carte analiza matematica

7/24/2019 Carte Analiza matematica

1/68

Anqliza

matemttticd

este

o ramurd imltrtt'lrm ti

(r

ttltttemalit.ti.

L,t

avdnd

uiolicabilitate

in

multe

olte domenii.

Autti

i:tt

t't'Lt r1

t

\le

cea

rlt'.:lti,

care

v oru dis

cula

in

c o

r

t tinuare.

Luc

rarea

es te ut

t i

ndrumar

penl ru sem int

t

t t

t

l

t

/

t

r

i

i r

t

t l

i :,i

mal

emt,

t t t,, r

cqre

se adreseqzit

Studenlilor din.anul

I

',/,

ri

./ttt'trlt


2/68

Toate

drepturile

asupra

acestei

edifii

Editurii

VICTOR

apartin

O Ioana

SICRIERU,

2014

ISBN

97 8-97 3- 181 5-8s-s

CTIPRINS

Introducere.

CAPITOLUL

1

NOTITINI

DE BAZA

ALE MATEMATICII

1.1. Alfabetul

grecesc........,..

9

1.2. Notafli din logicamatematic6.......,,.,.. 10

1.3. Formulematematice.... 10

1.4. Mul1imi... l8

1.5. FuncJii..... 19

CAPITOLUL

2

$IRURI NUMERICE. LIMTTE

DE

$IRURT

2.1 .

$iruri

de numere reale

..........,....

21

2.2.Limite de

giruri

25

2.3.

Exercilli

rezolvate..-......

29

2.4. Exercigii

propuse........... 46

CAPITOLUL 3

SERII

NUMERICE

$I

SERII

TAYLOR

3.1. Serii numerice 49

3.2.

Serii

Tay1or.............

51

3.3. Exercilii rezolyate 53

3.4. Exercilii

propuse

65

CAPITOLUL 4

CONTINUITATE

4.

1. Defrnilii. Proprieti(i

4.2.

Exercilii rezolvate

4.3.

Exercilii

propuse

CAPITOLUL

5

DERIVABILITATE

67

68

76

5.1. Formule

qi

reguli de derrvare......

79

5.2.

Derivata

parfial[

9i

diferenliala

unei func(ii in R'

..................

81

5.3.

Extreme locale

pentru

func1ii

in

R'

..........,.......

84

5.4.

Exercilii rezolvate ... 85

5.5.

Exercilii

propuse

102


3/68

CAPITOLUL 6

TNTEGRABILITATE

6. I . Forrnule

qi

reguli

de integrare

6.2. tntegrale improprii

6.3. [ntegrale EuIer..............

6.4. Integrale

curbilinii........

6.5. Integrale dub|e.............-

6.6. Exercitii

r

ezolv ate

6.7. Exercilii propuse

Bibliografie

INTRODUCERE

Analiza

matematici.

se ocupe

cu

studiul

entitalilor

matematice

din

punct

de

vedere al

varialiei

lor

sau al unor

proprietAti

generale

sau specifice.

Analiza real5

se

ocupe

cu

studiul

riguros

al

derivatelor,

impreun5

cu

aplicafiile

lor,

gi

al

integralelor

funcliilor

(de

o variabild

sau de

mai

multe

variabile)

cu

valori

reale,

aceasta

incluzAnd

studiul

limitelor

(de

giruri

sau

de

funcfii)

qi

al

seriilor.

Volumul

de fafd prezintd

cititorului

capitolele

de bazd ale

analizei

matematice reale.

Este structuratd

iri

6

capitole,

fiecare

dintre

acestea

cuprinzdnd

o

scurtd parte

de

teorie,

pentru afamiliariza

cititorul

cu

noliunile

gi

formulele

necesare

rezolvdrii

problemelor;

un

numir

mare de

probleme

rezolvate

pas

cu pas, pentru

a

fi inlelese

cu ugurinfd

gi

10

probleme

propuse,

pentru

ca studentul

sd-gi

poatd

verifica

cunogtinfele

acumu]ate.

Capitolul

I, intitulat

Noliuni

de bazit

ale matematicii face

o

scurtd

trecere

in revisti

a

noliunilor

de bazd

din algebrd

$i

trigonometrie,

noliuni

care ne sunt

de folos

la

rezolyareaproblemelor

de

analizdmatematice.

Cel

de-al

Il-lea

capitol,

$irurl

Limile

de

Siruri,

cuprinde

4 subca-

pitole

in

care

sunt

prezentate recurenfele

girurilor,

girurile monotone

gi

mdrginite,

diferite

criterii

de

convergenld

a

limitei

unui

qir gi

limitele

remarcabile

ale

girurilor.

in

acest capitol

sunt

rezolvate

25

de

exercilii

care

cuprind

toate

noliunile

de

teorie

prezentate.

Serii

numerice

gi

serii Taylor

este

denumirea

capitolului

III.

Criteriile

de

convergenfl

a seriilor,

exerciliile

rezolvale

qi

cele

propuse

sunt

prezen-

tate

in

4 subcapitole.

Al

IVlea

capitol,

denumit

Continuitate

are

3

pdrfi

(teorie,

exercifii

rezolvate

gi

exercifii

propuse).

Studiul

funcliilor derivabile,

derivatele parfiale gi

diferenliala

unei

funclii

sunt

prezentate

in

5

subcapitole

care

formeazd.

capitolul

numit

Derivabilitste.

Ultimul

capitol,

Integrabilitate,

format

din

7

parli gi

avdnd

45

de

exercifii

rezolvate

este

cel

mai

amplu capitol

al

acestui indrumar.

Aduc

sincere

mulfumiri

corpului

profesoral

al

specializdrii

Informaticd.

pentru

sprijinul acordat,

rectorului

Universitdlii

Hyperion

gi

colectivului

Editurii victor,

fdrd de

care

publicarea

acestui

volum

nu

ar

fi

fost posibild,

10s

107

108

108

109

110

135

137


4/68

CAPITOLUL 1

NoTIUNI

DE B AZA ATE MATEMATICII

1.1.

Alfabetul

grecesc

Alfabetul

grecesc

are

24

de litere, care

sunt

foarte

des

folosite in

matematicd

gi

alte

gtiinle

exacte, ele

devenind

simboluri

penlru

anumite

elemente.

Tabelul

l:

Affabetul grecesc

LITERA MARE

LITERAMICA DENUMIRE

A

rI

Alpha

B

0

Beta

f

Y

Gamma

A

5

Delta

E

Eosilon

Z

Zeta

@

e Theta

H

rl

Eta

I

Iota

K

K

Kaooa

1 Lambda

M

p

Miu

N Niu

,

xi

o

o

Omicron

n

7l

Pi

P

P Rho

,

o

Sisma

T

T

Tau

Y

t)

Ynsilon

o

I

Phi

x

x

chi

Y

v Psi

o

cr)

Omeea

Utilizarca

literelor

grecegti

drept

simboluri se

face

dupd cum urmeazd:

in geometrie,

unghiurile

sunt notate cu

0

(theta

mic) sau

a

(alpha

rnic);

in

algebri,

discriminantul

unei

ecualii

de

gradul

al Il-lea

se

notaze

cu

A


5/68

(delta

mare);

)itera x

(epsilon

mic) se foloseqte

pentru

a desemna

valorile

neglijabile;

lilera

n

(pi

mic)

se folosepte

foarte

mult

in

trigonometrie,

desernneazd

raportul dintre

circumferinfa unui cerc

Ai

diametrul

seu,

are

valoarea

aproximativA

3,1415926536;

litera

a

(omega

mic),

in

frzicd,

descrie

viteza

unghiulari; litera

A

(omega

mare) este

simbolul

pentru

ohm,

unitatea

de

m[surd,

in

SI,

a rezisten]ei electrice;

litera

p

(miu

mic)

este

simbolul

prefixului,

in SI,

micro, htera

p (rho

mic),

in

matematicd,

indicd

coordonata

radiald intr-un sistem

de

coordonate

polare,

iar in fizici, este

simbolul

pentru

densitate;

litera

)

(sigma

mare)

este

,$rlizatd,

in

matematicd

pentru

a descrie o

sumd de elemente

etc.

1.2.

Notafii

din

logica

matematici

Pentru

a

simplifica

scrierea

vom

folosi notaliile

qi

simboluri

din

urmitorul

tabel.

Tabelul 2: Notalii din logica matematicd.

SIMBOL SEMNIFICATIE STMBOL SEMNIFTCATIE

Esalitate

\J

Reuniune

Eealitate

prin

definitie

a) Intersecfie

Diferit

de

C

Incluziune

Anroximativ

eeal

q_

Nonicluziune

Mai mic

sau egal

C

Complementara unei mulliml

Mai mare sau

egal

Diferen[d de

mullirni

o-

*

Compunere

de

functii

x

Produs carlezian

V

Oricare ar

fi

Implicagie

=

ExistI


6/68

ry

6,

rpV

rAb

g

1''j

-F--

,na

t\.

-i,0)

i

W

rp.'i

l.

(r,0)

8?'

ka

t

r$,

I

F,

@

(0,

-l)

*5\'

- -

ry

Figura 1:

Cercul trigonometric.

ELEMENTE

DE TRIGONOMETRIE

Tabelul 3:

Sensul

funcliilor

trigonometrice.

G,

Cadranul

I

Cadranul

ll

Cadranul III

Cadranul IV

sm0

+ +

cos ct +

+

tgq

+ +

ctg o

+

+

Tabelul 4:

Valorile

funcliilor

trigonometrice pentru

unghiuri importante.

d

0

fr

6

n

4

t

n

2

2x

T

3n

4

5r.

f,r

n

'1fr

6

5n

4

4r

3

3r

2

5tr

3

7T

4

I

ln

6

2n

45',

I

35"

t50'

.

