analiza numerica partea i

7/22/2019 Analiza numerica Partea I

1/12

PARTEA I

PRINCIPIILE MATEMATICII NUMERICE

ANALIZA STABILITII I ERORILOR

1.1. Probleme stabile (sau bine puse)

Considerm problema: calculeazxastfel nct 0dxF , (1)

unde deste mulimea datelor de care depinde soluia xiFeste relaia funcional ntrexi d.n funcie de problema particular rezolvat, xi dpot fi din R, din Rn(vectori)sau din Rmxn(matrice).

Definiia 1.DacFi d sunt date (cunoscute), problema (1) se numete direct. DacFix sunt date, problema (1) se numete invers. Dac d ix sunt date, problema (1) se numete

problem de identificare.Definiia 2. Problem (1) se numete stabil sau bine pusdac soluia xeste unic i

depinde continuu de datele d. Dac problema (1) nu este stabil, pentru rezolvarea sa numericeste necesar transformarea ei ntr-o problem stabil.

Observaie. Prin dependen continu de date nelegem faptul c perturbaii mici aledatelor ddetermin modificri mici ale soluieix. Cu alte cuvinte, dac d este perturbareaadus datelor i x este perturbarea indus soluiei i are loc relaia

0 ddxxF , (2)atunci,

dK , 0 astfel nct dxd

ddKxd ,

undex

. este norma pe spaiul soluiilor id

. este norma pe spaiul datelor.

n continuare, pentru simplificare, vom nota ambele norme cu . , faptul c o norm

este definitpe un spaiu sau cellalt fiind neles din context.

Exemplul 1. Fie polinomul 112 24 aaxaxxp . Problema 0, axF ,unde xpaxF , nu este stabil deoarece exist o variaie discontinu a numruluirdcinilor din Rale lui xp funcie de parametrul continuu a.

Evident, notnd 02 xt , rezult

01122 aatat ,

cu soluiile 11 at i at 2

Dac 1a sunt 4 soluii distincte n R Dac 1a , 1,0 21 tt i sunt 4 soluii n R(dou confundate) Dac 10 a sunt 2 soluii distincte n R Dac 0a sunt 2 soluii confundate n R Altfel, problema nu are soluii n R

Observaie. Condiia de unicitate a soluiei poate fi ndeplinit, dac prin soluienelegem un vector cu fiecare component rdcin a polinomului (vezi exemplul 2). Pentruca acest lucru s fie posibil trebuie ca, indiferent de date (aa cum este formulat problema,

a R), numrul rdcinilor s rmn acelai. De exemplu, problema devine este stabilpentru mulimea datelor satisfcnd 4a .


2/12

Definiia 3.Pentru problema (1) indicatorul de condiierelativeste definit prin

dd

xxdK

Dd

sup

unde D este o vecintate a originii i desemneaz setul perturbaiilor admisibile asupradatelor dpentru care problema perturbat (2) are sens. Dac 0d sau 0x este definitindicatorul de condiie absolut, prin

d

xdK

Ddabs

sup

Definiia 4. Problema (1) este bine condiionat dac dK este mic pentru oriceperturbaie admisibil.

Observaie. Chiar dac indicatorul de condiie formal este infinit, problema poate fireformulat echivalent astfel nct s devin problem stabil (vezi exemplu 2).

Dac problema (1) admite o soluie unic, atunci exist o funcie G, numitfuncie carerezolv problema (rezolvitor), definit pe mulimea valorilor datelor dcu valori n mulimeavalorilor soluiei i astfel nct

0,, ddGFdGx (3)Pe baza relaiei(2), rezult

ddGxx (4)Dac Geste difereniabil, din dezvoltarea n serie Taylor, prin aproximare de ordinul I,

obinem, dOddGdGddG ' , pentru 0d

ddGdGddG ' Pe baza relaiilor (3) i(4), obinem,

dGddGxddGx

dd

dGddG

dd

dGdGddG

dd

xxdK

DdDdDd

'supsupsup

Observaie. Dac :G Rn Rm, atunci dG' este matricea Jacobian calculat nvectorul d.

