analiza matematica raspunsuri

8/14/2019 Analiza matematica Raspunsuri

1/55


2/55

2

10. Fie functia reala f : X , X n ; daca in punctul a X , f este continua si f (a ) 0, exista ovecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x V X sa avem f ( x) f (a ) < 0.

11. Daca functia vectoriala f : X m , X n este continua in punctul a X si f (a ) 0, atunci exista ovecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x V X sa avem f ( x) 0.

12. Functia f ( x, y) =3 xy4

2 x2 +7 y8

0

( x, y) (0,0)( x, y) = (0,0)

este continua in origine.

13. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este marginita pe I .

14. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este uniform continua pe I .

15. Orice functie vectoriala continua pe un interval compact I n , este diferentiabila pe I .

16. O functie vectoriala continua pe un interval compact I n , isi atinge efectiv marginile pe I .

17. Fie f : X , X 2 . Cand derivam partial in raport cu variabila x, aceasta (variabila x) este

considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila: y.

18. Fie f : X , X 2 . Cand derivam partial in raport cu variabila y, variabila x este considerataconstanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila y.

19. Daca f ( x, y) = sin( x2 + y2 ) , ( x, y) 2 , atunci f x' ( x, y) = 2 xcos( x2 + y2 ).

20. Daca f ( x, y) = sin( x2 + y2 ) , ( x, y) 2 , atunci f y' ( x, y) = 2 ycos( x2 + y2 ).

21. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . , xn ) este continua partial in raport cu variabila xk in punctula = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), atunci f este derivabila partial in raport cu xk in punctul a

F

A

F

A

F

F

A

F

A

A

F

A


3/55

3

22. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . , xn ) este derivabila partial in raport cu variabila xk in punctula = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), atunci f este continua partial in raport cu xk in punctul a.

23. Daca functia reala f ( x1 , x2 , . . . xn ) este derivabila partial in raport cu fiecare variabila x1 , x2 , . . . xn in punctul a , atunci f este continua in raport cu fiecare variabila in parte in punctul a.

24. Fie f : X , X n . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila xk este de fapt derivareafunctiei in raport cu xk , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca regulile de derivarestabilite pentru functiile de o variabila se mentin si pentru derivarea partiala.

25. Fie f : X , X n . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila xk este de fapt derivareafunctiei in raport cu xk , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca operatiile algebriceefectuate asupra functiilor derivabile partial conduc tot la functii derivabile partial, adica suma,diferenta, produsul, catul a doua functii derivabile partial reprezinta tot o functie derivabila partial.

26. Dac funcia f e difereniabil n (x 0, y0) atunci ea este continu n acest punct.

27. Dac funcia f are derivate pariale f x, fy ntr-o vecintate V a lui (x 0,y0) i dac acestederivate pariale sunt continue n (x 0, y0) atunci funcia f este difereniabil n (x 0, y0).

28. Se considera functia f ( x, y) = x +2 y. Atunci f ' x( x, y) = f ' y( x, y)

29. Se considera functia f ( x, y) = x2 xy +3 y2 . Atunci f x

2" ( x, y) = f

y2

" ( x, y).

30. Se considera functia f ( x, y) = x2 xy +3 y2 . Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx

" ( x, y) sunt egale.

31. Se considera functia f ( x, y) = x3 + y3 . Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx

" ( x, y) sunt egale.

32. Se considera functia f ( x, y) = x2 +2 xy + y3 +4. Atunci derivatele mixte f xy" ( x, y) si f yx" ( x, y) sunt egale.

33. Orice functie f : 2 are puncte stationare.

A

A

A

A

A

A

F

F

A

A

A

F


4/55

4

34. Orice functie f : 2 are cel mult 1 punct de extrem.

35. Orice functie f : 2 are cel mult 2 puncte stationare.

36. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi f xy

" si f yx

" intr-o vecinatate V a unui punct

(a ,b) si daca f xy" si f yx

" sunt continue in (a, b) , atunci f xy" (a ,b) = f yx

" (a ,b).

37. Se considera functia f ( x, y) = 2 x + y. Atunci f nu are puncte stationare.

38. Daca functia f : 2 are derivate partiale intr-un punct de extrem (a ,b), atunci derivatele partialede anuleaza in acest punct '( , ) '( , ) 0 x y f a b f a b= = .

39. Daca (a ,b) este un punct de extrem local al functiei f : 2 si daca f x

2" (a ,b) < 0, atunci (a ,b) este

punct de minim.

40. Daca (a ,b) este un punct de extrem local al functiei f : 2 si daca f x

2" (a ,b) > 0, atunci (a ,b) este

punct de maxim.

41. Daca functia f : X , X 2 are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui( x, y) X si daca f xy' ' este continua in ( x, y), atunci f xy' ' ( x, y) = f yx' ' ( x, y)

42. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile, derivabila partial de doua ori pe X , cu toatederivatele partiale de ordinul doi continue. Diferentiala sa de ordinul al doilea este

d 2 f ( x, y) =2 f x2

dx 2 22 f x y

dxdy +2 f y2

dy 2

43. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile, care are in X toate derivatele partiale de ordinul n sitoate aceste derivate partiale sunt continue. Diferentiala sa de ordinul n este

d n f ( x, y) =n f xn

dx n +C n1

n f

xn 1 ydx n 1 dy +. . .+C n

k n f

xn k yk dx n k dy k +. . .+

n f yn

dy n

F

F

A

A

A

F

F

A

F

A


5/55

5

44. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile. Daca (a ,b) X este punct stationar pentru f , atunci(a,b) este punct de extrem al lui f.

45. Fie f : X , X 2 o functie de doua variabile. Daca (a ,b) X este punct de extrem pentru f ,atunci (a,b) este punct stationar pentru f.

46. Fie f ( x1 , x2 , . . . , x p) o functie definita pe X p

, derivabila de trei ori pe X . Fie (a 1 , . . . , a p ) o solutie

a sistemului f x1

= 0,. . . , f x p

= 0.

Daca toate numerele 1 = A11 , 2 =A11 A12

A21 A22

|||||

|||||,..., p =

A11 A12 . . . A1 p

A21 A22 . . . A2 p

. . . . . . . . . . . .

A p1 A p2 . . . A pp

||||||||||

||||||||||

, unde

Aij =2 f

xi x j(a 1 , a 2 , . . . , a p), sunt pozitive, atunci functia f ( x1 , x2 , . . . , x p) are in punctul (a 1 , . . . , a p )

un minim.



a sistemului f x1

= 0,. . . , f x p

= 0.

Daca toate numerele 1 = A11 , 2 =A11 A12

A21 A22

|||||

|||||,..., p =

A11 A12 . . . A1 p

A21 A22 . . . A2 p

. . . . . . . . . . . .

A p1 A p2 . . . A pp

||||||||||

||||||||||

, unde

Aij =2 f


un maxim.

