os desafios da escola pÚblica paranaense … · conteúdos estruturantes de geometria para o...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA – UEPG

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA NA ESCOLA

ÁREA: MATEMÁTICA

RAFAELA SOUZA

UNIDADE DIDÁTICA

“A MATEMÁTICA DOBRÁVEL E ARTÍSTICA”

PONTA GROSSA

2013

2

RAFAELA SOUZA

UNIDADE DIDÁTICA

“A MATEMÁTICA DOBRÁVEL E ARTÍSTICA”

Unidade Didática a ser aplicado no Colégio Estadual de

Educação Básica para Jovens e Adultos – UEPG –

CEEBJA-UEPG apresentada como requisito de avaliação

parcial referente ao Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE – 2013, promovido pela Secretaria de

Estado da Educação – SEED – PR, junto a Universidade

Estadual de Ponta Grossa – UEPG.

Orientador: Professor Mestre José Trobia

PONTA GROSSA

2013

3

1. Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013

Título: “A Matemática Dobrável e Artística”

Autor: Rafaela Souza

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e

sua localização:

CEEBJA-UEPG - Centro Estadual de Educação Básica

para Jovens e Adultos – Universidade Estadual de Ponta

Grossa

Município da escola: Ponta Grossa – PR

Núcleo Regional de Educação: Ponta Grossa – PR

Professor Orientador: José Trobia

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Ponta Grossa - UEPG

Relação Interdisciplinar: Arte e História

Resumo:

Dificuldades em resolver problemas matemáticos é um

tema geral em todas as Escolas. Na EJA – Educação de

Jovens e Adultos é mais difícil pelo motivo de termos

alunos com idades avançadas e também por estarem

muito tempo afastados da Escola. Diante disso, este

trabalho ajudará esses alunos a compreender e resolver

problemas matemáticos referentes ao cotidiano de uma

maneira natural, divertida e concreta, mostrando que a

Arte aliada a Matemática, irá possibilitar à compreensão

de alguns conteúdos da Geometria, estimular o

raciocínio lógico e principalmente a organização.

Através de experiências vividas em sala de aula com

alunos da EJA, foi possível identificar alunos com

grandes dificuldades em interpretar alguns problemas

matemáticos relacionados com a Geometria. Faz-se

necessário, portanto trabalhar com materiais

manipuláveis e concretos como Tangram, Origami e

Papel Quadriculado com o intuito de mostrar,

comprovar e levar o aluno a observar a facilidade em

interpretar os problemas matemáticos. A Metodologia

será trabalhar com a prática desses materiais,

individualmente e em pequenos grupos e da avaliação

contínua. Esse processo ocorre com a colaboração e

cooperação de professores da área e dos próprios alunos.

Pode-se apontar como resultados preliminares, avanços

dos alunos no que diz respeito ao nível de compreensão e

interpretação dos problemas matemáticos.

4

Lorenzato (2006, p. 21) defende a ideia que o Material

Concreto “pode ser um excelente catalizador para o

aluno construir o seu saber matemático”. Este projeto

pretende mostrar aos docentes e também aos alunos da

EJA que os materiais manipuláveis e concretos facilitam

a aprendizagem, uma vez que são elementos que

auxiliam e ajudam na compreensão e contextualização

de alguns conteúdos da matemática.

Palavras-chave:

Geometria. Materiais Manipuláveis. Metodologia de

Ensino. Ensino de Matemática. Educação de Jovens e

Adultos.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos da EJA – Ensino Fundamental Fase II

5

FONTE: http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT516776-2680,00.html

APRESENTAÇÃO

Devido às dúvidas geradas pelos alunos da EJA – Educação de Jovens e Adultos em

resolver problemas matemáticos referentes aos conteúdos de Geometria, muitos jovens e

principalmente os adultos deixam de resolver e identificar de forma consciente situações

simples do cotidiano.

Dessa forma, esta Unidade-didática permitirá despertar o prazer pela disciplina,

onde o aluno poderá visualizar perceber e compreender, semelhanças e diferenças no

mundo, através de alguns desafios. Para isso, usaremos materiais manipuláveis como

Tangram, Origami, papel quadriculado a fim de definir conceitos matemáticos relativos à

Geometria e utilizando-os como ferramenta para o aprendizado da Matemática, na

resolução de problemas de geometria plana e sistemas de medidas. Estes materiais são

importantes e interessantes, pois auxiliam no desenvolvimento do raciocínio geométrico,

6

além de possibilitar as relações entre a Geometria e os conceitos matemáticos, propondo

situações em que se possa brincar com a Matemática de forma séria sem perder a

ludicidade e o prazer em aprender.

Os materiais manipuláveis como o Tangram, Origami e Papel Quadriculado, são

ferramentas poderosas que podem auxiliar nas resoluções de problemas contribuindo para

a melhoria do ensino e aprendizagem da matemática, principalmente no ensino da

Geometria.

Santos (1997, p.15-35), nos relata:

[...] o aluno precisa de estímulo para aprender, e o exercício lúdico desperta motivação e interesse. [...] A Geometria pode ser a mais prazerosa com a

aplicação das atividades lúdicas, propiciando inclusive, uma situação mais

favorável para os alunos que apresentam maior dificuldade de aprendizagem.

Neste contexto, dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional, essa

Unidade-didática foi pensada e elaborada com o objetivo de trazer aos educandos da EJA –

Educação de Jovens e Adultos – Ensino Fundamental – Fase II, interagir com aulas

dinâmicas e alegres, propiciando o desenvolvimento da autonomia e do espírito

investigativo do trabalho em equipe, o qual capacitará e subsidiará os alunos a enfrentar

situações novas, levando-os a analisar e interpretar os dados de um problema. Além disso,

oportunizando o conhecimento da História do Origami e do Tangram, dando oportunidades

aos alunos de aprender outros tipos de Artes e Culturas. Pensando assim, este material

também aborda a história de algumas culturas nas suas variadas formas, trazendo o aspecto

histórico e a importância dada à mesma em cada etapa do seu processo evolutivo.

Instrumentalizar os alunos da EJA – Educação de Jovens e Adultos, para a

resolução de problemas do cotidiano através desses materiais, fará com que eles tenham

condições de compreender, de elaborar atividades práticas, mediante a construção de

desafios matemáticos. Isso permitirá que eles observem a Matemática presente no dia-a-dia

e também vejam a importância dessas ferramentas na compreensão de alguns conceitos da

Geometria, como quase sempre acontece na resolução de problemas matemáticos.

A proposta desta Unidade Didática é a de realizar atividades que envolvam

situações reais do aluno observando a Matemática ao seu redor, onde serão abordados

conteúdos e exercícios de Geometria. Esses conteúdos serão trabalhados de uma forma

prazerosa e interessante, sendo um dos objetivos os de fazer com que os alunos tenham

uma aprendizagem significativa, utilizando como recursos metodológicos o papel

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quadriculado, Tangram e Origami, os quais nos auxiliarão na aprendizagem do ensino da

Matemática, especificamente, em alguns conteúdos de Geometria.

Se observarmos ao nosso redor, podemos encontrar muita Geometria. Em

exposições artísticas, podemos citar Tarsila do Amaral onde em suas obras observamos

uma forte tendência Geométrica em suas obras. A obra na qual a matemática parece ter

sido mais preponderante é a do artista gráfico holandês Maurits Cornelis ESCHER (1898-

1972), onde suas obras são expostas no mundo inteiro e recentemente foi exposta em

Curitiba. Obras de outros artistas que envolveram a matemática poderão ser vistas no link

http://pt.slideshare.net/nobre_suzy/a-geometria-da-arte.

Será nas divisões da geometria plana que usaremos conceitos relativos aos

Conteúdos Estruturantes de Geometria para o Ensino Fundamental, fazendo a interação

com os conteúdos estruturantes de Geometrias e de grandezas e medidas, os quais estão

contemplados nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática.

A Matemática tem uma capacidade enorme de realizar e produzir estruturas e

padrões que nos permitem compreender o mundo que nos rodeia. Ela cria vida, faz

acontecer e desenvolve a capacidade de sonhar, permitindo imaginar mundos diferentes,

possibilitando a comunicação de uma forma clara e compreensiva. Como percebemos, a

Matemática está evoluindo por motivações, como dizia Aristóteles “os filósofos que

afirmam que a Matemática não tem nada a ver com a Estética, estão seguramente errados.

