analiza matematica cristina bercia.pdf
TRANSCRIPT
Qristina BERqlhQetavian ST[NhEfUh
ANALTzA nanrEMATrcAProhlerne gi aplicattii ln MAFTE
Editura POLI'I'EHNICA PRESSBUCURESTr,20ll
ii
Copyright @,2A17, Editura politehnica press. I
Toate drepturile asupr? acestei edilii ,*, r"r..-*t" editurii.
Adresa: Calea Grivifei, nr. 13278122, Sectorl , Buc,:regti
:
Referenli SriinliJici: conf.dr. Theodor STIHI l
conf. dr. Radu URSIANU
r-----*--.-rDescrierea cin "
Btbii;i;;;i N;fi"rgi-" R;;;fi--.^-*BERCIA, CRTSTINA I
.
^ . Analizd, matematici: probleme gi aplicafiilin MAPLE /:Cristina Bercia, Ocravian Srinagita. _ duil;il;;ffi;l;;;"'iPress, 201 1
PrefagH
Este un truism ci rnatematica nu se poate invd,la dec6,t rezorvircr exerciliigi problt:me bine alese. gradate ca dificurtate. ilustrdnd rezultatere t,eoretice giconceptele de lrazd.
In uiti'rul 1,imp, s-a trecut la o compa,ctare masi.r,d a Analizei 'ratematicein prim.l semestru ar anului I qi s-a propus o prograrnx noud. culegerea defat5, incearcd sd orienteze seminariile pe leclii birre
"i..u*s"rise, cu o"serectrieilguroas{ a exercitriiior, elimi.6.nd extrar,agangele gi problemere'p.ea ain"ilu.Aceasta, deoarece pentru stude*{ii viitori iigi'eri natematica'u este un scopin sine, ci ei trebrrie sr qtie sd calcuieze, sd estimeze. sd aplice c'.rnoqiirrl"recdp5tate la disciplineJe tehnice de bazd.
In acelagi timp, am cd,utat sd apropiem Anariza matenraticx de ,tilizarea,calculatoarelor' prin adoptarea siste'rurui tyApLE ca mediu a. progr;u.opentru calcule rrumerice. dar mai ales simborii,e, p;.in eorrrerrzi care si,rt-etizeazdprograme intregi. siste,rnur tr4ApLE are trei ctmponente: nucleul (scris i'lirnbajui c), biblioteca avantr diverse pachete de programe gi interfala cu cal_culatolul. I{APLE are multe instrumente pentru ca,l,:ului a* nr.rit". lniegrui"defi-nite qi integrale irnproprii, dezvoltdri in serie, reprez,entdri gr:afice, !nte-grale curbilinii, integra,le rnultiple etc., toate ibrnrind un acljuvan-t ar Analizeimalematice.
Lectiile de se*ri'ar sunt in numdr de 14 corespunzdtor cu numdrul decursrrri de pe semest'rl I al anului I. Acestca cupri'd riste de probleme curezolvi-r'i complete sau cu_ indicalii cre rezoivare qi o alti. catego.ru "rr
.a.f orrrr_r.i.La sf6rgil;ul lucr6"r'ii arr' da,t doud modere de srrbiet:te de examen qi o listd de20 de i'trebdri perrtru care studenlii sunt i'r,itati sd. caute .b"prrrrr, disp'nandde curroq{;inlele de A'ariz5, rnatematici doba'dite in liceu gi iacultate.
i ISBN: 978-606-5tS-272_4
I
,I. SGua$ilA, Octavian
l:51:004.43 MAPLE
Copeft a, o) rc"p" i,Andreea sTAICIl
Redactor: Daniela Magdalena DAVIDCoperta: Adriana BUTMALAI
Bun de trpar: 05.09.2011
ISBN : 978,6A6-515-27 2-4
C*prins
I" Recapitulare a cunogtintelor de liceu
2 $iruri qi serii de mrmere reale gi cornplexe
3 $iruri gi serii de func{ii. Serii de puteri
4 Formula lui Taylor. Serii Taylor. Serii Fourier
5 Spatii rnetrice gi normate
6 Curbe gi suprafete. Reprezent5ri grafice
7 F\rnctii de rnai multe variabile
8 Derivate par$iale de ordin superior
I Functii implicite. Extreme cu legdturi
10 Integrale irreproorii. fntegrale cu parametri
11 Elemente de arraliz5 funclionalX
12 Integrale curbilinii. Forure diferen[iale
13 fntegrale duble gi triple
14 fntegrale de suprafa
,E;rs
Lec[ia 1
Recapitulare a cunogtinlelorde liceu
1. Fie o * 0;1,a € lR. Calculati JTlo" Pentru ce valori ale lui a,
lim (a" * a-") este infinit5? Card nu exist5. linrita?n-lfrc'
I m, dac5o,>1Rezolvare: lima' : { 0, dac5. -1<n<1 . Agadar, pentrun-+oo
I nu exist6,, dac5 o < -1a) l, liqr a-n : 0; pentru 0 < a I l, lim a-n : oo. Dacd a < -1. subgirui
,,-+oo n-+octermenilor de rang par, azn + a-2n ? "o
* 0 : co. Cel al termenilor de rang
impa,r, n2n*t-po-(2n*1) -+ -oo*0 : -oo. Aqadar pentru a ( -1, qirui admite
subqiruri cu limite diferite qi limita nu exist[. -Aceeagi conc]uzie este pentruf *, pentru a € (0, 1) U (1, oo)
-1 < a ( 0.deci jggk" +a-n): t ,rexistd,. penrru a,( 0
2. a) Aflali lim 111' lim rz rio 1. b) S[ se ara.te c6. lim sin n nu existd.r1-+oo n 7,-+oo n. n-+oo
c) Sd se caiculezu,l$ *i2(n{F + n+t).Rezolvare: a) Pentru prima utilizdm criteriul cleqtelui, -* S
qi limita va fi 0. Al doilea qir este de forma *i, iu, iim E33 :rr, -+ 0.
b) Dacd on : sinrz qi lirn an : l, ar rezulta Lgn a'a2 : l, deci sin(n +2) -sinn. -i 0, deci 2sin1cos(n*1) -+ 0 qi astfel cosn -+ 0. Curnsin2 n+cos2 rL: 1,
rezultd 12 : I. Pe de alt5 parte, an+2 * an 121, adicH, 2sin(n * 1)cos L -+ 2l
qi sin(rr, + 1) + "*n.
nt rezulta t : #,rJeci l, - \cont,radictie.c; ,in21rir/FT -nn*ntr): sin2 n(r/F +-n + t-n) : sin"(tt )
-r 1.
sinn / 1rL-ft
1 pentru
10 LEC:|IA I LECTIA i 11
3. S6 se calculeze lirnita
q e IR\{O, -1}."'*(E { lfr'-) ;disculiedupi s : (1 - #, * (#- $t + + + -G,+rp) - 1 - *+ry ror prin
lndicalie: q * g' + ... * s' : "n:+ perrtru q * l. Linrita'a fr ega\d. culir' 11.-r : J 0, pentru n t rn ..r, q < -1iJ'&"s'"-t - \ r, pentru -l< q<I .PentruQ:l,iimitaeste].
4. Fie sn :.1 * * * **... +1, n > r.a) Sb se arate
"d s2,i -"i , i, V,l2 r; b) Afla.tri tim s,..Rezolvare: a) s2,,. 1",:,# + #,r+... + *, *r"]f: +b) trste e'i'ident cd qirur (sr)'Jsi" rjii", crescitoi. na"x esie qi rnd,rgi'it, atunciconfonn teoremei lui \\/eierstrass (srr) are lirnitx qi
"rr" finitd. Dacd nu esten5.rginit superior, atunci nlg1",,, - cxj. Aqa.dar li.n sr, : / existb in a.prbele
cazuri. J-recenr la limitd, in infta]itatea a) si .bti;;; > /+ ], adevd,rati croarclacd, I : oo.
5. Fie func{ia.f ' R 4 R,.f("): S:g.
e'*2 I
a) SE se traseze graficul; b) Sd se calculez " I t @) dr..t
rndica{ie: a) studiali rnonotonia lui / cu ajutlrul clerivatei. veli obline cd/ este srrict crescdtoare pe tR. Apoi -tim
/a,rt : l;i ,In,f("j _-il a."idreapta u : I este asimptotd orizontard spre c",, iu, g: f, este asimptotdorizorrtalS' spre -oo' Afla{i intervalele de convexitate ale func{iei. punctulc : ln 2 este punct de inflexiune.b) I'tegrala se transfor'rd intr'-una ralionald cu substitu \ia eE: t *)re
fr : ln' $ 1f @)d'n : Iffiot. Desfd.cand f'aclia in fr.acsii si'rpre.
oblineli u*lolr"u integralei,t*rro lo a}?).
6. Fie ,f r (0, oc) -+ R, / (o) : ##a) Sd se catcuteze S:;ftr-i qi r: 'f
,6,10*,k:i !b) Existx sau nu tangente la graficul rui / pararele c' dreapla u : Jn ?
Rezolvare: a) '5': E (ti - C*F) ei de'i'e astfel sumd "rerescopic;d,',
desfacere in tractu sinrp\e ca\cul6rn qi integrala I - {(; ch') o"=
Lr) Pa,nta tangentei la graficul lui / intr-un punct p(ro,/(ro)) este //(a6).Dreapta tangentd este paralelX cu dreapta U : Jn c6,nd //(c6) : 3. Utii*u<;cuatie capdtd, forma F#:iJ" : B-f 4. trcuatria nu are solu{ii'pe'(0, oo) penrrucE membrul stang este mai rrric decdt 1, iar cel drept mai mare ca !.7. cite soiulii au ecualiile tg n : t gi respectiv sin r : fi i1 inte6,alul(-r,n) ?
Irrdica{ie: Utilizali graficele functriilor f (*): tgr qi g(r): r. pe (_t,t)exist6 un singur punct de interseclie, z:0, dreapia,ll: r fiind tarrguoia l.graficul lui / in origine. Pe restul intelraluiui cerut cele doud, funclii ui *"rorr*opuse. A,;adar tg r : ir are solulie unicd r : 0 pe (-r, r).In ceea ce priveqte ecualia siuz : fr se poate folosi aceeagi metod5, a graficuluisau se studiazd variagia func{iei h(x): sinn - f . Ob{inein
{ I 1 \1" 1 1 r[-;* ..r)1,:;il-;*,
rl*n -q n* -i " 3 1 7r
r,(") I E \(-) /-1t-\-fqi deci sunt 3 solulii. rt e (-r,_i), rz:0, rB.e ($,").
8. a.) Fie A < q < L, p > 0. S6 se arate cd ecualia r: p* qsinre are osolulie rmic6 situatb in interr.,ahil [0, p f g] .
b) cate solulii reale are ecuatria 14 - 4r * rt:0 ? Disculie dupx rn e lR.IL b) Dacx nz > 3, nicio solu(ie; dacd rn: J, r == l solu(ie unicd,; dac5, nz < B,dou[ solu!ii.
9. a) ce inseamnd in lirnbaj e cd un gir cle nurnere reale (e,) nu esteconverg€nt, la 0 ? Da,r: cd lim r,. * x ?
b) Si se a,rate c5, clac5 "J$gr,,,
: N, atunci ,Xn=\ter : oo.
Indicalie: a) Existd a > 0 astfel i'c6.t pentru orice Ar, existd n ) N::try incat flc'l ) e. Respecl,iv fe > 0 asifel incat Vl/, fn > N a. i. x,-Ze.b) Fie s ) 0 fixat: existd .|y' .= .|y' (e) a.i. vn > N. xn ) €. Atunci, notdnrl g, :ql+x)+..'rgzl.
a\rem pt, n )" Ar, gr, - ci*...*crv*?rr,+r*...*r, : {r*...*c^*+e(n-*$D1i fi" > ;';--.;;-;,-;#'fi"0".,rrffi;;;m, J;arbitlar, olttirrcm Un ) x:.
12 LECTIA 1
10. a)Fie,4 (2n+rl ): {-"+Z l"-
tintre8j . Sd, se determine infA, sup,4,
nrin A, max,4. Acelagi lucru pentru A :{ (-ty'1!J1l , > , irrtreg} .
b) Fie .4 mulqimea ternreniror unui qi, ",,tr *r. s#r.larate "e,i^i) e a.Indica$ie: a) $irul ,r, - b,*+ este strict crescxtor, aqadar cel mai mare
rninorant, inf,A: d,1 : l gi acesta est,e gi minimur lui A. $irul are iimitd.,*!go" : 2, fiind qi crescdtor, rezultd, r:x cer mai rnic majorant, sup.4 : 2.Dar valoa,rea 2 nu o atinge, astfel cd. maxA nu exist5.$irul b,, : (-1;nsiln este alternant. iar Jip.b" :0. Observ5m cd sinl )sinf, > * t * > T" pentru n ) 3, a""i?Io, : -sint. Cu un argumentsimilar, oblinem sup br, : ry.b; rie € : r'deci &std A,'a.i. vn, z ,M, rn ) :vs.Atu'ci inf .4 : min(rs, n!.,...,t,nr-r) deci inf :4. este urrul din termenii qirului.
11' a) s5, se afle punctele de extrem local pentru / : (0, *) * R,f (r): s - elns: ib) Aflati qrn ./(r) qi nrax f (r); j
oe(u,coJ r€[l.eJ | ,
c) Care numdr este mai mare, a: rle.sau b : er ?
Indicagie: a) Tabelul de varialie al funcliei este
deci o : e este punct de minim local,o)"gH,L, f @): o; g,g,/(r) : /(1) - 1;
c) Ne ocup5,m mai int6i cle inecua{ia ec } re pentru r ) 0 care este echivalentdprin logaritmare cu r ) e ln a. Folosim apoi varialia funcfiei / (r) : n _e ln rde la punctul a) qi oblinern ed /(") ) 0, vr € (0, co). agadar inegalitatear ) elnr este adevdra.ti pentru orice numbr pozitir,. inclusiv fr:7i.
12. 56 se arate cd.: v'e > 0, ln * > * - |
Indicafie: se studia.zd varialia functrlein/(r) : ln x - lqi se oblin e x : rpunct de minim absolut, iar min f (*) = 0, deci f (n) 20,-Vr€ (0,oo).13. Fie J: [0,101 * R, f (*) = nsirr. S[se arare.X\ib)*f(u)\ S
\\\r - d,,\r,,U € \0,r$\. Genua\\r,are.
Indicatie: Se apLcb iormrilalui Lagrange pe intervalul de capete * gi g. Se
ghseqte un c intre r gi 37 a. i. f(r) - /(gf) : f'(c)(s - y) cdreia. aplic6,ndu-i
modulul, se \ra scrie l/(r) - /(s)l : lcccsc J- sin cl. lx - gl < (l"l + 1) l" - yl .
+++
LECTIA 1
Dar lcf < 10 gi rezultX inegalitatea cerut5.In general. dac6 / : fa,bl -+ lR este rieri'abilx 9i existd A,I > 0 a.i. lft(r)l < M,Vr eln.bl, atunci lf @) - /(y)l < ttdlr -Ul,yr,s e[a,b].
14. Fie "f,9 t lR -+ lR. doub funcgii de clasd Cr astfel inc6,t // : _/ * g qis':-f -g; /(0):g(0) :1. NotXnF(e) : f(")2+g(r)2.a) Sd se deterrnine o relalie intre F qi F/ gi sX se deducd F.b) Sd se catculeze j1g(/(z) - g(r)).
Indicafie: a) Ft : -2F ? # : -2 care prin integrare \,a rla ln lFl :-2"^+ C, de unde
f F(r)l: s-z'+C sau, cupr C este arbitr-ar, se rescrie F(x) :
ce-2*,c € lR. Dar f"(0) :2, rentlt6. c:2.b) A*,F'(u)
:0, dar F(r) : f (*), + s(r)z,, deci Jim /(r) :,l$A(") : O.
15. Sd se calculeze 7(")10; pentru .f(r) : ;*rndicatie: se desface .f in fraclii simple, f (n) =;(* - #l observXm cXderivata de orice ordin a unei frac(ii simple de forma E(r) : # r* poate de-duce. Astfel, E'(r): -C#;8,,(r'): #d"; 8,,,\r): -Cfo,...,6r(')1c) :(-1)"t"*}iot qi se demonstreazS, prin induclie nratematici. Se obtrine derivata
deordin n,, f(n)(n)- (-l)nn! (-]- t
-).t - 2 \G-- lFrl - f;1:1"n 116. Fie l"(u) : e'2 ;r € jR. Sd se arate cd pentru orice n ) 1 existd un
polinom Pn degrad n astfel irrc6t,F (')(") : pr{n)F(n), pent.uirice u e IR qisE se determine o relalie de recurenlb intre pn_t, p,,, pnl-1.Indicaliez F'(r) :2re". Se cunoaqte formula lui Leibniz pentru derivata de
ordin rr a unui produs de funclii, (f (r)g(r)),", - I gn /n-k) 1r;9(e)(r). tbm,t:0
folosi induclia matematicX dup6 n pentru a demonstra formula deriratei F(tr).Astfel avem de ardtat cx, dac5, forrnulele iui F', Ft', ...,-p(n) sunt arlev5ra,te,atunci qi cea pentru p(n+l) este adevXrati. Peltru aceasta se aplicd formulalui Leibniz lui F/. Veli obline pn+t (") : 2npn_{r) t2rpn(r).
13
LtrcTIA 2
Lecgia z
$iruri Si seriiqi complexe
n, )_ 4. Dar ultimul qir tinde la 0, deci an 1 0; h) Se poate folosi criteriulc\eqte\ui sau cu regu\a"\u\ L'\ldpital pentru tur,qii. )t*e : )*d*, = U.,
f +1211" *a;j) In 4,.,,: n,ln(1 - t)-qi folosirn t"gui. lui L'I{Opital pentru limita de tip $,
cle humere reale Din aceste e.';e'rple relineli urmdtoarele limite rnai generale:
lirn fl6: 1, a ) 0J
'\1vn : t
t11r1#:0,4>1
lim 4 :0n -) x, t'l
lim^(l q rn)* : "
clacd, r,, -> 0
3. Se se calculeze linritele urrn5toarelor giruri:a) nn: f hlz'* 3"); b) ,,, : sn, discutali itupd a e C cA'd qirul esteconrrergenti c) zn: Tt(trns a g C.I'dicatie: a) Folosirn reg,la l,i L'H6pital; se obline limita ln3; b) zrr:rr, * 'i'gn, cu e'??. gr. qiruri reale, este cortvergeut e rn jgr' sunt conver.genteAi jgr" = ,,1$",, + dSXU". Fa,cern apel la forma trigonometric[ alnuinumSr complex, o: lol(cosd *'isin g) + an : loln (cosru0 * zsin n0). Dac6lol < 1, atunci o,n -+ 0. Dacd lol 21, atunci o,,l nu este convergelt; c) pentr*cd' na" -+ 0 <+ iol < 1, iar rran este divergent 1* lol > t, rezultx cx qirul denumere corlplexe este coilrergent doar peutru lo.l < 1 gi limita este 0.
4. sd se afle funcliile /(r) : lirn.ffi ei s7(r) : fip L-tgk#-*"afndicafie: Discutd,m duph, r valoarea limitei. Obser )"
",1o" o pen-
1f2, x <0If3,, r:O!D, r>al"leste definitd,
tru ez < 1, iar ("")'.;r^- oo pentru e, > 7.. Se obline f (r):
1' care dintre girurile ,rmdtoire sunt. 'ronoto'e? care sunt r'f,.rginite?Care au linrii;X? Care dintre acestea, sunt con.st)rgente?
o\ ^ - (-1)"
:' :" :
r;T1,tr € N; l,) an : vi7 - n; c) 0n : tn n* 1-.
r'dica[ie: a) Nu este monoton, dar limita este 0 (rotosina ..itLiur cleqtelui),deci este conver.gent. Orice qir convelgcnt este mlrginit; b) a",+r _ an ) 0,Vn, deci este strict c.esc'torl n2 _ ,, -.+ cc, rez,ltd a,, are li'rita, oo qi estenenr''rginit, deci di'ergent; c) an+t* orr ( 0, vrz, creci este strict descrescdtorlJ11"" :0, deci mdrginit qi convergent.
2. care di'tre gi.rrile urmdtoare converge qi care diverge? Aflali limitafiecdmi qir convergent.a) 4,, : q!#; b) an - f3:,2;i c) an - ?+"(?t-; d) a,,: l+_v?rT.e) a, : n*lffiJ; t) an : Jy; E) a, : St, tr) an : #;i) *:t:' WTF.i) an : (r - I),,;k) on: (,s;)'.
r'dicafie: a) cu criteriur cir:Eterui, obtrinem rimita 0, deci convergent; b) se ddfactor Con:un forlat 8", la nunldrbtor qi numitor, Gt; * U U, Iim a," : *, "orr-
'et'gent; c) an: *+(.-2)" esre suma dintre u'qir
"*.e tirrd" F,fr; i_rr1l "*"I^r are lirnitd (avancl doux s;ubgiruri de rimite air".it";, deci (o,r) nu are lirnit5qi va fi di'ergerrt; d) Limita ertu .Je tip * gi se'a Ju n ru.tor cornun forlat.en -) 2 ; e) Lirnita fiind de tip oo - oo. a*rprificb.m cu conjugata expresiei girezultd an: ;Tfu,: *+=F * *; rill"t#';: t+bndeci 1,, > 0 qi
,: (1 +bn)n - 1+ ctlb*+clui+...+ bn,R,ezultd, n> c\b?sau b- a ^[!deci b,, -+ 0, iar (i -+ i; s) lr"[ : #*io S .t#' ll;ir;JfiSe rescrie s(z) : fi* i;ffifiq. Apoi :x2n
.
,2n nln m pentru l"i t 1. In afara iui r J
("'
{
:;pent
Lcle r
vam
f(t
0
Lun-+-+oc)
-114
16LECTIA 2 LECTIA 2 17
{ t, l"l >rs@):l l/r,r:I
l. #r, l"l < 1
b. ,sd se calculeze lim \- t tt-+ ak + an-+@L k.:+6ft+J'
Rezolvare: ri* f 1,, (r:!)(t1jl) _ r:*- nj?t k,', it *,lt; sJ :",rg
: lim 6I@j):h5.n-+oo n+D
,,611yg1g,)rt5 doar c6.nd np -+ 0, adicX pt. p < 0.
c) cu criteriul rSddcinii. r : "J.$ \fffi: JIL# -+ 0. cum L < L =+seria
e convergentd .
8. s5, se a,rate cd urmH,toarele serii sunt convergente gi sx se afle sumafiecdreia:
*) t *-+; b)f .,_d2n+Dit ")f "qj+j2n)0
Rezol'are: a) E^ + : 5 E^ fr r,are este o serie geornetricd de ralie f .
n.)0 n)0Aqadar prirna serie este C. Analog pentru L, # DacS doud serii sunt conver-
gente, atunci qi suma/diferenla este convergentd gi
)c
:"#: {; b) Termemrl generaleste a,,:.*(p;,$" - p,,.*r) qi surnaeste
"telescopic5" . girul sumelor parliale este s,, : t (t - #rp ) * *; c) utilizdnr
.uriu i ,\.:,qirescrierr' .E"-T#s:E 6*ry*uE c_\n*r,pr,+It=O n=0 n:r
: S l-1r! -r- r, oc
/-1 \n-t)t , -- f ,u: Fo65, *e * 5e:7e.
9. Care este natura seriei L*^',
hrrffi#ffi-&*:li:-!::
,.+ii
#:'l{:i
,F:
li
tll:i'.ii
il,i*.t:L
.}
tii
nt:'i,ar.
:,:'.;ij
$g
,.1-T,l-liil
,*)*f
&.i--.:j
:-.;'|;a1
e;!;11:
(#{,iL1r
,.:
:i{i!
ii!-,
€t:1,.
x{::i*4t
iitt.::s.F.R
s1*fi:Sll
.'$rtt :
6' sd se afle forrnula termenului general ai seriei, apoi al qirul'i surnelor.parliale' caiculali s'rla seriei dacd ace.rstu "onu*rg"-'a)1-1n1-1"...; Ge'era,lizarr--'' 1 I
Rezolvare: a)-rermenul generar al seri& it* ,i,I (_"+i, iar qirur surnerorparliare
"" :Fa& : >: ( ;)": ,-*fl# * f o*,,*,"*,* -"
vergetrtS, iu, I o, :3. N{ai general, seria geornetricdn:O,''- _---
E$:te co'vergentd ++ lol . r
Ib)ra,,:I - 1-">o ; 1r + r;[, + 4
i'(,, ==
E attnt- : i # - #K:U
gi devine sumd "teiescopic6,,. Obtrinerll .s,,. : 1 _ *I_+ 1, deci io,: r.7. Sd se studieze natura seriilor: n=0
u) >--(1 - 1)"' b) t J:-, Gene'atizar" )- {; c) \- , n7r' rL' t " /
f,.tr2" + B;' ? a,. fil (tttn)* ,
Rezol.r."e: a) Terrn*r,,,i ,*.r"ral este a, - (l- t lJ.i. aplicd criteriul necesarde convergen{5,: l
Fiind dbtd seria E.or,, (Ln € C, clacd, e con\rergentd, atunci lim an: a.n)o ?l_+ocObselvbm c5. lirn an : I * A -+ seria e divergent5.
b) Forosim *lJL, raporrurui, Jy*l*rt : j*#ffi = t < 1 =+
h"r)1sena, e tor\ergeNi, (C). Yen\ru caril Ee\era\, , = I'S*H - il,. Dac[,
, < 1 ++ lol > 1, seria este C. Dac5,, > 1 ++ lol < l, seria este divergentd(D). Dac[ a : 1 =+ I r{' c:are este C pentru p < -I , altfel este D. Da,cd.
a: -1 + I(-1)"2P, serie alternantd qi conform criteriuiui lui Leibniz este
cc oc\a o
-*I -r\- l
/r^ 2n 3n - t, /- tn -n=U n:0
a)rn:,:f .'zTt- l
rndicalie: a) rn - + * 0, deci seria est,e D; b) Apricx,m criteriul comparalieila limitd._ rn ) 0 $i Jgi? : 1 + 0, deci
F, "" qi seria armonic[ p, * ""
aceeagi natur5,, adicd, sunt D: c) rn > 0, v; > 1 qi pur,em folosi criteriutcomparatiei. Astfel. pentru n ) J. #;a > f . luttima inegalitate se poateobline studiind .rariatria fturctriei /ir) : tr - (1 f lnr) pe [3,oc). Vetri g5^si
f (*) > /(3) > 0.) Cum E * u*t" D, la fet esre qi E nh;; d) JILr" : 0
,si folosirn apoi un ".it"rfi,>luficient
de converg"r,trXl>3u criteriul raportulli.
;fAl?Fl: "159("-6)2"ftr:0 ( 1.+ seria este c.
