IV. Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii neliniare

Ecuaiile studiate n acest capitol vor fi de forma sau . Pentru nceput, va fi studiat posibilitatea rezolvrii unor asemenea ecuaii n cazul funciilor reale de o variabil real.

IV.1. Metoda biseciei

Fie un interval n i o funcie continu. Presupunem c exist i este unic , astfel nct . Atunci .

Fie , i fie , astfel nct . Dac , atunci rdcina cutat este . Dac , continum construcia. Alegem astfel nct . Dac , atunci rdcina cutat este . n caz contrar, i aa mai departe.

S presupunem c procesul este infinit, deci c se construiete un ir de intervale, astfel nct i . Avem atunci pentru orice . Se aproximeaz z cu (sau cu ) , alegerea fcndu-se n funcie de eroarea propus folosind urmtoarele formule de evaluare a erorii:

,

.

Exemplul 1. S rezolvm cu o eroare mai mic dect ecuaia .

Soluie. Prin metode elementare se constat c ecuaia are trei rdcini: , , . Considerm deci funcia . Avem . Pentru a aproxima rdcina cu o eroare mai mic dect va trebui s avem , pentru care este suficient s lum . Folosind metoda bipartiiei, constatm c i deci rdcina se poate aproxima cu sau cu , fcnd o eroare mai mic dect .

Exemplul 2. S aproximm prin metoda bipartiiei, fcnd o eroare mai mic dect , rdcina din intervalul a ecuaiei .

Soluie. Se consider funcia , . Avem i prin metode elementare se constat c rdcina este unic n intervalul considerat. Pentru ca n metoda bipartiiei eroarea s fie mai mic dect este suficient ca , adic . Este suficient s lum . Dup realizarea calculelor avem , . Rdcina se poate aproxima deci cu sau cu , fcnd o eroare mai mic dect .

IV.2. Metoda aproximaiilor succesive

Metoda este folosit pentru rezolvarea aproximativ a unor ecuaii de forma . Aproximarea se face prin termenii unui ir construit dup formula . Suportul teoretic este dat de principiul contraciei pe care l vom prezenta pentru funcii reale de o variabil real.

Fie un interval n .

Definiie. Funcia se numete contracie dac exist , astfel nct , pentru orice .Observaie 1. Orice contracie este uniform continu i este deci continu.Observaie 2. Constanta q nu este unic.

Propoziie. Fie o funcie derivabil, pentru care exist , astfel nct pentru orice . Atunci f este o contracie.

Teorem (principiul contraciei). Fie un interval nchis n R i o contracie. Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru orice , irul , definit prin , converge ctre z. Dac pentru orice (), atunci

.

Observaie. Aproximarea lui z prin (teorema precedent) este cu att mai eficient cu ct q este mai mic.

Exemplu. Fie funcia . S se arate c i c pe acest interval f este o contracie. S se rezolve ecuaia cu o eroare mai mic dect .

Soluie. Funcia f este strict descresctoare, continu, , , deci . Apoi, pentru orice i deci . Conform principiului contraciei, exist i este unic un punct , astfel nct . Fie i . La fiecare pas eroarea se evalueaz prin . Avem

Se aproximeaz z cu , fcnd o eroare mai mic dect .

Observaie. n exemplul precedent s-a modelat ecuaia , astfel nct s se ajung la forma .

Exerciiu 1. Fie i , . Folosind principiul contraciei, s se arate c irul , definit prin , , este convergent i c .

Exerciiul 2. Folosind metoda din exemplul 1, s se aproximeze cu o eroare mai mic dect rdcina din intervalul a ecuaiei .

Indicaie. Cu irul lui Rolle se arat c ecuaia are trei rdcini reale n intervalele , , . Cu metoda bipartiiei se reduce intervalul la . Pe acest interval se modeleaz ecuaia sub forma . Funcia este atunci o contracie pe .

IV.3. Metoda lui Newton

Cunoscut i sub numele de metoda tangentei, metoda aproximeaz rdcinile unor ecuaii de forma .

Fie .

Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie o funcie de clas , astfel nct pentru orice i . Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru orice , astfel nct , irul definit prin rmne n , converge ctre z i .

Teorema 2 (metoda lui Newton simplificat). Fie o funcie de clas , astfel nct pentru orice i . Atunci exist i este unic , astfel nct . Dac este astfel nct , atunci irul definit prin rmne n , converge ctre z i .

Exemplul 1. S se rezolve, cu o eroare mai mic dect , ecuaia .

Soluie. Prin metode elementare se constat c ecuaia are o singur rdcin real, aflat n intervalul , unde pentru orice x. Dac , atunci i deci, conform teoremei 1, irul , definit prin , converge ctre rdcina ecuaiei considerate.

Deoarece , eroarea se evalueaz prin . Se obine , iar eroarea este mai mic dect .