I

80' 210' 225' t40"

270"

300'

15"

-l

J0"

stn

q

0

I

2

J'

2

.13

2

Ji

2

J'

2

I

2

0

l

2

J'

"6

I

6

,5

l

_,

0

2

2 2

2

cos

q

,E

Z

J'

2

I

2

0

_t_

2

t:

-2

_J3

2

E

2

r

-2

_l

)

0

I

2

J;

2

Ji

2

lgd

0

.E

-l

,6

E

r

-2

0

,6

3

l

, 3

Ji

-,8

3

0

cl

gd

.t,

J3

3

0

_.t;

3

-.6

,t,

I

-Ji

3

0

r:

_T

,tE

12

13

Formule

trigonometrice:

o

sin2

x + cos2 x:L

formulafundamentald

a trigonometriei,'

.

cos(a

1-

b)

:

cosa

cos b

4

sin

a sin

b;

.

sin(a

+

b)

=

sin

a cos

6

+

cos a

sin &;

o

sin2x:2sinxcosx;

.

coszx=cos2r-sin2

x=l-2sin2

x=2cos2

x_7:

.

sin3x=3sinx-4sin3x;

.

cos3x

=

4cos3

x-3cosx;

.

ts(a

+D

:

E :lEb-

;

tg(a-

b)

=

-tsq

-tsb

.

o\'

-'

7-ryatgb

7

o\-'

1+tgatgb'

)tt

t to )v

=--------9-.

)

l

-

tg'x

_x

)to-

-"6

s

a

slnlr

=-',

-

)X

t+tg':

2.

)tu

-"6

1

a toY=

L

'

"6'"

_.

)

l-tuz1

"2

.x smx

1^

"b

2 I

+cosx'

-

tX

I_ts'_

"a

cosx

=

-.,

-

tX

l+ts'-

"2

-

'tx

t-tc';

)tuL

-"6

2

Transformarea

sumelor in

produse:

o

sinP

-sinq

=

2sin

4"or ) ,

22

r

cos p

+

cos

4

=

2cosLlA

cos4;

22

o

cosp

-cosq=-ZrinP ^4

sin ^9;

22

.

sinp

+

sin

4

=

2sin

4 "ot4,

22

, ..t

sin(a+b).

.

tgq+tgb=-

cos a cos b

sin(a

-

b)

.

iga-lgb

=-.

cos 4

cos

b


7/68

Transformarea

produselor

in

sumd:

-:,-

-

:_-,-

cos(a

-

6)

-

cos(a + 6)

.

.sln4slnr=

2

;

.

cos(a

+

6)

+

cos(a

-

D)

.

rcos"zcosb

T;

.

Sln4COSr=

2

.

ALTE

FORMULE

MATEMATICE

.

12

+22

+32

+42

+...+n, -n(n+l)(Zn+l).

6'

.

13

+ 23 +3) + 43

+...+

n3

=l

"(n

+t)

1"

.

L

2

)',

.

an

=

a,

*

(n

-l)r

termenul

generql

al unei

progresii

aritmetice;

.

S,

=

(a'

+-a')n

sumo

primilor

n

termeni

ai

unei

progresii

'2

aritmetice;

.

bn

:

br'Qn

-'

termenul

general

al

unei

progresii geometrice,'

.

S,: br'+,q+l suma

primilor

n

termeni

ai

unei

progresii

q-t

geometrice;

.

S,

:

n'bp

q

=l

suma

primilor

n

termeni

ai

unei

progresii

geometrice;

o

s

=

(a,

b)

:

(a,0)

+

(0,

lxb,

0)

:

(a,0)

+

i(b,

0),Y

z e C, a,

b

e R;

forma

algebricd a

unui

numdr

complex;

a este

partea reald

a

numdrului

z, iar

b este

partea

imaginctrd

a

numdrului

z;

.

z

=

a +

bi

=l

zl=

^l

a2

+

b2

,Y

a,b

e R, modulul unui

numdr

complex,'

.

z

=

a +

bi

=

Z

=

a

-

bi,V a, b

e

R, conjugatul unui

numdr complex;

i

0

:

I, il

=

i,

i2

=

-1,

i3

-

-i,

i4

:1)

puterile

numdrului

i;

o

7=lz

f(cosg+ising),

scrierea trigonometricd

a unui

numdr

complex;


8/68

g=

Arg(z\=arg(a)+

zk'N,k

e

Z,

z + 0 argumentul

complex na

este

unic

determinqt;

unut numar

o

q=arg(z)=

*,.(*)

a>o,bR

",,,s( )*n

ao

*"r(:)-"

h

2ab,Y a,b eR

(egalitate

o a

=

b);

.

a' +b2 +c2

>

ab

+bc

+ ca,Ya,b,ce

R

(egalitate


9/68

1.4.

Mulfimi

Noliunea

de

mullime,

de

element

al

unei mdlimi

gi

de apartenenle

a

unui

element la

o mullime fac

parte

din

categoria

noliunilor

primare

ale

matematicii.

Noliunea de

mullime

are

un rol

fundamental

in analiza

matematic[.

Existd

doud

modalitifi

pentru

a

descrie

o

multime,

gi anume:

-

o mullime

poate

ft datd.

prin

enumerarea

elementelor sale, adicd

A

=

{a1,a2,a1,...,an};

-

o

mullime

poate

fi

datl

printr-o

proprietate

a elementelor sale, adicd

A

=

{x

lP(x)},

ceea

ce

inseamnd

cd toate

elementele

x ale lui

A

au

proprietatea

P(x).

Pentru

mullimile

cunoscute avem urmdtoarele

nota{ii:

o

$

mullimeavidd;

.

N:

{0,

7,2,...,

n,...} mul}imeanumerelornaturale;

.

N*

:

{1,2,

..,,

n, .

..}

mulfmea

numerelor

naturale

nenule;

.Z:

{0,+1,+

2,...,

*

n, ...}

mullimeanumerelorintregi;

.

Z*

:

{+

1,

+

2,

...,t

n,

...}

mullimeanumerelor

intregi

nenule;

l8

.

O

:

{}|

n,

m

Z;m

+0}

multimea

numerelor rafionale;

.

Q"

=

{ll

n, m

eZ;n,m

*0}

mullirnea

numerelor

rafionale

nenule:

[m)

.

R

-

(-oo,

+

co)

mullimea numerelor reale;

.

R*

=

(--,

+

"o)

\

{0}

mullimea numerelor reale nenule;

.

F

=

1-*,

+

co]

rnulfirnea

numerelor reale

cu

*

oo,

.

I:

R \

Q

mullimea

numerelor

iplionale;

.C:

{z=(n,m)ln,meR};

,=ni+nx,

mul}imea

numerelor

com-

plexe;

Relalia dintre

mullimile

de

mai sus

este: N

c

Z

c

Q

c

R

c

C.

Reamintim

urmatoarele

reguli

de

calcul

cu mulfimi:

o

AwB={xlxeAsauxeB};

.

AaB={xlxeAsixeB};

.

A\B:{*l*eAsi x4B};

c

Ax B

:

{x

=

(o,b)la

e A si

b

e B};

^

(Aw

B,);

i

=1,n

1.5.

Funcfii

Definifie:

Fie doui mullimi A

qi

B.

Se

numegte

funclie

(sau

aplicalie)

definit[

pe

A ctvalori

in'B tripletul format

din mullimile

A, B

qi

o

lege

care

asociazd

fiecarui element

din

A un

unic

element

din

B.

O

asemenea

funclie

se noteazd

f

:A-+8,

rar eiementul

din

-B

care

este

asociat

elementului

a e

A

se noteazd

f

(a)

Si

se

numegte

valoareafuncliei

f

in punctul

a.

OPERATII CU

+

oo

@-a=arVaeR;

.

Nedetermindri:

q,-

oo;

0.(t*);

:,

=,

1';

oo0;

00.

'

un(,y.,r,)=,

y,,@^B,);

r,(, ,,,

j=

o

Egalitalite

lui

DeMorg

^,

,(,),,o,)=

,q,CA,t

'(,q.u')=

,y,'o'

19


10/68

Definifie:

Fie

f

:

A

-+

B

o

funclie.

Se

numegte

graJicul

funcliei f

submullimea

G

:=

{(a,

f

(a))l

a

e

A} c

Ax

B,

u;nde

Ax

B

este

produsul

cartezian

al mullimilor A

Si

B.

Defini{ie: Fie

f

:A-+B

o

fi.rncfie.

Funclia

/

se numeqte

injectivd

daci.

x +

y

=

"f(*)

+

f(y)

sau,

echivalent,

.f(*)

=

f(y)

e;e

=7.

Funclia

/

se

numegte

surjectivd

eY

beB,laeA

a.

i.

"f

(a)=0.

Funclia

/

se

numeqte

bijectivd

salu

biunivocd

dac[. este

gi

injectivd

gi

surjectivd.

Definilie:

Fie

f

:

A

-+ B

o

flrnclie.

Notdm

f(A)

=

{f(a) I

a

e

A} c B

Fie

gtf(A)

-+C

o alta funcfie. Definim o noud

funclie

h:A--+C

astfel incdt

h(a):g(f(a)),aeA.

Funclia h

astfel definitd se

numegte

compunerea

funcliei

/

cufunclia

g

qise

noteazd.

h=g"

f

.

Definifie:

Funclia

f

:

A-+ A, care asociazd,

fiecdrui

element

din

A

pe

el insugi,

se

numegtelfzncyia

identicd

a

mullimii

gi

se

noteazd 1r.

Definifie: O

funcfie

f

:A-+.8 se numeqte

funclie

inversabilii

dacd

existi

g:B-->A

astfelincdt

B"f

=In,

f

og=Is.

Dacdfuncfia

f

este

inversabilS

atunci

funcfia

g.

se nume$te inversa

funcliei f

gi

se

noteazd

cu

.f-',

deci

(.f-'

.

f)(x):x,Y

x e A,(.f

"

-f-')(y)=

y,V y

e B.

Funclia

f

:A->-B esteinversabill


11/68


12/68


13/68

o

Criteriul

majordrii:Fie

(a)rrt

un

gir

de numere reale.

Dacd existd

i e R

gi

(b)nt

cu

proprietatea

cd,

)r*U,=O

$i la,-lln(e)

un

rarlg

fixat,

atunci

)r*",:1.