10. SX se ar.ate cd:1) # <\n (r + l) . !,,,vrr, e N*i\ qlru\'Jrr : f + \ + \ + ... + h - \nn este convergent, str'rct d.escresc6tor
Q\ ^{r, € (0,,1).,\ru )- 2. \L\rni\a q\ru\u\, 1 se rrurneq\e cons\anta\ui Eu\et si
i - 0,57 ).iii) Folosirrd acest qir, s[ se calculeze
oo\-1rn:1
(:1)'+rn
t8LECTTA 2 LECTTA 2
Rezolvare: i) o modaritate de a ard,ta rlubla irregalitate este sE folosiruEX"':il-:Yt\":*.. n".,., f., b,-T r \ ; R '--ii"l : lnr $i rezrr\tx ..:?.', -T' "ri ii t, i:.,;t' -'''i.' (",-o'l ll ilir t
S' i :"il ll TiY".-: Re,to11are: a) So\os\rn cr\\er\ri,Le\bn\z pen\,ru seri\ u\ernan\e,, tr\nd, ile tOrUrA
n1ll,,:lrl;"i.lli* - J\n+r) - r(") $ * = \"(1+i). il* ;;;;,;;-+0i"."."*"x*,,r."resrec.seriamodu\e\or,_Er#^
##i:.i:1m;llJ;.J,1',J#;*m,;H,**-i*j::,:,:..* *r* j,'""0*,-*.* g: ] Toqi*oro.*criteriuruicomparaliei,arimir',ddm valori lui n-f-:* @ uroL'I urarglrlrrea' qirului, folosim'inegutitegitu tj'r;; 'ffi ":" ",u"':':"i;fi'i"-
* < lng - l - t; aa1;T:,gftinup + < r"i fi""'
r'u'a,f,agtte J)' * ,. =-r- sr ) : a,u ace,r.jl:i:;;;;*J,filHjin+:Tiii .*,.;;;;;:$ F:":*l"i-=;,^", ilT"-1"'11"i111-ll':r?i,':'r",::-':i".iti;,*1mf'";,",*tJ#*1ffi*$;;;;J:-*i#f 1?; H *:::'fm,,*:l;:*l"H:"::":::::"::i:l,Sj'; :i,";:l
tt|!,,1t+"ti.t"f1*lt$:!1,:irT:":J;ff#,; $;"li*J:" $ :A:*f#:'^:*ara!iei cum rHPr < * ei E fi es'le c' rezur'i'
,r' = 1-z!+ *-*+...i^i_ _*f:'1"',*? conversent ia areeaqi timird. fi ** ---
ljjll.l;,."f)l.3tz"t=,i)'-ti ] liil-1i_if,_,':j':l;"-, $ o Norim da : *fr Atunci ;*l+:l = "rrjLg#rl#t{*tft a*,""*y1,,':i,* :*l;fl*rk:i:n; $ l, ij * ={;.
:ti li+ l*1, ;pri#,'* ;l ::H
1=f ffl;:il:Ti:lTi:{'..fl':TiT:::,,, g ;i*;';,;".r**,"i";';l;i=; "-;:a + -1r
")f a;:fraort-.*;A, o > o. ff tt. sese sr'udieze convergenla sexiilor: "l I#-, b1 \- 1+nln"'.
p--^t-- $ - ^zJ,2n
- r' -' z' n2 + 5 'Rezolr'are: a) TermenuJ general se rescrie.c, = =r#_=: jf ", Fr #_, ar ! ffi, "l lrrr,, jl'tblosim crireriui comparatiei la tin;tg qi coroiarafrffiR.,u * $ o,"t, , ;J;,*""rl (criteriur comparaljei ra lim*d); b),c),d) divelsenr€.
$;.?i;"Jlill]."u",.",o*",eseIiisuntcouvergenteqisdseaflesumeleAsada.r"rimt+on*t,,r@ $ ;"A* R,f-
este D pentru o S j; b) Este evidmenur general esre,- - f =, r"l#;oentru
0 <as r' """iu
ai'*"gu T""- $ b);!,"(3r r;ceneralizare R:9
r,tr"fi**:'"bF*mn*r;:i,.T:;Hu,'TilT $ :1":',H-,",-.- ::, -*c, urtteriul ra,podului este necoucl
11';-". .v*r*::i:T[1{,=:Tlr:']'l,i},.'il" ff"'; $ .
T,::-,:ij,:J"u".,*",".,,,..1, 3,r_L
4<l,seriaesteD,t*o*i".']ir"'=*,*fT*estec;dacd $
tt'sdsestabileascdnaturaseriilor: .lImim' orF#,
" #ffio;{,;y.; -i-#F#;: " $ t fi+--",;J.gi;';! "r' *5
*u
$ t6. Aceea€i ceriDtd peDtru:
cg^-_
S'HA-1':i"4iK;iGf'1""*o***,.rr-- - ^* # l,:,:lT--'*':'**1,"':1":.*aralieilarimitdh T:i*0,
LBCTIA 2 LECTIA 2
n>2R: Toate sunt convergenl,e: a) cu criteriul rcomparaliei; b; b) cel aJ raportului;c) criteriul Raabe-Duhanrel.
17, care din seriile alternante urmitoare este absoiut convergentX,este semiconvergentd, gi care clivergentd?
2n*1
*r*' ")i-li',n>L n)l
d D(-1)n+r.IL-L!; b) I(-t)"*r#:
absolutd in calculul aproximativ al sumei sale este cel mult egal5 cu modululprimului termen omis. Caiculali sumaseriei 1- $,+ # - $+... cuoeroarede 10-3.
Indicalie: lt * t"l S lo",+rl < t0-u.zg. s[secalculeze fotosind a,Iaple: .) JiL(1 {"+ + *+...+* -hrn)
cu 20 de zecimaie exact,el al tyr#;#' ") ,t, $; a)
"E * cu 10 zeci-
male exacte; e) derirrata funcliei /(r) : n' in n : 2i f) prirnitiva funcliei.)
"-'7r3 - 7r *5); g) [ *2 m *ar."J
Rezolvare: a)
1'
0.57 7 21566490 1 5328606 1
b)
c)
sum(1/n^2,D=t..fi));1968329
1270080
sun(k^2/(k! ),k=1. .infinity) ;
2e
evalf i10l (%) ;
5.,436563656
f : =x-)x^x;f::r-+rt
f-deriv : =diff (f (x) , x) ;
f -deri,u :: r' (\n(r) + 1)
3n, n(n + l\'(n + r.)
i Rr pentru a { c, seria este C
R: pentru a < e; seria este C
R: pent::u p ) I, seria este AC:
n)l n)1,
") t*,(r':-1);n)1
R: Dclar a) este AC, celelalte sunt semiconvergente.18. sd se a.fle sumele prinieior do'd serii de ia exerciliul anterior.
R,: a,) $; b) 1.
19. I)iscutati converge'la <lup6, valorile pararnetrului:a) t (#)"t a,b, c, d :' o
rrl i*=r; a)on)l
.) t1ffi' a)o,p€Rpentru 0 < p ( 1, seria este SC.
20' a) Dacd seria r r,, este convergentx, rn ) 0,vn € N, ce se poaten).1
afirma despre L "7 ?
n)lb) DacS D on esre conrrergentd gi E b, este divergentd, ce pute[i spunen).I
"rZfdespre t (,o" a br) ?
n)1
c) Dali exemple de doud. serii geometrice cu surnele i or: ,4 Si i b, : B,n:0 n=0
care sd arate .6 E- anbn poat,e converge, dar snma, sa este diferitd de AB.n)121. Fie D on o serie couvergentX de numere reale.
n)0 Peni,ru calculul aproxi-
mativ al sumei sale s, se ia s - sn : i or, Iiind necesard o evaruare a :
erorii absolute \, - **\. Ilac[r, seria are nlllr*r*ea ca \H\ S k ,vn ood.u '
h t \$,,\),, st se arb\e r[ \s - s,,,\ S\,q"\ .t..22. Fie I (-1)" a' o serie alternantH, ce indeplineqte condiliile criteriului
n)0lui Leibniz'(or, > 0, or -+ 0 ), deci convergentd. Se poate ardta cX eroarea
d)
e)
A\nQ) + 4
6.772588722
21
22LECTIA 2
e ln(3) -
6.998621724. Folosind l\rlaple, descompu'eli i' fraclii simple f ("): r-*s. Apoi
carcurali i #"r,Y ,Wjrr"*11
Indicatie:
J5" 1
e - i In(2)
0.373550728125. Folosind lt4aple, reprezentali grafic punctele (r,on) pentru primii
50 de termeni ai giruiui a,,: ffigi afla{i a56, apoi -liiq i/t. Aceleaqi cerinlepentrrr bn: i/03
Rezolvare:
)' plots ldisplay] (gr1, gr2) ;
t
f)
e)
26
ILec{ia 3
'i*-.iI:':IE:i-+i''rF;.,:!ii'
';riFi,.
$iruri Ei serii de functii. Seriide puteri
1. Sd se afle limita girurilor de funclii urmltoare qi sd se studieze tipulconvergentei, punctuald (PC) sau uniformS, (UC):a) f"(r): sE-13c, n € Nn, r € [o,b]; b) f*(n) : sn,,r e [0, L/2],, n€ N, apoipentru r e [0,1]; c) f"(n):nn(! - n2)n, n € N, fn:[0,1] ---+ lR.;
d) /" (c) : ffi, n € N, c e [0,1].
Rezolvare: a) Folosind criteriul cleqtelui, ,IlL/" (r) : 0 : ,f (r) ; Evalu5m
qirui e,, : sup.l/, @)- /(")l : rgp l"#l S ,1 - 0 pentru n -+ oo,ce[o,b] n€[a,bl' '"
UC.a$adar In -+ Ib) Pe intervalul [0, 1/2], ]ry1*f"(*) : 0 : f (r), iar qirul maximeior difererrlelor
f"- f este €,. : lup..2" : (i)" -+ 0. Agadar i*ys "f pe 10, IIZ).pe cel
lrefo,L/2]
l{"Jtl - / (r)l nu poate fi ficutb oricdt de mic5, + },,"j / ti nu UC.c).Pentru Vr e (0, 1], t -- lc2 e [0,1) =+ ,n (r * ,r)" 3 0, i* /, (0) :0, agadar/(a') - J:11 f"(") : o,vr e [0, r].calcul5m e,, : slp-. l"f, (r) - f @)1. Afldm puncte de maxim pentru lf^ - fl :r€[o,1]
l"; fl@): n(1 -&2)n-tlt * (zn+L)n2l: 0 =+ , : ffi ca,re esre
punct de maxirn globai. Asrfel, €n : k (#) : #r(t - #)"23
24 LECTIA 3
Dar jlg (t - rt=)n : u-i:+ rn -| co.
Cum e,, -+, 0, rezultb cd qirul de func{ii are doar convergenlX punctuald;a) _!t:^/' (r) : 0 pentru r € [0,1), iar f^(I) = ], cleci limita este /(c) :
'? -+oc
{ 9',^ r e [0' 1) observxm cd fnsunt func{ii;continue pe [0,1], dar / nu
ItlZrx=Ivuuurr<L'L'vaJnrrrEPvlurrjtu'ltJmai este, deci nu are loc transferul de continui[;rte de la girul /r, la limita /.R,ezultd, cd pe [0, 1] convergen{a girului este do$}[ounctual6.
2. Fieqirul f"(r):n,r(l-*2)n, n€N, .r",,:[0,1] ---+R. SXsearate.5,,1$6 f"@.)d,a I /,
"lgg f"(n). care esre.explicalia?
Rezolvare: Ii t^@)a" : tfiz"(1 - *')" d,r. Cu schimbarea de variabil6
r-12:t* Ii f*@)ar==t]*or: zi#D -+ |. Asad*,|55.fr f,@)d,n40
.frj* fn@)d,r. Explicalia std in tipul de convergen!5 al qirului de funclii
f , PS / gi nu UC (vezi exerciliul anteiior), ca,re face posibil ca integrala s6, nucomute cu iimita.
3. Fie f"(*) : hsin2nr, z € lR., n ) 7. Ardta{i cE qirul (/,r) este uniformconvergent pe R, dar (f i) nu este nici mdcar punctual convergent.
Indicafie' l/,(r)l S ;[ cate tinde la 0, deci f*'5 0. Exerci{iui atragea,tentia cd uniform convergenta uuui qir de funclii nu implicd qi convergenlagirului derivatelor.
4. Sd se afle limita qiruriloi de iunclii urrn6toare qi sd se stutlieze tipulcon'ergenlei, punctualH (I']C) sau uniformd (UC):a) /,(r): #,,t € N, r € [0,r] cur ) 0fixat; b) f"(") - rn+.-xn,n € [0,1].
R: a) y", VS ot b) La fel.
5. Sd se afle mullimea cie convergen{5 a seriej de func{ii F, "#r"
Rezolvape: Utiliz6,nd criteriui rad[cinii qi not6,nd cu an to*erml general
alseriei, \/W:ffi:#.,,\,I;l -+ l"l . cum lrl < 1 =+
lim tflo]: Iim --EL- :;5;vr*nr- '*;"rr1[t+fi
tt. 9o* \t\> 1 * seria este AC qi in acest cazi
Cazul III) r : I =+ | l u.to D, iar Pt' tr :mullimea'de convergen![ este R\ {+U '
Cazul I) l"l < L + n2n -+ 0 pentru r? -+ oo +seria este ACCazul II) [r[ > 1 + nzn -+ oo pentru n -] oo +
-1 s'\-rf-rlr2ft
este D. Agadar
LECTIA 3
^-2n6. Aceeaqi cerin!6 pentru: u) I(-1)n+t!-,
.) I,*(fi)", ,1)
8r,,",
- o1,'h
o) r*(H)"'R: a) Cu criteriul raportului se obline (-1,1) ; pentru r : *1 se obline seriaarmonicd alternantd deci C; b) l-U2.co); d) (*,r); e) (0,rrc).
7. Sd se studieze dac5, seriile de frrlclii urrn:itoare sunt uniform conver-
gente: t) f - -* pe IR; b) f { "or1r," * 1) pe IR.-- r- t rL- a- t .- TLU
Rezolvare' a; Folosirn criteriuf t,ri W"iurrtrul", de convergen!5 uniforrnd. Ast-r"r, la+#nl t #,Vu € lR, Vn e N, iar seria de nr. E;i este C. R,ezultx,
n)1c[seriadefunclii este UC pe]R; b) l#cos(run+t)l S #,V" €tR, Vn € N*.Acelagi criteliu ne dd UC pentru qirul de funclii.
8. Sd se afle suma seriilor de func{ii gi sd se studieze tipul convergenlei:u) I("" - ,"+t) pe [0, tlz]; b) | e"t"-rl gre (0, 1) , respectiv pe (-oo,0l.
n)o
Indicafie: a) suma seriei esre lggs n(*) :jrlg lt"k-*rc+r; : 1; Apoi ter-k:0
menul general, "r'(1 - ") < (+)", iar seria; (;)'urtu C. Rezulr5, serie de
oo
funclii UC; b) I1"'-t;' : *"-r, serie convergentd pt;. cd. 0 < e"-1 < 1
n=0in ambele cazuri. Dar en('-r) < e-n pe (-oo,0] gi conf<irm criteriului lui\\ieierstrn"ss, seria de functii este UC, in schinrb pe (0,1) qiml sumelor pzrrliaienu este IIC.
9. Ardta{i c5, seria t q#t este convergentd, vr e lR. . Daca / este suman)l
sa, ar6tali cX / este continud pe [0,o] qi.i f @)dx:2 i ,---L:.o n7, Qn-t)r'
Indicalie: Se eratd cd seria este UC pe lR qi in conseci"t5 f i "t*i,*a" :0 n:lioazrI i j''iya": f '-F'*.
i n=t 0 n=l$ r0. Aflali iutenalul de convergen[d pentru seriile de puteri rea]e:ii ",-",L1-t,"-'t' b)LI#i c)ET--
? Rezoh,are: a) Seria de puteri
"rr*,Fr"':i;'ctl cr, : t+:1, ia, li*l :
:E
*i4Ej:i:Eg
r--+-.--..
26 LECTIA 3
=*, -+ I : I + Raza cle convergen!5, este R: lll:1rt"g"'(-t,1) esten+rdorneniul de convergent[ al seriei de puteri. In r : 1 se obSine seria alter-nant6"
Er+ corrvergerrtE,. ln r : -1 se ob\ine seria armonlcb divergentE"
p (-.;) .-Deci intervahrl de convergen\[ este (-1, 1.]. Diu teorema, tui Abel =+Pe V [a, b] q (-tl 1) seria este uniform convergentd,.b) "', *' lif I
: O"i" : *i -+ 0 =+ fi: rc. Seria de pureri este co'ver-gent5 pentru -rl < fi - a" < ,R <+ r € JR =+ Dome'iul de convergenld este JR.c) Este o serie de puteri centratd, in c : 3 cu coeficien{ii ; :'ft. pen-tru aflarea razei de.convergenlX folosim criteriril raportului gi ft ="{, rr.d*,:,j{L#,+g' - *, i*. dorreniul de cornergenl5 este l"-il < R,'B:6.adicd. (-3' 9) . In capetele irrte^,a,lului, seria este diverge'tx.
S' ti se determine dorneniile de converger]!5 gi suma seriilor de puter:i:\--na) P, ffiri); b) 8,,*".
Rezolvare: a) Pornim de la seria gu3*etricx i_ ""-t : t'=, con'ergentd
cdnd lrf < 1 gi o integrim termen cu terrnen d" ,r;;l ori. Astfer, J f rn-ld,.t: :lIr"-rdr: -ln(t -r) +C * f t - -h(1 - r) +C;pentru o:0obtrinem C:a+f I*a*:-ltn(1 - r)d,n* i.#ft :_lrln(1 _r)
+ J f;drl: * + (1 - r)ln(1 - n) . ImpXrlinct la r, se ob{ine
1+1#h(1 -a);b) Se pornegte tot de la. seria geometricd,,'Eo
"" : *, pt. lcl
oc\- r:n
-z- n(n*l\ -n.:l
<lqioputem
deriva termen cu terrnen pe dome'iur de con.rergeul6. obline* i nzjn-t :/7\/r-oon:l(71r)':
GjET, pt. lul < l gi inrnul{ind cu rr, rezuit5 t rlx)n:.r'-:-=-."=t
\r-r'l-
12. s& se determine o func{ie a@) : f-"n*n pe o 'ecindtate
a originiiastfel incAt A' * rA: 0 qi g(0) : 1.
n:a
Indicatie: Seria lui gr poate fi dc:rivatd terrnen cu termen qi inlocuind in ecualiese obEine Y,,rucnnn-t +- I^ (hrn-+t : 0, sau printr-o transla{ie a indicelui,n:L tt,:0
oo
"r + l[(" *2)cr+z*cn)r"+r:0<+ cr:0 qi (rz* 2)cn+z*c,-:g,Vn, ) 0.n.:0 ' /
La aceast5 relalie de recurenlE. a coeficie'lilor se aclaugd co.dilia g(0) : 1 ++c0 : 0 gi ccieficienEii sunt astfel unic deterrnina{i.
27
iiril',t
fi
'''l:'t,,1:l,ll
i'ilriii;:lril1i!,rlirt
::li,r!
'*\
'1rl
Ir!
tll
'l::l
iv
'ai
,lr
!1;r\.r,:$:fi:
LECTiA 3
1g. SX se afle dezvoltarea in serie de puteri centratd' in 0 qi raza de
convergen![ Pentru / (') = #'lndicalie: Fo\osimseriageo:metricS"alternantd 1- r*n2 - "': #*,["[ '
t
in care putem tace o substitu\ie. Astte\, scriem J (r) = \+ = h i^(-t)"- n=U
." lfl < 1 4+ l"l < 2. Aqadar ra,za de convergen{d este R : 2.
14. Sd se determine domeniul de convergentil pentru urm6toarele serii de
outeri:
"l p {# R: (-1,1) ") ,}] # R: IR
n)l
d E #*" R,, (-1, *) d) I (,:os fi)+# ** R: (-i,1)n)L rl)1
15. SX se c;alculeze sumele seriilor de puteri qi domeniile de convergen[d:
")ie+#1 n'nffi b) i.e# R:-rnl1 +rln=0 n:1
')o
"1 f _rr2n" n'ffi";;. Folosind serii de puteri, sE se calculeze sumele urmdtoarelor serii de
numere:
") i o+S€ b) f #;if"n:0 n:U
Indicalie: a) Calcul5,rn urai int6,i suma seriei <ie puteri i t" + 1)(n )- 2)nn,
derivA.nd terrnen cu terrneu seria geometricd, f rn+zo";* ori qi apoi afl6m
valoarea seriei pentru r : IlS.Suma r,a O ?,1) Se caut5 sulna seriei de put-oo_oo
eri ! ffi pornind de la Fo""
qi integr6.rrd termen cu termen. A.poi, pentru
*: -* se gilseqte suma seriei numerice, Ztn(t).L7, Sd se dezvolte in serii de puteri centrate in 0, functiile urrnd,toare,
precizAnd domeniul de convergentd:a) f(n): # b) /(") : h c) /(") : arctg.?.
18. Irolosind \{aple sX se reprezinte in acelaqi sistem de coordoner,tecAliva termeni ai qimlui de func{ii f"(r) : nr(I - r,2)", fn : [0, 1] --r Rpentru n:2;10;50; 100. Curn sunt maxinele acestora in raport cu rz?
Am demonstrat iirtr-un exerciliu anterior cd, 1im /n (") - 0,Yr e [0,1] qi
f,r'S 0. Pornind de la gra,fic, ardtali cd maximele diferenlelor l/r,(u) - 0lsrrnt din ce in ce mai mari cu c6,t n cre$te.R.eprezenta.li acum in acela,qi sistem de coordonate c6,1iva terrneni ai qiruhiide funclii f"(r): t'X*, ln :10,1]
-i IR. . Aceeagi intrebare in legXtur5
cu maximele.
LECTIA 3--
J -
Am demonstrat cE jgg/" (") : 0, Vr € [0,1] s; "f, U o. Ardtatri cimaximele diferen[elor If"@) - 0f sunt din ce in ce rnai mici cu c6t ncreqte.
fndica{ie:
sin ( !00*_x) / 1001 :
LecIia 4
Formula lui Taylor. SeriiTaylor. Serii Fourier
L. SX, se deter:mine polinomul "Iaylor de ordin 2 pentru f(*): *sinc inpunctul a : 0 gi apoi in punctul a: r12.
Rezolvare: Polinomul Tal,lsy de ordin 2 corespunzdlor lui / in jurul lui r : aeste T2 (") : f (") + 4P l" - cL) + tP t* * d2. pentru a:0, Tz(*): n2,iar pentru a: r/2,T2(*): r12* (.x - r12) - ("la)@ - nl2)2 .
2. Sd se dezvolte in serie Taylor funclia / in jurul lui z : a, cu precizarearazei de con'r,-ergent6:
a) /(r) :ffi;31 1a:!;b) /(") :t"/1*,1a:01 c) /(r):*s,a:0;a) /(") : 12 *2n -3 + e*-ria : 1.
Rezolvare: a) Fiind funclie ra$ional5, / se des,:ompune in fraclii simple,
/(,):+(* #)! e C* pe o vecindtate a lui r:1Ire care /(r): f lr"l(rxc-l)'. Cal-
culXm deri'atele de ordin n pentru fiecare fra,clie ,,*o;: Astfel, (#)' :
-dry' (*)" : 6ufi' (*)(') : -ffo'- (#)(") : (-r)" G#"o.Analog, (*)(") - (-1)"*#* + y@) (1) : (-l)'rrrlrf, - a#rrl *
oo
f (r) - I (-1)" tr"+ - r"!rtt" - 1)"n:0
Raza de convergen\E" este R: )S$$,: t.b) / (") : |[h (1 + n)-ln (1 - r)] dehnit5, pentru l"l < 1. Calcul5m derivatele
de ordin n ientru g (r) :ln (1 * n) * gt (") : 1{; "u,t" este fraclie simpl6, a.i.
ii'!Jii
laq.,1;I'
fl,ii;,
i}lt!
lpt.::ii
ftffi{+
-8:8!w=
s.s,ls.Et
{i&lis
,?ti.,ii;-iJ,
el
r$$
;]1t
+;ir:i;+#&sl
di.si
it.+i
t:A
'J'r:$..ffi*ls;f.'dSii
'iJ:*
.?fi,;
rr!.{4.!&.
%,.1&i4,9.&1Hi:K
ieli:
30 LECTIA 4
derivatele de ordin superior au forma anterioarS,, g(") (") : (-f)'*t Sl#,ia,r penrr** h.(r) : \n(1 *r), ob\inern frt*) (r) : -SS, r )_ 1. J(r) _
,i^tg#)* : ii.lr-l)'+r (n- 1)! + (n--1)!l# : + i[(--t)'+'+ 1]*gi raza de convergen{d, este E : 1, iar / se rescrie f (") : t_ $
"zr+r.L' 2k+lli:0
c) o serie de puteri centratd, in 0 este unic determinat5, pe o vecinxta,te alui 0, aqadar fdr5, sd facem a-pel la formula lui ra,vlor, putem folosi seria geo_metricS alternantx,
^L- r*n2 -... : +;, l"l < 1 . FX,c6'd substitulia * i rt,
se obline #: it-tl"o3'convergentxpentru l"rl . r <+ lrl < 1. Astfels-a oblir*rt aurrroflilea in serie Ta'lor. iar raza de convergenld este 1.d) Putem utiliza dezvoltdrile cunoscute ale func.liilor el"merrtare, in acest caze vorba de func{ia exponenliald. Cum 4cestea sunt in iurul lui 0, este indicatsdfacern substitulia n-a: d+) r:t*1gi oblinern f :t2il/iJ-.au"a*cdut6m dezvoltareain jurul lui f :0. Rezultd f :t2 +4t+ i #,vala6ildpentru t € IR. Revenind la n, f (n) : (r -1)2 + 4(* -1) +,.!o +, iar razade conrrergenld este oo.
3. sd :: dezvolte in serie Mac-Laurin funclia. /, precizAn4 domeniul cleconvergentS:
'] {(."1 : 1};z; l) /(r) : 1,.(r#) ; c) f (r): ch o; d) /(r) : sin2 r;
e) f (n): -+:.v I-t.Rezolvare: a) se cere dezvoltarea in serie Taylor i' ju.rl lui 0 a lui /(r) :# Putem utiliza se'ia geometricd pentru i-*, - fl ".',lrl < r. p""i
n=O
f (r): (1 ;r) i"u': i^ rs, - f "r'*r. oo*"oi'tle co'vergenld fiinda n:0 nZ_.0 . n:0(-1,1)
b) /'(r) : d; - #: i^(--t)" nn -2ni (-r)",r2,. Arr apelat astfeltot la seria geometricd rd*bJlx pentru pf . iJtorima dezvoltare) qi ltr2l < 1
(a doua dezvoltare)<+ l"l < 1. Dezvoltarea lui // se rescrie f,(r): i *rn -oo k:0
-Ait + 2 (--l)el n2k+t. seria cle puteri oblinutd, cu domeniul de convergenlx
ooSt ,trn
,an=7,n:2k*-1,
:ii,*;:a.$ff*:
;f,r
*.*;
:u,.!
