k şi orice permutare : 1,2, . . . ,n → 1,2, . . . ,n.6.9. Diferenţiale de ordin superior

Fie D ⊂ Rk o mulţime deschisă şi f ∈ C2D, f fx1,… ,xk. Derivateleparţiale de ordinul I ∂f

∂xii 1,n au la rândul lor derivate parţiale continue,

deci sunt diferenţiabile pe D. Se pune problema calculării diferenţialei lui df,notată ddf d2f, numită diferenţiala de ordinul II a lui f.

Cazul funcţiilor de 2 variabileAplicând formal regulile de diferenţiere obţinem.

ddf d ∂f∂x dx

∂f∂y dy d ∂f

∂x dx d ∂f∂y dy ∂f

∂x

0

ddx ∂f∂y

0

ddy

∂2f∂x2dx ∂2f

∂y∂x dy dx ∂2f∂x∂y dx

∂2f∂y2dy dy

d2f ∂2f∂x2

dx2 2 ∂2f∂x∂y dx dy

∂2f∂y2

dy2

Am scris ddx 0 şi ddy 0 deoarece aplicaţiile a,b dxa,b şia,b dya,b sunt constante pe R2. Am aplicat de asemenea egalitateaderivatelor mixte ∂2f

∂x∂y ∂2f∂y∂x , valabilă pe baza consecinţei Criteriului lui

Schwarz.Definiţie. Fie f : D ⊂ R2 R şi a,b punct interior al mulţimii D.Spunem că f este diferenţiabilă de două ori în a,b dacă derivatele

parţiale ∂f∂x şi

∂f∂y există pe o vecinătate a punctului a,b şi sunt diferenţiabile

în a,b.Dacă f este diferenţiabilă de două ori în a,b, atunci conform Criteriului

lui Young derivatele mixte în a,b sunt egale: ∂2f∂x∂y a,b

∂2f∂y∂x a,b.

Definiţie. Fie f : D ⊂ R2 R diferenţiabilă în punctul a,b. numimdiferenţială de ordinul doi a lui f în a,b forma pătratică d2fa,b : R2 R

85

definită prin

d2fa,bh1,h2 ∂2f∂x2

a,bh12 2∂2f∂x∂y a,bh1h2

∂2f∂y2

a,bh22

Se mai scrie, restrângând membrul drept din egalitatea de mai sus:

d2fa,bh1,h2 h1 ∂∂x h2 ∂∂y

2fa,b,

unde exponentul 2 arată că se efectuează o ridicare formală la pătrat, apoioperatorii de derivare se aplică funcţiei f, în punctul a,b; mai exact, avemh1 ∂∂x h2

∂∂y

2 h12 ∂

2

∂x2 2h1h2 ∂2

∂x∂y h22 ∂2∂y2. Ţinând seama de

expresiile diferenţialelor dx şi dy, egalitatea de mai sus devine

d2f dx ∂∂x dy ∂

∂y

2f în punctul a,b.

Cazul funcţiilor de k variabileDefiniţie. Fie f : D ⊂ Rk R şi ā a1,… ,ak ∈ D punct interior.

Spunem că f este diferenţiabilă de două ori în punctul a dacă toate derivateleparţiale ∂f

∂xiale lui f există într-o vecinătate a lui a şi sunt diferenţiabile în

punctul a. În acest caz, numim diferenţială de ordinul doi a lui f în punctul āforma pătratică d2fā : Rk R definită prin

d2fāh1,h2,… ,hkDEF ∑

i1

k

∑j1

k∂2f∂xi∂xj

a hi hj.

Formal putem scrie: d2f dx1 ∂∂x1

dx2 ∂∂x2

…dxk ∂∂xk

2f, în

punctul ā, deoarece ∂2f∂xi∂xj

a ∂2f∂xj∂xi

a, conform Criteriului lui Young.Definiţie. Fie f : D ⊂ Rk R şi ā a1,… ,ak ∈ D punct interior.

Spunem că f este diferenţiabilă de n ori în punctul ā dacă toate derivateleparţiale de ordinul n − 1 ale lui f există într-o vecinătate a lui ā şi suntdiferenţiabile în ā. În acest caz, numim diferenţială de ordinul n a lui f înpunctul ā aplicaţia d2fā : Rk R definită prin

dnfāh1,h2,… ,hkDEF ∑

1≤i1,i2,...,in≤k

∂nf∂xi1∂xi2 . . .∂xin

āhi1hi2 . . .hin .

Se observă că dnfā este un polinom omogen de gradul n sau este polinomidentic nul.Observaţii.1) Dacă f este diferenţiabilă de n ≥ 2 ori în punctul ā, atunci de asemenea f

este diferenţiabilă de n − 1 ori în punctul ā.2) Dacă f este de clasă Cn pe o vecinătate a punctului ā, atunci f este

diferenţiabilă de n ori în ā.Într-adevăr, din faptul că derivatele de ordinul n − 1 au toate derivatele

parţiale continue pe o bilă centrată în ā, rezultă că derivatele de ordinul n − 1

86

sunt diferenţiabile pe acea bilă, în particular în punctul ā.Presupunem că f este de clasă Cn pe o bilă centrată în ā. Atunci derivatele

mixte de ordinul n ale lui f pe acea bilă, în particular în în punctul ā, nu depindde ordinea derivărilor succesive, conform consecinţei Criteriului lui Schwarz.În acest caz egalitatea de mai sus se mai scrie sub forma

dnfāh1,h2,… ,hk h1 ∂∂x1 h2 ∂∂x2

…hk ∂∂xk

nfā

sau

dnf dx1 ∂∂x1 dx2 ∂∂x2

…dxk ∂∂xk

nf în punctul ā.

Are loc următoarea generalizare a regulii binomului lui Newton:A1 A2 . . .Akn ∑

ni∈Nn1n2...nkn

n!n1!n2!...nk!

A1n1A2n2 . . . Aknk . Atunci

dnf ∑ni∈N

n1n2...nkn

n!n1!n2!. . .nk!

∂nf∂x1n1∂x2

n2 . . .∂xknk dx1

n1dx2n2 . . . dxknk .

În cazul unei funcţii f fx,y de clasă Cn pe o vecinătate a punctuluia,b, avem dnfa,bh1,h2 h1 ∂∂x h2

∂∂y

nfa,b, adică

dnfa,b dx ∂∂x dy∂∂y

nf, în punctul a,b.

Se dezvoltă formal h1 ∂∂x1

h2 ∂∂x2

ndupă regula binomului lui Newton,

apoi se aplică operatorul de derivare obţinut funcţiei f, în punctul a,b:

dnfa,bh1,h2 ∑k0

n

Cnk∂nf

∂xn−k∂yka,bh1n−kh2k.

6.10. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabileFiind dată o funcţie f ∈ Cn1D, unde D ⊂ Rkeste mulţime deschisă, se va

aproxima f în vecinătatea unui punct a ∈ D printr-un polinom de grad cel multn, Tn,a : Rk → R , numit polinomul Taylor de ordin n asociat lui f în punctul a,astfel încât sunt îndeplinite condiţiile :a) Tn,aa f a şi diTn,aa difa pentru i 1,2, . . . ,n;b) limx→a

|fx−Tn,ax |‖x−a‖n 0 (eroarea aproximării fx ≅ Tn,ax tinde la zero

mai repede decât ‖x − a‖n).Am studiat în capitolul precedent noţiunea de polinom Taylor cazul

funcţiilor de o variabilă. Aplicând formula lui Taylor cu rest Lagrangedemonstrată acolo pentru restricţia funcţiei de mai multe variabile f la unsegment de dreaptă parametrizat, cu o extremitate în punctul fixat a , se obţineurmătorul rezultat.Teoremă ( Formula lui Taylor cu rest Lagrange, pentru funcţii de mai

multe variabile)Fie f : D ⊂ Rk R o funcţie diferenţiabilă de n 1 ori pe o bilă

Ba, r ⊂ D.

87

Pentru orice x ∈ Ba, r există un punct x pe segmentul a,x astfelîncât:

fx fa 11! dfax − a

12! d

2fax − a 1n! d

nfax − a

1n 1! d

n1fx − a

Corolar ( Formula lui Taylor cu rest Peano, pentru funcţii de maimulte variabile)Fie f : D ⊂ Rk R o funcţie de clasă Cn ori pe o bilă Ba, r ⊂ D.

Atunci există o funcţie : D R cun→lim x 0 astfel încât

fx fa 11! dfax − a

12! d

2fax − a 1n! d

nfax − a

x ‖x − a‖n

Formula din teorema precedentă (respectiv, formula din corolarulprecedent ) se numeşte formula lui Taylor de ordinul n, corespunzătoarefuncţiei f în punctul a cu rest Lagrange (respectiv, cu rest Peano) .Reamintim definiţia unui segment din Rk: a,x

a tx − a : t ∈ 0,1.Notăm

Tn,ax : fa 11! dfax − a

12! d

2fax − a 1n! d

nfax − a,x ∈ Rk. Cunoscând că difaeste polinom omogen de grad i, pentru oricei ∈ 1.2, . . . ,n (dacă nu este polinom identic nul) se observă că Tn,a este unpolinom de grad cel mult n în x1,x2, . . . ,xk. Polinomul Tn,a definit mai sus senumeşte polinom Taylor de ordin n asociat lui f în punctul a. Se observă căTn,aa fa, deoarece difa0 0 pentru orice i ∈ 1.2, . . . ,n. Se poatearăta că diTn,aa difa pentru i 1,2, . . . ,n.În formula lui Taylor din enunţul teoremei de mai sus, termenul1

n1! dn1fx − a se numeşte restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Se observă că |fx−Tn,ax |‖x−a‖n ‖x − a‖ 1

n1! dn1f x−a

‖x−a‖ dacăx ∈ Ba, r ∖ a. Când x → a, avem ‖x − a‖ → 0, x → a. Când derivateleparţiale de ordinul n 1 ale lui f sunt continue în a, funcţiadn1fx x−a

‖x−a‖ rămâne mărginită într-o vecinătate a punctului a (din careomitem punctul a). Rezultă în acest caz

limx→a|fx − Tn,ax|‖x − a‖n 0.

Relaţia precedentă rămâne adevărată într-un caz mai general decât cel dinenunţul teoremei de mai sus, dacă f are derivate parţiale de ordinul n continueîntr-o vecinătate a punctului a (vezi [4], vol. 1, pag. 623).Neglijând restul de ordinul n al formulei lui Taylor obţinem aproximarea

funcţiei f prin polinomul Taylor Tn,a, foarte utilă în aplicaţii:

88

fx ≅ fa 11! dfax − a

12! d

2fax − a 1n! d

nfax − a

Particularizăm formula lui Taylor la cazul funcţiilor de 2 variabile. Fief : D ⊂ R2 R , f fx,y o funcţie diferenţiabilă de n 1 ori pe un discΔ ⊂ D centrat în a,b. Avem

difa,bx − a,y − b ∑j0

i

Cij ∂if∂xi−j∂yj

a,bx − a i−jy − b j pentru

i ∈ 1.2, . . . ,n. Pentru fiecare x,y ∈ Δ există un punct notat , ∈ R2,situat pe segmentul cu capetele a,b şi x,y, astfel încât:

fx,y fa,b 11!

∂f∂x a,bx − a

∂f∂y a,by − b

12!

∂2f∂x2

a,bx − a2 2 ∂2f∂x∂y a,bx − ay − b

∂2f∂y2

a,by − b2

. . . 1n! ∑j0

n

Cnj ∂nf∂xn−j∂yj

a,bx − an−jy − b j

1n 1! ∑j0

n1

Cn1j ∂n1f∂xn−j∂yj

,x − an1−jy − b j.

Exemplu. Folosind formula lui Taylor de ordinul trei, să se calculezevaloarea aproximativă pentru e0,1 sin0,2.Considerăm fx,y ex siny, de clasă C pe tot planul R2. Scriem formula

lui Taylor de ordinul trei corespunzătoare funcţiei f în punctul a,b 0,0(aproximăm 0,1 ≅ 0 şi 0,2 ≅ 0).Calculăm derivatele parţiale fx′ ex siny, fy′ ex cosy; fxx′′ ex siny,

fxy′′ ex cosy, fyy′′ −ex siny; fxxx′′′ ex siny, fxxy′′′ ex cosy, fxyy′′′ −ex siny,fyyy′′′ −ex cosy. Folosim aproximarea

fx,y ≅ f0,0 11! f

′x0,0x fy′ 0,0y

12! fxx

′′ 0,0x2 2fxy′′ 0,0xy fyy′′ 0,0y2

13! fxxx

′′′ 0,0x3 3fxxy′′′ 0,0x2y 3fxyy′′′ 0,0xy2 fyyy′′′ 0,0,

adică fx,y ≅ y xy 16 x

2y − y3. Pentru x 0,1 şi y 0,2 obţineme0,1 sin0,2 ≅ 0,2 1,1 − 1

6 0,2 0,3 0,1, adică e0,1 sin0,2 ≅ 0,219.

6.11. Extreme locale ale funcţiilor de mai multe variabileÎn cele mai multe probleme de maxim şi minim care provin din practică,

funcţia ale cărei extreme se cer (numită şi funcţie obiectiv) depinde de maimulte variabile reale.

DefiniţiiDefiniţiile noţiunilor de punct de minim, punct de maxim, minim, maxim

(local sau global) date pentru funcţii reale de o variabilă reală se extind imediat

89

la funcţii reale de mai multe variabile reale.Definiţie. Fie o funcţie f : D ⊂ Rk R. Spunem că a ∈ D este punct de

minim global al funcţiei f dacă fx ≥ fa pentru orice x ∈ D. Spunem căa ∈ D este punct de maxim global al funcţiei f dacă fx ≤ fa pentru oricex ∈ D.Definiţie. Fie o funcţie f : D ⊂ Rk R.Spunem că a ∈ A este punct de minim local al funcţiei f dacă există o

vecinătate V a punctului a astfel încât fx ≥ fa pentru orice x ∈ V ∩ D.Spunem că a ∈ D este punct de maxim local al funcţiei f dacă există o

vecinătate V a punctului a astfel încât fx ≤ fa pentru orice x ∈ V ∩ D.Punctele de minim şi cele de maxim (local, respectiv global) se numesc

puncte de extrem (local, respectiv global).Valoarea funcţiei într-un punct de minim/maxim (local, respectiv global) se

numeşte minim/maxim (local, respectiv global) al funcţiei f.

Determinarea punctelor de extrem local cu ajutorul diferenţialelorCondiţii necesare de existenţă a unui extrem local

Teorema lui Fermat se extinde uşor de la cazul funcţiilor reale de ovariabilă reală la cel al funcţiilor reale de mai multe variabile reale. Dacă unpunct situat în interiorul domeniului de definiţie al funcţiei este punct deextrem local, atunci diferenţiala funcţiei în acel punct este identic nulă (presupunând că această diferenţială există).Teorema lui Fermat Dacă funcţia

f : D ⊂ Rk R, f fx1,x2,… ,xk are derivate parţiale∂f∂xia, i 1,2, . . . ,k, în punctul de extrem a situat în interiorul lui D, atunci

∂f∂x1a ∂f

∂x2a ∂f

∂xka 0.

Demonstraţie. Fie a a1,a2,… ,ak ∈ D punct de extrem local pentruf . Este suficient să studiem cazul când a este punct de maxim local.Există r 0 astfel încât pentru orice x ∈ Ba, r avem fx ≤ fa.Funcţia parţială g1x1 fx1,a2,… ,ak, x1 ∈ a1 − r,a1 r are maxim

local în punctul x1 a1 (deoarece x1 ∈ a1 − r,a1 r x1,a2,… ,ak ∈ Ba, r fx1,a2,… ,ak ≥ fa1,a2,… ,ak, adică

gx1 ≥ ga1). Aplicând funcţiei g1 Teorema lui Fermat pentru funcţii cuvariabilă reală, rezultă că g1′ a1 0, adică

∂f∂x1a 0.

Analog, funcţia parţială g2x2 fa1,x2,a3… ,ak, x2 ∈ a2 − r,a2 rare maxim local în x2 a2 şi aplicând funcţiei g2 Teorema lui Fermat , rezultăcă g2′ a1 0, adică

∂f∂x2a 0. Aplicând raţionamentul de mai sus funcţiei

parţiale de variabilă xi asociate lui f în punctul a obţinem ∂f∂xia 0 pentru

i 1,2, . . . ,k. Corolar. Dacă funcţia f : D ⊂ Rk R, f fx1,x2,… ,xk este

diferenţiabilă în punctul de extrem a situat în interiorul lui D, atunci

dfa 0.

Definiţie. Numim punct staţionar al unei funcţii f : D ⊂ Rk R unpunct în care există toate derivatele parţiale funcţiei şi acestea sunt nule.Punctele staţionare se mai numesc şi puncte critice.

90

Punctele staţionare sunt soluţiile x1,x2, . . . ,xk ∈ D ale sistemului formatcu ecuaţiile ∂f

∂xi 0, i 1,2, . . . ,k.

Interpretare geometrică. Se consideră în spaţiul tridimensional osuprafaţă S definită de o ecuaţie explicită , S : z fx,y, x,y ∈ D, undef : D ⊂ R2 R este o funcţie de clasă C1 pe mulţimea deschisă D. Ecuaţiaimplicită a suprafeţei este S : Fx,y, z 0, unde Fx,y, z DEF fx,y − z.Ecuaţia planului tangent la S într-un punct a,b,c ∈ S este∂F∂x a,b,c x − a

∂F∂y a,b,c y − b

∂F∂z a,b,c z − c 0, adică

∂f∂x a,b x − a

∂f∂y a,b y − b − z − fa,b 0

z fa,b ∂f∂x a,b x − a

∂f∂y a,b y − b.

Observăm că a,b este punct staţionar al funcţiei f dacă şi numai dacă planultangent la graficul funcţiei în punctul a,b, fa,b este paralel cu planul xOy.Fie Pa,b planul care trece prin a,b, fa,b şi este paralel cu xOy. Punctula,b este punct de minim (respectiv, punct de maxim) local al funcţiei f dacăşi numai dacă într-o vecinătate a acestui punct graficul funcţiei se găseştedeasupra planului Pa,b (respectiv, sub planul Pa,b).Reciproca Teoremei lui Fermat nu este adevărată, în sensul e posibil ca un

punct interior domeniului de definiţie să fie punct staţionar funcţiei fără ca elsă fie punct de extrem local. Dăm un exemplu tipic, care ilustrează aceastăposibilitate.Exemplu. Fie f : R2 R, fx,y y2 − x2. Determinăm punctele

staţionare ale funcţiei, rezolvând sistemul:∂f∂x 0∂f∂y 0

.Avem ∂f∂x −2x;

∂f∂y 2y., de unde rezultă că f are un singur punct staţionar, originea O0,0.Dar fx, 0 −x2 ≤ f0,0 pentru orice x ∈ R, deci originea este punct de

maxim (global) pentru restricţia lui f la axa Ox, iar f0,y y2 ≥ f0,0 pentruorice y ∈ R, deci originea este punct de minim (global) pentru restricţia lui f laaxa Oy. Un punct poate fi simultan punct de minim şi punct de maxim (local,respectiv global) doar dacă funcţia este constantă (local, respectiv global).Rezultă că originea O0,0 nu este punct de extrem local al funcţiei f. Graficulfuncţiei este o suprafaţă numită paraboloid hiperbolic, în formă de şa. Aceastăobservaţie justifică următoareaDefiniţie. Se numeşte punct şa al unei funcţii f : D ⊂ Rk R un punct

staţionar al funcţiei, care nu este şi punct de extrem local al funcţiei.Pentru a studia semnul diferenţei fx − fa, unde a este punct staţionar al

funcţiei f, se aplică formula lui Taylor cu rest Peano pentru funcţia f în punctula.

Condiţii suficiente de existenţă a unui extrem localPentru a stabili dacă un punct staţionar al unei funcţii de mai multe

variabile este punct de maxim local, de minim local sau nu este punct deextrem, se studiază semnul diferenţialei a doua a funcţiei în punctul staţionar.Se foloseşte teoria referitoare la semnul unei forme pătratice, studiată în

cadrul algebrei liniare, pe care o vom reaminti mai jos pe scurt.

91

Fie A aij ∈ MkR o matrice simetrică . Aplicaţia Q : Rk → R

definită prin Qh ∑i1

k

∑j1

k

aijhihj pentru fiecare h h1, . . . . ,hk se numeşte

formă pătratică.Definiţie. Spunem că forma pătratică Q este:a) pozitiv definită dacă Qh 0 pentru orice vector nenul h ∈ Rk;b) negativ definită dacă Qh 0 pentru orice vector nenul h ∈ Rk.Observăm că o formă pătratică Q este negativ definită dacă şi numai dacă

opusa ei −Q este pozitiv definită.

Polinomul caracteristic P detA − I al unei matrice simetriceA aij ∈ MkR are toate rădăcinile reale; notăm aceste rădăcini, numitevalori proprii ale matricei A, cu 1, . . . ,k. Metoda transformărilor ortogonalearată că există o bază B a lui Rk (formată cu vectori proprii ai matricei A) încare matricea asociată formei pătratice Qh1, . . . . ,hk ∑

i1

k

∑j1

k

aijhihj este

B diag1,2, . . . ,k. În concluzie: o formă pătratică este pozitiv definită(respectiv, negativ definită) dacă şi numai dacă o matrice asociată ei are toatevalorile proprii strict pozitive (respectiv, strict negative).

Exemplu. Fie A r ss t

∈ M2R. Matricea A este asociată în baza

canonică formei pătratice Q : R2 → R, Qu,v rs2 2suv tv2. Polinomulcaracteristic al matricei A este

P r − ss t −

2 − r t rt − s2 şi are rădăcinile reale

1,2 rt r−t24s2

2 . Semnul acestor rădăcini se discută cu ajutorul semnelorprodusului 12 rt − s2 detA şi sumei 1 2 r t. Atunci:Qu,v 0 pentru orice u,v ≠ 0,0 rt − s2 0 şi r t 0;Qu,v 0 pentru orice u,v ≠ 0,0 rt − s2 0 şi r t 0.În particular, r 0 şi rt − s2 0 Q este pozitiv definită, respectiv r 0

şi rt − s2 0 Q este negativ definită. Într-adevăr, dacă rt − s2 0, atuncirt s2 0, deci r şi t au acelaşi semn, în particular suma r t are semnul luir.Dacă rt − s2 0 forma pătratică Q are semn variabil: există u1,v1,

u2,v2 ∈ R2 astfel încât Qu1,v1 0 şi Qu2,v2 0.La concluziile de mai sus se ajunge şi pe cale elementară, folosind semnul

trinomului de gradul II.Vom presupune că r, s şi t nu sunt toţi nuli, altfel Q ≡ 0.Pentru u,v ≠ 0,0 scriem Qu,v v2 r uv 2 2s uv t dacă v ≠ 0,

respectiv Qu,v u2 t vu 2 2s vu r dacă u ≠ 0.Dacă r 0 sau t 0, avem fie s 0 şi atunci Q are semnul singurului său

coeficient nenul, fie s ≠ 0 şi atunci Q are semn variabil : pentru r 0,Qu,v s 0 dacă u

v − t2s şi Qu,v s 0 dacă

uv − t

2s ; pentru t 0,Qu,v s 0 dacă v

u − r2s şi Qu,v s 0 dacă

vu − r

2s .