F

A

A

F


6/55

6



a sistemului f x1

= 0,. . . , f x p

= 0.

Daca toate numerele 1* = A11 , 2* =A

11A

12

A21 A22

|||||

|||||,..., p* = (1)

p

A11 A12 . . . A1 p

A21

A22

. . . A2 p

. . . . . . . . . . . .

A p1 A p2 . . . A pp

||||||||||

||||||||||

, unde

Aij =2 f


un minim.



a sistemului f

x1= 0,. . . ,

f

x p= 0.

Daca toate numerele 1* = A11 , 2* =

A11 A12

A21 A22

|||||

|||||,..., p* = (1)

p

A11 A12 . . . A1 p

A21 A22 . . . A2 p

. . . . . . . . . . . .

A p1 A p2 . . . A pp

||||||||||

||||||||||

, unde

Aij

=2 f

xi x j(a

1, a

2, . . . , a

p), sunt pozitive, atunci functia f ( x

1, x

2, . . . , x

p) are in punctul (a

1, . . . , a

p)

un maxim.

50. Integrala curbilinie de primul tip nu depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

51. Integrala curbilinie de primul tip depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

52. Integrala curbilinie de al doilea tip isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere adrumului de integrare.

53. Integrala curbilinie de al doilea tip nu isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgerea drumului de integrare.

A

F

A

A

F

A


7/55

7

MULTIPLE CHOICE

1. Alege raspunsul care completeaza cel mai bine spatiul liber din enuntul urmator.Fie I un interval necompact si functia f : I . Spunem ca functia f este ..................... daca

[a ,b] I , f | [a ,b] este integrabila.

a. liber integrabila;

b. local integrabila;c. global integrabila;d. continua.

2. Un drum cu lungime finita se numestea. juxtapozabil;

b. inversabil;c. rectificabil;d. poligonal.

3. Fie drumul d :[a ,b] X . Drumul (d ):[ a ,b] X , definit prin (d )(t ) = d (a +b t ) se numestea. inversul lui d ;

b. concatenatul lui d ;c. imaginea lui d ;d. alt raspuns.

4. Fie ( X , ) un spatiu topologic. O functie continua d :[a ,b] X astfel incat d ([a ,b]) este multimecompacta si conexa se numestea. bijectie in X ;

b. drum in X ;c. homeomorfism in X ;

d. alt raspuns.


8/55

8

5. Sa se completeze urmatoarea teorema cu concluzia corecta.Fie M 2 , un domeniu simplu in raport cu una din axe si fie M un drum simplu, inchis, de clasaC 1 pe portiuni, pozitiv orientat (sensul de parcurgere pe M lasa domeniul M in stanga), a caruiimagine este frontiera topologica a lui M .Fie D o multime deschisa astfel incat M D si fie functiile P ,Q: D , derivabile cu derivatelecontinue. Atunci

a.Q x +

P y

dxdy = Pdx +Qdy

M M ;

b.Q x

P y

dxdy = Pdx +QdyM

M

;

c. P x

Q y

dxdy = Pdx QdyM

M

;

d.Q y

P x

dxdy = Pdx +QdyM

M

.

6. Fie f :[a ,b] , g :[a ,b] doua functii integrabile Riemann. Atunci:a. functia fg este continua;

b. functia fg este integrabila Riemann;c. functia fg este derivabila.

7. Fie f :[a ,b] o functie integrabila Riemann. Atuncia. f are proprietatea lui Darboux;

b. f este continua;c. f este marginita.

8. Fie f :[0, ) si g :[0, ) functii continue cu proprietatea ca | f ( x)| | g ( x)| pentru orice

x [0, ) si | g ( x)| dx0

este convergenta. Atunci:

a. | f ( x)| dx0

este convergenta;

b. | g ( x)| dx0

este convergenta;

c. | f ( x)| dx0

este convergenta.


9/55

9

9. Fie functia f : X m , X n si a un ....................... al multimii de definitie X . Se spune ca un vector b m este limita functiei f in punctul a daca pentru orice > 0 exista > 0 astfel incat oricare ar fi x a , x X si x a < sa avem f ( x) b < .a. punct izolat

b. punct de acumularec. punct aderent

10. Fie functia f : X m , X n si a X . Se spune ca functia f este ..................... in punctul a, daca pentru orice > 0 exista > 0 astfel incat oricare x X sa avem f ( x) f (a ) < daca x a < a. constanta

b. derivabilac. continua

11. Fie f :[a ,b] o functie continua. Expresia f 2 ( x)dxa

b

ne da

a. lungimea graficului functiei f b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}

c. volumul corpului de rotatie C = {( x, y, z ) 3 | y 2 + z 2 | f ( x)| }

12. Fie f :[a ,b] o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 1 +( f '( x)) 2 dxa

b

ne daa. lungimea graficului functiei f

b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}


13. Fie f :[a ,b] + o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 2 f ( x) 1 +( f '( x)) 2 dxa

b

ne daa. lungimea graficului functiei f

b. aria suprafetei de rotatie S = {( x, y, z ) 3 | y2 + z 2 = f ( x), x [ab ]}



10/55

1

AM: lungimea unui drum, integrale curbiliniiAn 1 sem 2

MULTIPLE CHOICE

1. Fie functia f :[0,1] , f ( x) = x2 + 1. Lungimea graficului lui f este

a.1

2 2 + ln(1 + 2)

;

b. 2 + ln(1 + 2) ;

c.1

2

1

2ln(2 + 5) + 5

;

d.4

3.

2. Lungimea curbei y = x3 / 2 , unde x [0,4] , este

a. 827

(10 10 1);

b.4

9( 10 1) ;

c. 2.

3. Fie curba data de

x = 3cos t

y = 3sin t

z = 4t

, unde t [0,

2]. Lungimea acestei curbe este

a.

2;

b. 5 ;

c.5

2;

d.

2.


11/55

2

4. Lungimea curbei data de

x =cos x

xdx

1

t

y =sin x

xdx

1

t

, t 1,

2

este

a. 2

4;

b. ln

2;

c.

2 1.

5. Lungimea curbei data de x= a (t sin t )

y = a (1 cos t )

, t [0,2 ] este

a. a; b. 2a;c. 4a;d. 8a.

6. Lungimea curbei data de x= a cos 3 t

y = a sin 3 t

, t [0,2 ], a > 0 este

a. 3a ; b. 6a ;

c.3a

2.

7. Lungimea curbei data de x= 2sin t

y = 2cos t

, t 0,

3

este

a.

6;

b. 2 3

;

c. 1.


12/55

3

8. Lungimea curbei data de x= a (cos t + t sin t )

y = a (sin t t cos t )

, t [0,2 ], a > 0 este

a. 2 ; b. 2 1;c. 2 2 a ;d. 4 a .

9. Fie I = xydl C

, unde C : x = t , y = t 2 , t [1,1] . Valoarea lui I estea. 0;

b. 2 1;

c.1

3;

d. 2.

