UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANT AFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICAProf. univ. dr. CONSTANTINPOPA Lect. univ. drd. ELENAPELICANANALIZANUMERICAConstant a 2006IntroducereLucrarea de fat a si propune sa prezinte principalele tehnici de aproxi-maredinanalizanumericaclasica. Eaarelabazacursurile, seminariilesi laboratoarele din acest domeniu t inute de autori n perioada 1991-2004laspecializariledematematica, informatica siingineriedinUniversitateaOvidius din Constant a. Bagajul de cunostint e matematice necesare parcur-gerii lucrarii se rezuma la cursurile de analiza matematica , algebra liniarasi ecuat ii diferent iale ordinare care se t in, n mod uzual n anii I si II (semes-trul I) la toate specializarile ment ionate mai sus. Prezentarea respectiviloralgoritmi este nsot itadeunminimumdeconsiderat ii teoreticecareasi-guraatat nt elegereaproprietat ilorsi comportarii lor naplicat ii catsi obaza pentru abordari ulterioare ale unor extinderi si generalizari. In lucrareau fost prezentate metodele clasice din diverse capitole ale analizei nume-rice, insistandu-se pe sublinierea ideilor fundamentale legate de algoritmiirespectivi. Astfel,abordareaunorvariantemoderne si mbunatat itevamai usorderealizatpentrucititorii interesat i. Seturiledeexercit ii carencheieecarecapitolcont incomplemente, dezvoltari siaplicat iipracticealemetodelordescrise. Detalii legatedeanumitedemonstrat ii, extinderiale metodelor prezentate sau solut ii ale unor exercit ii se pot gasi n lucrarile[22], [23], [24], [21], [20].iNotat iiIN mult imea numerelor naturaleZ mult imea numerelor ntregiIR mult imea numerelor realeC mult imea numerelor complexeIRn, Cnspat iile euclidienen dimensionale real,respectiv complexIN, Z, IR, CIN = IN 0; analog pentru celelalteIR[X] mult imea polinoamelor n nedeterminataX,cu coecient i numere realegradP gradul polinomuluiPCn([a, b]) mult imea funct iilor denite pe [a, b], den ori derivabile,cu derivata de ordinn continuaC([a, b]) mult imea funct iilor denite pe [a, b], indenit derivabile/n(K) mult imea matricelor patrate de dimensiunen 1cu elemente din corpul K,unde K esteIR sau C; pentru K = IR vom notaprin /nai sau (A)iliniai din matriceaA /naijsau (A)ijelementul de pe pozit ia (i, j) din matriceaA /n.zi sau (z)icomponenta de pe pozit iai din vectorulz IRndetA determinantul matriceiA /ntr(A) urma matriceiA /n (tr(A) = a11 + +ann)Attranspusa matriceiA /ndiagd1, . . . , dn matrice diagonala cu elementeled1, . . . , dn pediagonala principaladiag(A) matricea diagonala ce are pe diagonala principalaelementele de pe diagonala matriceiAk(A) numarul de condit ionare al matricei inversabileAnraport cu o norma data ||;k(A) = |A||A1| (A) spectrul unei matriceA /n (valorile proprii) (A) raza spectrala a unei matriceA /n((A) = max[[, (A))ijsimbolul lui KroneckerO(hn) marime de ordinhnCuprins1 Reprezentareanumerelor ncalculator. Eroridecalcul 11.1 Reprezentarea p-adica a numerelor reale . . . . . . . . . . . 11.2 Reprezentarea numerelor reale n calculator. Erori de rotun-jire si trunchiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Calcululvalorilorfunct iilorelementare. 122.1 Schema lui Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Schema lui Horner generalizata . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Dezvoltari n serie Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Aproximarea solut iilor ecuat iilor si sistemelor de ecuat ii ne-liniare 213.1 Metoda bisect iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Metoda coardei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Metoda aproximat iilor succesive peIR . . . . . . . . . . . . 263.4 Metoda lui Newton peIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Metodaaproximat iilorsuccesivesi metodaNewtonpentrusisteme de ecuat ii neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Aproximare,interpolare siderivarenumerica 354.1 Aproximarea cu polinoame Bernstein. . . . . . . . . . . . . 364.2 Interpolare cu polinoame Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Funct ii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Derivarea numerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Integrarenumerica 455.1 Formule de cuadratura de tip Newton-Cotes. . . . . . . . . 465.1.1 Aproximarea integralelor peIR . . . . . . . . . . . . 465.1.2 Aproximarea integralelor peIR2. . . . . . . . . . . . 53ii5.2 Formule de cuadratura cu noduri Gauss . . . . . . . . . . . 555.2.1 Formule de tip Cebsev . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.2 Formule bazate pe polinoame Legendre . . . . . . . 575.2.3 Formule de tip Gauss pentru integrale duble . . . . . 575.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 Aproximareasolut iilorecuat iilordiferent ialeordinare 626.1 Metode de tip Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Metode de tip Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 Metodedirectepentrusistemeliniare 707.1 Metoda eliminarii a lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.2 DescompunereaLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.1 Condit ii suciente pentru ca EG sa funct ioneze farapivotare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3 Descompunerea Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808 Aproximareavalorilor sivectorilorproprii 828.1 Metoda Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Metoda puterilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3 Metoda puterilor inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Bibliograe 89Capitolul1Reprezentareanumerelor ncalculator. Eroridecalcul1.1 Reprezentareap-adicaanumerelorrealeDenit ia1Fie (an)n IR siSn =n

k=1ak, n 1. Daca sirul (Sn)n1este convergent la un numar x IR spunem ca seria n1an este convergentasi are sumax si scriem

n1an = x. (1.1)Atunci Sn se numeste suma part iala de rang n, iar an termenul general (derangn) al seriei.Denit ia2Daca n1an = x este o serie convergenta denim cantitateaRn = x Sn, n 1 (1.2)numita restul de ordinn al seriei. Evident calimnRn = 0. (1.3)Propozit ia1(i) Daca n1aneste convergenta, atunci limnan = 0.(ii) Avem relat iaRn =limk__n+k

j=n+1aj__. (1.4)1(iii) Daca n1an si n1bnsunt serii de numere reale pozitive, seria n1bneste convergenta si existan0 1 sic > 0 astfel ncatan cbn,n n0, (1.5)atunci si seria n1ane convergenta.Corolarul1Fiep IN, p 2si (an)n 0, 1, ..., p-1. Atunci seria

n1anpneste convergenta.Observat ia1Orice numar real a se poate exprima n scrierea zecimalaa = a0, a1a2a3...... (1.6)ncarea1, a2, ...senumesccifrezecimale(ai 0, 1, . . . , 9, i IN),iara0estepartea ntreagaalui a(notata ncontinuareprin[a]). Chiarsipentrua Q nscrierea(1.6)potapareaoinnitatedecifrezecimale(numere periodice). Scrierea pozit ionala (1.6) este echivalenta din punctde vedere matematic cua = a0 +