Dacd. existd un

Eir

(b),r,

astfel

inc6t

an

2

b,,,Y

n

2

n(e)

un

rang

fixat

gi

lim

bn

-+oo,

atunci

lim

an:+co.

Daci

existd

un

Sir

(b,),r,

astfel

n+@ n-)@

incilf

a, bn,

Yn >

r(e)

gi

)r*b,

=-oo,

atunci

lim

an

=-.r.

o

Criteriul

clestelui:

Fie

(an)r.y, (bn),rr

$i

(cr),r,

trei

qiruri

de

numere

reale

astfel

inc6t

a,1b,3c,,

Yn)noeN.

Dacd

ttm an

-

lim c

,

=

/,

atunci

lim

b,

=

l.

n-+@ n-+@

c

Lemalui Stolz-Cesaro:Fie

(an),>r

$i

(b,),r1

doud

giruri

de numere

reale, astfel incdt

girul

(b,)nrt

este

strict

crescdtor

gi

nemlrginit,

cu

termeninenuli

Ai

ty,_ffi=1,

leR.

Atunci

avem fimff:t.

.Fie

(an),>r

utr

gir

de

numere

reale

strict

pozitive,

cresc6tor

Pi

nemirginit.

Atunci

,lim

a

=

0.

-*

a,

tFie

(a,)nrr

li

(bn),r,

doud

qiruri

de numere

reale,

astfel

incdt

lim an

=

0,

iar

(b,)

nl

este

mlrginit. Atunci lim

(a

n

'b

)

=

0.

u-)@

.

Fie

(sr),r,

un

qir

convergent de

nutnere

reale.

Atunci

girul

tl

I

a,

D,r,

este

convergent

qi

]r*lo,

l=

l,tgl+1,

adica, Iimita

modulului

este egalS cu

modulul

limitei.

tFie

(a,),,rr

$i

(b,),r1

doui

giruri

convergente de numere

reale,

astfel incdt

]r*t,=q,

iar

]t\b,:6.

Atunci

qirul (a,

tbn),r_r

este

convergent

$i

,lim

(a,+b,)=a*b,

adici,

limita

sumei este

egal[ cu suma limitelor.

oFie

(an),rt

$i

(b),rt

doui

$iruri

convergente

de numere

reale,

astfel

incAt

)r*o,=a,

iar

)*b,

=6.

Atunci girul

(a,'b,),,t

este

convergent

gi

,lim

(an-b,)=a-b,

adic[, limita

produsului

este

egali

cu

produsul

limitelor. Dacd

a

=fo

gi

b:0

nu

putem

spune

nimic

despre lim

(a,

'b,).

.Fie

(an),rr

$i

(6,),r,

doud

qiruri

convergente

de numere

reale,

astfel

incAt

lim

an:

a, iar lim b,,

=b.

Dacd

b +0,

atunci

pirui

(t),.,

n-)6 n-)6

este convergent

pi

lim

I

%

l=+

,

-*lb,

)

b

Limite

remarcabile

Fie

girul

(*),

r1,

xn

R-

gi

lim x,

:

O.

Atunci:

n)@

.

lim

ti"'

=1;

rimtgx'

=7;

li*

utttin"

=l;

n

-t@

xn

,-w

xn

n-)@

xn

.

,r,,

ln(l+x,)

=1,

l+ x,)o;

n)6 Y

'-n

nxn-7

.

lim

" ^

=Ina.

a>O,a+l;

n)@

Y

.,n

..

(1+x,")"

-1

o

lirn

:-------lt'-

=

Ct,

51

R;

n-+6

Y

li^

o"t9'n

=7;

n_>6

Xn

,]y-0

+*);

=e,

x,*o;

ll

I

llm

l+-+-+...+-=C:

n-+q ll, 2

n

lim

lnn=o;

lim

{=g;

n-)@

,7

n)wgn

lirn

4l;

=1,

o

e R'

;

,,y_f

=

,t

la,

q>l

I

lima'=J

l'

q=l

;;;" I

O,

ge(-l,l)'

I

[-,

qs-l

26

27


14/68

.

Fie

(ar)o>r

un

$ir

de nurnere

skict

pozitiv

ti

fi-

I

=

/.

Atunci

n)4

an

I*^di

=r'

o

Fie

polinomrn

P(n)

=arnP

+ao-flp-r +.,.+

a1n*dst

ahmci

P(m)

are

limita 1im

P(x)

=

liy

arnl

=ap'Qi

.Fie

polinomul

Q(n)

=bonq

+bn-fiq-t

+...+brn+br,

atunci

p(r)

are

limita

liyg(rr.)=

]i*Orno

=bo'q;

,.

P(n)

a

llm:=

n.-+-Q(n)

0,

dp

bo'

aD

+.Q-

bq

grad

P

< grado

grad

P

=

gradQ;

grad

P >

gradQ

Limite

laterale:

Fie

X

cRn,

Y

cR^,

o

funclie

f

:X -+Y

gi

xo un

punct

de

acumularePentru

Dt

c

X.

Defini{ie:

Spunem

cd

I

e I este

limita

funcliei

f

tn

punctul

xo

Si

scriem

/

=

lim

f

(x) dacd

V

V(l)

cY,lV(x)

c:

X a.i.

f

(V(xoD

cV(l).

J-+J0

Definifie:

Spunem

c-a

I e I

este

limita

funcliei

f

in

punctul

xo

Si

scriem

I

=

lim

f(x)

dacd:

x+

xo

,_,

V

a

>0,

I

6(e) >

0

a.i.V

x

e

Dt

\

{ro},ll

r-ro

llll

f@)-/

ll ro, x eV(x) r: D, avem

f

(x)

e

V

(lo)-

Limita

la stdnga

pi

limita

la dreapta se numesc

limite laterale.

Limite

iterate:

Fie

XcRn,

Yc.R', ofunclie

f

:X->I,

unpunctdeacumulare

pentru

DrcX,

notat xo=(ro,

,...)xoj)...,x0,)

gi

x=(r,,...,xi,...,x,)

un

punct din

domeniul

func{iei.

Definifie:

Se

numegte limitd

iteratd

a

funcliei

f

in

punclul

xo:(x0,,...,x0,...,x0,),

limita: ,=r,t*r,

,rr*or...r,r9or

.f(*r,...,xn).

Pentru

o astfel de functie

existd n

limite

iterate.

2.3. Exercitii rezolvate

l. Dali

exemple de

subsiruri

ale

Sirului

numerelor

naturale.

Solu{ie:

$irul

numerelor

naturale pare:

(an)n.,,

2,4,6,8,

10,...

$irul

numerelor naturale impare:

(an),t

1,3,5,'7,9,

...

$irul

constant:

(an)

r>t

4,4,4,4,4,

...

$irul

puterilor

lui

1 0:

(a,)

,,_r

IOJO2

,103 ,

104,

10s

,

.

.

.

.

$irul

alternant:

(a,),>t

1,0, 1,0,

1,...

2.

Se

dau

Sirurile:

(ar)rrr

1,

0,

1,

0,

l,

.

..

Si

(br)r4

b,

Sd

se efectueze

toate operaliile

posibile

cu

aceste

doud

Siruri.

Solu{ie:

(o,),..,

1, 0,1,

0,1,...

1

',

4\h

(b),rt

bn==t

-(b)ort

0,1,0,1,0,...

Fie

(c,),r1

suma

celor

doud

piruri:

(")nr,.

1,1,1,1,7,...

1+

(-1)'

il

1t

I

r*

I

r

I


15/68

Deci,

(an)nr_t

2,

-3,2,

-3,

2,

-3,

...

4. Sd se afle

termenul

general

al

Sirului

(a,)r.,

dacd se dau

at=2, az=70

$i

ar+t=2ant3an_r, n)2.

Solu{ie:

Metoda

/,

Se

afld

pe

rdnd termenii

girului

gi

se

stabilegte

termenului

general:

n:2+

ar=2ar*3ar=26=33

-l

I

n

:

3 +

ao

=

2a, *

r^o,

-

r .:

r^

^:,

.

I

=

an

:

3n+

(_1),.

n

:

4 + ar

=

2ao *

3ar

=

Z+2

=

3'

-l

I

n

:

5

=

ao

=

2er*3an

=730 =

3o

+

1

I

Metoda 2.

Se

aplicd

teoria de

la recurenle

liniare

de

ordinul

II:

x'*t

=2x'+3x'-l

l:x'-l

+ *2

-2*-3=o

5.

Sit

se

afle

termenul

general al

Sirului

(an)nr-,

dacd se

dau

furnenii

at:0,

ar=1

Si

an+t=2an-an-1,

n22-

Solu{ie:

Scriem

ecuafia

caracteristicS

gi

o

rezolvdm.

in funclie

de

r[ddcinile

acesteia

scriem

formula

termenului

general:

x'*r

=2x'

-x'-t

l:xn-t

=

*'

-2*+1=0=+(x-l)2

=0

) xr=r.r-1

x1,

x2

R,

xt

=

x2

=

x +

an

=

(An

+ B)x"

-

an

=

(An

+

B)

I A+B=a, lA+B=O

(z-t

)1.,"--t

=l^Tu-v

,=1,'-,

)o_=n_1.

l2A+B=a,

l2A+B=l'

lB=-1

6.Sd

se

aJle

termenul

general

al

Sirului

(an)nrt

dacd

se

dau termenii

4

=

-5,

a,

=l

Si

2Qn

+r

=

an

+

an

-1,

n22.

Solu{ie:

2x2

-

x-l

:0

)

A=9

=

x,

Rrx,

+ x2 )

s,

-ln

Fie

(d),,r,

diferenfa

celor doud

giruri:

(d,),,,

1

Fie

(e

),,,

1

produsul

celor

doui

giruri:

(e,

),

,

,

3. Sd

se aJle termenii

Sirului

(an)n^

Stiind

cd

a,

1,-1,1,-1,1,...

0,0,0,0,0,...