A Beleza é de fato o objeto principal do raciocínio e das demonstrações matemáticas”.

Hardy afirmava que “o matemático, tal como pintor ou poeta, é um criador de padrões.

Um pintor faz padrões com formas e cores, um poeta com palavras e o matemático com

idéias. Todos os padrões devem ser belos. As idéias, tal como as cores, as palavras ou os

sons, devem ajustar-se de forma perfeita e harmoniosa”.

Esta Unidade tem como um dos objetivos, o de desenvolver atividades que mostre

uma enorme diversidade da Matemática, onde falaremos de alguns conteúdos de

Matemática relacionados com a Geometria, de uma forma que possam ser úteis para o

ensino aprendizagem dos alunos da EJA. Também propomos um encaminhamento

metodológico para que os professores que vierem a utilizar-se desse material saibam como

conduzí-los de forma a tirar o melhor proveito.

Para despertar o interesse de nossos alunos, precisamos de motivação e interação.

Essas são palavras chaves para o sucesso de qualquer projeto, por isso os estudos para o

desenvolvimento dessa unidade didática serão de encontros semanais, a fim de que os

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alunos sintam-se motivados a participar do desenvolvimento das atividades.

PROPOSTA DIDÁTICA

Para o desenvolvimento de todas as atividades será construído um encaminhamento

impresso para cada aluno. Inicialmente, será explicado:

Importância do papel quadriculado;

O significado de Ponto, reta e plano;

Posições absolutas das retas (horizontal, vertical, curva, diagonal ou

inclinada);

Posições relativas entre duas retas (paralelas, perpendiculares e

concorrentes);

Os tipos de ângulos (reto, agudo, obtuso e raso);

Reconhecimento de algumas figuras planas mais conhecidas e utilizadas na

Geometria.

Para cada explicação serão realizadas algumas atividades.

Antes de iniciarmos cada momento, vamos conhecer um pouco sobre a Introdução à

Geometria em cada etapa proposta.

1° MOMENTO – PONTO – RETA – PLANO

Duração: 4 aulas

Objetivos:

Reconhecer a importância do papel quadriculado na matemática;

Conhecer o que é ponto, reta, plano, segmento de reta e ponto médio;

Importância do Papel Quadriculado ou malhas quadriculadas

O papel quadriculado ou malhas quadriculadas tem como função ajudar os alunos

na observação das formas geométricas e também nos desenhos. Pode ser utilizado desde as

séries iniciais, ensino médio e também na EJA, principalmente na Geometria (formas, área

e perímetro), operações (especialmente na multiplicação), funções e estatística (gráficos).

Por isso, o papel quadriculado e outros instrumentos de desenho ajudam a ver e a pensar

em Matemática, especialmente na resolução de problemas da Geometria.

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O papel quadriculado pode ter quadradinhos de vários tamanhos, com medidas

variadas como 1cm × 1cm; 2cm × 2cm ou outras medidas como aparece nas figuras

abaixo.

Temos vários tipos de malhas geométricas, exemplos:

Malhas usadas no GeoGebra, para quando for colocar o fundo, vai em exibir

layout:

10

Outros tipos de Malhas Geométricas onde podemos brincar com a Matemática (Fonte:

google imagens-acesso 24/11/2013)

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Vamos brincar um pouco com as malhas e fazer colorir, como se fosse um mosaico.

Atividade1

Neste momento, serão distibuídas vários tipos de malhas aos alunos, onde eles

poderão colorir de acordo com sua criatividade.

Mais tarde, no decorrer das atividades (último momento), eles farão uma

classificação em relação à Introdução da Geometria nas malhas desenhadas.

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PONTO – RETA – PLANO

São graficamente assim representados:

Observando o mundo em que vivemos, certas idéias formam-se em nossa mente de modo

intuitivo.

Por exemplo:

Quando olhamos o mapa do Brasil, a representação de uma cidade nos dá a idéia de

ponto.

FONTE: http://www.portalbrasil.net/images/mapabrasil.jpg

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Quando olhamos um campo de futebol, as linhas de cal demarcatórias das laterais

nos dão a idéia de um pedaço de reta.

Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Campo_de_futebol_medidas.jpg

Quando olhamos uma folha de papel, esta nos dá a idéia de plano.

Os números (que também são idéias) são representados por símbolos chamados numerais.

Da mesma forma, o ponto, a reta e o plano são representados por símbolos.

SÍMBOLOS UTILIZADOS PARA O PONTO, RETA e o PLANO

PONTO

Usamos LETRAS

MAIÚSCULAS do nosso

alfabeto

RETA

Usamos LETRAS

MINÚSCULAS do nosso

alfabeto

PLANO

Usamos letras do

ALFABETO GREGO:

α (alfa); β (beta); γ (gama)

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SEGMENTO DE RETA e PONTO MÉDIO

SEGMENTO DE RETA

Consideremos uma reta r e dois de seus

pontos, A e B, distintos. A parte da reta

formada pelos pontos A, B e por todos os

pontos que estão entre A e B denomina-se

segmento de reta, que indicamos por AB.

Um segmento tem começo e fim, portanto é

finito. É também um subconjunto da reta.

Exemplo:

PONTO MÉDIO

É o ponto de equilíbrio de um segmento de

reta. Podemos definir o ponto médio como o

ponto que divide o segmento de reta

exatamente no meio, tendo dois novos

segmentos iguais.

Exemplo:

Agora que aprendemos um pouco sobre o ponto, reta, plano, segmento de reta e ponto

médio, vamos investigar algumas situações reais:

1. Qual a idéia (ponto, reta, plano) que você tem quando observa:

a) Uma corda esticada:_______________________________________________

b) Uma estrela no céu:________________________________________________

c) O encontro de duas paredes:_________________________________________

d) Um campo de futebol:______________________________________________

e) Um furo de agulha numa folha de papel:_______________________________

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f) A representação de uma cidade no mapa:_______________________________

g) A folha de seu caderno:_____________________________________________

h) A superfície da água de uma piscina:__________________________________

i) Um grão de areia:_________________________________________________

j) Um fio de cabelo esticado:__________________________________________

k) O tampo de uma mesa de ping-pong:__________________________________

l) O chão de seu quarto:______________________________________________

m) A Lousa de uma sala de aula:________________________________________

n) A Sombra de um mastro:___________________________________________

o) O pingo do i:____________________________________________________

2. Na figura abaixo, indique os símbolos existentes nela:

a) O plano:_________________

b) As retas:_______ e ________

c) Os pontos: ____, ____ e ____

3. Observe a sua sala de aula e encontre, para cada item, pelo menos uma coisa que

sugere:

a) Uma reta: _______________________________________________________

b) Um ponto _______________________________________________________

c) Um plano: ______________________________________________________

4. Observe o desenho seguinte e responda:

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a) Quais pontos pertencem a uma mesma reta?

______________________________________________

b) Qual é o ponto que pertence às duas retas ao mesmo tempo?

________________________________________________

c) No segmento BC tem um ponto em comum entre eles. Como se chama esse

ponto?

________________________________________________________________

5. Dentre os seguintes elementos: porta de geladeira, superfície de uma piscina, uma

cabeça de parafuso, uma linha de fio esticada, uma parede, quais nos dão a idéia de:

a) Ponto?__________________________________________________________

b) Reta?___________________________________________________________

c) Plano?__________________________________________________________

6. Observe as retas a, b, c, r, u e t:

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a) Quais pontos aparecem na figura?

___________________________________________

b) Quais retas têm a figura?

__________________________________________________

c) Quais dessas retas passam pelo ponto A?

_____________________________________

d) Quais dessas retas passam pelo ponto B?

_____________________________________

e) Quais dessas retas passam pelos pontos A e B?

________________________________

f) Quais pontos aparecem na figura?

___________________________________________

g) Quantas retas têm a figura?

_________________________________________________

h) Os pontos passam somente em uma reta, qual é essa reta?

_________________________

7. Observe as retas m e n e os pontos A, B, C, D, E e F da figura:

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Agora responda:

a) Que pontos pertencem à reta m?

____________________________________________

b) Que pontos pertencem à reta n?

_____________________________________________

c) Que pontos NÃO pertencem à reta m?

________________________________________

8. Observe a figura e responda. Quantos segmentos de reta existem na figura e quais

são?