10. Fie I = xydl C

unde C : x =

a

2cos

y =a

2sin

, 0,

2

. Valoarea lui I este

a. 0;

b.a 3

16

2 1

;

c.

a 3

16 .

11. Fie I =dl

x2 + y2 + z 2C

, unde C este prima spira a elicei x = a cos t , y = a sin t , z = bt , t [0,2 ] .Valoarea acestei integrale este

a.a 2 + b 2

abarctan

2 b

a;

b.a 2 + b 2

abarctan

2 a

b;

c.a 2 + b 2

abln

2 b

a;

d.a

2 barctan

2 b

a.


13/55

4

12. Fie I = xyzdl C

, unde C : x = t

y = t 2

z =2

3t 3

, t [0,1] . Valoarea lui I este

a. 221

;

b.4

27;

c.46

189;

d.6

27.

13. Fie I = xydl C , C fiind sfertul din elipsa

x2

a 2 +y 2

b 2 =1 situat in primul cadran. Valoarea lui I este

a.ab (a 2 + ab + b 2 )

3(a + b);

b. ab (a + b);

c.ab (a 3 + b 3 )

3;

d. 1.

14. Fie I = xyz ( x2 + y2 + z 2 ) dl C

, C =

x = t

y =4

3t

3

2

z = t 2

, t [0,1] . Valoarea lui I este

a.13935

1875;

b.13936

1875;

c.13937

1875.


14/55

5

15. Fie I = y(2 y) dl , C = x= t sin t

y = 1 cos t , t 0,

2

C

. Valoarea lui I este

a.2 2

3;

b.2 3

2 ;

c.2 5

2.

16. Fie I = ( x2 + y2 ) dl C

, unde C este segmentul de dreapta AB, A(a,a), B(b,b), b>a. Valoarea lui I este

a.2 2

3(b a );

b. 2 23

(b 2 a 2 );

c.2 2

3(b 3 a 3 );

d.2 2

3(b 3 + a 3 ).

17. Fie I = ( x + y) dl C

, unde C este segmentul OA; O(0,0), A(1,2) . Valoarea lui I este

a.3 3

2;

b.3 5

2;

c.3 7

2;

d.3 6

2.


15/55

6

18. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea 3 xydx y2 dy

, unde

= ( x, y) 2 | y = 2 x2 , x [0,2]

este

a. 110

3;

b.440

3 ;

c. 440

3;

d. 0.

19. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea (3 x2 + 6 y) dx 14 yz dy + 20 xz 2 dz

, unde

= ( x, y, z ) 3 | x = t , y = t 2 , z = t 3 , t [0,1]

este

a. 5; b. 10;c. 15;d. 20.

20. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = xy dx y2 dy

, unde

= ( x, y) 2 | x = t 2 , y = t 3 , t [0,1]

este

a. 0;

b.

1

21 ;

c. 1

21;

d.2

21.


16/55

7

21. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dy

, unde

= ( x, y) 2 | x = e t , y = ln(1 + e t ), t [0,ln2]

este

a. 1 + ln3

2;

b. 1 + ln2

3 ;

c. 2 + ln2

3;

d. 2 ln2

3.

22. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = yz dx + xz dy + xy dz

, unde

= ( x, y, z ) 3 | x = t , y = t 2 , z = t 3 , t [0,1]

este

a.59

42;

b.60

42;

c.61

42;

d.62

42.

23. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dx + xy dy + xyz dz , unde

= ( x, y, z ) 3 | x = e t , y = e t , z = 2 t , t [0,1]

este

a.e 2

2+

1

e

1

2;

b.e 3

3+

1

e

1

2;

c.e 2

2+

1

e2

1

2;

d.e 2

2+

1

e 2+

1

2.


17/55

8

24. Fie integrala curbilinie de tipul al doilea I = ( y + 1) dx + x2 dyC

, unde C este curba simpla si

rectificabila care are ca imagine portiunea din parabola y = x2 1, cuprinsa intre punctele A(1,0) si B(1,0) , care are primul capat in B. Valoarea ei este

a.2

3;

b. 23

;

c. 2 ;d. .

25. Fie I =dl

x yC unde C este segmentul de dreapta y = 1

2 x 2 cuprins intre punctele A(0, 2) si

B(4,0) . Valoarea lui I este

a. 5 ln2

b. 5 ln3c. 5 ln8

26. Fie I = xydl C unde C este conturul dreptunghiului ale carui varfuri sunt

A(0,0), B(4,0), C (4,2), D(0,2) . Valoarea lui I estea. 22

b. 23c. 24

27. Calculeaza ( x y)dl C unde C este circumferinta x2 + y2 = ax .

a. a 2

2

b. a 2

3

c. a 2

4

28. Calculeaza 2 ydl C , unde C este primul arc al cicloidei x = a (t sin t ), y = a (1 cos t )

( t [0,2 ] )a. 0

b. 4a a c. sin a


18/55

9

29. Calculeaza ( x2 + y2 ) n dl C , unde C este circumferinta x = acos t , y = asin t .

a. 2 a 2n + 1

b. 2 a 2n

c. 2 2 a 2n + 1

30. Calculeaza integrala z 2

x2 + y2dl

C unde C este prima spira a elicei x = acos t , y = asin t , z = at , a > 0.

a.8 3 a 2

3

b. 3 a 2

3

c.8 3 2

3

31. Calculeaza (2 z x2 + y2 )dl C unde C este prima spira a spiralei conice x = t cos t , y = t sin t , z=t.

Indicatie: se ia t [0,2 ]

a.2 2

3(2 2 + 1)

3

2 1

b.2 2

3(2 2 + 1)

3

2 + 1

c.2 2

3

32. Calculeaza integrala xydl C

unde C este conturul patratului | x|+| y| = a , a > 0.a. 0

b. 1000c. a 2008


19/55

10

33. Calculeaza integraladl

x2 + y2 + 4C unde C este segmentul AB A(0,0), B(1,2).

a. ln5 + 32

b. ln5 3

2

c. ln5 + 3254

34. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea , , .

35. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea , , .36. Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea

37.Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea

38. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este curba data prin parametrizarea

.

39. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este curba data prin parametrizarea

.

40. Sa se evalueze integrala curbilinie unde C este jumatatea dreapta a cercului .

41. Sa se evalueze integrala curbilinie , unde C este segmentul de dreapta care uneste (1,2) cu (4,7).


20/55

1

An 1 sem 2

MULTIPLE CHOICE

1. Daca (a ) = x a 1 e x dx0 + 0

, pentru a>0, atuncia. (2) = 0;

b. (2) = 1;c. (2) = 2;d. (2) = 3.

