profa. caroline rodríguez upra mecu 3031 · •determinar asíntotas horizontales. •determinar...
Post on 09-May-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Funciones racionales
Profa. Caroline Rodríguez
UPRA
MECU 3031
Una función racional es una función que se
puede expresar de la forma
)(
)()(
xg
xfxp
donde f(x) y g(x) son funciones
polinómicas.
Ejemplos:
xx
xxg
x
xxf
xy
9
4)(
3
2)(
2
1
3
2
Ejemplos:
1
4)(
1
12)(
2
xxg
xxf
Toda función polinómica es una función
racional ya que se puede expresar con un
denominador igual a 1.
1
13)(
1
42)(
34
3
xxxq
xxxp
Dominio de funciones racionales
• Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida.
• En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
14
2)( )1
xxf
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4
5)( )2
2
x
xxf
os.factorizam ceros, losencontrar Para 042 x
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
623
32)( )3
23
2
xxx
xxxf
.agrupaciónpor osFactorizam 0623 23 xxx
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1
5)( )4
2
x
xxf
perfectos. cuadrados deSUMA una es 12 x
No existe un valor que se le puede asignar a x tal que x2 + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, _____________________
___ __________ :D
Interceptos • Un intercepto en x de f(x) se define como el (los)
punto (s) donde el valor de f(x) es igual a cero.
• Para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero.
• El intercepto en y se puede encontrar evaluando la función para x igual a cero.
Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
2
1)(
xxf
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2
1 -
20
1)0(
f El numerador de f(x) es 1.
1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x)
NO tiene interceptos en x. El intercepto en y es
(0, - ½ ).
Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x x
xxf
3
2)(
Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
xx
xxg
9
4)(
3
2
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x 2
532)(
2
2
x
xxxh
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
122
99)(
34
23
xxx
xxxxp
Soluciones de funciones racionales • Un par ordenado (a,b) es una solución para f(x) si
cuando se sustituye x por a , y es igual a b.
• Dicho en notación de funciones, si f(a) = b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5
12)(
x
xxf
)6(f
Como 𝑓 6 = 1, entonces (6, 1) SI es una solución
de f(x).
5)6(
1)6(2
11
1121
11
11
Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de
3
23)(
2
2
x
xxxf
Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una
solución de
x
xxf
3
25)(
Consideremos la función racional: 2
1)(
xxf
Hasta ahora sabemos que:
• El dominio de f(x) es D:
• Numéro de interceptos en x:
• El intercepto en y es:
),2()2,(
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
en x. sintercepto tieneNo
(0, - ½).
Aunque x=2 NO
pertenece al dominio
podemos observar lo
que ocurre con valores
que están muy cerca de
x=2 (un poco mayor o
un poco menor).
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
Si se eligen valores para
la x un poco mayores
que 2 (2.01, 2.001, etc) ,
los valores de la función
se hacen muy grandes.
Si se eligen valores para
la x un poco menores
que 2 (1.9, 1.99, etc) , los
valores de la función se
hacen muy pequeños.
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
Estos puntos los podemos
unir con una curva,
desconectada, suave que
se extiende en
direcciones opuestas.
• Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.
• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas.
• x=2 se llama una asíntota vertical
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(Comportamiento en
los extremos)
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
A medida que los
valores de x se hacen
más negativos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
A medida que los
valores de x se hacen
más positivos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
En este caso, la
línea y=0 se llama
una asíntota
horizontal, porque
los valores de la
función se quedan
bien cerca de esta
línea a medida que
x aumenta o
disminuye
grandemente..
2
1)(
xxf
Hallar las asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función simplificada
es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO existen
factores comunes, distintos de uno, entre el
numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1)(
153
3)(.
2
x
xxg
xxfEj El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de
las gráficas de f(x) y
g(x)
Asíntotas horizontales 2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del
denominador.
2
2
16
14)(
153
19)(.
x
xxg
x
xxfEj
La asíntota horizontal
de la gráfica de
f(x) es
g(x) es
33
9y
41
4
y
Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO
tiene asíntota horizontal.
1
16)(
153
745)(.
2
3
x
xxg
x
xxxfEj Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen
asíntota horizontal
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)
horizontal(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.
•Determinar asíntotas horizontales.
•Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos
puntos adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves.
Construir la gráfica de una función racional
x
xxf
22
52
Trazar la gráfica de: x
xxf
3
2)(
Intercepto - y:
Intercepto - x
Asíntota vertical:
Asíntota horizontal:
Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x
xy
3
2
Trazar la gráfica de: xx
xxg
2
4)(
2
2
Las asíntotas verticales son los valores que hacen
cero el denominador en una expresión racional
simplificada, por lo que debemos simplificar g(x)
antes de determinar sus asíntotas..
x2x
4xy
2
2 2xx
2x2x
x
2x
Las funciones x2x
4x)x(g
2
2
y
x
xy
2
son equivalentes para todo número real excepto , en
x = 2.
xx
xxg
2
4)(
2
2
• Tienen la misma asíntota vertical.
x = ?
• Tienen la misma asíntota horizontal
y = ?
• Son equivalentes en todos los puntos
excepto en x = 2.
La gráfica de g(x) tiene un hueco en
(?, ?).
x
2xy
Las gráficas de las funciones:
Gráficas de funciones racionales
xx
xxg
2
4)(
2
2
Primero simplicamos la función.
3x3x
4x23x
9x
12x10x22
2
La asíntota vertical de esta
función es
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
La asíntota horizontal de
esta función es .
3
42
x
x
x = ?.
y =?
f(x) tiene un hueco cuando
(? ,?)
Determinemos el intercepto en y.
Trazar la gráfica de: usando 9
121022
2
x
xxxf
3x
4x2y
… intercepto en x
… puntos adicionales
Práctica • Hallar el dominio y los interceptos de cada una
de las siguientes funciones.
4
8162)(
32
1)(
3
4842)(
2
34
2
2
x
xxxxh
xx
xxg
x
xxxf
Práctica • Hallar el valor de a, si existe, tal que (a,1) es una
solución de f(x)
34
2)(
3
94)(
2
xx
xxf
x
xxf
Soluciones • Dominio:
4
8162)(
2
34
x
xxxxh
x
xxxf
3
4842)(
2
32
1)(
2
xx
xxg
),0()0,(:D
),3()3,1()1,(:D
),2()2,2()2,(:D
Soluciones • Interceptos:
4
8162)(
2
34
x
xxxxh
x
xxxf
3
4842)(
2
32
1)(
2
xx
xxg
(4,0) -6,0),( :int
existe No:int
-x
y
1,0)( :int
),0(:int31
-x
y
-2 x,- x:int
0,-2:int
21
-x
y
Soluciones
13
0)1)(3(
032
342
134
2
34
2)(
2
2
2
2
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xxf
x
xxf
3
94)(
13
94
x
x
9
394
x
xx
(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones
de f(x)
top related