___________________________________________________________________

9. Dados os pontos abaixo, desenhe todos os segmentos de reta que têm extremidades

nos pontos A, B, C e D, identifique-os: _________________________________

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2° MOMENTO – RETAS - LINHAS

Duração: 6 aulas

Objetivos:

Identificar e diferenciar as retas quanto à forma, à posição, à direção e ao uso;

Conceituar, classificar, usar e identificar as retas;

Reconhecer os diferentes tipos de linhas, apresentados isoladamente;

Traçar segmentos de retas;

Traçar linhas paralelas e perpendiculares com o esquadro;

Conceituar e diferenciar a linha geométrica e a linha gráfica;

Reconhecer os tipos de linhas, apresentados isoladamente ou integrando objetos e

formas;

Identificar nos desenhos compositivos os diversos tipos de linhas apresentadas.

RETAS

Uma sequência infinita de pontos determina uma reta. Quando essa linha possui uma única

direção, chamamos esta linha de reta.

Reta

Não tem princípio e nem fim. A reta pode ser prolongada nos seus dois sentidos de

comprimento, portando a reta é infinita.

r

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Semi-reta

Se destacarmos uma parte nesta reta, estamos mudando sua aparência.

A semi-reta tem princípio em P e não tem fim, é infinita em apenas um sentido de

comprimento, desta forma obtemos uma semi-reta. .

Segmento de reta

Se destacarmos mais um ponto na semi-reta, obteremos um segmento de reta. O segmento

de reta tem princípio e fim. É finito quanto ao seu comprimento.

Sabemos que por uma reta passam infinitos pontos, mas para se traçar uma reta, são

necessários dois pontos. Dessa forma determinamos a direção que queremos para a reta.

POSIÇÕES ABSOLUTAS DAS RETAS

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QUANTO À FORMA

Linha Curva – Se o movimento de um ponto, se der mudando sempre a direção, teremos a

linha curva. A linha curva pode ser chamada de côncavo ou convexa em relação a um

observador.

Em relação ao observador (O), a curva é côncava.

Em relação ao observador (O’), a curva é convexa.

Linha sinuosa ou ondulada – Se um ponto se desloca produzindo uma linha com

sequências de curvas côncavas e convexas, damos o nome se sinuosa ou ondulada a essa

linha.

Linha poligonal ou quebrada – Se uma linha se apresenta formada de sequências de

segmentos, recebe o nome de poligonal ou quebrada.

Linha mista – A linha que se apresenta como uma mistura de linhas sinuosas e poligonais.

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

Duas ou mais retas, uma em relação a outra, podem ocupar as posições de paralelas,

coincidentes ou concorrentes. Chamamos isso de posições relativas entre retas.

Retas PARALELAS – são retas que não possuem nenhum ponto em comum, não se

cruzam e mantêm sempre a mesma distância uma da outra, ou seja, elas sempre andam

uma do lado da outra.

Retas CONCORRENTES OBLÍQUAS – são as retas que possuem um ponto em

comum, mas quando se cruzam, formam DOIS ÂNGULOS AGUDOS (menor que 90°) e

DOIS ÂNGULOS OBTUSOS (maior que 90°).

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Retas CONCORRENTES PERPENDICULARES – são aquelas retas que também

possuem um ponto em comum, mas quando se cruzam, formam entre si, ângulos de 90°,

ou seja, 4 ângulos de 90°.

Retas COINCIDENTES – são as retas que possuem todos os seus pontos em comum.

Símbolos das posições relativas das retas

Paralelas

Concorrentes

Perpendiculares

Coincidentes

Concorrentes

Oblíquas

AGORA QUE APRENDEMOS UM POUCO SOBRE RETAS, VAMOS ÀS

ATIVIDADES

1. No espaço abaixo, trace algumas retas nas posições:

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VERTICAL HORIZONTAL INCLINADA

2. Quando duas retas têm os seus pontos em comum, dizemos que são

retas_______________

3. As posições de duas retas ocupam uma relação à outra são chamadas de

________________

4. Duas retas que se cruzam formando ângulos de 90° são chamadas de concorrentes

________________________

5. Quando duas retas se cruzam formando ângulos diferentes de 90°, são chamadas de

retas ________________________

6. Quais os símbolos usados para indicar estas retas

a) Paralelas________________________________________________________

b) Concorrentes erpendicular___________________________________________

c) Coincidentes_____________________________________________________

d) Concorrentes oblíquas______________________________________________

7. Observando a situação abaixo, identifique as retas quanto a forma.

Um grupo de amigas, para se divertir, resolveram patinar no final de semana. Na

pista de patinação elas deixaram alguns sinais diferentes que corresponde à posição

das retas quanto à forma, identifique os sinais que ficaram.

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a) Joana só sabe patinar em linha

______________________________________________

b) Heloísa sabe patinar muito bem, faz piruetas e desliza em linha

____________________

c) Beatriz patina de um modo particular, em

linha_________________________________

d) Vivian gosta de misturar, patina em

linha_____________________________________

8. Usando régua, trace. (não se esqueça de nomear as retas):

a) Um par de

retas

paralelas

b) retas

coincidentes

c) retas

concorrentes

oblíquas

d) retas

concorrentes

perpendiculares

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9. Usando um par de esquadros, trace retas paralelas conforme pedido abaixo.

a) Retas paralelas horizontais

b) Retas paralelas verticais

10. A partir do quadrado ABCD, representamos na figura geométrica a seguir, seis

retas:

a) Escreva todas as possíveis semi-retas que têm origem nos pontos destacados.

________________________________________________________________

b) Determine o que existe em comum entre as semi-retas

_______________________________________________________________

c) Qual o elemento geométrico que existe em comum entre as semi-retas

_______________________________________________________________

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PALAVRAS DA GEOMETRIA

Vamos encontrar no diagrama de letras, algumas palavras existentes na Geometria

que estudamos até agora:

PONTO - RETAS - RETA - INFINITA -

FINITO

HORIZONTAL - VERTICAL - INCLINADA - ABSOLUTAS -

DUAS PARALELAS - CONCORRENTES - PERPENDICULARES

- RELATIVAS

C O R R E N T E S R R E E S S V

P U F G E O M E T R I A A R O E

R C O N C O R D O E S O M A R R

R C C M A T E M A T I C A X R T

A S S A L E L A R A P P I R R I

A V E A M I Z A D E E N N E E C

C Y R O R E T A S S F I T A R A

P A Z B N K N X X I N F O P E L

T T H O R I Z O N T A L O O L A

V E E V L S E I N Z Y I L M A J

Q Y T C W Q T G J K L T T I T S

Y Y N A A A F A M I L I A T I A

W I R S O U C A P A Z Ç Ç O V V

W R A C H A R E I T O D A S A S

N O C C O N C O R R E N T E S S

F I L H O S S O C O R R O Ç S A

Y M E A J U D E Ç A C A B E I U

P A I M M M F S O N H O S S T D

Y Ç Ç Y Y H I S T O R I A M Ã E

P P E R P E N D I C U L A R E S

V R U I I T I I S J O H L A W W

Z X W R Y Y T E N H A C A L M A

G W W S S A A W Y Ç P O N T O O

J Q F É A B S O L U T A S K K W

J Ç P A Z B S I L E N C I O S O

O P L U Z H F I M F U T U R O S

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LINHAS

As linhas são prolongamentos de um ponto, é quando pousamos o lápis na folha e sem

levantar, fazemos vários movimentos.

O papel será uma pista de patinagem. Faça o lápis deslizar sobre o papel. O lápis deverá

deslizar espontaneamente, procurando definir as linhas retas, curvas, sinuosas, quebradas,

mistas, pontilhadas, tracejadas, traço e ponto.

Fonte:http://2.bp.blogspot.com/_TyAWmOd4NNE/TFSRU40YsKI/AAAAAAAAARI/AEg7vJIzXuk/s1600/tipos+de+linhas.

jpg

POSIÇÃO DA LINHA E SUA EXPRESSIVIDADE (variando ou não as dimensões

das linhas)

29

LINHA QUANTO A SUA DIREÇÃO

Sabemos que as linhas podem tomar direções variadas. Quanto à sua direção, as linhas

podem ser convergentes (de fora para dentro), divergentes (de dentro para fora),

paralelas e perpendiculares.

CONVERGENTES – são as linhas que se dirigem a um só ponto.

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Compreensão da Perspectiva

O conhecimento sobre perspectiva de observação, também denominada de cônica ou

linear, é indispensável para quem pretende desenhar corretamente a aparência de volume

dos objetos, profundidade e espaço de ambientes ou paisagens e todo tipo de esquemas

gráficos que busquem reproduzir as características tridimensionais da realidade.