2. Daca (a ,b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0

1 0

, cu a,b>0 , atunci

a. 1

2,

1

2

= e ;

b. 12

,12

= ;

c. 1

2,

1

2

= ;

d. 1

2,

1

2

=

2

3. Stiind ca (a , b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0

1 0

, cu a,b>0 , si ca (a ) = x a 1 e x dx

0 + 0

, pentru a>0, sa se

calculeze 1

2

(eventual se poate folosi legatura dintre si ).

a. ; b. ;c. 2 ;d. 2 .

AM: integrale euleriene


21/55

2

4. Daca (a ,b ) = x a 1 (1 x) b 1 dx0 + 0

1 0 , cu a,b>0, atunci

a. (3,4) =1

120;

b. (3,4) =

2;

c. (3,4) = 160

;

d. (3,4) =

2

6.

5. Daca (a ) = x a 1 e x dx0 + 0

, pentru a>0, atunci (folosind eventual faptul ca 12

= ) rezulta ca

a. 3

2

=

2;

b. 3

2

=

4;

c. 3

2

=

8;

d. 3

2

=

16.

6. Valoarea integralei de tip Gamma 5 4 2

0

x x e dx este

a.5

1 9 45 52 16

b.5

1 4 95 52 16

c.5

1 9 95 52 16

d.1

2 2 45 9

5


22/55

3

7. Valoarea integralei de tip Beta ( )1

23

0

1 x x dx este

a.( )5 3

292

b.

5 123 7

9221

c.16

693

d.( )5 3

25

22

+

8. Folosind proprietatile integralei Gamma, obtinem ca 7

0

x x e dx

este egala cua. 8!

b. 7!c. 6!d. 9!


23/55

4

9. Folosind proprietatile integralei Beta, obtinem ca ( )1

53 5 7

0

1 x x dx este egala cu

a.

8 53 7

7121

b.

5 123 7

7121

c.

8 123 7

9221

d.

5 83 7

5921

10. Daca , pentru a>0, atunci ( ) ...9 = ?

11. Daca , cu a,b>0 , atunci ...23

,23

=

B ?

12. Daca , cu a,b>0 , atunci B(3,7)=?

13. Valoarea integralei de tip Beta este?


24/55

1

AM: integrala dublaAn 1 sem 2

MULTIPLE CHOICE

1. Se considera I = xy dxdy D

, unde D este domeniul limitat de parabola y = x2 si de dreapta y = 2 x + 3.Valoarea lui I este

a.160

3;

b.161

3;

c.162

3;

d.163

3.

2. Aria domeniului plan marginit de curbele y = x si y = x2 , este:a. 1;

b.1

2;

c.1

3;

d.1

6.

3. Se considera I = (1 y) dxdy D

unde D = ( x, y) 3 | x2 + ( y 1) 2 1, y x2 , x 0

. Valoarea lui I

este:

a.1

13;

b.1

14;

c.1

15;

d. 116

.


25/55

2

4. Valoarea integralei duble I = 2( x + y) dxdy D

, unde D = ( x, y) 2 | 0 x 1, 0 y 1

, este

a. 1; b. 2;c. 3;d. 4.

5. Prin calcul direct sau folosind formula lui Green rezulta ca integrala (1 x2 ) y dx + x(1 + y2 ) dy

unde

(t ) = (r cos t , r sin t ), cu r > 0 si t [0, ] este egala cu

a. r 4

2;

b. r 4

3;

c. r 4

4;

d. r 4

5.

6. Valoarea integralei duble ( x2 + y) dxdy D

, unde D este domeniul plan marginit de curbele y = x2 si

y2 = x, este

a.31

140;

b. 32140

;

c.33

140;

d.34

140.

7. Valoarea integralei x2 ye xy

dxdy D

, unde D = ( x, y) 2 |0 x 1, 0 y 2

este

a. 0; b. 1;c. 2;d. 3.


26/55

3

8. Fie integrala dubla I =x2

y2dxdy

D

, unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x si dehiperbola xy = 1. Valoarea lui I este

a.9

4;

b.9

4 ;

c.9 2

4;

d.9 3

4.

9. Sa se calculeze integrala dubla xy2 dxdy D

, D fiind domeniul marginit de curbele y = x2 si y = x.

a. 3

;

b. e 2 1;c. ln2 ;

d.1

40.

10. Sa se calculeze integrala dubla xy dxdy D

, D fiind domeniul marginit de curbele y = x2 si y = x , x [0,1] .

a.e

27;

b.4

27;

c. e 2 ln3 ;d. 5 .


27/55

4

11. Sa se calculeze integrala dubla y dxdy D

, unde D: x2 + y2 4

3 y x2

.

a.12 3

5;

b.13 3

5 ;

c.14 3

5;

d. 3 3 .

12. Folosind o schimbare de variabila adecvata, calculati integrala dubla ( x + y)2 dxdy D

, unde

D = ( x, y) 2 | x2 + y2 1

.

a.

6;

b.

4;

c.

3;

d.

2.

13. Folosind o schimbare de variabila adecvata, sa se calculeze integrala dubla x2 y2 dxdy D , unde D este

domeniul marginit de elipsa x2

a 2+

y2

b 2= 1.

a.a 3 b 3

24;

b.a 3 b 3

24 ;

c.

a 3 b 3

24 2

;

d.a 3 b 3

24

3 .


28/55

5

14. Calculeaza integrala dubla xy dxdy D

, unde 0 x 1 si 0 y 2.a. 0;

b. 1;c. 2;d. 3.

15. Calculeaza integrala dubla e x + y

dxdy D

, unde 0 x 1 si 0 y 1.a. 0;

b. (e 1) 2 ;c. (e 1)(e 2) ;d. e 2 1.

16. Calculeaza integrala dubla x2

1 + y2 dxdy

D

, unde D este dreptunghiul 0 x 1, 0 y 1.

a.

2;

b.

3;

c.

4;

d.

12.

17. Calculeaza integrala dubla1

x + y + 1 2

dxdy D

, unde D este dreptunghiul 0 x 1,0 y 1.

a. e 2 ; b. ln2 ln1 ;c. ln2 ln3 ;

d. ln4

3.


29/55

6

18. Calculeaza integrala dx0

a

dy0

x

.

a.3a 1 / 3

2;

b.

3a

2 ;

c.2a 3 / 2

3;

d.2a 2 / 3

3.


4

y x

dy x

2 x

.

a. 5; b. 7;c. 9;d. 11.

20. Calculeaza integrala dy1

2

e xdx0

ln y

a.1

4;

b. 13

;

c.1

2;

d.3

2.


30/55

7

21. Calculeaza integrala ( x2 + y) dxdy D

, unde D este domeniul marginit de parabolele y = x2 si y2 = x.

a.75

140;

b.42

140;

c. 1;

d.33

140.

22. Calculeaza integrala dubla x2

y2dxdy

D

unde D este domeniul marginit de dreptele x = 0, y = si dehiperbola xy = 1.

a.9

4;

b.9

4;

c.e

7;

d. 1.


