apunte21v1 deber

Universidad Técnica Federico Santa María versión 1 Pág.____________________________________________________________________________________________

1.- Probabilidad Condicional, Bayes, Independencia

1.1.- Probabilidad Condicional:

DEF:

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral M con IP(E)>0.

Se define la probabilidad condicional de A dado E (se denota IP(A/E)), como sigue:

(**)

OBS:

La probabilidad condicional de A dado E (o bien, la IP del suceso A sí ya ha sucedido el suceso E, o bien, la IP del suceso A condicionado a E), se puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuación:

Nota:La probabilidad condicional es una probabilidad relativa del suceso A con relación al suceso E.

____________________________________________________________________________________________Departamento de Matemáticas Profesor Alejandro Fernández

118


En particular, si M es un espacio finito y A denota la cardinalidad de un evento A, entonces:

o

o

Ejercicio:

Si al lanzar un par de dados insesgados se obtiene que la suma es 5, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2, es decir:

E={ suma es 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} => E=4 y A={un dos aparece por lo menos en un dado}={ (2,1) , (2,2), (2,3), (2,4) ,

(2,5) , (2,6), (1,2),(3,2),(4,2),(5,2), (6,2)}=>A=11.

Hallar IP(A|E)

Solución:

E consta de 4 elementos y en 2 de ellos aparece el número 2, entonces pertenece a A:

AE= {(2,3), (3,2)} => AE=2

EntoncesIP(A|E)=2/4= 1/2.


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Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional:

Si despejamos de la ecuación (**) que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que AE = EA, obtenemos la siguiente fórmula:

Teorema 1:

Obs.este teorema puede extenderse de la siguiente manera por inducción matemática:

Para los eventos A1,A2,.....,An se cumple que

Ejercicios resueltos

1. Suponer que se tiene una caja (20 botellas) de Coca-Cola para la venta, y se sabe que existen 10 que en su tapa traen un premio, determinar:

a- La probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera

que tenga su tapa con premio b- La probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada


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Solución:

a Este experimento ocurre sin devolución, gráficamente sería:

Sean los sucesos:SP = Sin PremioCP = Con PremioP1 = La primera premiadaP2 = La segunda premiada

IP(SP SP CP)=IP(CP / SP SP) IP(SP / SP)IP(SP)= =casos favorables/casos posibles=

=(10910)/(201918) 0.132 13.2%

También para el desarrollo de este ejercicio se pueden hacer uso de árboles, que indican la condicionalidad en las ramas.

2-b


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IP(sale 2da premiada en la tercera prueba)=IP(P1 SP P2)+IP(SP P1 P2)=IP(P1) IP(SP / P1) IP(P2/ P1 SP)+IP(SP) IP(P1/ SP) IP(P2/ SP P1)=((1010 9)/(20 19 18) )+((10109)/(201918)) 0,263 26,3%

(Como ejercicio podría realizarlo usando un árbol).

2- En un costurero se tienen 5 carretes de hilo de los cuales 2 son de color rojo y 3 son de color negro.

a- ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro?

b- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último rojo en la cuarta

extracción?

Solución a- Sean los sucesos:

N = color negroR = color rojo

Existen 2 eventos y la IP(de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro) es:

IP(1)=IP(NRN) + IP(RNN) = IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) +IP(R) IP(N/R)IP(N/RN) IP(1)=((232)/(543))+((322)/(543))=0.4=40%

b- Existen 3 eventos cuyas probabilidades son


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IP (encontrar el último rojo en la cuarta extracción)= IP(que el último rojo sea el cuarto)=

IP(RNNR) +IP(NRNR) +IP(NNRR)==IP(R)IP(N/R) IP(N/RN) IP(R/RNN) + IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) IP(R/NRN) + IP(N) IP(N/N) IP(R/NN) IP(R/NNR)=((3221)/(5432))+((2321)/(5432))+((3221)/(5432))= 0,3=30%

3- En una caja de 100 artículos hay 10 defectuosos se toman al azar 3 artículos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.