92

Rămâne să considerăm cazul r ≠ 0 şi t ≠ 0. Funcţiile de gradul II x rx2 2sx t şi x tx2 2sx r au acelaşi discriminantΔ 4s2 − rt −4detA.Se observă că Q este pozitiv sau negativ definită dacă şi numai dacă

Δ 0, adică rt − s2 0. Mai exact, dacă rt − s2 0, numerele r şi t au acelaşisemn, iar funcţiile de gradul II de mai sus, şi implicit Qu,v păstrează semnullui r. Dacă rt − s2 0, adică Δ 0, funcţiile de gradul II de mai sus îşischimbă semnul, deci forma pătratică Q are semn variabil. Dacă rt − s2 0,Qu,v ≥ 0 dacă r şi t sunt strict pozitive, respectiv Qu,v ≤ 0 dacă r şi t suntstrict pozitive, dar Qu,v se anulează pentru v

u − rt , deci Q nu este nici

pozitiv definită, nici negativ definită.Lemă. O formă pătratică Q : Rk → R. Q : Rk → R este pozitiv definită

dacă şi numai dacă există o constantă strict pozitivă m astfel încât pentruorice h ∈ Rk are loc inegalitatea

Qh ≥ m‖h‖2.

Pentru h h1, . . . ,hk notăm ‖h‖ h12 . . .hk2 (norma euclidiană).Teoremă (Testul diferenţialei a doua pentru funcţii de mai multe

variabile)Fie f : D ⊂ Rk R o funcţiei de clasă C2 pe mulţimea deschisă D.

Presupunem că a este punct staţionar al funcţiei f (dfa 0). Considerămforma pătratică Q : d2fa, diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul a.(1) Dacă Q este pozitiv definită, atunci a este punct de minim local al

funcţiei f;(2) Dacă Q este negativ definită, atunci a este punct de maxim local al

funcţiei f;(3) Dacă Q are semn variabil, atunci a nu este punct de extrem local al

funcţiei f.Următorul rezultat dă condiţii suficiente explicite pentru ca un punct

staţionar al unei funcţii de mai multe variabile să fie punct de extrem local.Spre deosebire de teorema precedentă, teorema care urmează poate fi aplicatădirect în rezolvarea exerciţiilor, fără a cunoaşte noţiunile de Algebră liniară pecare ne bazăm aici.Teoremă (Testul hessianei pentru funcţii de mai multe variabile)Fie f : D ⊂ Rk R o funcţie de clasă C2 pe mulţimea deschisă D şi fie a

punct staţionar al funcţiei f. Considerăm matricea derivatelor parţiale deordinul II ale lui f în punctul a : Ha ∂2f

∂xi∂xja

j1,ki1,k (numită hessiana lui

f în punctul a).Notăm cu Δpa determinantul format cu elementele din Ha situate pe

liniile 1,2,… ,p şi coloanele 1,2,… ,p. Atunci:(1) Dacă Δpa 0 pentru p 1,2,… ,k a este punct de minim local

pentru f.(2) Dacă Δ1a 0, Δ2a 0, Δ3a 0,… , −1kΔka 0 (semnele

determinanţilor alternează începând cu −), atunci a este punct de maximlocal pentru f.(3) Dacă Δpa ≠ 0 pentru p 1,2,… ,k, dar semnele acestor

93

deteminanţi nu satisfac condiţiile de la unul din punctele precedente, atunci anu este punct de extrem local pentru f.În cazul funcţiilor de 2 variabile, folosind discuţia elementară referitoare la

semnul formelor pătratice definite pe R2 obţinem următorul rezultat, care estedoar parţial o particularizare a teoremei precedente, acoperind şi cazuri ce nuerau discutate în aceasta.Propoziţie. Fie f : D ⊂ R2 R o funcţie de clasă C2 pe mulţimea

deschisă D şi fie a,b un punct staţionar al funcţiei f. Notăm r : ∂2f∂x2a,b,

s : ∂2f∂x∂y a,b

∂2f∂y∂x a,b şi t :

∂2f∂y2a,b. Atunci:

I. Dacă rs − t2 0, atunci a,b este punct de extrem local al funcţiei f, şianume :

dacă r 0, atunci a,b este punct de minim,dacă r 0, atunci a,b este punct de maxim.

II. Dacă rs − t2 0, atunci a,b nu este punct de extrem local al funcţieif.III. Dacă rs − t2 0 şi r, s, t nu sunt toate nule, atunci a,b este punct de

extrem local al funcţiei f, şi anume :dacă r t 0, atunci a,b este punct de

minim,dacă r t 0, atunci a,b este punct de

maxim.

Exemple. Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiilor următoare1) f : R3 R, fx,y, z x2y yz 32x − z2.a) Determinăm punctele staţionare ale funcţiei, ca soluţii ale sistemului de

mai jos:∂f∂x 2xy 32 0∂f∂y x2 z 0∂f∂z y − 2z 0

z −x2

y −2x2

−4x3 32 0 x 2

x 2y −8z −4

.

Funcţia are un singur punct staţionar: 2,−8,−4.

b) Scriem matricea hessiană H

fxx′′ fxy′′ fxz′′

fyx′′ fyy′′ fyz′′

fzx′′ fzy′′ fzz′′(este matrice

simetrică, deoarece f ∈ C2R). H

2y 2x 02x 0 10 1 −2

;

Δ1 fxx′′ ; Δ2 fxx′′ fxy′′

fyx′′ fyy′′; Δ3 detH, deci Δ1 2y,

Δ2 2y 2x2x 0

−4x2, Δ3 8x2 − 2y.

94

În punctul 2,−8,−4 : Δ1 −16 0, Δ2 −16 0 2,−8,−4 nueste punct de extrem local.2) f : R2 R, fx,y x3 3xy2 − 15x − 12y 1.

a)∂f∂x 3x2 3y2 − 15 0∂f∂y 6xy − 12 0

. Notând S : x y şi P : xy sistemul

simetric alăturat devineS2 − 2P 5P 2

S 3P 2

.

Pentru S 3 şi P 2 obţinem punctele staţionare 2,1 şi 1,2. PentruS −3 şi P 2 obţinem punctele staţionare −2,−1 şi −1,−2.În concluzie, funcţia dată are 4 puncte staţionare, pe care le vom nota

A2,1, B1,2, C−2,−1, D−1,−2.

b) H fxx′′ fxy′′

fyx′′ fyy′′, de unde H

6x 6y6y 6x

. Atunci Δ1 6x,

Δ2 detH 36x2 − y2În A2,1 avem Δ1 12 0, Δ2 108 0, deci 2,1 este punct de

minim local.În B1,2 avem Δ1 6 0, Δ2 −108 0, deci 1,2 nu este punct de

extrem local.În C−2,−1 avem Δ1 −12 0, Δ2 108 0, deci −2,−1 este punct

de maxim local.În D−1,−2 avem Δ1 −6 0, Δ2 −108 0, deci −1,−2 nu este

punct de extrem local.3) fx,y, z 3x2 y2 2z2 − 2xy 2yz.

a)

∂f∂x 6x − 2y 0∂f∂y 2y − 2x 2z 0∂f∂z 4z 2y 0

x,y, z 0,0,0. Singurul punct

staţionar este originea.b)

H

6 −2 0−2 2 20 2 4

Δ1 6; Δ2 6 −2−2 2

8; Δ3 detH 48 0

Δ1 0, Δ2 0, Δ3 0 punctul staţionar 0,0,0 este punct de minimlocal.În plus, observăm că

fx,y, z x 3 − y3

2 y 2

3 z 32

2 1

2 z2 ≥ 0 f0,0,0, deci

0,0,0 este chiar punct de minim global.

95

Capitolul 7. Integrarea funcţiilor de o variabilăreală. Integrala Riemann

Calculul diferenţial şi calculul integral sunt aspecte complementare alestudierii funcţiilor.Din punctul de vedere al aplicaţiilor în geometrie, calculul

diferenţial/integral a apărut pentru a rezolva problema determinării tangentelorla curbe, respectiv a ariilor unor figuri plane.În studiul variaţiei în timp a unei mărimi fizice, derivata reprezintă viteza

instantanee de variaţie a acelei mărimi, în timp ce operaţia de integrare estefolosită pentru a obţine variaţia mărimii între două momente când se cunoscvitezele instantanee de variaţie (măsurate experimental, de exemplu).Operaţiile de derivare şi integrare sunt inverse una celeilalte, în sensul

următor:ddx

a

x

ftdt fx (unde f este continuă pe un interval I

şi a,x ∈ I) şi

a

x

F ′tdt Fx − Fa (unde F ∈ C1I şi a,x ∈ I).

7.1. Noţiunea de integrală RiemannPentru a înţelege definiţia noţiunii de integrală Riemann este necesar să

pornim de la o problemă care conduce la această noţiune, cum este problemadeterminării ariei subgraficului unei funcţii pozitive (în geometrie). Oproblemă analogă este problema calculării lucrului mecanic efectuat de o forţăcare-şi deplasează punctul de aplicaţie pe o dreaptă şi păstrează direcţia aceleidrepte.

Aria subgraficului unei funcţii pozitiveFie f : a,b R, cu fx ≥ 0,∀x ∈ a,b.Numim subgrafic al funcţiei f regiunea din planul xOy mărginită de

graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x a şi x b. Reprezentând subgraficulSf al lui f ca submulţime a R2, avemSf x,y : a ≤ x ≤ b şi 0 ≤ y ≤ fx .Dacă funcţia pozitivă f este constantă: fx c,∀x ∈ a,b, atunci Sf este

un dreptunghi cu baza pe segmentul a,b al axei Ox şi înălţimea egală cu c,deci ariaSf c b − a.Dacă funcţia f nu este constantă, împărţim intervalul a,b în subintervale

cu interioarele disjuncte, iar pe fiecare din aceste subintervale aproximămfuncţia f cu o constantă (egală cu valoarea funcţiei într-un punct arbitrar dinsubinterval). În consecinţă, aria porţiunii din subgrafic corespunzătoare unuisubinterval se aproximează cu aria unui dreptunghi.Fie Δ a x0 x1 … xk−1 xk … xn b o diviziune a

intervalului a,b. O caracteristică importantă a diviziunii este descrisă denumărul

96

max1≤k≤n

xk − xk−1NOT ‖Δ‖,

numit norma lui Δ.Alegem k ∈ xk−1,xk k 1,n . Familia de puncte Δ 1,2,… ,n

se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ.Pe xk−1,xk vom utiliza aproximarea fx ≃ fk.Fie Dk dreptunghiul cu baza pe segmentul xk−1,xk al axei Ox şi înălţimea

egală cu fk.Avem ariaDk fk xk − xk−1.Aria submulţimii lui Sf cuprinsă între dreptele x xk−1 şi x xk se

aproximează cu ariaDk.Rezultă aproximarea:

ariaSf ≃ ∑k1

n

fk xk − xk−1.

Definiţia integralei RiemannDefiniţie. Se numeşte sumă Riemann ataşată funcţiei f, diviziunii Δ şi

sistemului de puncte intermediare Δ numărul

f;Δ,Δ :∑k1

n

fk xk − xk−1.

Dacă f este continuă (dar nu numai în acest caz) se constată că, pe măsurăce ‖Δ‖ → 0, suma Riemann f;Δ,Δ se apropie oricât de mult de un număr

I. Atunci ariaSf INOT

a

b

fxdx.

Definiţie. Fie f : a,b R. Spunem că f este integrabilă Riemann pea,b dacă există un număr real I astfel încât :oricare ar fi şirul de diviziuni ΔNN≥1 ale intervalului a,b cu

limN→

‖ΔN‖ 0, şi oricare ar fi alegerea sistemelor de puncte intermediare ΔN ,avem

limN→

f;ΔN,ΔN I

Numărul I de mai sus se numeşte integrala Riemann sau integrala definită

a funcţiei f pe intervalul a,b şi se notează a

b

fxdx.

Observaţie. Subgraficul unei funcţii pozitive f : a,b R are arie dacăşi numai dacă f este integrabilă Riemann, iar aria subgraficului este egală cu

integrala a

b

fxdx.

Observaţie. Pentru uşurinţa calculului cu integrale Riemann, se facurmătoarele convenţii:

97

b

a

fxdx DEF −a

b

fxdx (unde a b) ; a

a

fxdx 0.

Teoremă. Funcţia f : a,b R este integrabilă Riemann pe a,b dacăşi numai dacă există un număr real I cu proprietatea că :pentru orice 0, există 0 astfel încât , oricare ar fi diviziunea Δ

a intervalului a,b cu ‖Δ‖ şi oricare ar fi sistemul de puncte

intermediare Δ asociat diviziunii Δ, are loc inegalitatea

|f;Δ,Δ − I| .

Corolar. Dacă funcţia f : a,b R este integrabilă Riemann pe a,b,atunci f este mărginită pe a,b.

Exprimăm pe scurt proprietatea integralei Riemann I a

b

fxdx descrisă în

enunţul teoremei precedente prin‖Δ‖→0lim f;Δ,Δ I.

Exemplu. Orice funcţie constantă pe a,b este integrabilă pe a,b. Mai

exact, a

b

c dx cb − a.

Fie o funcţie constantă fx c, x ∈ a,b, unde c ∈ R. Pentru o diviziunearbitrară Δ şi un sistem oarecare de puncte intermediare Δ asociat diviziuniiΔ, notate ca mai sus, calculăm suma Riemann corespunzătoare:f;Δ,Δ ∑

k1

nfk xk − xk−1 c ∑

k1

nxk − xk−1 cb − a, deoarece

∑k1

n

xk − xk−1 −x0 x1 −x1 x2 . . .−xn−2 xn−1 −xn−1 xn

xn − x0 b − a

(geometric: suma lungimilor intervalelor parţiale xk−1,xk pentru k 1, . . ,n,este lungimea intervalului a,b, adică b − a).Cum toate sumele Riemann au aceeaşi valoare I cb − a, rezultă din

definiţia integralei Riemann că a

b

fxdx cb − a ariaSf.

Primitive. Formula Leibniz-NewtonDacă o funcţie integrabilă pe a,b are o primitivă pe a,b, atunci integrala

este egală cu variaţia primitivei de la a la b. Acest rezultat fundamentaldemonstrat de Leibniz şi Newton permite, într-un număr mare de cazuri,reducerea problema calculării unei integralelor definite la problemadeterminării unei primitive a funcţiei pe care o integrăm.Definiţie. Se numeşte primitivă pe intervalul I a funcţiei f : I R orice

funcţie derivabilă F : I R a cărei derivată este egală cu f (adicăF ′x fx pentru orice x ∈ I).

98

Lemă.a) Suma dintre o constantă reală oarecare şi o primitivă a unei funcţii f pe

un interval I este de asemenea o primitivă a lui f pe I;b) Diferenţa a oricare două primitive ale funcţii f pe un interval I este

constantăDemonstraţie. a) F ′x fx,∀x ∈ I şi

c ∈ R Fx c ′ F ′x c ′ F ′x 0 fx, ∀x ∈ I.b) F1′ x fx,∀x ∈ I şi F2′ x fx,∀x ∈ I F1′ x − F2′ x 0,

∀x ∈ I F1x − F2x ′ 0, ∀x ∈ I ∃ c ∈ R a.î.F1x − F2x c,∀x ∈ I. Ultima implicaţie se bazează pe o consecinţă a Teoremei lui Lagrangeşi utilizează ipoteza ”I este interval”.Propoziţie. Dacă funcţia f : I R admite o primitivă F pe intervalul I,

atunci mulţimea tuturor primitivelor lui f pe I este F c : c ∈ R.Se notează cu fxdx mulţimea primitivelor funcţiei f : I R, numită şi

integrală nedefinită a funcţiei f pe intervalul I. Fiind dată funcţia F : I Rse introduce notaţia F C F c : c ∈ R, unde C este mulţimea funcţiilorconstante pe intervalul I. În concluzie, dacă F este o primitivă pe intervalul I afuncţiei f : I R, atunci

fxdx F CInversând coloanele tabelului cu derivatele funcţiilor elementare se obţine

un tabel cu primitivele unor funcţii elementare.Metodele prin care se calculează primitivele funcţiilor raţionale şi primitive

reductibile la acestea (din funcţii exponenţiale, funcţii trigonometrice, funcţiiiraţionale- în expresia cărora variabila apare sub un radical) sunt prezentate îndetaliu în [4], vol. 1.Folosind proprietăţile integralei Riemann vom demonstra că orice funcţie

continuă pe un interval admite primitive pe acel interval.Formula Leibniz-Newton (Calculul integralei Riemann cu ajutorul

unei primitive)Fie f : a,b R o funcţie integrabilă Riemann care are o primitivă F pe

a,b. Atunci are loc egalitatea

a

b

fxdx Fb − Fa.

Folosim şi notaţia mai concisă Fb − Fa NOT Fx|ab (variaţia lui F de la

a la b).Exemplu. Pentru orice număr natural n avem

a

b

xndx xn1n1 a

b bn1

n1 −an1n1 1

n1 bn1 − an1. În particular,

a

b

xdx 12 b

2 − a2.

Aplicaţie (Lucru mecanic)Lucrul mecanic efectuat de forţa F Fx i pentru deplasarea unui punct

99

de la a la b pe axa Ox este dat de formula

La,b a

b

Fxdx.

Aplicaţie. Forţa necesară pentru a întinde un resort de lungime dată l pânăla o lungime l x, unde x 0, este proporţională cu deformarea x, adicăFx kx. Aici k 0 este o constantă care depinde de resort, numită constantaelastică a resortului. Lucrul mecanic necesar pentru a întinde resortul de la

lungimea l x1 la lungimea l x2, unde x1 x2 este L x1

x2

kx dx k x22 x1

x2 .

Aşadar, L k x1x22 x2 − x1. Se observă că forţa medie necesară pentru aîntinde resortul de la lungimea l x1 la lungimea l x2, adică o forţă constantăcare efectuează lucrul mecanic necesar acestei întinderi, este k x1x22 , adicătocmai media aritmetică dintre Fx1 şi Fx2.

7.2. Criteriul lui DarbouxVom enunţa o condiţie necesară şi suficientă de integrabilitate Riemann, în

care nu intervine valoarea integralei.Fie f : a,b → R o funcţie mărginită. Se consideră o diviziune

Δ a x0 x1 … xk−1 xk … xn b o diviziune a intervaluluia,b şi marginile funcţiei pe fiecare interval cu capetele în două puncteconsecutive de diviziune:

mk : inffx : x ∈ xk−1,xk , Mk : supfx : x ∈ xk−1,xk ; k 1, . . . ,n.

Definiţie. Se numeşte sumă Darboux inferioară ataşată funcţiei f şidiviziunii Δ numărul sΔf : ∑

k1

nmk xk − xk−1.

Se numeşte sumă Darboux superioară ataşată funcţiei f şi diviziunii Δnumărul SΔf : ∑

k1

nMk xk − xk−1.

Pentru o diviziune dată putem ataşa funcţiei f o infinitate de sumeRiemann, dar numai două sume Darboux, sΔf şi SΔf. Pentru orice sistem depuncte intermediare Δ, suma Riemann corespunzătoare este în intervaluldeterminat de sumele Darboux:

sΔf ≤ f;Δ,Δ ≤ SΔf.

Revenim la problema ariei subgraficului. Fie f : a,b → R o funcţiepozitivă. Fiind dată diviziuneaΔ a x0 x1 … xk−1 xk … xn b considerăm, pentruk 1, . . . ,n, dreptunghiul cu baza pe segmentul xk−1,xk al axei Ox şiînălţimea mk (respectivMk. Reuniunea acestor dreptunghiuri formează ofigură ”înscrisă în subgraficul lui f ”(respectiv, ”circumscrisă subgraficului luif”), având aria sΔf (respectiv, SΔf ). Dacă există, aria subgraficului se aflăîn intervalul sΔf, SΔf , pentru orice diviziune Δ.Pe măsură ce adăugăm unei diviziuni noi puncte, suma Darboux inferioară

100

creşte, iar suma Darboux superioară scade, şi astfel intervalul sΔf, SΔf semicşorează. Se arată că intersecţia tuturor acestor intervale este

Δ

sup sΔf,Δ

inf SΔf , iar f este integrabilă Riemann pe a,b dacă şi numai

dacă acest intervalul se reduce la un punct.Teoremă (Criteriul lui Darboux) O funcţie f : a,b R este

integrabilă Riemann pe a,b dacă şi numai dacă f este mărginită şipentru orice 0, există 0 astfel încât oricare ar fi diviziunea Δ cu

‖Δ‖ are loc inegalitatea

SΔf − sΔf .

Pe baza Criteriului lui Darboux se stabilesc următoarele condiţii suficientepentru ca o funcţie reală definită pe un interval compact să fie integrabilăRiemann.Teoremă (Clase de funcţii integrabile Riemann)Fie o funcţie f : a,b R . Atunci f este integrabilă Riemann dacă este

îndeplinită cel puţin una din condiţiile:1) f este continuă;2) f este monotonă ;3) f este mărginită şi mulţimea punctelor sale de discontinuitate este finită

sau numărabilă.7.3. Proprietăţi ale integralei Riemann şi ale funcţiilorintegrabile1. Proprietatea de liniaritate Dacă funcţiile f,g : a,b R sunt integrabile şi

, ∈ R, atunci funcţia f g este integrabilă pe a,b şi

a

b

fx gxdx a

b

fxdx a

b

gxdx.

În particular, a

b

fx gxdx a

b

fxdx a

b

gxdx şi a

b

fxdx a

b

fxdx ,

∀ ∈ R.2. Proprietatea de aditivitate ca funcţie de interval Dacă funcţiaf : a,b R este integrabilă şi c ∈ a,b, atunci f este integrabilă pe a,c şic,b şi are loc egalitatea

a

b

fxdx a

c

fxdx c

b

fxdx.

În particular, dacă funcţia f : a,b R este integrabilă şi c,d ⊂ a,b, atuncif este integrabilă pe c,d (proprietatea de ereditate a integrabilităţii Riemann).

3. Proprietatea de monotonie. Dacă funcţiile f,g : a,b R sunt integrabile şi

fx ≤ gx,∀x ∈ a,b , atunci a

b

fxdx ≤ a

b

gxdx.

4. Proprietatea de ”stabilitate”. Dacă funcţia f : a,b R este integrabilă şidacă modificăm valorile funcţiei într-un număr finit de puncte, atunci funcţia

101

obţinută este integrabilă pe a,b şi are aceeaşi integrală pe a,b ca şi f.5. Teoremă (Majorarea modulului integralei). Dacă funcţia f : a,b R esteintegrabilă, atunci funcţia |f| : a,b R este integrabilă şi

a

b

fxdx ≤ a

b

|fx|dx.

6. Teoremă (Operaţii cu funcţii integrabile) Dacă funcţiile f,g : a,b R suntintegrabile, atunci sunt integrabile pe a,b şi funcţiile: fg, f

g , fg, f(presupunând că ultimele funcţii pot fi definite pe tot intervalul a,b).