1

dy0

2

dz 0

3

.

a. 1; b. 2;c. 3;d. 6.


a

dy0

b

( x + y + z )dz 0

c

.

a.abc

2;

b. a+

b+

c3

;

c.abc (a + b + c)

2;

d.abc (a + b + c)

3


31/55

8


a

dy0

x

xyz dz 0

y

.

a.a + 1a 3

;

b.a 8

94;

c.324

a 2;

d.a 6

48.

26. Calculeaza integrala x3 y2 z dxdydz V

, unde domeniul V este definit de inegalitatile0 x 1, 0 y x, 0 z xy.

a. 1110

;

b.3

19;

c. e 2

3;

d. ln5 ln2 .

27. Trecand la coordonate sferice, calculeaza integrala x2 + y2 + z 2 dxdydz V

, unde V este bilacentrata in origine de raza R.a. R3 ;

b. R3

3;

c. R4 ;

d. R5

5.


32/55

9

28. S se evalueze integrala dubl: [ ] [ ]( 2 ) , D= 1,4 2,5 D

x y dxdy+

a.171

2

b.153

2c. alt rspuns

d.912

29. S se calculeze valoarea integralei duble:

{ }2( ) D= (x,y) / 0 2, 0 1 D

x y dxdy x y x +

a.2

3 b.

13

c.16

d. alt rspuns

30. S se calculeze integrala dubl: ( x + y)dxdy D

unde D este domeniul marginit de curbele x = 0, x = 1, y = x, y = 2 x

a.23

b. alt rspuns

c.56

d.16


33/55

10

31. S se calculeze integrala dubl:

[ ] [ ]2 2

, D= 0,1 1, 2 D

xydxdy

x y

+

a.23

b.

5

3c. alt rspuns

d.1

3

32. Evaluai integrala dubl: xydxdy D

unde D este domeniul marginit de curbele

x = 0, x = 3, y = x2 , y = 2 x + 3

a. 52 b. 53c. 54d. alt rspuns

33. S se calculeze: ( ){ }2 2( ) , D= x,y | 1 3, 1 2 1 D

x y dxdy x y x+ +

a. Alt rspuns

b.783

20

c.18320

d.10320

34. S se calculeze: ( ) [ ] [ ]2 , D= 0,1 1,3 D

x y dxdy+

a.19

3 b.

253

c.293

d. Alt rspuns


34/55

11

35. S se calculeze : ( ) [ ] [ ]2 , D= 0,1 1,3 D

x y dxdy+ a. Alt rspuns

b.43

c.7

3d.

143

36. S se calculeze : ( ) [ ] [ ]2 2 , = 1,1 0,3 D

x y xy dxdy D+ a. 3

b. Alt rspunsc. -1d. 12

37. S se calculeze : , D D

xydxdy este mrginit de dreptele: , 0, 1 y x y x= = = .

a.15

b.18

c. Alt rspuns

d.15

38. S se calculeze : , D

xdxdy unde ( ){ }2 2 2, , 1, 0 D x y x y x= +

a.13

b.53

c.23

d. Alt rspuns


35/55

12

39. S se calculeze: ( ){ }2 2 2, , , 1, y 0 D

ydxdy D x y x y= + a. Alt rspuns

b.13

c.5

3d.

23

40. S se calculeze: ( ){ }2, , , 0 3, 2 y 2 D

dxdy D x y x x=

a.92

b. 5c. 0

d. Alt rspuns

41. S se calculeze: ( ){ }2 2 2 2 21 , , , 1 D

x y dxdy D x y x y = +

a.23

b.3

c. Alt rspuns

d.73

42. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

dy6

2

f ( x, y)dx y

2

4 1

2 y

sunt

a. y =y2

4 1, y = 2 y, x = 6, x = 2

b. x =y2

4+ 1, x = 2 + y, y = 6, y = 2

c. x =y2

4 1, x = 2 y, y = 6, y = 2


36/55

13

43. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla dx1

3

f ( x, y)dy x3

2 x

sunt

a. y =x

3, y = 2 x, x = 1, x = 3

b. y =x

3 , y = 2 x, x = 100, x = 3

c. x =x

3, x = 2 x, y = 1, y = 3


3

f ( x, y)dy x

2

x + 9

sunt

a. y =x

3, y = 2 x, x = 1, x = 3

b. y = x3

, y = 2 x, x = 100, x = 3

c. y = x2 , y = x + 9, x = 1, x = 3


dx0

3

f ( x, y)dy0

25 x2

sunt

a. y =x

3, y = 2 x, x = 1, x = 3

b. y = 0, y = 25 x2 , x = 0, x = 3c. y = x2 , y = x + 9, x = 1, x = 3


dy0

4

f ( x, y)dx y

10 y

sunta. y = 4, y = 0, x = y, x = 10 y

b. y = 4, y = 0, x = y, x = 0

c. x =y2

4

1, x = 2 y, y = 6, y = 2


37/55

14


2

f ( x, y)dy x

2

x+ 2

sunta. y = x2 , y = 2 + x, x = 1, x = 2

b. y = x, y = 2 + x, x = 1, x = 2c. y = x2 , y = 2 + x, y = 1, y = 2

48. Schimbati ordinea de integrare in integrala dubla dx0

4

f ( x, y)dy3 x

2

12 x

a. dy0

4

f ( x, y)dx3 x

2

12 x

b. dx0

48

f ( x, y)dy y12

y

3

c. alt raspuns

49. Determinati limitele integralei duble f ( x, y)dxdy D

daca D este paralelogramul ale carui laturi sunt x = 3, x = 5,3 x 2 y + 1 = 0,3 x 2 y + 4 = 0.

a. dx3

5

f ( x, y)dy3 x + 12

3 x + 4

2

b. dy3

5

f ( x, y)dx3 x + 12

3 x + 4

2

c. alt raspuns


daca D este triunghiul ale carui laturi sunt x = 0, y = 0, x + y = 2

a. dy0

2

f ( x, y)dx0

2 x

b. dx0

2

f ( x, y)dy0

2 x

c. alt raspuns


38/55

15


daca D este domeniul marginit de

x2 + y2 1, x 0, y 0

a. dy0

1

f ( x, y)dx0

1 y2

b. dy0

1

f ( x, y)dx01 y

2

c. alt raspuns


daca D este domeniul marginit de

y x2 , y 4 x2

a. dy0

1

f ( x, y)dx x

2

4 x2

b. dx0

1

f ( x, y)dy x24 x

2

c. dx

2

2 f ( x, y)dy x

2

4 x2


daca D este domeniul marginit de parabolele

y = x2 , y = x

a. f ( x, y)dxdy x

2

x

b. dx0

1

f ( x, y)dy x

2

x

c. dx 2

2 f ( x, y)dy x

2

4 x2


39/55

16


daca D este triunghiul ale carui laturi au suportdreptele de ecuatii y = x, y = 2 x, x + y = 6

a. dx0

2

f ( x, y)dy x

2 x

+ dx2

3

f ( x, y)dy x

6 x

b. dy0

2

f ( x, y)dx x

2 x

+ dx2

3

f ( x, y)dy x

6 x

c. dx2

3

f ( x, y)dy x

2 x

+ dx0

2

f ( x, y)dy x

6 x

55. Sa se evalueze integrala.

56. Sa se evalueze integrala dubla , unde .

57.Sa se calculeze integrala dubla , unde .