:Sl,r$
fsijr.$
.*:.jl3:
i{1.
i-F^\
i-tir
"#-
:::;
,:5
+,$:#irx:;f,#'itdLn
liri
,5*Ji:6,wFT+lr'{
$l;:*.t4:q.
+E#,gQ**:
s
w
LECTTA 4 31
(-1,1) se poate integra termen cu termen gi rezultd J@) : f #-k=0
i tf *, (-1)l'l# +C. Constanta se determind ;;riind c6 J(0) : 0 =+ C : 0.k=0
c) Cosinusul iriperbolic este ch r = l(r" + e-r). \iom utiliza dezvoltarea
funcliei exponenliale in jurul lui 0 qi oblinem e, *e-,: i # * i G1]F :2 f # : zi ,*. Dezvoltd,rile sunt valabile o, :k.
n:0
n:0rn:2h
d) $tirn dezvoltarea coso: i^f-t)" ffi,,v* € IR. Dar sin2r: l*$r?a
qi cu substitulie oblinem f t-l : +- +,[ (-_1), z2n{2#,Vo e ]R.
e) In seria binomiald, cu a € R \ N, con'ergent5 pentru lrl < t,
(1 +tr)" : 1 + "* +*21 !*, +o-(o - Q(a- 2)", +...
pentru a - -] , substituirn r ct -r2 qi oblinem
(t - r')-i :1* E (-*X-i-t)t(-i*"+r)
Gr\":1+ i !J\ffi*t*2,.rl:1
4' sa se afle o*]"",r*ua in serie Mac-La'rin a fu'c{ie i f (*): tg r.Rezolvare: tg n: #;. Dezvoltd,riie lui sinr si cosr in jurul lui 0 suntsinr : i^ f -1)" #+, cosn :
F, (-1)'##. c,.r'. f e c*pe o vecinxrate
a lui r : A, f se dezvoitfl in serie Taylor.in jurul lui r : G, f (x) : ao *atn*azr2*asr3*...a.i. (, -*+# - ){"0 *arn*_azr2*a3rs+...) :
^3 _5r* fo + fi - ... i ao*atn+ (:r - ?) 12 + (a3- +) rB + (aa- ff + ffi) *n+(or. ? + #)"u+'... - *-#*+;-... Identificanj"oen.ien{ii,obse^,d,mcx seria diir membrul drept are-doai'puteri impare deci a0 : 0 * az: 0 =+aa:Alazk:0,Vk.Apoi a1 : 1, o3 : + -* : *' a5: T- fti + * :,, *, q.a.m.d.Deci tg tr: r+ f + &rE +-...peo'Jeci.,xiutu"ul.rr'f : O.
5' 56 se calculeze limitele folosind dezvoltdri lirnitate: ") jggry#qs
U) faJfE;n'Cz (disculie dupX a e I{ ).R'ezolvare: a) Este suficient sE folosim dezvolt6ri limitate de ordin 3, in jurullui r:0.sinr:
" - S + o(r3) sau sin n::E- $ + O(*n), iar (arcsinr),: #,(arcsin *)" :
f*!-,g,(arcsinn),,, : (t - *r)-i + Sr2 (t _ rr)-g . motaua
"'jii 13
b) WTTT : 1 * * - +.t o(ro), isy W:A ; 1 * + _ ++ o(16) =+
fi +AE - {;F : + + C)(no),agadar limira esre egal5* fira€p =f o, o(1\ ,'lt, ;:; . In orice alt caz iimita nu existS. bau este infiniti.
6. care este eroarea pentru aproxim.area pd,tra.ricd, a lui er pe intervalul(-0, 1;0, 1) ?
Rezolvare, f (r) = Tz(r) este aproxirnarea pdtraticx, pri' poiinonrul ray-lor de grad 2, in jurul lui i:' : 0 qi dacx prrrr"rrr in evidenld restul de or_din 2 se va scrie .f (") : /(o) + /,(0) E 4_ ;f,,(0)o, + Rr(ri,cu lR2 (r)l Slrrp-/"'(r) ,19.F - eo'r,.0,13 . #6 - 6000'lrj<0,1
3
7. Estimati eroarea de aproximalie 6. Jui sin tr = ,r pentru lrl < tg-3. Apoi$+ n= 1+ t - +pentru l"l < * .
Indicatie: Pe o vecinXtate a lui 0, rillq : n * Rz(c). iar restul la poli_nomul Taylor de ordin 2 este lnz (r)l S + S $.f Si aceasta din urmd, este oestimare a erorii absolute.Analog, \tr+t- 1 + f * + + R2(r), cu l,R2(")l s S .
3m666.
8. Pe'tru ce 'alori ale lui r putem aproxima f'nclia si'z prin , _ $ .uoeroa.ree<5.10-4?
rndicafie: Pe o vecinxtate .I a lui 0, sin t : tr.* # + R+(r), termenulde gradul 4 fiind nul. Restul la polinomul Ta;,lor cle o"rdin a Lrti lna (r)l S
::?/tt' (") €11 < 5' 10-4. ultirna inecualie ae'uine S . 5 . 10-4 sau lrl <
v0;06. ,
9' Folosind dezvolt5ri in serie in jurul originii, sH se calculeze cu o eroareri3
de 10-5, [ "t\* o*.Jr0
Rer,o\''tue: '\n\roilute$\
su\ \n\egru\t, dezrro\\aret \u\ s\nr, \n \ruu\ \u\ 0.
'lt ,^ * 'lrt * n2nAstfel I : I
Y34* ': fl t-tl" dtfr4r. Fiind vor]ra de serie de
o " i1 n:o
suplrl<0,1
LtrCTrA 4 j LECTIA 4 33
puteri, intergrala comut5, cu suma gi oblinem /: i: (*1)' t j#*dr:
@ / -1\n(-1 \ ^,/\----
4Qu + 1)!(2rffi5''T'Seriaestea1ternantX.Dac5,retinemprimiinter-1
n=0
3r-81"fr+ir)s -
meni pentru un calcul aproximatir', eroarea in modul va fi mai micd dec6,t
al (n * 1) -lca termen. It"*1fr6Til#o < 10-5 pentru n, ) 2 gi r,'aloarea
aproximatir'5, a integralei se obtrine din suma primilor doi termeni ai seriei,
I:0.3312.10. Folosind formula lui Ta.r,lor f(r+ h) : f(") + It.f'(r) + $ f"t ) + ...
cu rest convenabil, s[ se calculeze sin47" qi cos61o cu aproxi;rralie de 10-3.Indicatie: Pentru primul nr. folosirn dezvoltarealui sinr in jurul.lui.r: t.Restul la polinomul Taylor de grad n este lR* (")l < @h(ft)"*t < 10-3. Se
obline n: I qi sin 47" - * * *A - 0,731. Anaiog, cos61" - 0.484.
11. Se cere natura seriilor numerice Itt -oo, jIt, It"*-1-1-*i,n2nSl It '">t
folosind dezvoltS,ri limitate qi criteriul de comparatie la limitH,.
Indicalie: 1- cos" : ,i (-1)**t6, Vr € IR. Rezult5 cX 1- eosl :k=1
;a- r,h+ o(#). D* -qlry*l : L +0, deci seria f (1-"o, ])r'-+oo 7 nll n'
are aceeagi natur5, ca qi | -f . a<iic5 este converger:t5,. Pentru a doua serie se
=n'foloseqte dezvoltarea lui e'. Seria este C.
12. 56 se dezvolte in serie F'ourier functiile:a) / t (-n,nl -r R, f (") : o qi prelungitH prin periodicitate cu perioada
T :Ztr, Deduceli din seria oblinut5 sum.a seriei de numere i h#fr:0
b) /(t) : *, -r 1r 1r ; T:2zr . Folosinrl seria, ardta,li "5, f #: *.
Rezolvare: a) Fie / , R -+ IR. prelungirea prin periodicitate "
ilt:; Graficuleste trasat in figura 4.1.
t = + : t. f este neted5. pe porliuni, d.eci f se dezvoltX, in serie Fourier.Puncte\e de discontinurtate. sunt de torma s : (2k-{- L) n .k eV', c\eci f (") :
co
B'+ I cL,,cosns *brrs\r.rur',\r * ()k+1)n''lc a'n' ' CT m J este tunctie
,*n"[to,. :] i,rcosnnd'n=o,vn ) o'
:t5
34 I,ECTIA 4 LECTIA 4
Figura 4.1:
bn: * f ,rinnrd,u: *[rsinnrdn: f 1-'"q,," tl * Ieffda,) :: le';er)" ++#s l?:i(*r)'*1 ..Deci /(*) -:r i a+=sinnr:
"FL,Pentru r:Eseobline t=Zf t=#sinff.sin f :
{ f,r,-, :='rI *i:'*r- $+*- *+ ... : fr, suma seriei cdutate.b) Limitele laterale fa(-"): fr(n) gi deci preru'girea /pri'periodicitate alui / pe lR este fu'clie contin'x. cum / esie firnctie parr pe (-tr,tr) +bn :O,Vn ) 1 qi ,f se dezvoltd. astfel: .l@) : f + flo",.*rrr, V" a re.
Coeficienlii sunr an: * t_rclcosnnd,s: *i"r"orir]'or: HI ,n*a qirr -7( 'o
oo: * [ f @)dr: +. Rezurtd 7@): # *i. $.ou nr,vr€ ]R. pentru
,:ritolrrrru- +:#*i#.n:1
13. sxee dezvorte in serie Taylor func{ia / in jurul lui r : a,, cu preci zarearazei de convergen{d.:
n, u) i, r", o) "L#'-+
t$ sn, * .te, {ezro\are'a\irn\\a$' a'\u\ i\t\ = U* '*qiL \uru\ \ui
o=0.frt Su cere dezvoltarea ]imitatb de ordin 3 in iurul lui r : 1 pentru J(r) =*4+*2+"2r;c) Funclia f (") * #|f o-u dezvoltare limitata de ordin 2 in jurul lui r - 1?
R::iilfi;ll?,, r, r,, r,, in r : 1 exista qi sunt n'ite.
f(r) : L - it" - \2 + o(.(r- 1)4).
1"6. SX se _tlalculeze lirnit'ele folosind dezvoltdri limitate:
a)r,ryqf#;b) ,r$ry
12. Folosind dezvoltarea in serie de puteri a funcliei f (r) : arcsin r, sd. se
calculeze suma seriei$ 1232...(2n-l)2 ,'r. ?r 1
,|,#qffii tt:$-1.
18. Afl6 aproximarea patraticd a, lui f(*) :rsinr in julrl lui r : 0.
1.9. Folosind dezvolt5,ri in serie Tal4or in jurul originii, sX se calculeze curl3 1
aproxinragie I : / tn(tJr) dr, J : [ "-"d*.1nJ00
Indicalie: Dezvoltarea 1fu : E (-1)" un ,lrl < 1, se integreazd ierrnen
cu termen qi se ob{ine dezvoltarea lui In(1 1- n) + /: f {##-'t:0', - S (-1)'
" - lr- nt.(Zn*l\'n:u20. Sd se estimeze eroarea absolutd in urrndtoareie ftrrmule aproximative:
a) ee - I * r + * +$ pu,rtru l"l < *;
b) sin n - t- t' + $ pe*t,,u l"l < i;
c) {T + r- 1 + i - &"' pentru |rl < i2L, Afiali dezvoltarea in serie Fburier pentru prelungirea pri:r periodici-
tate a lui /:a) /(r) : { ?, ; : [;itl r :rn R: /(r) :t+?,L*!ffitr,r{kn
( -ntr, z e (-r,o] rr1 - q* D. r/-\ j:& .,"r,t).f(r) : { ,_} ' :> ),, _',"' T =2n R: /(r) : L "#"( -t- ) r e (o' rl r - Ltt rL' J \'!', n=l
R,-tR,-*.
a) /(r) : r# - #,a:0;b) /(') * ;d:D, a: z ;
c) f (n): J#,a:0d) /("):e-r",0:0.
14' sH se afle dezvoltH'ile in serie Mac-Laurin ale funcliilor cu precizarearazei de convergenl5:a) f(a):# rr) /("):shr:e,ic) /(r) - -#F=
V !_ZI a) /(") : (1 + r) ln(1 1 r).
36 LECTIA 4
c)f(x):1"1,-2<rSZ T:4 ^mR: /(e) : t-;9 ,A e6hp cos (4Sbr.
22. Dac5, a este o solulie simpli pentru u.,rrrtiu*7t) : 0 cu / deri_za. Lrava (f esre o sotutle slmpta pentru ec,uatia l(r) : 0 cu / deri_
labil5r$r cs ales in vecinbtatea lui cr, atunci gi.rl (zrr) dehnii prin "r11
-.-
"" *
ffi, n ) 0 este conrergent c5tre o. Iblosirrd acest fapt, sd, se rezolve cuaproxirnalie ecua.liile n3 + x - 3 == 0; Bx - L: si:rc.Indicatie: Cu Ntfaple, se real.izeazd un program care sd, genereze prigrele ele-mente ale girului (cr,) pornind de exemplu de la:16 : 0 peltru prima ecualie.
23. s5 serearizeze cu l'4aple dez''ltarea limitatd a lui ,f (r):sin3rcosrin jurul lui 0 pAnX la ordinul 5. Si se reprezinte grafic p. r"utuqi sistem clecoordonate, ,f $i polinomul Ta1'lor corespunz5tor cle graci 5. pe o ve.inbtate aoriginii. Estimati din grafic inter:valul pe care polinomll aproximeaz6 ,,bine,,fuuclia in jurul lui 0.Indicatie:
aprorl:: 3a: - 6rlj +! ", + 0(16)
ytol's-l::3r - 6:l:3 +? r3'v&-b'
24' Fie .f(r) - ts ,b " e (*E,i) . sx se c*lcureze cu I\{aple porino'rulTaylor T de gradul 3 in jurul tui fi si
-ralorile f (?,r(f ) cu g ,".irrrul* exacte.
Indicatie:
.f ::, tan
fr,4, ?r\,4V3,--I-l+r, r,* - I) *
-T\r--it *lnt' -\f +o(r -f-t')T ^ 7l .^
- p.:f . r{ -T .4\/3(r:E)- * 8 (" : u
t'
LECTIA 4
p:=unapply(p,x) ;
,,/5 4 21 4 /:. ri,,> 8,p:: r -) ; - i' - + * ;.,/5,,* -i), *; ('- fl'e1:=eva1f(p(Pi15.));
e1 ::0.7264391981
e2: =evalf (f (Pils. ) ) ;
e2 :: 0.726542528I
0.0001033300
26. Dac4" ??'10 este masa de repaus, rn masa qi t,viteza unei particule, se qtie
cd energia cinetic5 a part,iculei este E : mc2 - rnsc2 (c fiind viteza luminii).Folosind forrnula nt.: nto(I - #)-,t,, s5, se aratr: cd E - t*ou' + !nrs$.
,1 (
Lec[ia 5
Spa$ii metrice qi normate.Submullimi particulare.Rezolvdri de ecuatii
1. Si se arare c6 aplicalia d,(r,a) : ,liOr-a)2,, Vx,y € iRn, r :l, -'_1
(rr,nz,...,rn) este o distanl5 pe IR'. u "-'
Rezolvare: d este pozirivd, se an'leazx cdnd fi : a, este simet ricx : d,(r.g) :d(y, r) qi irieeatit.t*uJri*gt ,,rl-U @,45 dk li l+ afu,z) devine
f i*o - 'o)'rb=1
f {"* - yr)'ft=L
T, @r - ,r)'n
e+ f (rr - ,o)' .,-_1
+
"il,)
(p";)
2, Pentru x,U € IR se noteazd, d(x,,g1 : l2r_zal; d(n,ry : l2r*al.Care din ele reprezintX o distan!6 pe R ?Rezolvare: d(r,a) - 2l* - al. cum l* - al este distanla eucridian' pe IR.,) l" - yl, v) € IR, este de asemenea o distanld,. cealaltd aplica{ie, d, nu verificd,toate axiomele distanlei, anume cea de a fi simetri c6: dl(x,il * ,t (a,r), aqadardoar d este o metricX pe IR .
38
LEc'rIA 5
2
g. SX se arate cd pe IR2, aplica{ia d(r, r) : p, l*t * yll 'Yx'?t€
R2' este o
il\s\,an\ir, q\ st" se de\erNrne\\\4" {esdn\s[" tsn$.tfr,[in (t$\ $ de ra'26' r > 0'
n*oolt.tel d,(r,,g) - t s si = !i,, pen\rrr, r, : \',,X., uil\d.1 = 1.\negt\t\u\eUtriungtuu\ui se bazeaz6. pe o proprietate a modu\u\ui, \rr - Ut * gi - zi\ Sl*t * yil + lAu - z.1l,Yi pe care le insumXm.Mulqimea B((0, 0). r) : {@t, nz) . Rrl d((*r, rz),, (0,0)) < r}. C6urXm aqadarmullirnea punctelor P(*t,r2) din plan care verificd l"rl+ l*zl < r. ExplicitAndmodulele, oblinem patru caz:uri de studiat corespunzd,toare celor patru cad-rane. De exemplu, in cadranul II inecualia devine -rr * rz < r. punctelereprezintd serniplanul situat de aceeagi parte cu o a dreptei -frt * fr2 : r,restriclionat la cadranul II. Din reuniunea celor patm cazuri se ob{ine pd,tratuldin figura 5.1 qi acesta este "bila", vecinbtate a originii in rnetrica dat6.
Figura 5.1:
4. DacSx este o mullime nevid5,gi /:x -+R este o apiicalie bijectivd,sd se arate cX d(r,y) : lf@) - ffu)1, pentru r,A €X, este o distan{d,.pe X.
Indicalie: d(n,a): 0 {+ f (r) : /(g). Aici irte[.'in* ipoteza de bijecti'i-ta1,e qi rezultd r : a.
5. Pem'ili'rea colo,b] : {/: [o,b] -+ Rl / c<,'tinu6]sedefinegted,(f ,g):19p. l/(r) - g(n)|. Arbtali cd d este o disranli numitd disranla
"rrp."*rr-.e'€[a,bl
Refornrulali convergenla unui gir de funclii (f*) c, Co fa,bl.
supo€[o,b]
Indica(ie: fn -+ / in C0 [a, b] ++ d(f,, f) -+ 0 .r+ lf''@) -/(r)l + 0
40
pentru ?? -+ oc e ln -+ "f pe [c. b] unilbrm convergent.
6. sH se calcurezu "l$("(f
)",ffiffi) in rR2 oi ,lggffi i'c.Indicafie: Limita se face pe componente pe R". Se obline (0, $) , i*lirnita qirului complex, $i.
7- Fie r,, : ((1 + *)",FJ) i" n'. Fentru ce a e IR. , lim on se aflx ladistan!5, minim5 de puncttrl (I,e-")?
R: Distanla este 11 - e-"1 JV;4 iar minimul le obline pentru o : 0.
8. Fie .4 o rnultime gi M(A) : {f : ,4 -+ R | / m5rginfti} spaliu rne-tric relativ la distanta, supremurn d,(f ,n) :
:El l"f (r) - s(r)l .SX se determine
distanta dintre funcliile f (:c): re-s | 1gi 9(r): g pe A: [0,2]. Aceeagiintrebare pentru functiile fi (") : sins Qi gr(") : cosr pe,4 - [0,ur].Indicatie: d(f ,g) : ::i l*e-' * ti i
Studiem varialia funcliei pe [0,2].
f ' (r) : e-'(1 - ") se anuleaz5 in r : 1 care este punct de maxim cu maximul/(t): j3 + t, deci d(.f ,d:2 * 1. Un caicul sirnilar ne di d(h,st): Jr.)- 2 r atuvvrw\Jta/- 2 | r. [email protected]'r rrutlitu\JtlgIJ:
9. SH se arate cd llrllr, - m!4l*,1 p. lR.2 este o normd,, unde s : (
i=l12In spa{iul normat (R2, ll.ll.") sd, se reprezinte bila deschisH, centratd in (0,0,rgi raza r.Rezolvare: licll"" > 0qi ri"ll"":0<+fffil"ol :0<+si:0,Va<+ r:01ll"rll* : l"l ll"ll* . Inegalitatea triunghiutui llr + yll* < ll*11."+ liyll* rezulrd,din lr1 * gl < l"rl + lgrl qi deci ll.ll* este nornrx. "Bila", ca, ue"inb,tate aoriginii este B((0,0),r) : {LqR'lll"ll* < ri. lnegatirater ll"ll* < r esteechivalent6 cu lral I r,i - TZ qi deci "bila" in no::rna datd. este pxtratui(-r,") x (-r,r).
1.0. Fie,4: [0,n]. Pe muilimea X a funcliilor continue /:,4 -r lR se
de{inesc ll/ll : supl/(r)l {ii ll/llr : [ 6611a*.,r€AJ
a) Sd, se arate cd se oblin dou5, ,rorrfle pe X:
b) S5 se calculez* ll"'ll .llcosll , ilcosll, gi bila B(c,rs, t12) in cele doud, norme.
Indicafie: I\{ultrimea funcliilor continue pe A formeazd spaliu vectorial. Se,verifi$, axiorne\e noTme\, De exemp\u,, \\f\\ - 0 <+ f (*) = 0,,\r € A e J - g
rlx: / ,,n, rd,r -
J
r
Jlcosrldretc. llcosllt: : 2. Apoi rnullimea
(*r'rz).
LECT rA 5
B(cos, il: {t e X, ll/(r)-cos"ll < +i: {.f € X,lf @) -cos"l < }}.lL. Care dintre urmdtoarele aplicalii sunt contraclii pe mullinrile X indi-
cate? a) /(z) : Isin r,, X :lR ; b) f(r) :lnr, X : [e,oo); c) /(r) - #8,X : Iit ; d) J'(r, il : (t,#), X: lR2 .
Indicafie: a) f este contraclie pe X dac5, fcl € [0.1) a.i. d(f(n),f(y)) <Cd,(n,a),Vr,a € X.Inegalitatea este echivalentH "" l"Bt -
g;"1 = "
l* - yl,
Vr,y e IR. Conform problemei 13 (Lec{ia 1), dac5, l/'(t)l 1trf,Yr € X,atunci l.f@)-/(s)l < hflr-al,Vr,y € X. hr acest caz, f'(x): ry S+,deci putem alege C : Ll2 qi aplicalia este conl,raclie. b)
{'@1 :1 < }, deci
costanta de contraclie este j. c) Inegalitatea lrfu - #rl = " l* - al pentru
a: *rclevine l*Pl <2C l"l <+ l+n2 >2lC care nupoate a'i'ealocVc e R
pentnt C subunitar, deci / mr e contraclie.d) Cu distanl,,a euclidianX., inegalitatea d(f (r, a), f (x' , a') ) < C d((r, y), (r' , a'))
f;_---=;--serescrie l@=# +@4y SC\/6-n'j, + 'iT:W siarelocpt. C:t/2.
L2. Folosind principiul contracliei, sE se rezolve cu aproxirnalie de 10-2
ecualiile: a) 13+6r*2:0; b) r'5+5r--l:0; c) c-e-'-r.Rezoivare: a) \tlembrul st6ng al ecuatiei este functie crescitoare. Obsen'Xur
cd pe I0,ll2l functia iqi schimb6 semnul. Rezultd c6 pe acest interval ecuatia
are solulie unicd,. Rescriind ecua{ia in fo::ma r: g(s), unde p(r) : +,putenr aplica principiul contracliei, aplicalia rp : l0,Il2l -+ [0,1/2] avdnd
constanta de contraclie C : I/8. FormX,m girul r,ra1 : Q(frn) gi IuXm z0 : 0.
DeterninXm N minirn a.i. $a1*0,*t) < 10-2. Oblinem u: Il3; Nmi' : 2,
de unde solulia ecualiei cu eroa.rea absolutd. dat5,, este 12 : 1/3 - 11L62 =0,32.b) 0,19; c) 0,27.
1"3. S5, se arate c5, urm6toarele norrne pe R' sunt echivalente: ll"llt :nG-f lrnl , li"ll.": mgll&l si norma euclirlian5 llrllz:
l?z,? unde r:
(*t,,12,...rfrr).
f"nIndicafie: Porniud de la inegalitatea la'rl S f/E "f S L lr;l , se deduce
v r:l i:tcx llrll." s ll"ll, s ll"llr qi apoi ll"ilt s n lirll.".
L4. ln spaliu\ nornrat (R3,\\.\\*) sb' se reprezinte bi\a d.esctris6 cerrtratb
\n (S,,0.,0) qi raza r.
15.Caiculalilirnitelegiruri}orgisumeleserii}or:,) Ag fffi,#l in IRz R: (o,o)
4L
II costdrI
,t i'2
LECTIA 5
b) ;g. (t#, W, ffi) in p3 o, (+, -t, g)
") r #; i' - -1; disculie dupd a € c Hz fi,con'ergerlt5 pt. l*l > 1
ol F. o#r; disculie dupd a, b € 1R R: ffi, convergentd pt. o2+b2 > 1
16. s5, se determine domenirrr de conr.,ergen{6 qi sqlna seriilor de putericomplexe T,-nTnzn. Dar penir" i # t
rr')1 ,r:1 '-'
Rezolvare: Pentru Z e C ,f t" : fg,lzl < 1n:0
co:+ )l (3r)" : #E;,n:U
l"l < $. DerivS.nd termen cu termen, ob{i'em Fr"
(Jr)"-r.J : dry,l'l < $ ===+
,frn,3nzn == fr-p. Dorneniul de con'ergenl5 este discul dinplanul cornplex de ecualie lrl < *, centrat in 0 qi de razX ].
Pentru a cloua serie, se face substitu(ie 7in
"" : fl * qi se ol:lin e e., - r,
vzgC. n:0
1-7' SX se determine domeniul de convergen{d, punlru seriile de puteri com-plexe: *) E #r,,i b) E L#;c) D n"+:i1z_ i),,, d) I *til;.n)t n:l "
"Zt 'rErn-z\zl
rndicatie: a) seria este de forrna pr"nr", centra,td irr origine. R.aza de
conversenld esre fi : "lgL, Irnl : ,\5;?##+, : ,lggdf- : ], iar
domeniul pe care seria e convergentd este {z e Al lrl < }}. -\ n '
b) seria este de forrna D ".e * i)"; se obline .R. : 5 qi domeniul este discul
lz + i,l< 5; c) ,R : 1; pYttl< 1; d) lrl < z.L8' Sd se determine domeniul de convergenld peltru urrn6toarele selii deputeri cornplexe:
a) fr z* g;" rtl-I e - g' b) fr r.4.7.,...(.3n--2)-371",t /_J1 2.A.6.....(2nl \'-r) _t zr (3n)!n=l{''_,\or./r
le. pe mul6irnea N* ,e dufi,.eqi- aillt"t" )o',,^: l*
* *l ,u se aratecx girul tn : n, n ) 1 este qir cauchy, dar nu este convergent. se contraziceastfel criteriul general al lui Cauchy?Rezolvare: d(*n,nn+p):
f * - #l :
"(h s *,vp,n 2 r. Rezuitx c6
d(*n,rn+p) -r 0 pentru r, -+ *, vl qi deci estu gir cauchy. presupunemprin absurd.gd (ql) este co'vergent la r € N*. Atunci tr(rn,n) + 0 pentru,1 I * o l* - |l -+ o pt. ,? -| oo: de ''de rez,ltx ; I'ii. it.uiai bu"igilul nu e convergent. Criteriul general al lui Cauchy are loc pentru distanla
LECTIA 5
oc
I (*,., - U,,)2 ,Vr,U € S este o distan\[ qi s[ se deternrure dislan\a dintre
girurile o: (*),,>r , b: (A;|*D)'>t.