Definição de perspectiva

No desenho artístico a perspectiva pode ser definida como um recurso gráfico que utiliza o

efeito visual de linhas convergentes para criar a ilusão de tridimensionalidade do espaço e

das formas quando estas são representadas sobre uma superfície plana como a do papel de

desenho.

DIVERGENTES – são as linhas que se afastam de um mesmo ponto.

31

http://prout.org.ar/wp-content/uploads/2012/06/El_sol_siempre_vuelve_a_brillar.jpg

PARALELAS – são as linhas que se deslocam mantendo a mesma distância entre si.

http://ipt.olhares.com/data/big/314/3140679.jpg

inclinar para lado algum, formando ângulos retos.

http://querenciahoje.files.wordpress.com/20

08/07/postes.jpg

32

http://querenciahoje.files.wordpress.com/2008/07/postes.jpg

LINHA QUANTO A SUA POSIÇÃO

Como já aprendemos, a posição da linha pode ser horizontal, vertical, inclinada e

curva. Cada uma delas sugere coisas reais que conhecemos. Como:

HORIZONTAL – tranquilidade, repouso, estabilidade

VERTICAL – ascensão, espiritualidade, equilíbrio

INCLINADA – radiação, dispersão, instabilidade, dinamismo

CURVA – suavidade, graça, movimento

LINHA QUANTO AO USO

a) Linha fina

___________________ Empregada para traços iniciais do desenho.

b) Linha cheia

É a linha para acabamento.

c) Linha ponteada

........................................ É utilizada nos traços invisíveis.

d) Linha tracejada

- - - - - - - - - - - - - - - - - Serve para prolongamentos de linhas e linhas de

construções.

e) Linha interrompida

- . - . - . - . - . - . - . - . - . É utilizada para eixo de simetria.

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AGORA VAMOS FAZER A VERIFICAÇÃO E FIXAÇÃO DO

APRENDIZADO

1. Responda:

a) Posição da linha que caracteriza ascensão, espiritualidade e equilíbrio:

________________________________________________________________

b) Linha com sequência de curvas côncavas e convexas:

________________________________________________________________

c) Linhas que se dirigem para um só ponto:

________________________________________________________________

d) Conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros, numa sequência finita:

________________________________________________________________

e) Movimento da linha sempre numa mesma direção:

________________________________________________________________

f) A linha que caracteriza tranqüilidade, repouso e estabilidade é a linha:

_______________________________________________________________

g) As linhas que se deslocam mantendo a mesma distância entre si são as linhas:

________________________________________________________________

h) A linha interrompida é utilizada para o eixo de:

________________________________________________________________

2. Responda apenas SIM ou NÃO:

a) Uma linha reta pode ser medida?_____________________________________

b) Segmento de reta tem começo e não tem fim?___________________________

c) Linha mista é uma sequência de linha sinuosa e poligonal?_________________

d) Linha gráfica é uma linha que apresenta variações de espessura?____________

e) Para traçarmos linhas retas, utilizamos a régua, movimentando o lápis da direita

para esquerda?___________________________________________________

3. Dê o nome às seguintes linhas:

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________________________________

________________________________

_____________________

_______

___________________

_______

__________________

_______

________________________________ ______________________________

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_________________________________________________________________________

3° MOMENTO

Ângulos, Tangram, figuras planas (polígonos), perímetro,

Duração: 10 aulas

Objetivos:

Conceituar ângulos;

Classificar o ângulo quanto à sua medida;

Utilizar o transferidor para medir os ângulos;

Identificar os tipos de ângulos estudados, integrando objetos;

Conceituar e identificar os tipos de polígonos;

Classificar os polígonos conforme o número de lados;

Classificar um triângulo quanto aos ângulos e quanto aos lados;

Classificar e construir os principais quadriláteros;

Calcular perímetro;

Estimular a fazer cálculos de perímetro de acordo com o cotidiano.

ÂNGULOS

Ângulo é um espaço compreendido entre duas semi-retas que nascem num mesmo ponto.

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Elementos do ângulo

As duas semi-retas do ângulo chamam-se lados e seu encontro vértice. O

valor do ângulo é medido geralmente em graus.

(abertura)

Medida do ângulo

Unidade principal de medida de um ângulo é o GRAU.

Instrumento usado para medir ângulos – TRANSFERIDORES

Existem dois tipos de transferidores. Transferidor é um instrumento, em forma de

semicírculo, com uma graduação no limbo, que serve para medir ângulos.

180° (180 graus) 360° (360 graus)

Fonte: http://zs.correia.zip.net/images/transferidor.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Grad_protractor.png/300px-Grad_protractor.png

37

TIPOS DE ÂNGULOS

Ângulo AGUDO

Quando a sua medida é MENOR que a medida de um ângulo reto de 90⁰ (< 90°).

Ângulo OBTUSO

Quando sua medida é MAIOR que a medida de um ângulo reto de 90⁰ (>90°).

Ângulo RASO (meia volta)

Quando sua medida é exatamente 180° (=180°).

38

Ângulo GIRO ou NULO (volta inteira)

Quando sua medida é exatamente 360° (=360°)

Observe no exemplo abaixo, como medimos os ângulos com o auxílio do

transferidor

Colocamos o ponto central do transferidor sobre o vértice do ângulo;

Colocamos a linha de fé sobre o lado do ângulo;

Lemos no limbo a medida do ângulo;

A medida do ângulo C = 20°; D = 70°; E = 90°; F = 110° e G = 150°.

Como medir um ângulo:

39

Também para melhor compreensão, além de revisar os tipos de ângulos, também mostrará

com facilidade de como se medir ângulos. Disponível em:

http://www.slideshare.net/AulasDeMatematica/matemtica-ngulos

Fonte:http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2012_10_01_archive.html

AGORA QUE APRENDEMOS O QUE É ÂNGULO, SUA CLASSIFICAÇÃO E COMO

MEDI-LOS, VAMOS FAZER A VERIFICAÇÃO DO NOSSO APRENDIZADO.

40

1. Complete de acordo com o exemplo:

Exemplo: Ângulo agudo: < que 90°

Ângulo reto:__________________ Ângulo obtuso:_______________________

Ângulo raso:__________________ Ângulo nulo:_________________________

2. No desenho abaixo, classifique cada um dos ângulos indicados:

3. Construa dois ângulos de sua livre escolha nos espaços abaixo e identifique sua

abertura usando seu transferidor.

41

4. Observe os ponteiros dos 10 relógios e identifique que ângulos eles formam?

Fonte: http://www.marciofelix2011.xpg.com.br/matematica/numerosromanos/relogios.PNG

5. Nos espaços abaixo, com o auxílio do transferidor, meça os ângulos traçados:

6. Nos espaços abaixo, desenhe os ângulos pedidos, classificando-os:

42

7. Coloque certo ou errado nas perguntas:

a) Um ângulo de meia volta mede 90°? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

b) Um ângulo agudo mede menos de 90°? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

c) Um ângulo obtuso mede mais de 90°

CERTO ou ERRADO

( ) ( )

d) Um ângulo de volta inteira é reto? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

e) Os lados de um ângulo são semi-retas? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

f) O ângulo de 90/ é reto? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

g) O ângulo de meia volta mede o dobro

do ângulo reto

CERTO ou ERRADO

( ) ( )

h) Um ângulo de 60° é obtuso? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

i) Um ângulo pode medir mais de 360°? CERTO ou ERRADO

( ) ( )

j) Para medir um ângulo, utiliza-se

esquadros?

CERTO ou ERRADO

( ) ( )

Vamos relembrar o PAPEL MILIMETRADO para iniciarmos uma ATIVIDADE

CRIATIVA E EDUCATIVA

O papel milimetrado é uma ferramenta muito interessante tornando as aulas mais

dinâmicas e criativas. Qualquer professor pode utilizar em sua disciplina, para tratar

assuntos diversos como: identificação das figuras planas, perímetro e área.

Neste momento, vamos fazer uma atividade com o papel milimetrado, onde vocês

terão que dar nomes às figuras que estão desenhadas, ou seja, uma brincadeira do

ADVINHAR.

43

Dadas as figuras abaixo, identifique os nomes corretos.

44

Após essa atividade, será passado para os alunos SOMENTE o que são POLÍGONOS, sua

definição, seus tipos e em seguida trabalharemos com o TANGRAM para iniciarmos as

atividades propriamente ditas com perímetro e área.