58. Sa se calculeze integrala , unde S este domeniul marginit de si .

59. Sa se calculeze integrala , unde D este regiunea din semiplanul superior marginita de

cercurile si .

60. Sa se calculeze integrala , unde.

61.Sa se calculeze integrala , unde

.

62.Sa se calculeze integrala tripla , unde

.


40/55

1

Analiza matematicaContinuitate, derivate partiale puncte de extrem

MULTIPLE CHOICE

1. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu

a. 2 x + y c. 2 x + y2

b. 2 x + y + 1 d. x + y

2. Derivata partiala la lui f ( x, y) = x 2 + xy + y in raport cu variabila x este egala cu

a. 2 x + y c. 2 x + y 2

b. 2 x + y + 1 d. x + y

3. Derivata partiala la lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cua. 2 x c. xyb. 2 x + y d. x

4. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 y + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu

a. x 2 + x c. 2 x + y 2

b. 2 x + y + 1 d. x + y

5. Derivata partiala a lui f ( x, y) = x 2 + xy + y 2 in raport cu variabila y este egala cu

a. x + 2 y c. 2 x + y 2

b. 2 x + y + 1 d. x + y

6. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x, y) = x 2 + xy + 1 in raport cu variabila y, notata f y 2' '

este egala

cua. 2 x c. xyb. 2 x + y d. 0

7. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y)=

x3 +

xy+

1 in raport cu variabila x este egala cua. 6 x c. xyb. 2 x + y d. 0


41/55

2

8. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y) = x 3 + xy + y 3 in raport cu variabila y este egala cua. 6 x c. xyb. 2 x + y d. 6y

9. Derivata partiala de ordin 2 a lui f ( x , y) = x 3 + 2 xy + y 3 in raport cu variabila y este egala cua.

6 xc. xy

b. 2 x + y d. 6y

10. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)

este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 6y

11. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy

' ' ( x, y) este egala cua. 6 x c. 1b. 2 x + y d. 2y

12. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f yx' ' ( x, y)


13. Se considera functia f ( x , y) = x 3 + xy 2 + 7 y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)


14. Se considera functia f ( x , y) = 5 x 3 + xy 2 + y 3 . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de f xy' ' ( x, y)



42/55

3

15. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + xy + y 2 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea punctecritice) ale lui f(x,y)sunta. (0,0) c. (1,1,),(0,0)b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare

16. Se considera functia f ( x , y) = x2

2 x + y2

4 y + 11 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (1,2)b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare

17. Se considera functia f ( x , y) = x 2 4 x + y 2 6 y 10 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (2,3)b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare

18. Se considera functia f ( x , y) = x 2 10 x + y 2 4 y + 11 . Atunci punctele stationare(numitedeasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunta. (0,0) c. (5,2)b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare

19. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 2 x + y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-1,2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu e punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)

20. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 4 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-2,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)

21. Se considera functia f ( x , y) = x 2 + 2 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (1,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)

22. Se considera functia f ( x, y) = x 2 + y 4 . Atuncipunctul (0,0) este un puncta. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem localb. de maxim local pentru f(x,y)


43/55

4

23. Care din urmatoarele functii are o o infinitate de puncte stationarea. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y

b. f(x,y)=sin(x) d. f ( x, y) = x2 + y2

24. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationarea. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y

b. f ( x, y) = x3 3 x + y2 d. f ( x, y) = x2 + y2

25. Se considera functia f ( x, y) = x 2 + 10 x y 2 4 y + 11 . Atuncipunctul (-5,-2) este un puncta. de minim local pentru f(x,y)b. de maxim local pentru f(x,y)c. nu este puncte de extrem local

26. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare:

f(x, y) = x2

+ y2

10x 10y + 5 (x, y) R2

a. P(5,5) punct de maxim c. P(5,-5) punct de maxim

b. P(5,5) punct de minim d. M(5,-5) punct de maxim

27. Se da functia f ( x, y) = 2 xy + y 3 . Cat este f x,' (1,2)

a. 4 c. 6b. 5 d. 7

28. Se da functia f ( x, y) = 2 xy + x 3 . Cat este f y,' (1,2)

a. 2 c. 4b. 3 d. 5

29. Se da functia f ( x, y) = 4 xy + 5 x 3 . Cat este f y, ' (1,2)

a. 4 c. 6b. 5 d. 7


44/55

5

30. S se calculeze derivatele par iale de ordinul nti pentru urm toarea func ie:( ) 2 2, = 2 f x y x xy y+

a. ( ) ( )( , ) 2 ; ( , ) 2 x y f x y x y f x y x y= + =

b. ( ) ( )( , ) 2 2 ; ( , ) 2 x y f x y x y f x y x y= = +

c. ( ) ( )( , ) 2 2 ; ( , ) 2 x y

f x y x y f x y x y= + =

d. alt r spuns.

31. S se calculeze derivatele par iale de ordinul nti pentru urm toarea func ie:( ) 2 2 2, = ( ) f x y x y+

a. 2 2 2 2( , ) ( ); ( , ) ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +

b. 2 2 2 2( , ) 4 ( ); ( , ) 4 ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +

c. 2 2 2 2( , ) 2 ( ); ( , ) ( ) y f x y x x y f x y y x y x = + = +

d. alt r spuns.

32. S se calculeze derivatele par iale de ordinul al doilea pentru urm toarea func ie:

)ln(lnln),( y x x y x

x y x f +=

+=

a. f x

2" x, y

= 1

x 2+

1

x + y

2

21

( , )( )

yx f x y x y

=+

22

1( , )

( ) y f x y

x y =

+,

c. 22 2

1 1( , )

( ) x f x y

x x y = +

+

21

( , )( )

yx f x y x y

= +

22

1( , )( )

y f x y x y

=+

,

b. 22 2

1 1( , )

( ) x f x y

x x y =

+

21

( , )( )

yx f x y x y

=+

22

1( , )

( ) y f x y

x y =

+,

d. alt r spuns.