T;_Rz d(a,b) : VF - 1.
21. L{ullirnea punctelor (r,a) din pla,n defigr}td de lal S 1,lgrl ( 2, este
mul6ime deschisd sau inchis6? Aflali interiorul s5u lqi frontiera. Este compactd,dar conex6?
Irrdicalie: NotXm A: {(",y)l ltl < 1,lyl < 2}. In plan, este de faptrnullimea [-i,1] x l-2,2] care este inchis5,. IrttA : (-1, 1) x (-2.2) , iarfrontiera lui A cste dreptungtiiul cu la,turile paralele cu axele de ecuatii :r :1,r : -1, a : 2, U : -2. It'{ullimea este compactd pentru c5, este inchis5 gi
rnd.r-ginit5., de asemenea e conex6 pentru cX orice dou5, puncte din A pot fiunite printr-o linie poligonalb, inclus5 in .,4.
22. Aceleaqi intreb5ri pentru multrirnea punctelor din spa{iu ce verific6ecualiafr+A*z:1.Irrdicalie: Puterndefini,f ,lR3 + IR. , f (*,U,2): r+A *z qi atuncinrullinreapunctelor planului n+A-f z:1este B: f*1(1). Cum / este
continud,, va intoarce mulgirnile inchise tot in inchiqi. {1} este inchisX, rezultEcE qi planul este mullinre inchisd. El nu este rn6rginit, deci nu va fi compact.Irft,B : 6 pentru cb orice punct al s5,u nu e centru al unei bile iucluse inB + FrB : F\ IntB : B. B este conex6.
23. Fie X: IR qi A: [O,t) u [2,3]. SX se determine 7, IntA qi frontieraFr,4.
24, SX se determineA, IntA qi Fr,4 pentru X : IR2, in cazuriler a; A -{(",y)l ey > 0}; b) /: {(*,il| 12+y2. a}; c) A: {(",il| l"l + lvl S 2};d) A: {(*,a)l l"l < 1,s e Q}.Rezolvare: a) I\4ultimea .A este forrnatd din c;adranul I gi III, except6,ndaxeie. Este rnullirne deschisd., deci A: IntA, iar 7: {(r, ill rV > 0}, FrAeste formatd din axe. b) A este discul centrat in O qi de raz5 2, mullimeinclrisd. Frontiera va fi cercul de ecualie u2 + U2 : 4. c) O astfel de rnullimea fost determinat5 in problema 3, figura 5.1. d) Se cunoaqte c5, mullimeaQ este densb in R, adicd Q : Ire. Dar Q nu are puncte interioare. Astfel,7 : [-1,1] x R; IntA: @.
25. Care din multirnile urrnXtclare sunt desch.ise, inchise sau compacte inspaliile metrice indicate?
a) [1,2]; Q; (0,1) u (2,4) in X : R ;
44
b) [1,2] x[1,4]; [0, 1) x(1.a);ZxZinX:R2;
") {r2 +a2 + z2 <I}: {7 <12 f-a2 <a}; {(r, *r,*r)l c e IR} in X:R3.
rndicatie: b) zxz este o relea de puncte in plan qi este mullime inchis5,,ar'6nd complementara deschis6, dar nu este mhrginiid, deci nici compactd.Multime compact5 este dreptunghiul [t,Z) x [1,4].c) {n2 +y2 + z2 S 1} este bila de cuntnio qi t;x'tl mullirne inchis5,, compact6.A doua mullime- de puncte din spa$iu este desc{risX pentru cX, luAnd funcliacontinuS, / t R3 -+ IR , f (r,y,r) : 12 * a,,; ea
'eprezintd preirnaginea
/-t((1,4)). orice funclie r:ontinudi,intoarce" iesctriqii in deschiqi. ca figurdgeometric5,, este portiunea cuprinsd, intre doi cilindri cu axa Oz , an,dnd ce...,curile bazei de ecualii t2 + y2 : I, 12 + y2 : 4.
( r:tultinra nulgime este o cur'i:d, de ecualiil a:* ,t € iR qi este mullime: I z=t3inchis5, dar nern5,rginitd,. \
26. Urmdtoarele mul(imi dirr pla,rr sunt descrise de inegalit[li. Care suntmultrimi deschise qi care sur:J inchise? Argumenta.li eventual geometric qi afla{ifrontiera qi interiorul fiecXreia in parte:a)Br2+2g2<6 f)*>a i
b)">0,y>0 g)t<rz+y2<4c)ry<L h)g> *2,lrl<2d) 1< r12,3<a <4 i) *2 - a2:I'e)r?y j) ft-a+110,r*a-tS0,g>0.R: i\{ultrimi deschise sunt a),c).f),h) 9i incirise e),S),i) j).
27, Care din urrn5,toarele mullimi din spa,liu srrnt deschise qi care ilchise?Argumentali.u) lrl ,lsl,lrl < r d) l1,zl ,{l[z,J] x [3,4]b)c+y*z<-I e)u-s+Hl:bc)c*A+z(1,r,A,2)0 , f) l"l (1, lyl <1, lzl >1.
28- Gare din rnultimile de ra problemere 26 gi 2T sunt compacte qi carel
iconexe?
R: 26)9),j) si 27)d) sunt compactel nu sunt conexe 26)i),ZT)f).29. Rezolva.r'ea ecuadiilor in l,{aple:
a)
eqr\ : =T.^ 2-x\)=)*v,^ ?.+x'.
solve(eqn,txl);
tr =. -I-,'./3), {r = -t + /5}
LECTIA 5 LECTIA 5
b)
t/ -2+2J5,_----.-----_t2r
c) 12 <4,,g2 ) r,r 1
{r :0.786i5}
{r:0.78615}
ineq :: {r, < 4, I { U2, r +.y : 3}
{*: -A + 3, 1 < y, A < S}30. R,ezolvali ecualiile de la problema 12 cu l\{aple. Aceea,qi cerinlb, pentru
ecualiile: i) 5r - 1 : sin r; ii) 6r : cos r.
Lec[ia 6
Curbe qi suprafefe.Reprezent5ri grafice
Crirbeie plane pot fi reprezerrtate : -'
A) prin ecuatiecartezian6 de forma f (r,y):0, "f : A-+ R (cu A C IR.2
multrirne deschisS,);Exeurplu: (* - o)t + (A - b)' : -R2 este cercul de razS B gi centru (a, b).
B) parametric {;=;gi
t € r interval. reprezenta,nd coordonatere punc-
tului curent al curbei ca func{ie de parametrul t;Exemple: 1) Fie p(r,t,At),q (sz,a) e IRz. Funclia 1, [0, l] -+ IR2, .y(t) _
(1 - f) p*tq are imaginea in plan, segmentul [p, q] ", ecua{iile parametrice de
rorma {;=li : ji ;:i:;: ,r e ro, q ++
2) I , [0,2n] -r lR2 ,, lU): ("0*ficost,Uo*rRsint) are imaginea cer-
cul de centru (ro.,yo) gi razd. ,R. Intr-adevdr, ! *:ro*EcosfI Y:90 -l- Rsint
sunt ecuafrile pglq:mg$ce a'jg cer;cului, cle
cartezianX, (s - *il' * fu - Eil' : R2.
,t e [0,2T]
unde eliminAnd t, obtrinerr ecuatria
c) in coordonate polare, printr-o ecualie de forma p : p (0) ,0 € -I inrenal,
coordonatele punctului curent al curbei fiind { :.: 0,"|'0L g : psin?
( r-r(t)curbele din spaliu sunt definite de ecualiil.e parametrice \ u : u$) 1
f €,Iinterral. t z:z(t)
46
I *:nt1-t(*z- *)t y:h*t(.az-a)
LECTIA 6 47
Ecuatiile pa.rametrice ale unei suprafele (in spaliu) sunt
(a,u) e D c IR2.
( *:r(u,r;)( g:g@,rJ
1
\ ,= z(u,u)
Exemplu: Fie sfera s cu centrul in o qi de raz[ R. un punct rlf e seste unic determinat de doux coordonate, fie a,cestea g : colatitudinea lui
( *:.Rsind cosgA.[ qi 9: longitudinea lui hf ,0 e [O,n],t, €-[0, Z"l. I U: Rsindsing
[ " : Ecosd
reprezintd, ecualiile parametrice ale sferei (vezi figura 6.1). Acestea verificdecua{ia cartezianS.
"2 + A2 * z2 : R2.
Figura 6.1:
Aqadar existd mai multe modalitdtri echivalente local de reprezentare asuprafe[elor in spaliu: _
$J:selgze*"r. e"t""t-tn.e (ecua{iile rlepi'd de doi parametri);r:,; ecualie carlg4g.nl impl&itd F (,r,A,z) : 0, (x,A, r) e U c lRb , unde Uesteun-Gffi
_, C)
Tualj:carteziatexpligitd z: f (r,a), (r,A) e D ctR2, unde Deste un deschis conex. ciancut tui / esre o supra.fala s proiectauile p. "oy(adicd D - pr,oas vezi figura 6.i). r Ei a pot fi consideragi pa.r.ametri,
iar parametrizarea. este datd. de 'ectorut
ae pop,,gi u ? @,a) :'*:l ; ;i ;f (n,y)-t ,@,il € D. '"i"j'
^ "uT"*olu:. Az*Bu*Cz*D: 0 este ecualia generald (iniplicitd) a planului
avand normala lf (A, B,C).Pentru graficd, comenzile Maple sunt grupate in pachetui plots, prot(...)pentru grafic5 2D gi plot3d(...) pentru 3D. pent', g.#.u 2D, comanda este> plot(f, h, v, opfiune);
' e ' vv'^'euua uE
unde f este expresia funcliei, h este domeniul de varialie al varia,bilei inde-
48 ' LECTIA 6 LECTIA 6
Figura 6.2:
lui 3,:f(5), iar opliunile sunt de tipul grosirne,
gI
4. un "nor de date" in plan se reprezirrtb prin liste. sx se reprezintepuncteie M(O;2), l/(-1,3:0,7), P(1;8, Z), e0,7;0. b).Indicatie:
I ili;J? rfr I,rT;;A; | ;2.;')i:;=i 1 : ?a?li gi;llol,r,;?;ilior s i=e=zo ) ;
Dat:d nu se precizeaz{" style:POINT, punctele sunt unite prin linii fr6nte.5. curbele date in coordonate polare ,se reprezintd de exemplu prin
coman<la
) polarplot(r, teta:interval, opliune);SX se leprezinte curba p: sin20,0 € [0.22-]. Idern pentru p: cos40,0 e [0, n].Indicatie:
6. S5 se reprezinte gra,fic curbele Ct: A : 12 *Zsinr2, r €t1[-t, t];Cz : U: Tg, r ellfS,oc); Ce : A : *sin j, r e [O.i;i].
7. Se se reprezint^e grafic curbele C1 : r : te-t, U : et,t e [-1.8];C2: x: ffi, y: &, t e [1,m).
8. SA se reprezinte grafic curba planX datd irnplicit printr-o ecualie deforma f (r,A): 0, (r, lt) e la,b] x [c, d]. Cornantla este> implicitplot(f(x,y), x:a..b,)':...d) ;
Curba r:ste 13 -Tr2 *3U2:0 pentru fr,,A e [-6,6].Indica{ie:
9. sx se reprezinte grafic foliul lui Descartes de ecua{ie fr.3 + aB * Bry - 11,
lenrniscata lui Bernoulli: (r2 + A2), : n2 - gr2, melcul lui pascal de ecuatrie incoordonate polare: p : I* cos d. astroida de ecua$ie cartezian5, ,2/3 yrz13 : 1(sau parametrizatd: o: cos3 t., A: sin3f, f € [0,22i] ) qi curba r: e-u *U,U € i0,oo) ( cu ecualiile parametrice o: t4- e-a,A:t; i e [O,oc) ).
10. Fie o suprafat5 proiectabii5 pe planul r,()y^de ecualie z : f (*,A) ,
@,A) e [a,b] x [c,d]. Pentru f (r,a) : re.-*z-a2, @,,y) € [0,2] x 10,'S1reprezentati grafic suprafa{a.Indicaiie:
{':f (u'"^)1.1. Pentnrsuprafa\adat6,parametric { u: g(r,r) ,,u € [o,,bl,r-r e [",d1,
\ z -- h(u,t)conanda esfoe
> plot3d (lf ( u,r), g(u,.' t h(o,.'),u:a''b,v:r: "d) iSXsereprezintesuprafala: r: ?.tcos ltrU:' usinu, z:L) lnupentru u €ln'Ztrlqi u € [0,2].
49
pendente x; v este domeniulculoare, linii intrerupte etc.
Pentru 3D,> plotSd(expr, x:a,..b, y:c..d);unde expr :expresia, funcliei f(*,_v), a..b:domeniul de varialie aI variabilei x,c..d:domeniul de varialie a,l variabilei 1,.
1. Tbasati graficul.lui /(r) : r2t/2 * cos t3,, n € [-2,2]. Idern pentrucurba de ecua{ie U - #,r ) 0.Indicatie:
2. se pot trasa pe aceia,qi sistem de c.oordonate mai multe graficesirnultan prin comanda> plot([f(x),g(x)].x:a..b);sH se traseze simulran graficeie funcliilor f (*) :;h, g(r) : Hf pentrur € [0,100].fndicatier
,
3. Pentru curbe clate pa.rarnetric, cu ecuatiile { r : f tt\
comanda este )e ctate pa'rametric' wu tuLtclv""'
\ ,: niij 't e [a'b]'
> plot(\(r),g(t),t-u..bl, h, op\iune)i
S[ se re$edn\e tur\a: $ = tosXt,, U = nnbti t Q \0,2\. Nna\og pe*ru
, - $ *t, u -)S -t -)l t e\-\,3\.Indicatie:
LtrCTIA 6
lrld
x5
:!
{
t!B'iil
Indica(ie:
axes=BO]f,ED);L2. Ob\ine\i reprezentLrile:
t=0 , . Pi , s=-pi . . pi ) :
Prirna suprafatx este datd. prin ecuatie carteziand., cea de a doua,, parametl.ic.13' sa se reprezinte grafic z: cosnsingr, r,,u €[*zn.2zrJ. Analog pentruz : 12 * a2, # € [0. z], aZ [-1,1].L4. Sd se reprezi'te suprafala: fr : r'cos ?_,, U : usin rr, z : u2 pentruu € [0,2] qi 0' € [0, 2n].15. a) Presupunem cd la orice moment t, un ruol_ril se afld in punctul deabscis5 t(t) * e-2t cost. Sd se determine nornentul la, care viieza este maxim6.
b) Un mobil se deplaseazd pe celcul 12 +',oz: b; la un moment dat se a.flH, inpunct,l (2,1) qi ordonata lui descreqte cu viteza 3 cmfs. ce se poate spunedespre abscisa lui?
R: Cleqte cu 1,5 cm/s.
c) Un capitai depus la o ba,nc5, cu dob6nda compusd d,To, sedubleaz' inr: ani. Si se reprezinte grafic curba a: r(d). Caz particular d:5.rndicatie: Dacx, ,,4 este suma iuilial depusd, dupx primur an capitalul esteA(L + d/rcq,, dup5 al doilea ara /(r + d'/rc;) + et, + dlrcqd/rc|:: :A +
2di100)2 g.a.m.ct. Se obline
"",,u1iu ft + a1rc01- : 2. Atunci&- : fi{firfimq gr se reprezint{, graficul in planul dor.
d) cu ajutorul unui tun se trage spre un "obiectiv punctual,, M aflat la distanlaorizontald D' Yiteza' inilialx a proiectilului este u0. sa se deterrnine unghiula de irrclinarg fa{x de orizontard,, c e (0,r/2),.,in "ur.
trebuie sE se tragdpentru a lo.iri obiectivul. '
Indicatie: Pu'ctul curent (*,il este situat pe paraboia g - ctgo - ffio +tgzo). Aceasta trebuie sfl treacx prin punct'l (D,0). se obline ecua{iasin2o = frD. Dacd ufi > gD, ecriatria are doufsotrigii.
Lec[ia 7
F\rnctii de mai multevariabile. Continuitate.Derivate partiale.
1. s5, se afle dorneniul maxim de defirri{ie al fuircliilor": a) f (r,il :.(PTF=;b) f(x,il :tn(a- i"l); d l@,y,r) : ffi.' u'-.'o'
d) ,f("t, n2,ns,ra): E#ffi=iR: b) {(r,il| a > lrl}; d) {("r ,l,2,rst*a) €Rnl", * ,z+ rs I 1it}.
2. Fie,f,e:R2 \ i(0,0)) -+ tR, "f (r, il: ##; s(n,il: &. Exisrdlimitele funcliilor in a : (0.0) ?
Rezolvare: Fie (r,r, Ai -+ (0,0) ;^rrr, Un # 0. Alegem Utt : ftrrr, k € IR.,
*n ) 0 gi calculXrn -f (r:,r, krn) - {;$ ..". depinde de k. Agadar alegand dou6valori distincte pentnr /c se oblirriimite diferite pentru f (x.,k*n). R.ezultb,c5, Iim f (n.u) nu existd,. o astfel cle limit5 se numeqte limita lui / irr(c,g)-+(0,0)- ' '"punctul (0,0) dup5, direclia dreptei g: kr. Este evident c6, dac6 o funcliearn limitS, intr-un punct, atunci aceea est,e qi limitp dupd, orice direcgie, rru qireciproc.Pentru funclia g are loc inegalitatea lg@,il| < lrl , iar
aqadar cu criteriul clegtelui rezultd "U ,",rlTto ,019
(r,9) : 0.
3. a) Sd se afle lim --g* dac6 existd,.(r,9)-+(o,o) t/ x2lyz r'1-l -----
b) Fie a € IR.. Poate fi prelungitd, f (r,il : # prin continuitate in punctul(n,,0) ?
lim lrl : 0.(c,gr)-+(0,0) ' '
Rezolvare: a) Limita se rescrie lim(r,E)-+(0,0)
51
-tIII
f,
fiIa
H
,J
*!'.,!
il.L
F..).tr' LltCTlA 7
b) Daci' af o * ,.,r},j?" ,n,#: "';tga#: oo.
Dacd o : 0, r'om. arXta ci lirnita nu existd, calculAnd linrita dupd o direcliea: kr. Atunci f (r,kr): ii=: S si lt:lf @.k:r): $ vaA"finau a" f,adici de dilec:trie, in consecinld, limita nu existi. Deci / mr poate fi prelungit[prin continuiiate in punctele ia,0) .
4. Se se studieze t;ontinuitatea nincliiior:( ,z"':'
a) r(r,0,: t fn' ',:,i;: iil|l ;b) / (,,il: { ;.""*' X:ZRezolvare: a) l##l < l"utl -t a penrr.u (*,a) -, (0,0), aqadar
,_ -liT^ ^.,f (*,g) : 0. Cuur /(0.0) : 0, rezulth cd / e;ste continu[ pe R2.(r,y)-+(t).Lr)
b) Punctele in r:are studieur linriha sunt de fonna (20.0) . ,",rjllo,u,rsin|
: g
pentlu cX e -+ 0, iar sin f este mhrginit5. Dac5. ro * r). atr:rrci limita nu existduentru cH }irn sin ] nu existd. Deci / este continud pe r(2 \ { ("0,0)l t,0 I a}.U+0 Y ----r
5.. Ar5,ta!i cd pentru f(r,a) = ffi nu exis:;b lirnita in (0.0) qi cx
l* (;g.r Q,at): f . iar J:l ftgir (", v)) : -lIndicatie: Sepot a,legedouSqimri dinR.2 : (il,,,,ll.n) = (2lrz.Iln) Si (r,", yL) =(.Sfn,7frz) care ti'd la (0,0), dar Jft:,,.un) : l; .ft.:,.r',,a!,,) : I runt ti*rrtediferite. deci limita funcdiei mr exist5.
6. s5, se cerceteze existenla lirlitelor gi dacr existd sd se calculeze:a) lim 4t" c) linr +4-' (r..y)-+10,0)''-a" "' (r,,i,j;ir,,0)"J-y'b) lirn =f*, d) linr ,,-::'(f,'*-4' {r.s)-+(0.0)*'-a' -' (r.y)l*to .01 @'+u')rz az
R: a) 0,b) nu exist5.c) 0,i) cc.7. Sd se studieze continuit.atea func{iilor / : R2 -i R. :
( rinLt!', r+o ,\,, ., [ -*:;. (*,il+Q,o)a).r(r,r) :{;T' ::3, ,b) /(r.il:{ ,F4' (*'il+Q'{
L 0 (r, s) : (0.0)
c)/(r,r):{A' f:'ll ii8;l]] ; ,r) r(r,i) {Hi*, *--r.;
I cosJ, r:a\ o, , I r. ru]A i:-tr
e)f(r,r) :t;; ';,X';; r)r(,il:1st'l-at' r*aI U' .t=U
R, u\$) ton\,urueib)p)'hstrin\\nriein (0,t); e) r\iscon\\nriE in !r,s,t) ,rr * 0;
\ dncon\uiu[in ptrncte\e drepter r -.11.
8. Fie /{r.rl : 4,rdp p.rrt.* (,,a) f $,0) ' Se poate prelungi
prin continuitate Pe R"2?
9. Fie fk,a): { o' y(0sau u} 12' : t,. 0. y < *r'' -' Ardta6i c6limita lui / in (0.0)
dc-a lungul orich.rei directii 3/ : kr este 0, dar lirnita funcliei in (0,0) nu exist5.
,,.10". !.,"r::*tt derir,'atele par{iale in punmui curent ale lui: a) ,'f lr,A,z):e;Iniib) f (.*,9,.2): ry+yz2 *arctg.. fur); c) f (*,il : yer*a'+|n (y'_4
Rezolvare' u) .#: "* (-4) r' z + e^*.2 ?il"=, -"4"1il; _ +;i:'"
ffi,::"Itn;: {':...?i i_ 1"x."ol #':'r,""* ==,\ zz * r#;:H:-rn:.*T#- ") #:yer+e -rn(y -Cl J.r; ff:tt'*'ri",*o +i\.
11. sx se arate cd rf e con'inux qi admite deii'ate parliale in (0.0):
f k,il : { ,r"" +,y2) sin;rn! , @.il + (0, o)
I U' (,r,y): (0,0)Rezolvat'et
r,,olTio.o r(# + y2.1sin *+F: 0 : /i'0,0). fiind produsul dirrtreo fu'c1ie cu limita 0 gi urra'rbrgirritd =+ .f este coniinrrd.Din defini{i., # (0.0' : Ji,lelizuut
j lllf,;;,5:0; ff io,o; :
1i,r, /(o'v)-.l(o'E -- iirqg sin j : g.A-+0 ! a-ru e
L2, sx se caiculeze de'ivata. dupr! direciia s in punctur o,#(a).'ridet@,y) - gr2 *y2, s: (].1\it,tir,5; gi a: (t,1),por-nind cle la defini1ie.Indicalie: #O: l5/s.+-l@ : J1,drc*r?=Ia]:
13. s,{ se arate cE / nu e continud in (0.0) . dar are derir,ate clupd oricedirec{ie in (0. 0) ; / (e,.y') : #, (*, y) * (0,0) $i / (0,0) = 0.Rezolr,'are: Fie doub gir.uri dubie care tind la (0, B) , (rn,An) : (*,*) qi
@L,vL): (#,*) * "f l*,",e,) : =T,
-+ N,; f (x,,,a,.') :] si cieci / nu arelirnitd in (0,0) =+ / nu e co'tinud rrrfo. fr. rorrgi 7 u.u'a.ri.,at5 in (0. r)) dupxorice direc:lie s - (sr,-*z). Astfel. #$.0) : lsfei;l{ge :11*i(r-"r_.r"r)^_
mdtg : $ n"rrrru sz l0 qi dupd, direclia versoruluj (sr,0) : (1,0),
# io, tl) : lslg?q : 0. Aqadar / are gi deri'are par{iaie in (0,0) .
^ tX.
rttur,{ (r,,a,r) - 2*'y - gz2.Calculdrn deri'ata lui / dupX direclia
s -- I,i,5,-ij in punctul o: (L.1,2').
|e1ltrare'^,#: +ra-;H:2r2 -,';H: -2'az, iar $ (a):.#(o)", *ffir,,)'r+ff(o)ss_t.
-
15. Fie iunc\rr\e j (".u) : I *gO' (1'') + (:'0)\ u, (*,g) : (0,0) Er
_g_r-;:-; )\/:t.+A.0.
I,ECTIA 7OJ
,i
i
I
I1I,i:
':. \
i
\
\I
tii,it,r) :
{(r,y) I (0,0)
(r, u) : (0,0)
.ftil
..,..,-H
54LECTIA 7
a) Sil se s\,udieze c,ontirrlitatea'r
b) S6" se arate .6 H" %{ "*i*t6 in orice punct ilin R2i
c) Calculali #(o,o), Vs.
16. SX se calculeze derivatele par:tiale ale lui I- (r,A) : g (2r2 - ftAz)in (1,0) unde g este funcgie derivabil5 (de o singurd rariabild,) gi sd se aflediferenliala hii F, d,F' (1, 0).Rezolvare: Notdm n:2r2 - na2tBf : ##: H: ar -a2 + # (t,o) :#,tzl # (r,0] :4#e); H - -2ra; ffi (r,o; :-ra e)#(1,0) :-0.dF (r,o) : # Q,o) d,r + ffi 0,0) d,y : 4st (2) dr.
17. SX se calculeze derivatele parliale ale urrndtoarelor funclii in punctulcurent gi punctele specificate.a) f (r, u, z) : 2r2yz3 - Srga z5 - 2xy2 z inti) f {r,g: JT:F -F ic) f (r, s) : 1/FTf, sin f; in (0, ')e) /(r, ?),2):lnreA"z' in (e,1,e)e) f @,u, z) : 12+y2z+rln(y*a) in (1,1.1).in (1,1).
(1,2, 1)
d) f (r,a): arctg #f) f (r,!J,z): e"+a'sin2 zlr) /(c,9) : arctg Frtn
R: a) -48';1.02;-236 c) 1;0 u) * + I;e * 1;1 S) 2 * In 2;512;Sl2 h) 0,1; -0,2.S5, se afle diferenliala fiec6rei funclii in punctul curenl;.
I-8. a) SX, se arate c[ / admite derivatd dup6 orice direclie in punctul
(o,o) : f (r,a):{ fu, \',Y) l(o,o)I o, (r,a): (o,o)
b) SH se afle clerir.atele parlia,le de ordinul I in (0,0) .
c) Afla[i derivata lui I dupd clireclia " : (4,])
" punctut (1,0) .