^

q,

-5

-

Ls un+l

-

ar-I

)

42,

=

-3,

A2n*1

=2.

termenii

formula

=1-y.=-1

2

o.(-+)'

u

) ctn

=

o.(-;)',

--5

fA=-r / rY

-t

=1'='

)a'=-l+8

l-;)

X1t 12

e

I

n-

l2

I^.i

r-l)'

=

ctn

-

-t+7;t

Bxrn ) e,

=3n

A+

(-l)'B

lA=1

+l_

=a--3"+(-l)".

|.B=1

rt

A

:

b2

-

4ac

=

4

+12

=

16

=

xr.,

x1, x2

R,

x'

* xZ ) Qn

=

Axrn +

l3A-B=a,

ltA-g=z

I

t

...^,

\s,L*a=o, '\no+B=to

-bt"[E

=It

=

3rxr--l

7.

Sd

se

afle

termemtl

general

al

Sirului

(a,)nr,

dacd

se

dau termenii

=7,

oz=2

ii

ort2-3an*r+2a,

=0,

n,-l,

Solu{ie:

r'

-3x+

2

=0

+A

=1

+ x,

=

2,

x,

=7

x1t x2G Rr\* x2) dn

=

2n

A+l'B

=

a,:2'

A+

B

fz,t+B=r

[n=L

1

^

i

=

{;=,

)a,,=1+o=

an=2'-1.

l4.a+B=2

[a=o

z

30

31


16/68

8.

sd

se

aJIe

termenul general

al

sirului

(an)n>t

dacd

se

dqu termenii

:0,

a2=1,

2en*,

:

rli

r,

+b,

si

2bnt,

+a,

=Jjb,

nrl.

Solufie:

Cdutdm

o

relafie

intre

termenii girutui

(ar)n>t;

2a,

-1=

Jl

a,

+bn

3

S,

=2o,_

,

-Jl

o

rl

2bn

*,

+a,

=.li

b,

I

)

zD,

+l

tan

=

=

J112o,*1-Jl

o)

=

2b,

t

t

*en

=2Ji

q,_

t

-3o,

) 2bn*r

=

=2Ji

an

+t

-4a,

) bn

*t

:

Jl

a,

*,

-2an

2o,

*

t

=

Jl

o

n

*

b,, --- - :J-+

2o,

*

2

=

Ji

o,

+

t

t b,

*

t

)

=

2a,

*

z

=

J3

e,

+t

*

Ji

on

*,

-2on

) 2qn

+z

=z^fi

an

*1-2an

a

)en+2=^Jion+t-en.

Afldm

formula

termenului

general

al

girului

(ar),>,

cu ajutorul

recurentei

liniare

de

ordinul

II:

*'-Ji*+l=o+A-

r+.'

-

Ji*i

_f

I

\:1_,

x,

xt)

x2

eC

\

R

+

an

=

r'

(Acosn


17/68

.,.

_(,-i)

(,-i)

[,-#tr)

(,-#r,)

_r

I

'

@

+z\z

(,-i)

('-+)

[,#r)

Qn+r

n2+2n+4-l

-?=

z

-

I

clt

an

=

=-.

)n

+7

cu

numitorul

pi

vedem dacd

girul

este

marginit:

n

+1


18/68

Solu{it:

29

a) Punem condigia:

fr.

o,

Obtinem

urmitorul

sistem:

,-f-1:)'.'

l.ta-t l

\.4 )

31

29 3n+2 31

\_-

l0 10 n+4

10

ln>96

lne(96,+":)

---\

1

----r

?

ln>-104

[re(-104,+"o)

Dacd,

ne(96,+co)

gi

neN-, atunci ne{1,2,3,...,96}.

Deci, in

afaraintewalului

v

=("

.a)

u,u",

96 de termeni.

[10'10/

3n+2

bl

an=ffi=m=

at=7,M

:

lim ar:3=l

I

en13 Y

neN*.

L6. Sd se arate cd

Sirul

(on)n,_1,

ufide a,

convergent

pentru

a>7.

Solufie:

Pentru

a > 7, deoatece exist6 m e R* a. i.

2*

1

n


19/68

e

=ro_3

=l_r*

3

*zl.ro_,=l1l

3000

=

n>2999.

Deci,

n(e)

=

3000.

18.

Sr,

se demonstreze

cd

Sirul

(ar)n>t>

cu

termenul

general

deforma

sin.x sin2x sinnx

o,

=-T

+

*

+

...*

z,

este

convergent.

Solufie:

Pentru

a demonstra cd un

qir

este

convergent

este

suficient

sd

ardtdrn cd

el este

gir

fundamental

Cauchy.

Deci:

Ve>0,1n(e)>

0 a.i.

Ia,+p-anln(t),peN.

lsin(n

+ I)x

,

sin(r +2)x

.

sin(r

+

3)x

.

sin(n

+

p)xl

la,*p-on,=l

*,

+-7;it+tfi

+ff1l

4=7

q

e

(-l,l)

q

-1

r('.#.#)

2

n

'

+2);

2

+211=

.{"[t.;).,

42

Pentru

prima

limit[

folosim

formula

lim

q'

-

r-+@

43

(


22/68

2oY

q=l

.

I

\a'+l)

a>0=q

a2+l>2o>q

/

^

\u

=liml

'I

n-*\qz

+l)

1-

g-11-=l

'

a'+7

2a=0)a=0

a2 +7= a:+i

rl-

lim

y,

=

tim

nkl

^l'*'

-

n_6

n)@

[Vrz+l

+ lim

o'

=[l'

4

=7

n-*'

[0,

qe(0,1)

1

(0,

l)

>01

l=02=

k>1

k+l=2=

k=l

24.

Sd

se

calculeze

limita

funcliei

ro

=

-1.

Solufie:

'J*+g

-z

-f(x)=T

in

Punctul

0

,.

'Jr'

+9

-2

o

llm

__

x-+-1

*u

-7

lim

13 +9-8

q

0

*'-*1r

e6

-rx{.1qf

*z\F

*g

*+)

1r."qy,

a2S19aay


23/68

..

t^[;i

-z

+ lrm-

x+-l

,o

-l

x3 +7

1x3

-l;1x3

*rXifir'*f

*z\[*\g

*+)

4.

Sd

se

studieze

mdrginirea

girului

^\

4

_

l+3+5+...+(2n-1).

a)

un

-

l+ 4

+7

+...+

(3n-2)'

(or),r, cu

termenul

general:

ln1+ ln2

+...+lnn

n+l

ln1+ln2

+...+lnn

n+7

1.2+2.3+...+n(n+l)

24

b)

x,,

=

25. Sd se calculeze limita lim

x

>0

v

--+o

l-cos(x3 +y3;

x2+y2

12

+22

+

...+

n'

5.

SI

se

studieze

convergenfa

pirului

(an),r, cu

tetmenul

general

de

gk

forma

an

=

r1t*t1*,

6.

Fie

(a,),>t

$i

(b,),'1

doua

Eiruri

de numere

astfel

incAt

at=2,

4=i

si

an+t:2an*3br,

iat

b,,*r=anl3b*

n2l'

Sa

se

afle

termenii

generali

a,

Si

b,.

7. Sd

se

calculeze

lim

un(x,

y)

=

(xn, y,,)

infiecare

din

cazurile:

Solufie:

Folosim formula

1- cosx

=

2sin2

]

n"r,.o

a

sc6pa de nedeterminare,

dupi

care

folosim limitele

iterate:

o

2sir,,

*3 +

y'

,r.rz

x3

+ y3

["

*''

)'

,.,

t-co (x3

tv3)l

li,

---4=

1;p

-----2-.,

=,

J

=

;aB

*' +

v'

il$

xz

+

1,2

;*

(

r *.y,')'

*'

+ y'

tr.l

=2timGt

vt\'

=2tim(

y^*u

*2tvt

vu

)=r,,.n

L=l

ti,,

*o:1

x-+on4(x'+l') x+0(r-+o

4(x"

+y")

)

x--+0 ,yL

)x+0

2

,.

t-"o.(r'*y')

-.rrl--=v.

-+U

X-

+V-

-l+o

2.4.Exercitii propuse

1.

Fie

girul

(ar)r,

I

ct)

at=d., a:=F

li

,r*r= *.

Sd

se

o

afle termenul

general qi

sd se calculeze

)r*",.

2.

Sd

se determine

termenul

general

ai

girului

(a,)r>r

dat de relafia

z)

x,,:;(,.i

.: .;-),

,.

=

b)

x.=,(r+-li),,,,=

:2

Si

an

*r(3+

a,)

=

5a,,

+3.

3. Sd se

studieze

monotonia

girului

(a,)n>t

dat

de relafia

de

recurenld

:3,

an+r=2ar+3'.

42

(-

n)'

c)

xo

=

*,

l,

=13+

tin:

|

.

2n'

\

o'i

I

8.

Sd se arate cd urmdtoarele

qiruri

au

limita

indicatA:

. n2+l ..

I

z)

an=l--l-l-,

ltm

an=;;

zn +n

n+@

/'

/ r\

b)

a,

=

lnl

t

-:

l,

Iim

a,

=0.

\

n)

n-)@

9.

Se

se

determine

a,b

e R

pentru care

funclia

.f

:

R

lt

-f

(x)

=]

tt

+

*)', , ) 0

are

limita

in

xo

=

0.

|. ,*q,x


24/68

-l

,)

lTl0

+x2y217*1.

y'+o

b)

-l

c)

lim

I

frrirl*r)'

*

+v+0.

'*g-r+y\

x

')'

y)v

48

49

CAPITOLUL

3

SERII

NUMERICE

$I

SERII

TAYLOR

3.1.

Serii

numerice

Definifie:

Fie

{x,}r.1r

un

gir

de

numere

reale sau complexe

qi

s,

=

Zxt.

$irul

{s,},..v

Se

numegte

serie asociatd.