Deoarece, dac . este norma unui vector, rezult c funciax

AxA

x 0

sup

este norma

indus pe mulimea matricelor, obinem,

dGd

ddG

Dd

''

sup

i deci

dG

ddGdK '

Similar, dGdKabs '

Observaie. Dac :G Rn Rm, atunci dG' este matricea Jacobian calculat n

vectorul d.Exemplul 2.Fie ecuaia algebric de gradul II,


3/12

0122 pxx , cu 1p

Deoarece 14 2 p , rdcinile sunt 12 ppx .n acest caz 12, 2 pxxpxF , pd i x este vectorul Txx , . Funcia

rezolvitor este,

:G RR2, TxxpG ,

TpppppG 1,1 22 Obinem,

11

11

'

2

2

p

p

p

p

pG

Considernd 222 ,.. yxy

x

, rezult,

2411 22222 ppppppG

1

24

11

11'

2

22

2

2

2

p

p

p

p

p

ppG

pp

Obinem,

1'

2 p

p

pG

ppGpK

Concluzii

1. n cazul rdcinilor bine separate (de exemplu 2p ), problema 0, pxF estebine condiionat.

2. n cazul rdcinilor multiple, pentru 1p , funcia :G RR2,

TpppppG 1,1 22 nu este difereniabil, deci pK nu poate fi calculat nfuncie de G.

n plus, dac 1p , dar este apropiat de 1, pK are valori mari i problema nu este

bine condiionat. Problema poate fi reformulat ntr-o manier echivalent i astfel nct sdevin stabil.

Fie 11

,2

2

xt

txtxF , 0, txF , cu 12 ppt .

Evident, pt

t2

1 2

.

Cele dou rdcini suntt

x 1 , tx

1

11

2

2

pppp i coincid pentru

1 pt . Pentru funcia considerat, rezult


4/12

T

tttG

1

T

ttG

2

11'

t

t

tttG

11 4

2

2

2

4

4

111'

t

t

ttG

Rezult,

1' tG

ttGtK

deciproblema este stabil n aceast reprezentare.

1.2. Stabilitatea i convergena metodelor numerice

Considerm c problema (1) este stabil. O metod numeric pentru aproximareasoluiei problemei (1)este n general o secven de probleme ce depind de 1n ,

1,0, ndxF nnn (5)

i astfel nct xxn cnd n , adic soluia numeric este convergent ctre soluia

exact. Pentru aceasta trebuie ca ddn i nF s aproximezeFcnd n .

Definiia 5. Dac setul de date ddin (1) este admisibil pentru nF , problema numeric

(5) se numete consistentdac

0,,, dxFdxFdxF nn cnd n . (xeste soluia problemei 1)O metod se numete consistent n sens tare dac

0,,, dxFdxFdxF nn pentru orice n(nu numai dac n ).Definiia 6.n cazul metodelor iterative, problema (5) are forma,

qndxxxF nqnnnn ,0,,...,, 1 (6)

cu 110 ,...,, qxxx valori date. n acest caz consistena n sens tare revine la verificarea

proprietii, qndxxxFn ,0,,...,, (7)

Exemplul 4. Fie metoda iterativ de aproximare a rdcinii unice a funciei:f RR, dat de relaia

1,' 1

11

nxf

xfxx

n

nnn , 0x dat. (metoda Newton)

Conform definiiei, metoda este consistent n sens tare, deoarece 1,0,, nfFn , unde

1,

',,

1

111

nxf

xfxxfxxF

n

nnnnnn

ntr-adevr,

1,0'

,, nfffFn

, deoarece este rdcina funcieif.