7. Formule de medie.Teoremă (Prima formulă de medie). Dacă funcţiile f,g : a,b R suntintegrabile şi gx ≥ 0 , ∀x ∈ a,b, atunci există ∈ m,M, unde m,M suntmarginile funcţiei f, astfel încât

a

b

fxgxdx a

b

gxdx.

Corolar. Dacă funcţia f : a,b R este continuă, iar funcţia g : a,b Reste integrabilă şi gx ≥ 0, ∀x ∈ a,b, atunci există c ∈ a,b astfel încât

a

b

fxgxdx fc a

b

gxdx.

Exemplu. Folosind inegalitatea evidentă 11x2

≤ 1 să se arate că 4.Soluţie. Aplicăm pe intervalul 0,1 proprietatea de monotonie a integralei

şi Observaţia care-i urmează. Obţinem 0

111x2

dx 0

1

1dx

arctg x01 x

01 arctg 1 − arctg 0 1

4 − 0 1 4.Folosind prima formulă de medie putem demonstra că orice funcţie

continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, rezultat cunoscut înmod tradiţional sub denumirea de Teoremă fundamentală a calcululuidiferenţial şi integral.Cunoscând formula Leibniz-Newton, observăm că dacă o funcţie f : I → R

ar admite pe intervalul I o primitivă F, atunci am avea

Fx Fa a

x

ftdt

pentru orice a,x ∈ I. Am notat variabila de integrare cu o altă literă decât x,deoarece x apare ca limită de integrare.Teoremă (de existenţă a primitivelor unei funcţii continue)Fie f : I → R o funcţie continuă . Considerăm un punct oarecare a ∈ I, pe

care-l menţinem fixat şi definim F : I → R prin Fx a

x

ftdt, x ∈ I. Atunci F

este o primitivă pe intervalul I a funcţiei f.

102

7.4. Metode de integrarePentru determinarea primitivelor, ca şi pentru calculul integralelor definite

ale funcţiilor continue se aplică în multe cazuri metoda integrării prin părţi saumetoda schimbării de variabilă. Vom prezenta aceste metode pentru calcululintegralelor definite, indicând adaptările necesare în cazul integralelonedefinite (primitivelor).

Metoda integrării prin părţiAceastă metodă se aplică dacă integrandul este de forma

hx : fx g ′x şi dacă produsul f ′x gx este mai uşor de integrat decâthx.Teoremă ( Formula de integrare prin părţi) Fie f,g : a,b R funcţii

derivabile cu derivate continue. Atunci

a

b

f ′x gxdx fxgx|ab −

a

b

fx g′xdx.

Demonstraţie. Folosind formula de derivare a unui produs,fxgx ′ f ′xgx fxg ′x,∀x ∈ a,b. Funcţiile f ′ g, f g′şi sumalor f g ′ sunt continue pe a,b, deci sunt integrabile Riemann pea,b.Integrăm egalitatea de mai sus pe a,b şi aplicăm formula Leibniz-Newton

pentru membrul stâng. Obţinem a

b

fxgx ′dx a

b

f

′xgxdx a

b

fxg ′xdx, adică fxgx|ab

a

b

f ′xgxdx a

b

fxg ′xdx, de

unde rezultă formula din enunţ. 1. Observaţie. Formula integrării prin părţi pentru integrale nedefinite se scrie subforma f ′xgxdx fxgx − fxg ′xdx, pe un interval pe care f şi g suntderivabile, cu derivate continue (pe scurt, sunt funcţii de clasă C1).Exemple. Calculaţi primitivele şi integralele definite următoare:

1) xex dx ; 2) lnx dx ; 3) 0

1

x arctgx dx; 4) xcosx dx .

Soluţie.Dacă integrandul se scrie sub forma unui produs f1x f2x astfel încât f1 estepolinom, f1x lnx sau f1x arctg x, atunci alegem ”părţile” din membruldrept astfel: gx f1x şi f ′x f2x, cu condiţia să putem determina uşor oprimitivă f a funcţiei f2.1) Alegem gx x, deci f ′x ex. Atunci g′x 1 şi putem lua

fx ex. Aplicăm formula integrării prin părţi sub forma: xex dx xex ′dx xex − x ′exdx xex − exdx xex − ex C, deci

xex dx xex − 1 C.Mai general, pentru orice constantă a ≠ 0,

103

xeaxdx x eaxa

′dx x e

axa − x ′ eaxa dx

x eaxa − eaxa dx x e

axa − e

ax

a2 C e

ax

a2ax − 1 C

2) Alegem gx lnx, deci f ′x 1. Atunci g′x 1x şi putem lua

fx x. lnx dx x ′ lnx

dx x lnx − x 1x dx x lnx − 1dx x lnx − x C xlnx − 1 C.

3) Alegem gx arctgx, deci f ′x x. Atunci g ′x 1x21

şi putem luafx x2

2 .

I NOT 0

1

x arctgx dx 0

1x22

′ arctgx

dx x22 arctgx

0

1− 0

1x22 arctgx ′ dx 1

2 arctg1 −12 0

1x2x21

dx. . Calculăm

o primitivă a funcţiei raţionale x2x21

1 − 1x21

şi aplicăm formula

Leibniz-Newton: 0

1x2x21

dx x − arctgx|01 1 − arctg1 arctg0. Atunci

I 12 arctg1 − 1 arctg1 − arctg0 arctg1 −

12 −

12 arctg0. Dar

arctg0 0 şi arctg1 4 , de unde I

−24 .

4) Alegem gx x, deci f ′x cosx. Atunci g ′x 1 şi putem luafx sinx. xcosx dx xsinx ′

dx x sinx − sinxdx x sinxx sinx − x ′ sinxdx cosx C.Metoda schimbării de variabilă

Teorema (Prima schimbare de variabilă)Fie u : I J o funcţie derivabilă cu derivata continuă şi f : J R o

funcţie continuă. Atunci, pentru orice a,b ∈ I are loc egalitatea

a

b

fux u′xdx ua

ub

fydy.

Observaţie. Practic, pentru a aplica metoda schimbării de variabilăprocedăm în modul următor. Notăm

ux y

(cu alte cuvinte, efectuăm schimbarea de variabilă y : ux). Diferenţiemformal egalitatea de mai sus

u ′xdx dy.

Limitele de integrare date x1 a şi x2 b se înlocuiesc cu limitele deintegrare y1 ua şi y2 ub. Noile limite de integrare se calculează

104

înlocuind pe x cu a, respectiv cu b, în y ux: pentru x a avem y ua şipentru x b avem y ub). Când x variază de la a la b, y ux variază dela ua la ub.

1. În final, efectuăm următoarele transformări: a

b

se schimbă cu ua

ub

, fux cu fy,

iar u ′xdx dy. Regăsim pe cale formală formula de schimbare de variabilă.Observaţie. Pentru integrale nedefinite scriem fux u′xdx Fux C,unde fydy Fy C.Corolar (A doua schimbare de variabilă)Fie u : I → J surjectivă, derivabilă, cu derivata continuă şi nenulă în

fiecare punct din I şi f : J → R o funcţie continuă. Atunci, pentru orice a,b ∈ Iare loc egalitatea

a

b

fuxdx ua

ub

fy u−1 ′y dy.

Observaţie. Practic, pentru a calcula a

b

fuxdx folosind ”a doua

schimbare de variabilă” notăm ux y, apoi exprimăm de aici pe x ca funcţiede y: x u−1y. Diferenţiem formal egalitatea precedentă, de undedx u−1 ′y dy. Limitele de integrare a şi b se înlocuiesc cu limitele deintegrare ua şi ub, la fel ca la prima schimbare de variabilă.Pentru a aplica metoda de mai sus este suficient să verificăm că u este

derivabilă, cu derivata continuă şi nenulă în fiecare punct din a,b, iar f estecontinuă pe intervalul de extremităţi ua şi ub.Exemple. Calculaţi: 1) pxq

ax2bxcdx, unde a, b, c, p, q sunt constante, a ≠ 0

şi b2 − 4ac 0; 2) 0

1 eaxfeaxdx, unde a ≠ 0 este o constantă şi f admite pe

0, o primitivă F; 3) −R

R

R2 − x2 dx, unde R 0 este o constantă.

Soluţie.1) Folosim forma canonică a funcţiei de gradul doi:

ax2 bx c a x b2a

2 −Δ4a2

, unde Δ b2 − 4ac. Cum Δ 0, putemnota d : −Δ

4a2. Se observă că aax2 bx c a2 x b

2a 2 d2 0 pe

R.Caz particular I: Presupunem că px q ax2 bx c ′, adică p 2a şi

q b. Efectuăm schimbarea de variabilă ax2 bx c y. Diferenţiindaceastă egalitate avem 2ax bdx dy. Integrala nedefinită transformată este 1y dy ln|y| C. Atunci 2axb

ax2bxcdx ln|ax2 bx c| C (pe R).

Caz particular II: p 0, q 1.

1ax2 bx c

dx 1a x b

2a 2 d2

dx 1a 1

x b2a

2 d2dx.

105

Notând x b2a y şi diferenţiind dx dy, asociem ultimei integrale

nedefinite de mai sus 1y2d2

dy. 1d arctg

yd C. Atunci

1ax2bxc

dx 1a

1d arctg

1d x

b2a , de unde

1ax2bxc

dx 2−Δarctg 2axb

−Δ C.

Cazul general : Împărţind numărătorul la derivata numitorului avempx q p

2a 2ax b q − pb2a . Atunci

pxqax2bxc

dx p2a ln|ax

2 bx c| q − pb2a

2−Δarctg 2axb

−Δ C.

2) Efectuăm schimbarea de variabilă eax y, de unde obţinem prindiferenţiere aeaxdx dy. Atunci eaxdx 1

a dy. Schimbăm limitele deintegrare: x1 0 y1 1 şi x1 1 y1 ea.0

1 eaxfeaxdx 1

ea 1a fydy 1

a Fy|1ea 1

a Fea − F1.3) Prima schimbare de variabilă se mai poate aplica sub forma

fxdx a

b

fut u′tdt, unde ua şi ub. Practic, notăm

x ut, t ∈ I, diferenţiem: dx u ′tdt şi alegem numerele a,b ∈ I (îngeneral, nu sunt unic determinate) astfel încât ua şi ub.Pentru a transforma R2 − x2 R 1 − xR

2 într-o expresie fără radicali,reamintim că 1 − sin2 |cos|. Efectuăm schimbarea de variabilă

x R sin t,

de unde R2 − x2 R|cos t| şi dx Rcos t dt. Alegem intervalul I în carevariază t astfel încât R sin t să ia toate valorile de la −R la R când t parcurge I,de exemplu I −

2 ,2 . Alegem t1, t2 ∈ I astfel încât −R R sin t1 şi

R R sin t2, adică t1 − 2 , t2

2 .

−R

R

R2 − x2 dx − 2

2

R|cos t| Rcos t dt R2 − 2

2

cos2t dt

R2 − 2

2

1cos2t2

dt R22 t

12 sin2t −

2

2 R2

2 2

12 sin − −

2

12 sin−

R22 .

Observaţie. Deoarece y R2 − x2 , x ∈ −R,R este ecuaţia explicită asemicercului centrat în origine, de rază R, situat în semiplanul y ≥ 0, valoareaintegralei calculate reprezintă jumătate din aria unui disc de rază R. Regăsimformula ariei unui disc A R2, unde R este raza discului.Propoziţie. Dacă a 0 şi f : −a,a → R este integrabilă Riemann, atunci

−a

a

fxdx 0

a

fx f−xdx. În particular:

a) Dacă f este funcţie impară, adică f−x −fx pentru orice x ∈ −a,a,

106

atunci −a

a

fxdx 0;

b) Dacă f este funcţie pară, adică f−x fx pentru orice x ∈ −a,a,

atunci −a

a

fxdx 2 0

a

fxdx.

7.5. Aplicaţii ale integralei RiemannAmintim pe scurt câteva aplicaţii ale integralei Riemann în rezolvarea unor

probleme de analiză, geometrie, mecanică. După cum am arătat la începutulacestui capitol, chiar unele dintre aceste aplicaţii au condus la apariţiacalculului integral. Demonstraţiile formulelor pe care le enunţăm aici pot figăsite, de exemplu, în [1] şi [4], vol. 1.1. Calculul limitelor unor şiruriFie f : a,b → R o funcţie integrabilă Riemann. Atunci

n→lim b−a

n ∑k1

n

fa k b−an a

b

fxdx şin→lim b−a

n ∑k1

n

fa k − 1 b−an a

b

fxdx.

Exemplu. Calculaţin→lim sn, unde sn 1 − 1

2 13 −

14 . . . .

12n−1 −

12n .

Soluţie. Se arată că1 − 1

2 13 −

14 . . . .

12n−1 −

12n 1

n1 1n2 . . .

12n (identitatea lui Botez).

Atunci sn ∑k1

n1nk ∑

k1

n1

n 1 kn 1

n ∑k1

n11 kn

. Pentru k 1,2, . . ,n avem

kn 1

n , 2n , . . . , respectiv nn , care împreună cu 0 formează o diviziune cu

puncte echidistante a intervalului a,b 0,1. Observăm că putem scrie xn

sub forma unei sume Riemann : sn b−an ∑

k1

n

fa k b−an , unde a 0, b 1,

fx 11x . Atunci n→

lim sn 0

111x dx ln1 x|0

1, deci

n→lim 1 − 1

2 13 −

14 . . . .

12n−1 −

12n ln2. De aici mai rezultă

∑n1

−1n1 1n ln2.

2. Aria unei suprafeţe plane mărginite de două graficeFie f,g : a,b → R două funcţii Se consideră suprafaţa plană cuprinsă

între graficele celor două funcţii şi dreptele x a şi x b, identificată cumulţimea

Sf,g x,y ∈ R2 : x ∈ a,b, fx ≤ y ≤ gx sau fx ≤ y ≤ gx .

Dacă f şi g sunt integrabile Riemann, atunci Sf,g are arie şi

ariaSf,g a

b

|fx − gx|dx.

107

În particular, suprafaţei plane Sf cuprinse între graficul unei funcţii integrabile

f : a,b → R şi dreptele x a şi x b este ariaSf a

b

|fx|dx.

Exemplu. Demonstraţi că aria suprafeţei plane mărginită de o elipsă avândlungimile semiaxelor a şi b este Aa,b ab.Alegem ca axe Ox şi Oy axele de simetrie ale elipsei. Ecuaţia implicită a

elipsei date este x2a2 y2

b2 1. De aici explicităm y b

a a2 − x2 , undex ∈ −a,a. Suprafaţa plană mărginită de elipsă este cuprinsă între graficelefuncţiilor f,g : −a,a → R definite prin fx b

a a2 − x2 şigx − ba a2 − x2 (şi dreptele x a, x b). Aplicând formula pentruariaSf,g obţinem

Aa,b 2 ba −a

a

a2 − x2 dx 2 ba a2

2 ab.

Am folosit valoarea calculată anterior a integralei −a

a

a2 − x2 dx, care

reprezintă jumătate din aria unui disc de rază a. În cazul particular a b Relipsa este un cerc de rază R şi calculând AR,R R2 regăsim formula arieiunui disc.3. Volumul unui corp de rotaţie.Rotind în jurul unei axe Ox subgraficul unei funcţii pozitive f : a,b → R

se obţine un corp de rotaţie notat cu Kf, numit corp de rotaţie determinat de f.Identificăm Kf cu mulţimea x,y, z ∈ R3 : x ∈ a,b şi y2 z2 ≤ fx .Se cere volumul corpului Kf, notat cu VKf.Propoziţie. Dacă f : a,b → R este o funcţie continuă şi pozitivă, atunci

corpul de rotaţie determinat de f are volumul

VKf a

b

f2xdx.

Exemplu. Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat defuncţia fx 2ax , x ∈ 0,h (volumul unui paraboloid de rotaţie).

VKf 0

h

2axdx a x2 |0h ah2.

4. Lungimea graficului unei funcţii de clasă C1Fie f : a,b → R şi Gf x,y ∈ R2 : x ∈ a,b şi y fx graficul

său. .Numim lungime a graficului unei funcţii definite pe un interval compact

marginea superioară a lungimilor liniilor poligonale înscrise în acel grafic.Propoziţie. Dacă f : a,b → R este o funcţie de clasă C1 (derivabilă, cu

derivata continuă), atunci lungimea graficului funcţiei este numărul

108

lGf a

b

1 f ′x2dx.

Exemplu. Calculaţi lungimea graficului funcţiei fx ex, x ∈ 0,1.

Soluţie. Avem 1 f ′x2 1 e2x , de unde lGf

0

1

1 e2x dx.

Pentru a calcula integrala precedentă folosim "a doua schimbare de variabilă".Notăm e2x y, de unde x 1

2 lny, unde y 0. Diferenţiind ultima egalitaterezultă dx 1

2y dy. Cum derivata funcţiei ux e2x, x ∈ R, este continuă şi

nu se anulează, este aplicabilă "a doua schimbare de variabilă". Schimbămlimitele de integrare: x1 0 y1 1 şi x2 1 y2 e2. Atunci

0

1

1 e2x dx 1

e2

1 y 12y dy

12 1

e2

1y 1 y dy. Pentru a calcula integrala

precedentă folosim "prima schimbare de variabilă". Pentru a elimina radicalul,notăm y x2 − 1, unde alegem x ≥ 0. Diferenţiind rezultă dy 2xdx.Schimbăm limitele de integrare: pentru y1 1 avem x1 1 y1 2 ,pentru y2 e2 avem x2 1 y2 1 e2 . Atunci

lGf 12

1

e2

1y 1 y dy 1

2 2

1e2

xx2 − 1

2xdx 2

1e2

x2x2 − 1

dx.

Avem de calculat integrala unei funcţii raţionale, folosind metodadescompunerii în fracţii simple.

x2x2−1

1 1x−1x1 1 A

x−1 Bx1 , unde A,B sunt constante. Atunci

x2x2−1

dx x A ln|x − 1| B ln|x 1| C. Se determină constantele A şi B dinidentitatea 1

x−1x1 Ax−1

Bx1 , x ∈ R ∖ 1,−1, echivalentă cu

1 Ax 1 Bx − 1, x ∈ R ∖ 1,−1. Dacă mulţimea punctelor în caredouă polinoame iau valori egale are un număr de elemente mai mare decâtmaximul gradelor acelor polinoame, atunci polinoamele sunt identice. Rezultăcă 1 Ax 1 Bx − 1 pentru orice x ∈ R. Dând ca valori lui x rădăcinilenumitorului x2 − 1 deducem că A 1

2 , B − 12 . În final,

lGf x 12 lnx − 1 −12 lnx 1 2

1e2

1 e2 − 2 12 ln 2 1 1 e2 − 1 2 − 1 1 e2 1

.

5. Aria unei suprafeţe de rotaţie.Prin rotirea în jurul axei Ox, graficul unei funcţii pozitive f : a,b → R

generează o suprafaţă pe care o vom numi suprafaţa de rotaţie determinată de fşi o vom nota cu f . Identificăm f cu mulţimea

109

x,y, z ∈ R3 : x ∈ a,b şi y2 z2 fx .Propoziţie. Dacă f : a,b → R este o funcţie de clasă C1 (derivabilă, cu

derivata continuă), atunci suprafaţa de rotaţie f determinată de f are aria

aria f 2 a

b

fx 1 f ′x2dx.

Exemplu. Calculaţi aria suprafeţei de rotaţie determinate de funcţia cosinushiperbolic fx ch x, x ∈ 0,1.Soluţie. Prin definiţie, funcţiile hiperbolice sunt ch x exe−x

2 (cosinushiperbolic) şi sh x ex−e−x

2 (sinus hiperbolic). Se observă că ch x ′ sh x şish x ′ ch x. Un calcul simplu arată că are loc identitatea (analogă cu relaţiafundamentală a trigonometriei) ch2x − sh2x 1.

Avem 1 f ′x2 1 sh2 x ch x. Atunci aria f 2

0

1

ch2x

dx 2 0

1

e2x e−2x 2 dx 2

12 e

2x − 12 e−2x 2x 0

1, de unde

aria f 4 4 e

2 − e−2.6. Coordonatele centrului de greutate al unei plăci planeO placă plană este un corp material cu grosime neglijabilă, astfel încât va fi

identificată cu o mulţime de puncte din plan. Vom considera deocamdatănumai cazul particular al unei plăci plane cu aceeaşi densitate în toate punctelesale. Presupunem că placa este cuprinsă între graficele a două funcţii şidreptele x a şi x b, fiind identificată cu mulţimeaSf,g x,y ∈ R2 : x ∈ a,b, fx ≤ y ≤ gx . Atunci coordonatelecentrului de greutate G al plăcii omogene Sf,g sunt date de formulele

xG 1ariaSf,g

a

b

xgx − fxdx, yG 1ariaSf,g

a

b

g2x − f2xdx,

unde ariaSf,g a

b

gx − fxdx.

Exemplu. Calculaţi coordonatele centrului de greutate al plăcii omogenemărginite de parabola y2 2px şi dreapta x h, unde p şi h sunt constantestrict pozitive.Soluţie. y2 2px y 2p x , deci a,b 0,1,

fx − 2p x şi gx 2p x . Se observă că g2x − f2x 0pentru orice x, de unde yG 0, deci centrul de greutate al plăcii se află pe Ox.Din punct de vedere fizic, acest rezultat era de aşteptat, datorită faptului căplaca omogenă este simetrică faţă de Ox.

ariaSf,g 0

h

2 2p x dx 2 2p 0

h

x 12 dx 2 2p x

3232 0

h 4

3 h32 2p .

110

Atunci

xG 34 2p

h− 32 0

2

x 2 2p x dx 32 h− 32 0

h

x 32 dx 3

2 h− 32 x

5252 0

h 3

5 h.

Este interesant faptul că abscisa centrului de greutate nu depinde de parametrulp al parabolei.

111

Capitolul 8. Integrale impropriiÎn acest capitol extindem noţiunea de integrală Riemann (integrala unei

funcţii mărginite pe un interval închis şi mărginit) la cazul când intervalul deintegrare este necompact. Vom considera integrale de forma

Ifxdx, în care

fie că funcţia f este mărginită pe intervalul I, dar I nu este mărginit sau I nueste închis, fie că intervalul I este mărginit, dar funcţia f este nemărginită pe I.Necesitatea introducerii unor asemenea integrale (numite integrale

improprii) decurge din problema calculării ariilor unor regiuni planenemărginite, ca şi din studierea unor fenomene fizice pe intervale de timpnemărginite.În definirea şi studierea integralelor improprii se pleacă de la integrala

Riemann, aşa cum în definirea şi studierea seriilor numerice se pleacă de lasume cu un număr finit de termeni. În ambele cazuri intervine un proces detrecere la limită. Există o strânsă analogie între studiul convergenţeiintegralelor improprii şi studiul convergenţei seriilor, mai ales în ceea cepriveşte criteriile de convergenţă.