Sirutui

{",},.,

gi

se

k=l

@

noteazdcu:

x1,

Z*0, Z

*0.

k=l keN

k

n

Avem:s,

=Z*tr:xt+x2+...+xk+...+xn,

unde

termenul xk se

k=l

numeqte

termen

general

al

seriei,

O serie

numericd

se

poate

defrni

gi

ca

({xn},{s,})

unde

elementele

girului

{x,},.N

se numesc

termenii seriei,

iar

elementele

girului

{sn},,N

se

numesc

sumele

partiale

ale seriei.

Astfel

s,

se

va

numi

suma

porlield

de

ordin

n

a

seriei.

Defini{ie:

Spunem

ci

seria

,s,

este

serie

convergenld

daca

girul

t*,j

n .ry

este

convergent

(adica

pentru

s

e

R, avem

"

=

,rI1

,,.

Elementul

.s

se

nume$te

suma

seriei,

Deci:

ir,r=

lims,,.

O serie

care

nu

este

n=l

t1-+@

convergentS

se

numegte

serie divergentd.

Definifie:

Fie

s,

=i1-t)'*,,

x,20.

O

serie

altemantd

in

care

n=l

{rr}r.il

este

un gir

descrescdtor

c6tre

zero este convergentS.

Definifie:

O

serie

,n

=i*,

se numegte

serie absolut

convergentd

dacd.

seria

ilr,

I

este

converglntd.

n=1


25/68

Defini(ie:

Orice

serie

care

este

convergentd

oricare

ar fi

bijeclia

o

=,4/

-+

-A/

se

numegte

neconditionat

convergentd.

O

serie

numerici

este

absolut convergentd

dacd ea

este

necondilionat convergentd.

Definifie:

O serie convergentd

care

nu este

absolut

convergentd

se

numegte serie semiconvergentd.

CRITERII DE

CONVERGENIA:

7.

Criteriul

necesar de convergenld

a

unei

serii;

f

,,

"oru..genti

=

lim

x,

=

g.

f,

n+a

2.

Criteriul

comparaliei ;

lcr>l

serieconvergentd

s sr I

L*,. L-=j o=l

nuse

gtienaturaseriei

ttI

l".t

seriedivergentd

3.

Criteriul comparaliei

la

limrtd

@l

doilea criteriu al compara[iei):

Fie

date

seriile

ix,,irn,

xn20,

yn>0,

nN*.

Daca

existd

gi

este finitd I

=

lim

l-

* O,ut-lr"i

""t"

doud serii

au aceeagi

naturl.

n-)6 1)

JN

4.

Criteriul integral al

lui

Cauchy;

Fie

f

:

[1,

+

oo)

-+

,R continud,

descrescdtoare,

"f

(*)>_

0, Vx

>

I

gi

fie

x,

=

.f

(n),Y

n e

N.

. Atunci

ix,

este

conver

gentd

dac|

gi

numai dacd

qirul

({),,,,

definit pin

Fn

=

1'rrn

*este

mdrginit.

5. Criteriul raportului

(Criteriul

lui

d'Alembert),-

ix,;

=t

=

7

.

CriteriuI

Raabe-Duhamel

:

Se

considera

(*)nr, un

gir

de numere rea\e,

x,

>

0,

V

n

e

N*

.

*

(

t [/'l

serie

convergentd

i*,,

=/

=

lim ,l

-l-t

l= ]

I

=7

nu se

qtie

natura

seriei

Ft"

'-'-

(',*,

)

[l.r

seriedivergentd

8

-

Crit

e riul

I

o

garitmului :

t,ra

lt

rl

serieconvcrgenta

ir,,:

=l

-

lim

*= l,

=,

nuseqtie

naturaseriei

Er"

n-++q

lnn

[l.r,

seriedivergentd

i

9.

Crileriul

pentru

produs

de

Siruri

(Criteriut

lui Abet):

Se

considerd

qirurile pozitive

(x,),rr

$i

(y,),r,

unde

(x,),', este

qir marginit,

iar

(y)nr,

este

gir

descrescitor

cu

lim

y,

=

0.

*

lr,

i

,"r,"

conversenta

Z*ny,;

l/:

lim xt+xzt...+xn)l-

n

=1

n

-+

+@

[/

.

1 serie

divergentd

10.

Criteriul

lui

Leibniz:

Dacd

xn

s O,

(x,)

n,,

;ir

descrescltor

9i

lim xn

:0,

atunci

seria

alternantd

i{-l)'-'",

este

conver

genta

@ai"Frl

,..r.

alternanti

este

n

=l

convergentl

daci

modulul

termenului

ei

general tinde descrescdtor

la zero).

3.2.

Serii

Taylor

Defini(ie:

Se numegte

serie Taylor

a

funcliei

f

,

centratd'

in xo

e

R,

o

serie

de

puteri

de

ror-u

i

'f(')(x0)

(x-x0)'.

r=0

nl

Dezvoltarea

in

serie

Taylor:

Fie

un interval

.I

c R

9i

o

funclie

f

: I

-+

R indefinit derivabili

in

punctul xo

e L

Considerdm

seria:

f

(x)=

,r*^r*.f'(xo)

-f(')Qi

',

-f"

'

')('o),rr-ror'-'

l

(r_

xo)+..

*_;i(r-*o)

*

@+1)l

Criteriul

radicalului (Criteriul

Cauchy)

:

@

_

f,

.,

serie absolut

convergentd

lx,;

1/

=

lim

da

=

)1

:l

nu

se

gtie

natura

seriei

n

=t

n

''

+@

[l

, r

serie

divergenta

6.

50

51

Asociem

funcliei

/

un

polinom

numit

polinom

Taylor

de

gradul

I

convergent

cdtre

zero.

observatie:

Daci

0e

1 gi

f

:I-+R

este

indefinitderivabildin

0,

atunci

formula

de dezvoltare

a

funcliei

/

in

serie

Taylor

in

jurul

punctului

0

are

forma:

.f(x)=

-f(0)*lrf,{o)* fOl*...*t-fr,(o).

o

astfer

de

serie

Taylor

se

mai

numeqte

serie

Mac

Laurin

a funcfiei

/.

DEZVOLTAREA

iN

SEzuE

TAYLORA

LINOR

FLTNCTII

ELEMENTARE;

l.Fie

f

:R-+R, "f(x)=e',

f

indefrnitderivabild,

xo:0

avem:

.f(x)=1+ +t

*.

.* l-*...=

i

".

2l

nl

fro

n '

2.Fie

f

:R-+R,

.[(x)=sinx,

f

indefinitderivabild,

ro=0

avem:

.f

(*)=:-+.++..

+111;'

, -"-,1,

*...=

i

1-1y

'-

.

I 3 5 \ -/

(2n+l)l

"'

,10'

''

(2n+l)l'

3.Fie

f

:R

-+

R,

-f(*)=cosx,

f

indefinit

derivabil[,

xo

=

0

avem:

-2

*4

--2n

* 2n

.f(x)=l-:+a+...+(-1)'

'

+...=

t

(-t)n

x

-.

4t.

en)l

,f:r'

-,

12nyi

52

53

l.

Fie

qeC

si

seria

geometricd

iq'-l+q+qz

+...+qn. Sd

se

n=0

demonstreze

cd

seriq

este

convergentd

doar

pintru

I

q

ll

=l

q

l'>

l

deci, lim

q"

+

0

ceea

ce

contrazice

egalitatea

)*r'=o'

Dir

relaliile (

1

)

ti

(2)

=

seria

f

q'

este convergent[ el

q

l


27/68

Deci,pentru

e

=1,

VneN

1p=,

astfelincdt

ls,*o-r,

111=

2

--

t-n+P

z

girul

nu

este

fundamental

=

gir

divergent,

deci

seria

este divergentd.

3.

Sd

se studieze

natura

seriei;

L--=I-

^

;

a e R\2._.

n_slo-tn)\q+n+l)

Solutie:

Fies,=lim

:rl

-+0

n__>*la*n)(a+n+l)

1AB

(a

+

n)(a +

n +D=

o

*

r+

; *

o

*1

l=A(a+n+7)+B(a+n)

7=

A.o+

A.n+

A+

B.

a*

B.n

1=a(A+B)+n(A+B)+A

lA+B=o lA=t

:+i

+{ :+

lA=1

'

[r=_t

-

t11

=_

(a

+ n)(in

+t)-

ai-;

+

n

+t+

==,$ I =S I _T r

_

-

f;o@

+

n)(a *

rnU-

3r,

*

r-, oo

+

n

+t:

lltll1t1

a

q+l

a+2

a+n

a+l

q+2

"i

";;i-

_s

I

1

I

I

oe

(1,

oo)

gi

seria

este

a

1

divergentd

dacd

:e

(1,

oo)

=

a

e

(0,

l).

a

sd

se

studieze

natura

urmdtoarelor

serii

folosind

criteriul

comparaliei:

,$

1

"

L.

s[-a--]'

n=r\n.+l

54

e-r=+ I =$ I :f I

.

,1tn(l+a+...+a')

fr1n@+l)

,7r12

+n

-

3

cr,

=

2

=

2 > 1

=seria

este convergentS.

Solu{ie:

s-l

,{r . t--;-

,=t\l n"

+7

:1

)

_r=

i

sl

I

1=

seria este

divergenti.

,.

f

1.3.s...(2'z-l)

fr,2.5

'B...(3r

-

l)

=

r,,['*1)'=

n-)6

n'

,

,-\.

n

)

,.__

xn+t

,,,_-

1'3'5...(2n-l)'12(n+l)-11

2

5'8...(3n

-1)

,-a

xn

n-+*).5'8...(3n-l).[3(n+1)-1]

1.3.5...(2n-l)

..

2n+1 2

2

:lim

-

-

=-

+-


29/68

tz.i("*b,);o,b,,,d.

,7r\rr+

d

)

'

Solu ie:

considerdm

-,=(##)'

..

qn+b q

Irm

_:_

n-+agnLr6l

C

Disculie

dupa

parametrit

a, c.

a

.

ac+-

>1

=

seriaeste divergentd.

L

Sd se

studieze nqtura urmdtoarelor

serii

folosind

Duhamel:

*nl

13.

I+:ae(-l.oc).