5/12

Definiia 7.O metod numeric asociat problemei (1) este stabil (bine pus)dac,pentru orice 1n s aib loc proprietatea,

nnnnn ddKxddK ,:,0 Similar problemei (1), pentru fiecare problem din secvena (5) sunt definii indicatorii

nn

nn

Ddnn

ddxxdK

nn

sup

n

n

Ddnnabs

d

xdK

nn

sup,

i definim:

indicatorul condiie asimptotic relativ: nnknk

nnum

dKdK

suplim

indicatorul condiie asimptotic absolut: nnabsknk

nnumabs dKdK ,suplim

Metoda numeric este bine condiionat dac

num

K este suficient de mic pentru toatedatele admisibile nd .

Similar problemei (1), dac presupunem existena cte unei soluii unice nx a celei de-a

n-a probleme din secvena (5), atunci exist cte o funcie care rezolv problema(rezolvitor),

nG definit prin,

1,0,, nddGFdGx nnnnnnn Dac nG este difereniabil, similar indicilor condiie definii pentru problema (1), sunt

calculai indicii condiie asimptotic prin,

nnnnnnndGddGdK '

nnnnabs dGdK ',

Exemplul 5. Fie problema din exemplul 2 i considerm 1p (cazul rdcinilor

separate). Dac 12 ppx este evaluat direct algoritmul nu este stabil. ntr-adevr,

pentru p cu valori mari, calculul formulei

12 pp

0deapropiateste12pp induce erori mari de calcul datorit

reprezentrii aritmetice finite (vezi 1.5, situaia subdepirii de domeniu). Variantele derezolvare a problemei de subdepire:

calculeaz 12 ppx i, evident,

x

x 1

rezolv ecuaia pentru domeniu ce conine numai valoare

x cu metoda Newton

1,' 1

1

1

nxf

xfxx

n

n

nn , 0x dat

1,22

12

1

1

2

1

1

npG

px

pxxxx n

n

nn

nn


6/12

px

pxxxxpxxF

n

nn

nnnn22

12,,

1

1

2

1

11

pxx

pGn

n

n

1

2

1

2

1

21

21

2

1'

px

xpG

n

n

n

px

p

pG

ppGpK

nn

nn

1

'

px

ppK

nknk

num

1

suplim

Dar 121 ppx nn deoarece 12 ppxxn sau

1

2

ppxxn Rezult,

12

p

ppKpK

num

n

deci metoda nu este bine condiionat cnd 1p , altfel metoda este bine condiionat.

Definiia 8.Metoda numeric (5) este convergent dac,

nnn ddxdxndnn

nn

,,

:,,,0

00

00

unde deste setul datelor admisibile pentru (1), dx este soluia problemei (1) i nn ddx este soluia problemei (5) cu setul de date ndd .

Observaie. Pentru a verificaproprietatea de convergen a metodei numerice (5) estesuficientverificarea urmtoarei proprieti,

2

nnn ddxddx

ntr-adevr, din regula triunghiului obinem,

2def.2

,0

nnnn

nnnn

nnnnnn

dnKddxddxx

ddxddxddxdx

ddxddxddxdxddxdx

Prin alegerea lui nd astfel nct 2

,0

ndnK , rezult,

nn ddxdx

Cele mai utilizate msuri ale convergenei irului 1nnx sunt

eroarea absolut: nn xxxE eroarea relativ: 0

xx

xx

xE n

nrel


7/12

dac soluia este vector sau matrice sunt utilizate erorile pe componente,

ji

jin

jin

c

relx

xxxE

,

,

,max

Observaii.

1. Dac problema (1) este bine pus, pentru ca metoda numeric s convearg eatrebuie s fie stabil.

2. Pentru orice metod numeric cu proprietatea c este consistent, stabilitatea esteechivalent cu convergena (teorema Lax-Richtmyer)