8.1. Definiţii ale integralelor improprii de prima speţă şi de adoua speţăIntegrale improprii cu limite de integrare infinite

Aceste integralele improprii pot avea una din formele a

fxdx, −

b

fxdx

sau −

fxdx, unde a,b ∈ R şi se mai numesc integrale improprii de speţa I.

ProblemăSă se calculeze aria subgraficului funcţiei fx 1

x, x ∈ 1,, unde

0 este un număr dat.Subgraficul funcţiei f se identifică cu

Sf x,y ∈ R2 : x ∈ 1, şi 0 ≤ y ≤ fx .Notăm cu St mulţimea de puncte din plan mărginită de graficul lui f, axa

Ox şi dreptele x 1, x t. Ştim că ariaSt 1

t

fxdx şi observăm că,

datorită faptului că f este pozitivă, această arie creşte odată cu t. Există atuncilimt→ariaSt

t≥1sup ariaSt ∈ 0, .

Este natural să considerăm că ariaSfDEF lim

t→ariaSt şi

1

fxdx DEF ariaSf. Astfel am defini

1

fxdx DEF limt→1

t

fxdx.

112

Pentru ≠ 1 calculăm

1

t

fxdx 1

t1x dx

1

t

x−dx x−1−1 1

t 1

1− t1− − 1. Atunci:

1

fxdx limt→

11− t

1− − 1 11− lim

t→t1− − 1 , de unde

1

fxdx 1−1 , dacă 1

, dacă ∈ 0,1. Pentru 1 calculăm

1

t

fxdx 1

t1x dx lnx|1t ln t − ln1 ln t, de unde

1

fxdx limt→ln t

.Definiţii

Definiţie. Fie f : a, R o funcţie integrabilă pe a, t pentru orice

număr real t a. Dacă există limita limt→a

t

fxdx (finită sau infinită), atunci se

defineşte integrala improprie a funcţiei f pe intervalul a, prin

a

fxdx DEF limt→a

t

fxdx.

Dacă limita de mai sus este finită se spune că integrala a

fxdx este

convergentă. Dacă limita de mai sus este infinită sau nu există se spune că

integrala a

fxdx este divergentă.

Dacă limita limt→a

t

fxdx nu există, atunci integrala a

fxdx nu are sens. De

exemplu, 0

cosx dx nu are sens, deoarece limt→0

t

cosx dx limt→sin t nu există.

Observaţie. Condiţia ca funcţia f : a, R să fie integrabilă pe a,bpentru orice număr real b a este îndeplinită dacă f este continuă.Analog se definesc integralele improprii :

−

b

fxdx DEF limt→−t

b

fxdx, unde funcţia f : −,b R este integrabilă pe

t,b,∀t b, iar limita limt→−t

b

fxdx există.

−

fxdx DEFa→−

limb→a

b

fxdx, unde funcţia f : R R o funcţie integrabilă pe

orice interval a,b, iar limitaa→−

limb→a

b

fxdx există.

Dacă există c ∈ R astfel încât integralele improprii −

c

fxdx şi c

fxdx

113

sunt convergente, atunci pentru oricare c ∈ R aceste integrale sunt definite şiputem scrie

−

fxdx −

c

fxdx c

fxdx.

Calculul integralelor improprii de speţa I (Consecinţă a definiţiei)Dacă f admite o primitivă F pe intervalul de definiţie, putem scrie:

1) a

fxdx limt→Fx|a

t limt→

Ft − Fa NOT Fx|a, dacă primitiva F

are limită la ;

2) −

b

fxdx limt→−t

b

fxdx limt→−Fx|t

b Fb − limt→−

Ft NOT Fx|−b ,

dacă primitiva F are limită la −;

3) −

fxdx a→−

limb→a

b

fxdx a→−

limb→

Fx|ab

a→−

limb→

Fb − Fa

limb→Fb − lima→−Fa Fx|−

, dacă primitiva F are limite la − şi la, iar cel puţin una dintre aceste limite este finită. Formal, se aplică şi înaceste cazuri formula Leibniz-Newton.Exemple. Calculaţi pe baza definiţiei (sau a consecinţei definiţiei)

următoarele integrale:

1) 0

ecxdx, unde c ∈ R; 2) −

b1

x24x13dx; 3)

0

xe−xdx.

Soluţie. 1) O primitivă a funcţiei fx ecx este Fx 1c ecx dacă c ≠ 0,

respectiv Fx x dacă c 0. Pentru c 0 avem 0

1dx x|0 .

Presupunem c ≠ 0. Atunci

0

ecxdx 1c ecx |0

1c limx→e

cx − 1 , dacă c 0− 1c , dacă c 0

.

Se observă că integrala improprie 0

ecxdx este convergentă dacă şi numai

dacă c 0.2) Funcţia fx 1

x24x13este definită şi continuă pe R, deoarece

x2 4x 13 nu are rădăcini reale. Calculăm o primitivă pe R a funcţiei f.x2 4x 13 x 22 32 1

x24x13dx 1

x2232dx NOT Fx C.

Efectuăm substituţia x 2 y, de unde dx dy. Integrala nedefinitătransformată este 1

y232dx NOT 1

3 arctgy3 C. Putem lua Fx 1

3 arctgx23 .

Atunci

−

b1

x24x13dx 1

3 arctgx23 −

b 13 arctg x23 −

b 13 arctg b23 − limx→−arctg

x23

limx→−arctgx23 lim

t→−arctgt

2 .3) Folosind metoda integrării prin părţi:

114

xe−xdx x−e−x ′dx x−e−x − x ′−e−xdx −xe−x e−xdx −xe−x − e−x

Atunci 0

xe−xdx limt→0

t

xe−xdx limt→

−e−xx 1|0t lim

t→1 − e−tt 1

limt→

1 − t1et 1.

Integrale improprii cu limite de integrare finite şi funcţii de integratnemărginite

Aceste integralele improprii pot avea una din formele a0

b

fxdx, a

b−0

fxdx

sau a0

b−0

fxdx, unde a,b ∈ R şi se mai numesc integrale improprii de speţa a

doua. Semnificaţia modului cum sunt scrise limitele de integrare esteurmătoarea: funcţia f este definită pe a,b în primul caz, pe a,b în al doileacaz şi pe a,b în al treilea caz. Toate cele trei tipuri de integrale improprii de

speţa a doua se notează mai simplu ca a

b

fxdx, tipul rezultând din intervalul de

definiţie al funcţiei de integrat.Problemă

Să se calculeze aria subgraficului funcţiei fx 1x, x ∈ 0,1, unde

0 este un număr dat.Aici subgraficul funcţiei f se identifică cu mulţimea

Sf x,y ∈ R2 : x ∈ 0,1 şi 0 ≤ y ≤ fx .Notăm cu St mulţimea de puncte din plan mărginită de graficul lui f, axa

Ox şi dreptele x t, x 1. ariaSt t

1

fxdx creşte când t scade către 0,

datorită faptului că f este pozitivă . Atunci existălimt→0t0

ariaSt t∈0,1sup ariaSt ∈ 0, .

Este natural să considerăm că ariaSfDEF lim

t→0t0

ariaSt şi

00

1

fxdx DEF ariaSf. Astfel am defini

00

fxdx DEF limt→0t0

t

1

fxdx .

Pentru ≠ 1 calculăm

t

1

fxdx t

11x dx

t

1

x−dx x−1−1 t

1 1

1− 1 − t1−. Atunci:

115

00

1

fxdx limt→0t0

11− 1 − t

1− 11− 1 − limt→0

t0

t1−, de unde

1

fxdx , dacă 1 (integrala este convergentă)11− , dacă ∈ 0,1 (integrala este divergentă)

.

Pentru 1 calculăm t

1

fxdx t

11x dx lnx|t1 ln1 − ln t − ln t, de

unde 00

1

fxdx limt→0t0

− ln t (integrala este divergentă).

DefiniţiiDefiniţie. Fie f : a,b R o funcţie integrabilă pe t,b pentru orice

t ∈ a,b. Dacă există limita limt→ata

t

b

fxdx (finită sau infinită), atunci se

defineşte integrala improprie a funcţiei f pe intervalul a,b prin

a0

b

fxdx DEF limt→ata

t

b

fxdx.

Dacă limita de mai sus este finită se spune că integrala a0

b

fxdx este

convergentă. Dacă limita de mai sus este infinită sau nu există se spune că

integrala a0

b

fxdx este divergentă.

Analog se definesc integralele improprii:

a

b−0

fxdx DEF limt→btb

a

t

fxdx, unde funcţia f : a,b R este integrabilă pe

a, t,∀t ∈ a,b, iar limita limt→btb

a

t

fxdx există.

a0

b−0

fxdx DEFv↗b

limt↘at

v

fxdx, unde funcţia f : R R o funcţie integrabilă pe

orice interval compact t,v ⊂ a,b, iar limitav↗b

limt↘at

v

fxdx există.

Calculul integralelor improprii de speţa a II-a (Consecinţă a definiţiei)Dacă f admite o primitivă F pe intervalul său de definiţie, putem scrie:

1) a0

b

fxdx limt→ata

Fx|tb Fb − lim

t→ata

Ft, dacă primitiva F are limită la

dreapta în punctul a;

116

2) a

b−0

fxdx limt→btb

a

t

fxdx limt→btb

Fx|at lim

t→btb

Ft − Fb, dacă primitiva

F are limită la stânga în punctul b;3)

a0

b−0

fxdx v↗b

limt↘at

v

fxdx v↗b

limt↘a

Fx|tv

v↗b

limt↘a

Fv − Ft limv→bvb

Fv − limt→ata

Ft ,

dacă primitiva F are limită la stânga în punctul b şi limită la dreapta în punctula, iar cel puţin una dintre aceste limite este finită.

Exemple. Calculaţi pe baza definiţiei: 1) 0

41x dx; 2)

a

b1

x−adx ; 3)

a

b1

b−xdx , unde ∈ R; 4)

0

1

lnx dx.

Soluţie.1) fx 1

x , x ∈ 0,4. Avem limx→0x0

1x . Integrala de calculat se scrie

mai explicit ca 00

41x dx

00

41x dx limt→0

t0

t

41x dx limt→0

t0

x−1/21− 12 1 t

4 lim

t→0t0

2 x |t4 2 2 − lim

t→0t0

t 4.

2) a0

b1

x−adx lim

t→ata

t

b1

x−adx lim

t→ata

t

b

x − a−dx limt→ata

x−a−1−1 t

b

11− limt→a

ta

b − a1− − t − a1− 11− b − a

1−, dacă 1

, dacă 1Dacă 1,

a0

b1

x − adx

a0

b1x − a dx limt→a

ta

t

b1x − a dx

limt→ata

lnx − a| tb lim

t→ata

lnb − a − lnt − a .

3) a

b−01

b−xdx lim

t→btb

a

t1

b−xdx lim

t→btb

a

t

b − x−dx limt→btb

b−x−1−1 a

t

1−1 limt→b

tb

b − t1− − b − a1− 11− b − a

1−, dacă 1

, dacă 1.

Dacă 1,

117

a

b−01

b − xdx

a

b−01b − x dx limt→b

tb

a

t1b − x dx

limt→btb

− lnb − x|at − lim

t→ata

lnb − t − lnb − a .

4) fx lnx, x ∈ 0,1. Avem limx→0x0

lnx −. Integrala de calculat

este 00

1

lnxdx limt→0t0

t

1

lnx dx. Dar

t

1

lnxdx t

1

x ′ lnxdx x lnx|t1 − t

1

xlnx ′dx −t ln t − t

1

x 1x dx

−t ln t − x|t1 t1 − ln t − 1.

Limita limt→0t0

t1 − ln t este de tip 0 . Scriem limt→0t0

t1 − ln t

limt→0t0

1−ln t1t

limt→0t0

− 1t− 1t2

limt→0t0

t 0, de unde 00

1

lnx dx −1.

Observăm că aria mulţimii mărginite de graficul funcţiei de mai sus şi

axele Ox şi Oy este egală cu − 00

1

lnxdx 1. Această mulţime este

simetrica faţă de origine a subgraficului funcţiei gx ex, x ∈ −, 0., iar

subgraficul respectiv are aria egală cu −

0

exdx ex |−0 1 −x→−lim ex 1.

8.2. Proprietăţi generale ale integralelor impropriiÎn ceea ce urmează tratăm în mod unitar integralele improprii pe intervale

nemărginite, respectiv mărginite. Vom considera un interval I ⊂ R de formaI a,b sau I a,b , unde a,b ∈ R −, . Fie funcţia f : I → R,integrabilă pe orice subinterval compact al lui I. Se consideră integralaRiemann Rt a lui f pe un interval variabil a, t ⊂ I , respectiv t,b ⊂ I.Valoarea integralei improprii

Ifxdx a funcţiei f pe intervalul I este valoarea

limitei

tbt→blim Rt, respectiv

tat→alim Rt, dacă limita există. Integrala Rt joacă

rolul sumei parţiale sn a unei serii∑n1

an, iar valoarea integralei improprii

joacă rolul sumei seriei. O integrală improprie este convergentă dacă şi numaidacă limita care o defineşte este finită.Definiţie. Spunem că integrala improprie

Ifxdx este absolut convergentă

118

dacă integrala improprie I|fx|dx este convergentă.

Pe baza Criteriului Cauchy-Bolzano de la limite de funcţii se demonstreazăurmătoarea condiţie necesară şi suficientă de convergenţă a integralelorimproprii, analogă criteriului lui Cauchy pentru serii de numere reale.Teorema (Criteriul Cauchy-Bolzano pentru integrale improprii). Fie

I a,b (respectiv, I a,b) şi f : I → R integrabilă pe orice intervalcompact conţinut în I. Integrala

Ifxdx este convergentă dacă şi numai dacă

pentru orice 0 există c ∈ I astfel încât pentru orice x ′, x ′′ ∈ c,b

(respectiv, x′, x ′′ ∈ a,c) are loc inegalitatea x′

x′′

fxdx .

Corolar. Orice integrală improprie absolut convergentă este convergentă.Observaţie. Există integrale improprii care sunt convergente fără a fi

absolut convergente, de exemplu 0

sinxx dx.

Teorema (Formula de integrare prin părţi) Fie I a,b (respectiv,I a,b), a,b ∈ R −, şi f, g : I → R funcţii derivabile, cu derivatacontinuă . Presupunem că există şi este finită limita

xbx→blim fxgx (respectiv,

xax→alim fxgx). Dacă una din integralele

If ′xgxdx ,

If xg′xdx este

convergentă, atunci şi cealaltă este convergentă şi

I

f ′xgxdx

xbx→blim fxgx − faga −

I

f xg′xdx,

(respectiv, I

f ′xgxdx fbgb −xax→alim fxgx −

I

f xg′xdx).

Teorema (Formula de schimbare de variabilă) Fie I a,b şif : I → R o funcţie continuă . Fie J , şi u : J → I o funcţie strictcrescătoare, derivabilă, cu derivata continuă, cu u a şi

tt→lim ut b.

Dacă una din integralele If xdx ,

Jf utu ′tdt este convergentă, atunci şi

cealaltă este convergentă şi cele două integrale sunt egale.Teorema de mai sus se transpune la intervale deschise în stânga şi închise

în dreapta.8.3. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii

Pentru anumite integrale improprii nu putem afla cu uşurinţă o primitivă afuncţiei de integrat. În asemenea cazuri se pune problema de a stabili naturaintegralei improprii (convergentă sau divergentă) în mod indirect, fără a maiîncerca să calculăm valoarea integralei. Vom prezenta câteva condiţii

119

suficiente pentru ca o integrală improprie să fie convergentă, respectivdivergentă. În cele ce urmează vom considera intervale de integrare de formaI a,b, unde − a b ≤ . Toate rezultatele se transpun uşor laintervale de forma a,b, cu − ≤ a b , precum şi la intervale deschisea,b, unde − ≤ a b ≤ . Criteriile de convergenţă pentru integraleimproprii sunt analoge criteriilor de convergenţă pentru serii, de altfel pot fideduse cu ajutorul acestora (vezi [Puiu]).Cazul când funcţia de integrat păstrează acelaşi semn este mult mai simplu

decât cel în care funcţia de integrat are semn variabil. Având o funcţief : a,b → 0, integrabilă pe orice subinterval compact al lui I : a,b,

funcţia F : a,b → R definită prin Ft a

t

fxdx este crescătoare, în

consecinţă are limită în punctul b, adică există If xdx

tbt→blim Ft. Limita în

punctul b a unei funcţii crescătoare F : a,b → R există şi este

tbt→blim Ft supFt : t ∈ a,b, deci este finită dacă F este majorată,

respectiv este dacă F este nemajorată.Teoremă (Condiţie necesară şi suficientă de integrabilitate pentru o

funcţie pozitivă)Fie I a,b şi f : I → 0, o funcţie integrabilă pe orice subinterval

compact al lui I. Atunci integrala If xdx este convergentă dacă şi numai

dacă funcţia F : I → R definită prin Ft a

t

fxdx este mărginită superior.

Integrala unei funcţii negative există dacă şi numai dacă integrala opuseiacelei funcţii există, iar în cazul în care există, valorile celor două integralesunt opuse.Pentru a stabili natura integralei improprii a unei funcţii pozitive se

compară funcţia de integrat cu o funcţie pozitivă a cărei integrală pe intervaluldat se cunoaşte.Teoremă (Criteriul comparaţiei cu inegalităţi)Fie I a,b şi f,g : I → 0, funcţii integrabile pe orice subinterval

compact al lui I. Presupunem că 0 ≤ fx ≤ gx pentru orice x ∈ I. În acestecondiţii:a) Dacă

Igxdx este convergentă, atunci

If xdx este convergentă;

b) Dacă Igxdx este divergentă, atunci

If xdx este divergentă.

Teoremă (Criteriul comparaţiei cu limită)Fie I a,b şi f,g : I → 0, funcţii integrabile pe orice subinterval

compact al lui I. Presupunem există limita L :

xbx→blim fx

gx . În aceste condiţii:

a) Dacă L este un număr strict pozitiv, atunci integralele If xdx şi

120

Igxdx au aceeaşi natură;

b) Dacă L 0 şi integrala Igxdx este convergentă, atunci

If xdx este

convergentă;c) Dacă L şi integrala

Igxdx este divergentă, atunci

If xdx este

divergentă.Prezentăm aplicaţii ale Criteriului de comparaţie cu limită, foarte eficiente

în rezolvarea problemelor, bazate pe compararea funcţiei de integrat cu ofuncţie putere.Teoremă (Criteriul cu puteri, pentru integrale pe intervale

nemărginite). Fie I a, şi f : I → 0, o funcţie integrabilă pe oricesubinterval compact al lui I. Presupunem că pentru un număr real există înR limita

L :x→lim xfx.

Dacă 1 şi limita L este finită, atunci integrala If xdx este convergentă.

Dacă ≤ 1 şi L ≠ 0, atunci integrala If xdx este divergentă.

Teorema (Criteriul cu puteri, pentru integrale pe intervale mărginite).Fie I a,b (respectiv, I a,b )şi f : I → 0, o funcţie integrabilă peorice subinterval compact al lui I. Presupunem că pentru un număr real există în R limita

L :

xbx→blim b − xfx,

(respectiv,

L :xax→alim x − afx).

Dacă 1 şi limita L este finită, atunci integrala If xdx este convergentă.

Dacă ≥ 1 şi L ≠ 0, atunci integrala If xdx este divergentă.

Exemple. Stabiliţi pentru fiecare din integralele următoare dacă esteconvergentă sau divergentă.

1) a

PxQx dx, unde P,Q sunt polinoame, a ∈ R; 2)

0

e−x2dx; 3)

0

e−x cosx dx, 0

e−x sinx dx, unde 0; 4) 1

e−xxp−1 dx, unde p 0.

Soluţie. Aplicăm Criteriul cu puteri corespunzător intervalului deintegrare, nemărginit sau mărginit.

121

1) Notăm gradele celor două polinoame: p : gradP, q : gradQ. Pentruorice număr real avem

L :x→lim x PxQx

0, dacă p q, dacă p qapbq, dacă p q

,

unde am notat cu ap , bq coeficientul dominant al polinomului P, respectiv Q.Pentru q − p ≥ 2, considerăm ∈ 1,q − p şi deducem că integrala dată esteconvergentă. Pentru q − p ≤ 1, considerăm 1 şi deducem că integrala datăeste divergentă.

Analog se demonstrează că integrala −

aPxQx dx este convergentă dacă şi

numai dacă q − p ≥ 2.2) Dacă 0, atunci

x→lim xe−x2

x→lim x

ex2y→lim y

2

ey 0. În particular,

luând 1 deducem că integrala 0

e−x2dx este convergentă.

Metoda a II-a. Integrala c

e−xdx, unde 0 şi c ∈ R, este convergentă.

Observăm comparaţia

e−x2 ≤ e−x, dacă x ≥ 1.

Din convergenţa integralei 1

e−xdx rezultă, conform Criteriului comparaţiei cu

inegalităţi, că integrala 1

e−x2dx este convergentă. Dar 0

e−x2dx 0

1

e−x2dx

1

e−x2dx.

3) Utilizăm inegalităţile: |e−x cosx| ≤ e−x şi |e−x sinx| ≤ e−x , pentru

orice x ∈ R. Având 0, integrala 0

e−xdx este convergentă. Criteriul

comparaţiei cu inegalităţi arată că sunt convergente şi 0

|e−x cosx| dx,

0

|e−x sinx| dx. Aceasta înseamnă că integralele date sunt absolut

convergente, în particular sunt convergente.4) Fie fx e−xxp−1, x 0. Avem

x→lim xfx

x→lim xp−1e−x. Dacă

122

1 − p, limita precedentă este de tip 0:x→lim xfx

x→lim xp−1

ex 0. Înparticular, luând 1 1 − p, Criteriul cu puteri pentru intervale nemărginitearată că integrala dată este convergentă.

Să considerăm şi integrala 0

1

e−xxp−1 dx, unde 0 p 1 (dacă p ≥ 1

aceasta este o integrală Riemann, nu este improprie). Avem

x0x→0lim xfx

x0x→0lim xp−1e−x 0 pentru ∈ 1 − , 1 . Criteriul cu puteri pentru

intervale mărginite arată că integrala 0

1

e−xxp−1 dx este convergentă pentru orice

p ∈ 0,1.

În concluzie integrala Γp : 0

e−xxp−1 dx (numită integrala lui Euler de

speţa a doua), este convergentă pentru orice p 0.Folosind integrarea prin părţi se demonstrează relaţia de recurenţă

Γp 1 pΓp, pentru orice p 0.