n1an10n, (1.7)seria din dreapta ind convergenta n baza corolarului anterior.Observat ia2Scrierea(1.6)nuesteunica a IR. Deexemplupentrua = 1/2 avema = 0.5 = 0.49999.... (1.8)Rezultatul care urmeaza generalizeaza considerat iile anterioare pentru oricebazap IN, p 2 (pentru demonstrat ii vezi [22]).Teorema1(i) Oricenumar real [0, ) admiteoreprezentaredeforma = a0 +

n1anpn, (1.9)cuan 0, 1, .., p 1, n 1.(ii) Scrierea (1.9) este unica daca si numai daca ,=kpn, k, n IN. (1.10)2Corolarul2Toatearmat iiledinenunt ul Teoremei 1ramanvalabilesipentru numere (, 0).Observat ia3DinTeorema1rezultacascrierea(1.9) nuafecteazava-loarea(canumarreal)apart ii ntregisaupart iizecimaleanumarului .Reprezentarea (1.9) se va nota prina = a0, a1a2a3......(p)(vezi (1.6)).Pentru numerentregi obt inem o scriere similara cu (1.9), data de urmatorulrezultat.Corolarul3Fie Z. Atunci existan 1(caredepindede )sib0, b1, ..., bn 0, 1, ..., p 1 unic determinat i astfel ncat = n

k=0bk pk. (1.11)Denit ia3Fiep N, p 2. DenimQp = pk n [ k, n Z, (1.12)numita mult imeanumerelorpractice(nbazap).Teorema2Mult imeaQpeste densa nIR.1.2 Reprezentareanumerelorreale ncalculator.EroriderotunjiresitrunchiereVom prezenta pentru nceput cateva chestiuni cu privire la reprezenta-rea numerelor reale n virgula mobila (vezi pentru detalii [19], [25]). Pen-trunumere ntregi, a Z,reprezentareasefaceexact, nbazap = 2,peun anumitnumarn de bit i ce depinde de sistemul de calculfolosit. Vomexemplica n continuare pentru cazuln = 8. Astfel, pentrua = 5, repre-zentarea ar (conform corolarului 3)0 0 0 0 0 1 0 1Dacaaestenegativ, deexemplua= 5, seutilizeazametodacoduluicomplementar, adica n locul luia se reprezinta numarula = 28+a. (1.13)Incazul nostru a =28 5 =256 5 =251 va avea reprezentarea1 1 1 1 1 0 1 13Acest tip de reprezentare, desi exacta, impune limitari ale valorilor nume-relor ce pot nregistrate. Intr-adevar avem[ a [ 2n11. (1.14)Inacest fel toatenumerele ntregi pozitive, respectivnegativevor avea0,respectiv1peprimapozit iedinstanga(ceeacepermiteimplicitrecu-noastereasemnului lor). Fieacuma IR Z, a>0. DinTeorema1(pentrup = 2) rezultaa = a0 +

n1an2n. (1.15)Dacaa0> 0, em cel mai mare numar natural cu proprietatea ca2m a0(1.16)sin0 dat den0 = m+ 1. (1.17)Atunci, din (1.11), (1.16), (1.15) si (1.17) rezultaa = (

n1a

n2n)2n0. (1.18)De asemenea, din denit ia luin0 obt inem caa

1 ,= 0. (1.19)Dacaa0 = 0, atunci denim directn0 ca ind cel mai mare numar negativcu proprietatea ca n scrierea (1.18) este ndeplinita condit ia (1.19).Figura 1.1: Reprezentarea pe 32 bit iExemplul1Pentru a =0, 000101001(2)avemn0=3si a =23

0, 101001(2). Cantitat ileMa =

n1a

n2n(1.20)4siCa = 64 +n0(1.21)senumescmantisa(normalizata), respectivcaracteristicanumaruluia. Dacaa IR Z, a 0. Astfel, reprezentarea unui numara IR Z (pe 32 de bit i) se vaface ca in Figura 1.1.Observat ia4Reprezentarea caracteristicii pe 7 bit i impune restrict ia0 Ca 127 (1.22)sau64 n0 63 (1.23)ceea ce determina limitari ale valorilor maxime si minime ale luia.Observat ia5Deoarece numarul de bit i afectat i mantisei este nit re-zultacanumerele cucare lucreazauncalculator electronic constituie osubmult ime a mult imii numerelor practice din sect iunea 1.1.Limitarea (zica) a numarului de pozit ii pentru mantisa determina aparit iaerorilordetrunchiere siderotunjire(laintroducereadatelorrealesau nurma operat iilor aritmetice elementare). Regulile uzuale de transformare aunui numar real ce se utilizeaza de obicei sunt urmatoarele: daca numarula are n mantisa mai mult de 24 de cifre binarea

i, i 1 atunci1. dacaa

25 = 0 se nregistreazaa

1, a

2, ..., a

24 neschimbate.2. dacaa

25 = 1 sia

k = 0, k 26 se procedeaza ca n cazul 1.3. dacaa

25= 1 si k 26 astfel ncata

k= 1 seadauga ounitatelaa

24 si se opereaza modicarile respective n mantisa (spre stanga).Erorile ce apar n cazurile 1. si 2. se numesc erori de trunchiere, iar celedincazul3. erori derotunjire. Aparent, eleseconcentreazaasuprapozit iei 24 din mantisa, dar valoarea absoluta a numaruluia poate afec-tata chiar n pozit ii din stanga virgulei dupa cum vom vedea n exempleleurmatoare.Exemplul2Fie a = 1001, 11 . . . 1. .21 pozit iin baza 2.In scrierea (1.18) vom avean0 = 4, a

25 = 1 sia

k = 0, k 26. Atunci, conform regulii 2 de mai sus,a va trunchiat la valoarea a = 1001, 11 . . . 1. .20 pozit ii5Exemplul3Fie a = 1001, 11 . . . 1. .22 pozit iin baza 2.In scrierea (1.18) vom avean0 = 4, a

25 = 1, a

26 = 1, a

k = 0, k 27.Conform regulii 3,a va rotunjit la valoarea a = 1010, 00....0.Exemplul4Fiea = 1 . . . 1. .24 pozit ii0100, 01 nbaza2.Inscrierea(1.18)vomavean0 = 28, a

25 = 1. Conform regulii 1,a se trunchiaza la valoarea a = 1 . . . 1. .24 pozit ii0000, 00....Exemplul5Fiea = 1 . . . 1. .25 pozit ii0100, 01 nbaza2.Inscrierea(1.18)vom avean0 = 29, a

