matematica unidade 16 - razões trigonométricas de Ângulos agudos

Ensino Superior

Matemática Básica

11.2 – Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

Amintas Paiva Afonso

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)

3

45 512

1320

21 29

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

qq=

CatetoOpuestoasen

Hipotenusa

CatetoAdyacentea

cosHipotenusa

Hipotenusasec

CatetoAdyacentea

Hipotenusa

cscCatetoOpuestoa

CatetoAdyacentea

cotCatetoOpuestoa

CatetoOpuestoa

tanCatetoAdyacentea

CATETO

OPOSTO

A

CATETO ADJACENTE A

HIPOTENUSA

SENO COSSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSSECANTE

12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EXEMPLO :

EXEMPLO :

Sabendo que é um ângulo agudo tal que sen=2/3.....

23

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE

ÂNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EXEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2

PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES

ÀS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO TANGENTE E COTANGENTE; SECANTE E COSSECANTE DENOMINAMOS :CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

PROPRIEDADE:

“AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÂNGULO AGUDO SÃO RESPECTIVAMENTE IGUAIS ÀS CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

DE SEU ÂNGULO COMPLEMENTAR”

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec

EXEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

TRIÂNGULOS NOTÁVEIS

1 2

3

o30 (

)

O601

1

2

o45

o45

(

)

3

4

5

o37

o53

(

)

osen30 12

otan 60 3

osec 45 2 ocot 37 43

otan 30 1

3

3x

333

osen45 1

22

x2

22

))

((o30

o37 o45

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot

83 3

cot4

RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

HHsen

H cos

L sec L tan

L

5

o62

o5sen62

o5 cos 62

8

8 tan8 sec

CASO1 – DADOS: HIPOTENUSA E ÂNGULO AGUDO

CASO 2 – DADOS: CATETO ADJACENTE E ÂNGULO AGUDO

L

L cot

L csc k

o24

ok csc 24

ok cot 24

EXEMPLO

)

)

mCalcular L e M termos de

m y ;

L

CASO 3 – DADOS: CATETO OPOSTO E ÂNGULO AGUDO

SOLUÇÃO

m

m tanLL m tan

m

cot L m tan m cot

L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA: DESCOMPOSIÇÃO DE UM VETOR

F

yF

xF X

Y

xF F cos

yF Fsen

ÁREA DO TRIÂNGULO

A B

C

ab

c

abS senC

2

bcS senA

2

acS senB

2

EXEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen60

2

(5)(8) 3S ( )

2 2 210 3m

ÂNGULOS VERTICAIS

Os ângulos verticais são ângulos agudos contidos em um plano vertical e formados por duas linhas imaginárias chamadas horizontal e visual

ÂNGULO DE ELEVAÇÃO

ÂNGULO DE DEPRESSÃO

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

UMa pessoa observa em um mesmo plano vertical dois ovnis voando a uma mesma altura com ângulos de elevação de 530 e 370 se a distância entre os ovnis é de 70m. A que altura estão os ovnis?

EXEMPLO:

SOLUÇÃO

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k

) o37

16k

+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

ÂNGULOS HORIZONTAISOs ângulos horizontais são ângulos agudos contidos em um plano horizontal, se determinam tomando como referência os pontos cardinais norte (N), sul (S), leste (L) e oeste (O).

DIREÇÃOA direção de B em relação a A é

E30N o N60E o

A direção de C em relação a A é oS56 O S34O o

o

o

CURSOO curso de Q em relação a P

o47

O curso de M em relação a P o27 ao leste do sul

al oeste del norte

N

S

EO

O30

O56A

B

C

EO

S

N

P

Qo47

o27

M

)(

()

ROSA NÁUTICA

Gráfico que contém 32 direções notáveis, cada direção forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o1511

No gráfico adjunto só se mostran 16 direções notáveis, cada uma forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o3022

N

S

EO

NNE

ENE

NNO

ONO

OSO

SSO

ESE

SSE

NENO

SO SE

As outras 16 direções obtemos traçando as bissetrizes dos 16 ângulos que se mostram no gráfico anterior.

E

NE

NNNE

ENENE41E

E41NE

NE41N

N41NE

NNO

NO41N

N41NO

NOO41NO

ONONO41O

O

Quanto mede o ângulo entre as direções

NE1/4N y NO1/4O ?

Rpta.o90

Um inseto parte de um ponto F e percorre 40 km na direção N530O logo percorre 402 km na direção SO, finalmente percorre 60 km para o leste. A que distância se encontra o inseto de F?

EXEMPLO:

SOLUÇÃON

S

EO

o53 )

o45

o45

4040 2

60

x

o37

24

3216

40 20 12

16

OBSERVE QUE O TRIÂNGULO DE COR

VERMELHA É NOTÁVEL

X = 20

F

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DA METADE DE UM ÂNGULO AGUDO (método gráfico)

2

2

a

bc

c))

(

) 2

tan2

b

c a

c a

b

+

EXEMPLO :

Sabendo que: tan 8=24/7, calcule tan2SOLUÇÃO

8

24

7

25

425

24tan 4

25 7

24

tan 432

3tan 4

4

4 2

3

4

5

5

3tan 2

9 1

tan 23

(