Statistica matematica probleme de dificultate redusa

TRUE/FALSE

T 1) Dintr-o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de

volum n. Intervalul de încredere pentru media m a populaţiei cu dispersia necunoscută

este ,s sx t x tn nα α

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %.

T 2) Fie θ un parametru al colectivităţii generale şi θ*(x1,x2,…,xn) o funcţie de selecţie. Spunem că θ*

este o estimaţie consistentă a lui θ dacă θ*(x1,x2,…,xn) converge în probabilitate către θ.

T 3) Momentele de selecţie sunt estimaţii absolut corecte ale momentelor teoretice.

F 4) Fie densitatea de repartiţie f(x,θ), cu θ parametru necunoscut. Fie cazul ipotezei simple: H0:θ=θ0

; H1:θ=θ1. Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca funcţie de θ se numeşte riscul furnizorului.

T 5) Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, ) cand se

cunoaste este .

F 6) Intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, ) cand nu se cunoaste

dispersia este:

F 7) Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei al repartiei normale N(m, ) este

.

T 8)

Valoarea mometului de selecţie de ordinul r este .

T 9) Momentele de selecţie sunt estimaţii absolut corecte ale momentelor teoretice.

T 10) Urmatoarea estimatie: este o estimatie nedeplasata pentru dispersia teoretica.

T 11) Fie si doi estimatori nedeplasati pentru un parametru . Sa se precizeze daca estimatorul

pastreaza proprietatea de a fi nedeplasat pentru parametrul dat .

T 12)

Testul Z se aplicã pentru verificarea ipotezei 00 : mmH =

cu alternativa 11 : mmH =

pentru distributia ( )2,σmN cu cunoscut.

2σ

T 13) Pentru compararea a doua proportii provenite din doua esantioane de volume si ale

aceleasi populatii se foloseste statistica normal redusa:

T 14) Pentru compararea a 2 proportii testam ipoteze nula: contra ipotezei alternative:

la un prag de semnificatie . Atunci spunem ca respingem ipoteza nula in cazul: , unde reprezinta cuantila de ordin .

F 15) Valorile ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−

Φ= −α 2

11d , unde este functia de repartie pentru o variabila normal redusa, n

se cunosc.

u

)

T 16)

Dacã converge în probabilitate cãtre parametrul θ , spunem cã este o estimatie consistentã a lui

( nxx ,...,1*θ *θ

θ .

T 17)

Dacã ( )( ) θ=θ nxxM ,...,1* , ( )( ) 0,...,lim 1

*2 =θ∞→ nn

xxD ,

spunem cã este o estimatie corectã a parametrului ( nxx ,...,1*θ ) θ .

T 18) O estimatie este nedeplasatã pentru parametrul *θ dacã () 0* =θM .

F 19)

Dispersia de selectie este (∑=

−=n

ii xx

ns

1

22 1 ) este o estimatie nedeplasata pentru dispersia

teoretica.

T 20)

Valoarea mediei de selectie este ∑=

=α=n

iix

nx

11

1

T 21)

Valoarea dispersiei de selectie este ( )∑=

−=n

ii xx

ns

1

22 1

F 22)

Dacã repartitia teoreticã are media si dispersia , atunci media de selectie are

valoarea medie

m 2σ

si dispersia n

2σ.

F 23)

Testul "t" (Student) se aplicã pentru verificarea ipotezei 00 : mmH =

cu alternativa 11 : mmH =

pentru distributia ( )2,σmN cu cunoscut.

2σ

T 24)

Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare consideratã ( )2,σmN trebuie verificatã ipoteza

20

20 : σ=σH

contra alternativei 21

21 : σ=σH .

se face cu ajutorul unui esantion de volum cu statistica n ( )2

2~1σ−

=snU care are o

repartitie

2χ

T 25) Dacã reprezintã numãrul observatiilor în care a apãrut o valoare a caracteristicii xn ξ mai micã

decât x atunci functia de repartitie de selectie este ( )nnxF x

n =* .

F 26) O estimatie este nedeplasatã dacã *θ ( )2 * 0D θ = .

T 27)

Problema regresiei constă în a descrie legea de variaţie medie a unei variabile în funcţie de una sau mai multe variabile cunoscute.

T 28)

Problema corelaţiei constă în caracterizarea intensităţii legăturii cu ajutorul unui coeficient numeric – coeficient de corelaţie – independent de unităţile de măsură ale variabilelor corelate.

F 29)

O condiţie necesară pentru un calcul statistic corect in problema de regresie si de corelatie este omogenitatea datelor şi un număr mic de observaţii.

T 30)

Caracterul omogen sau neomogen al colectivităţii statistice poate fi sesizat examinând diagrama de dispersare a unităţilor observate în raport cu valorile variabilelor corelate.

T 31) Histograma se obtine folosind observatiile distincte: pentru caracteristica X a unei

populatii statistice si frecventele absolute asociate lor: .

T 32) Poligolul frecventelor relative este poligonul ce uneste punctele unde

sunt observatii distincte pentru caracteristica X a unei populatii statistice si frecventele absolute asociate lor.

F 33) Modulul este observatia de selectie cu frecventa cea mai mica.

F 34) Amplitudinea A are urmatoarea proprietate: .

F 35) Amplitudinea A are urmatoarea proprietate: .