Prin inducţie după n se arată că Γn 1 n!, pentru orice număr natural n.8.4. Aplicaţii. Transformata Laplace a unei funcţii original

Ca aplicaţie la studiul integralelor improprii, prezentăm succint câtevachestiuni introductive referitoare la transformata Laplace. Această noţiune arenumeroase aplicaţii în electotehnică şi teoria sistemelor, prin intermediulaşa-numitului calcul operaţional. Pentru o tratare detaliată a transformăriiLaplace şi calculului operaţional trimitem la [10].Definiţie. O funcţie f : R R se numeşte funcţie original dacă f satisface

următoarele condiţii:(O1) ft 0,∀t 0;(O2) f este derivabilă pe porţiuni;(O3) ∃M 0, s0 ≥ 0 a.î. |ft| ≤ Mes0t,∀t ≥ 0.Numărul s0 de mai sus se numeşte indice de creştere al funcţiei f.Cel mai simplu exemplu de funcţie original este funcţia treaptă unitate,

: R →R cu t 0 pentru t 0 şi t 1 pentru t 0, unde valoarea0 se alege convenabil. Funcţii original sunt şi produsele dintre treaptaunitate şi următoarele funcţii: eat (unde a ∈ R), tn (unde n ∈ N), funcţiilemărginite şi derivabile pe R ( în particular cost şi sint) . Se arată că suma şiprodusul a două funcţii original sunt de asemenea funcţii original.Definiţie. Transformata Laplace a unei funcţii original f, notată

Lft Fp este funcţia definită prin Fp 0

fte−ptdt, unde p s0.

Observaţie.

0

|fte−pt |dt 0

≤Mes0t|ft| e−ptdt ≤ M

0

es0−ptdt M es0−pts0−p 0

123

Ms0−p

0

limt→e 0

s0−pt

−1 Mp−s0

0

|fte−pt |dt integrala

0

fte−ptdt din definiţia transformatei Laplace este convergentă.

Exemple.1) Transformata Laplace a funcţiei ft et este

Let 1p − ,

unde p . Avem

Fp 0

et e−ptdt 0

e−ptdt e−pt−p 0

1

−p limt→e−pt − 1 .

Dacăp − p 0 lim

t→e−pt limx→ e

x 0 Fp − 1−p 1

p− .2) Transformata Laplace a funcţiei fnt tnet n ∈ N este

Ltnet n!p − n1

,

unde p . Notăm Fnp Ltnet p. Am calculat mai sus F0p 1p− .

Fnp 0

tne−ptdt 0

tn e−pt−p

′dt tn e−pt−p 0

− 0

tn ′ e−pt−p dt

(am aplicat formula de integrare prin părţi). Darlimt→tne−pt lim

t→tn

ep−t 0 (deoarece p − 0) şi

limt→0tne−pt 0 1 0, deci tn e−pt−p 0

0. Atunci

Fnp np−

0

tn−1e−ptdt Fnp np− Fn−1p n ≥ 1

(relaţie de recurenţă). Rezultă:Fnp n

p− n−1p− 2

p− 1p− F0p n!

p−0

1p−

F0p n!p−n1

.

3) Transformatele Laplace ale funcţiilor ft et cost şi gt et sintsunt

Let cost p − p − 2 2

; Let sint p − 2 2

,

unde p .Notăm transformatele Laplace Fp Let cost, Gp Let sint.

Avem Fp 0

e−pt costdt, Gp 0

e−pt sintdt. Folosind Criteriul

comparaţiei cu inegalităţi se arată că integralele de mai sus sunt convergentepentru orice p .Vom folosi formula lui Euler

124

exiy excosy i siny.

Atunci Fp iGp 0

e−ptcost i sintdt 0

e−pitdt

T→lim

0

T

e−pitdt.

Se demonstrează că regula de derivare ect ′ cect, unde c este oconstantă, rămâne valabilă în cazul când c este număr complex. Atunci ectc ,unde c ≠ 0 este număr complex, este o primitivă pe R a funcţiei ect.Menţionăm că derivata unei funcţii cu valori complexe ut ivt se face pecomponente: ut ivt ′ u′t i v ′t, dacă derivatele din membrul dreptexistă şi sunt finite. Formula Leibniz-Newton se transpune şi ea la funcţii cuvalori complexe.

0

T

e−pitdt e−pit − p i 0

T 1 − p i e

−piT − 1.

Dar |e−piT | e−pT |cost i sint| e−pT → 0, pentru T → ,deoarece − p 0. Rezultă că

T→lim e−piT 0, în mulţimea numerelor

complexe. Atunci

Fp iGp T→lim 1

− p i e−piT − 1 1

p − − i ,

de unde, amplificând fracţia de mai sus cu conjugatul numitorului şiidentificând părţile reale, respectiv imaginare, obţinem rezultatele menţionate.

125

Capitolul 9. Integrale curbiliniiIntegralele curbilinii sunt necesare când ”însumăm” valorile unei mărimi

distribuite de-a lungul unei curbe. Integrale curbilinii intervin în calculul unormărimi fizice cum sunt: lucrul mecanic efectuat de o forţă asupra unui punctmaterial a cărui traiectorie se cunoaşte, tensiunea electromotoare într-un circuitplasat într-un câmp electric dat, masa unui fir neomogen, coordonatelecentrului de greutate al unui fir .Integralele curbilinii sunt de două tipuri:-integrale curbilinii de prima speţă, de forma

Γ

fx,y, zds;

-integrale curbilinii de a doua speţă, de formaΓ

Px,y, zdx Qx,y, zdy Rx,y, zdz.

9.1. Noţiunea de curbăTraiectoria unei mişcări, un circuit electric, un fir material se reprezintă

geometric printr-o curbă din spaţiul tridimensional. În studiul mişcării unuipunct material nu ne interesează doar mulţimea poziţiilor punctului material (omulţime de puncte din spaţiul tridimensional, identificat cu R3) ci şi modul încare aceste poziţii se succed în timp, descris prin ecuaţiile de mişcare. Îngeometrie ecuaţiile de mişcare ale unui punct material sunt numite ecuaţiiparametrice ale traiectoriei mişcării.

DrumuriConsiderăm un arc de curbă Γ descris prin ecuaţii parametrice

Γ :x fty gtz ht

, t ∈ a,b,

unde funcţiile f,g,h : a,b → R sunt presupuse continue.Dacă parametrul t reprezintă variabila timp relaţiile de mai sus pot fi

interpretate ca ecuaţii de mişcare ale unui punct material. Vectorul de poziţieal punctului la momentul t este r t f t i gt j htk . Punctul Mt decoordonate ft,gt,ht este ”poziţia la momentul t”. Fie A : Ma şiB : Mb poziţia la momentul iniţial t a, respectiv la momentul final t b.Atunci A se numeşte punct iniţial al arcului Γ, iar B se numeşte punct final alarcului Γ; punctele A şi B sunt extremităţile arcului Γ şi notăm Γ AB.Definiţie. Numim drum în spaţiu o funcţie continuă : a,b → R3,

t ft,gt,ht.Observaţie. Dacă h ≡ 0 atunci funcţia continuă : a,b → R3,

t ft,gt, 0 se numeşte drum în planul xOy.Un drum în plan este o funcţie continuă : a,b → R2, t ft,gt

şi, conform observaţiei de mai sus, poate fi considerat un caz particular dedrum în spaţiu.

126

Exemple.1) Ecuaţii parametrice ale unui segment AB, unde Ax1,y1, z1 şi

Bx2,y2, z2 :

AB :x x1 tx2 − x1y y1 ty2 − y1z z1 tz2 − z1

, t ∈ 0,1.

2) Ecuaţii parametrice ale unui cerc CM0,R de centru M0x0,y0 şi razăR 0 (situat în planul xOy):

CM0,R :x x0 Rcost y y0 R sint

, t ∈ 0, 2 .

Acestea sunt ecuaţiile unei mişcări circulare uniforme, cu viteza unghiulară şi cu faza iniţială . În mişcarea descrisă de aceste ecuaţii cercul CM0,Reste parcurs o singură dată, în sens trigonometric (sensul invers celui almişcării acelor de ceasornic).În problemele de geometrie şi de analiză matematică este suficient să

considerăm cazul particular 1, 0.3) Ecuaţii parametrice ale unei elipse E cu axele de simetrie Ox şi Oy, cu

lungimile semiaxelor a,b 0:

E :x acos ty b sin t

, t ∈ 0,2.

4) Ecuaţii parametrice ale unei ramuri H1 a hiperbolei H, undeH : x2

a2− y2

b2 1, situate în semiplanul x,y : x 0:

H1 :x a chty b sht

, t ∈ R.

Acest fapt justifică denumirea de funcţii hiperbolice dată funcţiilor cht ete−t2

(cosinus hiperbolic) şi sht et−e−t2 (sinus hiperbolic).

5) Ecuaţii parametrice ale unei spire de elice circulară:

x Rcosty R sintz ht

, t ∈ 0, 2 .

Operaţii cu drumuri. Tipuri de drumuriSă considerăm două puncte care se deplasează în sensuri opuse pe acelaşi

arc AB, pe care îl parcurg în acelaşi interval de timp a,b astfel încât poziţiaocupată de un punct la momentul t va fi ocupată de celălalt la momentula b − t. Ajungem la noţiunea de opus al unui drum.

127

Definiţie. Se numeşte opus al drumului : a,b → R3 drumul− : a,b → R3 definit prin −t a b − t, t ∈ a,b.În aplicaţii, dacă arcul parametrizat AB este definit de drumul , atunci

notăm cu BA arcul parametrizat definit de drumul opus −, iar AB şi BA senumesc arce parametrizate opuse.Două drumuri se pot identifica, din punctul de vedere al proprietăţilor

studiate în Analiza matematică, dacă unul se obţine din celălalt printr-oschimbare de parametru dată de o funcţie continuă şi strict crescătoare.Definiţie. Două drumuri 1 : a1,b1 → R3 şi 2 : a2,b2 → R3 se

numesc echivalente (şi notăm 1 2) dacă există o funcţie continuă şi strictcrescătoare h : a1,b1 → a2,b2 cu ha1 a2 şi hb1 b2, astfel încât1t 2ht pentru orice t ∈ a1,b1 .Relaţia definită mai sus pe mulţimea drumurilor din spaţiu este o

veritabilă relaţie de echivalenţă (reflexivă, simetrică şi tranzitivă). Toatedrumurile echivalente cu un drum dat formează clasa de echivalenţă adrumului , numită curba cu reprezentarea parametrică .Având arcele AB şi BC, parametrizate de drumurile 1 : a,b → R3,

respectiv 2 : b,c → R3, vom parametriza arcul AB BC considerânddrumul : a,c → R3 definit prin t 1t dacă t ∈ a,b şi t 2tdacă t ∈ b,c; arcul AB BC parametrizat astfel se numeşte juxtapunereaarcelor AB şi BC.Definiţie. Un drum : a,b → R3 se numeşte închis dacă extremităţile

sale coincid.Definiţie. Un drum : a,b → R3 se numeşte simplu neînchis dacă este

injectiv şi simplu închis când t1 t2, a ≤ t1 t2 ≤ b t1 a şit2 b.Orice drum echivalent cu un drum simplu închis (respectiv, neînchis) este

şi el simplu închis (respectiv, neînchis). O mulţime de drumuri echivalente cuun drum simplu închis (respectiv, neînchis) se numeşte curbă simplă închisă(respectiv, arc simplu).Pe imaginea unui drum simplu (închis sau neînchis) putem stabili două

sensuri de parcurs (două orientări). Sensul de parcurs pe un arc simplu sedetermină precizând punctul iniţial şi punctul final al arcului parametrizat (sedemonstrează că orice două drumuri simple neînchise cu aceeaşi imagine,având acelaşi punct iniţial şi acelaşi punct final, sunt echivalente). Astfel,sensurile de parcurs pe un arc simplu de extremităţi A şi B corespund arcelorparametrizate AB şi BA . Pe o curbă simplă închisă sensul de parcurs indus deun drum poate fi determinat precizând ordinea de trecere prin trei punctedistincte arbitrare ale curbei. Sensul de parcurs pe o curbă simplă închisă dinplanul xOy poate fi sens trigonometric (pozitiv) sau sensul acelor deceasornic (negativ).Definiţie. Spunem că un drum : a,b → R3, t ft,gt,ht este

de clasă C1 dacă funcţiile f,g,h : a,b → R sunt de clasă C1 (derivabile, cuderivate continue). Spunem că un drum : a,b → R3, t ft,gt,hteste neted dacă este de clasă C1 şi derivata sa nu se anulează, adicăf ′t,g′t,h′t ≠ 0,0,0 pentru orice t ∈ a,b. Un drum : a,b → R3se numeşte neted pe porţiuni dacă există o diviziune

128

Δ a t0 t1 . . . tn−1 tn b astfel încât restricţia lui la tk−1, tk este drum neted, pentru orice k ∈ 1,2, . . . ,n.Vectorul viteză v t f ′t i g′t j h′tk este tangent la arcul de

curbă parametrizat prin , în punctul Mft,gt,ht. Pentru un drum netedvectorul viteză este o funcţie continuă şi nu se anulează. Ecuaţiile drepteitangente în M0ft0,gt0,ht0 la imaginea lui sunt

x − ft0f ′t0

y − gt0g′t0

z − ht0h ′t0

.

Lungimea unui drumDefinim noţiunea de lungime a unui drum, generalizând noţiunea de

lungime a graficului unei funcţii, discutată în cadrul aplicaţiilor integraleiRiemann. Fie : a,b → R3, t ft,gt,ht un drum. Pentru a înscrieo linie poligonală în arcul de curbă parametrizat prin , considerăm o diviziuneΔ a t0 t 1 . . . tn−1 tn b a intervalului a,b ; unind punctelecorespunzătoare Mkftk,gtk,htk obţinem linia poligonală înscrisă în ,

asociată diviziunii Δ, ΓΔ : k1

n

Mk−1Mk . Lungimea liniei poligonale ΓΔ este

lΓΔ ∑k1

n

ftk − ftk−12 gtk − gtk−12 htk − htk−12 .

Folosind inegalitatea triunghiului, se observă că adăugând unei diviziuni unulsau mai multe puncte creşte lungimea liniei poligonale înscrisecorespunzătoare. Se pune problema până unde poate creşte lungimea uneiasemenea linii poligonale înscrise.Definiţie. Se numeşte lungime a unui drum marginea superioară a

lungimilor liniilor poligonale înscrise în acel drum. Spunem că un drum esterectificabil dacă drumul are lungime finită.Notând lungimea drumului cu l, avem

l DEF sup lΓΔ : Δ diviziune a intervalului a,b .

Se demonstrează că:1) Orice două drumuri echivalente au aceeaşi lungime (se poate vorbi

despre lungimea unei curbe);2) Lungimea unui drum : a,b → R3, t ft,gt,ht de clasă C1

este dată de formula

l a

bd rdt t dt,

adică l a

b

f ′t2 g′t2 h′t2 dt. Aşadar, orice drum de clasă C1

este rectificabil.Formula de mai sus arată că distanţa parcursă de un punct în mişcare este

129

integrala mărimii vectorului viteză.Notăm cu st lungimea arcului AMt ⊂ AB, unde Mt este punctul de

coordonate ft,gt,ht. Atunci st a

td rdt d pentru t ∈ a,b.

Deducem că pentru orice t ∈ a,b avem dsdt

d rdt , dsdt

d rdt , adică

dsdt f ′t2 g′t2 h′t2 (derivata în raport cu timpul a spaţiuluiparcurs de un punct în mişcare este mărimea vectorului viteză). Diferenţialafuncţiei st este ds d r

dt dt şi se numeşte element de arc al curbei Γ.

9.2. Integrale curbilinii de prima speţă şi de a doua speţă.Definiţii şi formule de calcul

Probleme de tipul calculului masei unui fir şi calculului lucrului mecanicconduc la noţiunile de integrală curbilinie de prima speţă şi de integrală despeţa a doua, respectiv.

Integrale curbilinii de prima speţăFie arcul de curbă parametrizat Γ AB definit de drumul : a,b → R3,

t ft,gt,ht şi fie F : Γ → R o funcţie.Unei diviziuni Δ a t0 t 1 . . . tn−1 tn b a intervalului a,b îi

corespunde o diviziune a arcului AB, ΔΓ A M 0 ,M1,....,Mn−1,Mn B,unde am notat Mk Mtk . Considerăm puncte intermediare asociate diviziuniiΔ, notate k ∈ tk−1, tk , k 1, . . . ,n, cărora le corespund pe arcul AB puncteleintermediare Nk Mk ∈ Mk−1Mk , k 1, . . . ,n.Vom presupune că are lungime finită.Definiţie. Se numeşte sumă integrală pe drumul : a,b → R3,

t ft,gt,ht a funcţiei F : a,b → R , asociată diviziunii Δ aintervalului a,b şi punctelor intermediare k, numărul

Δf;k ∑k1

n

FNk l Mk−1Mk

∑k1

n

Ffk,gk,hk stk − stk−1.

Definiţie. Spunem că funcţia F : Γ → R este integrabilă pe drumul : a,b → R3 (sau integrabilă pe arcul parametrizat Γ ) dacă există unnumăr real I astfel încât pentru orice şir de diviziuni Δnn≥1 ale intervaluluia,b cu

n→lim ‖Δn‖ 0, şi pentru orice alegere a punctelor intermediare kn

asociate diviziunii Δn, avemn→lim Δnf;kn I.

Numărul I din definiţia de mai sus se notează Γ

Fx,y, zds sau

AB

Fx,y, zds şi se numeşte integrala curbilinie de prima speţă a funcţiei F

de-a lungul arcului parametrizat Γ (pe drumul ).Calculul integralei curbilinii de prima speţă al unei funcţii pe un arc se

reduce la calculul unei integrale Riemann dacă arcul este parametrizat de un

130

drum de clasă C1, iar funcţia este continuă pe mulţimea punctelor arcului.Teorema (Calculul integralei curbilinii de prima speţă)Fie arcul Γ parametrizat de drumul : a,b → R3,

t ft,gt,ht şi funcţia F : Γ → R. Dacă este de clasă C1 şi funcţiaF este continuă, atunci F este integrabilă pe arcul Γ şi

Γ

Fx,y, zds a

b

Fft,gt,ht f ′t2 g′t2 h′t2 dt.

Simplificând notaţiile, formula de mai sus se scrie sub forma

Γ

Fx,y, zds a

b

Fxt,yt, zt x ′t2 y ′t2 z′t2 dt .

Integrale curbilinii de a doua speţăDefiniţie. Se numeşte sumă integrală în raport cu x pe drumul

: a,b → R3, t ft,gt,ht a funcţiei F : a,b → R , asociatădiviziunii Δ a intervalului a,b şi punctelor intermediare k, numărul

Δx f;k ∑k1

n

Ffk,gk,hk ftk − ftk−1.

Suma integrală în raport cu y, respectiv cu z, a funcţiei F se defineşte prin

Δy f;k ∑

k1

n

Ffk,gk,hk gtk − gtk−1,

respectiv

Δz f;k ∑k1

n

Ffk,gk,hk htk − htk−1.

Definiţie. Spunem că funcţia F : Γ → R este integrabilă în raport cu x pedrumul : a,b → R3 (sau integrabilă în raport cu x pe arcul parametrizatΓ ) dacă există un număr real Ix astfel încât pentru orice şir de diviziuniΔnn≥1 ale intervalului a,b cu

n→lim ‖Δn‖ 0, şi pentru orice alegere a

punctelor intermediare kn asociate diviziunii Δn, avemn→lim Δn

x f;kn Ix.

Numărul Ix din definiţia de mai sus se notează Γ

Fx,y, zdx sau

AB

Fx,y, zdx şi se numeşte integrala curbilinie de speţa a doua în raport cu x

a funcţiei F de-a lungul arcului parametrizat Γ (pe drumul ). Analog sedefinesc noţiunea de funcţie integrabilă în raport cu y pe un arc şi integralaΓ

Fx,y, zdy, respectiv noţiunea de funcţie integrabilă în raport cu z pe un arc

şi integrala Γ

Fx,y, zdz.

131

Notăm d r dx i dy j dzk (vectorul deplasare elementară).Definiţie. Se numeşte circulaţie a câmpului vectorial

v x,y, z Px,y, z i Qx,y, z j Rx,y, zk , x,y, z ∈ D pe arculparametrizat Γ ⊂ D integrala

Γ

v d r Γ

Px,y, zdx Qx,y, zdy Rx,y, zdz.

Denumirea de circulaţie provine din cazul când v este câmpul vitezelorparticulelor unui fluid, la un moment dat. Dacă v F este un câmp de forţe,circulaţia câmpului v pe Γ este lucrul mecanic al câmpului de forţe de-a lungullui Γ.Integralele curbilinii de speţa a doua în raport cu x,y, z sunt forme

particulare ale circulaţiei. Considerând cazul particular z ≡ 0, circulaţia unuicâmp vectorial plan v x,y Px,y i Qx,y j pe un arc Γ ⊂ xOy este

Γ

v d r Γ

Px,ydx Qx,ydy.

Teorema (Calculul integralelor curbilinii de speţa a doua)Fie arcul Γ parametrizat de drumul : a,b → R3,

t ft,gt,ht şi funcţia F : Γ → R. Dacă drumul este de clasă C1şi funcţia F este continuă, atunci F este integrabilă pe arcul Γ în raport cufiecare din coordonatele x, y, z şi

Γ

Fx,y, zdx a

b

Fft,gt,ht f ′tdt,

Γ

Fx,y, zdy a

b

Fft,gt,ht g ′tdt,

Γ

Fx,y, zdz a

b

Fft,gt,ht h ′tdt.

Consecinţă. Fie arcul Γ parametrizat de drumul : a,b → R3,t ft,gt,ht şi funcţiile P,Q,R : Γ → R. Dacă este de clasă C1 şifuncţiile P,Q,R sunt continue,atunci

Γ

Px,y, zdx Qx,y, zdy Rx,y, zdz

a

b

Pt f ′t Qt g ′t Rt h ′tdt

132

Observaţie. Fie 1d r

d r versorul tangentei la Γ, orientat în sensul

creşterii spaţiului parcurs s. Pe Γ avem ds ‖d r ‖. Se observă următoarealegătură între integralele curbilinii de speţa a doua şi integrala curbilinie deprima speţă:

Γ

v d r Γ

v ds.

Observaţie. Definiţiile şi proprietăţile integralelor curbilinii pot fiintroduse riguros utilizând integrala Stieltjes, o generalizare a integraleiRiemann. Vezi [4] vol.2, [5], [8]. Orice funcţie continuă pe un arc rectificabileste integrabilă, respectiv este integrabilă în raport cu coordonatele x,y, z peacel arc.Algoritm de calcul. Să presupunem că avem de calculat

Γ

Fx,y, zds sau

Γ

Px,y, zdx Qx,y, zdy Rx,y, zdz, unde Γ este arc parametrizat de un

drum de clasă C1 şi F,P,Q,R sunt funcţii continue pe Γ.Pasul 1. Scriem ecuaţiile parametrice ale arcului

Γ :x xty ytz zt

, t ∈ a,b.

Pasul 2. Calculăm derivatele x ′t, y ′t, z′t. Dacă este cazul, calculămdsdt t x ′t2 y ′t2 z′t2 .Pasul 3. Transformăm integrala curbilinie într-o integrală Riemann pe

intervalul în care variază t, după cum urmează. În expresia funcţiei F(respectiv, P, Q, R) înlocuim x : xt, y : yt şi z : zt. Efectuămsubstituţiile ds ds

dt dt (respectiv, dx x′tdt, dy y ′tdt şi dz z′tdt).

Pasul 4. Calculăm integrala Riemann de la pasul 3.Exemple. Calculaţi integralele curbilinii:

1) I Γ

x2 y2 ln zds, unde Γ :x et cos ty et sin tz et

, t ∈ 0,.