25 = 1, a

26 = 0 dara

27 = 1. Atunci, conform regulii 3,a se va rotunji la valoarea a = 1 0 . . . 0. .24 pozit ii00000, 00....Pentruamasuraefectul acestor rotunjiri si trunchieri vomintroducecateva not iuni specice.Denit ia4Fiea, a IR. Vomnumieroareabsolutadeaproximarealuia si vom nota cu a cantitatea( a) =[ a a [ . (1.24)Dacaa ,= 0, cantitatea( a) =( a)[ a [(1.25)sevanumi eroarerelativadeaproximarealui aprin a. Vomnumicifre semnicative toate cifrele din scrierea zecimala (n baza 10) a unuinumar, ncepand cu prima diferita de zero din stanga. O cifra semnicativaa aproximarii a a luia se va numi exacta daca eroarea absoluta ( a) nudepaseste unitatea ordinului respectivei cifre.Exemplul6Fie numerelea = 2, 003450; a = 2, 0034400.Atunci( a) = 0, 00001,toatecifrelelui asunt semnicative, darexactesunt doar2, 0, 0, 3siprimul 4.6Observat ia6Pentruexemplele2 5demai nainte,erorileabsolutedeaproximare sunt urmatoarele(n ordine).Exemplul2 ( a) = 221Exemplul3 ( a) = 222Exemplul4 ( a) = 22Exemplul5 ( a) = 23+ 22Valorile corespunzatoare exemplelor 4 si 5 sunt incomparabil mai mari(chiar ngrijoratoare!) decatceledinexemplele2 si3. Totusi, trebuiesat inem cont si de valoarea absoluta a numerelor din exemplele 4 si 5.Intr-adevar, dacaamcalcula nacestecazuri erorilerelativeamobt inevaloricamdeacelasi ordincuceleabsolutecorespunzatoareexemplelor2si 3.Acest fapt explica si necesitatea introducerii not iunii de eroare relativa. Eaeste un fel de eroare procentuala care arata ce parte reprezinta eroareaabsoluta dinntregul numar (adica eroarea absoluta ( a) = 8, 25 din exem-plul5estemareteoreticvorbind,dareanuafecteazaesent ialnumarul acare are o valoare absoluta foarte mare 1010). Acelasi lucru se ntamplasi la numere foarte mici, dar n sens invers.Exemplul7Fie numarula = 0, 0 . . . 0. .24 pozit ii1 0 . . . 0. .23 pozit ii101nbaza2.Inscrierea(1.18)vomavean0= 24, a

25= 1, a

27= 1,deciconform regulii 3,a se va rotunji la valoarea a = 0, 0 . . . 0. .24 pozit ii1 0 . . . 0. .22 pozit ii1.In acest caz avem ( a) = 251 3 si( a) = 225Exista diverse variante de studiu teoretic al propagarii erorilor de calcul(vezi [25], [19] si referintelelor). Acestea nsanufacobiectul lucrarii defat a. Trebuie totusi sa punctam cateva aspecte importante:a) Toate aceste studii prezinta n nal majorari pentru erorile absolute,respectiv relative ce apar n urma introducerii datelor si a operat iilor ele-mentare.In plus, cel put in din punct de vedere teoretic, se demonstreazaca aceste majorari sunt optimale, n sensul ca exista situat ii cand ele suntatinse. De exemplu, n cazul sumei a doua numerea, b IR, daca a,b suntdoua aproximari ale lor, se poate demonstra ca (vezi [25]).( a +b) ( a) + (b) (1.26)7si ca exista a,b astfel ncat n (1.26) sa avem egalitate.b) In urma acestor studii teoretice apar si unele reguli de aranjare acalcului astfel ncat cumularea erorilor de calcul sa e minima. De exempluntr-osumaestemai binesagrupammai ntai termenii dupaordinul demarime si/sau dupa semn. Acestea nsa au n gene-ral unefect relativ. Esent ial estecaalgoritmii careseutilizeazasaeoptimizat i din punct de vedere al ecient ei (vezi sect iunile urmatoare).c) Ret inem totusi ideea propagarii si acumularii de erori de calcul ceeace ndeamnalaoanumitadozadeprudent a nabordareaetapei naleaunei probleme de analiza numerica, aceea a calcului efectiv al aproximarilorrespective.d) Spre deosebire de mult imea numerelor reale care este innita si faragoluri /spat ii liberentre numere (adicantre oricare doua numere realediferite, exista ntotdeuna un altul si pentru orice numar real dat exista unaltul mai mare si unul mai mic decat el) mult imea numerelor reprezentatenvirgula mobila (machine numbers) este nita (existand un cel mai mare/cel mai mic numar (pozitiv)) si este discreta. Astfel, mult imea numerelorreale normalizate n virgula mobila se deneste caTB,t = MBE/M, E Z, M= 0 sauBt1 [M[ < BtB- se numeste baza si este un numar natural mai mare sau egal cu 2, t -numarul de zecimale,M- mantisa, iarE- exponentul.Mult imea numerelor reprezentate n calculator (pe scurt, numere masina)se deneste astfel:/B,t,, = g TB,t, E undeB, t , -suntdatedeconstruct iasistemului decalcul (nusuntmemorate explicit si nu pot schimbate). Pentru ecare numar de masinase memoreaza doar valorile M si E care reprezinta de fapt numarul M BE.Informatul IEEE(InstituteforElectrical andElectronicEngineers)adoptat din 1985 de majoritatea producatorilor de microcomputere, se fo-loseste B = 2, iar precizia poate single (t = 24), double (t = 53) sau ex-tended (t = 64) (de exemplu, pentru reprezentarea numerelor extended,primul bit este de semn, urmeaza 11 bit i pentru exponent/caracteristica siultimii 52 de bit i pentru mantisa).Doua numere masina consecutive suntg = MBEsig