YES/NO

YES 1) Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei al repartiei normale N(m, ) este

?

NO 2) Fie si n date, atunci cuantilele repartitiei :

( )2

1;2

1

2,1

−α

−χ=χ

ntab , ( )

2

1;2

2,2

−αχ=χ

ntab sunt tabelete?

YES 3) Estimatorul verosimilitatii maxime pentru parametrul al repartitiei Poisson este un estimator

eficient.

NO 4)

Douã estimatii eficiente ale parametrului θ nu sunt egale aproape sigur.

NO 5)

Valoarea medie a momentului de selectie de ordin r , rα este ? rα

NO 6)

Dispersia momentului de selectie de ordin r , rα este ?

YES 7) Media condiţionată teoretică a lui y în raport cu x este bxay x += .Parametrii a şi b se pot

estima prin metoda celor mai mici pătrate?

NO 8) Media de selectie, mediana si modulul sunt indicatori de pozitie?

YES 9) Amplitudinea, abaterea medie absoluta si dispersia de selectie sunt indicatori ai variatiei

observatiilor?

YES 10) In cazul in care pentru observatiile avem frecventele absolute atunci

mediana se poate calcula folosind frecventele cumulate?

NUMERIC RESPONSE

0,35 1) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 12,5.

0,95 2) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 16.

0 3) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 9.

0,5 4) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze probabilitatea ca variabila aleatoare de selectie sa apartina intervalului (12; 14,5)

12,95 5) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea mediei de selectie.

2,5475 6) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele

date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea dispersiei de selectie.

COMPLETION

1) Fie θ un parametru necunoscut pentru o densitate de repartitie ( )θ,xf .Atunci pentru o selectie

de volum obtinem douã statistici n ( )nxxA ,...,1 , ( )nxxB ,...,1

) astfel încât probabilitatea

( ) (( ) δ=≤θ≤ nn xxBP ,...,, 11 x...,xA ,unde δ nu depinde de θ . Atunci [A,B] se

numeste..interval..de incredere.

2) Fie θ este un parametru necunoscut pentru densitatea de repartitie .Atunci pentru o selectie de volum obtinem douã statistici,

( θ,xf )n ( )nxxA ,...,1 , ( )nxxB ,...,1 astfel încât

probabilitatea ( ) ( )( ) δ=≤θ≤ nxn xBxP ,...,,..., 11xA ,unde δ nu depinde de . In acest caz multimea punctelor de selectie

θ( )nxx ,...,1 pentru care BA ≤θ≤ , se numeste ..regiune. de

acceptare pentru . θ

3) Fie θ este un parametru necunoscut al densitatii de repartitie ( )θ,xf în care pentru o selectie

de volum obtinem douã statistici, n ( )nxxA ,...,1 , ( )nxxB ,...,1 astfel încât probabilitatea

( ) (( )) δ=≤θ≤ nn xxBP ,...,, 11 x...,xA ,unde δ nu depinde de θ .Atunci numãrul δ se numeste

.prag. de încredere al intervalului [A,B].

4) Dispersia de selecţie este o estimaţie consistentă pentru ..dispersia.teoretică.

5) Probabilitatea de respingere a ipotezei nule ca functie de parametrul considerat se numeste

functie de.putere. a testului.

6)

În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul

întâi daca respingem desi ea este adevãratã. 0H

7)

În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul doi

dacaacceptam desi ea este falsa. 0H

8)

Fie valorile observate ale variabilei x şi valorile observate ale variabilei y şi fie numărul unităţilor populaţiei care au valoarea a variabilei x şi pentru

y. Atunci şi se numesc repartiţii marginaleale lui y, respectiv x.

nxx ,...,1

ijf

∑=

• =n

ijf

1

myy ,...,1

ix iy

ijf ∑=

• =m

jijf

1if

9)

Caracteristicile marginaleale lui x şi y (medie şi dispersie) sunt

•=••∑= i

n

ii fx

fx

1

1, ( ) •

=••∑ −= i

n

ii fxx

fx

1

22 1)(D

∑=

•••

=m

jjj fy

fy

1.

1, ( ) j

m

jj fyy

fy •

=••∑ −=

2

1

2 1)(D

Statistica matematica probleme de dificultate medie

TRUE/FALSE

F 1) Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea medianei este de 1400 de

RON. Atunci putem concluziona ca cai mai multi angajazi au un salariu de 1400 de RON?

F 2) Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea modulului este de 1400 de

RON. Atunci putem concluziona ca jumatate din numarul angajatilor au un salariu mai mic de de 1400 de RONsi cealalta jumatate un salariu mai mare de 1400 de RON?

T 3) Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea mediei de selectie este de

1400 de RON. Atunci putem concluziona ca daca totalitatea salariilor platite s-ar repartiza in mod egal atunci fiecare angajat ar primi un salariu de 1400 de RON?

T 4) Daca Me este valoarea medianei unei populatii statistice atunci avem urmatoarea relatie:

.

T 5) Daca sunt valorile cuartilelor unei populatii statistice atunci avem urmatoarele relatii:

, , .

F 6) Daca sunt valorile cuartilelor unei populatii statistice atunci avem urmatoarele relatii:

, , .