*"

t

I

+ a)(2

+

a)

+

..

.+

1n

+

a)'

.

e

:

I

=

nu

se

gtie

natura

seriei.

.

a

(1,

+

co)

=+

seria

este

convergenti.

@.

14.

Lr'nn.

n=l

Solu(ie:

-

lnn

Uonsloefam

Xn

=

o

lnn

xn:a

ln(, + l)

Xn+l

a

'

.,'

lt ln, \

nn

nl

-2-1

l=

lim

n(qtnn-

ln(n+1)

-11-

n+- (.qtnln+t) ) n--

R.

n^,(o

,-a

I

,, '

_rl

ln'

n +l

_-

a

--1

,

n

=

ILLLL

II

i-+*

,

n

n+l

lim

n.lna'ln

n

=lna

lim

n171- -=

;;;'

n+l

n-)6

n+l

Solufie:

Considerdm

x,

=

(1+

a)(2+ a)+...+(n+

a)'

n

(l+a)[2+a+...+(n+7+a)]

n+l

/\n/\n

=lna

lim

n(

n

I

=lnaln

ri,"[-1=l

=

"'-'i'l* \n+l)

,-*\n+7

)

I

(

1 \l-('*1)'#

=lnalnlimll+l

-

ll

=

r-+-f

\

r+l/l

n

lim

-n

=

lnalnrlim

e

'*l

=lnalne'+anil

=lnaTne-l

=-lna'

Disculie

dup6

parametntl

a:

11l

o

-ln

a>7=ha> lne=

'

>

s+

ct


30/68

n=1

Solu(ie:

^^--_jr

.:.

a(a+l).....(a+n-I)

Uonsl0eram

*,=ff.

(n+1)".(n+l)l

(n

+l)(n+l)"

a(a+1)...(o+

n-l)(a+n)

(a+n)n"

(n

+l)"

-

n"

/l'

=

d

n

n

*,

=

a(a

+7)

...(a

+

n

-1)

xn+r

no.n

n-,(:,--r)=

ri*

,ltl

[u)"-rl=

m

,-*

(r,*,

)

,--

[z+a

I

n

)

^]

,':;

=

Iim

Cln"

+Cln"-1

+...+CIl"

-n"

_.t

n-)@ n.i-=:Lo

=C['

Disculie

dupd parametrul

cr

:

.

c(

I

=

seria

este

convergentd.

sd

se studieze

nqtura

urmdtoarelor serii

folosind criteriul

logarit-

mului:

q/

16. \-

I

LI

n=2\

Solutie:

I

G

r lnz

I

)

considerdm

o

=f+)''"':

:,*+a=

Jr'n'.

---

"n \J' 1 ;tnn - *'

n

,-

1

rrr-

, rlnn

rim

;

x'

=

fi*

ln '

=

6*lnn'1n"ln

=

rim

Ji-+oc=

-+aly1n

n-)@

lnn

;;;

lnn

n)@

=

+oo >

I

=

seria

este

convergenti.

60

6l

?ot^[r'

+2(n2

+l)

SoIu{ie:

Considerdm

r,

=

'ffjg'all

,[na11"a21

'

1

X,

lim

n-)

ln

s,{-nz

a2p2

at1

ffiGn

-

,.^tn(nz

+2)1+ln(nz

+ )-ln(n+1)2

-liln+2)

lnn

n-+

@

Inn

=

lim

n-rq

lnn

lim

n

--t@

7

6

2l

-.

lnnl

+1nn2

-Lnni

-lnn

n-+@

lnn

1

)

-:

) 1

=

seria este

convergentd.

6

@

18.

\nt"o'.a>0.

n=2

Solu{ie:

Considerlm

xn

:

n\"o

ro,[?*z- -r)

\3

7)

lnn

11

lno'

xnn

,l

1

tn-

ln-

rim

x,

=

1i^

,G:

1i-

lnr-ln'

=

ri*-l\o'ln'

=-rna.

n-+*

l11n

;;;

Inn

n-+a

lnn

n-+@

lnn

Disculie

dupd

parametrul

a:

o

-lna>t+

ln1>lne

+

Lr

r-

o. .1+serieconvergent['

aae

o

-lnq=1=ln1 =lne) =r=r= =

se

obline

seria

aae

@'l

armonicd

)

:

care

este

divergentd.

n

=2fl

I

I

1


31/68

o

-lna


32/68

11

^-Ll

"

(n+1)-In(r+l)

n-lnn

n

-lnn

-

n

-l+ln(n

+l)

f(n

+

l)

-

ln(n

+

l)1.

(n

-

ln

n)

-lnn

-lne

+Ln(n

+1)

J4')

\ne

)

[(n

+

t)

-

ln(n

+

l)]

.

ln

-

ln

nl

[(r

+ 1)

-

ln(n

+

l))

.

(n

-

ln

n)

*[U:l]

0

y

n e R*,

\ne )

n-lnn>0YneR*

Deci

xr*t-xn

10V

neR*

=girul

este

descrescdtor.

Existd

serie

altemantd

datoritd

lui (-1)', deci seria

consideratd

este

convergentS.

24.

Fie

funclia

/:

X \

{2}

-+

R,

f

(x):

--]-

Sd se

dezvolte

in

serie

x+2

Taylor

in

jurul

punctului

xn

=

Q.

Solu{ie:

Cdut5m

formula

pentru derivata

de

ordinul

n

a

f:urrlcfiei

f

.

.f'(*)

=---1-;

.['(x)

=

=

]--

-;

f,,(x)

=

-

U

,

(x+2)''"

(x+2)''"

1x+2)o

Derivam

gi

ob{inem

,

(-l)'

'n

(x-0)'

(0

+2)'*

t

nl

64

natura

seriei

65

in

serie

Mac

Laurin

in

iurul

punctului xo

=

0.

Solu{ie:

Avem

-f'(x)=---1-=

g(x);

g'(x)

=.1'

g"(x)

=--2-

9i

l-x

(l-x)' (1-x)'

oblinem

g@t

@)

=

(-l)'-'

:' +

(r-xl

s(x)

=c(0)

+

s'(0).i

+

s"

Q)'

*

..+

g'D

101'-

=

=

-t

+, +

2.

{

.. ..(-

t)'*'

.

rr.

++

g(r)

:

-l

+ x

+

x2.

. . +

(-1)'

* |

-

x' .

-1

2l

nl

"f(x)

:

s@)d\

=

-.

-+-++

.+(-1)'*1

3.4. Exercifii

propuse

1.

Sd se calcuLeze sumele

seriilor

date

prin

termenii

generali:

1

"

n(n +l)'

/ r\

a,=tnl

1+11.

\

n)

*

-2

--_

1

fr,

(n+l)t.

nt-l

x

n+l

3.

Sa

comparaliei.

4.

Sa

raportului.

5.

Sd

se

studieze

criteriul

radicalului.

I

n-

Ir

n=l

-f

9t

II

n=tl

-1-l

roto.i,o

4l

3l

se

studieze

natura

seriei

L--=-

folosind

criteriul

,=tlnt

-n

2

arcsina

folosind

criteriul

2n

se

studieze

natura

seriei

13 +23 +...+n'


33/68

6.

Sd

se

studieze

natura

seriei

I

folosind

criteriul

Raabe-Duhamel.

7. Sa

se

studieze

natura

seriei

i

r+tt

folosind

criteriul

n=t\nn)

logaritmului.

8.

Sa se

studieze

natura

seriei

i.io4.

I

folosind

criteriul

lui Abel'

it

4n

9.

Sa

se

studieze

natura

seriei

i

f-ri'

:-

folosind

criteriul

n'l

n

+L

Leibniz.

10' Fie

frrnclia

f

: R

-+

R,

f

(*)

=

arctg

x'

Sd

se

dezvolte

in

serie

Mac

Laurin.

CAPITOLUL

IV

CONTINUITATE

4.1.

Definifii.

Proprietifi

Defini{ie

(continuitatea

cu

giruri):

Fie spaliile

metrice

(,S,

d),

(S',d'),

f

:AcS-+S'

o

funclie

Si

a;A

un

punct

fixat.

Spunem

cd

f

este

continud

in

punctul

ae

A

da6d

pentru

orice

gir (r,),.N

cA,

convergent

la

xo,

girul

(f (*,))

este

convergent

gi

,lim

./(x,)=

f

(a).

Defrni{ie

(continuitatea

cu

vecinlt5fi):

Spunem

cd

f

este

continud

in

ae

A

dacd,

pentru

orice

vecindtate V

a

punctului

f

(a)

in S'

existi

o

vecinitate

U apunctului

a

in S

astfelincdt

f(U

aA)cV.

Defrnifie

(continuitatea

cu e

):

Spunem

cE

f

este

continud

in

a

e

A

Defini{ie:

Funclia

f

este

c9 ttgJgL 9lpin

a e

,4

dac[

exista

f

(a-0)=

lim

f

(x):.f

(a).Funclia

/

este

glltin

la_4 4t in

a

e

A

daclexistd

f(a+O):)ry,,f(*):f(a).

Funcfia

f

este

continuiin

aeA

daclt

f

(a-

o)

=

f

f,*ii -

16.

Defini(ie:

Spunem

cd

a e A este

punct

de

discontinuitote

de

spela

I

pentru

funclia

f

dacd

aceasta

nu

este

continul

in a sau

dach

limitele

laterale

ale

funcliei

/

in

punctul

a

existd,

sunt

finite,

dar

nu

sunt

egale:

="f(a-0)e

R,

f(a+0)e

R+

f(o-0)+f(a+0);

1

f("

-0)

e R,

f(a

+ 0)e

R

=

"f(a

-0)

=

f(a

+ 0) *

f

(a).

Defini{ie: Spunem

c5

a e

A

esle

punct de

discontinuitate

de

spe{a

a

II-s

pentru

funcfia

.f

dacd

cel

pulin

una

din

limitele

laterale

nu

existd

sau existd dar nu este

finiti.

dacdV

e>

0,

5(e)

>

0 a.i.V

x+

a,dinl*-al< 5(e)

+l

f

(*)-

"f

(a)l


34/68

5.