= (M + 1)BE,iar distant a relativa dintre ele este:g g

g=1M 1Bt1In /B,t,,exista:8cel mai mare numar masina pozitiv,L = (Bt1)Bcel mai mic numar masina pozitiv,s = Bt1 BToatenumerelecareapar ncalcule sisunt nintervalul(s, s)nupotreprezentate si drept urmare, sunt setate cu 0 (mesaj de underow), iarnumerele mai mari caL sau mai mici ca L determina oprirea efectuariicalculelor (mesaj de overow).In formatul IEEE,t s LSingle 24 149 104 1.18E 038 3.40E + 038Double 53 1074 971 2.23E 308 21024Extended 64 16445 16320 216382216384e) InconformitatecustandardeleIEEE,rezultatuluneioperat iiarit-meticeelementarea(+, , , /)estecel mai corectposibil nsensul caeste rotunjit la cel mai apropiat numar masina. Daca si / nu suntcritice din punct de vedere al erorii, + si pot produce surprize dincauza anularii bit ilor semnicativi datorate scaderii numerelor foarte apro-piatecavaloare. Deexemplu, pentrua=2.145648xx si b=2.145611xxsifolosindreprezentareape6bit i, valoareaexactapentruc=a beste0.000037xx; valoarea luia n reprezentarea pe 6 bit i este a = 0.214564xxxiar a lui b este b = 0.214561xxx si deci c = a b = 0.000003xxx,ceea ceconduce la eroarea relativa[c c[[c[= [0.000037 0.000003[[0.000037[=0.0000340.000037=3437= 0.(918).Urmatorul exemplu se refera la situat ii n care asociativitatea adunarii numai are loc. Astfel, n reprezentarea pe 6 bit i, avem(1 + 1000000) 1000000 = 1000000 1000000 = 0iar1 + (1000000 1000000) = 1 0 = 1.1.3 Exercit ii1. Fieintegrala In= _10xnex10dxpentrunnatural. Pentrun=0,valoarea integralei este usor de calculat si este egala cuI0 = 10e0.110 1.05170918075647624811707826490.Pentrun > 0, integrala se poate calcula folosind urmatoarea formularecursiva (rezultata din integrarea prin part i)In = 10e0.110nIn1.9Din pacate nsa, folosind aceasta formula, obt inem rezultate care nusunt conforme cu realitatea, acest algoritm ind numeric instabil.(a) Scriet i un program C care calculeazaInpentrun = 0, 1, .., 6 sifoloseste rotunjirea lap = 3, 6, 9, 12 zecimale n calcule. De ase-menea programul trebuie sa aseze o coloana cu va-lori cat de exacte posibil, adica calculate fara extra rotunjiri. Ca-zul p = 0 semnica faptul ca nu s-a aplicat nici o extra rotunjire(vezi funct ia de rotunjire de mai jos, pentru detalii). Tabelul vatrebui sa aiba formatul de mai jos (cu valorile corespunzatoaredate de programul de calcul).p=0 p=3 p=6 p=9 p=12n=0 1.051709e+00 1.100000e+00 1.051700e+00 1.051709e+00 1.051709e+00n=1 5.346174e-01 1.00000e-01 5.347000e-01 5.346172e-01 5.346174e-01n=2n=3n=4n=5n=6Chiar daca rotunjirea cu o anumita precizie nu este realizata deo funct ie standard a limbajului de programare ales, ea poate obt inuta, de exemplu, cu ajutorul unei rutine de tipul urmator.double eround(double x, int p)int d;double temp;if(x == 0[[p 1) p ;/*ajusteaza p (p se poate modifica ^n functie de *//*variabila care este apelata prin valoarea ei *//* absoluta)*/temp = rint(x ttpo(p d));/*modificare si rotunjire x */return((double)temp ttpo(d p));/*remodificare si returnare valoare*/Aceastarutinaareurmatorulefect: eround(x,p) ntoarceva-loarea lui x rotunjita lap zecimale seminicative. Va trebui saapelat i aceasta funct ie de ecare data cand o operat ie n virgula10mobilaarpututsaschimbenumarul zecimalelorseminica-tive, avand ca efect rotunjirea noii valori lap ze-cimale semnicative.(b) Calculat i cat mai exact urmatoarea integrala:Jn =_10xnex10000dxpentrun = 6. Explicat i tehnica folosita si rezultatele obt inute.2. Fiey=x sin x. Se stiecapentruvalorimicialelui x, sin x xsi deci scaderea lor poate duce la surprize neplacute. Cum poate acest lucru evitat?Indicat ie. Sedezvolta nserieTaylorsin x(vezisect iunea2.3) sisefolosesc formulele___t1 =x36tn+1 = tnx2(2n + 2)(2n + 3), n 1.Astfel, notandsn =n