45/55

6

33. S se g seasc punctele sta ionare ale func iei urm toare: f(x, y) = x 2 + y 2 4x 2y + 5 (x, y) R2

a. M(2,1) c. M(-2,1)

b. M(2,-1) d. M(-1,2)

34. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare: f(x, y) = x 2 + y 2 4x 2y + 5 (x, y) R2

a. M(2,1) punct de maxim c. M(-2,1) punct de maxim

b. M(2,1) punct de minim d. M(-1,2) punct de maxim

35. S se g seasc punctele de extrem ale func iei urm toare

y1

x1)y,x(f += cu condi ia x+y=1 definit pe R 2 \{(0,0)

a. P1

2,

1

2

pentru = 4 punct de minim

b. 1 1 1, pentru2 2 4

P

= punct de maxim

c.1 1 1

, pentru2 2 4P = punct de minim

d. d) 1 1 1, pentru2 2 4

P

= punct de maxim

36. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei f(x,y) = x+3y+2(x 2+y 2-5)

a. df x , y

= 4 x + 1( )dx + 4 y + 3

dy c. df x , y

= x + 1( )dx + 4 y + 3

dy

b. df x , y

= 4 x 1( )dx + y + 3dy d. df x , y

= x + 1( )dx + y + 3dy


46/55

7

37. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei1 1

( , ) 2( 1) f x y x y x y

= + + +

a. df x , y

= 1

x 2+ 2

dx + 1

y 2+ 2

dy c. df x , y

=1

x 2+ 2

dx +1

y 2+ 2

dy

b. df x , y

=1

x 2+ 2

dx + 1

y 2+ 2

dy d. df x , y

=1

x 2 2

dx + 1

y 2 2

dy

38. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++=

Derivata par ial a lui f n raport cu x este: a. f x = 2 x y c. f x = 2 x y 3b. f x = y d. f x = 2 x

39. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++=

Derivata par ial a lui f n raport cu y este: a. f y x, y

= x + 2 y + 3 c. f y x, y

= x + 3

b. f y x, y

= 2 y + 3 d. f y x, y

= x + y

40. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= . f are punct stationar pe:

a. M(1,-1) c. M(0,0)

b. M(-1,1) d. M(3,0)

41. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= .Derivata par ial de ordinulal doilea a lui f n raport cu x este:

a. ( )2 , 2 x f x y = c. ( )2 , 0 x f x y =

b. ( )2 , 1 x f x y = d. ( )2 , 2 x f x y x=


47/55

8

42. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= . Derivata par ial de ordinulal doilea a lui f n raport cu y este:

a. ( )2 , 1 y f x y = c. ( )2 , y f x y y=

b. ( )2 , 2 y f x y = d. ( )2 , y f x y x=

43. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),( 22 ++= .Alege valoarea corect pentru

( ), xy f x y

a. ( ), 0 xy f x y = c. ( ), xy f x y xy=

b. ( ), xy f x y nu exist d. ( ), 1 xy f x y =

44. Se d func ia de dou variabile y x y xy x y x f 33),(22 ++=

. Estimnd valoarea expresiei( )2 2

2(1, 1) (1, 1) (1, 1) xy x y f f f

i innd cont de valoarea 2 (1, 1) x f , stabile te natura punctului

critic M(1,-1):

a. punct de minim local c. nu se poate spune nimic desprenatura punctului M(1,-1)

b. punct de maxim local d. nu este punct de extrem local

45. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f Derivata par ial a lui f n raport cu x este:

a. ( ), 2 1 x f x y x= c. ( ), 2 x f x y x=

b. ( ), 6 x f x y y= + d. ( ) ( ), 2 1 x f x y x=

46. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f .Derivata par ial a lui f n raport cu y este:

a. ( ), 6 y f x y y= + c. ( ), 2 y f x y y=

b. ( ) ( ), 2 6 y f x y y= + d. ( ), 1 y f x y x=


48/55

9

47. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f .

Func ia f x, yare punct stationar pe:

a. M(1,-6) c. M(0,0)

b. M(-1,6) d. M(1,0)

48. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Derivata par ial de ordinul aldoilea a lui f n raport cu x este:

a. ( )2 , 1 x f x y = c. ( )2 , 0 x f x y =

b. ( )2 , 2 x f x y = d. ( )2 , 2 x f x y x=

49. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Derivata par ial de ordinul aldoilea a lui f n raport cu y este:

a. ( )2 , 1 y f x y = c. ( )2 , y f x y y=

b. ( )2 , 2 y f x y = d. ( )2 , y f x y x=

50. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Alege valoarea corect pentru

( ), xy f x y

a. ( ), 0 xy f x y = c. ( ), 2 xy f x y =

b. ( ), xy f x y nu exist d. ( ), 1 xy f x y =

51. Se d func ia de dou variabile 22 )6()1(),( ++= y x y x f . Estimnd valoarea expresiei

( )2 2 2(1, 6) (1, 6) (1, 6) xy x y f f f i innd cont de valoarea 2 (1, 6) x f , stabile te natura punctuluicritic M(1,-6):

a. punct de maxim local c. punct de minim local

b. nu este punct de extrem local d. nu se poate spune nimic despre naturapunctului (1,-6)


49/55

10

52. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),(Derivata par ial a lui f n raport cu x este:

a. ( ), 1 x f x y = c. ( ), x f x y y=

b. ( ), x f x y x= d. ( ), 0 x f x y =

53.

Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400

, x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt:

a.+=

+=

2'

2'

40024),(

400210),(

xy x y x f

y x y y x f

y

x

c.++=

++=

22'

22'

40024),(

400210),(

y x x y x f

y x y y x f

y

x

b. ++=

++=

22'

'

400210),(

2410),(

y x y x y x f

y x y x f

y

x d.++=

++=

2'

2'

40024),(

400210),(

xy x y x f

xy y y x f

y

x

54.Punctul stationar pentru functia:

f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400

cu x >0, y >0 este

a. M(2, 5) c. M(-2, -5)b. M(2, 3) d. nu exista

55. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + xy400

cu x >0, y >0 admite

a. punct de maxim local M(2, 5) c. nu admite puncte de extreme local

b. punct de minim local M(2, 5) d. punct de minim local M(2, 3)


50/55

11

56. Rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I rezulta: a. puncte de maxim local c. puncte stationare

b. puncte de minim local d. matricea hessiana

57. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy + x - 2z,(x, y, z) R 3 este

a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y x)dy + (2z 2)dz

b. d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy + (z 2 -2z)dz

c. d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-xy)dy + (x-2z)dz

d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - xy)dy+(2z - 2)dz

58. Functia f (x,y)= arctg( x 2 + y 2 ) verifica

a. y f ' x (x ,y) + xf

' y (x ,y) = 0

b. y f ' x (x ,y) - xf ' y (x ,y) = 0

c. f '

x (x ,y) + f ' y (x ,y) = 0

d. 2x f ' x (x ,y) - 2yf ' y (x ,y) = 0

59. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R 2

a. admite punct de minim local M(1, 1)b. admite punct de maxim local M(-1, 1)c. nu admite puncte de extremd. admite punct de minim local M(1, 1)si N(-1, 1)


51/55

12

60. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R 2

a. are valoarea minimului egala cu -1 c. are 3 puncte stationareb. are valoarea maximului egala cu 1 d. nu are puncte de extreme local