45

POLÍGONOS

Para traçarmos essas figuras, precisamos usar uma linha poligonal fechada.

Tipos de linhas poligonais:

Portanto:

POLÍGONO é uma figura geométrica plana, formada por uma linha poligonal fechada.

46

De acordo com seu número de lados, os polígonos são classificados em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000498/md.0000028776.jpg

Podemos dizer então que um polígono é uma figura plana fechada, formada pela linha

poligonal fechada e mais a região interna limitada por ela.

47

Os polígonos podem ser irregulares e regulares como na figura acima.

POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES Diferença entre polígonos regulares e

irregulares. Confira:

Polígonos regulares possuem os lados e os ângulos com

medidas iguais.

Polígonos irregulares são aqueles que não possuem os

ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o

mesmo tamanho.

Fonte:http://eliasfundamental.blogspot.com.br/2011/04/poligonos-regulares-e-irregulares.html- Acesso:

08/12/2013.

48

O polígono tem: Ângulos internos e Ângulos externos

Agora vamos corrigir a atividade do ADIVINHAR e colocar os nomes corretos nas

figuras:

Fonte: http://2.bp.blogspot.com/-scHKutzCigY/UcS_-

JgpHyI/AAAAAAAAAQo/7m6Ifx928e8/s1600/classificacao_triangulos.jpg

49

Fonte: http://www.prof2000.pt/users/nunof/pagina/class_quadrilatero.jpg

Fonte:http://2.bp.blogspot.com/_TSglnsvEx0w/SsE5kUmJfNI/AAAAAAAABk0/z0gZL9wxckU/s400/pol%C3%ADgon

os.bmp

Agora que aprendemos um pouco sobre os POLÍGONOS, neste próximo trabalho,

vamos abordar a importância do Tangram. Ele é um material de apoio lúdico no ensino da

Matemática, onde ressalta a importância da Geometria Plana.

O Tangram pode ser utilizado como uma Metodologia de Ensino, que nos auxiliará

em algumas técnicas para desenvolver o raciocínio lógico geométrico, bem como pode ter

o objetivo de apresentar uma forma de deixar as aulas de matemática na EJA mais

50

atraentes, despertando o interesse do aluno, incentivando e estimulando suas habilidades e

a criatividade, principalmente no que se referente as formas geométricas.

Com o papel quadriculado podemos montar um jogo que se chama Tangram, que

nos ajudará na resolução de alguns problemas de Geometria.

O Tangram pode nos ajudar a auxiliar e a fazer com que aqueles alunos que têm

algum bloqueio ou que não gostam da disciplina de Matemática, ver com outros olhos.

Podem perceber que através de uma brincadeira, o Ensino de Matemática se torna mais

divertido e atraente, pois com o Tangram, nossos alunos podem ver, tocar e construir.

Utilizando o Tangram nas aulas de Matemática, além de desenvolver o raciocínio

lógico geométrico, exige, dos alunos, muita concentração, paciência, reflexão, imaginação,

persistência, sensibilidade, criatividade e perseverança.

História do Tangram

TANGRAM

O Tangram é um quebra cabeça de origem chinesa muito antiga. Apesar de ter

várias lendas sobre sua origem, não se sabe ao certo sua idade, seu criador e como surgiu.

Na verdade não se sabe qual a verdadeira origem do Tangram. Para alguns, o jogo seria

milenar. Outros afirmam que teria pouco mais de 200 anos. Existe uma figura em madeira,

mostrando duas senhoras chinesas resolvendo problemas de Tangram, datado de 1780.

Existe mesmo uma enciclopédia do Tangram, escrita por uma mulher, na China, há mais

de 100 anos, em seis volumes com 1700 problemas de Tangram.

O Tangram como é um quebra-cabeça milenar oriundo da cultura chinesa. Lá ele

é conhecido como Tch’i Tch’iao Pan que significa As Sete Tábuas da Habilidade. Você

51

provavelmente já conhece este jogo incrível que com suas sete peças pode formar mais de

mil figuras, mas será que conhece a história de seu nascimento? Existem várias lendas

referentes ao Tangram, que poderão ser encontradas acessando os sites:

http://www.linolica.com.br/a_lenda_do_tangram.htm (SLIDE de motivação

que poderá ser mostrado para os alunos).

http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-

deus-trovao.html (Histórias)

http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/12/tangram-videos-que-

valem-pena.html (vídeos)

Na essência o Tangram é um quadrado, decomposto em sete figuras geométricas,

cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo, com as quais é possível montar-se um

número quase infinito de figuras. Entre as diversas formas que podemos gerar com a

manipulação das peças do Tangram temos: letras, animais, armas, peças de xadrez, casas,

utensílios, objetos, entre outros. No estudo da Geometria o Tangram auxilia na

compreensão das formas geométricas que permitem ao educando desenvolver seu

raciocínio lógico e sua criatividade, onde podemos usar nossa imaginação, criar figuras e

ainda resolver vários desafios.

O Tangram nos dá condições de criarmos diversas outras formas além de todas as

figuras geométricas (quadrados, triângulos, retângulos etc.) estudadas na disciplina de

Geometria. Com o Tangram unimos a Arte e a Geometria tão presentes em nosso dia a dia.

Fonte:http://4.bp.blogspot.com/-7pLPVlqSVII/Tbr_OoIB04I/AAAAAAAAAXg/MXGuGvCydcY/s400/tangram4.jpg

52

O Tangram não possui uma única "solução", são inúmeras as figuras que podem

ser formadas, no que, a meu ver, residiria seu grande atrativo.

Existem várias figuras que podem ser feitas com o Tangram e que podem ser

acessadas no GOOGLE IMAGENS através do link: http://4.bp.blogspot.com/-

7pLPVlqSVII/Tbr_OoIB04I/AAAAAAAAAXg/MXGuGvCydcY/s400/tangram4.jpg

O Tangram não exige de seu praticante qualquer esforço ou habilidade especial:

exige tão somente tempo, paciência e especialmente imaginação. A única regra do jogo é

que as figuras formadas devem conter sempre as sete peças do jogo.

O fato de mexer com a imaginação faz do Tangram um excelente jogo

educacional, especialmente se pudermos deixar que o aluno crie o seu próprio resultado.

Para despertar a curiosidade do aluno, a motivação é muito importante neste

momento, que o mesmo tenha interesse de saber mais da veracidade dos acontecimentos

que estão sendo apresentados. Como forma de motivação para o desenvolvimento das

atividades, cada um fará o seu próprio Tangram no Papel Milimetrado.

O Tangram pode ser confeccionado em qualquer tipo de papel, em isopor,

madeira e também no EVA, mas nesse momento vamos construí-lo no papel milimetrado

seguindo passo a passo, conforme modelo abaixo. (será distribuída uma cópia do passo a

passo para cada aluno não se perder).

CONSTRUÇÃO DO TANGRAM

Siga o passo a passo (traços em VERDE) a seguir e construa o seu Tangram:

1º PASSO: Desenhe em uma folha quadriculada um quadrado de 8x8

53

2º PASSO: Trace a diagonal do quadrado.

3º PASSO: Trace a metade da outra diagonal, chegando até a diagonal feita no 2º passo e

numere: peça 1 e 2.

54

4º PASSO: Na a outra metade do quadrado, marque os pontos médios de cada lado do

quadrado e junte estas marcas. Peça 3.

5º PASSO: Prolongue a 2 diagonal que desenhamos no 3º passo, até chegar na diagonal

verde do 4º passo, ou seja, até chegar na peça 3 (risco verde).

6º PASSO: Trace uma paralela ao prolongamento da diagonal verde (5º passo), ou ache o

ponto médio de um dos lados do triangulo 1, formando um quadrado e um triângulo. Peça

4 e 5.

55

7º PASSO: Trace uma vertical que parta da extremidade do prolongamento da diagonal

(5º passo) até chegar em dos lados da triângulo 2. Peça 6 e 7.

Agora que todos têm seu próprio Tangram, vamos desenhar outro Tangram, onde

um deles vamos recortar e o outro vamos deixá-lo sem recortar. Podemos fazer o Tangram

de várias cores, com dobraduras, onde podemos acessar através dos vídeos encontrado nos

links.

http://www.youtube.com/watch?v=dEbGEBwPNAs (duração 2:09 min)

http://www.youtube.com/watch?v=2EleXEqP5iE (duração 6:24 min)

Agora vamos trabalhar SOMENTE com AS PEÇAS RECORTADAS.