k=1tk, obt inem_s1 = t1sn+1 = sn +tn+1.3. Aproximat ie5prin:(a) e59

i=0(5)ii!=9

i=0(1)i 5ii!(b) e5=1e5 19

i=05!i!Valoarea aproximativa de referint a pentrue5n acest exercit iu este674 103. Care din formulele de mai sus da un rezultat mai bunsi de ce?11Capitolul2Calcululvalorilorfunct iilorelementare.2.1 SchemaluiHornerFieP(x) = a0xn+ a1xn1+ ... + an, n 1 un polinom cu coecient ireali si Rxat. Nuesteindicatcapentruvalori maimari alelui n,calcululvalorii P()saseefectuezedirect nexpresialui P(x)(datoritaerorilorderotunjirecepotaparealacalculul puterilorxn). Modalitateauzuala de calcul se bazeaza pe un algoritm simplu, dar ecient, carenlaturaneplacerile ment ionate anterior - schema lui Horner data de urmatoareasecvent a de operat ii aritmetice elementareb0 = a0, bi = ai +bi1, 1 i n, P() = bn. (2.1)Observat ia7Pelangasimplitateaschemeidecalcul remarcam sifaptulcab0, ..., bn1reprezintacoecient ii catului mpart irii lui Plax (nordinea descrescatoare a puterilor luix)bn = P() ind restul mpart irii.Demulteori nalgoritmii decalcul estenevoieca, dupaoschimbaredevariabila de formax = y + sa se determine coecient ii noului polinom nvariabilay.Q(y) = P(y +) = A0yn+... +An(2.2)Algoritmul utilizat n acest sens este urmatorul: Pentruy = 0, din relat iaP(x) = Q(y) = P(y +) (2.3)rezultaAn = P(). (2.4)12FieP1(x) polinomul dat deP(x) = (x )P1(x) +P() (2.5)Pentruy = x , din (2.2) rezultaP(x) = (x )[A0(x )n1+... +An1] +P() (2.6)de unde, folosind unicitatea luiP1, obt inemP1(x) = A0(x )n1+... +An1(2.7)si, pentrux = An1 = P1(). (2.8)Rat ionamentul se reia punandP1(x) = (x )P2(x) +P1(). (2.9)Astfel, coecient iiAn, An1, ..., A0 din (2.2) vor dat i de relat iileAk = Pnk(), k = n, n 1, ..., 0 (2.10)unde am notatP0(x) = P(x), iar polinoameleP1, ..., Pnsunt cele obt inutesuccesiv n schema anterioara.Exemplul8FieP(x)=x4 8x3+ 5x2+ 2x 7si =2. Algoritmulprezentat anterior poatescris concentrat cainFigura2.1. Astfel, nraport cu (2.2) si (2.10) obt inemQ(y) = P(y + 2) = y419y242y 31.Figura 2.1: Schema lui Horner132.2 SchemaluiHornergeneralizataConform teoremei de mpart ire cu rest, dat ind polinomul Q cu coeci-ent i reali si grad(Q) 1existadouapolinoamecucoecient i reali C,respectivR, cugrad(R) < grad(Q) astfel ncatP(x) = C(x)Q(x) +R(x). (2.11)In cazulgrad(Q) = 1, conform observat iei din sect iunea 2.1, putem deter-mina coecient ii lui C si valoarea lui R (n acest caz R = 0 sau grad(R) = 0)fara a efectuampart irea, cu ajutorul schemei lui Horner. Aceeasi problemase poate pune nsa si pentrugrad(Q) 2. Avem doua situat ii distincte.Cazul 1. Qaretoateradacinilereale. Atunci problema se poaterezolvaprinaplicari succesivealealgoritmului dinsect iuneaanterioara.Vom ilustra acest lucru printr-un exemplu. Fie Q(x) = (x a)(x b). Din(2.11) rezultaP(x) = (x a)(x b)C(x) + (x +) (2.12)si pentru a determina coecient ii luiC, siaplicam schema lui Hornerrelativ la mpart irea lui P lax a. Obt inemP(x) = (x a)C1(x) +1(2.13)Repetam apoi pasul anterior cu C1 n locul lui Psix b n locul lui x a,obt inandC1(x) = (x b)C2(x) +1, (2.14)de unde, folosind (2.13) rezultaP(x) = (x a)(x b)C2(x) +1(x a) +1. (2.15)Dardeoarecepolinoamele Csi Rdin(2.11)suntunicdeterminate, din(2.15) obt inemC(x) = C2(x), = 1, = 1a1. (2.16)Extinderea la cazul generalQ(x) = (x a1)...(x an) (2.17)este imediata.Cazul 2. Qaresi radacini complexe. DeoareceQarecoecient ireali aceste radacini sunt perechi de formaa ib. Problema revine atunci14la a construi un algoritm care sa permita determinarea coecien- t ilor luiC si, din relat iaP(x) = (x2+b1x +b0)C(x) +x + (2.18)fara a efectua mpart irea propriu-zisa (n (2.18) factorulx2+ b1x + b0areradacinilea ib). Vom construi n continuare un asemenea algoritm, nu-mit schema lui Horner generalizata, plecand de la relat iile ce apar ntrecoecient ii polinoamelor din (2.18). Pentru simplitatea expunerii, vom con-sidera cazul particularP(x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0.In urma efectuariimpart irii, obt inem n (2.18)C(x) = a3x + (a2a3b1), (2.19) = a1a3b0b1(a2a3b1), (2.20) = a0b0(a2a3b1). (2.21)Notandb1 = b1,b0 = b0, (2.22)formam urmatorul tabloua3a2a1a00 0 a3b0b0(a2 +a3)0 a3b1b1(a2 +a3b1) 0(2.23)Observamcasumatermenilordepecoloanele1, 2, 3, 4reprezintachiarcoecient ii lui C(x) si , din(2.18)-(2.21). Oanalizamai atentaneconducelaurmatorul algoritmdeconstruct ieacoecient ilordintabloul(2.23). Sa consideram mai ntai tabloul init iala3a2a1a00 0 13140 22230(2.24)n care elementele22, 13, 23, 14sunt necunoscute. Ele se determina nfelul urmator:22=suma elementelor de pe coloana 1 nmult ita cu b1;13=suma elementelor de pe coloana 1 nmult ita cu b0;23=suma elem. de pe coloana 2 nmult ita cu b1;14 = suma elem. de pe col.2 nmult ita cub0.Deducem astfel urmatorul algoritm - dat ind polinomulP(x) = anxn+an1xn1+... +a0,15se efectueaza urmatorii pasi:Pasul1. Se formeaza tabloul urmatoranan1. . . anj+1. . . a1a00 0 . . . 1j. . . 1n1,n+10 22. . . 2j. . . 2n01 = an2. . . j. . . nn+1(2.25)ncarecunoasteman, an1, . . . , a1, a0, iar2, . . . , n+1reprezintasumeleelementelor de pe coloanele 2, . . . , n + 1 din tabel.Pasul2. Coecientiiijse calculeaza astfel22 = an (b1),iar pentruj = 3, . . . , n_1j = j2 (b0)2j = j1 (b1)(2.26)1,n+1 = n1(b0).Pasul 3. Valorile an, 2, . . . , n1 reprezinta coecient ii puterilor lui x (nordine descrescatoare) ale catuluiC(x) din (2.18), iar, sunt date de = n, = n+1(2.27)Observat ia8Combinand cele doua scheme de tip Horner (clasica si ge-neralizata) putem determina catul si restul mpart irii lui Pla orice polinomunitarQ.In plus, ambii algoritmi sunt usor de programat.2.3 Dezvoltari nserieTaylorDenit ia5FieI= (, ) IR, f:I IRofunct iedeclasaC, n N si Ixat. ExpresiaTn(x; ) = f() +f

()1!(x ) +. . . +f(n)()n!(x )n, x I (2.28)se numeste polinomulTaylor de gradn n jurul luiasociat funct ieif,iarRn(x; ) = f(x) Tn(x, ) (2.29)restulTaylor de ordinn. De asemenea vom nota cu

n0f(n)()n!(x )n(2.30)16sauf() +f

()1!(x ) +. . . +f(n)()n!(x )n+. . . (2.31)seriaTaylor n jurul luia funct ieif.Se cunosc urmatoarele rezultate (vezi pentru detalii [26]).Teorema3(FormulaTaylorcurestulLagrange)Pentruf, I, camai nainte, pentruoricex I, exista>0cuprinsntrex siastfel ncatf(x) = Tn(x; ) + (x )n+1(n + 1)!f(n+1)(). (2.32)Corolarul4(FormulaMcLaurin)In ipotezele teoremei 1, daca 0 I, atuncif(x) = Tn(x; 0) +xn+1(n + 1)!f(n+1)(), x I (2.33)Teorema4(Reprezentarea nserieTaylor)Fie f: I = (, ) IR de clasa C si [a, b] I presupunem ca M> 0astfel ncatf(n)(x) M, x [a, b], n 0. (2.34)Atunci, (a, b) seria Taylor a luif n jurul luiconverge uniform pe[a, b] laf. Vom nota aceasta prinf(x) =