1.3. Analiza a priori i a posteriori a stabilitii

Analiza stabilitii unei metode numerice poate fi realizat a priori n una dinurmtoarele variante

analiza nainte (forward analysis), care furnizeaz o limit a variaiei soluiei,nx , datorate perturbaiei n date i erorile intrinseci ale metodei numerice;

analiza napoi (backward analysis), care are ca scop estimarea perturbaiilor caresunt aduse datelor unei probleme specificate pentru a obine rezultatul calculatde metod. Cu alte cuvinte, dat fiind soluia calculat nx , scopul este de a

determina perturbaia n setul de date, nd , astfel nct 0, nnn ddxF .Analiza a priori poate fi utilizat i pentru investigarea proprietii de convergen a

metodelor numerice, caz n care este referit drept analiza a priori a erorilor.Analiza a posteriori are ca scop evaluarea erorii

nxx ca funcie a reziduurilor,

dxFr nn , prin intermediul unor constante numite factori de stabilitate, unde

nx

este soluia calculatnumeric, aproximare a luix, soluia problemei (1).

1.4. Surse de eroare n modelele de calcul numeric

Dac problema numeric (5) este o aproximare a problemei matematice (1) care, larndul ei este modelul unei probleme reale (fizice) PP, problema (5) este numit model decalcul al problemei PP.

Eroarea global, e, este definit ca diferena dintre soluia calculat de modelul declacul (5), nx , i soluia problemei PP, PPx modelate prin problema (1) care are soluiax.

Eroarea global poate fi interpretatca cm eee , unde,

me , eroarea modelului matematic, PPm xxe ce , eroarea modelului de calcul, xxe nc

Similar, eroarea modelului de calcul este exprimat prin suma urmtoarelor valori, ae , eroarea indus de algoritmul numeric i erorile de calcul datorate

reprezentrilor numerelor reale n calculator (ca mulime finit de numere cu unnumr finit de zecimale)

ne , eroarea determinat de procesul de transformare a problemei ntr-unadiscret, xxe nn

Situaiile desrise mai sus sunt sintetizate n figura 1.1.


8/12

PP: PPx

nx

me e

ce

ne ae

Figura 1.1

0, dxF

0, nnn dxF

n general, sursele erorilor sunt urmtoarele, erori datorate modelului, care pot fi corectate printr-o alegere potrivit a

modelului matematic; erori n date, care pot fi controlate prin creterea acurateei msurtorilor; erori de trunchiere, care provin din limitarea numrului de iteraii (etape) ale

algoritmului de calcul al unei soluii;

erori de rotunjire, care sunt cauzate de faptul c n calculator pot fi reprezentatedoar un numr finit de numere reale i acestea au un numr finit de cifrezecimale.

1.5. Reprezentarea numerelor n calculator. Erori de rotunjire

Orice operaie pe calculator este afectat de erori de rotunjire (rounding errors sauroundoff), datorate faptului c din mulimea numerelor reale R, doar o mulime finit pot fireprezentate n calculator.

Reprezentarea numerelor reale(sistemul poziional)

Fie o baz, , , x cu un numr finit de cifre xk, , k=-m, , n( ).Notaia convenional:

(8)

este numit reprezentarea poziional a lui x n raport cu baza , unde s este semnul iarpunctul dintre x0i x-1este punctul zecimal (dac este 10) sau punctul binar (dac este 2).

Reprezentarea (8) este echivalent cu.

Exemplul 6. x10 = 425.31 x6 = 425.31


9/12

Un numr raional poate avea un numr infinit de cifre n reprezentarea ntr-o baz i unnumr finit de cifre n reprezentarea ntr-o alt baz. De exemplu 1/3 n baza 10 estereprezentat ca 0.(3) iar n baza 3 reprezentarea este 0.1.

Orice numr real poate fi aproximat prin numere cu reprezentare finit. Pentrubaz finit, este ndeplinit urmtoarea proprietate:

(9)unde are un numr finit sau infinit de cifre.

Fie (cu numr finit sau infinit de cifre)i r ,

oarecare. Atunci numerelei

au cte r cifre i snt astfel ncti =

Dac reste astfel nct , atunci rezult (9) cu sau .