Sean los sucesos: Ai = {el artículo i es bueno} Bi = {el artículo i es malo}

IP(A1A2A3)= IP(A1) IP(A2/A1) IP(A3/A1A2)

IP(A1) = 90/100 IP(A2/A1) = 89/99IP(A3/A1A2) = 88/98IP(A1A2A3) = ((908988)/(1009998))=0,73=73%


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Es decir, se debe seguir por el árbol buscando las rutas que correspondan al problema planteado y multiplicando las probabilidades en cada ruta y como las rutas son eventos independientes se suman todos los tramos.

1.2.- Teorema de Bayes y particiones

Supongamos que los eventos A1,A2,.....,An forman una partición de un espacio muestral M; esto es, que los eventos A i son mutuamente excluyentes (incompatibles) y su unión es M. Sea B otro evento. Entonces

donde los son eventos mutuamente excluyentes(incompatibles). En consecuencia por el teorema de la multiplicación queda:

luego el Teorema de la IProbabilidad Total queda:

por otro lado, para cualquier i, la probabilidad condicional Ai dado B se define por

Reemplazando la IP(B) obtenemos el Teorema de causa o Teorema de Bayes :

Teorema de Bayes


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Suponga que A1,A2,.....,An es una partición (sucesos incompatibles) del espacio muestral M y sea B un evento cualquiera del mismo espacio muestral M, entonces para cualquier i tenemos,

Ejercicio:Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avión. Cada forma de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.

Para escoger el método de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realizó en bicicleta.

Sea B el evento que no llegue a destino.

IP(bicicleta/B) =0,4054


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Al usar árboles para resolver un problema condicional de Bayes, se debe multiplicar los tramos de la rama que se busca, (en el ejemplo de que no llegue y sea bicicleta), y dividirlo por la IP total del suceso no llegue a destino.

1.3.- Independencia

Se dice que un evento B no vacío es independiente de un evento A, si la probabilidad de que B suceda no está influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras, si la probablidad de B es igual a la probabilidad condicional de B dado A : , y si la probabilidad de A es igual a la probabilidad condicional de A dado B : . Sustituyendo IP(B) por P(B|A) en el teorema de la multiplicación

, se obtiene

Ejercicios Propuestos

1. Se lanza un dado no cargado.¿Cuál es la probabilidad de que sea primo? (Sol: 2/3)

2. Se lanza un dado no cargado. Si el número es impar ¿Cuál es la probabilidad de que sea primo? (Sol: 1)

3. Se lanza un dado no cargado. Si el número es par ¿Cuál es la probabilidad de que sea primo? (Sol: 1/3)


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4. En cierta Universidad, el 25% son jóvenes y el 10% de los jóvenes son estudiantes de Estadística. Los no estadísticos constituyen el 60% de los universitarios. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser no estadístico, determinar la probabilidad de que el estudiante sea joven. (Sol: 37,5%)

5. Se lanza un par de dados insesgados. Hallar la probabilidad IP de que la suma de sus números sea 8 en el primer lanzamiento. (Sol: p=

)

6. En cierta universidad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen mas de 1,90 cm de estatura, además, el 60% de los estudiantes son mujeres. Si se seleccionan al azar un estudiante mas alto que 1,90 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?. (Sol: 1/5)

7. Un lote de 12 artículos contiene 4 artículos defectuosos. Se toman al azar 3 artículos del lote uno tras otro. Cuál es la probabilidad de que los tres artículos sean buenos?. (Sol : 14/55)

8. Tres máquinas A, B, y C, producen 50%, 30%, y 20% respectivamente del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de artículos defectuosos de producción de estas máquinas son del 5% para A, 4% para B, y 3% para C. Si se selecciona al azar un artículo, cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?. (Sol : 0.043)

9. Si el próximo año hay un aumento en las inversiones de capital, la probabilidad de que el acero para construcciones suba de precios es de 90%. Si no hay incremento en dichas inversiones, la probabilidad de una aumento en los precios del acero es de 40%. Se estima que hay un 60% de probabilidad de que las inversiones de capital aumenten en el próximo año.

a) Construya el árbol de probabilidad, para el aumento y no aumento de las inversiones de capital, y el aumento y no aumento del precio del acero.