n0f(n)()n!(x )n, x [a, b] (2.35)sauf(x) = f() +f

()1!(x ) +. . . +f(n)()n!(x )n+. . . (2.36)Observat ia9Din (2.29) si (2.32) obt inem pentruRn(x; ) exprimareaRn(x; ) =(x )n+1(n + 1)!f(n+1)(), (2.37)cux Isi ntrex si.Observat ia10In (2.32) n locul luise poate pune +(x ),cu (0, 1).17Observat ia11Funct iileelementareadmitexprimari detipul (2.32)sau(2.33)saudezvoltari detipul (2.36)peanumiteintervaleI IR. Acestedezvoltari pot utilizatepentrucalculul aproximatival valorilor acestorfunct ii. Vom prezenta n continuare aceste lucruri n cazul catorva funct iielementare uzuale.Funct iaexponent ialaFunct iaexponent ialaf: IR (0, ), f(x)=exadmitedezvoltarea(de tip (2.33))ex= 1 +x +. . . +xnn!+Rn(x), (2.38)valabila pentru oricex IR cuRn(x) dat deRn =ex(n + 1)!, (0, 1). (2.39)Pentrux [1, 1] din (2.38) si (2.39) rezulta[exTn(x; 0)[ = [Rn(x)[ e(n + 1)!, (2.40)carereprezintaobunaevaluareapriori aerorii deaproximareavaloriiexacteexprin valoarea polinomului TaylorTn(x; 0). Pentru [x[ 1 avemx = [x] +q, q [0, 1) (2.41)siex= e[x] eq. (2.42)Pentrue[x]procedam astfel: folosind (2.38), cu evaluarea (2.40) obt inem obuna aproximare a luie sau 1/e (dupa cumx > 0 saux < 0) si cu aceastacalculame[x]prin nmult iri succesive. Pentrueqse utilizeaza direct (2.38).Observat ia12In evaluarea valorilor polinomului Taylor din (2.38), pen-tru a evita calculul factorialelor calculamTn(q; 0) prinTn(q; 0) = u0 +u1 +. . . +un, (2.43)undeuise obt in recursiv prinu0 = 1, uk =quk1k, k = 1, . . . , n (2.44)Funct ialogaritmicaPentrux (1, 1] avemln(1 +x) = x x22+x33x44+. . . + (1)n+1xnn+. . . (2.45)18De asemenea, pe acelasi interval, ln(1+x) admite si o reprezentare de tipul(2.28) (2.29) n care restul de ordinn este dat deRn(x) =xn+1n + 1 (1)n+1(1 +x)n+1, (0, 1). (2.46)Existansa urmatoarele dezavantajen ceea ce priveste utilizarea dezvoltarii(2.45) cu restul dat de (2.46) pentru aproximarea valorilor funct iei ln(1+x) :1. domeniul limitat de valorix (1, 1] 1 +x (0, 2];2. pentru [x[ apropiat ca valoare de 1 se stie ca seria (2.45) convergefoartencet, iarevaluareaerorii datade(2.46)conducelavalorimult prea mari ale luin (pentru o buna aproximare).Acesteinconvenientepot eliminateprincatevatransformari efectuateasupra dezvoltarii (2.45) (care se bazeaza pe convergent a uniforma a serieirespective). Astfel, pentrux (1, 1) din (2.45) rezultaln(1 x) = x x22x33. . . xnn. . . (2.47)Prin scaderea relat iilor (2.47) si (2.45) obt inemln(1 x1 +x) = 2(x +x33+x55+. . .) (2.48)Pentruz =1x1+x, cumx (1, 1), obt inemz (0, ) si din (2.48)ln z = 2__1 z1 +z_+ 13_1 z1 +z_3+. . ._. (2.49)Observat ia13Dezvoltarea(2.49)estevalabilapentruoricez (0, ),deci tot domeniul de denit ie al funct iei ln z.Vom analiza acum restul n dezvoltarea (2.49). Stim ca z> 0,m IN, t [12, 1], unic determinat i, cu proprietateaz = 2m t. (2.50)Atunciln z = ln(2m t) = m ln 2 + ln t = m ln 2 2n

k=12k12k 1 Rn(), (2.51)19cu (0, 1/3] dat de =1 t1 +t. (2.52)Observand ca21 2 94, (2.53)rezulta pentruRn() urmatoarea evaluareRn() = 2_2n+12n + 1 +2n+22n + 3 +. . ._< 2 2n+12n + 1(1 +2+4+. . .) =2 2n+12n + 1limp2p121=2n+12n + 1 21 2deci, folosind si (2.53)Rn() 0 f(b)f

(b) < 0.Inraport cuproprietatea(3.9)si Lema1, dincele4cazuri posibilelacapetele intervalului [a, b] raman doar doua. In raport cu aceste doua cazuriare loc urmatorul rezultat privind convergent a metodei coardei.Teorema6In ipotezele (3.8)(3.9) si t inand cont de Lema 1, unica solut ieaecuat iei f(x)=0poateobt inutacalimitasiruluistrictmonotondin[a, b] denit astfel:(i) dacaf(a)f

(a) < 0 atunci_x0 = axn+1 = xnf(xn)f(xn)f(b)(xnb), n 0; (3.10)23Figura 3.1: Cazurile posibile pentru metoda coardei(ii) dacaf(b)f

(b) < 0 atunci_x0 = bxn+1 = xnf(xn)f(xn)f(a)(xna), n 0. (3.11)24Teorema7Daca 0 < m1 [f

(x)[ ,x [a, b], atunci avem evaluarea[xn[ [f(xn)[m1,n 1.Demonstrat ie. Aplicand teorema lui Lagrange pe intervalul [xn, ], obt inemunz (xn, ) astfel ncatf() f(xn) = ( xn)f

(z). Atunci[ xn[ = [f(xn)[[f

(z)[ [f(xn)[m1, n 1si teorema este demonstrata.Observat ia17Formula din Teorema 7 permite o evaluare a posteriori aerorii de aproximare (dupa calculul luixn).Observat ia18Denumireametodei coardei provinedininterpretareasageometrica (vezi de exemplu gura 3.2, pentru f(a) < 0, f

(a) > 0). Avanddeja calculata iterat ia xn, adica cunoscand punctul An(xn, f(xn)) urmatoa-reaiterat iexn+1seobt inecaintersect iadintreaxaOxsi coardaA0An.Formula (3.10) (respectiv (3.11)) se obt ine scriind ecuat ia drepteiA0An siegaland peycu 0.Figura 3.2: Interpretarea geometrica a metodei coardeiExemplul9Saseaproximezeradacinilerealealeecuat iei x3 6x2+10x=4utilizandmetodacoardei. Fief(x)=x3 6x2+ 10x 4. Cu25sirul lui Rolle, aamcaradacinile1, 2, 3alelui f sunt toaterealesisegasesc nintervalele(0, 1), (1, 3)si respectiv(3, ). Vomexemplicapentru1 (0, 1). Radacinileecuat iei f