Exemplul 2. S se rezolve ecuaia .

Soluie. Folosind pentru nceput metoda bipartiiei, se constat c ecuaia are soluie unic aflat n intervalul . Avem , , funcii care nu se anuleaz n intervalul . Se poate lua . Deoarece , pentru irul definit prin

sau

,

eroarea se evalueaz dup formula . Se obine , i rdcina se aproximeaz cu , fcndu-se o eroare mai mic dect .Observaie. n cele dou exemple precedente este de remarcat numrul mic de iteraii fcute pentru obinerea unei aproximri bune, aceasta n comparaie cu metoda bipartiiei.

IV.4. Metoda lui Newton (cazul funciilor de mai multe variabile)

Se consider pe spaiul una din normele uzuale, spre exemplu , iar pe spaiul norma operatorial indus . Astfel, dac , atunci .

Amintim c dac , este derivabil, atunci

.Metoda urmrete rezolvarea aproximativ a sistemului de ecuaii neliniare

(1)

Sistemul precedent se scrie , unde .Propoziiile care urmeaz produc tehnicile necesare obinerii metodei lui Newton n acest cadru..Amintim c

; .

Propoziia 1. Fie D o mulime deschis i convex n i o funcie derivabil, pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie un punct n care derivata este inversabil i fie . Fie , astfel nct i . Atunci, pentru orice , exist i .

Funcia f este injectiv pe .

Propoziia 2. Fie o mulime deschis i convex, fie o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Atunci

.

Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie o mulime deschis i convex, o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Presupunem c exist , astfel nct i c este inversabil. Fie , i , astfel nct i . Atunci, pentru orice , irul , construit prin

,

rmne n , converge ctre z i

.

Teorema 2 (metoda lui Newton simplificat). Cu aceleai ipoteze i notaii ca n teorema precedent, fie , astfel nct i . Atunci, pentru orice , irul definit prin

rmne n , converge ctre z i

.

Observaie. n prezentarea teoremei 1, prezena unui parametru iniial i alegerea corespunztoare a razei r, astfel nct

,este fcut pentru a pune n eviden superrapiditatea procesului n vecintatea soluiei z. O variant mai acceptabil n eventualitatea n care se dorete verificarea ndeplinirii ipotezelor este urmtoarea:

Teorema 3. Fie o mulime deschis i convex, o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Presupunem c exist , astfel nct , i c exist . Fie i , astfel nct i . Atunci, pentru orice , irul , construit prin

,

rmne n , converge ctre z i

,unde

.

n metoda Newton simplifiat se poate impune restricia , evaluarea erorii fiind cu precizarea c .Exemplu. Fie sistemul

Prin metode grafice, construind n acelai sistem de axe graficele curbelor de ecuaii i , constatm c sistemul are dou rdcini, ambele n primul cadran i c una dintre rdcini este localizat n . Pentru a aproxima aceast rdcin considerm funcia

Atunci

unde .

Se poate arta c sunt ndeplinite condiiile din teorema 3, spre exemplu c pe dreptunghiul considerat derivata este n fiecare punct inversabil. Fie i . Atunci

.

Se obine . Apoi

.

Se gsete .

Observaie. .

IV.5. Metoda Newton-Kantorovici

Metoda lui Newton prezentat n paragraful precedent are avantajul de a fi foarte rapid convergent i dezavantajul de a localiza procesul iterativ n jurul soluiei necunoscute. Acest dezavantaj este nlturat n varianta urmtoare a metodei, datorat lui Kantorovici. n acest procedeu stabilitatea metodei n domeniul de definiie se face pas cu pas prin intermediul urmtoarei proprieti:

Propoziia 1. Cu ipotezele i notaiile din paragraful 1, fie . Dac exist astfel nct , atunci

.

Teorema 1 (metoda Newton-Kantorovici). Fie , o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie , . Dac i , unde

,

atunci ecuaia are soluie unic . Dac i

,

atunci i .

Teorema 2 (metoda Newton-Kantorovici simplificat). Cu notaiile i ipotezele din teorema precedent, exist i este unic , astfel nct . Pentru orice , irul , rmne n , converge ctre z i

unde ().

Teorema 3. Fie o mulime deschis i convex, o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie , astfel nct este inversabil i fie . Fie i presupunem c . Fie i presupunem c .

Atunci exist i este unic , astfel nct . irul , rmne n , converge ctre z i unde .

IV.6. Metoda aproximaiilor succesive (cazul funciilor de mai multe variabile)

Ca i n paragraful 2, metoda se ocup de rezolvarea aproximativ a unor ecuaii de forma , unde .

Definiie. Funcia se numete contracie dac exist , astfel nct pentru orice .