2)I Γ

x2 y2dx xydy, Γ : y x2, x ∈ 0,1.

Soluţie.1) Pe Γ avem: x2 y2 ln z e2t cos2t e2t sin2t lnet te2t. Elementul

de arc ds dsdt dt x ′t2 y ′t2 z′t2 dt. Calculăm derivatele

funcţiilor coordonate:x ′t et cos t ′ etcos t − sin t; y ′t et sin t ′ etsin t cos t;

z′t et ′ et.Atunci

x ′t2 y ′t2 z′t2 e2t cos t − sin t2 sin t cos t2 1 3e2t,de unde ds et 3 dt.Transformăm integrala curbilinie într-o integrală Riemann pe intervalul

133

unde variază t:

Γ

x2 y2 ln zds 0

te2t et 3 dt 3 0

te3tdt 3 19 e

3t3t − 10, de

unde I 39 e

33 − 1 1.2) Scriem ecuaţiile parametrice ale arcului dat

Γ :x ty t2

dx dtdy 2tdt

(pe Γ). Atunci

Γ

x2 y2dx xydy 0

1

t2 t4 1 t3 2tdt 0

1

t2 3t4dt, de unde

I t33 0

1 3t5

5 0

1 1

3 35 14

15 .

9.4. Aplicaţii ale integralelor curbiliniiÎn cele de mai jos vom presupune că Γ este un arc parametrizat rectificabil

(în particular, Γ poate fi parametrizat de un drum de clasă C1), iar funcţiile deintegrat sunt continue pe Γ.1. Lungimea unui arc rectificabil. lΓ

Γ

ds

Considerăm un fir material reprezentat geometric prin arcul Γ, avânddensitatea x,y, z în punctul x,y, z.2.Masa firului material. mΓ

Γ

x,y, zds

3. Coordonatele centrului de greutate al firului material cu masa mΓ

sunt date de formulele:

xG 1mΓΓ

x x,y, zds;

yG 1mΓΓ

y x,y, zds;

zG 1mΓΓ

z x,y, zds.

4.Momente de inerţie ale firului materialMomentul de inerţie al firului faţă de un punct M0x0,y0, z0 este

IM0 Γ

x − x02 y − y02 z − z02 x,y, zds.

Momentul de inerţie al firului faţă de o dreaptă D este

ID Γ

distx,y, z,D2 x,y, zds.

Reamintim că distanţa de la un punct M0 la o dreaptă D ce trece printr-unpunct A şi are un vector director v se calculează cu formula

134

distM0,D AM0v

v.

5. Lucrul mecanic efectuat de un câmp de forţe F de-a lungul unui arcΓ AB :

LAB AB

F d r .

6. Tensiunea electromotoare indusă într-un circuit Γ AB de un câmpelectric de intensitate E este

UΓ AB

E d r .

7. Interpretare geometrică a integralei curbilinii de prima speţăFie AB : x xt, y yt; t ∈ a,b un arc de curbă neted în planul xOy

şi F Fx,y o funcţie reală continuă şi pozitivă pe AB. Se construieşte osuprafaţă cilindrică având curba directoare AB şi generatoarele paralele cuOz. Pe suprafaţa se consideră arcul parametrizat

A ′B ′ :x xty ytz Fxt,yt

, t ∈ a,b.

Se arată că AB

Fx,y, zds este aria porţiunii din suprafaţa cilindrică mărginită

de arcele AB, A ′B ′ şi generatoarele AA ′, BB ′.Exemple. Calculaţi :1) Lucrul mecanic al unui câmp constant de forţe F P i Q j Rk pe

arcul de elice circulară Γ :x acos ty a sin tz ht

, t ∈ t1, t2 , unde a,h 0 sunt

constante.2) Lucrul mecanic al unui câmp de forţe centrale F fr r pe elipsa

E : x2a2 y2

b2 1, unde r ‖ r ‖, parcursă o singură dată în sens

trigonometric.3) Calculaţi coordonatele centrului de greutate al unui fir omogen de

densitate reprezentat prin ecuaţiile Γ :x Rcos ty R sin t

, t ∈ 0,.

135

Soluţie.1)

LΓ Γ

Pdx Qdy Rdz t1

t2P −a sin t Q acos t R hdt aPcos t Q sin

2) Scriem ecuaţiile parametrice ale elipsei

E :x acos ty b sin t

, t ∈ 0,2. Pe elipsă

r x i y j acos t ī b sin t j

r x2 y2 a2 cos2t b2 sin2t. Diferenţiind coordonatele punctului

curent al elipsei avemdx −a sin t dtdy bcos t dt

. Rezultă

LE EF dr

0

2

f a2 cos2t b2 sin2t acos t −a sin t b sin t bcos tdt

3) Γ este un semicerc de rază R. Masa firului omogen estemΓ lΓ R. Elementul de arc pe Γ este ds R dtdsdt x ′t2 y ′t2 R2 sin2t R2 cos2t R ds R dt . Din

motive de simetrie centrul de greutate al firului se află pe Oy.

xG 1R

0

Rcos t Rdt R2R

0

cos t dt R sin t|0 0

yG 1R

0

R sin t Rdt R −cos t|0

2R ∈ R2 ,

3R4

9.5. Proprietăţi ale integralelor curbilinii de prima speţă şi de adoua speţă

Următoarele proprietăţi decurg din proprietăţile corespunzătoare aleintegralei Stieltjes, iar în cazul particular al integralelor pe drumuri de clasă C1sunt consecinţe ale proprietăţilor integralei Riemann.

Se demonstrează că integralele unei funcţii pe două drumuri echivalentesunt egale. Dacă avem de calculat o integrală curbilinie pe o curbă simplă Γ,pentru care am ales un sens de parcurs, valoarea integralei respective nudepinde de drumul simplu pe care îl alegem pentru a parametriza Γ.Schimbarea sensului de parcurs pe curbă are ca efect păstrarea integraleicurbilinii de prima speţă şi înmulţirea cu −1 a circulaţiei.Mai mult, dacă Γ este curbă simplă închisă (imagine a unui drum simplu

închis), valoarea unei integrale curbilinii pe Γ nu depinde de punctul iniţial alunui drum simplu închis care parametrizează Γ, ci doar de sensul de parcursindus de acest drum.Teoremă (Proprietăţi ale integralelor curbilinii de prima speţă)Fie AB şi BC arce parametrizate rectificabile şi F,G funcţii reale continue

pe AB. Atunci

136

1) AB

Fx,y, z Gx,y, zds AB

Fx,y, zds AB

Gx,y, zds, pentru

orice constante reale , (proprietatea de liniaritate);2)

ABBC

Fx,y, zds AB

Fx,y, zds BC

Fx,y, zds (proprietatea de

aditivitate);3)

BA

Fx,y, zds AB

Fx,y, zds (independenţa de orientare).

Teoremă (Proprietăţi ale integralelor curbilinii de speţa a doua)Fie AB şi BC arce parametrizate rectificabile şi v , w câmpuri vectoriale

continue pe AB. Atunci . Atunci1)

AB

v w d r AB

v d r AB

w d r , pentru orice constante

reale , (proprietatea de liniaritate);2)

ABBC

v d r AB

v d r BC

v d r (proprietatea de aditivitate);

3) BA

v d r − AB

v d r (dependenţa de orientare).

Observaţii. Proprietatea de aditivitate a integralelor curbilinii segeneralizează, prin inducţie după n: integrala pe o juxtapunere de n arceparametrizate este egală cu suma integralelor pe acele arce.Dependenţa de orientare a circulaţiei se poate exprima simplu astfel:

integralele din v dr pe arce parametrizate opuse sunt numere opuse.9.6. Problema independenţei de drum a circulaţiei unuicâmp vectorialNoţiunea de independenţă de drum

Vom numi domeniu în R3orice mulţime deschisă şi conexă, adică mulţimedeschisă în care orice două puncte pot fi unite printr-un arc de curbă conţinutîn acea mulţime; arcul respectiv poate fi ales astfel încât să fie neted peporţiuni (în particular, linie poligonală) sau neted.În fizică se arată că lucrul mecanic al unui câmp de forţe care provine

dintr-un potenţial nu depinde de drum, ci doar de capetele drumului.Spunem că forţa F provine din potenţialul V dacă

Fx,y, z ∇Vx,y, z,∀x,y, z ∈ D (unde D ⊂ R3 este domeniu).Fie F ∇V DEF ∂V

∂x ī ∂V∂y j

∂V∂z k. Considerăm două puncte

AxA,yA, zA,BxB,yB, zB ∈ D. Luăm AB ⊂ D arc parametrizat de un drum declasă C1, t xt,yt, zt, t ∈ a,b. Calculăm lucrul mecanic .LAB

AB

F d r . Formal avem F d r . ∂V∂x dx

∂V∂y dy

∂V∂z dz dV. Atunci

LAB a

b∂V∂x t x

′t ∂V∂y t y

′t ∂V∂z t z

′t dt

137

a

bddt Vxt,yt, ztdt VxB,yB, zB − VxB,yB, zB.

Am arătat că lucrul mecanic efectuat de un câmp de forţe care provinedintr-un potenţial, pe un drum, este diferenţa de potenţial dintre capeteledrumului (potenţialul în punctul final minus potenţialul în punctul iniţial).Definiţie. Fie v P i Q j Rk un câmp vectorial continuu pe domeniul

D ⊂ R3. Spunem că circulaţia Γ

v d r nu depinde de drum în domeniul D (în

raport cu o clasă C de arce) dacă pentru orice două arce AMB, ANB conţinuteîn D (şi aparţinând clasei C) avem

AMB

v d r ANB

v d r .

În cele ce urmează, C este clasa arcelor parametrizate de drumuri de clasăC1.Circulaţia

Γ

v d r nu depinde de drum în domeniul D dacă şi numai dacă

circulaţia respectivă este nulă pe orice curbă simplă închisă conţinută în D,aparţinând clasei C.

Condiţii pentru independenţa de drum a circulaţieiTeoremă (Condiţia necesară şi suficientă pentru independenţa de

drum a circulaţiei) Fie D ⊂ R3 un domeniu şi P,Q,R : D R funcţiicontinue. Atunci integrala

Γ

Pdx Qdy Rdz nu depinde de drum în domeniul

D dacă şi numai dacă există o funcţie V : D R de clasă C1 astfel încât

dV Pdx Qdy Rdz (pe D).

Observaţie. O funcţie V satisfăcând condiţia de mai sus se numeştepotenţial al câmpului vectorial F P i Q j Rk . EgalitateadV Pdx Qdy Rdz (pe D) este echivalentă cu sistemul ∗ : ∂V∂x P,∂V∂y Q, ∂V∂z R pe D.Teoremă (Condiţie necesară/ condiţie suficientă pentru independenţa

de drum a circulaţiei)Fie D ⊂ R3 un domeniu şi P,Q,R : D R funcţii de clasă C1. În aceste

condiţii(1) Dacă sistemul ∗ admite soluţii, atunci

∗ ∗ rot P i Q j Rk 0 pe D.

(2) Reciproc, dacă este îndeplinită condiţia ∗ ∗ şi în plus D I J Keste un produs cartezian de intervale, atunci sistemul ∗ admite soluţii.Dacă există, soluţiile sistemului ∗ sunt de forma

Vx,y, z AM

Pdx Qdy Rdz c, unde Ax0,y0, z0 ∈ D este un punct fixat,

Mx,y, z ∈ D,

138

AM ⊂ D este un arc de clasă C1, iar c este o constantă reală arbitrară.În cazul de la punctul (2) soluţiile sistemului ∗ se pot scrie sub forma

∗ ∗ ∗ Vx,y, z x0

x

Pt,y0, z0dt y0

y

Qx,u, z0du z0

z

Rx,y,vdv c,

unde x,y, z ∈ D.Observaţie. Aplicând formula rotorului avem

rot P i Q j Rk ∂R∂y −

∂Q∂z i ∂P

∂z −∂R∂x j ∂Q

∂x −∂P∂y k .

Aşadar, identitatea vectorială ∗ ∗ este echivalentă cu sistemul de identităţiscalare: ∂P∂y ∂Q

∂x ,∂Q∂z ∂R

∂y şi ∂R∂x ∂P∂z pe D.

Corolar. Fie D I J K un produs cartezian de intervale şiP,Q,R : D R funcţii de clasă C1. Atunci integrala

Γ

Pdx Qdy Rdz nu

depinde de drum în D dacă şi numai dacă în orice punct din D au locegalităţile ∂P

∂y ∂Q∂x ,

∂Q∂z ∂R

∂y ,∂R∂x ∂P

∂z .Teoremele de mai sus se particularizează la cazul plan.Teoremă. Dacă D ⊂ R2 este un domeniu şi P,Q,R : D R sunt funcţii

continue, atunci integrala Γ

Pdx Qdy nu depinde de drum în domeniul D

dacă şi numai dacă există o funcţie V : D R de clasă C1 astfel încât

dV Pdx Qdy (pe D).

Teoremă. Fie D ⊂ R2 un domeniu şi P,Q : D R funcţii de clasă C1.În aceste condiţii(1) Dacă există V astfel încât dV Pdx Qdy pe D, atunci

∂P∂y ∂Q

∂x pe D.

(2) Reciproc, dacă ∂P∂y ∂Q

∂x pe D şi în plus D I J este un produscartezian de intervale, atunci există V astfel încât dV Pdx Qdy pe D.Dacă există V astfel încât dV Pdx Qdy pe D, atunci

Vx,y AM

Pdx Qdy c, unde Ax0,y0 ∈ D este un punct fixat,

Mx,y ∈ D, AM ⊂ D este un arc de clasă C1, iar c este o constantă reală.În cazul de la punctul (2) putem scrie

Vx,y x0

x

Pt,y0dt y0

y

Qx,udu c, x,y ∈ D.

Corolar. Fie D I J un produs cartezian de intervale şi P,Q : D Rfuncţii de clasă C1. Atunci integrala

Γ

Pdx Qdy nu depinde de drum în D

dacă şi numai dacă în orice punct din D are loc egalitatea ∂P∂y ∂Q

∂x .

139

Algoritm pentru calculul funcţiei potenţial VSe dau P,Q,R funcţii de clasă C1 pe D I J K (mai general, pe un

domeniu simplu conex) şi se cere determinarea funcţiilor V cu proprietatea că∂V∂x P, ∂V∂y Q, ∂V∂z R.Pasul 1. Verificăm dacă este îndeplinită condiţia

rot P i Q j Rk 0 pe D.Dacă nu, problema nu are soluţie. Dacă da, problema are soluţie şi trecem

la pasul următor.Pasul 2. Integrala

Γ

Pdx Qdy Rdz nu depinde de drum în D. Fixăm un

punct arbitrar Ax0,y0, z0 ∈ D. Soluţiile problemei sunt de forma

Vx,y, z AM

Pdx Qdy Rdz c,

unde Mx,y, z ∈ D, AM ⊂ D este un arc de clasă C1, iar c este o constantăreală arbitrară.Dacă D I J K putem aplica formula ∗ ∗ ∗.Exemple

1) Determinaţi V a.î.Vx′ 10x 6y 2Vy′ 6y 8y − 4

,∀x,y ∈ R2;

2) Verificând că este independentă de drum, să se calculezeAB

yz dx x

z dy −xyz2dz, unde A−1,3,1 , B2,6,3. şi AB nu intersectează

planul z 0.Soluţie.1) Cu notaţiile de la teorie, avem

Px,y 10x 6y 2, Qx,y 6x 8y − 4

rot Pī Qj ī j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q 0

∂Q∂x −

∂P∂y k;

∂Q∂x 6∂P∂y 6

∂P∂y ∂Q

∂x pe R2, deci problema are soluţie.

Vx,y x0

x

10t 6y0 2dt y0

y

6x 8u − 4du Vx,y 10 t22 x0

x 6y0 2

6x − 4y − y0 8u22 y0

y .Vx,y 5x2 − 5x02 6y0x 2x − 6x0y0 − 2x0 6xy − 4y − 6y0x 4y0 4y2 −5x2 6xy 4y2 2x − 4y − 5x02 6x0y0 4y02 2x0 − 4y0 5x2 6xy 4y

c, unde c este o constantă. .Metoda a II-a:

Vx′ 10x 6y 2 V 10x 6y 2dx cy 5x2 6yx 2x cy.Înlocuind expresia aflată pentru V în a doua ecuaţie din sistem vom

140

determina c ′y : Vy′ 6x c ′y 6x 8y − 4 cy 8y − 4dy c cy 4y2 − 4y c. Aşadar

V 5x2 6yx 2x 4y2 − 4y c.2) Dacă AB nu intersectează planul z 0, lucrăm cu D R R 0,

sau D R R −, 0.rot P i Q j Rk rot y

z i xz j −

xyz2k − x

z2 x

z2ī − − y

z2 y

z2

în orice punct din D integrala nu depinde de drum în D.Metoda I : Calculăm funcţia potenţial V a câmpului vectorial

P i Q j Rk , aplicând formula ∗ ∗ ∗ :

Vx,y, z x0

xy0z0 dt

y0

yxz0 du

z0

z

− xyv2

dv c, .

AtunciVx,y, z y0

z0 x − x0 xz0 y − y0 xy

1z − 1

z0 c xyz −

x0y0z0 c xy

z c ′,unde c ′ este o constantă reală oarecare. Rezultă că integrala cerută este variaţiapotenţialului de la A la B:AB

yz dx x

z dy −xyz2dz V2,6,3 − V−1,3,1 26

3 −−131 4 3 7.

Metoda II: Rezolvăm sistemul (Vx′ yz ; Vy′ x

z ; Vz′ −xyz2). Integrând

prima egalitate în raport cu x obţinem Vx,y, z xyz cy, z. Înlocuind

această expresie în ultimele două ecuaţii ale sistemului obţinem condiţiile:xz ∂c

∂y xz şi −

xyz2 ∂c∂z − xy

z2, adică ∂c

∂y ∂c∂z 0 (pe domeniul D), de

unde cy, z c (constantă). Deci Vx,y, z xyz c. Mai departe procedăm

ca la metoda a doua.În final, vom arăta cum din formula Vx,y, z

AM

Pdx Qdy Rdz c

se deduce formula ∗ ∗ ∗, în cazul D I J K.Deoarece curba netedă sau netedă pe porţiuni poate fi aleasă de noi, vom

alege ca AM să fie reuniunea a 3 segmente paralele cu axele de coordonate:AM AB BC CM, unde Ax0,y0, z0, Mx,y, z şi Bx,y0, z0, Cx,y, z0.Notăm : Pdx Qdy Rdz. Avem

AM

AB

BC

CM

.

Pe AB : y y0 (constant), z z0 (constant), de unde dy 0, dz 0, iarabscisa x NOT t variază de la x0 la x.Analog, pe BC avem dx 0, dz 0 şi ordonata y NOT u variază de la y0 la

y, iar pe CM avem dx 0, dy 0 şi cota z NOT v variază de la z0 la z.

Atunci AB

x0

x

Pt,y0, z0dt; BC

y0

y

Qx,u, z0du şi

CM

z0

z

Rx,y,vdv. Înlocuind în formula iniţială obţinem ∗ ∗ ∗.

141

Capitolul 10. Integrale dubleIntegralele multiple sunt necesare când se pune problema ”însumării”

valorilor unei funcţii de mai multe variabile. Vom studia integralele duble,adică integralele de forma

Dfx,ydxdy , unde D ⊂ R2 este o mulţime

compactă (închisă şi mărginită) care are arie,. În mod analog vom introduce încapitolul următor integralele triple, adică integralele de formaD

fx,y, zdxdydz , unde D ⊂ R3 este o mulţime compactă care are volum. În

ambele cazuri de mai sus funcţia f : D R este de obicei continuă; maigeneral, poate fi o funcţie mărginită pentru care mulţimea punctelor dediscontinuitate are arie nulă în cazul D ⊂ R2, respectiv are volum nul în cazulD ⊂ R3.

10.1. Noţiunea de arie a unei mulţimi de puncte din planVom numi domeniu dreptunghiular compact reuniunea dintre un

dreptunghi şi interiorul său. Unui domeniu dreptunghiular compact cu laturileparalele cu axele Ox şi Oy îi corespunde o mulţime de formaD a,b c,d, unde a ≤ b,c ≤ d sunt numere reale.Din geometria alementară se cunoaşte formula ariei unui domeniu

dreptunghiular:aria a,b c,d b − a d − c.Definiţie. Numim mulţime elementară în plan orice reuniune a unui număr

finit de domenii dreptunghiulare compacte având laturile paralele cu axele Oxşi Oy.Dacă avem o mulţime E D1 D2 …Dn , unde Di , i 1, . . . ,n, sunt

domenii dreptunghiulare compacte cu laturile paralele cu axele Ox şi Oy,având interioarele disjuncte două câte două, se defineşte aria mulţimii E prin

aria E DEF ∑i1

n

aria Di.

Se arată că suma din membrul drept nu depinde de descompunerea de formaE D1 D2 …Dn a mulţimii elementare E.Pentru o mulţime M ⊂ R2se definesc

AiM sup ariaE ′ : E ′ este mulţime elementară, E ′ ⊂ M şiAeM sup ariaE ′′ : E ′′ este mulţime elementară, E ′′ ⊃ M . Cantităţilepozitive AiM şi AeM sunt numite măsura Jordan (aria) interioară,respectiv exterioară, a mulţimii plane M.Definiţie. Spunem că o mulţime M ⊂ R2 are arie (sau: M este măsurabilă

Jordan, M este carabilă) dacă ariile sale interioară şi exterioară coincid:AiM AeM. În acest caz, cantitatea AM : AiM AeM se numeştearia ( măsura Jordan a) mulţimii plane M.Se demonstrează că următoarele mulţimi sunt măsurabile Jordan:1) Reuniunea şi diferenţa a două mulţimi măsurabile Jordan;2) Subgraficul unei funcţii continue şi pozitive pe a,b(măsura Jordan

respectivă fiind integrala Riemann a funcţiei pe a,b);

142

3) Orice arc de curbă rectificabil are măsura Jordan nulă;4) O mulţime mărginită a cărei frontieră este reuniunea unui număr finit de

curbe simple închise rectificabile.10.2. Definiţia integralei duble

În ceea ce urmează D ⊂ R2 este o mulţime compactă care are arie.Considerăm un corp cilindric având baza D (situată în planul xOy) şi

generatoarele paralele cu Oz, identificat cu mulţimeax,y, z ∈ R3 : x,y ∈ R2, z ≥ 0 . Dorim să calculăm volumulcilindroidului K decupat din acest corp cilindric de o suprafaţă S de ecuaţieS : z fx,y, x,y ∈ D (unde f ≥ 0). K se identifică cu mulţimeax,y, z ∈ R3 : x,y ∈ R2, 0 ≤ z ≤ fx,y , numită şi subgraficul funcţiei fpe D.Observăm că dacă fx,y c (o constantă pozitivă ) , atunci K este un

cilindru drept cu baza D şi înălţimea egală cu c, deci volumul cerut esteVK c aria D.În cazul general, pentru a aproxima volumul VK al cilindroidului K cu

suma volumelor unor cilindri, vom diviza baza D în submulţimi ”de diametrumic” şi pe fiecare din aceste submulţimi vom aproxima fx,y prin valoarea saîntr-un punct din acea submulţime.Definiţie. Numim diviziune a mulţimii compacte măsurabile Jordan

D ⊂ R2 o familie finită de mulţimi compacte măsurabile Jordan, cuinterioarele disjuncte două câte două, a căror reuniune este D.Definiţie. Numim normă a unei diviziuni a mulţimii compacte măsurabile

Jordan D ⊂ R2 maximul diametrelor mulţimilor care formează diviziunea.Notăm cu Δ D1,D2, . . ,Dn o diviziune a mulţimii D.Atunci ‖Δ‖ DEF maxdiamDi : i 1, . . . ,n. Diametrul unei mulţimi M

dintr-un spaţiu metric X,d este marginea superioară a distanţelor dintre douăpuncte ale mulţimii M, adică diamM supdx,y : x,y ∈ M.Se pot obţine diviziuni de normă oricât de mică ale mulţimii D împărţind D

cu ajutorul unor drepte paralele cu axele de coordonate.Pentru i ∈ 1,2,… ,n, considerăm un punct oarecare Pi i,i ∈ Di.Definiţie. O familie de puncte P P1, . . . ,Pn cu Pi ∈ Di se numeşte

sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ.Considerăm o diviziune Δ D1,D2, . . ,Dn a mulţimii D şi

P P1, . . . ,Pn, cu Pi i,i, sistem de puncte intermediare asociatdiviziunii Δ. Vom utiliza aproximarea fx,y ≃ f i,i pentru x,y ∈ Di. Seconstruieşte un cilindru cu baza pe Di, având înălţimea egală cu f i,i. Caurmare a acestei construcţii, volumul VK al cilindroidului se aproximeazăastfel:

VK ≃ ∑i1

n

f i,i aria Di.