(x)=3x2 12x + 10=0suntx = 2 _23; atunci f

(x)> 0, f

(x)< 0, x [0, 1] si f(1)f

(1)< 0.Conform Teoremei 6 (ii) vom construi sirul x0 = 1,xn+1 = xnf(xn)f(xn) f(0)(xn0), n 0cuxn 1. Cumf

estestrictdescrescatoare sipozitivape[0, 1],rezultam1= infx[0,1][f(x)[ =f

(1) =1. Folosindformulaanterioaracalculamprimii trei termeni din sir prinx1 = 1 f(1)f(1) f(0)(1 0) = 0, 8x2 = 0, 8 f(0, 8)f(0, 8) f(0)(0, 8 8) 0, 68x3 = 0, 68 f(0, 68)f(0, 68) f(0)(0, 68 0) 0, 63si cu evaluarea din teorema 7 rezulta ca[1x3[ [f(0, 63)[ < 0, 15.3.3 Metodaaproximat iilorsuccesivepeIRDenit ia6Fieg : [a, b] IR. Un punctp [a, b] se numeste punctxpentrugdacag(p) = p.Funct iag se numeste-contract ie pe [a, b] daca (0, 1) astfel ncat[g(x) g(y)[ [x y[ , x, y [a, b]. (3.12)Observat ia19Dacagesteo-contract iesiareunpunctx, atuncielesteunic.Intr-adevar, dac aamaveap1, p2capunctexepentrug arrezulta[p1p2[ = [g(p1) g(p2)[ [p1p2[ ,deci (cum < 1)p1 = p2.26Observat ia20Dacag: [a, b] IRestederivabila si [0, 1)astfelncatg

(x) ,x [a, b] (3.13)atuncigeste o-contract ie (se aplica teorema lui Lagrange pe un interval[x, y] [a, b]).Observat ia21Daca g : [a, b] [a, b] este continua, atunci g are un punctx.Intr-adevar, e h : [a, b] IR, h(x) = g(x) x. Cum h(a) = g(a) a >0si h(b)=g(b) b 0 astfel ncat pentru oricex0 [ , +], sirul (xn)n1 datde (3.17), converge la.(ii) Dacam1, M2> 0 sunt date dem1 = infx[a,b]f

(x)> 0, M2 =supx[a,b]f

(x)(3.19)atunci avem evaluarile[ xn[ M22m1(xnxn1)2,n 1, (3.20)[ xn[ M22m1( xn1)2,n 1. (3.21)Observat ia23Un dezavantaj al acestei metode este alegerea aproximat ieiinit ialex0caretrebuiesasatisfacacondit iaxo [ , + ],valorilesi neindcunoscuteapriori. Acestneajunsesteeliminatdeurmatorulrezultat.Teorema10(Metodatangentei)Fie f: [a, b] IR, de doua ori derivabila astfel ncat f(a)f(b) < 0,f

(x) ,=0 si f

(x) ,= 0, x [a, b]. Atunci sirul (xn)n0 dat de (3.17) cu x0 [a, b]astfel ncatf(x0)f

(x0) > 0,converge (strict monoton) la, unica solut ie a ecuat ieif(x) = 0.Exemplul11Sa se aproximeze solut iile reale ale ecuat ieiex+2x +1 = 0utilizandmetodatangentei. Fief:IR IR, f(x) =ex+ 2x + 1.Cu sirullui Rolle aam ca ecuat ia are o singura radacina realax (1, 0). Cumf

(x) > 0, f

(x) > 0,x [0, 1], se construieste sirulx0 = 0, xn = xn1f(xn1)f

(xn1) x.Se observa caf(0)f

(0) > 0. Obt inemx1 = 0 f(0)f/(0)= 23 0.6666666,x2 = 23 f(23)f/(23) 0, 7383188,m1 = infx[1,0]f

(x)=f

(1)= e1+ 2 2, 367890529M2 = supx[1,0]f

(x)=f

(0)si conform (3.20) avem[xx2[ m22m2[x2x1[2 0, 001084.3.5 Metodaaproximat iilorsuccesivesimetodaNewtonpentrusistemedeecuat iineliniareIn aceasta sect iune vom prezenta extinderi ale metodelor aproximat iilorsuccesive si Newton pentru aproximarea solut iilor sistemelor de ecuat ii ne-liniare de formaF: D IRnIRn, cun 2.Denit ia7Fie (0, 1) xat,D IRndomeniu, o aplicat ieg : D IRnIRnse numeste-contract ie daca|g(y) g(x)| |x y| ,x, y D(unde || este o norma peIRn). Un elementp D se numeste punct xal luigdacag(p) = p.Teorema11(Metodaaproximat iilorsuccesivepeIRn)FieD Rn, Ddomeniu nchis, [0, 1), g :D IRno-contract ie six0 D. Denim xk+1 = g(xk), k 0 si presupunem ca xk D, k 0.Atunci avem(i) Sirul (xk)k0converge la unicul punct xp al luig nD;(ii) Avem evaluarea|xkp| k1 |x1x0| ,n 1. (3.22)Teorema12FieD IRncompacta, g: D IRno-contract ieastfelncatx0 D,x1 = g(x0) D sidist((x1, FrD) d1 ,unded este diametrul luiD. Atunci, pentru oricek 0,xk D.Observat ia24Daca D IRnnchis astfel ncat Vo vecinatate a lui D,g : D IRncug C1(V ) si (0, 1) astfel ncat |g

(x)| x D,atunci g este o -contract ie.Intr-adevar, aplicand teorema cresterilor nite(vezi [26]) avem ca|g(x) g(y)| |x y| sup[x,y]__g

()__ |x y| ,x, y V.30Exemplul12. Fiefunct iag : [1, 2][0, 1] IR2, datade g(x, y) =(1 + 3x2+y220, 2x2+ 5y220). Sa se arate cageste-contract ie n raport cu||. Obt inem cag

(x, y) =____3x10y10x5y2____.Cum toate cele patru funct ii care apar sunt pozitiv crescatoare obt inem__g

(x, y)__ = max(x,y)D3x10+y10 ,x15 +y2 = max3210+110, 25 + 12 =max 710,910 =910 [0, 1).si conform Observat iei 24,geste o910-contract ie pe [1, 2] [0, 1].Vom da fara demonstrat ie urmatorul rezultat (pentru detalii vezi [6] si [22]).Teorema13(MetodaNewton-Raphson)Fie F =(F1, . . . , Fn) : DIRnIRn, x0D, h>0astfelncatB[x0, h] D. Daca sunt ndeplinite condit iile:(i) F

(x0)1= 0 si |0| A0;(ii) B0> 0 astfel ncat __0F(x0)__ B0 h2;(iii) C0> 0 astfel ncatmax1kn max1inn

j=12Fk(x)xixj C0,x B[x0, h](iv)0 = 2nA0B0C0< 1.Atunci sirul denit de metoda Newtonxk+1= xk(F