R: a,) # Q,o) : sls2; b) o;0 ;4 H(1,0) : +.19. Se d5 F (r,il : g (*,^- a! ,e"-u1, cu g € C1(R2). Calcula{i # e,D .
Rezolvare: Notdur cu ?.r : ,2 -U'qi ?.r =, er-9. Atunci r.egula ',lantrului; pentruderivareaofunc{iilor de mai mr-rlte variabile se va scrie ff : HW + HH *ffi Q,1) : H (3,e) 2rl6.u;:12,r; + H $,") "'-altu,y,:,r*i
: f*"(u,4";""
"ffi1s,"y.20. Se d5. z: nuf (rz -g?) , unde / este o funclie cle o singurd var-iabil5
de clasd Cl. 56 se arate cd, r,g2ft * *ru# : (*, + a2) ".Rezolvarei z : z (n,y) qi not5m LL: fi2 - 'g2 + *#: af (") + naf, @) #;0z-ffi : *f (") + raf' @) ft. nu, H :2*; * :"&: -zuRezult6 ra2# +
"ty7;?;8i : @at v rta) f fu) + f' (u) (r'yt .2r - n3s2 .2a).ra (n2 + y2) f @) : ("'t + y')
".
.--+rot'tJ : - (an- \at
LECTIA 7
sa, sd se afle cu aproximatie:a) 1,002 . 2,0032 . 3,0043 b) \AotsTT. eF
24. DacX u: u(n) si u : o(r) sunt functii derivabile pe o multime
desclrisd din lR, s5, se calculeze ft in functie de u qi tr:
") f (r) : J;'+ u2 b) /(") : arctg 3.
21. Se d5, g - 'p(ry,n2 +gz -^")' unde P("'') este diferen{iabilH' Sd' se
arate c6, *rfua*- gtfr + ("' - s') '&: o'
Rezokaxe.. Brrnc\ra g es\e o to$$\}\ele\n\re. tu'rc\'u 9 de {ou[" \a,I\tb{e Ei
tunctia cu dou6" cornponen\e $'t) = \*l 'f + f - t\ trectlre {e\te\trur\u\\\e
independente =+ g . g(f,a,r). Cu regrrla lanluluj de derivare a tunclrilor
compuse, rezuttd: H :'H* + HH : aH + zrffi; H : H,H * H# :*H + zu$; H : W# + H# : -ztff +' Inmullind fiecare derivatfl cu
coeficientul prezent in ecualia datX., obtrinlm "r# - r"H -, (*' - y') H :0.22. se se arate c5 lrmH,toarele func$ii verificb ecuatia specificatx:
a) z : (*' -v2) hr ffi, "k * a# : z,
b) z: {FTF(lns - lnr), *H + a#: ,tr4ai general, sd .se arat,e cd o funclie i @,U) cu proprietatea cE oricare ar fit € IR., f (tr,ty):tPf (r,il,Yr,A numiti funclie omogend de grad p, r'erifica
*H+uH:pf(n,il.23. Inlocuind cregterea. unei funclii f (*,,a, z)- f (ro,yo,zs) prin diferenliala
25. SX se afle cierivateie parliale ale funcliei z: f (u,r), unde u : x*A,,r : t)2 + 92 in funclie de cele ale lui /.Inrlicalie i z va depinde de dou5, variabile ^irldependente r, g. Regula " lantului"devine k: H# * H#t ffi: H# + Hft.
26. SX se arate cli funcliile urmd,toare verific[ ecuatiile date(Atentrie! / este func(ie derivabil5 de o singur'5, variabilS).a) z : f (bn * ay), o,# +Uffi :ab) z: f (r2 +u2) , a*- *ffi:oc) ":({F+V-,) r(#) , *#+aH:ffid) e: pf (tnp+q, pgi-%:te) z : n" f (#),
"8i * rrffi: ?zz unde n e fixat.
27. Sd se calculeze divergenla qi rotorul rlrpn6toat'elor c6,mpuri vectoriale:
a) ?: y"i +*rj t-*u?, u)"t': @'+rz\:i? +@2 -uz)l .
-d : Pi +ai+R?, div ? : W +H +# : o qiRezolvar
-#)r-r#-%:)i*(# -ffi)re: a) Not5,m-.) -) -JlJt{aaamNa;P A R
LECTIA 7
28. Folosinrl lrifaple, sir se arate r:d ? : frH*$ "rt" solenoidal(adic5 div ? : 0) qi irota(ional in R3 \ {(0,0, t)}
Indicagie:l
I
tl
r :- l.x. y, zl
n::yFqgzqp"
",.-l r vu.-l-
L@' + ttz + zzl{t1z)' (r2 + a2 + zz)(3/i)',
. )._ 3r2 at Baz('::-rfit4* O{A- nf,nyo! :: r.2 + u2 + z2
0
> rot:=curl(v,r);rot :: [0, 0, 0]
(*2+A2+22)(3i2)
322- %Fn
LecIia 8
Derivate partiale de ordinsuperior. Extreme locale
1. SX se arate c6, f ln,y)
{J-2ffi*g#:o^tRezoh'are, H: !/iTA+ffi
e(#l: rfu*W:ffi-i@ril-t+t;#:&verificatS.
2. Fie / (r,g) - ra+ !- f si o: (1,2). Calculali hessiana Hf (") qi
diferenrriala de ordinul II in punctul curent.
R.zol'are, H : a - i, - i, H : n * ft, #,u, : #*B2l
- 2.._--.
ol.TaI
iar FIy (1.2)
d'f (*,a)
ff @'a)'z .
3. SX se arate pornind de Ia defini{ie. cX (0,0) este punct de minim localpentru f (r,il: s2 *A2,d,ar nu qi pentru g(r, A):A2 -12.Rezoh'are: Intr-adevhr, .f(r,g) > 0: /(0,0) gi originea devine punct de
miniur global. Apoi 9(.2,0) : *il < 9(0,0) == g pentru n *o qi g(0,9) :
A2 > g(0,0) pentrvg * 0. Deci in orice vecindtate a originii. existd, puncte
unde ia va\ori mai mari gi puncte und"e ia valori mai rnici d,ec6,t in origine'
Astfel originea nu este punct de extrem local pentru g'
4. Aflali punctele de extrern local pentru .f : lR2 -+ lR'
: ftJr+a + a@+a) verificd ecuatia
+a; ?# =. ffi+r*2a + fnt :B -y u .eL- afel\
+7;+7 ' atr*r)f t oxos as \Ecl -(H) : -r(.+a)-E *2 + Ecualia e
:1-F 4:
:(fuffi)\ a;at 6F
'+ z (r * #) drd,s -
*3 : -$. l,tatricea hessian6 este Ht@,a)oa' v"
,:(? 1*)= ffi {a*)' +zffiaraa + {# @il' : $ (d'r)
57
LECTIA 8
o) f (",g) :2r3 - 6nA + 3gz\r) f (r,g) : c'U (o - ic - g) unde a > O-
d.oo\.r."e: a) f e C* gf condi\ir\e necesare de exttem s'tlrrt S : H : 0 g
{ ffi :T*.?;t, * I ; :l,l :i puncbe}ecritice M, (0,0) ;M2 (1,1)
penrru ry'l hessia'aeste Hr (^,r,) : ('* W )lr, : (:; ;t ) lr, =
( i. ;t ) + Idinorii diagonali sunt Ar : 0;42 : -36 < 0.
tieci (0, O) este punct qa.
Pentru I12 un calcul sirnilar ne d[ Hr Qvt2): ( l', ;t ) =+ Ar : t2 > 0;
A2 : L2'6 - 36 > 0, aqadar (1,1) este punct de rninim local.
b) Punem condi6iile necesare de extrem, { ffi :
2 o [' \a - 2n- gl : 0-''; [ ff:o - t "("-r-Za):oqi se obqin punctele critice ($, fi) ; (0, o) ; (o, 0) ; (0, 0) .
Ilessiana lui / in punctul curent,/ B'-f- a2l \ / n-.Hr: I W. W,, \## ,f ):(;'!r@+a)\;:(r+Y))=*
/-2" -g \ur (3,3) : (:fl _+ )areminoriiAl: -{e (0,42: ef > o=+
($,fr) punct de maxim local./-r^ -^\Hf (0,") : (_ _; 0- )areminoriiAr: -2aK0,Az:*a2 <0=+ (0,a)
este punct ga. La fel este qi (a,0) pentru cX / este simetricd in o qi gr.
Hr (0,,0): ( : fi ) *" urinorul Az: -.a2 <0=+ (0,0) este tot punct qa,
a,gadar / admite un unic punct de exirem.5. SA se calculeze laplacianul funcltiei u: f (r) , , : yGFW + i,
Rezolvarez LL_ u(r,a,z) este o compunere dintre / funclie de o variabilS. qi
r de trei i,ariabile * .t,, : W + W + #.H : f' @ H : f' (r) ffi* - f' (r)?t H : f' (r) H : f' (r) ffi;#":l'iv fu:B?: f"(,,)*ffi+ f'(r)=# D* # - f =+ f#: f"(d?7+f, (r)t{ Ei # : f,, @iX + f, (r)t#,{# : f,, (,) # * f, ?)t#.InsumS,nd, oblinem A,u: f" {r) + ?f' (r),
6. S5, se calculeze aproxinrarea pS,tratic5 a lui f (*,il : ra in jurul lui
59LEc'l"lA 8
(1,2) qi d2 f (L,2).
Rezolvare: .f (r, a) = f(1,2) + H(t',2)(* - 1) + ff (1'2) (v - 2)+
-l (H (r,r) (" -"if ; %$ tr,?itl - zY + ?ffi !.,q \-
- \ $
- r\Aflfim derivate\e par\ia\e in punctul curent: H - g#-\iS _ t!\nri## : a@-r)sa-2. #e : ,a-r(L*ylnr); W : nurr'2x +f (r,y) - 1 * 2(* * 1)+ +(n - 1)' + (c - t)(y - z).
Diferenliala de ordin II in punctul curent este d2l : # @r)' +Zffidndy +
ffi taU)'gi inlocuind derivatele parliale in punctul (L,2), rezult6 a2 i 1t,21 :2@s)2 * Zdndy.
7. Sd se calculeze derivatele partiale de ordirrul II in punctele indicate:a) f (r,a) : (*' + at)arctg f in (1, 1) R, $ * 1;0; t - Ib) / (", v) :ln(2rv) in (3,5) R: -$; $;oc) f (r.,a) :5ra2 - 7*2u * 823 in (o,b) R: 48a - L4b;10b - tfia;L}a.d) / (", y) : (*2 + a\2 in (r, y) R: t}n2 +4g2;8r1; I2y2 +4r2;e) f (n,U,z):ln(r*g+z) in(n,g,z) R: Toatesunt-(rf a*z)-2.
8. a) SE se calculez" #&r#&t{# pentru f (r,a,z) : arcsinf , pe
domeniul fr,U,2 t 0,5 a 1
R: jz--=: *' ,, !'" ,(r2 -a2 z2)E' @z-azz2)i' (*_az zz\i
b) Aflati #{r,,#u, pentru f :e-,us\nz.Rz e-,u (*A _ 1)cos z
c) Aflali {Jt ffi pentru "f : sin (2r + il .
9. Sd se calculeze diferenliala de ordinul II a funcliilor:a) f:e"+a2 Hz d2 f : e' (d,n)2 + 2(dy)2b) u: ry*gzlzr Rz d,zu:2(dgdy*dydz*dzdn).
1-0. SH, se calculeze laplacianul fuucliilor, dac5, "f qi p sunt de clas5 C2.Apoi sX se afle f Ai p dard" z este funclie armonicX.a) z:p(*2 +a2) R: Az: utp"(u)*4v,fu);u- n2 +y2b) z: f ("il, R: Az : f"@a)(*2 +a2).
11. S5 se calculeze laplacianui lui z, dacd / este de clas6, C2 :
z - f (u,u), u : frz * a2,u : naR: Az:nu#+8uffi+"#+4H.
L2. Sd se arate cd funcliile date verificd ecua[iile specificate:a) u : nf (n+ s) + ag @ + il ; S? - 2#gi + {iV : o
b) u:13. Utilizd,nd formula lui Taylor,
a) calculali aproximarea p5tratic5. a lui /(r, IJ) : e3's in jurul lui (1,0) qidiferen[iala de ordin II in (1,0), d2l(1,0).
LECTIA e
R: /(r,v) = 1 +3y.+ *[c(" -t)y+ea2)si dzf(1,0; - 6d.xdy+e(dy]2b) sd se dezvolte f (r,i)-: "'siny in jurul lli (b,Oj panX la poliinom Tarvlorde gradul III.R: / (c, y) = y * ny * t G"tU - at)c) sd se afle aproximarea liniard a lui / t*,y): r ccs A*Asinr in jurul lli (0, n)gi sd se estimeze eroarea absolutd pe domeniul D : l"l s o, or; ly - a-f < 0,01.R: / (r, u) = kr - 1)r; eroa.rea absor.utx a aproximirii tir,i*. u t,ri I ir, 3u.ujlui(o1,oz)p.Deste lplS #(*-orl* ly_o,r'i)r,A{: sup l"%lse obline lEl s 2,02.1g-t 'eDJQi'i<2!o''d) afla{i liniarizarea funcliei f (n,y,z): r - x:y+Bsinz in jurul lui (2,1,0)qi o estimare a erorii absolute pe doureniul D: lr_Zl< 0.01; Iy _Il( 0,01;lef <o,ot. '-:td -riR: / (r, a', z) = 3r - 2y * 3z - 2: eroarea absolutx a aproximErii liniale a, luif pe D, in jurul 1ui,(a1, az,os) este 16r < Y Q" - o.rl * la - ozl * l" -rrtir-,,lf : _^s.up l#hl. nezurtx lE'i s 0,000e.
r€D,l<i,j{3 Iv'L7v&J | ' i
14. sa se determine punctele critice ale functriilor u'm5,toare:a) f (r,a): Br3 * y3 - 4rs R: (0, o);ef Z,t/S)b) f(*,il:@*y)e-,2-a2 *, (+r€,=ryt)c) f (n,a,z): 12 +2y2 * 422 -2*y - aa) R: iz" r.nlz).e € lRd) /(f,a,z):r+a* z*e-s*s-z R: {r +y,+z-0;}.
15. Aflali punctele de extreur local pentru f :
a) "f
(r, y) : ry - *r,- q, -- 2, - 2y 4- 4 R: (_2, _2) pu'ct de maximb) f (.*,U) :1 * e-"-a'"i r @,;;:,n +aI *'(fb])J]ilil'd) / (r, a) : *au-t# R: (1,1) , (-1, -r) pu'cte de maxim;(1, -1) , (-1, 1) puncte de urinirne) /(;r, y) : xa+ * + i, (r,y > 0) R: (r/2,4) minimf) f (*,y):ratn(rz+a2) * 0/viu,I/",,6) minimpl { !", a,r): (*, + a2 . 1) e-"'. R: (0,0,0) minimtr) / (r, uuz) : 4ryz - *n - aa -' 24 R: (1, 1, l) nraxim.16. Sd se determine hessiana funcliei. f (r,y) :'(r2 + y2)e*x2-a2,folosind Maple; idern pentru /(r, U, z) -: Br2 + Zyi + A2 + 6*,r."
/ "
Indicatie:
\1 . $e tere g\ht\ru\ sillruie\ei r = #f *ou ft +T to\osrnd Map\e. sb,
se deterrnine, daca existX puncte de cotx, uraxirnS, sau minim6.
LecIia I
Rrnctii implicite. Extreme culegS.turi. SchiurbHri devariabile.
1. SX se efectueze schimbarea de r.ariabild a: : tg t irr ecualia, diferenlial5(t + 1212 y" (r) + 2n (L + *r) a' @)* y (z) : s.Rezolvare: \bm tra,nsforma ecualia diferenlialb, trecd.nd de la r,-ariabilar, --+ t prin schirnbarea de coordonate r (.t) - tg t (bijectiv5,, cie clas6 C1pe un deschis). Not6m y (n) : a @ (t)): 0 (t) .
Aff5.m culn se vor schimba derivatele in raport cu noua variabilX.
a' (r) : # : ## : 4E# : 4fi cos2 t. Agadar regula cu care se vor calcula
derivatele de ordin superior este f; : fi cos2 t .
y" (r): * (#) : *(#"n.,r) cos2r : (#.os2r - 2sintcc,st$) cos2r.
Ecualia inilial5 <levine in variabila t : (1 + tg2t)2 cos3 f (n# ""rt - 2flrsin t)+ztst (1 +tg2t)ff.os2t+a(t) = 0 <+ i" (t)+f (r):0.
2, Ce devine ecualia "ffi -AH:0, z: z(r,y) trecfind la coordonate
polare { ":P"'?*! Ir--*-- t Y:PsindRezolvare: Funclia z (r,,y) : z (r (p,0) ,y (p,0))E Z fu,0)+ ffi: ## * ##: ff cos o + ffisinoffi : doiffi n ftft - -psinoft * ocosoftNflb.m k,Bi din sis\emu\ preceden\, in tune.\re :" B Ei Eob\\n; H : "o*0R - Y% ., lar $r.-.-:'0RJ,*ruF 7 Pltru ca\curu\
derivatelor de ordin mai urare se vor folclsi folmulele cie derivare
# ==;;*:*#,i* #:ut,, e#* ;''#61
62 LBCTIA 9
Ecua{ia clevine: pcos0 (ti"effi + ry#) : psing (r"*rffi - Yffi) *%l:o,.Yp,0 ++z: J (p).o J eCl tulcgearbi\rarL* z(r,g): f \* +f),,VJ e Cr.
3. Ce devine expresia E : (o, + *r),U,, (r) * ryt (r) dup!, schirnbarea derariabilX :x : a. sh (t) unde a € IR '!
Rezolvare: Not5m i(t):A@O); unde r(t): a.sh(t).cum se 'or schimba derir,'atele in raport cu noua variabilx?y'(n) : #: ## : ## : ## Aqadar r"*,riu cu care se vor calculaderivatele de ordin superior este S : # "*6 . "
a" @) : *(#) = #(#r*6) "*" : fty"#6 - ##&. rnrocuim
deri'atele in .E qi {inem cont, cd ch2t - sh.2t: L + E: (a2ch2t) (#"**#?;mt) *"n (t)g#:#.
4. tansformati ecua{ia (z * y)k-@-il8;:O,dacdse trecela vari_abilele u : ln JFTF gi u : arctg c iRezolvare: Not5,m iu i1u,o) : *"(l,a) w ,tr : 11" 1n,a) ;1) : 1) (*,il date delegile anterioare care repre:t":U "trff*Hri O",..1.frifX. f"tr_.iu.er, .taco_
bianultransfo''driiesre #*:l n w, l:l"TF *V l: -1 r0.
ft : ffi* + F,P, : ##* *'M'% :ffi *-ff:t ** -K?-fu Intocuim in ecualie !i ou1i.,"* "K;
K: 0. "
5. Ce devine ecualia *3rrtr (") + rA, @) - A : 0 dup|, schimbarea devariabild r: et '!R'*,? *r#+zH- u:0.
6. Sd se transfclrrne ccualiile:il "tft.: O'# :, dacd se trece la var:iabilele u : I qi u : rg.R: zrffi: ffi 3
b) ecrralia lui Laplac. # + {# :O in coordonate polare (p,0).H,#"ifui"p:o " i
7. Sd se transforme expresiA diferentr iald E : :*u, unde A : A (z) , dac5,( r: ocoso ' *+aY'
t r:;"*; ,P:Pts)'R: .E : 49Jp.\o )
8. Ardtati cx pentru w : f (u,r) care satisface ecualia lui Laplace a2f ,
6L-z -ra2a t
##:ocuu:*';a3Tu,u : ny rezvltd cE u satisface ffi + K# : O.tt2u , D2u
9. sx se arate cb inrr-o vecinxtate a lui (1, 1, 1) , u.,ru1iu impticita F (n,y, z) =r'az+rn(bgz)*L: 0 defi.negte funclia z: '"@,i) qi s6'se afle
LECTTA e
r.ii
i:-:
i:+irii:
#(r,t) qi ff (1,1).flezolvarui"Fie D: t(r'g,z\ryz >0) domeniul lui F. F(1'1,1) :0, iar
S\r,r.,r) - r! +\\ur*l -2 +t, F eck \D),,k Z\ + S\V t\ [$ qr
U eY (1) qi o funclie unicX z: f (*,A) € Ck,l :V -+ U cu .f (1,1) : 1, iarF (r,y, f @,aD : 0, V (n,g) e lr.Derivdm partial
. in raport cu r in ecualia implicitd, lindnd cont cd,
z : f (r,il g . z@,'il qi rezult5: yz + rak + * + *# : 0 +
H : -i,Y (x,il € I,i In particular, # e,1) : -1."Deriv5,m in raport cu y aceea{i relalie qi.btrine'r rz+nyfr+ i + Ift:o *H: -; ai # (1, r) : -1.
10. Afl,ati # i" (1, 1, 1) dacx ecua\ia ry * z3r - 2yz: 0 defineqte z cafunclie de doud variabile independente r,y.Rezolvare: Notdrn F(r,,A,z) : ny * z3r - 2A-z; l'(1,1,1) : 0. T.eorernafuncliilor implicite a,firmx c6 in punctele in
"ure ff I 0, adicd zz2x _ 2a # o,existE local o unicd funclie z (n,a) care verific5 ecuatria datx,. punctul 1i, t, r;verificx aceastx condilie. $tiind acum c6. z: z(n,,a) in ecualia iniliald, de_riv6,m par{ia} in raport cu rD + A* 2.3 +Jz2ffin _2AH:0 + H: ffi,pentru punctul A't (L,1,1) rezult| #lno: -1.
1L. Se dX sisiemul de ecualii funciionale:
Ir'+nz*r'gz-r\ "t+a2+"2:2
(e.1)
In ce puncte sistemul definegte z : z(c) qi a : y(c) ? sx,se calculeze cler.ivatelede ordin I ale acestor ftinclii in (1, 1,0) .
Rezolvare: Fie Fr (r,U, z) : 12 +rz*ryz- 1 si Fz(n,U, z) : * +y2 + z2 _z$i (ro, ao,zo) o solulie a sisternului (9.1) a.i. p$W (ro,go,"o) f 0. Ultima
condi(ie devine l;l? 12+xcuo If o # ro(rl-aE-ao)# 0 qi se poare
aplica teorema flrr"triito. implicite,'adicd in vecindtatea unui astfel de punctse pot explicita z: z (r) Si A: y@).Derir'5.m ecua{iile (9.1) in raport cu r; =+ 21 4- z * rzt (") + gz * rz,yt (") +rgz' (r) : 0 qi 2n + 2yyt(r) + 2zzt (u): 0. Sistemul este liniar in raport cuderivatele qi obtrinern 7t - 2*strg+"y2=f2z + z,(t) * -1; A,(I): _t.
.12. _a) Afla{i fr dac:E,
"":ft;t";- ln z : lt * u defineqre z ca tunclie der li ^9.
In ce puncte ecua,lia impiicit5, defineqte z : z (r,il?R: 9z - --z-or Az-lb) Ecualia l-n-A2 -sinry:0 defineqte y* lA@). Aflali y,(r) in punctul(0,1) . R: -1 i-' '
13. a) Ecualia irnplicitd Zr2 +A2 - gg: 0 ,lefineqte furrc{ia g : g(r) pe ovecindtate a l'i (1,2) . SX se calculeze,gt qi gtl in acest punct.
64J- LECTIA 9 ,ii
b) Sd se calculez k,ff tentm funclia#+a2+23+32:0.
impiicit prin rela{ia
L4. R.elalia ar*bg*cz: f ("2 +A,+rr), "f e Ci, defineqteirnplicitz : z (*,g). Sd se arate c6" (bz - cy) K + @ - az) #o : oO - bx.
15. Relalia ?(r + i,y * i) :0 cu rp e c1 define"ste e : z (r,y) implicit.SX se arate cd rffi + a# : 2 - na:
16. se d6 sistemul de ecualii implicire {:r-ii1*U"*:u!:r. rn ce
puncte sisternul defineqte z gi u, ca funr:lii de r si gr? Aflali #, #, H, W.L7. a) Se cer punctele oe extrem local ale funcliei y(r) dxl, implicit prin
relalia n3 + as - 3ry : 6.
b) Aceea,qi cerinlX pentru zi,r,y) definitd implicit prin ecualia 12 +2y2 + z2 -4z * 3: 0. Dati interpreta;:e geometripd problemei.R: a) (W, W) punct de maxim; Refrezintd p:lrrctul cu ordonata maximdlocal, de pe curba dat5.b) (0,0, 1) punct de rninim locai; (0,0,3) maxim local. Sunt puncte de cot6nraxim6, respectiv minimd. situate pe suprafata, resirectivS,.
L8. SX se deterrnine extrenrele lui / (*,A, ")
: r*A* z cu legS,tura ryz : 8.Rezolvare: Folosirn metorla multiplicatorilor lui Lagrange. Funclia lui La-grange este lI (*,y, r) : n * y + z * \(*yz- 8) . Scriern condilia necesar[ deextrern
( aF-aF- aF f 1+)Yz:oI a; - W -6;:o .* J 1-l)'rz:0 r*[ ":a:z:2lcyz:8 - i 1+)rU:0 -lf :-i
I xYz:8A5adar (2,2,2) este punct critic pentru ) : -1.f#: gF -: g#:o;ffi - \z;#&: xv;{# -.\v + d2F(2,2,21 :-(drdy * dsdz * dzdn). ,
Diferenliem legdtura :+ d(rgz) : 0 in (2,2,2) ++ yzda * xzdy*nAdzlp.z,z) : 0 # dz : - (h *,ty) qi inlocuim in diferenliala de ordin II.Rezutrd d2F (2,2,,2) : *ldndy - (d, + d,il21: (d,r)z + (,ty)z * d,nd,y > 0.Aqadar (2,2.2) este punct de ninim.
19. Afla\i extreme\e tunc\iei f (*'g) - 13 * !3 cu lega\ura 12 + U2 = 2,
r,!) t.Rezolvare: luncga\uilagrange es\e F \",U) '= T3*!3 +)W + f - 2) pen-
f 0F -
BF -{)
tru care aflx,m punctele critice. Acestea verificS' \F ; F;,"r, y t o ++,,
i
t!
iz (r,
{f 1
aate
LECTIA e
( Jr2 *2r.\-o , A,
l;;"+;;;:; -:. { .,flf -?'o :+}:-g; :,:a:l
["'+a2:2,r,U]g I A':=4
calculxm derivatele parliale de ordi'II pentru,\ - -$. Astfel *3G,,t):6r - 3-l,r,r, - g;
W(1, t) : 6y - Bl(r,r) :'A; ffi(i, i; : o + Difllerritutuo"ordin II a lui F in (1,1) pentru ,l : -i esre d2f'(1,1) : 3(d.r)2 * 3 (dy)2 estepozitiv definitd qi deci (1,1) este punct de minim local pentru / cu iegdturadat5,.
