black-scholes matematigi
Post on 06-Aug-2015
287 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi
Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org sitesinden yararlanılmıştır.
DİFUZYON ve
BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi
Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet (stok) hareketlerinin matematik modelini kurmalıyız.
Stok hareketlerinin Matematik Modeli
Senet fiyatlarındaki t zaman aralığındaki değişimi S, ile gösterilsin.
Burada S in t aralığındaki beklenen verimi (% ) yansıtacağını kabul edebiliriz.
Başlangıç olarak stok fiyatlarının volatilitesi olmadığını varsayarsak, başlangıç bağıntısı olarak;
S = mSDt Burada S cari senet fiyatı, t kısa zaman aralığı ve , S nin
bileşik faizle yıllık beklenen getirisidir. ( Pazar tarafından belirlenen ve bağımsız bir değer olarak düşünülmektedir.
Diğer bir deyişle yatırımcılar senedin şimdiki değerinden bağımsız olarak yıllık bir getiri bekleyeceklerdir.
Fiyat Diferansiyeli Fiyat İle Orantılıdırt ufak bir değer olduğunda t zaman aralığındaki senet
fiyatı St
St = Se t
Olacaktır. Buradan S = St - S = Se t - S = S(et – 1) seriye açarak işlem yapılır ve t yüksek dereceli terimleri ihmal edilirse St , Olarak alınabilirSt St
Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır. Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bunun için fiyat diferansiyeline aşağıdaki terimi ekleyeceğiz.
tS Burada yıllık volatilite, yani S/S değerlerinin yıllık değişiminin standart sapmasıdır. ise N(0,1) dağılımından gelen bir rasgelel değerdir (white noise)
değerinin normalliği, stok fiyatlarının bir Brown hareketi izlediği kabulunden kaynaklanıyor. Bunun anlamı küçük bir zaman aralığında stok değerlerinin büyük sıçramalar yapmayacağıdır. Bu sapmaların normal dağıldığını kabul ediyoruz. t karekökü ise birazdan açıklanacaktır.
Normallik Varsayımı
Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, t aralığı çok küçük olduğundan normalite varsayımının oldukça zayıf olduğudur.
Normallik kabulunun geçerli olduğunu varsayarsak; Bu kabuller çerçevesinde;
tStSS
tSNtS
,0~
Diyebiliriz.
Bu modele göre, stok fiyatlarındaki değişime rasgele
değerler alan neden olacaktır.
Ito Lemması
S bağıntımızın çok ufak t, değerleri için geçerli olduğunu kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin.
f = (S,t)Bu fonksiyon ufak t değerleri için aşağıdaki bağıntıyı
gerçekler;
)2()()()222
2
21( totS
Sf
tSS
ftf
SSf
f
Ito Lemması İspat:Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona Taylor açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar f için aşağıdaki bağıntı yazılabilir,
)(2
22
2
21
22
2
21
totSSff
tt
f
SS
ft
tf
SSf
f
Burada S için daha önceki tStSS bağıntımızı yerine koyarsak,
).()(2
22
2
212)(
2
2
21
)(
tottStSSff
tt
ftStS
S
f
ttf
tStSSf
f
).(232
22
22
2
21222
2
2
21
23
22
2222
2
2
21
totSStf
tSStf
tt
ftS
S
f
tSS
ftS
S
ft
tf
tSSf
tSSf
f
ifadesi elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli bir Taylor açılımıdır. Şimdi, t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir.
Df açılımını terimlerine göre yeniden düzenleyerek
)()()2222
2
21(
)(2222
2
21
totSSftS
S
ftfS
Sff
totSS
fttftS
SftS
Sff
Şimdi, t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir.
)()()2222
2
21(
)(2222
2
21
totSSf
tSS
ftf
SSf
f
totSS
ft
tf
tSSf
tSSf
f
Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki 2 katsayısıdır. Bunu gidermek için aşağıdaki değerlendirmeleri görelim:
.
( ~ N(0,1) olduğu için.)
22)2()4(
2)22()24()2(
)(2
tEE
tEtEtVAR
tott
tttE
22 )(
)()(
)222
2
21(
totSSf
tSS
ftf
SSf
f
Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur.
Buna göre 2t varyansı 0 civarında ise ve,
2t nin beklenen değeri t ise, 2t = t + o(t) olur ve
ttSNS t ,)(ln~ln 221
0
İspat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki;
.)()221(
)()221(
)1()2221
2101(
)ln(
)()222
2
21(
tt
tt
tSS
tSS
SS
f
olsunSf
tSSf
tSS
ftf
SSf
f
.
Lemma 2:
Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun. t küçük olduğunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır.
.)()221(
)()221(
)1()2221
2101(
;)ln(
tt
tt
tSS
tSS
SS
f
olsunSf
ttSNtS ,)2
21(0ln~ln
tSSf
tSS
ftf
SSf
f
)()222
2
21(
İspat: Ito’nun Lemmasını kullanarak;
Şimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir rasgele değişken dan oluşuyor. , , ve t için nümerik değerler zaman serilerinden elde edilebilir. Buna göre;
ttNf ,)2
21(~
ttSNt
S
St
Sf
,)221(
0ln~ln
)0
ln()ln(.
Buradan senet fiyatlarındaki değişimin logaritmalarının bir normal dağılıma sahip olduğunu görmekteyiz.
Olarak belirlenir. Yani senetlerin fiyat diferansiyelleri normal olarak dağılmaktadır. Bu önemli bir sonuç olup ilerde tekrar kullancağız.
Corollary 1: Senet fiyatlarındaki değişim de, t zaman aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiğinde (T olarak gösterilir) log-normal olarak dağılır.
TTSN
TS ,)2
21(
0ln~ln
İspat: Burada T zaman süresi n adet, örtüşmeyen {t1, t2, t3, …, tn} zaman aralıklarının toplamından oluşsun;
t1+t2+ t3+ …+ tn= T. ST senedin T anındaki fiyatını göstersin, kabullerimize göre senet fiyatları bir Brown hareketine göre değişir ve etkin Pazar hipotezine göre senet fiyatları bağımsızdır ve
ln (Si+1) – ln (Si ) diferansiyelleri normal olarak dağılır.
Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır
Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır. Buna göre;
0112
2-n1-n 1-nT0
T
Sln – Sln Sln – Sln ......
Sln – Sln Sln – Sln Sln – Sln
01
2110
lnln...
lnlnlnlnlnln
SSE
SSESSESSEnnnTT
12
21
12
212
21 ... ttt nn
Ttti
ii
i2
212
212
21
Ve varyans “için de benzer olarak;
01
2110
lnln...
lnlnlnlnlnln
SSVar
SSVarSSVarSSVarnnnTT
21...2
12
tntnt
Ti
it22
Burada senet fiyatlarının Brown hareketine sahip olduğu Varsayımında nin önemi ortaya çıkıyor.T
Buna göre;
TTNS
TS ,)2
21(~
0lnln
Veya benzeri olarak ,
TTSN
TS ,)2
21(
0ln~ln
Elde edilir. Bu da senet fiyatlarının hareketi konusundaki varsayımlarımızı kanıtlamış olur.
top related