Exemplu. Amintim c dac este o mulime deschis i este derivabil pe segmentul , atunci

Atunci, dac funcia f este derivabil pe mulimea deschis i convex D i pentru orice , funcia f este o contracie pe D.

Amintim c se spune c funcia f este derivabil pe mulimea nchis A dac exist o mulime deschis D pe care funcia f este derivabil i .Dac funcia f este derivabil, cu derivata continu pe mulimea compact i convex A, atunci

pentru orice , iar dac pentru orice , atunci funcia f este o contracie pe A.

Teorema 1 (principiul contraciei). Fie o mulime nchis i o contracie. Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru orice irul definit prin converge ctre z. Dac pentru orice (), atunci

.

Metoda rezultat, n care z se aproximeaz cu termenii irului , se numete metoda aproximaiilor succesive.

Exemplul 1. Fie , , o funcie derivabil pentru care exist , astfel nct

pentru orice . Atunci funcia f este o contracie pe ( ) i deci exis i este unic , astfel nct , iar pentru aproximare se poate folosi metoda aproximaiilor succesive.Exemplul 2. Se consider sistemul

.

Fie , ,

, ,

.Atunci

.

Rezult c funcia f este o contracie pe :

.

Ecuaia are atunci soluie unic n dreptunghiul considerat i pentru aproximarea acestei soluii se poate folosi metoda aproximaiilor succesive. Fie i . Eroarea se aproximeaz prin

adic prin

Se obine

,

i atunci .Exemplul 3. Se consider sistemul

Funcia are proprietile:

,

Rezult c

i deci f este o contracie pe . Exist atunci i este unic , astfel nct , . Pentru aproximarea soluiei z se poate folosi metoda aproximaiilor succesive. Formula de evaluare a erorii este atunci

.

V. Aproximarea spectrului unei matrici reale simetrice

V.1. Spectrul unei matrici simetrice

Pe spaiul se consider produsul scalar canonic , , i se noteaz (norma euclidian). Dac este un operator liniar, atunci este norma operatorial generat de norma euclidian: . Dac , atunci genereaz operatorul adjunct , ce poate fi definit i prin proprietatea , pentru orice . Dac matricea este simetric, atunci operatorul generat T este autoadjunct: .

Mulimea , adic familia rdcinilor polinomului caracteristic se numete spectrul lui T i se noteaz . Dac T este autoadjunct, atunci spectrul este format numai din numere reale.

Fie A o matrice real simetric. Se ordoneaz spectrul lui A: , .Unul din rezultatele cu importan mai mult calitativ, care st la baza realizrii unor metode de aproximare a spectrului, este:

Teorema 1 (E. Fischer). Dac A este o matrice real simetric i , , atunci

,

unde este familia subspaiilor de dimensiune j n .Ca o consecin a teoremei precedente are loc un prim fenomen de aproximare:

Teorema 2. Fie A, B matrici reale simetrice ale cror spectre, scrise n ordine cresctoare, sunt , respectiv . Atunci

, .(1)

Dac , se noteaz

.

Aceasta este o norm pe mulimea metricilor , numit norma Frobenius, i avem

(2)

Din (1) i (2) rezult c avem

(3)

Pentru matricea simetric A se noteaz

.

S presupunem c elementele de pe diagonala matricii , scrise n ordine cresctoare, sunt i c spectrul lui A este . Atunci

, (4)

Se noteaz , deci i relaia (4) se scrie

, (5)

V.2. Metoda rotaiilor

Fie o matrice real simetric. Fie

(1)

Matricea T are m linii i m coloane i n afara elementelor specificate are numai zerouri.

Metoda rotaiilor este un procedeu iterativ de aproximare a spectrului matricii A constnd n construcia unui ir de matrici , unde , , iar este de forma (1). Fiecare matrice are acelai spectru ca i , iar irul se construiete astfel nct n (5), paragraful 1, va rezulta c spectrul lui poate fi aproximat cu diagonala lui , scris n ordine cresctoare.

Fie , .

Dac , , atunci .

Dac , atunci , .

.

Au loc urmtoarele proprieti:

.

Din egalitatea precedent se observ c dac , atunci i aceasta, mpreun cu (5) paragraful 1 va permite construcia unui ir de matrici n care diagonalele pot aproxima spectrul lui A.

Dac i , atunci ().

Dac i , atunci .

Teorem (metoda rotaiilor). Fie i A o matrice real simetric. Se consider irul de matrici , unde , , fiind de tipul (1), n care, dac , parametrii , , sunt astfel nct , iar parametrul este ales astfel nct . Fie elementele de pe diagonala matricii scrise n ordine cresctoare i spectrul lui A scris, de asemenea, n ordine cresctoare.

Atunci , i

,

unde .

Exerciii. Folosind metoda rotaiilor, s se aproximeze cu o eroare mai mic dect spectrele matricilor urmtoare:1.

R. 2.

R.

3.

R.