T 7) Pentru o repartitie simetrica valoarea medianei coincide cu valoarea mediei de selectie.

MULTIPLE CHOICE

3 1) S-a constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă

aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoarele

Cererea ( ix ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecvenţa ( ) in 4 5 12 8 20 18 10 19 3 1 Cererea medie x este: 1 7, 49x = 2 4, 47x = 3 5, 49x = 4 14, 49x =

5 2) Fie o selecţie de volum 25 repetată asupra unei caracteristici X a unei populaţii statistice care a

condus la rezultatele următoare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 Fie s2 , dispersia de selecţie. Atunci 1 2 3 4 5

2 3) Se consideră X o caracteristică a unei populaţii cu densitatea de repartiţie ( ),f x θ cu θ

parametru necunoscut, ( ) ( ) 22,

!

x

f xx

e θθθ −= , x ∈ N, θ > 0, şi fie { } 1,k k n

x=

rezultatele unei

selecţii repetate de volum n efectuată asupra lui X. Un estimator de maximă verosimilitate al parametrului θ este 1 xθ ∗ = 2

2xθ ∗ =

3 ln xθ ∗ = 4 xeθ ∗ = 5 2xθ∗ =

2 4) Fie X o carateristică a unei populaţii, X∈(m,σ2), cu σ = 36, şi fie o selecţie de volum n=9 care

conduce la o valoare medie 195x = . Intervalul de încredere pentru parametrul m este [ ]171,48;218,52 pentru coeficientul de încredere 1 δ = 0,90 2 δ = 0,95 3 δ = 0,98

4 δ = 0,99

5) o carateristică a unei populaţii, X∈(m,σ2) şi fie o selecţie de volum n=9 care conduce la . Fie X

o valoare medie şi o dispersie modificată 2 250, s = 1,75x = % .

Intervalul de încredere pentru parametrul [ ]48,311; 51 89 ,6m este pentru coeficientul de

δ = 0,90

.

6) o populaţie normală se face o selecţie de volum 16 găsindu-se:

încredere 12 δ = 0,99 3 δ = 0,98 4 δ = 0,95 5 δ = 0,975

Dintr-xk: 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3. Intervalul de încredere 98% corespunzător dispersiei σ2 este 1 [ ]0,076;0,1033 2 [ ]0,0176;0,1033 3 [ ]0,0176;0,0033 4 [ ]0,076;0,0033 5 [ ]0,1176;0,0033

7) intr-o selecţie ordonată de volum n=25 s-au obţinut următoarele date: medie de selecţie xD =

eoretice H0 : m = 15,15 .

nu se acceptă ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,05.

.

3 8) eşantion dintr-o populaţie N(m

14,85, dispersie de selecţie modificată s* = 1,52. Se face urmatoarea ipoteza asupra valorii medii tIn aceste conditii, 12 se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,5. 3 se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,0254

se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,05

Pe un ,σ ) de volum n=25 s-a obţinut x = 12,64; . 2 6,25s =Se fac urmatoarele ipoteze asupra valorii medii teoretice : H0: m = 12, H1 : 1m ≠ 2 . La un nivel de semnificaţie α = 0,05 , 2, 262tα = 1 se accepta alternativa H1

ici una dintre cele doua ipoteze

2 datele sunt insuficiente 3 se accepta H0 4

nu se accepta n

2 9) intr-volum 9n = şi se obţine D o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de

50x = , 2 21,75s =% . Să se scrie intervalul de încredere dac0,0

ă 5α = 2,37tα = . şi

( )47,9 0,01 1 8;52 ( )48,61;51,38 3 ( )37,98;49,92

1 10)

Momentul centrat de selecţie de ordinul r este

1

2

3 11) pentru o sectie de volum n se cunoaste dispersia de selectie Daca atunci sa se precizeze valoarea dispersiei de selectie modificate . 1 3

4

2

2 12) ă se arate că dacă S este o variabilă aleatoare normală , atunci pentru o selectie de

volum n repartiţia mediei de selecţie este:

1 3

4 2

1 13) Spunem că

este o estimaţie consistentă a lui daca: 1 Dacă converge în probabilitate către parametrul 2 Dacă converge aproape sigur către parametrul 3 Dacă converge in medie patratica către parametrul

2 14)

Recunoasteti urmatoarea teorema:

Dacă este o estimaţie absolut corectă a parametrului , atunci

( )( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

θ∂θ∂

≥θ21

*2

,ln1,...

xfnMxxD n

. 1 Cebisev 3 Markov 2 Rao-Cramer 4 Bernoulli

1 15)

Dacă este o funcţie de estimaţie absolut corectă, atunci raportul

( )( )

( )*2

2

*

,ln1

θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

θ∂θ∂

=θD

xfnMen

se numeşte:

1 eficienta lui 3 asimetria lui 2 mediana lui 4 excesul lui

2 16) Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare comsiderata normala

trebuie verificata ipoteza nula contra alternativei la un prag

de incredere .Specificati care din urmatoarele situatii este cea adevarata: 1 Daca aunci pentru respigem 2 Daca aunci pentru respigem

3 17) Determinarea regiunii critice se face cu ajutorul urmatoarei leme:

1 Rao-Cramer 2 Bernoulli 3 Neyman-Pearson

2 18) Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, ) cand se

cunoaste este 1

3

2

4

3 19) Sa se afle intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, ) cand nu se

cunoaste dispersia . 1

3

2

4

2 20) Sa se determine un interval de incredere pentru parametrul dispersiei al repartiei normale

N(m, )

1

3

2

4

3 21)

Fie repartitia de tip continuu ( )θ,xf unde θ poate lua orice valoare dintr-un interval I . Valorile de selectie obtinute în urma a extractii independente din populatie sunt variabile aleatoare independente cu aceeasi densitate de probabilitate . Atunci functia

nxx ,...,1 n( θ,xf )

, ( ) ( ) ( ) nn dxdxxxdxxP ...,,... 1111 n fdxnx ;,..., f... θθ=θ se numeste 1 functie de repartitie 3 functie de verosimilitate 2 densitate de repartitie 4 variabila aleatoare

1 22)

Momentul centrat de selectie de ordinul r este 1

( )∑=

−=μn

i

rir xx

n 1

1

2

3

2 23)

Momentul de selectie de ordinul r pentru o variabila aleatoare este 1

2 ∑=

=αn

i

rir x

n 1

1

3

2 24) Comtestului Z care se bazeaza pe statistica Z=... 1

pararea mediei unui sondaj cu media cunoscuta a unei populatii originare se face cu ajuorul

3

2

4

pararea a douã proportii se realizeza cu ajutorul a douã esantioane de volum respectiv

2 25) Com

2n din populatii diferite sau din aceeasi populatie. Aceste esantioane ne dau propo iile 1p pectiv 2p de elemente posedând o anumitã caracteristicã

1nrþ

res A . Vom testa ipoteza

210 : ppH = contra alternativei

211 : ppH ≠ . u ajutorul statisticii:

1 c

3

2

2

22

1

11

21

nqp

nqp

ppZ

+

−=

1 26) Daca

( )*ne θ este eficienta lui θ atunci

1 ( ) 3 ( )*ne θ10 ≤≤ *θne <0

2 ( )*ne θ >1 4 ( )*

ne θ

constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă rele

1 27) -a

aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoaCererea ( i

S

x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecvenţa n ) ( i 4 5 12 8 20 18 10 19 3 1

Atunci disp rsie a d c s% e

2

3 28) selecţie de volum 25 repetată asupra unei caracteristici X a unei populaţii statistice care a

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

mo ifi ată de selecţie 2 est : 1 2 4, 47s =% 2 7, 49s =%

Fie ocondus la rezultatele următoare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ie

xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2

,xF media de selecţie. Atunci

1 x = 2,96 2 x = 1,96 3 x = 0,96

29) Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Fie 1 2, ,..., nx x x valorile

observate ale variabilei X şi , ,..., m1 2y y y valorile observate ale variabilei Y. Fie fij număunităţilor populaţiei care au v variabilei X şi yj pentru Y. Numerele

rul aloarea xi a

, 1, , 1,ijf i n j m= = , satisfac urmatoarele relatii: 1 3

1 11

m n

iji j

f= =

=∑∑1, 1, , 1, ,ijf i n j m≥ = =1 1

1m n

iji j

f= =

=∑∑

2 1, 1, , 1, ,ijf i n j m≥ = = 4 0, 1, , 1, ,ijf i n j m≥ = =

1 11

m n

iji j

f= =

=∑∑

30) onsidera o populatie avand doua caracteristici X si Y, variabilele aleatoare discrete, pentru

X\Y 0 1 pi

Se ccare se cunosc repartiţiile individuale şi repartiţia comună date în tabloul

-1 1 5/12 /12 1/2 1 1/4 1/4 1/2 qj 1/3 2/3

epartiţia variabilei 3X - 2Y este

R

3 -1 1 33 2 : 5 1 1 1

12 12 4 4X Y

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

41

41

125

121

3 1 1- 3:23 YX

3 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

41

41

125

121

3 1 1- 3:23 YX

4 3 -1 1 33 2 : 1 1 1 5

12 4 4 12X Y

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 31) populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y pentru care calculăm media Fie o

teoretica condiţionata a lui Y in raport cu X, $ xy . Coeficientul de variatie a ajustarii se calculeaza cu formula:

xy a bx= + . unde

1 $( )1 x

yy yD

CVny y

−= = ⋅

∑

2 $( )x

y

y yCV D

n

−= =

∑

3 1CVy

=

4 ( )1 x

yy yD

CVny y

−= = ⋅

∑

3 32) La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate:

Test 1 X 35 55 40 35 50 60 45 40 Test 2 Y 50 60 40 35 65 55 45 50

Valorile medii x şi y sunt 1

5545

==

yx

2

4550

==

yx

3

5045

==

yx

4

5055

==

yx

2 33) La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate:

Test 1 X 35 55 40 35 50 60 45 40 Test 2 Y 50 60 40 35 65 55 45 50

Coeficientul al dreptei de regresie a lui a y în raport cu x , este bxayx +=*

1 70,0=a 2 75,0=a 3 77,0=a 4 80,0=a

2 34) Dacă se dau 82,7=x , 86,7=y , 86,4=xs , 50,5=ys şi 5273,0=xyr , dreapta de

regresie a lui y în raport cu x este 1 17,35967,0 −= xy 2 17,35967,0 += xy 3 17,35967,0 +−= xy 4 17,35967,0 −−= xy