:R\{11}+ R; xo=-1.

8. Sd

se

determine

domeniul

de continuitote

pentrufuncfia:


35/68

f

f(x)=*,

Solu{ie:

Rescriem

funclia:

f

(*)

=4

=

.

*---

.1

-,

=

I

-

.

x'-7

(x-l)(x+l)

x+l

I

t

1l

Ve>0,16>0a.i.lx+l

l=2x>o=-u>o

I

Avem

]i*r'*

=

lim

(e2')'

=

11,

e2^'

=l

+

2x:0

=

x

=

0.

[0,r"

0=

u, >0+=,lirn,/G)

=

-f(a),

-f(a)

=sincr

=

functia

este

continud

pe

intervalul

(0,

+

oo).

10.

f

:R+R;

"f(x):

lim

n-)@

lx-lle^

+a(x +7)2 e-"

nx

-nx

e +e


36/68

f

(0-0)

=,lgXcosx

=1;

f

(0+

0)

=,l5sin.x:0

=)

funcfia

nu

este

x0

continud

in

punctul

xo

=

0.

Deci,

domeniul

de

continuitate

al

funcfiei

/(x)

este

i-.

sd

se

determine

constqnrere

reare

pentru

care

Juncria

f

este

continud;

9.

f

:R->R;

f(x)={2"

*3h"xe(-*'11

wf2'+a)

|

8x-3,

xe(1,2)

Solufie:

Funcfia

este

continudpe

R

\

{1,

2}

fiind

exprimat[

prin

funclii

elemen-

tare.

ca

funclia

sd

fie

continud

pe

intreg

domeniur

de

defini1ie,

ea

trebuie

sd

fie

continud

qi

in

punctel

e 1

Si2.

Deci:

f(t-0)

=

f(l

+

0)

=

f(r)+

tim,

.f(x)

=

tim

f(x)

=

f(t)

)

;:,'

il,'-

'

'

=

lim

2*

+3b'

=

lim.gx

-3=2o

+3b

=2o

+3b:5.

x-+l

x-+l

xl

f

(2-0)=

f(2+0)=f

(2)=>

tim^f(x)=

trm^f

(*):

-f

(2)=

x

2

=

lim

8x-3=

lim2*

+3b,

=22o

+32b

+22"

+32b

=13.

->2

x

+2

x2

Rezolvdm

sistemul

format

di,

cere

doud

ecualii

gi

aflam

constantere

a

$i

,.

I

,"

*36

=5

_ [

2'

=s-3n

I

z"

=5-3,

lz"

*32b

=13-lr"

+3,n

=

rs

=l1s

-30),

+3ru

=13)

_ f

2o

=5-3b

"l

2o

=5-3b

-

1r.

32b

-lo.3b

+tz=

o

=

tr"

-5.30

+6

=

o

+

I

z'=

5

-3'

+{

[1sb

-211:6

-3)

=o

{lh

=

Z,3D

=

3

==

[a,

=

1ogr3,

a,

=

1

12'

=3.2'

=2

-

[4

=

logr2,bz=l'

72

73

Solu{ie:

Calculdm

limita:

I

x

-lle"

+a(x

+

1)2

lim

n

-+@

lx-lle*+a(x+l)2e-*

_

W-W

e +e

I

;

e

lim

n-+@

"*+l

W

e

,. lx-l le2*+a(x+l\2

-

llrrl

-"""--

-

atlll

n-)6

e'* +l

,-)4

lx-ll*a(x-+l)2

l'1x+1)2,x0

Funclia

"f

(*)

este continud

pe

(-.,

0]

u

[0,

+

.o)

deoarece

este

formati

din

funclii elementare.

Pentru

ca

f

sla fie

continud

pe

R,

ea

trebuie

sd

fie

continud

in

xo

=

g.

Deci

/(0

-

0)

=

/(0

+

0)

=

-f

(0)

)

hn.f

@)

=

h\

f

(x)

=

f

(0)

-

x0

=

a(0 +1)2

=10

11.

.f

:.R

-+

R;

a+l

-ll=

2

+a-L

[

^e*,x10

@)=

[r1rr*r-

2)+c,x>o

u'=J's4+19

Solu{ie:

Functia

f(*)

este

continui

pe

formatd

din

func1ii elementare. Pentru

ca

sd

fie

continui

in xo

=

9.

(-*,

0] u

[0,

+

oo)

deoarece

este

f

sdfie

continud

pe

R,

eatrebuie

Deci

./(0-

0)

=

/(0+

0)

=

f

(0)=,lim^

/(x)

:,ltr"^/G) :

f(0)

=

13. Folosind

definilia

cu ,

sd

se studieze continuilatea,

in

origine,


37/68

x0

+ lim

axe*:limb(x2

+x_ 2)*c=0

+-2b*c=0)c=2b.

x-+0

x-+0

r0

u

rr^

.[(x)

- f(0)

R,

f(x,D=1?;7'*"

I

[o

,x2

Solufie:

V

s

>

036(e,

0, 0),

l

rl< 6,1 ylR

gi

punctul

xoeR.

Spunem

cd

funcfia

f

este derivabild la dreapta

tn

punctul

xo,

dacd

limita

la

dreapta

in

acestpunctexistiqiestefiniti:f)@i=,YW.Aceas1dlimitd

se numeqte derivata

la

dreapta

"fr."ti"iiir

r:;:;

.,

Definifie:

Fie funcfia

f

: R

-+

R

gi

punctul

interior

xo

e R.

Spunern

cd

funclia

f

este

derivabild

in

punctul

interior

xo,

dacd

derivatele laterale

in

acest

punct

sunt egale

intre

ele

gi

egale cu derivata

func{iei

/

in

punctul

xo :

fi@)

=

"fJ@)

=

.f'(x).

Definifie: Dacd funclia

f

este

derivabili

de

(n-1)

ori

pe

o

vecinitate

V alui

re,

gi

dacl derivata

7@-t)

este

derivabild

in x,,

putern

spune ci

funcfia

/

este

derivabild

de

n

ori

in punctul

xo

gi

se noteazd

-ft')(*).

Avem

"f@)

@i

=

,ry1

xeV

f@)

@)

=7y@-t)Y1xo1.

/-(,

-t)

@)

_

7r,

-r)

7xn)

5.2.

Derivata

parfiali

qi

diferen,tiala

unei funcfii

in

R,

Definifie:

Fie funclia

f

: D c.R'

-)

R,

-f

(rr,...,xn)

o

funclie

de

n

variabile,

i

. D,

t:

(ro,

,x02,...,x,j,...,xs,,)',

derivata

porliatd

in

punclul

xo se calculeazd folosind urmitoarea fonnuli:

.fi.@):{G;-

1i^

J'(xot'xoz' "''xi'"'xo')-

'f

(xot'xoz'

"''xoi'"''xo')

.

dxi

x/+xo

X-xi

x-xo

Pentru

cazul

particular

n

=2,

avem

funcfia

f

:

D

c. R2

-)

R,

. D,

-ro

(*o,y).Derivate

parfiale

r

Derivate

partiale

mixte

(de

ordinul

II):


41/68

i

=

in raport

cu

x

gi

y

sunt:

-fia0,

yi

:

ff

ro, r)=,lgo

fuH@

t

fi,Go-vi:{Go,vo)

=

lim

f

Go'v)-

'f

6o'vil

.

'

oy

y-+yo

_ o

Pentru

cazul

particular

n

=3,

avem

funclia

J

:

D c.,Rr

-+

.R,

i

. D, lo

=

(xo,yo,ro).

Derivate

parliale

in

raport

cu

x,

y

qi

z

sunt:

f

(x

6,

y

s,

z

n)

=

ff{*

o,

I

0,,

i

=,, r*ff

t

-f

,(xo,/o,zo)

=

{eo,lo,zo)

=

lim

f

(xo'y'zo)

-

f

(xo'yo'zo)

.

dy

-

y+yo

- o

f

(x

x,

y

s,

z

r)

=

{

Q

o,

yo,

z

o)

=

lim

f

(xo'

y

o'

z)

-'f

(x

o'

y

o'

z

o)

.

OZ

:+:O

Z_ZO

in

calcule

se

preferi

modalitatea

de

aflare

a

derivatelor

parfiale

folosind

formulele

pentru

derivarea

unor

funclii

uzuale.

Derivatele

parfiale

de

ordinul

n

pentru

o funclie

de

doui

variabile

se

^,f A( A,-tf

)

definesc

astfel:

--3-

v'r,vrw

o",,',.

fuk;bk

lx,

y)=

*l*@(\

y)

).

Pentru

cazul

partictlar

n=2, pentru

funcfia

f

:

R2

-+

R

de

doui

variabilexqiyavem:

o

Derivate

parfiale

de

ordinul

I:

.

in

raport

cu

x :

fj(x,

i

=

{@,

y);

ox

.

in

raporr

cu

y:

fl(x,

il

={@,

y).

-dy

o

Derivate parfiale

de

ordinul

II:

.

inraporr

cu

x:

f\(x,y)=*r*,D=+({(r,y));

Ox-

dx

\dx

)

.

inrapon cu

y:

f,iG,y)=#.o,D=+({(r,yll.

'

ry

oy\oy

)

82

in

raport

a)

xy:

f

(

x-

v\

=

O'-f

--,

.

r

x,,\^,

t

t

-

*(x,,

=

*(ffr-,

rl),

inraporr

cu

yx

:

-f,li,G,

il=

O'f

(-.

.,

a

(

af.

.