Definiţie. Se numeşte sumă Riemann ataşată funcţiei f : D ⊂ R2 → R,diviziunii Δ D1,D2, . . ,Dn a mulţimii D şi sistemului de puncteintermediare P P1, . . . ,Pn numărul

143

Δf,P ∑i1

n

fPi aria Di.

Am notat fP : f, dacă P are coordonatele , în planul xOy).Definiţie. Spunem că funcţia f : D ⊂ R2 → R este integrabilă Riemann

dacă există un număr real I astfel încât pentru orice şir de diviziuni Δn alemulţimii D şi orice alegere a sistemelor de puncte intermediare Pn asociateacestor diviziuni, avem

|Δnf,Pn − I| .

Numărul I de mai sus se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe D şi se notează

I D

fx,ydxdy.

Revenind la cazul unei funcţii pozitive, putem spune că cilindroidulK x,y, z ∈ R3 : x,y ∈ R2, 0 ≤ z ≤ fx,y are volum dacă şi numaidacă funcţia f : D ⊂ R2 → R este integrabilă Riemann, iar volumulVK

Dfx,ydxdy.

Expresia dxdy din formula integralei duble se interpretează intuitiv ca ariea unui dreptunghi având laturile paralele cu axele de coordonate, de lungimi dxşi dy.Observaţie. Orice funcţie integrabilă Riemann f : D ⊂ R2 → R este

mărginită. Reciproca este falsă.Observaţie. Aria mulţimii compacte măsurabile Jordan D se scrie ca

integrală dublă pe D din funcţia constantă 1:

ariaD D

dxdy.

Exemple de funcţii integrabile Riemann. Fie D ⊂ R2 o mulţimecompactă care are arie. Se demonstrează că următoarele condiţii sunt suficientepentru ca o funcţie f : D R să fie integrabilă Riemann:1) f este continuă;2) f este mărginită şi mulţimea punctelor în care f este discontinuă are arie

nulă.10.3. Proprietăţi ale integralei duble

Proprietăţile care urmează se enunţă şi se demonstrează prin analogie cuproprietăţile integralei Riemann pentru funcţii de o variabilă reală.1. Proprietatea de liniaritate Dacă funcţiile f,g : D ⊂ R2 R sunt

integrabile şi , ∈ R, atunci funcţia f g este integrabilă pe D şi

D

fx,y gx,ydxdy D

fx,ydxdy D

gx,ydxdy.

144

În particular, Dfx,y gx,ydxdy

Dfx,ydxdy

Dgx,ydxdy şi

Dfx,ydxdy

Dfx,ydxdy , ∀ ∈ R.

2. Proprietatea de aditivitate ca funcţie de mulţime. Dacă funcţiaf : D ⊂ R2 R este integrabilă şi avem D D1 D2, unde D1,D2 suntmulţimi compacte, măsurabile Jordan, cu interioarele disjuncte, atunci f esteintegrabilă pe D1 şi D2 şi are loc egalitatea

D

fx,ydxdy D1

fx,ydxdy D2

fx,ydxdy.

În particular, dacă funcţia f : D R este integrabilă şi D1 ⊂ D estemulţimi închisă, măsurabilă Jordan, atunci f este integrabilă pe D1(proprietatea de ereditate a integrabilităţii Riemann).3. Proprietatea de monotonie. Dacă funcţiile f,g : D ⊂ R2 R sunt

integrabile şi fx,y ≤ gx,y,∀x,y ∈ D , atunciDfx,ydxdy ≤

Dgx,ydxdy.

4. Proprietatea de ”stabilitate”. Dacă funcţia f : D ⊂ R2 R esteintegrabilă şi dacă modificăm valorile funcţiei într-un număr finit de puncteatunci funcţia obţinută este integrabilă pe D şi are aceeaşi integrală pe D ca şif.5. Teorema de majorare a modulului integralei. Dacă funcţia

f : D ⊂ R2 R este integrabilă, atunci funcţia |f| : D R este integrabilăşi

D

fx,ydxdy ≤ D

|fx,y|dxdy.

6. Teoremă (Operaţii cu funcţii integrabile) Dacă funcţiilef,g : D ⊂ R2 R sunt integrabile, atunci sunt integrabile pe a,b şifuncţiile: f g, f g.7. Teoremă (prima formulă de medie). Dacă funcţiile

f,g : D ⊂ R2 R sunt integrabile şi gx,y ≥ 0 , ∀x,y ∈ D, atunci există ∈ m,M, unde m,M sunt marginile funcţiei f, astfel încâtDfx,ygx,ydxdy

Dgx,ydxdy.

Corolar. Dacă funcţia f : D ⊂ R2 R este continuă, iar funcţiag : D R este integrabilă şi gx,y ≥ 0, , ∀x,y ∈ D, atunci existăc,d ∈ D astfel încât

Dfx,ygx,ydxdy fc,d

Dgx,ydxdy.

10.4. Calculul integralei dubleNumim domeniu compact închiderea unei mulţimi deschise şi conexe

mărginite.Vom da metode de calcul pentru integrala dublă a unei funcţii

f : D ⊂ R2 R în câteva cazuri în care domeniul compact D are o formădestul de simplă.

145

Reducerea unei integrale duble la o integrală iteratăFie D a,b c,d domeniu compact dreptunghiular. Atunci pentru

orice funcţie f continuă pe D avem

a,bc,d

fx,ydxdy a

b

c

d

fx,ydy dx c

d

a

b

fx,ydx dy.

În acest caz integrala dublă se calculează ca o succesiune de două integralesimple (integrale pe intervale compacte din R) pe intervalele fixate a,b şic,d.Teoremă. Fie f : a,b c,d → R. Dacă pentru orice x ∈ a,b există

integrala Riemann Fx : c

d

fx,ydy şi dacă F este integrabilă pe a,b,

atunci f este integrabilă pe D şi a,bc,d

fx,ydxdy a

b

c

d

fx,ydy dx.

Analog, dacă pentru orice y ∈ c,d există integrala Riemann

Gy : a

b

fx,ydx şi dacă G este integrabilă pe c,d, atunci f este integrabilă

pe D şi a,bc,d

fx,ydxdy c

d

a

b

fx,ydx dy.

Integrala dublă pe un domeniu simplu în raport cu o axă decoordonate

Un domeniu compact din plan se numeşte simplu în raport cu una dinaxele de coordonate dacă intersecţia sa cu o paralelă oarecare dusă la acea axăeste fie mulţimea vidă, fie un segment închis de dreaptă (care se poate reducela un punct).Vom numi domeniu compact simplu în raport cu Oy o mulţime închisă Dy

mărginită de graficele a două funcţii continue pe un interval compact a,b şidreptele x a, x b :

Dy x,y ∈ R2 : x ∈ a,b şi y1x ≤ y ≤ y2x ,

unde y1,y2 : a,b → R sunt funcţii continue.Vom numi domeniu compact simplu în raport cu Ox o mulţime Dx de

forma

Dx x,y ∈ R2 : y ∈ c,d şi x1y ≤ x ≤ x2y ,

unde x1,x2 : c,d → R sunt funcţii continue.Domeniile dreptunghiulare compacte, discurile închise, reuniunea dintre o

elipsă cu axele de simetrie paralele cu axele Ox, Oy şi interiorul elipsei suntexemple de domenii simple în raport cu ambele axe. Unele domenii se potdescompune, ducând convenabil paralele la axele Ox, Oy , în subdomeniisimple în raport cu una din axe, astfel încât subdomeniile au interioareledisjuncte două câte două; aplicând proprietatea de aditivitate a integralei duble,

146

o integrală pe un asemenea domeniu se scrie ca sumă de integrale pe domeniisimple în raport cu una din axe.Teoremă (de descompunere a integralei duble ca succesiune de două

integrale simple)1) Fie Dy x,y ∈ R2 : x ∈ a,b şi y1x ≤ y ≤ y2x domeniu

simplu în raport cu Oy şi f : Dy → R . Dacă pentru orice x ∈ a,b există

integrala Riemann Fx : y1x

y2x

fx,ydy şi dacă F este integrabilă pe a,b,

atunci f este integrabilă pe Dy şi

Dy

fx,ydxdy a

b

y1x

y2x

fx,ydy dx.

2) Fie Dx x,y ∈ R2 : y ∈ c,d şi x1y ≤ x ≤ x2y domeniusimplu în raport cu Oy şi f : Dx → R . Dacă pentru orice y ∈ c,d există

integrala Riemann Gy : x1y

x2y

fx,ydx şi dacă G este integrabilă pe c,d,

atunci f este integrabilă pe Dx şi

Dx

fx,ydx c

d

x1y

x2y

fx,ydx dy.

De exemplu, formulele de mai sus se pot aplica pentru orice funcţiecontinuă pe domeniul simplu respectiv.Teorema precedentă generalizează teorema de descompunere a integralei

pe un domeniu dreptunghiular compact.Semnificaţia intuitivă a formulelor de descompunere a integralei duble este

următoarea. Pentru a „însuma“ valorile funcţiei fx,y pe Dy, pentru fiecarex ∈ a,b „însumăm“ valorile funcţiei f pe secţiunea lui Dy cu paralela la Oydusă prin punctul x, 0, apoi „însumăm“ aceste „sume“ când x parcurgea,b. Pentru a „însuma“ valorile funcţiei fx,y pe Dx, „însumăm“ pentrufiecare y ∈ c,d valorile funcţiei f pe secţiunea lui Dx cu paralela la Ox careconţine punctele de ordonată y, apoi „însumăm“ aceste „sume“ când y parcurgec,d.

În aplicaţii se mai notează : a

b

u1x

u2x

fx,ydy dx a

b

dx u1x

u2x

fx,ydy şi

c

d

v1y

v2y

fx,ydx dy c

d

dy v1y

v2y

fx,ydx .

Observaţie.

a,bc,d

gx hydxdy a

b

c

d

gx hydy dx a

b

gx c

d

hydy dx.

147

Rezultă a,bc,d

gx hydxdy a

b

gxdx c

d

hydy, unde

g : a,b → R şi h : c,d → R sunt funcţii integrabile.Exemple.1) Calculaţi

Dy sinx xcosydxdy, unde D 0, 2

2 ,.

I Dy sinx xcosydxdy

Dy sinxdxdy

Dxcosydxdy. Calculăm cele

două integrale din membrul drept aplicând observaţia de mai sus.

I1 0, 2

2 ,

y sinxdxdy 0

/2

sinxdx /2

ydy −cosx|0/2 y2

2 /2

32

8

I2 0, 2

2 ,

xcosydxdy 0

/2

xdx /2

cosydy x22 0

/2 siny|/2

− 28

Rezultă I I1 I2 328 −

28 2

4 .2) Calculaţi

Dxydxdy, unde D este domeniul mărginit de curbele de

ecuaţii y 12 x

2,y x2 (parabole) şi x 1, x 2 (drepte paralele cu Oy).Aici D x,y ∈ R2 : x ∈ 1,2, 12 x

2 ≤ y ≤ x2 este domeniu simpluîn raport cu Oy. Aici u1x 1

2 x2, u2x x2.

I Dxydxdy

1

2

12 x2

x2

xydy dx I 1

2

x 12 x2

x2

ydy dx

1

2

x y22 y 12 x

2

yx2dx

1

2

x 12 x4 − x4

4 dx 6316 .

3) Transformaţi integrala dublă Dfx,ydxdy într-o succesiune de integrale

simple , în cazul domeniului

D x,y ∈ R2 : x2 y2 ≤ 4, x2 y2

4 ≥ 1, x ≥ 0 .

Domeniul compact D este mărginit de jumătăţile cercului de ecuaţiex2 y2 4 şi elipsei de ecuaţie x2 y2

4 1 situate în semiplanul închis x ≥ 0.Domeniul D este simplu în raport cu Ox. Pentru y ∈ −2,2 avemx,y ∈ D 1

2 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2 . Atunci

D

fx,ydxdy −2

2

12 4−y2

4−y2

fx,ydx dy.

10.5. Schimbare de variabile în integrala dublăLa integrarea funcţiilor de o variabilă scopul unei schimbări de variabilă

era obţinerea unei funcţii de integrat de o formă mai simplă, pentru care săaflăm mai uşor primitiva. La integrarea funcţiilor de două variabile, scopulprincipal al unei schimbări de variabile este acela de a înlocui domeniul de

148

integrare cu un alt domeniu, având o structură geometrică mai simplă.Fie D′ şi D domenii compacte măsurabile Jordan în plan şi T : D′ → D o

transformare dată de Tu,v xu,v, yu,v.Definiţie. Spunem că transformarea T de mai sus este regulată dacăa) T este bijectivă, continuă şi cu inversa continuă;b) T este de clasă C1 pe intD (mulţimea punctelor interioare lui D);

c) Jacobianul Dx,yDu,v ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

nu se anulează pe intD.

Se demonstrează următorul rezultat, analog primei formule de schimbarede variabilă.Teorema (Schimbare de variabile în integrala dublă) Fie D şi D′

domenii compacte măsurabile Jordan în R2, T : D′ → D o transformareregulată şi f : D → R o funcţie continuă. Atunci

D

fx,ydxdy D′

fxu,v,yu,v Dx,yDu,v dudv.

Observaţie.La trecerea în coordonate polare scriem x rcos, y r sin, adică

Tr, rcos, r sin. T este de clasă C1 pe 0, 0,2. JacobianulDx,yDr, r se anulează numai pentru r 0. AplicaţiaT : 0, 0,2 → R2 este surjectivă, dar nu este injectivă:T0,1 T0,2 0 pentru orice 1,2 ∈ 0,2. Restricţia T: 0, 0,2 → R2 ∖ 0,0 este bijectivă, de clasă C1, cu jacobianulnenul. Inversa ei se obţine exprimând coordonatele polare în funcţie de celecarteziene. Astfel, rx,y x2 y2 şi

x,y

arctg yx , dacă x 0, y ≥ 0arctg yx , dacă x 0

arctg yx 2, dacă x 0, y 02 , dacă x 0, y 02 , dacă x 0, y 0

.

Se observă că T−1 : R2 ∖ 0,0 → 0, 0,2,T−1x,y rx,y,x,y este continuă pe R2 ∖ x, 0 : x ≥ 0 şidiscontinuă în punctele semiaxei x, 0 : x ≥ 0. Pentru ca T să fietransformare regulată, este necesar şi suficient să luăm restricţia

T : 0, 0,2 → R2 ∖ x, 0 : x ≥ 0, Tr, rcos, r sin.

Dacă D ⊂ R2 ∖ x, 0 : x ≥ 0, luăm D′ T−1D şi aplicăm formulaschimbării de variabile sub forma

149

D

fx,ydxdy D′

frcos, r sin rdrd.

Dacă D conţine puncte ale semiaxei x, 0 : x ≥ 0, formula de mai sus sepoate totuşi aplica, deoarece intersecţia dintre D şi x, 0 : x ≥ 0 are arienulă. În acest caz D′ este închiderea mulţimii T−1D ∖ x, 0 : x ≥ 0.Cazurile cele mai frecvent întâlnite în aplicaţii sunt:a) D este disc centrat în origine, de rază R. Vom lua D′ 0,R 0,2.Atunci

x2y2≤R2

fx,ydxdy 0

R

dr 0

2

frcos, r sin rd

0

2

d 0

R

frcos, r sin rdr.

b) D este coroana circulară mărginită de cercurile centrate în origine deraze R1 R2. Atunci luăm D′ R1,R2 0,2 şi avem

R12≤x2y2≤R22

fx,ydxdy R1

R2

dr 0

2

frcos, r sin rd

0

2

d R1

R2

frcos, r sin rdr.

Exemplu. Calculaţi De−x2y2 dxdy, unde

D x,y ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 y2 ≤ R2 .D este intersecţia dintre discul închis centrat în origine, de rază R, şi

închiderea cadranului I.Când x,y descrie D, coordonatele polare variazăindependent după cum urmează : r ∈ 0,R şi ∈ 0, 2 . Luăm D

′ 0,R0, 2 (T

−1D ∖ x, 0 : x ≥ 0 0,R 0, 2 are închiderea D′).

Observăm că x2 y2 r2 , dxdy rdrd. Atunci

De−x2y2 dxdy

0

2

d 0

R

e−r2 rdr 0

R

e−r2 rdr 0

2

d 4 1 − e−R2 .

10.6. Aplicaţii ale integralei duble1. Aria unui domeniu compact măsurabil. aria D

Ddxdy

2. Volumul unui cilindroid. Volumul corpuluiK x,y, z ∈ R3 : x,y ∈ D şi 0 ≤ z ≤ fx,y (mărginit de: planulxOy, suprafaţa S : z fx,y, x,y ∈ D şi suprafaţa laterală a corpuluicilindric având baza D şi generatoarele paralele cu Oz) este

150

VK D

fx,ydxdy.

Se consideră o placă plană având forma domeniului compact D ⊂ R2 şidensitatea x,y kg/m2 .3. Masa plăcii este M

Dx,ydxdy

4. Coordonatele centrului de greutate al plăcii :xG 1

M Dx x,ydxdy şi yG 1

M Dy x,ydxdy

5. Momentele de inerţie ale plăcii: în raport cu Ox,Ix

Dy2 x,ydxdy; în raport cu Oy, Iy

Dx2 x,ydxdy.

6. Fluxul magnetic prin suprafaţa plană având forma domeniului compactD ⊂ xOy, când inducţia magnetică într-o regiune din spaţiu care conţine Deste Bx,y, z B1x,y, z i B2x,y, z j B3x,y, zk , se calculează dupăformula

DBx,y, 0 ndxdy, unde n k este versor al normalei la

xOy. Atunci DB3x,y, zdxdy.

10.7. Formula lui Green-RiemannAceastă formula stabileşte o legătură între integrala curbilinie şi integrala

dublă. Astfel, circulaţia unui câmp vectorial pe o curbă simplă închisărectificabilă parcursă în sens trigonometric este egală cu fluxul prin domeniulcompact mărginit de aceea curbă al rotorului acelui câmp vectorial.Vom nota cu

Γ

Pdx Qdy integrala pe o curbă simplă închisă rectificabilă

Γ parcursă în sens trigonometric.Lemă. Dacă domeniul compact D Dy ⊂ R2 simplu în raport cu Oy este

mărginit de o curbă simplă închisă rectificabilă Γ şi dacă funcţiile reale P,Qsunt de clasă C1 pe o mulţime deschisă care conţine D, atunci

Γ

Px,ydx −D

∂P∂y x,ydxdy.

Lemă. Dacă domeniul compact D Dx simplu în raport cu Ox estemărginit de o curbă simplă închisă rectificabilă Γ şi dacă funcţiile reale P,Qsunt de clasă C1 pe o mulţime deschisă care conţine D, atunci

Γ

Qx,ydy D

∂Q∂x x,ydxdy.

Din cele două leme precedente deducem imediat următorul rezultatfundamental.Teoremă (Formula Green-Riemann) Dacă domeniul compact

D Dxy ⊂ R2 simplu în raport cu ambele axe este mărginit de o curbă simplăînchisă rectificabilă Γ şi dacă funcţiile reale P,Q sunt de clasă C1 pe o

151

mulţime deschisă care conţine D, atunci

Γ

Px,ydx Qx,ydy D

∂Q∂x x,y −

∂P∂y x,y dxdy.

Teorema de mai sus rămâne valabilă dacă eliminăm ipoteza ca domeniulcompact D să fie simplu în raport cu ambele axe.Formula lui Green se extinde la domenii compacte mărginite de un număr

finit n ≥ 2 de curbe simple închise rectificabile; dintre acestea, o curbă Γ leconţine în interiorul său pe celelalte, care sunt exterioare două câte două, să lenotăm Γ1, . . . ,Γn−1. Se arată că

Γ

Px,ydx Qx,ydy −∑k1

n−1

Γk

Px,ydx Qx,ydy D

∂Q∂x x,y −

∂P∂y x,y dxdy

Aplicaţie (Calculul ariilor cu ajutorul unor integrale curbilinii de speţaa doua)Fie D un domeniu compact mărginit de curba simplă închisă rectificabilă

Γ. Avem ariaD Ddxdy. Pentru aputea aplica formula lui Green-Riemann,

alegem două funcţii P şi Q cât mai simple astfel încât ∂Q∂x −∂P∂y ≡ 1. Putem lua

Px,y − 12 y şi Qx,y 12 x, unde x,y ∈ R

2. AtunciariaD

D

∂Q∂x x,y −

∂P∂y x,y dxdy

Γ

Px,ydx Qx,ydy, de unde

ariaD 12

Γ

−ydx xdy.

Exemplu. Aria domeniului D mărginit de elipsa

E :x acos ty b sin t

, t ∈ 0,2 este

ariaD 12 0

2

−b sin t −a sin t acos t bcos tdt 12 ab

0

2

dt, deci

ariaD ab.