2 35) Dacă se dau 82,7=x , 86,7=y , 86,4=xs , 50,5=ys şi 5273,0=xyr , coeficientul a

din ecuaţia dreptei de regresie bxayx += are valoarea 1 1=a 2 5967,0=a 3 5967,0−=a 4 3,0=a

1 36) Dacă se dau 82,7=x , 86,7=y , 86,4=xs , 50,5=ys şi 5273,0=xyr , coeficientul b

din ecuaţia dreptei de regresie bxayx += are valoarea

1 17,3=b 2 17,3−=b 3 4=b 4 2,4=b

2 37) Pentru datele din tabelul următor

x 40 50 60 70 75 y 58 102 142 188 210

valorile medii x şi y sunt 1

14058

==

yx

2

14059

==

yx

3

2,14058

==

yx

2 38) Pentru datele din tabelul următor

x 40 50 60 70 75 y 58 102 142 188 210

coeficientul a al dreptei de regresie bxayx are valoarea = +1 29,4=a 2 256,4=a 3 38,4=a 4 5,4

3 39) Pentru datele din tabelul următor

xy 20 25 30 35 40 jf ⋅

16 4 6 10 26 8 10 18 36 32 3 9 44 46 4 12 6 22 56 1 5 6

⋅if 4 14 46 16 20 100 Sa se determine x şi y 1

7,2930

==

yx

2

307,31

==

yx

3 31.7

35.6xy==

4

3132

==

yx

NUMERIC RESPONSE

1 1) O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor

la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3

Precizati valoarea medianei.

1 2) O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor

la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3

Precizati valoarea modulului.

7 3) O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor

la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3

Precizati valoarea amplitudinei.

1,37 4) O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor

la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3

Precizati valoarea mediei de selectie.

205 5) O selectie de volum n=40 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la

urmatoarele rezultate: 115 145 175 205 235 265 295 325 2 6 6 15 6 1 3 1

Precizati valoarea medianei.

6) Timpii de defectare pentru 225 de componente in multipli de 100 de ore sunt grupati in clase.

Daca =454 si =426 sa se afle lungimea clasei de grupare.

7) Timpii de defectare pentru 225 de componente in multipli de 100 de ore sunt grupati in clase.

Daca =454 si =426 sa se afle numarul claselor atunci cand sunt de lungime egala.

78 8) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea modulului.

56 9) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea statisticii de ordine .

94 10) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea statisticii de ordine .

11) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea quartilei .

12) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea quartilei .

13) Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56,

76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea percentilei .

14) Sa se afle valoarea medianei pentru urmatorul sir de date: 2,5; 3,7; 1,4; 0,2; 5,4; 8,9; 4,2.

statistica matematica probleme de dificultate ridicata

TRUE/FALSE

F 1. Repartiţia valorilor unei variabile observate este dată de tabelul

Valorile mărimii -1 0 1 2 3 4 5 6 Frecvenţele 2 5 6 9 10 8 7 3 Valoarea medie a mărimii observate este 42,7x = .

T 2. S-a constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă aleatoare.

Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoarele Cererea ( ix ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecvenţa ( ) in 4 5 12 8 20 18 10 19 3 1

Cererea medie x şi dispersia modificată de selecţie sunt egale cu 2s% 5, 49x = , .

2 4, 47s =%

F 3. Dintr-o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de volum 9

găsindu-se 50x = şi . Pentru 2 1,75s =% 2 0,95α = şi 1,96tα = intevalul de încredere este

( )47,98;57,01 .

F 4. Se consideră X o caracteristică a unei populaţii cu densitatea de repartiţie ( ),f x θ cu θ parametru

necunoscut, ( ) ( ) 22,

!

x

f xx

e θθθ −= , x ∈ N, θ > 0, şi fie { } 1,k k n

x=

rezultatele unei selecţii repetate de

volum n efectuată asupra lui X. Un estimator de maximă verosimilitate al parametrului θ este * xθ =

F 5. Fie o selectie asupra unei variabile aleatoare si .

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate pentru este un estimator nedeplasat pentru .

MULTIPLE CHOICE

1. Se fac cinci măsurători cu un aparat asupra lungimii unei bare şi se găsesc rezultatele în mm: ;

; ; ; . Să se determine valoarea medie a lungimii barei, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie modificată.

9294 103 105 106

a. c. b. d.

2. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 i in 3 8 5 10 8 6 7 3

ă se calculeze valoarea mărimii observate .

a.

S medie a

c. b. d.

3. epartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul: R

x 0 1 2 3 4 5 6 7 i in 3 8 5 10 8 6 7 3

ă se calculeze valoarea dispersieie modificate S .

a. c. b. d.