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b) ¿Cuál es la probabilidad de que no suban los precios del acero para cosntrucciones, aunque haya un aumento de la inversión de capital?. (Sol : 1/10)

c) ¿Cuál es la probabilidad global (incondicional) de un incremento en los precios del acero para la construcción en el próximo año?. (Sol : 7/10)

d) Si el año siguiente hay un alza real en los precios del acero para construcción, ¿cuál es la probabilidad de que haya un aumento en la inversión de capital?. (Sol : 27/35)

10. En una ferretería se confunden tres ampolletas defectuosas con tres buenas. Para encontrar las ampolletas malas se prueban una a una hasta que se encuentran, entonces :

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta defectuosa en la tercera prueba?. (Sol : 1/20)

b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta defectuosa en la cuarta prueba?. (Sol : 3/20)

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta defectuosa en la sexta prueba?. (Sol : 1/2)

11. En la oficina de un profesor se tienen 2 escritorios (uno café y otro negro), y cada uno de estos tiene a su vez dos cajones. En el escritorio café hay un CD en un cajón y un disquet en el otro. En el escritorio negro hay un CD en en cada uno de los cajones. Un ladrón, que no conoce la información anterior, escoje al azar uno de los escritorios, y de este escoje también al azar uno de los cajones. Como resultado de su búsqueda, el ladrón encuentra un CD. Cuál es la probabilidad de que el CD provenga del escritorio negro?. (Sol : 2/3)


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12. Se lanza un dado, y en forma independiente se escoge al azar una carta de una baraja normal. Cuál e la probabilidad de que :

a) El dado muestre un número par y la carta sea un color rojo? (Sol : 0.25)

b) El dado muestre un número par o la carta sea un color negro? (Sol : 0.75)

13. En una fábrica de televisores, la probabilidad de encontrar televisores con su control remoto defectuoso es de 10%, y con la pantalla mala una probabilidad 5%. La ocurrencia de estos defectos son independientes. Cuál es la probabilidad que :

a) Un televisor no tenga ninguno de estos defectos?. (Sol : 0.855)

b) Un televisor sea defectuoso?. (Sol : 0.145)

c) Si un televisor es defectuoso, este tenga una sola clase de defecto?. (Sol : 0.14)

14. Una nueva clase de automovil funciona básicamente por dos subsistemas (uno electrónico y uno mecánico). Después de un tiempo considerable de pruebas se obtuvieron las siguientes probabilidades : P(electrónico falle)=0.2; P(mecánico falle)= 0.15; P(electrónico y mecánico falle)=0.15. Calcular la probabilidad de que :

a) P(electrónico falle / mecánico falló). (Sol : 1)

b) P(electrónico falle solamente). (Sol : 1/20)

15. En una universidad existen tres medios para el envío de comunicaciones: memorandum, teléfono, correo electrónico. Mediante consulta por intermedio de estos canales, se obtuvo que el 20%


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utiliza memorandum, 16% utiliza el teléfono y un 14% utiliza el correo electrónico, el 8% utiliza memorandum y teléfono, 5% utiliza memorandum y correo electrónico,, y el 2% los tres medios. Para un profesor elegido al azar, calcular la probabilidad que :

a) No utilice ninguno de los tres medios. (Sol: 63%)

b) Utiliza uno de los tres medios. (Sol: 26%)

c) Utilice al menos memorandum y teléfono, si reconoce utilizar al menos uno de los tres medios en análisis. (Sol : 8/37)

16. Se extraen 3 cartas de un naipe inglés, el cual se encuentra sin sus comodines. Encontrar la probabilidad de que :

a) 2 sean aces y 1 sea 10. (Sol : 0.0011)

b) Las 3 sean de la misma pinta. (Sol : 0.052)

c) Las 3 sean de pintas distintas. (Sol : 0.397)

d) De las 3, al menos 2 de ellas sean reyes.(Sol : 0.013)


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2.- Variables Aleatorias Discretas.

Una variable aleatoria es una función definida de un espacio muestral M al conjunto de los números reales IR. Ésta toma elementos de este espacio muestral y les asocia un número real, de modo que se aprovecha la relación de orden definida en los reales.