)

-ryx\-.,rr-

qrfu\x,y)=

ful;G,y))

DacS

funcfia

f

e

c2 (D).

adica

funcfia

admite

derivate

parliale

pdn,

la

ordinul

2

inclusiv

pi

acestea

sunt

continue,

atunci

derivatere

parliale

mixte

sunt

egale,

adicFt

f

(x,

y7

e

Cz (D

)

-

{

@,

r,

=

il_

6,

r),.

o*@

ayox

"

"'

Pentru

cazul

parti

cular

n=

3,,

.pentru

funcfia

f

:

R3

_+(

de

trei

variabile

x,

/

$i

z

avem:

o

Derivate parfiale

de

ordinul

I:

.

in

raport

cu

x:

fie,

,

z)

=

ff{r,

t,,

r);

.

in

raport

cu

y

:

f

(x,

,

Z)

=

{{*,

l,

,);

a'

.

in

raporr

cu

z

:

f (x,

,

z)

=

ff{*,1,4.

o

Derivate partiale

de

ordinul

II:

.

in

raport

cu

x

:

f,,,

(x,

y,

z)

=

ffrr,

,

z)

=

**(#O,

r,

A),

.

in

raport

cu

y

:

f,,(x,

y,

,)

=

ffA,

/,

z)

=

*(ff*,

l,

,l);

.

in

raport

cu

z

:

f-,.(x,

y,

r)

=

ffr*,

,

z)

=*(*",

,.

,))

oz\az

)

r

Derivate

partiale

mixte

(de

ordinul

II):

'

firi,

,

z)

=

-fi,e, l,

4 =

-6,

,

Z)

=

*({U,

y,

,));

0x0y'

ox

\oy

)

.

-fl@,

,

z)

=

.f l(*,

y,

4

=

#@,

,

z)

=

(

{U,

y,

,)),

0x0z'

'

ox\oz

),

.

-fi@,

,

z)

=

-f "(*, y,

,y

=

-L

1*.

-.

-,

a

(

af

.

)

:y\--)

r

r

-,

-

fuAr\^,

/,

Z)

=

Url*Q,

y,

r)

).

83

DIFERENTIALA

TOTALA

A

LINEI

FL]'NCTII

DE

DOUA

VAzuABILE

De

ordinul

I:

df

(x,

D=ffa*.ffr,

Pentru

cazul

particularn

=

2,

matricea

Hessiand

are

forma:

(*o.rt

#r,,rrl


42/68

De

ordinut

II: d2f

(x,

r,

=#*,

*r#*at,

*ffat,

Defini,tie:

Fie

funcfia

compusi

.f

(x,y):e(u(x,y),v(x,y))

definim

operalorul

de

derivart

^

df 0f

0u

6f

dv

z

rn

raporr

cu

x:

fi=

A,

A_.;

;

gi

operarorul

de

derivqre

in raport

cu

y:

{={

?-.{ ?.

dy

auA

Av4,

5.3.

Extreme

locale

pentru

functii

in

R,

Fie

funcfia

diferenfiabild,

f

: D

c

R,

-+

R,

-f

(xr,

...,

x,).pentru

a afla

extremele

locale

ale

unei

astfel

de

funclii

se

procedeazd

astfel:

Se rezolvd

sistemul

urmdtor

pentru

a afla

posibilele

puncte

de

extrem:

[{u,,...,

r,)

=

o

l6r

I

z.

lar

li(x,,.'.,x,,)=o

l*,

o

Se

calculeazd,

derivatele

parliale

de ordinul

I

gi

II in

punctele

reztiltate

in

urma

rezolvdrii

sistemului

precedent.

o

Se

completeazd.matriceaHessiand:

(

*r.,,..,rr)

.

{


43/68

.f"(1)=

lim(a

+

7)"'-'

=(a*l)eo

:

a+1

-

x->l

xl

f

(l)=

lim

(a

+1)e"-1

=(a+\)eo

=

a+7

x->

I

)

a*1=b-

Pe intervalul

(-oo,1]

funclia

/(x)

este derivabild deoarece

este

func{ie

elementard exponenlialA. Pe

intervalul

(1,+oo]

func{ia

f(x)

este

derivabild

deoarece

este

funclie

elementari

trigonometricd. Pentru

ca functia

f

(x)

sd

fie derivabild

pe

R, ea

trebuie sd

fie

derivabild

in

punctul

de

leg[turi xo

=7,

adicd

f (1)

=

f;(l)

=

f'(l).

rt, \ I

(a+l)e*-|,

x.-l

l'(x)

=

I

[cos(x

-l)

-

2b

sin2(x

-

1), x

>

I

-f:(l)

=

lim(a

+

l)"'

-'

-

(a

+7)eo

=

a

*

|

x+l

x


44/68

)

.1t

-

sln-

=

x'+y'

Solu{ie:

Derivatele

Parliale

de

ordinul

I:

fj(*.

y)

=

*r,,

rl

=(*=),

=

xzy

+

yi

-2x2y

-

-r;4;y-

,'

-

x'v

=

f'(x-v)t=#

Jx\^)lt-

1*2+yr)r'

af

(*v

')

f

(x,

l)

=;(r,

l)

=17

*

;

),

=

x( x2

+

v2

}

-

xv'2Y

*'

*

*Y'

-2*Y'

-

(*'

+

y2)2

(r' +Y')'

*'-xy'

=

{.1.(x.y)=-fr

Jy\*)))

G'+yr)r'

Derivatele

Parfiale

de

ordinul

II:

r

,

e.

t)

=

*('*u,

il)

=(i#)

r'

=

(xs,

o)=

[;,r)

22

2

,=

r.

-sm

2

t;(;,

af

(y.ol=

h-

a/\2'),-o

(n

\ r .

it

lT*Y )-i",

v

',"(;.,,)-'

t(;,,)-

r[;,,)

_ /_ \

=1

li* .or[

1+

, l-

)v+0 l)

-

I

)

v

n

(n

\ n

,"1,

+

Y

)-,

I

I

lim

v-+o

(y'

-

*'y),'

(*'

*

y')'

-

(r'

-

"

ilI(*:

lFl

-

(r'

*

y')o

7l

-.

=-lrm

2

y--+o

y

=

r;(;,0)=

o

2x(x2

+

y2)1-*'y-

y'

(*' *

y')o

l+l

=

r*,|[,.=^]-]=

=,n"1

=?1

"

=

r)

(r,\

=

4.

-f

(x,

y)

=

x

sin(x +

y),

,.

stnx+xcos.r

T

fi 7t

Ilm

-=sln-+-cos-

:

lim

v

-+o

,It

xslnx--

:lim

2-

TTE

x--

)

*--

-2

/_ \

=

"fl),0

l=t.

\z

)

rl

r+-

a

7

88

-2v3

+Zxz

v\

89

l'

.

2xy(xz

-ly')

) l=1 lx.

Y)=---

;---r-'

x'

"

(3y'

-

*')(*'

*

y')'

-

(y'

-

x2

y)

.2(x2

+

y')

.2y

(*'

*

y')o


45/68

(x'+y')'

a

(at.

.)

(

,'-rl'

)'-

r

se,

D

=

;lbu,

il

)=

l7l*f

t,

),

=

l*'-*y')r'("

*Y'@=

:-

z\+

(x'

+

Y')-

-

2xy(

x'

*

y'

)'

-

(*'

-2?

)2(f

t-t)'

2Z

=

-

-2s,@2

+

y|\(-x --

xy-z

--2x3

+zryz)

-

(*'

+

y')o

-li,=W

Derivatele

Parliale

mixte:

ri,e,

t)

=

*(*u,r,).'

=

(#),'

=

(r,

-*y'),'

1v2

+

y')z

-(x3

-

*y2)l(x2

+

yz)z)'

-

=

(x'

+

Y')

_(x2

+

y2)(3x4

+3x2y2

-x2) 2--y4

-4x4

+4x2yz)

-

=.

(*r+yr)n

-

xo

-

yo

+

6x'Y'

=

i ,(x,t)=-

Ui;;ry-'

f

,

(x,

r)

=

*(*o,

o)

=(b#),'

=

90

+42xsy+4ox3y+2y21.

91

')(3*'y'+3yo

-*o

-*'y'

_ *1 _

yo

+6x2yz

=fi,$,D=:

uffi-

Observdm cf, derivatele

pa\iale mixte

sunt

egale.

6..f(x,

y)

=

7 *o

y'

-

4*t

y

+ Sxz

+7

ya

.

Solu{ie:

,

"

Derivatele

parfiale de

ordinul I:

.f)(*, y) =

28x'

y'

-12x2

y

+10x;

fj(x,

y)

=

74xa

y

-

4x3

+

28y3

Derivatele

parliale

de

ordinul

II:

fi,Q,

D-84x2y2

-24xy+lO

fi,(x,

y)=74xa

+84y2.

Derivatele

parliale

mixte:

f[(x,

D:

.f[(x,

y)

=

56x'Y

-12x2.

7.

f

(x,y)=5"Y*2's

Y+x2Y2.

Solu{ie:

Derivatele

parliale

de

ordinul

I:

fl(*,

y)

-

5r'v*2rsv*,2v2

ln5.(7x6

y+l}xa y

+2xy2);

fl(x, il

=

5'7

+ 2'sv

+

""

ln5.

(x7

+

2xs

+ 2x2

y).

Derivateie parfiale

de

ordinul

II:

frr(x, )=5*'v+2'5v+*2v2

ln2 5.17x6y

+\oxay

+2xy212

+

*

5r7

t,

+2*st + *'r'

ln5

.(4zxs

y

+

40x3

y

+

zy2)

=

=> -f

", (x, y)

-

5'7

t

*

z's

v

*'2

v2

ln

5lln

5

.

(7

x6

y

+ l0

xa

y

+

2 xy2

72

+

(*'

-f

;(*,

y)

-

5'1

t*z*tv**'v2

lnz

5

.1x7

+2x5

+ 2x2

y)2

+

* 5r1

t,

+ 2*s

+

*'

r'

ln5

.

2x2

,Fi-v

f

\(*, v)

= 1)a

x'

+

y-

(x'

*'+y'-y?

.fxF;7


46/68

=

=

f

,

(x,

y)

=

5'?

v

+

2*s

v

+

*2,'

ln 51rn

5

.

(*'

+

2xs

+ 2x2

y)z

+

2x2

1.

Derivatele parfiale

mixte:

f

,(x,

carte analiza matematica

Documents