4. entru a cerceta prezenta studentilor la un anumit curs s-a ales un esantion de 100 studenti si s-a

i au 4

Pinregistrat numarul absentelor acestora la cinci cursuri consecutive: 40 de studenti nu au nici o absenta, 20 de studenti au 1 absenta, 15 studenti au 2 absente, 10 studenti au 3 absente, 8 studentabsente si ultimii 7 studenti au absentat la toate cele 5 cursuri. Sa se determine valoarea mediei de selectie. a. c. 1,47 2 b. 1 d. 2,47

5. selectie aleatoare de volum n=10 dintr-o populatie normala a dat urmatoarele valori: -2, -2, 1, 2, 2,

O3, 3, 4, 4, 5 Sa se scrie un interval de incredere pentru media populatiei normale la un prag de incredere de 95%. Se cunoaste ca ,26. a. 1<m<5 c. 0,3<m<3,7

4

6. e efectueaza 12 masuratori independente asupra unei variabile aleatoare

b. -1<m<2 d. 10,3<m<12,

S repartizate normal

, rezultatul masuratorilor fiind urmatorul :-0,5;-0,4;-0,4;-0,2;0;0,2;0,6;0,8;1;1,2;1,2;1,5 la un prag de incredere de 0,05 un interval de increder pentru media teoretica. Se cunoaste

cuantila

. Sa se detrmine

a. 1<m<5,8 c. 10<m<12

7. Sa se gaseasca o estimatie eficienta pentru parametrul

b. -0,04<m<0,8 d. 21<m<25,7

din repartitia Poisson ,

k=0,1..., pe baza unei selecţii repetate de volum n.

a. c.

b.

d.

8. Sa se precizeze un estimator eficient pentru parametrul mediei m din repartitia normala cu

densitatea de probabilitate ( )

( )22

2

21, σ

−−

πσ=

mx

emxf.

a. dispersia de selectie b. media de selectie

9. O selectie de volum n=31 a dat o estimatie deplasata a dispersiei teoretice. Sa se determine o

estimatie nedeplasata a dispersiei teoretice. a. 3 c. 3,1 b. 3,5 d. 4

10. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare

reprezentata de media m=1500h si . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de functionare de ore.Sa se verifice ipoteza nula h fata de alternativa

pentru . Se cunoaste cuantila a. deci acceptam b. deci respingem c. deci acceptam d. deci respingem

11. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare

reprezentata de media m=1500h si . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de functionare de ore. Sa se determine puterea testului pentru a. c. b. d.

12. Salariul mediu lunar dintr-o unitate de productie este de 1.550.000 lei. Se face o cercetare selectiva pe

un esantion de 25 de salariati si se obtine . Stiind ca salariul este o variabila aleatoare

normala si ca abaterea medie patratica a salariatilor =30.000lei sa se decida daca salariul mediu este semnificativ mai mic decat cel anuntat la un prag de incredere de =0,01. Se stie ca . a. deci respingem c. deci respingem b. deci acceptam d. deci acceptam

13. 1. Pe un esantion format din de indivizi din totalul populaþiei unei zone de de indivizi, s-a constatat cã consumul mediu lunar pentru menaj este de lei ºi o abatere medie pãtraticã . Sã se determine un interval de încredere pentru estimarea mediei de consum a întregii populaþii.Se cunoaste ca

000.10 000.700000.950

000.700=s96,1=αt .

a. 136.000 m 200.000 c. 550.000 m 935.000 b. 100.000 m 255.000 d. 000.964000.936 ≤≤ m

14. 1. Sã se determine un interval de încredere pentru parametrul σ cu un prag de încredere de

stiind cã în urma a de mãsurãtori independente s-a obþinut media %98

25 2,18=x si dispersia . 63,1~2 =s

a. 1,23< <3,456 c. 0.88< <1,2 b. 0,23< <0,88 d. 896,188,0 ≤σ≤

15.

Sa se afle estimatorul de verosimilitate maxima pentru parametrul m din repartitia normala N(m, ).

a.

m=

b. ∑=

=n

iix

nm

1

1

c.

16. Sa se estimeze parametrul pentru repartitia normala N(m, )

a.

c.

b.

d.

17. Sa se estimeze parametrului λ din repartia Poisson ( );!

k

f k ek

λλλ −= , pe baza unei

selectii repetate de volum n .

,...1,0=k

a.

b.

c.

18.

Se efectueazã o selectie de volum 100=n asupra unei variabile aleatoare care ne furnizeazã

valorile 1, 5 , , 12 cu frecventele

ξ

9 3,0=10030

, 15,010015

= , 1,010010

= , si 45,0=10045

atunci

a. F(2)=0,1 c. F(2)=0,15 b. F(2)=0,3 d. F(2)=0,45

19. Fie ξ o variabilã aleatoare normalã ( )2,σmN , atunci sa se afle repartitia mediei de selectie.

a. este o variabilã aleatoare normalã

b. este o variabilã aleatoare normalã

c. este o variabilã aleatoare normalã

20. Fie ξ o variabilã aleatoare cu o repartitie Poisson de parametru λ . Sã se determine repartitia mediei

de selectie.

a. este repartizat Poisson b. este repartizat Binomial c. este repartizat Cauchy

21.

O masinã fabricã piese în serie. Ea a fost reglatã astfel ca diametrul pieselor sã fie de mm. Pe un esantion de 100 de piese s-a obtinut valoarea medie a diametrelor

60,1265,12=x mm. Dacã

se cere: 16,02 =σSã se decidã dacã diametrele sunt semnificativ mai mari decât diametrul anuntat pentru 01,0=α . a. nu sunt semnificativ mai mari b. sunt semnificativ mai mari

22.

