สถิติ บทที่ 4

บทท�� 4การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

แบบต่�อเน่��องและไม�ต่�อเน่��อง

ป็ระเภทของต่�วแป็รสุ่��ม ต่�วแป็รสุ่��ม แบ�งเป็�น่ 2 ชน่�ด

1. ต่�วแป็รสุ่��มชน่�ดไม�ต่�อเน่��อง ค�อ ต่�วแป็รท��แทน่เหต่�การณ์#ท��แสุ่ดงค�าเป็�น่

ต่�วเลข จ$าน่วน่น่�บ 0,1,2,...

จำ��นวนขนมเค้กที่ �ข�ยได้ในแต่�ละว�น จำ��นวนพน�กง�นช�ยในแผนกหน��ง

2. ต่�วแป็รสุ่��มชน่�ดต่�อเน่��อง ค�อ ต่�วแป็รท��แทน่เหต่�การณ์#ท��แสุ่ดงค�าเป็�น่

ต่�วเลขท��เป็�น่จ�ดทศน่�ยม ส่�วนส่ งและน�!�หน�ก จำ��นวนร�ยได้ของค้นกล$�มหน��ง

4.2 การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบไม�ต่�อเน่��อง หน่(า 124

ต่�วอย�างใน่ทางธุ�รก�จท��ถื�อว�าเป็�น่ต่�วแป็รสุ่��มแบบไม�ต่�อเน่��อง

จ$าน่วน่สุ่�น่ค(าท��เคร��องจ�กรผล�ต่ได(ต่�อ 1ช��วโมง จ$าน่วน่คร�.งของเสุ่�ยงโทรศ�พท#ท��ด�งต่�อน่าท� ใน่

สุ่$าน่�กงาน่ขายของบร�ษั�ทแห�งหน่1�ง จ$าน่วน่สุ่�น่ค(าท��ช$าร�ดต่�อสุ่�น่ค(า 1 ล2อต่ท��ได(ร�บ ฟั4งก#ช�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบไม�ต่�อ

เน่��อง เร�ยกว�า“Probability Mass Function :

p.m.f.” เข�ยน่แทน่ด(วยสุ่�ญล�กษัณ์# P(X=x)

เม��อ x ค�อต่�วแป็รสุ่��มแบบไม�ต่�อเน่��อง

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบไม�ต่�อเน่��อง

X ค้ว�มถี่ � (x) P(X=x) P(X≤x) 0 1 1/50 1/501 4 4/50 5/502 6 6/50 11/50 3 4 4/50 15/504 9 9/50 24/505 10 10/50 34/506 7 7/50 41/507 4 4/50 45/508 2 2/50 47/50 9 2 2/50 49/50

10 1 1/50 50/50 รวม 50 50/50

ต่�วอย�างท�� 4.2.1 หน่(า 125น�กก�รต่ล�ด้ ศึ�กษ�จำ��นวนส่)นค้�ชน)ด้หน��งที่ �แต่�ละค้รอบค้ร�วซื้,!อเม,�อม�ที่ � supermarket แห�งหน��ง จำ��นวน 50 ค้รอบค้ร�ว และน��ขอม ลม�ส่ร�งต่�ร�งก�รแจำกแจำงค้ว�มถี่ � เม,�อ x เป็.นจำ��นวนส่)!นค้�ที่ �ซื้,!อต่�อค้รอบค้ร�ว

X ค้ว�มถี่ �

(x) P(X=x) P(X≤x)

0 1 1/50 1/50

1 4 4/50 5/50

2 6 6/50 11/50

3 4 4/50 15/50

4 9 9/50 24/50

5 10 10/50 34/50

6 7 7/50 41/50

7 4 4/50 45/50

8 2 2/50 47/50

9 2 2/50 49/50

10 1 1/50 50/50

รวม 50 50/50

หาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(ครอบคร�วหน่1�ง1. ซื้,!อส่)นค้�นอยกว�� 5 ช)!น

= P(x<5)= P(x≤4)= 24 = 0.48 502. ซื้,!อส่)นค้� 5 ช)!น หร,อม�กกว��

= P(x≥5)= 1 - P(x<5)= 1 - P(x≤4)= 1 – 24 = 1 – 0.48 = 0.52 50

ป็ระโยชน่#ของต่ารางแจกแจงความถื�� หน่(า 128

(x) P(X=x) P(X≤x)

0 1 1/50 1/50

1 4 4/50 5/50

2 6 6/50 11/50

3 4 4/50 15/50

4 9 9/50 24/50

5 10 10/50 34/50

6 7 7/50 41/50

7 4 4/50 45/50

8 2 2/50 47/50

9 2 2/50 49/50

10 1 1/50 50/50

รวม 50 50/50

หาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(ครอบคร�วหน่1�ง3. ซื้,!อส่)นค้�ต่�!งแต่� 3 ถี่�ง 6 ช)!น