Nessa atividade, vamos fazer a montagem de quadrados e triângulos com as 7 peças de um

ÚNICO TANGRAM.

1. Com as peças, construa um quadrado e registrando cada formação em seu caderno.

a) Com 2 peças; b) Com 3 peças;

c) Com 4 peças; d) Com 5 peças.

e) Com 7 peças;

2. Com as peças, construa um triângulo, com o número de peças indicado abaixo,

classifique-o quanto aos lados (eqüilátero, isósceles ou escaleno) e quanto aos

ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo), registre a formação no caderno:

a) Com 2 peças; b) Com 3 peças;

c) Com 5 peças; d) Com 7 peças.

56

3. Com as peças, construa um paralelogramo e registre a formação em seu caderno

usando:

a) Com 2 peças; b) Com 3 peças;

c) Com 4 peças; d) Com 7 peças.

4. Com as peças, construa um trapézio e registre a formação em seu caderno usando:

a) Com 2 peças; b) Com 3 peças;

c) Com 4 peças; d) Com 5 peças.

e) Com 7 peças;

5. Com as peças, construa um retângulo e registre a formação em seu caderno usando:

a) Com 2 peças; b) Com 3 peças;

c) Com 4 peças; d) Com 5 peças.

e) Com 7 peças;

6. Com as peças, construa um hexágono e registre a formação em seu caderno usando:

a) Com 4 peças; b) Com 7 peças;

TRABALHANDO PERÍMETRO

Serão distribuídas folhas de papel quadriculado para os alunos, onde eles irão fazer

uma atividade com desenhos de revistas de ponto cruz.

Eles deverão passar alguns desenhos escolhidos pela professora no papel

quadriculado, ou seja, fazer uma cópia das mesmas.

Após o desenho concluído, eles irão analisar SOMENTE O CONTORNO DO

DESENHO, contando quantos pedaços de retas (segmento de reta) foram feitas, ou seja,

como se cada traço (horizontal, vertical ou inclinada) do contorno do desenho fosse um

palito de fósforo.

Exemplo: o contorno da borboleta tem 32 riscos, ou seja, o perímetro.

57

Fonte:http://2.bp.blogspot.com/-jS6HQrGGMb4/UPg1A9YdEtI/AAAAAAAAEXw/DAateYQ7D1c/s1600/ponto-cruz-

borboletinhas.jpg

ATIVIDADE 1

Dadas as figuras A, B, C e D, DE ACORDO COM O EXEMPLO CITADO, conte

quantos riscos (palitos) possuem o contorno das figuras abaixo:

58

Figura A______________

Figura B______________

Figura C______________

Figura D______________

Depois de concluírem essa atividade, podemos dizer que o que eles fizeram se chama

PERÍMETRO DE UM POLÍGONO QUALQUER.

Definição de Perímetro

É a soma das medidas dos lados de um polígono qualquer, o qual é representado pela letra

P.

Exemplo:

MATEMATICAMENTE FALANDO, vamos resolver os seguintes exercícios:

1. Determine o Perímetro das figuras abaixo:

59

2. Os lados de um quadrilátero medem: 13,5cm, 10,32cm, 8,9cm e 11,42cm. Qual o

perímetro desse quadrilátero?

3. Você sabe que um triângulo isóscele tem dois lados com medidas iguais. Se cada

um desses lados medem 4,6cm e o terceiro mede 7cm, qual o perímetro desse

triângulo?

4. Num retângulo, a medida do comprimento é 10cm. Sabendo-se que a medida de sua

altura é a metade da medida do comprimento, qual o perímetro desse retângulo?

60

5. Uma lajota tem a forma hexagonal. Cada lado dessa lajota mede 65cm. Qual é o

perímetro em metros, dessa lajota?

6. Um retângulo e um quadrado têm perímetros iguais. Os lados do retângulo medem

10cm e 8com. Nessas condições, responda

a) Qual o perímetro do quadrado?

b) Qual a medida do lado do quadrado?

7. Num triângulo, o menor lado mede 5cm. Sabendo-se que o triângulo tem como

medidas de seus três números inteiros e consecutivos, qual o perímetro desse

triângulo?

8. O perímetro de um quadrado mede 60cm. O lado desse quadrado mede quanto?

9. Um terreno tem a foram da figura seguinte. Querendo murar o terreno com uma tela

em todo o seu contorno, quantos metros de tela serão necessários para murar esse

terreno?

10. Pretende-se colocar alambrado de arame em todo o contorno de um terreno cujas,

forma e medidas estão apresentadas na figura seguinte.

61

Responda:

a) Quantos metros de alambrado serão necessários?

b) Qual será o custo da obra, se cada metro de alambrado custa R$ 30,00?

11. Um quadrado tem 7cm de lado. Qual o seu perímetro?

12. Um retângulo tem 4cm de base e 2,5cm de altura. Qual o seu perímetro

13. Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 114m.

a) Se Beatriz der três voltas completas em torno desse jardim, quantos metros ela

vai andar?

b) Se sua amiga Gabriela der uma volta completa e meia em torno desse jardim,

quantos metros ela andará?

c) Se Vivian andar 2/3 da medida do contorno desse jardim, quantos metros vai

andar?

14. Paulo tem 42m de tela de arame para fazer um gradil.

a) Ele poderia fazer um gradil cercando um terreno retangular de 15m de

comprimento por 8m de largura? Justifique sua resposta.

b) Pretendendo usar toda a tela que possui para cercar um terreno quadrado, qual

deverá ser a medida do lado desse terreno?

62

15. Moisés tem 100m de tela de arame e pretende usar essa quantidade para fazer três

cercados. Dois cercados são quadrados de perímetros iguais, e lado de cada cercado

mede 7,5m. O terceiro cercado é retangular e tem 8m de largura. Qual a medida do

comprimento desse cercado?

16. O lado de um triângulo equilátero mede 4,2cm. Qual o perímetro desse triângulo?

17. O perímetro de um terreno retangular é 270m. Sabe-se que o comprimento desse

terreno é o dobro de sua largura. Qual o comprimento e a largura desse terreno?

18. João que emoldurar um quadro com comprimento 75cm e largura 40 cm. Quanto

ele gastará se o metro da moldura que ele gostou custa R$ 60,00?

19. Qual dos polígonos regulares tem maior perímetro?

a) Um triângulo equilátero de 7cm de lado ( )

b) Um quadrilátero de 5cm de lado ( )

c) Um hexágono de 4cm de lado ( )

20. Usando o contorno da figura, qual o menor trajeto que o nosso amigo coelhinho

deve fazer para ir do ponto A até o ponto B?

63

21. Uma praça quadrada tem 24,5, de lado. Passeando, uma pessoa dá 4 voltas

completas do seu contorno.

a) Quantos metros essa pessoa andou?

b) Sabendo-se que, em média, cada passo dessa pessoa me 0,80m. Quantos passos

ela terá dado ao completar as 4 voltas?

DESAFIO

Murou-se um terreno retangular com 120m de comprimento por 60m de largura, deixando-

se à sua volta 2m para a calçada. Quantos metros de muro foram construídos, se um dos

lados foi colocado um portão de madeira com 2m de largura?

4° MOMENTO – ÁREA – SIMETRIA

Duração: 10 aulas

Objetivos:

Utilizar o tangram para mostrar o conceito de área;

Fazer com que os alunos identifiquem as formas geométricas planas calculando as

áreas das mesmas.

64

ÁREA

Considerando que cada da folha do Tangram que não cortamos, tem uma

unidade de área, ou seja, 1 unidade de medida.

Qual é a área de cada peça do Tangram?

a) triângulo 1? ____________ b) triângulo 2? ____________

c) triângulo 3? ____________ d) triângulo 5? ____________

e) triângulo 6? ____________ f) quadrado? _____________

g) paralelogramo? _________ h) Tangram? _____________

2. Analisando as respostas do exercício anterior, o que você pode concluir em relação a

área

do Tangram?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

65

ATIVIDADE

1. Contem quantos cabem no interior da figura 1.

Resposta:______________________

O número que você encontrou chama-se medida de superfície da figura ou área da

figura, quando tomamos com unidade o .

2. Conte quantos cabem no interior da figura2:

Resposta:______________________

66

Os números que vocês encontraram é a medida de superfície da figura ou ÁREA da

figura, quando tomamos como unidade o ou .

