Colpo d’ariete (cenni)Le variazioni della portata nelle condotte in pressione, per effetto di organi di regolazione o di rotture, porta al verificarsi di processi di moto vario caratterizzati da variazioni di pressione che possono compromettere l’integrità e la funzionalità dell’impianto.

I fenomeni che si sviluppano durante questi transitori di funzionamento sono di natura periodica, con alternarsi di fasi di aumento e diminuzione delle pressioni rispetto ai valori di regime. Le brusche fasi di aumento della pressione si manifestano sotto forma di colpi violenti contro la parete della condotta che sono all’origine del nome di colpo d’ariete che tradizionalmente si da al fenomeno.

Condotte a gravitàColpo d’ariete in una condotta a gravità, con perdite di carico trascurabili, a seguito della chiusura istantanea della valvola a valle.

a) situazione di regime

b) Arresto del moto

Condotte a gravità - 2

Condotte a gravità - 3

Condotte a gravità - 4

Condotte a gravità - 5

Equazioni del moto vario - 1

01

2 2

2

Jt

V

gx

p

g

Vpz

x

0

t

p

dp

dA

dp

dA

x

VA

x

AV

equazione del moto vario monodimensionale

equazione di continuità per le correnti

d

dp l’equazione di stato del fluido (ove è il modulo di comprimibilità cubica del fluido, 2·109 N/m2 a 10 °C per l’acqua)

equazione del legame sforzo-deformazione per la tubazione

A = A[p(x,t)]

per tubazione circolare con diametro D, di materiale elastico per il quale valga la legge di Hooke  = E · D/D e che sia poco deformabile (modulo elastico E molto grande), di spessore e piccolo rispetto a D (e < D/30) e quindi con sforzo legato a p secondo l’espressione di Mariotte  = p·D/(2·e), e libera di deformarsi longitudinalmente per effetto Poisson, porta a:

eE

DA

dp

dD

dD

dA

dp

dA

1)

2)

3)

4)

4’)

Equazioni del moto vario - 2

01

Jt

V

gx

h

02

x

V

g

c

t

h

Tenendo conto, oltre che delle relazioni (3) e (4'), anche delle ulteriori ipotesi :

il termine cinetico V 2/(2·g) del trinomio di Bernoulli sia trascurabile rispetto al carico piezometrico h = z + p/,

siano trascurabili le derivate parziali /x, /x e A/x,

1')

in cui c è la celerità di propagazione delle perturbazioni

si dimostra che l’equazione del moto (1) e l’equazione di continuità (2) si trasformano nelle seguenti equazioni, pure esse alle derivate parziali:

2')

Equazioni del moto vario - 3

2

22

2

2

x

hc

t

h

2

22

2

2

x

Vc

t

V

Se le perdite di carico sono trascurabili (J  0) la (1') e la (2'), attraverso un’ulteriore opportuna derivazione rispetto al tempo t piuttosto che rispetto allo spazio x, possono essere trasformate nell’una o nell’altra delle seguenti equazioni, la cui forma matematica è quella tipica delle equazioni d’onda di D’Alembert:

i cui integrali generali sono esprimibili come:

h = h – h0 = F (x – c·t) + f (x + c·t)

V·c/g = (V0 – V)·c/g = F (x – c·t) – f (x + c·t)

ove le funzioni F ed f sono da definire per ogni caso specifico in relazione alle condizioni al contorno e rappresentano rispettivamente la propagazione della perturbazione verso monte (la F) e verso valle (la f) [Joukowsky, 1898]. Lo stesso Autore mostrò che nella fase di colpo diretto, cioè prima che si manifestino le onde riflesse, si ha:

f (x + c·t) = 0

h = F (x – c·t) = V·c/g

Equazioni del moto vario - 4Più generale, dopo la fase di colpo diretto si ha la sovrapposizione fra onde incidenti e onde riflesse, cioè anche f ≠ 0. La soluzione analitica di tale problema nel caso di J  0 e c  costante consiste nelle cosiddette “equazioni concatenate di Allievi” [Allievi, 1902] [Allievi, 1913] [Citrini e Noseda, 1987].

Qualora invece J ≠ 0 e/o c non costante l’integrazione del sistema delle equazioni (1') e (2') comporta inevitabilmente l’applicazione di metodi numerici alle differenze finite, con risultati che possono essere anche sensibilmente diversi da quelli forniti dalle equazioni concatenate di Allievi.

Chiusura istantanea - 1

)( VmddtF Teorema dell’impulso

)0()( ooo VdsAdtAppp

oneperturbazidellaceleritàdt

dsccon

Questa formula vale a rigore per condotte indeformabili e anche, a meno di infinitesimi superiori, per condotte deformabili.

Chiusura istantanea - 2Per manovre istantanee che non comportino la chiusura totale, ma solo una diminuzione della portata (chiusura parziale), l’aumento della pressione sarà ancora proporzionale alla variazione di portata:

Nel caso di perdite di carico nulle, la variazione di pressione che si ha dopo la fase di colpo diretto avrà lo stesso valore assoluto, ma con segno negativo, così come nelle fasi successive i due valori si ripeteranno ciclicamente. Nei casi reali, tuttavia, le perdite di carico e le dissipazioni dovute alle cicliche trasformazioni dell’energia cinetica in energia meccanica (deformazioni) e viceversa, rendono il processo smorzato.

Apertura istantanea Nel caso di manovre istantanee di apertura, il fenomeno si presenta assolutamente analogo, con la sola inversione dell’ordine delle onde di pressione, che inizieranno con una diminuzione invece che con un aumento. Questa inversione si ha anche nelle condotte a valle della sezione in cui si verifica una chiusura. Il caso più comune è quello delle condotte di mandata degli impianti di sollevamento.

In generale, le diminuzioni di pressione dovute al fenomeno del colpo d’ariete possono essere più pericolose delle sovrappressioni. In questo caso, infatti, se la diminuzione è tale da portare la pressione assoluta vicino allo zero si possono avere fenomeni di cavitazione.

Celerità

eD

E

c

eD

E

c

11

*

Dipende dalla elasticità del fluido e della condotta:

con:

c* = celerità per condotta indeformabile

= modulo di elasticità cubica del fluido

= densità del fluido

= coefficiente dipendente dalle condizioni di vincolo della condotta

E = modulo di elasticità lineare della condotta

D = diametro della condotta

e = spessore della condotta

Per l’acqua a 15° c* 1450 m/s. Per condotte in acciaio e ghisa c = 900 1000 m/s.

= 5/4 – nel caso di tubazione ancorata soltanto all’estremo di monte, con appoggi liberi che consentano deformazioni longitudinali;

= 1 – 2 nel caso di deformazioni longitudinali completamente impedite da ancoraggi continui o dal tipo di rinterro della tubazione;

= 1 nel caso di tubazione con ancoraggi continui, ma con giunti che consentano deformazioni longitudinali;

= coefficiente di Poisson

Arresto istantaneo – evoluzione del processo

Perdite di carico non trascurabili - 1

Perdite di carico non trascurabili - 2

Tipi di manovre

Tm = 0 Manovre istantanee

Tm c

L2Manovre rapide ( o brusche)

Tm > c

L2Manovre lente

Manovre rapide

Manovre lente - 1

m

o

T

VLp

2Formula di Michaud

Manovre lente - 2

Inviluppo delle piezometriche max e min - 1

Inviluppo delle piezometriche max e min - 2

Inviluppo delle piezometriche max e min - 3

Inviluppo delle piezometriche max e min - 4