La variable aleatoria se define a partir de su función inversa debido a que ella preserva las operaciones sobre los conjuntos

Definición: Sea X una variable aleatoria. Si el espacio muestral M es finito o infinito numerable, decimos que X es una variable aleatoria discreta (v.a.d.), en otro caso se dice que es una variable aleatoria continua (v.a.c.).

2.1.- Función de Cuantía (p(xi)).

Definición : Sea X una variable aleatoria discreta. Sea x, el recorrido de la variable aleatoria disceta X, para cada resultado posible xi asociamos un número pi =p(xi)=IP(X=xi), llamado probabilidad de xi.

Los números p(xi), i=1,2,.....deben satisfacer las condiciones siguientes:


131


a esta función se le conoce como función de cuantía (f.c.) de la variable aleatoria discreta X.

Obs.En la expresión la igualdad siguiente se verifica sólo en forma notacional

2.2 Función de Distribución (FX(x)).

Sea X una v.a.d. con función de cuantía (f.c.) p(xi). Se define la Función de Distribución como :

Cuyas propiedades son:

1) Fx(-) = 0.2) Fx() = 1.3) Fx es no decreciente.4) Fx es contínua por la derecha.

2.3 Esperanza (IE[X]).

Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1,...,xn,... y sea p(xi)=IP(X=xi), i=1,2,......n,...Entonces el valor esperado de X (o la esperanza matemática de X), que se denota con IEX, es el número que se define como :


132


Observación :

2.4 Momento de Orden n ( n)

Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía pi(xi), se define el momento de orden n(con n IN) de la variable aleatoria discreta X como:

2.5 Momento Centrado en la Esperanza.

Sea X una v.a.d. con f.c. pi (xi). Se define el momento centrado en la IE[X] de orden n N como :

2.6 Varianza de X (V(X)).

Definición : Sea X una variable aleatoria discreta. Definimos la varianza de X, que se denota con V(X) como el número positivo dado por:

La raíz cuadrada positiva de V(X) se llama desviación estándar de X y se designa como .

PROPIEDADES

1. IEkX = kIEX constante.2. IEk = k constante.


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3. IEX+Y = IEX+IEY X e Y v.a.4. IEaX+bY = aIEX+bIEY X e Y v.a. y a,b

constantes.5. IEXY = IEXIEY si X e Y son v.a.

independientes.6. VkX = k VX constante.7. Vk = 0 constante.8. VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y) X e Y v.a.9. VX+Y = VX+VY si X e Y son v.a. independientes.10. VaX+bY =a VX+b VY+2abCov(X,Y) X e Y v.a. y

a,b ctes.

11. X v.a. y con i=1,2......n

constantes.

12. ****************

3.- Distribuciones Usuales (v.a.d)

Una v.a.d. X toma distintos valores definidos en su recorrido x. Además, a cada uno de estos valores tiene asociada una probabilidad p i, de modo que pi puede escribirse como una función de los valores x i y encontrar la expresión general que la represente. Es esta expresión (la función de cuantía) la que caracteriza el tipo de distribución que tiene la variable aleatoria discreta X.

3.1.- Distribución Puntual.

Se dice que la variable aleatoria discreta X se distribuye como una distribución puntual, si su función de cuantía es de la forma:

Gráficamente se representa por :


134


En consecuencia su Función de Distribución sería :

Gráficamente :

Si X tiene una Distribución Puntual entonces :

3.1.1.- Cálculo de la Esperanza

EX = 1a + 0b = a

3.1.2.- Cálculo de la Varianza


135

a

a


V(X) = 1a2 + 0b2 - (a)2 = 0

Obs. Esta es la única distribución que tiene varianza cero.


136


3.1.3.- Aplicación

La distribución puntual se puede asociar, por ejemplo, al experimento de lanzar una moneda con dos caras o sacar una carta de un mazo en que todas son iguales.

3.2.- Distribución de BERNOULLI

Es un proceso dicotómico, todo evento A tiene asociado una probabilidad de éxito p y una probabilidad de fracaso q = 1-p.