O METRO QUADRADO

Na ATVIDADE 1: tomamos como unidades de medida o na primeira figura, e o

, na segunda figura.

No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental para expressar a medida de

superfície é o METRO QUADRADO, que se abrevia m².

O metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1m

de lado, assim como o centímetro quadrado corresponde á medida de superfície de um

quadrado que tem 1cm de lado.

EXERCÍCIOS.

1. (Saresp) Considerando como unidade de medida o , a área destacada da figura

corresponde a quantos quadradinhos?

a) 10

b) 12

c) 17

d) 22

67

2. (Saresp) Veja o desenho que alguém fez no papel quadriculado. Qual é a área que o

desenho ocupa no papel milimetrado?

a) 26 unidades

b) 28 unidades

c) 30 unidades

d) 32 unidades

3. Determine a área da figura, em centímetros quadrados.

68

ÁREAS DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Como você faria para explicar a uma pessoa o modo mais fácil de obter a área de

superfície das figuras a seguir?

1. Dadas as figuras abaixo, calcule a áreas das figuras em centímetros quadrados.

a)

A ____________________ E ____________________

B ____________________ F ____________________

C ____________________ G ____________________

D ____________________

b)

69

Veremos agora como calcular a área de algumas figuras geométricas planas. Para

isso, utilizaremos fórmulas que permitem efetuar esses cálculos com maior facilidade e

rapidez. As imagens das fórmulas foram copiadas do site da SEED, no link:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3

D = diagonal maior b = base

d = diagonal menor h = altura

A = área b = base

a = arestas h = altura

B = base maior a = comprimento (base)

b = base menor R = medida do raio

h = altura π = 3,14

70

O número π é uma letra grega, onde podemos acessar através dos vídeos encontrado nos

links:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7023

http://www.youtube.com/watch?v=UCNGvH-SDbI

1. Resolva achando as áreas das figuras abaixo:

71

2. Num retângulo, a base mede 8cm e a altura 5cm. Calcule a área desse retângulo.

3. Um terreno retangular tem 15m de frente por 31,2m de fundo. Qual a área desse

terreno?

4. Qual a área de uma praça quadrada com 20cm de lado?

5. O perímetro de um quadrado mede P = 80 cm. Calcule a sua área.

6. Qual a medida do lado de uma praça quadra, sabendo que sua área total mede

49m²?

7. Quanto gastarei para forrar com carpete o piso de uma sala quadrada de 5m de lado,

sabendo-se que o metro quadrado do carpete colocado custa R$ 9,00?

8. O pátio de uma escola tem a forma retangular e suas dimensões são 40m e 32m.

Nesse pátio foi construída uma quadra de basquete. Sabendo-se que as medidas

oficiais de uma quadra de basquete são 20m por 12m, qual a área livre que restou

do pátio?

9. Um terreno de forma retangular tem 60m de comprimento por 18m de largura.

Calcule a área e o perímetro desse terreno.

10. O perímetro de um retângulo é de 16cm, mas sua altura mede 3cm. Qual a área

desse retângulo?

72

11. Uma parede na sala de Pedro tem 7m de comprimento por 3m de altura. Ele quer

que um pintor a pinte, mas o metro quadrado para pintar custa R$ 4,00. Quanto ele

pagará para pintar essa parede?

12. Em um terreno que mede 13m x 30m há uma casa de 11m x 7m, qual a are livre

desse terreno?

13. Qual a área de um losango, cuja diagonal maior mede 35cm e a diagonal menor

mede 11cm?

14. Qual figura tem maior área?

15. Observe a planta baixa de um apartamento e responda:

73

a) Quantos metros quadrados de cerâmica serão necessários para cobrir o piso da

sala/cozinha, da varanda e do banheiro?

b) Quantos metros quadrados de carpete serão necessários para cobrir o quarto?

c) Qual o preço do apartamento, sabendo que o metro quadrado custa R$ 1300,00?

16. Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir até o teto as

quatro paredes de uma cozinha, com dimensões da figura a seguir? Sabe-se,

também, que cada porta tem 1,60 m² de área e a janela tem área de 2 m².

17. É necessário gramar um campo de futebol que tem 105m de comprimento e 70 m

de largura. Cada placa de grama cobre uma área de 3.50m². Quantas placas de

grama são necessárias para gramar o campo todo?

18. Uma costureira confecciona 15 toalhas de retalhos por semana. Todos os retalhos

têm formato de um quadrado de 30cm de lado. A medida da toalha é de 8 retalhos

no comprimento e 6 retalhos para a largura.

Responda:

a) Quantos retalhos são utilizados na confecção de uma toalha?

b) Qual é em centímetro, o comprimento da toalha?

c) Qual é em centímetro, a largura da toalha?

d) Se ela cobra cada toalha por R$ 65,00. Quanto ele receberá por mês se vender

todas as 15 toalhas em cada semana?

74

SIMETRIA – IMAGENS

Observe as imagens e responda as perguntas:

Fonte:http://www.actiludis.com/wp-content/uploads/2009/05/simetria-montana-5.jpg

Fonte: http://plugcitarios.com/wp-content/uploads/2012/07/Composi%C3%A7%C3%A3o-11.jpeg

a) O que é possível observar nas imagens?

b) Os reflexos nas águas são semelhantes à imagem que fica acima da margem do

lago?

c) Em sua opinião, a margem do lago divide a fotografia em duas imagens

semelhantes?

75

d) Se dobrarmos uma fotografia de qualquer imagem, você acha que as partes

obtidas vão se sobrepor?

De acordo com o que observamos, dizemos que as imagens são simétricas, ou seja,

iguais.

A simetria é uma característica que pode ser observada na Matemática em algumas formas

geométricas, em objetos, e também em animais entre outras.

Para melhorar nossa compreensão, existem duas situações encontradas no livro do

professor Ensino Fundamentais 5ª série Matemática – Positivo.

e) Dobrando a figura na linha. As duas partes ficaram sobrepostas.

f) A linha que foi traçada é o EIXO DE SIMETRIA dessa figura, porque a figura

ficou dividida em duas partes que se sobrepõem.

g) Essa figura possui somente um eixo de simetria;

76

Nas figuras, através de dobraduras, podemos encontrar vários eixos de simetria. Exemplos:

Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-lbxnjVl1SJ0/TkgrhOvjbXI/AAAAAAAAAIA/I7SU26PLf-

g/s1600/simetria.png

77

Atividade

De acordo com o eixo de simetria, complete a figura

5º MOMENTO – ORIGAMI

Duração: 4 aulas

MATEMÁTICA E ARTE “Se ouço, esqueço; se vejo, lembro;

se faço, compreendo”.

( Paulo Freire) Objetivos:

Identificar a dimensão didática do uso do Origami para o ensino dos

Conceitos de Geometria;

Conhecer as diferentes abordagens sobre a Arte oriental e a aplicação da

mesma para a compreensão de alguns conceitos de Matemática.

Revisar todos os conteúdos trabalhados nesta Unidade Didática, através das

dobras do Origami.

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Nesse momento, iremos trabalhar com o ORIGAMI, onde ele nos mostrará todos os

conteúdos já tratados nesse Material Didático, fazendo com que a aula, além de mostrar

outra cultura que trabalha com o Ensino da Matemática, também seja divertida e

construtiva, onde os materiais podem ser confeccionados com vários tipos de papéis e

também com tecidos.

O aluno ao dobrar o papel, fixará os conteúdos trabalhados, e ao trabalhar em

grupos eles irão socializar as idéias compreendidas, ajudando uns aos outros, trocando

idéias e aceitando as diferenças encontradas.

Com o ORIGAMI, unimos a Arte e a Geometria tão presentes em nosso dia a dia.

Na proposta de um material didático, é fundamental que a interdisciplinaridade

entre a Matemática, a Arte e também a História, funcionem como um recurso, ou seja, uma

ferramenta de visualização onde desempenhe um papel de formação de capacidade

intelectual, onde nos possibilitará a exploração de um modo significativo conceitos e

procedimentos Matemáticos.

Encontramos no Origami uma forma de contextualizar significativamente o

pensamento matemático presentes num cotidiano escolar esteticamente valorizado,

passível de interpretação e crítica. As atividades planejadas envolvem e favorecem o

aprendizado dos conteúdos de Geometria, além de fazer com que os alunos tenham

facilidade em aprendê-la em suas diferentes formas.