O masinã fabricã piese în serie. Dacã volumul esantionului este , 10=n 65,12=x si sã se verifice dacã diametrele diferã semnificativ de cel anuntat. . 1584,02 =s 05,0=α

a. diametrele difera semnificativ b. diametrele nu difera semnificativ

23.

Într-un oras s-a efectuat un sondaj privind cheltuielile lunare pentru consumul alimentar. Sondajul a fost efectuat pe douã esantioane cuprinzând categorii sociale diferite. S-au obtinut rezultatele:

Volumul esantion

Media de consum (lei)

Abaterea mediei pãtraticã

Muncitori 3271 =n 000.6121 =x 000.1041 =s Functionar

i 2862 =n 000.6422 =x 000.1182 =s

Sã se testeze dacã diferenta cheltuielilor medii lunare este semnificativã pentru cele douã categorii sociale

a. da, diferenta este semnificatica b. nu, diferenta nu este semnificatica

24. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

ix 0 1 2 3 4 5 6 7

in 3 8 5 10 8 6 7 3

Să se calculeze valoarea dispersiei. a. s2 = 4 c. b. d.

25. Se consideră o populaţie caracterizată simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de următorul

tablou incomplet

X\Y 0 1 pi -1 λ 1/2 1 qj 2/3

unde λ este un parametru real strict pozitiv. Să se completeze tabloul dat astfel încât acesta să furnizeze repartiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y. a. X\Y 0 1 pi

-1 λ 1/6-λ 1/2 1 1/3-λ 1/2+λ 1/2 qj 1/3 2/3

b. X\Y 0 1 pi

-1 1/3+λ 1/2-λ 1/2 1 -λ 1/6+λ 1/2 qj 1/3 2/3

c. X\Y 0 1 pi

-1 λ 1/2-λ 1/2 1 1/3-λ 1/6+λ 1/2 qj 1/3 2/3

d. X\Y 0 1 pi -1 1/6+λ 1/2-λ 1/2 1 1/3-λ λ 1/2 qj 1/3 2/3

26. Se consideră o populaţie caracterizată simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de următorul

tablou incomplet

X\Y 0 1 pi -1 1/6 1/2 1 qj 2/3

Repartiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y este dată de următorul tablou: a. X\Y 0 1 pi

-1 2/3 1/6 1/2 1 1/3 1/2 1/2 qj 1/3 2/3

b. X\Y 0 1 pi -1 1/6 1/2 1/2 1 1/2 1/6 1/2 qj 1/3 2/3

c. X\Y 0 1 pi -1 1/6 1/3 1/2 1 1/6 1/3 1/2 qj 1/3 2/3

d. X\Y 0 1 pi -1 1/6 1/6 1/2 1 1/6 1/3 1/2 qj 1/3 2/3

27. Doua caracteristici ale unei populatii sunt descrise de variabilele aleatoare discrete X, Y, pentru care se

cunosc repartiţiile individuale şi repartiţia comună date în tabloul

X\Y 0 1 pi -1 1/12 5/12 1/2 1 1/4 1/4 1/2 qj 1/3 2/3

In aceste conditii, X si Y sunt a. independente, dar corelate b. independente şi deci necorelate c. independente şi deci corelate d. dependente şi corelate

28. Coeficientul de corelatie r asociat la doua variabile X si Y are urmatoarele proprietati:

A.r este cuprins între –1 şi +1 B.Dacă r este strict pozitiv, ambele variabile variază în acelaşi sens. Dacă r este strict negative, variabilele variază în sensuri opuse. C.Dacă valoarea absolută a coeficientului de corelaţie este mică, poate exista o legatura intre variabilele X si Y, dar aceasta nu poate fi de formă liniară.

D.Coeficientul de corelaţie este direct proporţional cu coeficientul de regresie. a. A b. A+B c. A+B+C d. A+B+C+D

29. Pentru testarea caracterului omogen al unei colectivităţi statistice se utilizează coeficientul de variaţie.

Cu cât nivelul acestui coeficient este mai apropiat de zero cu atât: a. variaţia este mai mare, iar colectivitatea mai omogenă. b. variaţia este mai mică iar colectivitatea mai omogenă. c. variaţia este mai mică iar colectivitatea mai neomogenă. d. variaţia este mai mare iar colectivitatea mai neomogenă.

30. Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Se considera urmatoarele date

xi 1 2 4 5 yj 3 10 12 15 Cea mai buna functie de ajustare liniara a datelor este: a. 3 2y x= + b. 2 3y x= + c. 8 2

5 5y x= − −

6

d. 26 85 5

y x= − −

31. Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Se considera urmatoarele date

xi 1 2 4 5 yj 3 10 12 15 Se studiaza dependenta liniara a celor doua caracteristici si se determina functia de regresie

xy ax= +b

)b

prin metoda celor mai mici patrate.

Eroarea de ajustare globala si coeficientul de variatie CV sunt: (4

1i i

iS y ax

=

= − −∑ a. 10, 4, 1,612S CV= = b. 1,04, 0,1612S CV= = c. 10,4, 0,1612S CV= = d. 1,04, 1,612S CV= =

32. Proprietarul unui magazine isi propune sa analizeze mosul in care valoarea incasarilor a fost

uinfluentata de cheltuielile cu publicitatea. Pentru aceasta extrage din documentele de evidenta nivelul cheltuielilor cu publicitatea si valoarea vanzarilor din ultimile 5 luni.