152

Capitolul 11. Integrale triple11.1. Noţiunea de volum al unei mulţimi de puncte din spaţiu

Unui paralelipiped dreptunghic închis cu muchiile paralele cu axele Ox, Oyşi Oz îi corespunde o mulţime de forma D a,b c,d e, f, undea ≤ b,c ≤ d şi e ≤ f sunt numere reale.Din geometria alementară se cunoaşte formula volumului unui

paralelipiped dreptunghic: Va,b c,d e, f b − a d − c f − e.Definiţie. Numim mulţime elementară în spaţiu orice reuniune a unui

număr finit de paralelipipede dreptunghice având muchiile paralele cu axeleOx şi Oy.Dacă avem o mulţime elementară E D1 D2 …Dn, unde Di,

i 1, . . . ,n, sunt paralelipipede cu laturile paralele cu axele de coordonate,având interioarele disjuncte două câte două, se defineşte volumul mulţimii Eprin

V E DEF ∑i1

n

VDi.

Se arată că suma din membrul drept nu depinde de descompunerea de formaE D1 D2 …Dn a mulţimii elementare.Pentru o mulţime M ⊂ R3se definesc

ViM sup VE ′ : E ′ este mulţime elementară, E ′ ⊂ M şiVeM sup VE ′′ : E ′′ este mulţime elementară, E ′′ ⊃ M . Cantităţilepozitive ViM şi VeM sunt numite măsura Jordan interioară (volumulinterior), respectiv măsura Jordan exterioară (volumul exterior) ale mulţimiiplane M.Definiţie. Spunem că o mulţime M ⊂ R3 are volum (sau: M este

măsurabilă Jordan) dacă volumul său interior şi volumul său exterior coincid:ViM VeM. În acest caz, cantitatea VM : ViM VeM se numeştevolumul ( măsura Jordan a) mulţimii de puncte din spaţiuM.Se demonstrează că următoarele mulţimi sunt măsurabile Jordan în spaţiu:1) Reuniunea şi diferenţa a două mulţimi măsurabile Jordan;2) Subgraficul unei funcţii continue şi pozitive pe un domeniu compact

D ⊂ R2(volumul respectiv fiind integrala dublă a funcţiei pe D);3) Orice suprafaţă netedă pe porţiuni are volumul nul;4) O mulţime mărginită a cărei frontieră este reuniunea unui număr finit de

suprafeţe simple închise netede pe porţiuni.11.2. Definiţia integralei triple

În ceea ce urmează dorim să calculăm masa unui corp material care sereprezintă prin mulţimea D ⊂ R3 . Presupunem că mulţimea D este compactăşi are volum. Notăm cu x,y, z densitatea corpului în punctul x,y, z ∈ D,unde kg/m3. Observăm că dacă x,y, z c (o constantă pozitivă ),masa corpului considerat este M c V D.În cazul general, pentru a aproxima masa corpului cu suma maselor unor

corpuri omogene (cu densitate constantă), vom diviza D în submulţimi ”de

153

diametru mic” şi pe fiecare din aceste submulţimi vom aproxima x,y, z prinvaloarea sa într-un punct din acea submulţime.Definiţie. Numim diviziune a mulţimii compacte măsurabile Jordan

D ⊂ R3 o familie finită de mulţimi compacte măsurabile Jordan, cuinterioarele disjuncte două câte două, a căror reuniune este D.Definiţie. Numim normă a unei diviziuni a mulţimii compacte măsurabile

Jordan D ⊂ R3 maximul diametrelor mulţimilor care formează diviziunea.Notăm cu Δ D1,D2, . . ,Dn o diviziune a mulţimii D. Atunci

‖Δ‖ DEF maxdiamDi : i 1, . . . ,n. .Se pot obţine diviziuni de normă oricât de mică ale mulţimii D împărţind D

cu ajutorul unor plane paralele cu xOy, yOzşi xOz.Pentru i ∈ 1,2,… ,n, considerăm un punct oarecare Pi i,i, i ∈ Di.Definiţie. O familie de puncte P P1, . . . ,Pn cu Pi ∈ Di se numeşte

sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ.Considerăm o diviziune Δ D1,D2, . . ,Dn a mulţimii D şi

P P1, . . . ,Pn, cu Pi i,i,i, sistem de puncte intermediare asociatdiviziunii Δ. Vom utiliza aproximarea x,y, z ≃ i,i,i pentrux,y, z ∈ Di. Atunci

M ≃ ∑i1

n

i,i,i V Di.

Membrul drept al relaţiei de mai sus este analog sumei Riemann asociate uneifuncţii definite pe un interval compact din R.Definiţie. Se numeşte sumă Riemann ataşată funcţiei f : D ⊂ R3 → R,

diviziunii Δ D1,D2, . . ,Dn a mulţimii D şi sistemului de puncteintermediare P P1, . . . ,Pn numărul

Δf,P ∑i1

n

fPi VDi.

Am notat fP : f,, dacă P are coordonatele ,, .Definiţie. Spunem că funcţia f : D ⊂ R3 → R este integrabilă Riemann

dacă există un număr real I astfel încât pentru orice şir de diviziuni Δn alemulţimii D şi orice alegere a sistemelor de puncte intermediare Pn asociateacestor diviziuni, avem

|Δnf,Pn − I| .

Numărul I de mai sus se numeşte integrala triplă a funcţiei f pe D şi se noteazăI

D

fx,y, zdxdydz.

Masa corpului considerat este integrala triplă a densităţii :M

D

x,y, zdxdydz.

Expresia dxdydz din formula integralei duble se interpretează intuitiv cavolum al unui paralelipiped dreptunghic având muchiile paralele cu axele decoordonate, de lungimi dx , dy şi dz.

154

Observaţie. Orice funcţie integrabilă Riemann f : D ⊂ R3 → R estemărginită. Reciproca este falsă.Observaţie. Volumul mulţimii compacte măsurabile Jordan D se scrie ca

integrală triplă pe D din funcţia constantă 1:

VD D

dxdydz.

Exemple de funcţii integrabile Riemann. Fie D ⊂ R3 o mulţimecompactă care are volum. Se demonstrează că următoarele condiţii suntsuficiente pentru ca o funcţie f : D R să fie integrabilă Riemann:1) f este continuă;2) f este mărginită şi mulţimea punctelor în care f este discontinuă are

volum nul.11.3. Proprietăţi ale integralei triple

Proprietăţile care urmează se enunţă şi se demonstrează prin analogie cuproprietăţile integralei Riemann pentru funcţii de o variabilă reală.1. Proprietatea de liniaritate Dacă funcţiile f,g : D ⊂ R3 R sunt

integrabile şi , ∈ R, atunci funcţia f g este integrabilă pe D şi

D

fx,y, z gx,y, zdxdydz

D

fx,y, zdxdydz D

gx,y, zdxdydz.

2. Proprietatea de aditivitate ca funcţie de mulţime. Dacă funcţiaf : D ⊂ R3 R este integrabilă şi avem D D1 D2, unde D1,D2 suntmulţimi compacte, măsurabile Jordan, cu interioarele disjuncte, atunci f esteintegrabilă pe D1 şi D2 şi are loc egalitatea

D

fx,y, zdxdydz D1

fx,y, zdxdydz.D2

fx,y, zdxdydz.

În particular, dacă funcţia f : D R este integrabilă şi D1 ⊂ D estemulţimi compactă, măsurabilă Jordan, atunci f este integrabilă pe D1(proprietatea de ereditate a integrabilităţii Riemann).

3. Proprietatea de monotonie. Dacă funcţiile f,g : D ⊂ R3 R suntintegrabile şi fx,y, z ≤ gx,y, z,∀x,y, z ∈ D , atunciD

fx,y, zdxdydz ≤ D

gx,y, zdxdydz.

4. Proprietatea de ”stabilitate”. Dacă funcţia f : D ⊂ R3 R esteintegrabilă şi dacă modificăm valorile funcţiei într-un număr finit de puncteatunci funcţia obţinută este integrabilă pe D şi are aceeaşi integrală pe D ca şif.5. Teorema de majorare a modulului integralei. Dacă funcţia

f : D ⊂ R3 R este integrabilă, atunci funcţia |f| : D R este integrabilă

155

şi D

fx,y, zdxdydz ≤ D

|fx,y, z|dxdydz.

6. Teoremă (Operaţii cu funcţii integrabile) Dacă funcţiilef,g : D ⊂ R3 R sunt integrabile, atunci sunt integrabile pe D şi funcţiile:f g, f g.7. Teoremă (prima formulă de medie). Dacă funcţiile

f,g : D ⊂ R3 R sunt integrabile şi gx,y, z ≥ 0 , ∀x,y, z ∈ D, atunciexistă ∈ m,M, unde m,M sunt marginile funcţiei f, astfel încâtD

fx,y, zgx,y, zdxdydz D

gx,y, zdxdydz.

Corolar. Dacă funcţia f : D ⊂ R3 R este continuă, iar funcţiag : D R este integrabilă şi gx,y, z ≥ 0, , ∀x,y, z ∈ D, atunci existăa,b,c ∈ D astfel încâtD

fx,y, zgx,y, zdxdydz fa,b,c D

gx,y, zdxdydz.

11.4. Calculul integralei tripleNumim domeniu compact închiderea unei mulţimi deschise şi conexe

mărginite.Vom da metode de calcul pentru integrala dublă a unei funcţii

f : D ⊂ R2 R în câteva cazuri în care domeniul compact D are o formădestul de simplă.

Reducerea unei integrale triple la o integrală iterată1) Fie D a,b c,d h,k un paralelipiped dreptunghic. Atunci

pentru orice funcţie f continuă pe D avem

∗ a,bc,dh,k

fx,ydxdy a

b

c

d

h

k

fx,y, zdz dy dx

În acest caz integrala triplă se calculează ca o succesiune de trei integralesimple (integrale pe intervale compacte din R). Schimbând ordinea integralelordin membrul drept (există 6 permutări) rezultatul obţinut rămâne acelaşi.Mai mult, are loc următoareaTeoremă. Fie f : a,b c,d h,k → R. Dacă pentru orice

x,y ∈ a,b c,d există integrala Riemann F1x,y : h

k

fx,y, zdz, pentru

orice x ∈ a,b există integrala F2x : c

d

Fx,ydy şi dacă F2 este

integrabilă pe a,b, atunci f este integrabilă pe D şi are loc egalitatea ∗.Integrala triplă pe un domeniu simplu în raport cu o axă decoordonate

Un domeniu compact din spaţiu se numeşte simplu în raport cu una dinaxele de coordonate dacă intersecţia sa cu o paralelă oarecare dusă la acea axăeste fie mulţimea vidă, fie un segment închis de dreaptă (care se poate reducela un punct).

156

Vom numi domeniu compact simplu în raport cu Oz o mulţime închisă Dzmărginită de graficele a două funcţii continue pe un domeniu compactmăsurabil Jordan Δ din planul xOy şi suprafaţa laterală a cilindrului drept cubaza Δ :

Dz x,y, z ∈ R3 : x,y ∈ Δ şi z1x,y ≤ z ≤ z2x,y ,

unde z1, z2 : Δ → R sunt funcţii continue pe domeniul compact măsurabilJordan Δ ⊂ R2.Se numeşte domeniu compact simplu în raport cu Oy o mulţime Dy de

forma

Dy x,y, z ∈ R3 : x, z ∈ Δ şi y1x, z ≤ y ≤ y2x, z ,

unde y1,y2 : Δ → R sunt funcţii continue pe domeniul compact măsurabilJordan Δ ⊂ R2.De asemenea, se numeşte domeniu compact simplu în raport cu Ox o

mulţime Dx de forma

Dx x,y, z ∈ R3 : y, z ∈ Δ şi x1y, z ≤ y ≤ x2y, z ,

unde x1,x2 : Δ → R sunt funcţii continue pe domeniul compact măsurabilJordan Δ ⊂ R2.În toate cazurile de mai sus mulţimea plană Δ este proiecţia ortogonală a

domeniului simplu în raport cu o axă pe planul de coordonate perpendicular peacea axă.Unele domenii se pot descompune, ducând convenabil plane paralele cu

xOy, yOzşi xOz, în subdomenii simple în raport cu una din axe, astfelîncât subdomeniile au interioarele disjuncte două câte două; aplicândproprietatea de aditivitate a integralei triple, o integrală pe un asemeneadomeniu se scrie ca sumă de integrale pe domenii simple în raport cu una dinaxe.Teoremă (de descompunere a integralei triple ca succesiune dintre o

integrală dublă şi o integrală simplă)1) Fie Dz x,y, z ∈ R3 : x,y ∈ Δ şi z1x,y ≤ z ≤ z2x,y

domeniu simplu în raport cu Oz şi f : Dz → R . Dacă pentru orice x,y ∈ Δ

există integrala Riemann Fx,y : z1x,y

z2x,y

fx,y, zdz şi dacă F este integrabilă

pe Δ, atunci f este integrabilă pe Dz şi

Dz

fx,y, zdxdydz Δ

z1x,y

z2x,y

fx,y, zdz dxdy.

2) Fie Dy x,y, z ∈ R3 : x, z ∈ Δ şi y1x, z ≤ y ≤ y2x, zdomeniu simplu în raport cu Oy şi f : Dy → R . Dacă pentru orice x,y ∈ Δ

există integrala Riemann Gx, z : y1x,z

y2x,z

fx,y, zdy şi dacă G este integrabilă

157

pe Δ, atunci f este integrabilă pe Dy şi

Dy

fx,y, zdxdydz Δ

y1x,z

y2x,z

fx,y, zdy dxdz.

3) Fie Dx x,y, z ∈ R3 : y, z ∈ Δ şi x1y, z ≤ x ≤ x2y, zdomeniu simplu în raport cu Ox şi f : Dx → R . Dacă pentru orice y, z ∈ Δ

există integrala Riemann Hy, z : x1y,z

x2y,z

fx,y, zdx şi dacă H este integrabilă

pe Δ, atunci f este integrabilă pe Dx şi

Dx

fx,y, zdxdydz Δ

x1y,z

x2y,z

fx,y, zdx dydz.

De exemplu, formulele de mai sus se pot aplica pentru orice funcţiecontinuă pe domeniul simplu respectiv.Teorema precedentă generalizează teorema de descompunere a integralei

pe paralelipiped.Semnificaţia intuitivă a formulelor de descompunere a integralei triple este

următoarea. Pentru a „însuma“ valorile funcţiei fx,y, z pe Dz, pentru fiecarepunct x,y ∈ Δ „însumăm“ valorile funcţiei f pe secţiunea lui Dz cu paralelala Oz dusă prin punctul x,y, 0 , apoi „însumăm“ aceste „sume“ când x,yparcurge Δ.Observaţie.

a,bc,de,f

gx hy kzdxdydz a

b

gxdx c

d

hydy e

f

kzdz, unde

g : a,b → R , h : c,d → R şi k : e, f → R sunt funcţii integrabile.Integrala triplă pe un domeniu cuprins între două plane paralele cuun plan de coordonate

Teoremă (de descompunere a integralei triple ca succesiune dintre ointegrală simplă şi o integrală dublă) Fie D ⊂ R3 un domeniu compactmăsurabil Jordan şi f : D → R o funcţie continuă. Dacă D este cuprins întreplanele z c şi z d, iar secţiunea lui D cu planul z h se proiectezăortogonal pe planul xOy după domeniul Δh, pentru h ∈ c,d ,atunci

D

fx,y, zdxdydz c

d

Δz

fx,y, zdxdy dz.

Exemple.1) Calculaţi I

D

xy yz zxdxdydz, unde D a,b c,d e, f.

Soluţie. Folosind liniaritatea integralei şi descompunerea din Observaţia

158

precedentă avem I a

b

xdx c

d

ydy e

f

dz a

b

dx c

d

ydy e

f

zdz a

b

xdx c

d

dy e

f

dz,

de undeI 1

4 b − ad − cf − eb ad c d cf e f eb a.2) Calculaţi volumul corpului K mărginit de paraboloidul eliptic

P : z x2a2 y2

b2şi planul z h, unde a,b,h 0.

Soluţie. Avem VK K

dxdydz. Domeniul compact K este simplu în

raport cu Oz, fiind cuprins între graficul funcţiei u1x,y x2a2 y2

b2şi graficul

funcţiei u2x,y ≡ h. Se consideră proiecţia lui K pe planul xOy, reprezentată

de mulţimea Δ x,y ∈ R2 : x2

a h 2 y2

b h 2 ≤ 1 .

K

dxdydz Δ

u1x,y

u2x,y

1dz dxdy Δ

u2x,y − u1x,ydxdy

Δ

h − x2a2

y2

b2dxdy h ariaΔ −

Δ

x2a2

y2

b2dxdy.

Am calculat în capitolul ”Integrale duble” Δ

x2a2 y2

b2dxdy

2 abh2 şi ştim

că ariaΔ a h b h abh, de undeVK h abh −

2 abh2

2 abh2.

11.5. Schimbare de variabile în integrala triplăCa şi la integrarea funcţiilor de două variabile, la integrarea funcţiilor de

trei variabile scopul principal al unei schimbări de variabile este acela de aînlocui domeniul de integrare cu un alt domeniu, având o structură geometricămai simplă.Fie D′ şi D domenii compacte măsurabile Jordan în spaţiu şi T : D′ → D o

transformare dată de Tu,v,w xu,v,w, yu,v,w, zu,v,w.Definiţie. Spunem că transformarea T de mai sus este regulată dacăa) T este bijectivă, continuă şi cu inversa continuă;b) T este de clasă C1 pe intD (mulţimea punctelor interioare lui D);

c) Jacobianul Dx,y,zDu,v,w

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

nu se anulează pe intD.

Se demonstrează următorul rezultat, analog primei formule de schimbarede variabilă.Teoremă (Schimbare de variabile în integrala triplă) Fie D şi D′

domenii compacte măsurabile Jordan în R3, T : D′ → D o transformareregulată şi f : D → R o funcţie continuă. Atunci

159

D

fx,y, zdxdydz D′

fxu,v,w,yu,v,w, zu,v,w Dx,y, zDu,v,w dudvdw.

Observaţie.La trecerea în coordonate sferice scriem x rcos sin, y r sin sin,

z rcos, adică Tr,, rcos sin, r sin sin, rcos. Aplicaţia T estede clasă C1 pe 0, 0, 0,2. Jacobianul Dx,y,z

Dr,, r2 sin seanulează numai dacă r 0 sau 0 sau , adică pe imaginea inversăprin T a axei Oz . Aplicaţia T : 0, 0, 0,2 → R3 este surjectivă,dar nu este injectivă.. RestricţiaT : 0, 0, 0,2 → R3 ∖ 0,0, z : z ∈ R este bijectivă, declasă C1, cu jacobianul nenul. Inversa ei se obţine exprimând coordonatelesferice în funcţie de cele carteziene. Astfel, rx,y, z x2 y2 z2 ,x,y, z arccos z

x2y2z2şi x,y, z se calculează ca unghi polar.

Se observă că T−1 : R3 ∖ 0,0, z : z ∈ R → 0, 0, 0,2,T−1x,y, z rx,y, z,x,y, z,x,y, z este continuă peR3 ∖ x, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R şi discontinuă în punctele semiplanuluix, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R . Pentru ca T să fie transformare regulată, estenecesar şi suficient să luăm restricţia

T : 0, 0, 0,2 → R3 ∖ x, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R,Tr,, rcos sin, r sin sin, rcos.

Dacă D ⊂ R3 ∖ x, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R, luăm D′ T−1D şi aplicămformula schimbării de variabile sub forma

D

fx,y, zdxdydz D′

frcos sin, r sin sin, rcos r2 sin drdd.

Dacă D conţine puncte ale semiplanului x, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R, formulade mai sus se poate totuşi aplica, deoarece intersecţia dintre D şi acestsemiplan are volum nul. În acest caz D′ este închiderea mulţimiiT−1D ∖ x, 0, z : x ≥ 0, z ∈ R.Dacă D este o bilă centrată în origine de rază R, vom lua

D′ 0,R 0, 0,2.Atunci

x2y2z2≤R2

fx,y, zdxdydz

0

R

r2dr 0

sind 0

2

frcos sin, r sin sin, rcosd

Dacă D este un cilindru circular cu generatoarele paralele cu Oz, atuncieste convenabilă folosirea coordonatelor cilindrice r,, z.

160

Exemplu. Folosind coordonatele sferice, calculaţi:1) Volumul bilei de rază R.Soluţie. Putem lua bila D cu centrul în origine, întrucât volumul este

invariant la translaţii. În coordonate sferice, lui D îi corespunde paralelipipedulD′ 0,R 0, 0,2. Avem

V D

dxdydz 0

R

r2dr 0

sind 0

2

d 0

2

d 0

sind 0

R

r2dr,de unde

V 2 2 R33 . Am demonstrat formula cunoscută de la geometrie

V 4R33 .

2) D

x2 y2 z2 dxdydz, unde D : x2 y2 z2 ≤ 4.

Soluţie. Domeniul compact D este o bilă cu centrul în origine, de rază 2. Încoordonate sferice, lui D îi corespunde paralelipipedulD′ 0,2 0, 0,2. Avem

D

x2 y2 z2 dxdydz 0

R

r2dr 0

sind 0

2

rd 2 0

R

r3dr 0

sind R4.

11.6. Aplicaţii ale integralei triple1. Volumul unui domeniu compact măsurabil. V D

D

dxdydz

Se consideră un corp având forma domeniului compact D ⊂ R3 şidensitatea x,y, z kg/m3 .

2.Masa corpului este M D

x,y, zdxdydz.

3. Coordonatele centrului de greutate al corpului sunt abscisaxG 1

M D

x x,y, zdxdydz , ordonata yG 1M

D

y x,y, zdxdydz şi

cota zG 1M

D

z x,y, zdxdydz.

4.Momentele de inerţie ale plăcii în raport cu axele de coordonateIOx

D

y2 z2 x,y, zdxdydz, IOy D

x2 z2 x,y, zdxdydz,

IOz D

x2 y2 x,y, zdxdydz.

5.Momentele de inerţie ale plăcii în raport cu planele de coordonateIxOy

D

z2 x,y, zdxdydz, IyOz D

x2 x,y, zdxdydz,

IxOz D

y2 x,y, zdxdydz.

161

BIBLIOGRAFIE

1. N. Boboc, I. Colojoară, Matematică (Elemente de analiză matematică),Manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991.2. G. M. Fihtenholţ, Curs de calcul diferenţial şi integral, vol. I-III, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1963-1965.3. Gh. Gussi, O. Stănăşilă, T. Stoica,Matematică (Elemente de analiză

matematică), Manual pentru clasa a XI-a, Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 1984.4. M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiză matematică, volumele

I şi II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.5. V. Postolică, V. Nimineţ, Analiză matematică, Matrix Rom, Bucureşti,

2000.6. Gh. Procopiuc, Analiză matematică, Iaşi, 2002, http://.7. M. Roşculeţ, Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1979.8. O. Stănăşilă, Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.9. S. Stewart, Calculus: Early Vectors, Preliminary Edition, volume II,

Brooks/ Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1997.10. I. Gh. Şabac,Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

Culegeri de exerciţii şi probleme

11. L. Aramă, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferenţial şiintegral, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978.12. Gh. Bucur, E. Cîmpu, S. Găină, Culegere de probleme de calcul

diferenţial şi integral, volumele II şi III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966.13. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1989.14. N. Donciu, D. Flondor, Algebră şi analiză matematică (culegere de

probleme), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.15. V. Postolică, G. Spătaru-Burcă -Analiză Matematică. Exerciţii şi

probleme, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2002.

162