20. Sd se determine punctele de extrem cu legdturi perntru funcliiie urmd-toare, folosincl multiplicatorii Lagrange:a) f(r,a):x2*E2 ctlegbtura n*y-I'b) f (*',U,2): r -2y t2z ctt legitura 12 +2g2 + z2 :Iic) l@,U,z):r-fy* z culeg5turileg.2 +y2 + z2:L,**2y*2z:L.R: a) (I/2,rlz) punct de minim; b) (-#, h,-h) miniml (-A,-#,h)maximr
") (-3,$, $) rninim; (1,0,0) maxim.21. a)a.flati extremele funcliei f (",0:3n-y*6 pe cercul t2 +y2 :4
1 (^-rG , ,E) punct cle minim, (ur\,1€) ou,,"t de maxim.b) Aflali cel mai apropiat qi cel mai'dep5rtat puncte de origine pe curba deinterser:lie a planului n * A * z : 1 cu cilindrul 12 *.A2 : I.R: In (1,0,0) , (0, 1,O).se atinge minimul funcliei f : 12 + A2 + z2:t" (-;b, -h,\+',/t) se atinge tnaximul.
^ 22. a) Aflati maximui qi minimul absolut pentru f (x,il : 2 * 2r a 2y _,2-y2 pe domeniul triunghiularmlrginit de drepteleo:0, A:0,A:g-r.R:mmrf:A;min/:--61.b) Aflali punctele de extrem absol't pentru f (r,y) - (4r-r2) cosy pedonreniui dreptunghiular 1 1 r { J, lAl S i.,R: mu:/:4 se atinge in (2,0), iar rnin/ : +, in punctele (e,*i),(f ,*i) .
23. Se dau punctele Pt(rt,yi),i : L4 S5. se
afle ecrratia dreptei L , U : an * b cu g,ropri6latil4
G (a,b) :
D fuu -- afri - b)2 atinge valoarea minim6. Dreapta obqinut6 se numeqte dreaptai=1de regrr:sie a lui Gauss asociatX tabelului de val:ri dat.
Ii I 2 3 4
At 1 J 4 rU
ca la
Leclia 10
rntegrale improprii: rntegrarecu parametri. F\rncfiileGamma qi Beta
i
1. S5 se studieze conver.gen{a integralelor:. r* dn ft d.r
- r* d.r rt d,r ft dr
i4f-l+d:'; t') / F';.'J' #a q l,'Jffi;;u) Jo u67'
" Ju w+a;g J, ;ffiRezolvare: a) [*
dr rb th
n f2, deciinr.g,{lu .lr:R;,:Hr/: ;F : JIL arctg rlS :
figarctg b:
b) Punctul sirrgular al funcliei este z = I =+ [' . O,
,: li'r [, _0, :_ Jor_:rz i,]ilo1_j'-i i:i (t" H)1,--, : oo, aqaclar este di'ersentii ;
c) hitegrala este de tipulJ (pe intenzal nemdrginii). Folosind criteriul practiccle
;3nversenl;, *$L #?: 1 irentru o : i r'rrrintugrutu rezultd conver_gent5.
functie nerndrginitX cu punctul singularde convergenfi,
ilj?# : r p".tru
e) lirnH=* ' , -zr-* 1
;?i {t * nE -u lim (1 + r;-* (r + r2)-* : Tfu
o",rrr,, o ( 1, deci inte-grala este convergentd.
d) lntegrala este de tipui II, (dinr : 0). Folosind criteriul practic
q : t < 1, a,qadar este conrrerge:ntH,.
LBCTIA i0
f) I -- It * 12, I7: d 1ffA,I2:fu,tr: { 1ff", dacd ambele surtt convergente
0 t*'* \Pr\ma, es\e de \\p \\,, cea\a\\[" &e \\P \.J (") - Tfi; > 0. Ap\ic[m criteriu\ practic de convergen$ penlru 11., sin.
gularitatea fiind in ,r : 0, anume liqi lci';-- "-* nrr, -l-r- : 1. Cum
a < r* 11 este conrrergentd. c-+0+' ' vcl-ro c--t'+'+tt
Pentnr 12 care este irnproprie de tip I, ,lgg"" u5f,;s' o=3 1, a ) 1 * rz este
convergentd gi deci / este C.\z f* dx [2 d.r f* drE)t: J, ;m: Jr;ffi*J, #:It*-I2,prima
fiind integrald improprie de tip Ii (din funclie nem6rginitd),lirn/(r) : *,tlI
iar a doua este improprie de tip I. ,I este convergentd dacd \ qi 12 sunt con-(x - l)" o=i 1vergente. Pentru 11 &\€m 1i* '* , il .
*:r-+is)l
este convergentx. Pt. -I2 &r,€m "tffg;i#=
o=2 r, a, > 1 gi deci 12 este
convergentS.
2. a) Este convergentd integr-ala 7 : isin( rz)d,r ? Dar f sin1r21ar ttgb) o integral5 irnproprie dintr-o func{ie cornplexx de forma !i"@) +i,a(r)ld,n,cu 1..tr)Ir funclii reale, este convergentS, cdnd partea reald,, relpectir, imaginard
sunt convergente. Ce puteli spune despre f "0"" d* ?
0Rezoh'are: a) cu schirnbarea de r.ariabiid. z2 =" t + 2rdr - d.t e dn: #,integrala devine t - *T "#Otclac6 este C. Folosim criteriul lui Abei pentruo uL \/t
integrale improprii ale funcliilor cu seru.n rariabil, t ,4 sin f are semn variabiiqi orice prirnitir'[ a sa este m6rginitd.; s $) : ft descreqte qi tinde la 0 pentru
co oot -+ oo. Aqadar ! f (t)g@at: I *at este C =+ l este convergentd.
1 I v!ooloo
/sin(r2)d* : f sin(r2)du+ ! sin(r2)dn este corrvergentd, prima fiind inte-091gral6 definit5..
oo
i, j sin(r2)dr. Partea0
c>l
0
imaginarX a fost studiatd. Analog, cu
b)
oo
Utilizxm formula lui Euler: @ Rezult6 | "or'd,r:! cos(r2)dr +0
LECTIA io LECTIA 1069
Rezolvare : a) Ar.dnd punctul singular r
criteriul lui Abel se deduce gi convergenla pXrlii reale.
3. Sd se studieze convergenla gi sd. se calculeze:
a) /tl,,1r -r)dr; b) ft i'#4a*; c) i'-.L,'Jo- Jo t/1,-nl 'Jt rlfi'5-2sj'q l, #*, o l:,'.#h, n { ;ffigr
./* 2x f€ 2r') J-,"T -spd'r: lim l -=idr: - -linr ln (l + ,\l_.. :
1 J_.2 €'sl-)')o J-r, I + *' e'eiJoo ^" t ) t-€7
: Jim llr^''.,Jiit "' 1 + 4 care ilu existd (luAnd €t : 2e qi apoi €1 : 3e oblinem
valori diferite ale limitei). Deci integrala este di'ergentd, dar observdrn ci, in-tegrala este converge'td in se'sul l-ar.rii principale. adir - [* 2r:aLp'
J_*,TTrrd*:J* I:,ff*a,: JIg tn (1 + ,')l'-,: o
f ) li,o "e
ut"t8 " 7i
'r ;:A- (t;;F :
, deci integrala este eottvergentd (a:3, tip I). Cu
substitulia arctrg x : t, arrem , /o* ffffFr*
: Int ;*dt
_ri.+ftl
- Jo-
f cosf d,t =: f sirrfi,i- - jr'sintdf : ln --L4. SA se studieze convergen[a, qi sX se caiculeze:
u) fo* " sinbrdr,a ) 0; in particul ur,
fo* e-o,dtr,a.) 0; ,,
[ ,[*0.,,|,*;*pa'; d) !,t#, "i l"'r#nR a') a.#; b) Fa,cem substirulia t :
\f*qi oblinern
c) f : [ - ln 2; d) Integrala este convergentd ,si egalX culnr : t); e) dii,-ergentd cu singularitate in r : 0.
5. Si se studieze convergenla gi s6 se calculeze:, fl d.:r4 l, #*, R,f -arcsing b) l,'ffia.; R: -1;
o I:;h,R'# ilI#,*; v4&
E fr' g:#dr:
R: r : t6;, : (+ - +-r #)l:6' Se se stu<lieze convergenla integralelor qi cea irr valoare principalb (*,.p.),
4 lrt ffi, n, Integrala e diverge'td, dar v.p.:g
t l*ffi'l0. R: lntegrala e divergentS", dar in v.p. e convergenra qi egal6,
.u t.7. Calcula,tri Fr(r) pentru func{ii}e :
rcos ra) F(r) :
J,, , ""J@rJt",F :10,fi] *R;
ti- /rt,r1t :r)dn\21ro
]rrn(nn(r - D - [^' O * ]po.t: ]iS(, - 1)ln{1 - r) - r : -r.,Al Jo :t - t' r.:r
b) Funclia ffi este pozitir,5 si integrala este improprie de tip II cu r : 1
sinsularitat"; "*l_
(1 - ")" H 6stu finitd penrru a : j si oblinem
r! arcsirrr ; , \/.r-t'
"TlL 5 :
irt, aladar integrala converge. Cu schimbarea de variabild,
este iruproprie de tip II
cu s : 1 singularitate. Lirnita lirn("-l)"
fiind finitd pentru"-+i+ r{@rTTlt;:ll
1o : t < f. integrala este convergentX.
Cu substitulia, Iui Euler /$ +TG -T- : t (r - 1) rezultd
-8r
--dt-
Iar(t2 __ 3)z
. tz +l$l I : l.i----lr df :
t'-J
limitele cle.integrare clevin 1fi, rcspectiv oo. obtrinern integrala, , l; #
:2 arctg tlh : n - Zarctg vT.d) Facem substitulia t,g 6 : u,, tr € (-n,n), aqadar trebuie sX tra"nslat5m cun intervalul de integrare.-io,'"peln cu t : x-?r. cos:D : cos (t + r) : - cost $i.fndtf"dtintegra\a devine
J__fr._t = ,
Jo , *"tuuc\ia T* fiind par6. Apoi
t/s +ln fr* 1,
\/3 - I'fr {ruurtirulia
substituim tg !i*nrolri. ;[*
LECTIA 10
rbx- r ,- o\b) F(r) :
J". e (t + t,t - !t\ dt, I € C1 (W') I
1bc) F(r): .|. f
(t)\r-t\dt, f eCo (\o,,b\),,r eR.
Rezorvare: a) F(z) : /: f @,t)dt+ Ft(n): i::' ffiat+u,t*)/(r,b(r))*J a(r) rcosr
J a(
a'(r)f(r,a(n)). Oblinem F' (r) : I h - tre*ffi d,t- "csinrsinr -
ercosr cosr. Jsinr
b) ru (") : t- l#(t + r,t - *) - #r(t + r,t - *l]at+J ar.
+bg (br * n,br - c) - atp (an 4- r;ar - n) .
c) Explicitdnd modulul suntem nevoili sd studiem trei cazuri :
I) Dacd n ) b, atunci F (e;) : l- f Ul (z - t)dt qi cu regula de derivareJa
crblinern F' (r) : fo f (t) dt: const. *,
Ja
II) Dac6 n{a,atu'ci F'(r): fu rol&-r)dtgira(") : - f f (t)at:coust.
Ja Ja
III) DacX r€[a,b] ,arunciF(r) : ['f (t)(r--t)dt* fo f ft)(t- r)rlt.Ja J,
fr fb frIt'(r): I f(t)dt+f(r).(r-r)- | f(t)dt-f(*).(r-"): I f(t)dt-. Ja J, Jo7b
I f@atJ,8. Folosind derivarea in raport cu parametrul, calcula{i
r (r) :1" t",t Jrir"""t,or, l"l < l.
Rezolv'are: Deoarece ,rrn l'(1 + rcost) * lir-o - -"titft--,t "*t - il.f(@:r'
func{ia f (*,t) - i"(t t#os-?
se poate prelurrgi prin continuitate in t, - 6.Obtinem "f : (-1,1) x [0,?r] -+.R continuS., cu derirata par{iald in raport cuparametrul r continud, a4adar .I (r) este derivabil5.r1t cost _ tt' (") :
Jo E *",o. ,trn,, dt unde facem scirirnbarira de varia,bild tg Z
: u,
- 2duat: t + uz, qi ob[inem
\h - n2'
LECTIA 1077
1*rdeoarece ,: ) 0 Pentru |tl < i'Rezu\\b. i\*\-: r hrcs\1,r t C. Cons\u$u C se de\egi11ut cu\qu\A,"nd' dhect,
1 ([) - tJ. A's\te\ I \t\ - t brcs\\t,.B. Fie
"p : \0,0,\ -+ R contlnu6". SE se ara\e c[ J : \U,o] + R deflmt[ prrn
fIf (") : | 9 (f) sin (* - t)df satisface relaliite :
Jo
f" (r)+ f (r):a@), f (o) :0,t O. Calculali
/'(o) : o.
I(rn) : fo' ur(cos2 r * mzsin2 r) dc, rn ) 0.
R: 1/ (*) : #-i ei I (m): zrln(nz * 1)*C. Dar: /(1) - 0, deci rtn2*C:0qi I('m) :nlnru#.
i-1. Fie 1 (a,, il : fo* "-F*sin,lr dx, d, B > 0. calcuiali integrara,
derir,and in raport cu o. Apoi afla! t [* "'n u'
d,*.
R: .I : arctg ff; f (a,0) : $. Jo n
12. Calculali, folosind funcliile iui Euler:
il l, e-" d.r;o) / r*e-,n th.m,n€ N; c) lot 6 *ro*,
d) [' r21yP-- *2ar; "\ l* d'x rx; d'r"'Jo& *-'-'Jo
@'@";'r)Jo rt;P's) lrt #; r) I(p,n):
loi sinp*lrcose-r nd.r,p,s > 0;
i) J(p,d : I: @ - o)p(b*s;o dx, b ) a, p,q > _r.Rezolvare: a) Cu schimbare a 12 : t oblinem [* u-r'd,r, : [* J="-rdt :::fr* t-ie-tdt.r*
lo* 1n-1u-t4r- r(p), "Xlo., lr* "-,!:,
]i 6 :$ {tnr"*rala Euler-poisson).
' vv
b) Facem substitulia trn : y pentru a pune in evidengd func{ia f. Avernu : y* , d,n : f,a* -t aa ,qi integrala devi'e * '!r- y*# -t
"-o a, : *, ( -#
)1l old
Jr' ,/r - rtan :
fo' ,i (r - dL a, :
lo'"3-r 1r - ,)8-, ar.
jt:h
--_^-_*,i'j
72
f7Dar I nP-l (l - x)o-r d,n - 0 (p, q), deci
Jor(g) r(8) _ 12(r+*) _ *r,(i) 7tr(3) 2t -- 2-:8
LECTTA i0
l
valoar-ea. integratei este p (,, g) =
. A.m foiosit proprietblile func[iei
0b,,q): ffi+$ qi ale funcliei t, anume t(p+.i) *pt(p), r (i) : O.d) Cu substitulia n: a1/i,, dr: ffid.u, gdsirn
fo" ,zt/az _Tza* _
+ I' u* 6 - q+ d,u carea fost calcuiatd la punctrit c).
_\ tP dr f* r-*E J, Wff + A
: J, fl;d" care este funclia Btp, q) : [* ,+4,' Jn (L+s\i-;:-----:=t=dt(l a *Y+q**'
i:A$lr; t :_ -* + p + q : 1, iar integrata ,,rt" "g*iJ .,i'Uifl'rrl :
3l rf*l 7r " 2nf(6)f(*
,irr(po)' Pentru P e (0' 1)' :
f) Foiosim schimbarea de variabild ra : * eare duce t € (0,1) i'
r € (0, m) . Ob{in em Ar|d,r - dt
devine i f'ri,r*1,'u;0*:ffi,:;-i1*t il* t*atqi integrara
trril .,.(i) : *r,+? : v, il : i_.T* : ir(i)'r(1 + i) :
S).Cr substitulia n7.: t, x - t*, ax : it-|"dt,
!r' 6 =+ l,':. *,' - t)-i o, : |s(+,;) : *6h) g : sin2r, r e [0, t] *y € [0, 1],dy : Zsinreosad,r,sinr =Jf] si integrata devine r(p,,q) : i /ot ,E-r g-.il.-, tla :Agadar
, ,
lot ,ioo-, rcosq-t rd,n :
|O (yr,I)
f (1)T
;* 5 :
A, utilizAnd formula complementelor, f(p)f (r - p) :
\/i, cosr :
*u (t'i)
(10.1)
qi este convergentd pentru orice p, q > 0.i) Transformarea care dr:ce intervalul (4, b) in (0, m) este t _ ffi 1 d,fi =
ffiAt qi integrala devine J(p,q) = (b - a)p+q*t J #F* :- (b - c,)P+e+t F b + I,q * t).
13. Sd se arate c5, pentru n, € N*, l(rr * tr1 : U\$A{i.
LEC',lrA 10
14. Sd se reducd Ia integrale Euler qi sX se calculeze :
") I #t q l, ffir, q fo*
,2nu-o,'d*, e )0, n €
q l, -9- o I,' #,n,m €N*; r) I- ##, *) fo* #,r*
D l, si'62 cos|xd,nlI "[r'tgord,r,lol
< r; U lr, sinznrd,r,n€NI*.
R: a) Facem schimbarea de 'ariab
iIE, 17 = * qi oblinem
fo' lr-n" (1 - 11-e1z at : fr7, ' '
c) Cu tra,nsformarea ar2: y ob[inem
gi 1 : i{T pentru n -* 0;e)r- -t-" t:frt(*,*+t).
1.3.....(2n--r)-r"+l/+t-YG Pentru rz ) 1
8) rn - *? -> I : *p (T,1 - X) :*k, converse penrru 0 < # < r.i) in formula (10.1) ludrnp- 1: a, e-1 -:.* qi oblinem ! ,_.
n ip@+i,il:#'=J?-! cosf '
Lecgia 11
Elemente de anal ird,func[ional5. Spalii Hilbert.Baze ortonormale
l-. Pentru f e Lr: {/: IR -+ ol /*' lf (t)ldt < oo}, se defi'egre f'ncliaJ -c,<,
F: lR --) c, li(a,) : {* l$)"_i'tdt. s6 se arare cE F este bine definird,J-m
ca integralX improprie cu parametrul reai u,r gi sd se calculeze F(*,,) pentlu
/(t):{fi', ,;j;','lRezolvaret lf tt)e-t"ttl : l.f (i)l pentru cd t,' fiind rear, e-tut : co$r.r.rf - i sirrarf
qi nrodrrlul este 1. Dar [* Vtlld,t <oo, adicx este convergentd, rezuitd cE, qiJ-x
integrala din funclia complexd este convel'gentd,. deci funclia F(c^;) este binedefinit5, Vr.r e jR.
Pentru expmplul dat, / € -Ll_petrtru cX este nul6 in afara unui interval compact.oolt
F(cu) : ItUl"-iut,Jy: [ft1"-n.ror:J .l '|,-oo
011:
lrr-ru-'':t47n | *-*tn1t*tt lrrn-,a,
1
+ I tu-i.rd.t.J0
1
f:2 I tcosu{"dt:.!0
Deci F (ar)
74
75
=, (r#li * /,,*,,0,J
LECTIA 11
:2(*rq+*#)
z. Fie L2 - tJ:R -+R\ l* fdd,t < oo). S[ se dea exernp\u de o
func{ie .f e L2 \ I, qi au o run.{t? . trt \ Lz;
rrrdicalie, f (t): -l-, o(t\ : I t/t/l' t e (0, i]
B. Fie v ";;";"r:,-,Il:..,,"* , I [0,1] -+ iR. sx se arare c6;1
< f ,g r: Jo f
(t)g(t)dt, defineqte un produs scalar pe spa{iul I,,: Cft,r1.
4- Fie Iz : Iite[X] mullimea polinoamelor cu coeficienli reali de grad cel
mult 3. se defineqte produsul scalar prin ( p,Q ): Ju
,rt rn (t)cJf. sx, se
ortonormeze qinrl I, t,tz,t3 prin procedeul Gram-Schmidi.5. g) Daca r{^este un spa{iu Hilbert real qi u,a € r{, sr se arate cd
llu + ull2 + ll" - ,ll2 : z(llull2 +llrllt).b) In spaliul V : Clo,,,l, inzestra.t cu norma ll"ll : sup . lu(r)l , sd se arate cd
rela{ia de la punctul a) nu axe loc gi cleci r}orma r"o;"'rllfl nu provine dintr-unprodus scalar.
Indica(ie: a) llu - rilz :1 u, - u,u- u l:{ u,u - u > * 1 1t,,u- ?r ):ll"ll'- 1,t1,,,u^
b) Pt. u(r) : c2 gi t,(c) : rn, sup . lu(r) - u(r)l: *, sup lr(r) + u(r)l _
2r2 giegalitatea a) nu are roc.ce [0'n] c€[0'r]
6. Fie 12 spaliul vectorial real al girurilor nOC'
L^"7 ( oo, x:n € lR. S5 se arate cd lu6,nd 1 n,A
(*n)n o pentru caleoo
L *nqn, se oblinen:0un produs scalar qi cd, vectorii e1 : (1,0,0, ...); e2
(0,0, 1,0,...);... formeazd o bazd ortonor:nal5 in /2.
7. S5, se dezvolte in serie Fourier funclia f , (*n,nl _+ R, /(i) : #,prelungit5, prin periodicitate cu perioada,2n, pe R. Aceea,qi problenrd pentruf(t):t-# ;
8. s5, se dezvolte in serie Fourier de cosinus funclia / : [0, n] -+ IR,f (t) : sint, preluugitd prin paritate la [-zr,zr] qi apoi prin periodjcitate cuperioada 22", pe IR..
Indicalie: Prelungirea prin paritate a lui / este /(t) : { t-1,), t e [0, n]
1. /(-r), te [-2r,0)
l*iiti.:j::iit
',ir'rt'!1
iiiilrll,I
ii-ii:li-ri
t'i
.lt
:l
iar /(t): T +f o,,cosnr, unde a,. : + i f ,t)cosrtdtn:l " !_
9. Sd. se dezvolte in serie Fourier de sinus funclia /prelungitd prin irnparitate qi apoi prin periodicitate cuIdem pentru /(f)_ cost. f e ((),rj.
prin inrpari',ate este /(r1 = { r_r'rr(_r,
1
@ : T),unde b,..
Indicatie: Prelungirea,
oo
iar/(t):Ibnsinnurt,n=1
1
f= 2 I .f (t)sin rntdt.
0
r € [0,1]d € [-i,0)
Lec{ia Lz
Integrale curbilinii. Formediferen{iale
1. Sd se reprezinte grafic curbele urmS,toare qi sX se indice o reprezerrtaleparamef,ricX:
a) y: 12 +r, r e [0,2]; b) * +y2 :4; c) 12 +y2 -4r:0; d) x2 *4g2:1'fl n2i3 I yz/e - azle (" > o).
: + f /(t) sin n'wtd,t :-1
Indicaqie: a) Ecuatiile parametrice pot fi
scrie (r -2)2 i-y2 : n o {' :?*2cosfI Y:2sinl
t e l0,2rl.
f r:tI o: * +t,t e la,2nl;
, t € [0,2]; c) Se re-
', { ;:;T:, '
2. SX se calculeze I : I ryd,s, (C) : 12 * A2 :9, r,y ] 0.
tRezolvare: Pararnetrizarea sfr:rtului de cerc din primul cadran este (C) :
| * : i] cost ! ? rn urr r-\:r^-^-r:^- -^r^!::r^ ^: -^-t ;:;;1;; ,t € [o,i] . Diferenliem relaliile si rezultd dr : -3sintrlt,dy :3costd;. Elernentul de arc este ds : l@FT@f. Oblinem
dr: /-3ri"t)' + (3"* ,yar qirezultd I:l 27 costsint,lt:27 "it'l: : +u , r:cos t
lo
3. ti6 se calculeze iungimea elicei cilindrice pr t U: sint ,t e [0,2n1.\ z==t
Rezolvare: d,r : - sintd,t, dU : costtl,t,, d,z : d't'
Rezult6 d,s : Jiift 1- "r* t + tat : ""fr'dt gi lungimea elicei este
l(E) : frdt : [i" ,/zdt: znJi.
LECTIA 12
4. Sd se calculeze urmx.toarele integrale curbilinii de speta I :
fa) I :
J e,uds, unde (C) rU : f,t e\-\,\.
e""of.,".re.. d.g :2rd,r qi cls : J(doT +16y : fillp6".7t
I : | -r*z{t + 4r2d,r:0 pent.u c5 integrantur este funclie impard.J_r
b) f : IrO *y)ds unde 1 este conturut OAB : l}Alu [AB] , ,4 (1, 1) ,
B (2,0) .
Rezolvare: I : It*Iz (aditi'irate), /r . Iyool@ a- il d,s.Iz: .[vn]@ + y) d,s
Segmentul [OA] are ecualia U : r,tr € [0,lj qi'ecualiile parametiice
{ ;: | ,, u[0, r], iar ds : \6W : ,/idt==+ /, : lr'
2t.Jrdt: \/2.
tABt , {;=\iil 8:_J:,' ,t € 10,11 ---} {;=l:: ,t € 10,11
d,r : d,-t, dg : *dt:+ 6ls : ,D,dt a\r: ft Z.rtat: Zt/Z===+ f :3r,8.Jo
c) /: | ,co:ads, unde (c) , { ;=i_:::?, t e [0,6] .
CRezolvare: .F (r:. il : tEE:il este contirrur pe IR x [0,2] . Din ecualiilecurbei (c) oblirrem u e [0,2] , r: € IR. aqadar Inr (c) c IR x [0,2] qi puremcalcula integrala. Deoarece dr : (l - cos t) dt gi dg : sin trJf , oblinlm
: f lo' ,r"")' or: Sr""l, - + lr'
e',dt:f (r", + 1).
e) /: l*rar"ras,
unrre r"l , { ..;;':lz2:r . '
CRezolvare: curba (c) este cercul de interseclie al sferei *, + a, * z2 : L clecentru O (Q,0,0) qi razb 1 cu planul r + ,y: 0. pentru construirea ecualiilor
tEcTIA 12 79
pararnetrice rescriem sistemul
.,.!u_-r \!:-r \*=fr:o*t(' : \ z*' +rt -r * \ t+22 =t *. \'s - -Scost te\-ri,n\
I z=sintOb{inem dr : -ftsintd,t, a,a : hsin tdt. d,z : costd,t gi
, fn cos2 t cos2 fr : J-- , z sin'f/cos2t+siT2td't:
: I:"+ sin2 tdt :; lr" cos4 r sin2 tdt,
unde in ultima egalitate am folosit paritated. integrantului. Inte'gionxm sdfolosim integrale euleriene qi facem transla{ia t :1t + f . Dar cos (u + t) :- sin u qi sin (" + il: cosu, deci
-1rEr*t:, / _ sinarcos2 td,t: ft "innrcos2 t4t:1r(3)r(8) - r'r-t Jo 2 l(4) -n
5' calculali lungimea curbei (c) "c5rei
reprezentare in coordonate polare(p,d) este da.td de ecualia p: aif i.o, 0),0 e[g,hr],a ) 0.Rezorvare: t(c): / 0,. Di,,
{ ;:ifi,;,Tj outri.,"*
{ o: : (p'(0)cosd - p(o) sino) do,t dy - (p,(0) sin d * p(d) cos e\ ae.
