Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemtica y Ciencias de la Computacin

INTEGRACION NUMERICA Profesor: Jaime lvarez Maldonado INTEGRACION NUMERICA Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

Se considera , la idea de la integracin numrica es aproximar la funcin con un polinomio de interpolacin. Al hacer esto, se acepta que habr un error asociado. Por lo tanto = + . Formulas a utilizar:

Cuadratura de Newton-CotesRegla del Trapecio = 2 +

Regla de Simpson 1/3 = 3 +4 +

12

Segunda Regla de Simpson 3/8 = 3 8 2 +3 +3 +

90

Regla de Trapecio Compuesto T.C = +2 +

3 80 12 + ; =

Regla de Simpson Compuesta S.C : n=par = 3 +4/

+2

/

180

;

=

Notaciones: , ,,

Nodos: Puntos de la recta numrica, separados pero alguna distancia por lo general estn equiespaciados, es decir, se encuentran a la misma distancia = = + , , , = 0,1, , = = 0,1, ,

Demostracin:

-Trapecio simple = +

Se puede denotar a

,

= 0,1,2, ,

ya

= .

Por definicin, se tiene en cuenta que se puede aproximar una funcin por medio de un polinomio, y para que esta aproximacin pase a ser exacta, se debe incluir un cierto error, es decir; Segn Lagrange, un polinomio se puede expresar de la siguiente forma: = , =

En cuanto al Error, este tiene la siguiente forma: Luego: = + 1!

= =

+

+ 1!

+ + 1! 1 + 1!

,

Ordenando la expresin, queda: =

+

Como se desea demostrar la regla del trapecio, tenemos que ocupar n=1, en el caso e Simpson n=2, adems de que = y = , con = . Por lo que nuestro polinomio quedara de la forma segn Lagrange : = + , : 1 2!

= = = = 2

2

+

+ 2 2

+ +

=

=

=

2 2 2 2

+ + + +

+ + + 2! 3 2!

+ 2 + +

+ + +

12 12 + + 12

2

2

3

+

2!

=

= =

2 2

+

+

+3

3

+

+

2

+

3

+

+6

6

12

Finalmente tenemos la regla del trapecio con su correspondiente error, esto es anlogo para las otras formulas.

12

=

Para demostrar la regla del trapecio compuesto, es solo sumar n veces, la formula trapecio simple.

1 Calcule la integral = Sol: a pasos h= obtenida.

y h= , respectivamente. Obtener conclusiones con respecto a la precisin

usando las frmulas del trapecio y Simpson con

Los nodos son;

Primero calcularemos la integral por la regla del trapecio con una distancia entre los nodos de h= . , , , , ,2 = , , , , , , , , 9 nodos = , = .+ 3 2 +

Entonces lo mejor es ocupar la formula de trapecio compuesto,=

Nodos N = 0, , ,

+2

Siendo

2

1 7.3890561 + 2 5.1885102 + 4.4816891 + 5.1885102 + 7.3890561 + 10.522895 2 4 2 + 12.182494 + 10.522895 + 7.3890561 Aproximacin por regla de Trapecio compuesto

=

1 2 42

+

,

0 +2

+

+

+

= 0,

=2 y = .

4

+

+2

+

+

3 4

++

,

+

5 4

7 4

+

2

77.55671548

Los nodos son;

b Ahora calcularemos la integral por la regla del Simpson con una distancia entre los nodos de h= . ,2 = , , , , 5 nodos

Nodos N = 0, , , 3

Entonces lo mejor es ocupar la formula de Simpson compuesto, +4 + +2 + ,

= , =

2

=

El resultado exacto de la integral es;

79.1319849 Aproximacin por regla de Simpson compuesto 77.55671622 = |77.55671548 77.55671622| = 0.00000074 = 7.4 10

%

>

%

, entonces hay una mejor aproximacin usando trapecio

Entonces; =

Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura. +2 +1 +3 4 +2 +3 +1 4 4 = 0.5 2 + 0.7 3.5 + 1.2 4.6.

La derivada es

= 4 3, se debe despejar x de la ecuacin =

En cuanto a los errores:

2+3 +2 = 0.5 4 2+3 +1 4 0.159660222489

3.5 + 3 +2 4 + 0.7 3.5 + 3 4 +1

4.6 + 3 +2 4 + 1.2 4.6 + 3 +1 4

.

Segn los resultados, la aproximacin de la integral por medio de la cuadratura dada, es muy mala, pues alcanza un error del 51.62%. Por lo que es muy poco eficiente y efectivo. 26 a Encuentre los coeficientes de una cuadratura que tiene la forma: combinacin lineal de cometido./

=| Error Absoluto para el trapecio doble Error Relativo Porcentual para el trapecio doble

%

| = 0.170340127887 =| | | |

100% 51.62%

Use tem a para aproximar

=

0 +

= 1, cos

/4 +

1 + 2 cos

, cos

/2 y que es exacta para funciones que son una . +3

y calcule el porcentaje de error

Sol: a

Para que la frmula integre de forma exacta funciones que son una combinacin lineales de , entonces; = 1, cos , cos =1 = 1 = cos/

1

/

=

En forma matricial; 1 1

/

cos

=

+

=0= =

+

=

+

+ 0.5

1 0.5 0 La cuadratura entonces es;

0

1

= 1

0.2673035 = 1.03618933 0.2673035 4 + 0.2673035 2

Formula exacta para combinacin lineal dada. 0, 0, /2 = +

= 0.2673035 0 + 1.03618933

b Se debe cambiar los lmites de integracin de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura no tiene los mismos lmites que esta. 0= 0+ /2 = +

La solucin de este sistema de ecuaciones es: = 1 2 =0

Entonces; =2

Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la cuadratura.

La derivada es

= , se debe despejar x de la ecuacin =2

1 + 2 cos =

+3/

4 + 2 cos 2

/

1 + 2 cos 2 2 2

+3 1

2

2

= 2 0.2673035 4 + 2 cos 0 3 9.35872864 =

= 2 0.2673035 0 + 1.03618933 0

3

+ 0.2673035 4 + 2 cos 2 +3 =%

2

+ 1.03618933 4 + 2 cos 2 3 2 2

4

+ 0.2673035

4

2

3

2

4

En cuanto al error cometido: Error Relativo Porcentual

1 + 2 cos

5 = 7.85398163 2| | | |

Segn los resultados, la aproximacin de la integral por medio de la cuadratura dada, no es buena, pues alcanza un error del 19.16%. Una explicacin a esto, puede ser la combinacin lineal que se utilizo para obtener los coeficientes de la cuadratura.

=

100% 19.16%