(xk))1 F(xk),k 0estebinedenitsi convergelaunelement B[x0, h] careestesolut ie a sistemului de ecuat iiF(x) = 0.Observat ia25Spre deosebire de metoda aproximat iilor succesive, metodaNewton nu necesita nici o transformare a sistemului init ial.In plus, vitezadeconvergent aametodei Newtonestemult mai bunadecat ceadatademetoda aproximat iilor succesive (convergent a patratica fat a de convergent aliniara; vezi pentru detalii [12]).Observat ia26Lasand la o parte determinarea aproximat ieix0si a bileiB[x0, h] pe care sunt date condit iile ce asigura convergent a, metoda Newton31prezinta unele dezavantaje. Astfel, la ecare itert ie trebuie calculat iF(xk)si F

(xk) si, de asemenea, trebuie rezolvat sistemul F

(xk) y = F(xk), ceeace nseamna efort computat ional mare si poate duce la acumularea de erori.Acesteinconvenientepot nlaturatefolosindmetodaNewtonsimplicata(modicata) pe care o prezent am n continuare.Teorema14In condit iile Teoremei 13, sirul denit dexk+1= xk(F

(x0))1F(xk), k 0converge la un element B[x0, h] care este solut ie a sistemului de ecuat iiF(x) = 0.Exemplul13. Fie sistemul___x x220 y20= 2y y220 x20 1 = 0siD = (x, y) IR2, (x 52)2+ (y 32)2< 2.Sasevericedacasunt ndeplinitecondit iiledinteoremadeconvergent ade la metoda Newton relativ la aproximat ia init iala (x0, y0) = (52,32).FieF: D IR2, F(x, y)=(x x220 y20 2, y y220 x20 1). Avemsuccesiv (n raport cu ||vectoriala si matriceala):(i) calculam 0 = (F

(x0, y0))1si aamA0 =180127;(ii) calculam apoi |0F(x0, y0)| si aamB0 =81254;(iii) calculamCsi aamC =110.In plus, pentru constanta0avem0 = 2nA0B0C0 [1n1[ ... [11[ > 0 (8.29)si se foloseste n acest caz metoda puterilor pentru calculul lui 1n, aplicatamatriceiA1, pentru care(A1) =_ 11, ...,1n_.Nuserecomandacalculullui A1, ci nlocdexk+1=A1xk, serezolva87sistemul Axk+1=xk. Aceastapoatefacuta nmodecient folosindmetoda bazata pe descompunereaLUa luiA.8.4 Exercit ii1. Sa se arate ca doua matrice asemenea au acelasi spectru.2. (TeoremaluiGershgorin) PentruA /n, (A) n

i=1Ti, undeTi =_z C/ [z aii[ n

j=1,j=i[aij[_.(Aceasta teorema se mai numeste si teorema de localizare a valorilorproprii)3. Sa se arate ca orice matrice strict diagonal dominanta este inversabila.4. Fie A matrice simetrica si pozitiv denita. Atunci I A este simetricasi pozitiv denita (A) < 1.5. PentruA =__2 0 12 10 01 1 4__ determinat i o valoare aproximativapentru(A) efectuand doi pasi ai metodei puterilor cux0 = (1, 1, 1)tsi (x) = |x|.6. Determinat i complexitateaaritmeticaaalgoritmului delametodaputerilor.88Bibliograe[1] Bakhvalov N., Methodes num`eriques, Editions MIR, Moscou 1976.[2] Branzanescu V., Stanasila O., Matematici speciale - partea I, Tipogra-a Institului Politehnic Bucuresti, 1985.[3] BourdenR. L., FairesJ. D., ReynoldsA. C., Numerical Analysis-secondedition, Prindle, WeberandSchmidt, Boston, Massachusetts,1981.[4] CiarletP.G., Theniteelementmethodforellipticproblems, North-Holland, 1979.[5] Ciarlet P.G., Introduction `a lanalyse numerique matricielle et `aloptimisation, Masson, Paris,1982.[6] DemidoviciB.P.,MaronI.A.,Computational Mathematics,MIRPu-blishers, Moscow, 1981.[7] DragosL., Metodematematice naerodinamica, EdituraAcademieiRomane, Bucuresti, 2000.[8] Dragos L., Popescu M, Certain quadrature formulae of interest in ae-rodynamics, Rev. Roum. Math. Pures Appl., XXXVII(7)(1992), pp.587-599.[9] Gantmacher F.R., The theory of matrices (vol. I si II), Chelsea Publ.Comp., New York 1959.[10] Golub G. H., van Loan C. F., Matrix computations - third edition, TheJohns Hopkins Univ. Press, Baltimore,1996.[11] Hackbusch W., Ellipticdierentialequations-Theoryandnumericaltreatment, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992.[12] Henrici P., Elements of numerical analysis, JohnWilleyandSons,Nwy York 1964.89[13] Householder A. S., The theory of matrices in numerical analysis, Blais-dell Publ. Comp., New York, 1964.[14] JuncuGh., PopaC., Introducerenmetodamultigrid- aplicat ii pecalculator, Editura Tehnica, Bucuresti 1991.[15] Kantorovici L.V., AkilovG.P., Analizafunct ionala(trad. dinlimbarusa), Ed. St. si Encicl., Bucuresti 1986.[16] Kinkaid D.R., Cheney W., Numerical Analysis: Mathematics of Scien-ticComputing, Brooks/ColePublishingCompany, PacicGroove,California 1991.[17] Meyer C.D., Matrixanalysisandappliedlinearalgebra, SIAM Phila-delphia 2000.[18] MiculaGh., Funct ii splinesi aplicat ii, EdituraTehnica, Bucuresti1978.[19] OvertonM.L., Numerical computingwithIEEEoatingpoint arith-metic, SIAM Philadelphia 2001.[20] PelicanE., Analizanumerica- complemente, exercit ii, programedecalcul, va apare n Editura MatrixRom, Bucuresti, 2006.[21] Popa C., Pelican E., Introducere n analiza numerica , Editura Matri-xRom, Bucuresti, 2005.[22] Popa C., Introducere n analiza numerica, Editura EUROBIT,Timisoara 1996.[23] Popa C., Analiza numerica matriceala, Editura EUROBIT, Timisoara1996.[24] Popa C. si colectiv., Analiza numerica. Complemente. Exercit ii. Pro-grame de calcul, Tipograa Universitat ii Ovidius, Constant a 1996.[25] Popoviciu T., Analiza numerica - not iuni introductive de calcul apro-ximativ, Ed. Academiei Romane, Bucuresti 1991.[26] Siret chi Gh., Calcul diferent ial si integral, vol. I si II, Ed. St. si Encicl.,Bucuresti 1985.[27] S uli E., Mayers D., An introduction to numerical analysis, CambridgeUniversity Press, 2003.[28] Varga R., Matrix iterative analysis, Prentice Hall, New York,1962.90[29] Weiss R., Parameter-freeiterativelinear solvers, Mathematical Re-search Series, 97, Akademie Verlag, Berlin, 1996.[30] YoungD. M., Iterative solutionof large linear systems, AcademicPress, New York,1971.91