Decirut-
l@r)' + (d,y)2 : f {n@)2 t- (p,(o)12aeceea ce rcprezint5 formula eiementului de arc in coordonate polare.Deoarece p'(0): *asind otr[inern
ObservAnd cd, pentru 0 e (0,a.) avem cos f"or f < 0, integrala de.i,ine
t (c) : r" I" "o,f,ao - ro f ,'" "orf,oo: aolin ll"r_4asin }lr_"
: *
2(1+coto,2sin20+aI(C) _
r2n:2a IJo1;10'
fo'" tr2r
"Jo
6. Caleulali integrala curbilinie de spega a tlc,ua .I : f t . d?. t =, ^-+ / .-;+ - ^ - J1--), -+ , .-:+ - ^ J1
:-:,:,:t^r-,\i.f, o),h,: unde "y
=^lEy[Bc]. Arcul ZE este sferrul de cerc de
r L tz J -1n*a) k , unde 7: ABU[BC]. ArculTE estesfertul decercdeecualie n2 + yz : I din figura t2.1,, Aii, o, o) , r tti r, of ,c (0,0, t) qi sensul
LECTTA 12
i
l,1r
este de la Ala C.
Figura 12.1:
7. Calculali circulalia cAmpului vecrorial t _ @ +U) | + (2x _ y)*i aou
LECTIA 12
( dr: -asintdt.t ;;: b;';';;t:"' qi ob{inem
f21t i
I : I [*(acost* bsin*)osint * (2a,cost - bsint)bcost]dt:JO
f z7l
: J, lab(2 cos2 r - sin2 t) - (o'+ b2) sin f cos r] d,t : abrr.
8. sd se calculeze Ito * l)d,.r * n2dy, unde c este curba caxe are ca
timagine portiunea din parabolay - n2 -L, cuprins6 intre .41(1,0) qi A2(-L,O),parcursd de ia r4.1 la Az.Rezolvare: DacX ludm abscisa r drept para,rnetru, atunci A : 12 - 1. Deciinlocuim dy : zrdr gi cum primul capdt este la n : l gi ultimul la r : -1
81
(Figura L2.2), vom scrie
, : lr-' (*, + zrz) d"r : - l:r(,, + 2rs) dr : - (',:. +)l'-,2
3'
lungul curbei C: ! e
F * iT : l, parcursfl in sens direct (trigononretnd.
Reno\''{Nel Ecuu$\\e luurue\rne u\e e\\pse\ *" \t :i[ll, t e \s,rn\,
Figura 12.2:
9. calculali t =!L- - da . unde c este curba simplH, care axe ca' J 2a*U o*r'
C
imagine porliunea din cercu\ *3 + u2 * 2o,g : 0' o ) 0, pentru care r * u 2 0,
pr\unr\ cap6,\ t\nd A\o,,-o).Rezolvare: cercul-rz + (y + o)" - o2 are centruf (0' -o) qi raza R : o'
cu'rba c situatH. in semiplanul fi + y ) 0, mdrginit de a doua bisectoare' este
reprezentatd in figura 12.3'
t2,y2
I : I t . a? = I @*y)d,r + (2r - a)du.
CC
82
la. I' c^r.o l^ A lt n ntfjl:l: r,LA,(!,.0,0), a,i6, i, rl,'i,r?ii;iiparametrice ale unui segment in ,puti","onjrri""il
unde
11 - |IArAz)
ad:+zrly**d"- f'tJo
LECTTA 12 TECTIA 12 83
Figura 12.J:
paramer,rizarca curbei c i,a fi {;=1lTr"_,"r, t e [o, g] .
.
':I' (mtrffi )o,:/'(,*;,*,*k -,)*Not5nr tSt: z, de unde f : 2, arctg u, dt : ffi. O*.i
r : _,r*I'(&**b)rh:: _r+ l,'(r.#;p)0,:_n*,_ *i,:r_"
1"1 "3m :t:.::::.:T:yi{::ca,mpurui vecroriar d : y} _r "i+,? cre_u
1-t''l
-f I Deci -l': -*.o,1
specificate:( 1,3)
a)/: I t,*s"r) d,n*Zrsdy;(2,r)
Rezolvar ez P(n,y) : az -3r2, e@,a) * 2ny u, # : # : 2a deci c6,mpul
vectorial ! .: (r' - 3"') 7 + z*gj este conservativ qi integrala nu depildede drurn' Alegem drurnul cel mai simplu cle parametriiatcare unegte capeteleA(2,7) gi c(1,3), format din segmente paralele cu axere z A -+ B (r,L) -+ c
[ABr ,{;=i'€ [1,2] , {t;r=':
\ , {;::l ,e [r, s1 , { i; ::,: Id.a?. It a?: [.'
IABI tBCl
b) I : I y*-:da-$arpe orice curbd care u'eqre A(-1,8,1) cu.B(2,6,3),A
care nu intersecteaz[ planul z:0.Rezolvare: Verificb,m condilia "at _p? +ei +n7
Figura 12.4:
tn sensul de
}ff H." "?
;lf :j:l-:Jf *i :jin, 1i"i"lgura 1 2 4 ) . F'rosind ec' a{i'e
'( r-l-t . (r:0 ( x:1ta,,arl ,{rr=,; " t.ar.q"l ,{;=i_, [1.A,] ,{ ;:;\ r:u I r:t [":f _fin fiecare parametrizaret € [0,IJ. Astfel, , :
.f gda*zd,U*nd,z: It*Iz*Is,
(r -- rf) o, * fr' 2td,t:74.
Ui r-S su)=;, +;J _ik
84LECTTA i2
-l'tf *gradf.(12.1)
tr\x[rnunlu\r\ \*t,,ur\ arbttt"r \np\anq\ as[nr uce\po\enga\ cbre se anu\eazl,(c,u)
in (rs,go) . Dir. (L2.I) rezultX f (r;,y) : t t .d.rr,integrald, care qtim cd,J
(eo,uo)
LECJL,\ 12
r:ru depirrde de drum. Se alege drumul format dfur segmente paralele cu axelecare trece prin (rs,yo) -+ (r,gc) -+ (t:,y). Deci
f @,tt) _ Zntdt:r rt:c
13+e3f)l./ lt:ro
/.",
(i
P (t,yo'tdt * l:,Q @,t) * : /,'o(t,
+ ail dt + ln,
Figrrra 12.5: i
sd fie cdmp irotalional pe un domeniu pimplu eonex r) nriro-i.i t A^ ."€ ::?" ;:::*"il, T,",':T,'
ffi " : #":' kT T #:' ry :' -.;,'#:
Am velificat astfel cd, integraie nu depinde de drum. Alegem un drum forrnatdin segmente paralele cu a*ele de coordonate /(*1jr, ,; _+ C(_1,3,8) --+D(-1,6,3) -+ 8(2,6,g). l,
( ,: -r, f ,: J[l[AC], { ,:?, te [1,:]l; [CD]:l;=;'' re iB,6l;[r_r. ( r:J,( r==t,
lDBl ,{a:6, re[-1 2]; - 133 r(' -1 .. P! -r I l: u, t = J, trdt+ i, B
dr " J-rurit:7
12. Sd se verifice cX, urmdtor:ulpoterrliarut
"an pului;": i;:';\l7T #;7.o"'u'uutiv
qi sd se determineRezolr,are: Domeniul .le definilr"e lsie , : F.
AP OO
ai:7;F2u)'Agadar ? este conser'atiy qi affI,m u'potenlial scalar. / :
+rt2lt:=a:lra_ I e ^,r:vo 3 i"3*nYz-nog\
Fbrrna generaid a poten(ialului va fi f (r,g) : **, + xy2 +.C.L3. SA se calculeze urm6toarele integrale curbilinii de spela I:
a) I : [ @' + y2) d.s,lABlfiind segmentul de dreaptd cu A(a,a). B(b, b) qi',1 \Yl.4B)
b> a.
R: F : !! (*'+ "') tEa"' : 2* (at * ot) .
v lp$;a'C
R: ds : lP aP6L oblinern %E"r"ts ry;r f fi:ocoszL, ,-:c)
Jrads'(c) 'i;:"."rr,' /e [o.zi] :
CR: ds - ssin1y'1 +?;oF;dt qi /:0.
L4. Calculali ci'culalia cimpului vectorial rl : ,5 -;27 + "/, du-uiungul ct:rbei C care este arcul de elips5 ,'++:1,r > 0.
R: Ecua.liile parametrice ale curbei sunt: { " ::o: t' + r I tr ti1
n (!rv euruur ou'u'
I gt = 2sin t' u e l-lt l)'
I : | '* z"ort td,t: n.r-t
r --
{ x:acosf.rf. C:alc,, tqi | ,yF - *zdrass4r*(*, +a:2)dz,C :1;:;:r:l;j t €
c I t:btlo,6] ,a,b>0.
^!R: 1 : i
2 1*tftttsin2 t + azbtcos2 t + a2b\ dt - T-Jor6.
Jl \ , z16. Calcularri:
( t: acost.
I O:asinf, tei},2irl;I z:bt
a)
b)
\\
\\
\lIII
I
t
I
It
., ji
=t,.t{. ,,
( :r: et.
[ **"* r,uds *cgzrlz, C, \, : "tt.J \ z:tlD,C
I raa *2gdr, c : Y :sinr' r e [o' $] ;
t-C
t e \0,\i
i
\\\
i
I.t
t
t!'!
i
LECTTA 12
c) circulalia campului ? : (*2 - a2)? + ("t + uz) 7 a"-u lu'gul curbeiC :9.lr2 -1. U2 : g,r,g )_ O.,
al f t* + s) d'c -gd'g, c este c*rba sirnp\6"inctris6 tormat6" din arce dir-r curbe\e
, ! 8", frU = 2, a =2r, situat5 in seraiplanul r ) 0;E I
2ryd'n - *2da',unde o(0, 0), A(2,1), in dou6 situalii : 1. pe segmentur
[OA); 1irr"
drumul [oB]u IBAI, B(2,0);R:a) 5-"-t-]
Lecfia 1g
Integrale duble triple
1. Fie D : [0, z] x [r,3]. Catculafi II @ + 3a2) drd,y.
|e*zolvare; Integrara pe domeniu drefrtunghiular se itereazd astfel
srd)
c+ oA in ioBA: y: If , r e [t,z]; OB :
,y :2x,u e [0,lJ . Obline m _2t12 _ ]=!.metrizarealrriloal .,,-r -:;^'^, j A -T-;
:) : i:'ru:"".*u'rui [oA]" : r:'i, ; :ir,';1 ;;t51'
'?!' ;!;:i:,t e to'zt ',uo,'(i:?: ;: ;,1 r : -417' constatancr i'prearabil cx viroarea integrarei nu depinde de drum, sXse calcureze integralele curbilinii pe orice curbS Ie unegte punctele date:
q | (a2"'d,x * 2ye,d,y), A(o,z), B (2,0) ;A(2,-1)
b) I rQ+r)ctx-a0+v)dy;(-t,t;
B
q .f *2a, + {ida - z,/Zd,z, A (0,0, a) , B(_2, 1, b) .A
R: a) -a;b) {t; .)_z _ r}v|o.
#t;":;il#i'jff:,limdtoarele cs.mpuri sunt conservati'e qi sr se deter-a) 7 (*,s) : (Br2 - 2xa + ar)7'- (r, - Zxr+ R,,2\ Jb) ? (r,a, r) : tyz @r i "ri *irl)'.-v
-r os- 1 I '
l::l W= # -^-?"j 2a, f (r,,y)=or- r2ai.ra2 *aB+c;ce Rb) f (*,A, z) = !n2y22z + C'.
oo lnr.t" dd forrna diferenlial6" w : #d* * #or.Determinali func{ia rp dacd
R: p(c,y1 =fi+C.
{({("+3az)ds)d* - I a* j@+sy2)d,y: j @a+y')li=ia"0t:
f, {r" + zT - n - r)d,* : (*, + z6n)l; : b6.
2. Sd se a.fle aria domeniului D iimitat de curbele A : &; A : *, r :2.Rezolvare: D este domeniul haqurat din figura rg.t. D""rte domeniu proiectabilpe or. va trebui sd, determindm intenatut [a,b] a,l variabilei r, curba care
F'igura 1B.1:
md'rgineqte inferior domeniui, de ecua{ie .y: g1 (") qi cea care m6rgineqte su_perior domeniul, A : p2(r) . Inte^,alul [a, a1 este proieclia lui D pe Oc, deci
BTi
t.) ,c .>
rEcTrA 13 LECTIA 13
perrt,m a afla dornerriul D' introducem coordonatele polare in ecuatia dome-
niuhri D :
p2 "o"2
0 t- p2sin29 < p2 g p2 S R2 4:t Pe [o,R]
Deci Dt - [0, R] x [0, zr] qi det J + 0 pe int 1)'. Integrala devine :
llr,,"o'(''rs20+sin2a)1aet Jlrlpd,o:
lo'" ot
Io" "p? pdp=-- ireP2l;: " (r"'- t)
b) Calcula{i aria domeniului limitat de elipsa 5.';: L, a',b > 0'
- ( r: apcos?Rezolvare: Folosim coordonateie polare generalizar"
t ; :;;;;; ^,^:,
O,
0 e [0,2n] , qi introclucA,ndu-ie in inec':atia domenitrlui D : \ + b t t
oblinem p2 S l, deci p e [0, 1] .
Jacobianul transformdrii
derJ D(r,il lacose -alsindl-:"ffi: I ;*; b;":;;;" l: abPto
pe interiorul domeniului Dt : [0. 1] x [0,2n] .
Aria D : ffrdr;dE
: llr,,.rropd,0
: lo'"
o, fr'
oueao: znob(|. : ""'
b. catcula &t il ll ryd,rd,g. unde D este dome'iul mdrginit de t ry : L,
D
#"K#: Aflb,m punctele de interseclie ale curbelor, rezolvA,nd sistemul
{ *o: t e ,^ . oblinem *'* E** 1 : 0 cu ri :2,r2: }, deci at: 1,I "+A'=512
uz:2. Proieclia pe Or este [],2] . (Figura 13'3)'
D estem5rgilit ilferior dua - w@): I lisuperiordeg * pz(r): t**'Atunci
I | .ua'au :
D
3: ,-ln?'md,rginit de
!AB?, A (_L,o), B (1;o), c (0, 1)Rezolvarer considerxm D domeniu proiectarr' pe o37 (Figura r3.2).
AC i ll : r*7-=)s :U -7:rll(A)CB : V:-fr+l:; r=.1 _y_rhz(a)
sunt curbere care m',rginesc ra st6nga, respectir, la dreapta, <iomeniuJ.
Figura, 13.2:
proyD: [0, 1] , deci
7l rl-s II: I'* I'_,'(1+ay)o*: i (..+)l"=,_, oo: j2(r_a)dy:r0:a. a) SX se calcutez" ,,".a,ritu)ooraonare p.lare
ffr",'*r',irdy. unde D, r, + a2 I R2,.a > o.
Rerohar*, [*=Pcoso ^.. ^\''Eo'LYct\Et \ U = pS\n()
cu p Z t.' 0 € \t,,Zn\ tace \tecereu de \a coordo-
\h\e\epo\ure\u.:,,:W:
I ,,:f ;i,il , l: o.
J,* J, ",*: I; t q\-*")*
: t\r(; -4'-; i'l a":ffi-u'!
I
I
I
:i=j,{.
IJ
i
9190 LncTrA 13 LEOTIA i3
Figura 1S.3:
', // r/ildrd,y,u'de D : a ) rt,a S xz,r ) o.
Rur'ol.a"e: LuXm D domeniu inter,te^,arui (0, 1 ), ;;;J:? iil;:*,ryf":.? I :,rlli, #?TJ;{.
Figr.rra 13.5:
Afldrn pe gr funclie de r qi c'rbele vor fi.: q (*) _ n2, p, (*) : Ji. Deci
ll .a'+
a') drdy: I' o* l,f c'+ a,) oo: I' (*,, , *l: r.::
fo' Q**:.,6-n4 -+) *: *.6'
") cu schimbarea de rariabil5 de la coordonate carteziene la coordonatepolare,calculali ,:
llJ7Tfrd*ay,D - {(x,illo, 1,2+a, <br'a> n},o<o<b. D
Rezolvare: Domeniul este repre zentat in figura, 13.6. Introducem co'rdo_natelepolare I *: Pcosd
L gr : 'psin1 , P 2 0,9 e [0, 2tr)in inecuagiile care il clefinesc pe
Dsiob[ine^{"1 1p2<62 f ,'P,u]- (pelg,bl) --i--v'* [ sind]cosd * t sin(a_i) =o
** tr ,rl+,'+j
care defineqte nour dornegiu, .D, arvariabileror p $i d. JacobL"u, ,fJ."n-,r,ucoordonatele polare este ffi - p. Deci pentru'f'(*)y. :"ffi,"""", :lf tocosd,psi'd)
I ##luoo, :lrr o, l"u
p2d,p: +l',: ,.b': o'
b) cu o schirnbare de variabild adecvatd, sd se calctrleze :
ll a * y) dndy,'nde D , {, ;:; !' *"
'l,."'f05
o:s
Figura 13.4:
:*'t : I rodrds == .[' o, l; uwo, : I' (,,; ?0,,)l',:_* ::
[^' Ji (:.'- 3"nr,1 d,, - !Jo^ \3 B* ) **-- fi.q
ll @' + a') d,rdy,D esre domeniul mdrginit de g _ 12 : 0,n _.a2 : 0.Rezolvare: Rezolv''d sistemul cu cere dou'. ecualii, afldm punctere de intersec_lie (Figura 13'5)' Apoi projl* l;t D pe o*'"rru^10,r1. curba a = n2mXlgineqte inferior ri z :;, ";;;;gte superior ,lomeniril.
i:
!iiii
iiiI
,,l
92 LECTTA 13 LECTIA 13
: *f r_r_) lu:,sl, \ L*u1117. Sd se calculeze integrak:le dubie:
il lJ" (1 -r) (7-*y)d.rd,y,D:0( r1L,0.is(1:
D
,, ll ffio"oa, D: [0,1] x [o.r];D
q I,' * f.: {ryd,y;
^, f i 1/nydrd,y.D este rndrginit de dreaptele r* y .-L:0,U: fl, s - fi;
D
, ll ;qd,nd,g,D este m5rginit de dreapta lJ : Iqi parabol a y : a:21
Dftil
J J {rA '- y2d.nd,y, D este patrulaterul cu r,6,rfurile A (1, 1) , B (5,I) ,
c(fo,z),D(2,2);-) ll
ld"d,y,unde D este dat d,e 12 * az - ztt S 0,r ) 0;
rf") JJarcsinr/r*ydrd,y,
unde D este mXrginit de r*A:0. r *A: I,D
Y--L,U:L.R: a) *; u) r :2\/2 - J5- 1;
") , : *,
d) r: .[ot
o* lo'-' ,rrud,a:3
lrt *1/2 (r - *)ui'a*: ,)t0(;,;) : ff,
ie) / :
u; f) Domeniu proiectabil pe Oa, 1 : lf ; g) Cercul *, +u, -Za - A
are cerrtrul (0, 1) 9i raza R : 1. Oblinem fo'
Oy lr"* iOO : ,,
11 fl-a rl-yh) I : I Oo l' ' ur"sin JiT yd,r, und.e I ' u."sin ,/i 4ar r'+a=uz
J-t J-a J-ur7:
Jo 2zarcsin ud,u: f . otti""^,:t.
8. S[ se calculeze folosind coor<lonatele polare :
U ll rn(r2 +a2) d,rd,y,unde D este mErginit cle n2 +a2:4 $i 12 +y2 =g;D
,r .l J @' - *' - u2) rlrd,y,unde D : n2'r a2 S a2,u S0;It
Figura 13.6:
Rezolvare: r) este definit o" I t ( r tL 's#
schirnbaiea, de varia,uil" { r i ! :'v
+=j:}[ ;:'
Rezult6 (u,u1 € Dt :11,4] x [1,b] .
Figura 13.7:
Deoarece det.r : D (", y) : I th -,rfu ) _ _= ffifr: I H.#' |
: *t I o obli'em
,: li$.^ou: l,na,, l,\ firyo,:/'u2du l,';u:
u<4S b ceea ce sugereazS.
( ,:| l*utL,uI u:1+u
i!
i1
II
IIiI!a
+;lii:.. =,i=F',.ii1ii,
t. t5
LECI'IA 13 LECTIA 1394
") .f/ ("'+ a') d*dv,unde D : n2 + v2 s2o*,o > 0; 12. Calculali / : [ [ [ , 'o"o'o- .r, unrle f] este tetraedrul delimitatJ {rl (1 + r * y * z)3' -----
-' --'
d,e p\ane\e r : 0.,! : S,,z - iJ q\ 1, + ! t z = \.Rezohare'. Q es\e domeniu in\ergrafi.c prorec\abi\ pe r0g (s\gura r3s)
R.: a)^J, .r Jl" ou'p"do : -" J; p\n prtp -= z.'
Qr,,3 - A\nz -
q l, o, 1," @' - p2) pd.p :
lonn ;
= 1!r' [t,+s)B -2@+z)&+(r+1) s]0,:*
ll o"o, lo" ,
(r,y, z) d,z :D
.) r '{ "o,ti;';;;';:7:r,r, ei/: l::,0, l,'""""'puap:}non9. Sd se calculeze aria domeniului limitat de'curbele :
rU: p, nA: e, A: atr) A: br,0 < p ( g, 0 < a=< b;
R: u: na,o:f;,.4riaD:irn-r)rr, f
.
10. carcu t"t, lll #, fr : [0. r] x [0, r] x [0, 1] .
aRezolvare: Transforrndm integrala in integrale iterate:
r - f/l #: lo' o; l,' o, l, z# :
Cl
: fr'
o* !r' tG7-a + , + t1,""='"* ::
fo' o* I"' 6t, **, - J;+s+r) o, :
2 fr r. -. c 3r ru:l: i J, l(r+ a +2)' - (r*a *t)uiir=oo":
(ut - 2i,,4 + tzr/2) .
11. sd. se transfo'ne inregrala tripl6 lll f (r,a,z)d,rdydz i,o
iteratS, dacii f,) este cilindrul limitat de n2 * A2 : a2, z :0,Rezolvare: [2 este domeniu iuterglafic proiectabil pe nOg.D = pttoafl : { ln,y) lr, + A, 1 ot} .
Cilindrul este rn6rginit inferior de planrtl z : p(*,A) :z -- tl; @,g) * h. Astfel,
I : III f (*,a, z) d.ndyd,z :o
- rt) : prroa? gi Cl este m6rginit inferiorABC:z:I-r-y.Deci
i),
integralS
h>0.
0 qi superior de
Figura 13.8:
D : {(*,A)1" e [0, 1],0 < y < 1de fata AOB : z :0, iar superior de
{{*,0, r)l,^2 * u' < # ,rSo) ,
VB,a > 0.
Rezolvare:figura 13.9).
Baza conului situatX in planul zPr*oyv : D : {(",y)l *2 + a2 S nr}.
suprafa{a ,' = # (*'+ a2) ,") 0 este un con (reprezentat in
: a este discul ,2 + A2 ( fi2, deciI,' este mS,rginit inferior de srrprafala
1lI
=1-x-I
: [" o, tYo, fn r(,,a,2)d.2.J -o J -"52-*, Jo
96
Figura 13.g:
lateraldaconului. a,: E\/'t2 + y2, suierior de planul z : a. Deci
r:ffa*aa i zrtz:Da;=-
frY'x'+uzqi trecem la coordonate poiare. Oblinern
r:tI*o, lo*t#)prtp:"y,, |n;.";f'j?::"jt:'t cornun v at parabok,itlutui z : n2 * a2 Eisferei
Rezolvare: Interseilia paraboloidului cu sfera ne d6: zr + z_ S : 0, z ) e,,gi obtrinem cercul de ecualii- z :2, *, + yr:-;: "" "*'Aqadar Pr,o,,v :^.D : !"'*ar'szl.bo,'*rriul este proiectabii pe planulrOg (Figura-13.10), tl Oj"{-Ung::fl inferior de e: p(r,A): n2 +A2 Qisuperior dp z : ,lt (*,y) : \tr:F:V. OUgi"*,
"
t'rol(v) : [ **'7
"* o' :
U [1e;t:v - @'* r')]dxdv -
ff- t, !*':huo=^n, \\5. Sfectulnil o sc\iurbaTe conr'el')abi\ir de va,riabi\e ca)cda,li :
a) /: lll (*'r-y'+ r')d,rrlsd,z,unde f,i: {(",y,2)ln2+y2 +"2 Sr}.a
Figura 1J.10:
Rezolvare: o fiind sfera cu centrul in o, putem utiiiza coordonatele sferice(p,0, p)
( *: psinlcos(p,
I a : psinlsinp, p ) (Jd e. [0, r],p € [0,Zzr],I z : pcos9,
care introduse in inecualia dome'iului, tiuc la condilia p2 < r e p e [0,1J.Jac,rbianul transformErii
(,, + u\] a,ay;{b' a2'-fr
.i.tt: t'
::ir: li,J:ri l:
.i, i:'i
'i.'' Irt' r lt,'
i. ,lrI
t,,,, i,,. t, .
' {l:.. 1.
j
,. i,,,.
:, l-Xt,,.
t,',
,, {,1,: i;ril,, {,
'1
D(x,y, z) _D(u.u.w) -
unde f,)/ : {(p,0,rdlp e
-p2sin0*ApeInt(n,),
,P €
p4 d,p
lfu 0r Ax,l6i 6a 5clfu 9s 0s.I iJo d0 Eol0z 0z Ail6p 6e 6e
[0,lJ,delo,rJ
770dpd0d9: I
JO
t : lfl*p2 p2 sin
[0. zn]] . Oblinem
. /"rin oae. ['" d.r:!n.Jo Jo
rfrb) / :
J I J J?T7d,nd.yd,z,unde I/ == {(r, v, z)lr2 + a2 { 22,0 S zS /,}.Rezolttart: I)omeniul I'l este interiorul unui con circul.ar. Deoarece intersecliacu fiecare pla' z : const. este cerc, vom folosi coordonatele cilindrice (p, e,z).