61.Functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 2x 4y 6z definita pe R 3 are:

a. toate derivatele de ordin 2 nule c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule d. toate derivatele de ordin 2 strict

pozitive

62. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),(Derivata par ial a lui f n raport cu y este:

a. ( ), 1 y f x y = c. ( ), y f x y y=b. ( ), y f x y x= d. ( ), 0 y f x y =

63. Se d func ia de dou variabile xy y x f =),( .Diferen iala de ordinul I a lui f este

a. dydxdf += c. dy ydxdf +=

b. xdydxdf += d. xdy ydxdf +=

64. Se d func ia de dou variabile 22),( y x y x f +=

Derivata par ial a lui f n raport cu x este:

a. ( ) 2, x f x y y= c. ( ), 2 x f x y y=

b. ( ), 2 x f x y x= d. ( ) 2, x f x y x=


Derivata par ial a lui f n raport cu y este:

a. ( ) 2, y f x y x= c. ( ), 2 y f x y y=

b. ( ), 2 y f x y x= d. ( ) 2, y f x y y=


52/55

13


Diferen iala de ordinul I a lui f este

a. dy ydx xdf 22 += c. 0=df b. dydxdf += d. ydy xdxdf 22 +=

67. Scrie i diferen iala de ordinul intai a func iei f x, y

= x 2 xy + y 2 3 x + 3 y

a. df x , y

= 2 x y 3dx

+ x + 2 y + 3dy

b. df x , y

= x y 3dx

+ x + 2 y 3dy

c. df x , y

= 2 x y 3dx

+ x + y + 3dy

d. df x , y

= x + 2 y 3dx

+ x + 2 y 3dy

68. Punctele de extrem local ale functiei f : 2 , f ( x, y) = x 3 + 3 xy 2 15 x 12 y sunta. (2,1) punct de maxim local, (-2,-1) punct de minim local;b. (2,1) punct de minim local, (-2,-1) punct de maxim local;c. (-2,1) punct de maxim local, (2,-1) punct de minim local;d. (2,-1) punct de maxim local, (-2,1) punct de minim local.

69. Pentru functia f : 2 , f ( x, y) = 2 x 2 + y 3 6 xy + 1, A9

2,3

este

a. punct de maxim local;b. punct de minim local;c. punct sa.

70. Pentru functia f : 2 , f ( x, y) = ( x 1) 2 + 2 y 2 , punctul A(1,0) estea. punct de minim local;b. punct de maxim local;c. punct sa;

71. Pentru functia f :(0, ) 2 , f ( x, y) = xy +50

x+

20

y, punctul M (5,2) este

a. punct sa;b. punct de maxim local;

c. punct de minim local.


53/55

14

72. Functia f : 2 , f ( x, y) = x 2 xy + y 2 2 x y

a. are punctul de minim local M 5

3,

4

3

;

b. are punctul de maxim local M 5

3,

4

3

;

c. are punctul sa M 53

, 43

;

d. nu are puncte de extrem.

73. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = 4( x y) x 2 y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f .a. (-2,2);b. (2,2);c. (-2,-2);d. (2,-2).

74. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 2 + xy + y 2 + x y + 1. Determinati punctele stationareale lui f .a. (-1,-1);b. (-1,1);c. (1,-1);d. (1,1).

75. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = 2 x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2 . Determinati punctele stationare alelui f .

a. (-1,2), (-1,-2), (0,0) si 5

3 ,0

;

b. (1,2), (-1,-2), (0,0) si 5

3,0

;

c. (-1,2), (1,-2), (0,0) si 5

3,0

;

d. (1,0) si 5

3,0

;

76. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 3 + y 3 3 xy . Pentru functia f a. (0,0) este punct de maxim;b. (0,0) este punct de minim;c. (0,0) este punct sa.


54/55

15

77. Fie functia f : 2 definita prin f ( x, y) = x 3 + y 2 6 xy 39 x + 18 y + 20 . Functia f a. are (1,-6) punct de maxim si (5,6) punct de minim;b. are (1,-6) punct de minim si (5,6) punct de maxim;c. are (1,-6) si (5,6) puncte de minim;d. are (5,6) punct de minim;

78. ( ) ( )( ), 1,2lim 4 3 x y xy +

a. exista si este egala cu 1b. exista si este egala cu 10c. nu existad. exista si este egala cu 11

79.( ) ( )

3

2 2, 0,0lim

x y

xy x y +

a. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 0d. exista si este egala cu 2

80.( ) ( ), 0,1

1lim sin

x y y

xa. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 0

d. exista si este egala cu 1

81.( ) ( ), 0,0

1 1lim sin cos

x y x y

y x +

a. nu existab. exista si este egala cu 1c. exista si este egala cu 2d. exista si este egala cu 0

82.( ) ( ) 2 2, 0,0

sin2lim4 x y

y x x y +

a. nu existab. exista si este egala cu -1c. exista si este egala cu 2d. exista si este egala cu 0


55/55

83. Fie ( )2 2 3( , , ) 32 , x,y,z . f x y z x y yz x z= + + Atunci:

a. M(2,-8,-4) nu este punct de extremb. M(2,-8,-4) este punct de maxim localc. functia are doua puncte criticed. alta varianta

84. Fie ( )4 3 2 3 2 2( , ) 8 18 8 3 3 , , f x y x x x x y y y x y= + + si fie punctele

( )1 2 3,1 2 , M ( ) ( )2 32 3,1 2 , 2 3,1 2 M M + + ( ) ( ) ( )4 5 62 3,1 2 , 2,1 2 , 2,1 2 . M M M + + + Atunci

a. 1 M este punct sa, 5 M este punct de minim localb. 3 M este punct de minim local, 5 M este punct de minim localc. M 1 este punct sa, M 5 este punct de maxim locald. alt raspuns

85. Fie ( ) ( )2 3 3( , , ) 2 3 , , , . f x y z xy z a x y z x y z= si a > 0. Daca , ,7 7 7a a a

M

este

punct critic pentru functia data, atunci:a. M este punct de minim localb. Minorii matricei hessiene sunt:

5 10 10

1 2 32 8 187 7 7a a a

= = = si deci punctul M este punct de minim local

c. Minorii matricei hessiene sunt:5 10 10

1 2 32 8 187 7 7a a a

= = = si deci punctul M este punct de maximlocal.

86. Se considera functia de doua variabile , . Sa se calculeze derivatele partiale sidiferentialele de ordinal 1 si 2 ale lui f .

87. Se considera functia de doua variabile , . Sa se calculeze derivatele salepartiale de ordinul 1.

88. Se considera functia de doua variabile , . Diferentiala de ordinul al doilea a luieste ?

89. Se considera functia de trei variabile , . Ce se poate spune desprenumarul de puncte de extrem ale lui f ?

90. Se considera functia de trei variabile , . Diferentiala de ordinul al doileaa lui este ?

analiza matematica raspunsuri

Documents