En este tipo de procesos, la v.a.d. X asociada al evento A se distribuye como una distribución de BERNOULLI (XBERN(p)), si su f.c. tiene la forma :

Donde IB(x) se conoce como la función indicatriz:

Gráficamente en este caso la función de cuantía se representa :


137


Por lo tanto su Función de Distribución Fx(x) es :

Y gráficamente tiene la forma :

Si X tiene una Distribución de BERNOULLI entonces :



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3.2.3.- Ejemplo.

Suponga que tiene una caja que contiene fichas rojas y azules. Se sabe que al extraer al azar una ficha la probabilidad de que esta sea roja es del 20%.

De este ejemplo Ud. puede definir la v.a.d. X como "La ficha es roja". Por lo tanto, los valores que puede tomar X están dados por su recorrido X={0,1}; xi=0 si la ficha no es roja y xi=1 si lo es.

Además se conoce la probabilidad de éxito ( p=0.2 de que sea roja). De modo que se puede concluir que la v.a.d. X tiene una Distribución de BERNOULLI XBERN(0.2) Con función de cuantía :

Obs.Para no restringir los valores de X a {0,1}, es posible plantear una generalización para la distribución de BERNOULLI, y en consecuencia, para valores de a y b distintos de 0 y 1 tenemos:

Para que el alumno se familiarice con este tipo de distribución, le recomendamos la tarea de encontrar la Varianza y la Esperanza para la función de cuantía general presentada.

3.3.- Distribución Binomial.


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Se efectúan "n" ensayos independientes de BERNOULLI, con probabilidad de éxito "p"(siendo la IP de éxito constante) y probabilidad de fracaso "q=1-p", y nos interesa conocer la posibilidad de tener k éxitos en n repeticiones del experimento. De ahí que la binomial es una generalización de la distribución Bernoulli.

Definimos X={número de éxitos en las "n" repeticiones del experimento}.

X = 0,1,2,..,n

Se dice que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p, se denota como XBIN(n,p). Nos interesa conocer su función de cuantía.

Sea w=(1, 1, ..., 1, 0, 0, ..., 0) donde tenemos un número k de unos y n-k de ceros, o, lo mismo decir "k" éxitos y "n-k" fracasos.

Entonces:

P(1, ..., 1, 0, ..., 0)=pp...p(1-p)...(1-p)

=p k(1-p)n-k

¿Cuántos reordenamientos posibles hay del tipo anterior (k unos y n-k ceros en distintas posiciones)?

¿Cuántos subconjuntos de x elementos hay en un conjunto de n elementos?

En total hay elementos de obtener k éxitos en las n extracciones debido a que no importa el orden. Entonces, podemos ver que la función de cuantía para "xi", número de exitos, es :


140


Obs. 1.- La Distribución Binomial se puede asociar al experimento de extracciones con devolución.

2.- Se llama Binomial pues satisface

Conociendo la f.c. se puede deducir la función de distribución de X :

Si X tiene una Distribución Binomial entonces :



V[X] = E[X2 ] - (E¨[X])2= np(1-p)

3.3.3.- Función generatriz de momentos

3.3.4.- Ejemplos


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1.- Supóngase que los artículos que salen de una línea de produccíón se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N).

Se eligen al azar tres artículos de la producción de un día y se clasifican de acuerdo al siguiente esquema.Se define el espacio muestral M.

M={DDD,DDN,DND,NDD,NND,NDN,DNN,NNN}

Si la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es del 20% y de 80% para no defectuoso. Las probabilidades son iguales para cada artículo y la clasificación de cualquier artículo es independiente de la clasificación de cualquier otro, entonces las IP de los elementos del espacio muestral son:

(0.2)3, (0.8)(0.2)2, (0.8)(0.2)2, (0.8)(0.2)2, (0.2)(0.8)2, (0.2)(0.8)2, (0.2)

(0.8)2, (0.8)3

Lo que realmente nos importa es el número de artículos defectuosos,

sin importar el orden, es decir, considerar la variable aleatoria X que

asigna a cada uno de los resultados sM el número de artículos

defectuosos encontrados. Por lo tanto el conjunto de valores posibles

de X es {0,1,2,3}.