Sch\rnbarea d.e variahi\e "*.* [',
:t :ll?, p)-0, e e\o,zr,\.\ z:zt
trrecualiile domeniului v ne conduc ^ { !'rir'ln, *- t l:ft,r# i
LECTIA 13
care definesc un domeniu 7t intergrafic proiectabil pe plnnul variabilelor (g, z) :
V' : l(p,p,r)\(p,z) e D,O S p a z\',
und,e D : \O,Znl x \0, h]. Deci
I : lllr,,pz,tpd,ed,,: /!rd,e:dz fo' orao: L[r{o*a,:: ! l,* t, l: zsd" : i l,^ ,,. l: zr,t" : :*l'," +t:: !,hn
16. Calcutali t : /ll (*, +a2)zdrdyd,z, unde V este corpul m'rginit
de paraboloidul ": t11'02 qi sfera xz +az { z2 :2.J4:e-F
R: 'l : ll o"o, I (*' + a2) zd'z,,uude D : {*2 t- a2 s't}.D r2+A2
17. Aflati ,: lfl rszd,rd,sd,z, unde {t: 12 *y2+12 <a2,r,s,z}e.
I; ?. ::t" porliunea 3,o nuu de cenrru o qi razd,a siruatx, in primul octant. ,deci
:":?:1To'o1ll";t""::, o se transrbrmd in domeni;ffffi;;?ib, ;ile e
[0, I], o. [0, ;] . oblinem
I : fo"''
ou In"''
o* [pBsin2dsinrpcospc.sd. (p2sin g) dp:
ilf.],ioa ul"o'' ],in2 ol'o'': *ou.18. Calcula[i integraiele triple:
") JJJ tF+yza*d,ydz,{'!.:12 *u2 4 e2,z} a,:r2 *a2 + zz 14o2,a} a.
,, lll O2 + szld*dsd,z, c c'bul: 'o . ,, y,z { r.
e
O I I lcosrDcos y cos zd,rd,grlz, undee : c, a, z )0,r* a * z Kn (tetraedru).
c)
R:
,a';
o ll o*0, fon*='4 tFqo, - )5o,n(" - u.n) , D : rz + yz I
99
u) 3; c) 1: { ! a"au l;-'-' cosocossrcoszdz, unde
D
D : l0 3 r S r,,0 S! Sn - r\ q\ ob$nen t :\.19. Fo\os\nd. o schimbare de var\abi\e, s6. se ca\cu\eze :
U Ill rsd,ud,ydz,unde Ir ,*2 +y2 1r,,0 S z 1L,n,u ) 0;
,, lil (r'+u2)a,r,Iydr, unde O este situat irr primul octant (*,,a,rt 0),C,
este mdrginit de ciiindrii *2 + V, : 1,, t:2 * A2 : 4 gi planele z : 0, z : \,r:0, r: y;
o lll z (r2 +a2 + z2)d'rdvrlz,unde I/ , *2 +a2 + 22 1a.,r,g,z ) 0.lr
F,") Folosim coordonate cilindrice: p e [0,1];r1r e 10,$l,z e [0,1];I:*. Ul Folosind coordonatele ciiindrice c : pcos<p,y : psin g,z : z, crt
p e [1,2], I e Pr/4,n l}l, z € 10,1] , obli*em Tu , ") Cu coordonate sferice,p € [0,a);0,p € I0, 6], oblinem I : &ou.
Formule integrale
1. Sd se afle aria suprafe{ei ,5 " decupatd" de cili;:d rul 12 * Az : 1 din conll22: r2*y2,zla.Rezolvare: Dacd porliunea de nrprafald,s are er:ualia explicitd z : f (r,a),
Integrale de suprafa{H,
LECTTA 14 101
vorn obfine domeniul parametriior D : d e fo, l"l, p e [0, zzr.] . calculHm
a? a?ET ;: (Rcos 0cos,p)2 + (Ilcos 0sine)z + (-nsind)2:R2cos20+R.2sin2d:R2a? alE{ i
: -E'sin 0cos?sinrpcos g + R2 sindcosdsingcosrp: Q
a? a?6, ;;
: (-r?sindsinrp)z * (Rsi' 0 cosp)z : R2 sinz 0
Deci elementul de suprafa!5, este do: \/EG-Fd,7dg: Rrsinld,gdtp gi
putem transforma integrala de supraJald, i' integrald dubld I I O* y * z) d,o :
I lrrOsin d cos I + Rsin g sin r,o * ft cos 0) R2 sinbdid,e :
rtr /2 r2r- ot Jo o, Jo (sin2 d cos tp * sin2 g sin rp * sin d cos 0) de -: R3
lo"'' (rir,' o sin rp - sin2 d cos rp * -'#U)l'ol'r" *:
: tr1s ["/' "rrr20d,0
-- -n#!9s 2 21"'' -: nRt.Jo zlo
3. Aflali aria porliunii de suprafafd. ^g din paraboloidtr 12 * a2 : zz,
milrginitfi, de planul z :2.
Leclia L4G:
(,,y) e D crR2 qi f ecl,aru'ci Aria(s): # ,l (H)' . (H)'o*oo.
Portiunea de suprafald ,g este suprafala corricdird"rginitx de plalul z : 1 gieste proiectabil5 pe roy. S'are ecualia z: JFW,(*,y) € l), unde Dreprezinfx proiectia pe ro_.y a suprafe{ei, fiind discrrl de ecuatrie *2'+ y2 < I+ffi*ffi;#:##.Aria(.e) : Jl t/zara,y: rt/i. '
ff2. Calculan,
JJ(r+g -r z)d,o,uude S este suprafa,la: 12+ Az + zz = RJ,
,sz 20.Rer-,o\lruu S es\e sen\ste'ia de raz[ R cu cent,ru -n 0 cu z ) 0, dec\ io\os\nilcoordonatele sferice, reprezentarea parametricd. a lui 5 este dat5, de vectorul de
pozilie ? =',Rsin 0"rr-9? {-Rsin 0sinq-f *,Rr:osB? c, condilia cosd ) 0.
Rezcrlvare: Intersecgia paraboloidului cu planul z : 2 dx cercul frz + az : 4,z:2 (Figura 14.1). Deci D : pr'oyf: {(r,il1*2*y2 --4}. Ecualiasuprerfelei este z : t @, + g2), k. : *,, H : A.
.4ria,s : Ilrg +F *ed,rdy : Io'"
o, fr' or/TTFoe :+(uffi - 1) .
rf do d4' calcular" U A; +fr,'5
: Fr {,.(',?J',2)@ * v + z 1 r,n,y,z > 0}.
Rezolvar., ^9 *sstu suprafala unui tetraed.ru tridreptunghic OABC (vezi fig.
13.8). Integrala este
' : r I #.tr. lIGfu .
!Jo;#,,y . !Jc*;roAB ' ' vl oAc' ' -- ' d
Fa\a OAB are ecua\ia z : 0., (",g) e [c e \0, q.,0 S g S I - "] qi d.o : d,rd,g.
Fa\a OAC ate ecua\iaU : 0,, (*, r) e {r e \0,1],0 S z 5= t - "} si do : dr,dz.
FataOBC areecualia r.:0,(a,r) e {y e [0,1],0 < z 1L -g] gi do:dqdz.Fa\a ABC are ecualia, z : | - n - g, (n,y) € PrroaABC : OAB Qi
100
102 LECTTA 14
!*0........,. ..-
Figura 14.1:
. @)'d,*dr: r/Si*aa.
I : !I#n . !!## . lJfh. !!"ffiu := '!J##" (r.i/l(r#ili:: ,
fo' o,
fo'-' #S+ (vT *t) I o* lo'-' ,#*fr:
:' l,' ##o* - lo' #i:.' a* : (n-') (f * *,)
5' c,alculali ^t : ll "0", unde s este porliunea din paraboloidul
1: *' * y2 rn5rginitd^cle iitinarrt *, + a, : R2 (Figura j4.2).Rezolvare: ,S: ": fi2 *a2,,(*,y) € D: prros,g:i(", a) l*, *y2 < Rr j.
Aqadar
0z^026; : 2*, fi - rr, d,o : 1/1 g 4ezJ@araa
gi integra'lai se transformd intr-o integralH, clubl5. Aceasta se calculeaz5 prin
r + (x)'
LECTIA 14 103
Figura 14.2:
trecere la coordonate poiare.
r : U "0"
: Il (,, + ur) v|T[@Tmdrdy :trro
,*o rR: I aa I pt lt * 4p2d,p : zn I ps lET +pzap.Jo Jo Jo
Cu scirimbarea de variabild JT + 4F : r, de lrfa" o, : i (t, - t), o,io : f,tdt,
,- [JnnF t2 -rtor:r'(r:- t\ l* :t: t"J, r a, s\b B/1,: # (t + (oR2 - r) (r + +n'y't')
6. sd se calculeze , : ll @y * yz * zr)do, unde ,s este por{iunea din.9
suprafala couicS, t : {F +f decupatd. de cilindrul fi2 + y2 : Zan.Rezolvare: Ecualia cilindmlui se rescrie (* - o), * A2 : a2, deci are axa clesimetrie ce trece prin (4,0,0) rii este pa^ralel6. cu Oz, astfel inc6,t cilindrul .,ura
decupa o porliune mSrginitb s din con (Figura 14.8, pentru a : 1).Ecualia lui S este z : rFTF,,iar D : ptrous j {(", il la2 * yz < 2ar}
qi do: /r * (#),. &)'d*dr: ffia*d,a: Jv,d.sd,a,ff
deci -I : ,E JJrQo + @ + r) {#TP) dnds. tecand la coordonate po-
lare a - pcos 0,a: psinl, oblinem p2 <2apcosg, deci p e l0,2acos 0l,iar 0
104 LECTTA 14 LECTTA 14 105
F'igura 14.3:
irrdeplineqte condilia cosd .:0. adic5 A e [-r/2,{,12]. Aqaclar
rn /2 r2acoso ' lii I
I : J2 I d,0 I (p2 cosl sinl + p2 (di)!d + sin 0)) pdp:J-ni2 Jo \r
- f" /2 / -4 rp=24 cos 0\: n J_^,r{,,.'"0sine
* cosg + sin , X,ltr^ )ot:: qaa Ji ["/' 1.o"ud) sin d * cos5 d + cosa 0 sin|) d0 -J-r/2'
: AaatT l::rcoss
0,r0 : non{i I"u r(r - sin2 d)2 cos vae - #**.7. calculali fluxul cArnpului t : ,?? + yz'i + ,-t prin fala exterioard
a sferei n2 +y2 * z2 : R2.Rezolvaret itt cazul sferei date, versorul normalei exterioare este
. --l --r -l;? 7. ri'*ai+2il
* tt:E:--:R---'
Fluxul c6.mpului cerut este
os(?) : ili fiao : ll t1!: "'a"ss
os(?) : o lo"
o, Io'"
(Rs sins dcoslr I + Rssins dsin:r,p * J?2 cos2 0) sintdtp
- *^ l, s:n^ 0d0 lr* (cos3,p * sin' p) de - 2trRs + l; :
: R4 fo",,nneae. (sin, - + -cos"* *)i.". +: g
B. Calcula[i fluxui cAmpuiui t : *r1' + azi + @, + or)t pe falasuperioarH, a suprafu{ei,5 : z : fr2 * a2, z 1 L.Rezolvare: Versorul normalei corespunzdtor fe{ei superioare gi elemerrtul desuprafatX sunt
. 0"-l ori . ) -+ _+ _+* _ -6; I - ffi t t- tt k --2r i' *2a j'.lv*-::-..--
r + (H)' ; rWY {rr AFtw
Rezurtd, os(?) : il t .fiao : U ffid' :
s,s
Figura 14.4:
[1 @2 +u2)(t-zrz -az) o": ll (*, +y2)(L_2x2 _zy2)dxdy
U JT+WTW *u - ,: [*.,U)\"t +gt Sr\ . Trecl,nd in coordonate po\are
n2r rl 1,: Jo ae
Jo o3(t-zp')do--;r-
, d.o : /t + +r2T@a"ay.
( r-Rs\n0cosp\ p: R.s\n0s\ns
[ ,:.Rcos0
unr\e D : pr"grSob\inem
Ecualiile parametrice ale slerei sunt S :
g € [0,2nJ', gi d,o : R2 si.a 0r10d9' r\qadar
,g € \t,r,\,,
107
LECTIA 14
9. Calcula,{i fluxul cAmpului -fi : (v - ')i * ('-"1^7 + (' ;{ytittsrrpra,ta\a S care este ta\6 exterioarb" a srrptafe\ei c,orrice S : Z : Vr" * U"''
oSzSh.Ilezolvare: S areoor*a'\ot : I
ntperrlru (*,y,
") f (0,0,0) , qi eleuientul de suprafa.lE d,o : rta*ag.
z
I
Figura 14.5:
Obginem
ff11. Calculali I I zdo, unde 5 este dat5 pa'rametlic
-*----- 5 J J
ue\$.,o,\,,re\0,,t"i.. \
R: ? (,rr,.') - ucosrT * usintl-)
*uli
a? a?_-10u 0u--a? a?_._-nctu d'tl
LECTIA 14106
( *: ?rcosu
{'u:tt,slnu 't z:'t)
-)("+rJl:;r......:L'
\Vr, + yt tl*, + gt "
E
F
G
do
aAa?,--
4t' -J_ |IIou du
{"{tauau
unde D = {(r, u)lr2 + a2 S h2}. Deci
I _ fo'"
o, foo ko"d(psin 0 - p)*sin 0(p- pcosl)-p(cosd-sin 0))p,tp
f2n rh: J, (sind - cori o) d0 .
Jo' zo2d.p: o.
10. Calcula{i aria suprafelei :
S ; z: "1/FTP, mS,rginitii de planul z: h, (o,,/i > 0).
R: "4rias : [ ,/t q- azaxdy, unde D :
{ @,y)l*2 +r,
=,5} . ,r,ur:
Dnh2
" t/L * a2.
12. Calcuiali: a) ll r@ a-.a)do. S: {(c, a,z)lr * a * z : a,n,u,z> 0},
a)0; s
ffb) I I t/*' * y2do,
^9 fiincl suprafala conicd,JJs
planele z:0 gi z : h;R: a) d,o: vEdrdy,f : $aa;A--rob) S: ,: ;v/r2 + a2, do: :6r+Fdrd.y, I - irazt/F +F
L3. Aflali fluxul cd,rnpului vectorial ") -d : *? + A? + zl ,prin ,S care
este fala lateral5. exterioarS, a cilindrului 12 + A2 : a2,-h S z I hb) ? : rzi +v'i +
"21 ,prin ,s, suprafala exterioar5, a tetraedrului limitatde planele r:0, U:0, z:0, t *2y * 3a: 1.
( *: acosdR: a) "9: { U: asinl ,d e [0,2tr).2 € [-h, h];I :4na2h; b) *.l,=,,
14. Aflatri circulalia cd,mpului vectorial ? - (r3 - S*az)i +@rry - a\ jde-a lrrngul curbei C inchise parcursS, pozitiv din figura L4.6, C fiind sferlulde cerc 7F completat cu razele OA qi OB, uncle OA:1 Ei m(;47) : ,0.
ll ,o' : lo"
ou lo'"
,1/rz atar:,r2 (rv7 n+ h (o + Gt+ 1)) .
i)
,cuprinsS, intre
o,r',a'a*a
108 IECTTA r+
Rezolvare: Curba C :FrD este orientatd, pozitiv in figura 14.6, adic6l6sdrndomeniul D la stAnga atunci cAnd parcurgem curba.
P(r,Y) = r3-3, " APrU', An @,a) : -Gxy
e @,il = 3*rv _ ar, H (u,a) : 6ra
sunt contir-tue pe D.
I : III s (02 + z2) rtctrd,vrrz : B flroro, fo" ,.0' .t z2 p) dp :
Il'
: , ll,(+, *) o*0,:11"'" av, l, z.d,z:*"nu.
l-6" sa se a.fle circulalia cA,rnpului vectorial t : -ai + "i de-a lungulfrontierei suprafe{ei S:n2 +y2 + 22:L, t}A,t ) 0, orientatddgpfinormalaexterioarS, Ia sfer5..
Rezolvare: ,5 este partea din sferd situat6. in primul octant, iar frontiera saeste curba iuchis5. {FCA din figura 14.2. Utilizim formula lui Stokes,
f d .a? : ll ,,,ral fia"Q=FrS S
LECTIA 14 109
Figura 14.0:
Aplicdm formula Green-Riemann 6 ,a* *J
Qcia: ll w-H)**Dqi obtinem
t: lJ r2rydrd,y.
D
TrecA'd Ia coordonate polare [ '- pcos| ==* I p-e [0,t] Tr^ .-'*- t y-psino -\ tJfrtr,lou;\tl .Deci
e#',(-Try)|]..t: ]coszdo
15. Anuai fluxul carnpului vecrorial t : ,f? + ari + ,st prin falaexterioard, a conului S : t2 * y2 : 22, z) 0 limitat de z : h.Rezolvare: P : fiS,e : Uj,Il: z3 S^i-S: F,r(I,') , cuV , *2 +A2 1 22,
0 ( z ! tr,. Aplicxm rormura lui Gaus. .ff
? .fi*,ao = lll (dir?i a*aya,
q\ ob\\nem t = JJ,[ lrf + tu2 + r*) arasaz. Trecem \a coordonate ci\in-
Vdrice (p, p,2\, V', (p,z) e D : [0,2tr]xt0'14, 0 < p 1 z cu detJ : Q'
Figura 14.7:
\iersorul norrnald exterioar[ in punctul curent
,: fo'
,, l:: r2pssi' ocasad,o:
IJJJallui^9esteff:ffi
- 2l . Aqadar
?rroyS e sectoruL de cerc AOB, Cum,9 are ecua,tia explicitd z _ 1fT:r2 :f, ,(*,g) € AOq, rezultd, c[ elementul de suprafa\E" se calcu\eaz[
--l --l --+L.lkaaam 6E6,-tJn 0
-+: r'i' + a i' -f z li , iayrott :
lle"ty tao : ll 2zdo.
ss
Aqadar of,rr
. d? -, lJ"ffid*dv : 2Aria(Aoq :;.
uo : { (kf - (AJ *r d,rd,g : #dcdu
110 LECTIA 14
fL7. calculali f t"- ildr* da, unde c : F'rD, iar D mdrginit de
*2+U2:2r,U:OcEi!:r.Rezolvarez 12 *A2 :Zr i-- (" - l)t *y2 :1 4==+ n:I* rE:F.cea mai simpib metodb este sd folosim formula Green-Riemann gi sd con-siderXm domeniul D (Figura 14.8) proiectabil pe Oy; prsoD
-: [0,1],u:4)t (y) : y mdrgineqte domeniul la stAnga, iar c: ,hz(il: l + JT_Fla dreapta.
F igura 14.8:
r:,ir.'fJ.
,":{.lt'I{II*I
ItI
\,
i
'^.: fl,W-#)**: lf,d'rds- fo'or/o'*** o*::
lo' ( +t/re - r) o, : *rI-
" i
,_rt*. calcula{i cu formula Gauss-ostrogradski fluxul campului t _ *ri +
A'J + z'k ltrin ^S fa{a exterioard. a sferei *2 +A, * z2: a2.Rezolvare: P : *2, Q : A2, R: z2 gi,g:l) (V) iy : u2 +yz +22 < a2.Oblinernt :
lll Qx + Za + Zz) d,nrtyd,zgi rrecem ta coordonate sferice (p,0, p), (r,ezit/
problema 15-lec(ia 13). Dorneniul i' uoilc' coordcrnate este rrt : p e [0, a],
111LECqIA 14
0 e [0, T], p e [0,2ei] cu det J - p2 siud' Deci
I -, JJJ",\p,i*ocosrp
* ps\n$s-\\p + pcos0) & S*gilpmilp =
: ' lo"
ae lo'"
or,/" i*"t'd (cos p * sin p) + sin 0 cos|)'p3dp :
: t_ [" r2tr
2 Jo o, J, (sin20(cos,p*sin,p) *sindcosd) dg:
: noo [" sin d cos od,o : o.Jo
19. calculali/: f O-s)dn*("- z)dy+(y-*)dz,unde ABCeste
trirrnghiul cu vArfuri #Tp,0,0) , R (0, b, 0) , C (0,0, c) , a,b,c ) 0.Rezolvare:
Figura 14.9:
Fie ? : (z-ili + @- z)j *to-")?. Atunci / : { a.a?. Cu
oJu,formula lui stokes, t : t'lrot ?.fido, unde s este irreriorul triunghiului
sABC, situat in planul t +t* t:.1 *?. z : c(I-Z-#) ei pr*ouS :AOB : {(r,s) l0 S n 1-d,0 S a< a 1r - f)}Elernentul de suprafagd este do : ffi +$d,rd,a,
--+
* -:7 + E7 +T --, /-+, rot -d :, (7 + 7 + 7). outin"*
v,-&-f6z
1L2 LECTTA 14
I : IJ 'G.;.t)ffi=:, /I(;. e,+r)a,au
" Vt+_+fu id's,: * ttt" * ca * ab) Aria (AOB't : bc * ca * ab.
20. Calculali cu formula Green- rRierrrann:
f (, - yr) dr * rd,y,, und,e
C:FrD,iar.D::r2 Sa < v6.. c
Rezor'ar u, I r aP .
Ar ,r,r) - W @,a): l, .-l- 2y. Domertiul D este in figura 13.5.
ob!inem
, : _[o'
o, l,:" (r + ze) o, : lo (a + s,r1l,',=:r* : #--*
2'1-ju forrnula^Gauss-Ctstrogradsk!, calculatrlrHuxul cArnpului r,.ectorialrr =n'i *Y' j +zt k, prin S falaexterioarS, acutrului [0.a] x [0,a] x [0,oJ.R: 3aa.
22. Calculali integrala curbilinie de spe{a a cl)ua, fo}osind formula luistokes: J = f -:nfrt"r + (*"tr +z)au * rstzd,z,
'nde I este cercul
rn2 '+ y2 * R2 , z : r qi este pa]:curs in sens direct in raport cu direclia, pozitirr6a axei Oz.Rezolvare: t@,A,2): p'l +qi +nl , p = -!t/sr2,e: irrr+2,R: ryz.
Srgura \{.10:
Cercul I din pla,nul z =, I este frontiera discr-rlui ,5 :
pr,oyS: {(r', il1"2 +a2 3 n2} si are normala N: k -
z:r,(*,y)eD=liItI3
.-.i;:r3;-.s:#u=
LECTTA 14 113
Folosind formula lui Stokes oblinem
t : It'rrot
-d .l ao : | frt r, + yz zz)d"o,
pe care o trarrsformd,rn in integrald, dubi6 ( D: prroyS )
t == IL@' + u2) d,e'd,y -- t*.n .
Modele de subiecte deexamen
Subiectul 1
1. Enunlul formulei lui Taylor pentru furrclii de o singurX variabilH., declasd C'+1. ,
2. S[ se studieze corrtinuitatea funcliei ] t R2 -+ IR. :
(12
r (r,il: t f* ,
l:,,1] : i3, Sl ei apoi sd se carcureze ffe,r; qiff(r, r).
R: / este coritinud p" IR2 \ {(0, o)}; #0,r) : } qi $j(r, r) : -*.3. SA se determine prurctele de extrem local ale funcliei f (r,il : $Ae-rz-v2 .
*' (#,.#) -l ( . h,-h) punctedemaximrocar,t* (*,-*) nt (-#,#)
puncte de rninim local.
4. sdsecalculez"") Iea-ilrtr*nds,r, { ;=:[l _:l?',t e [0, 2n]; (a> 0 fixat)
c
b) 1: l! "hd'ndv,unde
D este cloruerri'l 1 < u2 +a2 <g.D
Rr a) I = -2a2r; b) /: Zzrln3.
Subiectul 2
1. Enunlul formulei Green-Riemann.2. Sb se calculeze ff r"e-*'dn,n € N cu ajutorul func[iiior lui Euler.
R: |l(+) . DacX n:2lt,k€N, r:1!i;$:! lT,iardac5"n :2k*r,k e N, t: t.'
TT4
115LECTIA 14
3. Se cer punctele de extrem ale lui /(r' Y) : Lr+' I cu dac6' $ * # : t'
R: (-rE, -.r/2) punct de miuiml lntr,"O) punct de maxim'
4. ca\cu\a\i lll*r*tlgd,z,unde$:
# +\P \ * 1#',t'1',iZ\'sI
(o>o)
n'*.
20 DE irurnpeAnr LA CARE STUDENTTI SUNTrNVrrATr sA nAspuNDA
L. Ce sunt nurnerele reale?2. $titi ce inseamn5. fa.ptul c5, e gi zr sunt numere transcendente ?
3. Exist6 o bijeclie intre doud intervale deschise (a,b) qi (c,d) 7
4. De ce numerele complexe nu se aqazd pe ax5 ?
5. De ce nu exist5, inegalit6li intre puncte din R', fl. > '2 ?
6, Pentru z €C., avem ,/P:lzl??. Existd giruri rnonotone de mrmere cornplexe ?
8. Se pot sau nu considera extreme pentru func{ii cu ralori complexe ?
9, Afirmatia "Eu mint" are sa,u nu valoare de ader'5r ?
10. Fie seria, S :2*22 +23 +...+ 2"+... Atunci 25:22 a2e +24...deci ,9 - 2 + 2,9, de unde ,S - -1. Unde este greqeala ?
11. trxistd. serii convergente care nu sunt absolut convergente ?
I-2. Care este importa,nta, seriilor de puteri ?
13. Care este semnifica,lia dezvoltS.rii Ta14or sau Fourier ?
14. Cunoa,gteli interpretarea frzic{. a deriratei pe o direc{ie gi in particulara derir,a.tei partiale ?
15. Care este deosebirea dintre Analiz5, qi Algebrd ?
1-6. $tia{i cd seriile Fourier reprezintd un exernplu de conversie analogic-digit:rld ?
17. Care este semnifica{ia fizici a formulei Gauss-Ostrogradski ?
L8. Cunr se poate discretiza calculul unei integrale curbilinii ?
19. Cunoaqteli interpretarea fizic{" a divergentei unui cdmp de r,ectoriintr-un punct ?
20. Reflectatri la ieg5,tur:ile iutre Ana,liza mal,ematicd qi Analiza numericdsau metode aproximative (norme, aproximE,ri, convergen!5, raporl;ul intre en-titXti continue gi entit6{i discrete).
Ilihliografie
f1] Flcrndor, P., Stdnflgild,, A. - Lectii de an'ali,zd, matematicd'. Fditura A11,
Bucure"sti, 1998.
Stbn5qilX, O. -Ana,li.zd,Iin'iard, gi geometri,e, Edit,ura All. Bucureqt;i, 2000.
St6nd.qild, O. -Analizd,liniard, gi' Itfatemati.ci speciale (voi. I qi II)' EdituraALL, Bucuregti, 2001.
Flondor. D., l)onciu. N. -.4lgebrd, gi anlizd" mat'ematied", Culegere. de pro-
hleme, Vol. 2, trditura Didactic5, ;i pedagogicS., Bucureqti' 1979.
Tlromas George 8., Jr. -Calculus, the 10th edition, Addison Wbslel', 2003.
Bercia, C. -Probl,eme de analizd' ntatematicd, Eklitura Printech, Bucureqti,2003.
[7] Opriqan, Gh., Toma, A., Anton, O. -E:r'erci[i'i, d,e anali.z6, reald, gi complexd',
Editura Prindecir, Bucureqti, 2005.
[B] Opriqan, Gh., St6,n5,qilX, O. -Analizi matemu'ti'cd' tn 1l lec[i'i, EdituraPrintech, But:ureqti, 2006.
t,,21
i3l
i4l
l5l
[6]
117