Cheltuieli publicitate (mii lei) xi

3 5 7 9

Nivelul vanzarilor (mil. lei) yi

5 25 70 45

Functia de regresie liniara care descrie interdependenta dintre cele doua caracteristici este a. 8, 25 13, 25y x= − b. 8, 25 13, 25y x= − + c. 8, 25 13, 25y x= + d. 8,25 13,25y x= − −

33. La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate:

Test 1 X 35 55 40 35 50 60 45 40 Test 2 Y 50 60 40 35 65 55 45 50

Dreapta de regresie bxayn += este a. xyx 25,1575,0 −= b. xyx 25,1675,0 += c. xyx 25,1675,0 +−= d. xyx 25,1675,0 −=

34. Pentru datele din tabelul următor

x y 18 23 28 33 38 43 48 yf

125 1 1 150 1 2 5 8 175 3 2 12 17 200 1 8 7 16 225 3 3 6 250 1 1 2

xf 1 6 8 20 10 4 1 50 să se calculeza mediile x şi y . a.

18832

==

yx

b. 328

187xy==

c.

18733

==

yx

d. 328

188xy==

35. Pentru datele din tabelul următor

x 40 50 60 70 75 y 58 102 142 188 210

ecuaţia dreptei de regresie bxayx este = +a. xyx 84,106256,4 −= b. xyx 84,106256,4 +−= c. xyx 84,106256,4 +=

d. xyx 84,106256,4 −−=

36. Pentru datele din tabelul următor

x 6 9 10 12 22 26 28 32 35 y 69 57 65 53 44 40 37 34 32

valorile lui şi s sunt 2xs 2

y

a.

210

25,1192

2

=

=

y

x

s

s

b.

220

25,1192

2

=

=

y

x

s

s

c.

210

1202

2

=

=

y

x

s

s

d.

220

1202

2

=

=

y

x

s

s

37. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii:

-1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3

Sa se calculeze dispersia. a. =3,38 c. =-1,12 b. =10,21 d. =24,23

38. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii:

-1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3

Sa se calculeze vectorul frecventelor cumulate. a. b. c.

39. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii:

-1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3

Sa se calculeze modulul. a. 3,5 c. 3 b. 2,74 d. -1

40. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii:

-1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3

Sa se calculeze valoarea functiei de frecventa in punctul 5,2. a. 47/50 c. 40/50 b. 45/50 d. 42/50

41. Un grup de 100 de persoane se repartizeaza dupa inaltime astfel:

110-120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 -190 -200 2 3 3 6 10 20 26 14 16

Sa se calculeze inaltimea medie.

a. 165,3 c. 185,2 b. 171,1 d. 169,9

42. Un grup de 100 de persoane se repartizeaza dupa inaltime astfel:

110-120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 -190 -200 2 3 3 6 10 20 26 14 16

Sa se calculeze abatearea media patratica. a. 16,2 c. 15,3 b. 19,4 d. 20,1

43. Fie valori observate asupra unei caracteristici X si fie media de selectia asociata. Atunci

precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata. a.

b.

44. Fie valori observate asupra unei caracteristici X si fie media de selectia asociata. Atunci

pentru orice a numar real precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata. a.

b.

c.

45. Fie o selectie asupra unei variabile aleatoare si .

Atunci functia de verosimilitate are urmatoarea forma: a.

c.

b.

d.

46. Fie o selectie asupra unei variabile aleatoare si .

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate pentru .

a. c.

b. d.

47. Fie o selectie asupra unei variabile aleatoare si .

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate este in urmatoarea relatie cu estimatorul nedeplasat . a.

c.

b.

d.

48. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Consideram ca salariile au distributie de probabilitate normala cu , sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 90%.Se cunoaste ca

. a. (17,20; 19,14) b. (16,20; 20,14) c. (17,90; 19,59)

49. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Consideram ca salariile au distributie de probabilitate normala cu , sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 95%.Se cunoaste ca

. a. (17,20; 19,14) b. (16,20; 20,14) c. (17,01; 19,32)

50. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Sa se calculeze dispersia de selectie modificata. a. 1,2 c. 1,432 b. 1,71 d. 1,613

51. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 95%.Se cunoaste ca .

a. (17,54; 18,8) b. (12,3; 17,54) c. (18,8; 21,9)

52. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 90%.Se cunoaste ca . a. (17,65; 18,69) b. (12,3; 17,54) c. (18,8; 21,9)

53. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 98%.Se cunoaste ca . a. (13,9; 32,9) b. (17,4; 18,94) c. (19,8; 22,8)

54. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul:

17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8

Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 99%.Se cunoaste ca . a. (13,9; 32,9) b. (16,5; 17,9) c. (17,3; 19,04)

NUMERIC RESPONSE

3,075 1. Pentru o selectie de volum n=41 se cunoaste disperis de sectie . Sa se determine dispersia de

selectie modificata .

3 2. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

ix 0 1 2 3 4 5 6 7

in 3 8 5 10 8 6 7 3

Sa se determine moda variabilei( valoarea caracteristicii careia ii corespunde cea mai mare frecventa).