Podemos obtener la distribución de probabilidades para X,

p(xi)=IP(X=xi) como:

X= 0 ocurre NNN.

X= 1 ocurre DNN,NDN,NND.

X= 2 ocurre DDN,DND,NDD.

X= 3 ocurre DDD.

donde P(X = 0) = (0,8)3

P(X= 1) = 3 (0,2) (0,8)2


142


P(X=2) = 3 (0,8) (0,2)2

P(X=3) = (0,2)3

Nótese que: 0,83 +3*0,82*0,2+3*0,22*0,8+0,23= 1

2.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

Solución: Sea X: Cantidad de personas que reservan mesa pero no asisten.Como estamos en presencia de un experimento de Bernoulli que repetimos en forma independiente y la probabilidad de éxito p=0,15 es constante puesto que se realiza el experimento con reposición tenemos:

X Bin (25;0,15)

La probabilidad deseada es:P[x5] = ****************

=

= 1- 0,6821 = 0,3179

3.4.- Distribución Hipergeométrica

Sea X una v.a.d. Se dice que X se distribuye como una hipergeométrica si ocurre una situación semejante a la que se describe a continuación.

En una caja hay N1 artículos del tipo A y N2 artículos del tipo B.

Supongamos que extraemos una muestra de tamaño n, una a una al azar, y


143


sin devolución (n N1+N2 ). Nos intereza conocer la probabilidad de

obtener k elementos del tipo A en la muestra.

Sea X ={ número de artículos del tipo A en la muestra}. Por lo tanto su función de cuantía tiene la forma :

Donde máx{0,n- } xi mín {n,N1}

Esto se debe al hecho de que se distingue como casos posibles a todas las combinaciones que se puedan hacer para obtener una muestra de n elementos de un número total de N1+N2. Esto es :

Y los casos favorables están dados por el producto entre las combinaciones de obtener xi éxitos y n-xi fracasos. Esto es :

Si X tiene una Distribución Hipergeométrica entonces :

3.4.1.- La Esperanza es

3.4.2.- La Varianza

3.4.3.- Ejemplo


144


Se tienen cuatro cajas (C1, C2, C3, C4) donde :- C1 contiene 30 bolitas rojas, 10 azules y 60 negras.- C2 contiene 40 bolitas rojas, 20 azules y 40 negras.- C3 contiene 45 bolitas rojas, 30 azules y 25 negras.- C4 contiene 20 bolitas blancas 30 verdes.Se sacan 5 bolitas sin devolución de la caja C4. Si se obtienen a lo menos 4 bolitas blancas, se procede a sacar 3 bolitas de la caja C1 sin devolución. Si se obtiene a lo más 1 bolita blanca, se procede a sacar 2 bolitas de la caja C2 sin devolución. En cualquier otro caso, se procede a sacar 1 bolita de la caja C3.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita azul con el procedimiento señalado?

Resp.: A = azul ; B = blancas. Se pide

IP(1A)=IP(1A/C1)*IP(C1)+IP(1A/C2)*IP(C2)+IP(1A/C3)*IP(C3)

donde IP(C1) = 0,07592 IP(A/C1) = 267/1078

IP(C2) = 0,32595 IP(A/C2) = 32/99IP(C3) = 0,59813 IP(A/C3) = 3/10

lo cual, implica que IP(A) = ***************************************************************************

3.5.- Distribución Geométrica

Se dice que la v.a.d. X se distribuye como una Geométrica (XGEO(p)) si su función de cuantía tiene la forma :


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Esto es gráficamente :

Es posible demostrar que satisface las dos condiciones que debe cumplir una función de cuantía y que ya fueron descritas.

La primera es que la función de cuantía es mayor que cero para todo el recorrido de X.

Y la segunda propiedad, es que la suma de la función de cuantía en el recorrido de X sea igual a 1.

Observación:


146

1 2 3

p * q²

p * q

p

*

*

*

Xi

Pi


Y su función de distribución es por lo tanto :

Que gráficamente corresponde a :

Si X tiene una Distribución Geométrica entonces:


Observación :

3.5.2.- La Varianza es


147

apunte21v1 deber

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