A Arte é uma forma de expressar emoções e sentimentos, a beleza e a harmonia.

Por meio da Arte podemos explorar conhecimentos matemáticos, sem nenhuma

preocupação. (Cileide T. da S. Polli - PDE 2009/10)

Acreditamos que a Matemática aliada ao Origami, faz com que os alunos

construam seus conhecimentos Matemáticos, através de outras culturas não ficando restrita

somente à ela.

Para Lorenzato (2008) o ensino da matemática a partir da sua aplicação torna a

aprendizagem mais interessante e realista e, consecutivamente, mais significativa. Dentro

dessa perspectiva, a matemática aliada às artes terá mais sentido, criatividade, despertará

interesse e curiosidade em aprender.

Os alunos ficarão bem mais motivados a aprender. Numa aula de matemática, com

o Origami, por exemplo, podem ser trabalhados vários assuntos.

Agora que aprendemos um pouco, para o desenvolvimento das atividades, será

lançado um desafio onde serão distribuídas folhas de papel coloridos, onde eles farão

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algumas dobraduras solicitadas pelo Professor, onde através de alguns modelos levados em

sala de aula e vídeos, poderão rever os conteúdos desta unidade, sendo o objetivo desse

trabalho o de reconhecer as formas nos diferentes espaços.

A História do Origami

É uma arte milenar de origem japonesa que tem como base a criação de formas

através da dobradura de papéis sem o uso de cortes (ori = dobrar; gami ou kami = papel).

“A popularização do origami se deu no período Tokugawa (1603-1867). Aí surgiu a dobradura original do tsuru (cegonha), sem dúvida a mais popular no

Japão. Dois livros são os que fornecem as primeiras instruções dos diagramas

utilizados no origami: Como dobrar mil pássaros de Sembazuru Orikata (1797) e

Janela aberta e a estação de Invernos de Kan no Mado (1845), neste último

aparece pela primeira vez à base da rã, uma dobradura muito utilizada” (OLIVEIRA, p.3)

No Japão, o Origami é encarado como uma arte e um divertimento. Esta arte é

divulgada entre crianças, jovens e idosos. Seguindo tradições seculares e regras básicas

como as que os papéis devem ser quadrados e sem cortes.

No Brasil, o Origami, também conhecido como “dobradura”, além de ser

considerada uma poderosa ferramenta pedagógica para o ensino da geometria,

proporcionando aos educandos conceitos, conteúdos e procedimentos. Hoje esta técnica é

ensinada em cursos e oficinas de criatividade com papel.

É possível identificar a geometria em todo lugar, no nosso cotidiano estamos em

contato com ela, sendo “talvez a parte da matemática mais intuitiva, concreta e ligada com

a realidade” (FAINGUENLERT, 1999). Razão pela qual não podemos desconsiderá-la,

mas aproveitá-la para deixar o ensino mais dinâmico.

Educadores acreditam que o Origami tenha papel relevante no desenvolvimento

intelectual dos alunos, por exigir concentração e habilidade manual. Na atualidade, até a

Matemática estuda o Origami no campo da Geometria. Especialistas em ciência do cérebro

afirmam que a prática do Origami aumenta a circulação sanguínea na área pré-frontal

cerebral, ajudando a mente humana a funcionar melhor.

A arte do origami é para ser: instrutiva, prazerosa e divertida!

A História do Origami, suas lendas e algumas sugestões de aulas, poderão ser

acessadas no site:

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http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php

?conteudo=1244&query=origami

Papel de Origami

No Japão há lojas que oferecem uma imensa variedade de papéis para Origami

nas mais diversas cores - lisos com desenhos, ou ainda lisos de um lado e com desenhos do

outro. Encontram-se folhas grandes para serem cortadas no tamanho desejado e também

folhas menores, já prontas para serem usadas; os tipos diferem ainda quanto à qualidade e à

resistência. Mas não é necessário ir até o Japão para comprar papel para Origami; aqui

mesmo em nosso país encontramos em muitas papelarias os papéis legítimos, ou similares,

mas adequados.

Há muitos tipos de papeis apropriados para o Origami, inclusive o de boa

qualidade, utilizado para empacotar presentes. Ao escolher o papel verifique se é fácil

dobrá-lo e se o vinco permanece firme no lugar.

O papel não deve rasgar esticar, nem curvar-se ao ser dobrado; assim, deve ser ao

mesmo tempo fino e firme.

Devemos também lembrar que o Origami pode ser feito não só com papel, mas

também em tecido, gerando uma fonte de trabalho. Pode-se ver os trabalhos de uma artesã

chamada Thais Kato, que era uma Jornalista, onde ela faz do Origami sua fonte de renda e

que também ensina como utilizar esta técnica.

Podemos acessar e assistir o vídeo para saber como ela começou a utilizar o

Origami e como trabalhar com tecido no site:

http://www.youtube.com/watch?v=tVkjhSJwz6U, numa participação do Programa

Sabor de Vida na Rede Aparecida.

Como diz Bosi: a Arte é uma produção; logo, supõe trabalho. (1989, p.13).

História da Menina de Hiroshima, Tsuru e sua Lenda

A história da menina chamada SADAKO que vivia na cidade de Hiroshima e da Lenda

do Tsuru que é uma ave da família dos grous (cegonhas), nativa do Japão. Este pássaro é

considerado a mais popular e bela dobradura dentro do Origami e poderão ser acessados no

site: http://www.japaoemfoco.com/historia-e-significado-do-monumento-da-paz-das-

criancas/

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Para começarmos nosso trabalho, passaremos algumas recomendações importantes

para a realização de um excelente trabalho.

DICAS IMPORTANTES PARA UM BOM TRABALHO

Antes de iniciarmos as dobras no papel se faz necessário conhecer algumas dicas:

Trabalhe sobre uma superfície plana, lisa, firme e com boa claridade;

Procure utilizar papel de gramatura em torno de 75g/m2 se o modelo desejado tiver

muitas dobras;

Se estiver iniciando na arte do origami faça uso de papel sulfite colorido, pois é

mais em conta e pode-se dobrar muitas vezes, sem perigo de rasgar facilmente;

As mãos devem estar sempre limpas para não sujar o trabalho;

Antes de iniciar as dobras, verifique se conhece os símbolos básicos do diagrama

que utilizará, caso não conheça pesquise antes;

Sempre siga as medidas especificadas no origami, para obter bons resultados;

Marque bem os vincos, para uma boa visualização;

Siga corretamente o passo a passo para o êxito do trabalho;

Para executar com perfeição não tenha pressa, a calma e a paciência são

fundamentais para a conclusão de um bom trabalho;

Caso atrapalhar-se na seqüência do diagrama, não se desespere, compare o que já

fez no diagrama, se for preciso, inicie novamente a sequência.

Para obter perfeição é necessário praticar varias vezes alguns modelos;

Para exercitar os modelos, reaproveite os papéis de propagandas que recebe nas

ruas;

Se tiver dificuldade em seguir o passo a passo, dê uma pausa para descansar e ter

uma melhor concentração.

Se não tiver papéis coloridos para realizar o origami, faça uso de folha sulfite

branca e antes de dobrar pinte com giz de cera deitado, além de colorir,

impermeabiliza e conserva o trabalho por mais tempo.

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Neste caso, serão feitas atividades com dobraduras para os alunos, onde vamos

recapitular todos os conteúdos trabalhados em cada um dos momentos.

A cada movimento realizado ao dobrar um papel ou transformá-lo em um Origami,

o aluno familiariza com as formas geométricas, porém as atividades propostas nessa

produção valorizarão os vincos marcados quando desdobramos uma dobradura ou um

Origami.

O Origami, em suas dobras, nos mostra conceitos de Geometria, que são de fácil

compreensão para o ensino da matemática.

ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Esta Unidade procura fornecer aos professores interessados em utilizar-se deste

material, subsídios para que o mesmo não seja subjugado. Esse material apresenta

sugestões para a forma que cada atividade poderá ser trabalhada em sala de aula, sugerindo

materiais alternativos para complementação dos mesmos. São sugestões que permitem

compreender como o material pode ser utilizado. Com isso espera-se que o professor atinja

seus objetivos ao utilizá-lo, observando as particularidades de cada turma, de cada aluno,

de cada estabelecimento de ensino e de cada região onde este será aproveitado. Vale

lembrar que o mesmo pode ser trabalhado também com alunos de Salas de Apoio ou

adaptado para outras turmas.

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