Reprezentarea numerelor reale n calculator n sistem flotant (virgul mobil)Dac sntNpoziii de memorie (bii) alocai reprezentrii unui numr n, atunci ei snt

repartizai astfel: unul pentru semn,N-k-1pentru partea ntreag i k pentru partea fracionar., (10)

(sistem virgul fix). (10) este echivalent cu(11)

Sistemul virgul fix limiteaz valorile minime i maxime care pot fi reprezentate, cuexcepia situaiilor n care N este foarte mare. Dezavantajul poate fi depit prin utilizarea uneiscale variabile pentru (11), obinndastfel reprezentarea n sistemul flotant sau virgul mobil,

astfel: (n general i 1 tm obinndu-se forma normalizat),unde:

este numrul cifrelor semnificative , este mantisa, este exponentul.

Fie e: (n general i ). Cele N poziii disponibile snt distribuiteastfel:

1 pentru semn tpentru mantis N-t-1pentru exponent.

Pentru reprezentarea n simpl precizie se folosesc 32 bii iar pentru reprezentarea ndubl precizie se folosesc 64 bii.


10/12

Fig. 1.2

Fie , . Evident, dac

=> .

n plus, , , .

.

Cel mai mic numr pozitiv din normalizat este . Cel

mai mare numr pozitiv din este (

.

Observaie.Pentru ,2

Dac F nu e normalizat, atunci .

Exemplul 7. Setul conine, n reprezentarea normalizat, urmtoarelenumere pozitive:e=2:

e=1:

e=0:

e=-1:

exponent mantis

exponent mantis

1 8 23

1 11 52

semn

semn


11/12

n varianta denormalizat snt adugate numere pentru e=-1 (de exemplu, pentru e=2,, deci exist deja reprezentarea):

Observaii:1. n mulimea numerele nu snt egal distanate, ele devenind mai dense ctre cel mai

mic numr care poate fi reprezentat.2. Dac , consecutive, cea mai mic distan posibil este

iar cea mai mare este , unde este denumit epsilon calculati desemneaz

distana ntre 1 i cel mai apropiat minor din F, deci este cel mai mic numr din F cuproprietatea c .

3. Pe intervale de tipul numerele din F snt egal distanate de .4. Spre deosebire de distana absolut dintre dou numere consecutive din F (dea descris la 2. i

3.), distana relativ areun comportament periodic i depinde de mantisa m.

Fie . Numrul urmtor se afl la distana , deci

distana relativ este .

n intervalul , descrete cu creterea lui x (n reprezentarea normalizat

mantisa variaz ntre i exclusiv). Cnd xdevine distana relativ revine lavaloarea i rencepe descreterea. Fenomenul oscilatoriu este cu att mai pronunat cu ct

este mai mare. Este un motiv n plus pentru care este preferatmic.Standardul folosit este IEC559: simpl precizie: , dubl precizie:

cu includerea reprezentrii denormalizate format extins.

Rotunjirea numerelor reale n operaii pe F

Fie (parametrii snt fixai) reprezentarea numerelor reale n calculator.Prima problem de ordin practic este reprezentarea n F a oricrui numr real (chiar dac, nu rezult c , op fiind un operator binar). n consecin, este necesar

definirea unei aritmetici pe F. Cea mai simpl abordare este rotunjirea numerelor. Fie nreprezentarea normalizat (12);xeste substituit cu reprezentarea ,

, unde .

Evident, 1) dac =>2) dac , cu => .

Observaii:


12/12

1. dac , fl(x) nu este definit; dacxeste rezultatul unei operaii seafl n situaia depirii de domeniu (overflow).

2. Dac , operaia de rotunjire poate fi definit; dac x este rezultatul uneioperaii pe F se afl n situaia de subdepire de domeniu (underflow).

3.

Dac eroarea absolut i eroarea relativ rezultate prinsubstituirea luixcufl(x)este stabilit prin urmtorul rezultat:

, cu ,

unde ( este precizia calculatorului sau unitatea roundoff).

Obinem: pentru eroarea relativ , pentru eroarea absolut

ttttte aaaaaaaaxflxxE ~............. 212121

. Dar

1212121

2

~.............

tttt aaaaaaaa ,

deci.

analiza numerica partea i

Documents