= P(3 ≤ x ≤ 6)= P(x ≤ 6) - P(x < 3)= P(x ≤ 6) - P(x ≤ 2)= 41 – 11 = 30 = 0.6 50 50 504. ซื้,!อส่)นค้� นอยกว�� 6 ช)!น5. ซื้,!อส่)นค้� ม�กกว�� 6 ช)!น6. ซื้,!อส่)นค้�ต่�!งแต่� 7 ถี่�ง 8 ช)!น7. ซื้,!อส่)นค้� 3 หร,อ 4 ช)!น

(x) P(X=x) P(X≤x)

0 1 1/50 1/50

1 4 4/50 5/50

2 6 6/50 11/50

3 4 4/50 15/50

4 9 9/50 24/50

5 10 10/50 34/50

6 7 7/50 41/50

7 4 4/50 45/50

8 2 2/50 47/50

9 2 2/50 49/50

10 1 1/50 50/50

รวม 50 50/50

หาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(ครอบคร�วหน่1�ง4. ซื้,!อส่)นค้� นอยกว�� 6 ช)!น

= P(x < 6)= P(x ≤ 5)= 34 = 0.68 50 5. ซื้,!อส่)นค้� ม�กกว�� 6 ช)!น= P(x > 6)= 1 - P(x ≤ 5)= 1 – 34 50= 1 – 0.68 = 0.32

(x) P(X=x) P(X≤x)

0 1 1/50 1/50

1 4 4/50 5/50

2 6 6/50 11/50

3 4 4/50 15/50

4 9 9/50 24/50

5 10 10/50 34/50

6 7 7/50 41/50

7 4 4/50 45/50

8 2 2/50 47/50

9 2 2/50 49/50

10 1 1/50 50/50

รวม 50 50/50

หาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(ครอบคร�วหน่1�ง6. ซื้,!อส่)นค้�ต่�!งแต่� 7 ถี่�ง 8 ช)!น= P(7 ≤ x ≤ 8)= P(x ≤ 8) - P(x < 7)= P(x ≤ 8) - P(x ≤ 6)= 47 – 41 = 6 50 50 507. ซื้,!อส่)นค้� 3 หร,อ 4 ช)!น= P(x = 3) + P(x = 4)= 4 + 9 50 50= 13 50

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบต่�อ เน่��อง หน่(า133

ต่�วแป็รสุ่��มแบบต่�อเน่��อง เช�น่ ต่�วแป็รสุ่��มท��แทน่สุ่�วน่สุ่6ง น่$.าหน่�กต่�วแป็รสุ่��มท��แทน่รายได(ของป็ระชากรกล��มหน่1�ง โดยป็กต่�จะไม�สุ่ามารถืแจกแจงค�าความน่�าจะเป็�น่

ของต่�วแป็รสุ่��มต่�อเน่��องได(ท�กค�าใน่ต่าราง เน่��องจาก ม�ค�าจ$าน่วน่มาก ด�งน่�.น่จ1งต่(องใช(ฟั4งก#ช�น่ความน่�าจะ

เป็�น่ ท��เร�ยกว�า “ Probability Density Function : p.d.f.”

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบต่�อ เน่��อง หน่(า134

ร6ป็แบบการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบต่�อเน่��องท�� น่�ยมใช(ใน่ทางธุ�รก�จม� 5 ชน่�ด

1. ก�รแจำกแจำงแบบย น)ฟอร0ม2. ก�รแจำกแจำงแบบที่ว)น�ม3. ก�รแจำกแจำงแบบพห$น�ม4. ก�รแจำกแจำงแบบไฮเป็อร0จำ ออเมต่ร)ก5. ก�รแจำกแจำงแบบป็2วซื้อง

การแจกแจงแบบย6น่�ฟัอร#มก�รแจำกแจำงแบบย น)ฟอร0มเป็.นก�รแจำกแจำงที่ �ใชก�บเหต่$ก�รณ์0ที่ �เก)ด้ข�!นด้วยโอก�ส่เที่��ๆก�นฟั4งก#ช�น่ความน่�าจะเป็�น่

ค�าเฉล��ย

ความแป็รป็รวน่

การแจกแจงแบบย6น่�ฟัอร#ม(Uniform Distribution)

ต่�วอย�าง โยน่ล6กเต่8าเท��ยงต่รง 1 ล6ก ถื(า x = แต่(มท��ได(จากการโยน่ล6กเต่8า

ค�าท��เป็�น่ไป็ได( ค�อ 1,2,3,4,5,6

ฟั4งก#ช�น่ความน่�าจะเป็�น่

6,5,4,3,2,1x;61

การแจกแจงแบบย6น่�ฟัอร#มค�าเฉล��ย

ความแป็รป็รวน่5.3

654321

708.1916.2

5.365.355.345.335.325.31

2222222

การแจกแจงแบบทว�น่าม (Binomial Distribution) เป็.นก�รแจำกแจำงที่ �ได้ม�จำ�กขบวนก�รที่ �ม ช,�อว��Bernoulli trail Bernoulli trail เป็.นก�รที่ด้ลองค้ร�!งเด้ ยว แลว

ส่�งเกต่ผลจำ�กก�รที่ด้ลองว��เก)ด้ หร,อไม�เก)ด้ส่)�งที่ �ผ ที่ด้ลองส่นใจำ

เช�น ก�รต่รวจำส่)นค้�ว��ค้$ณ์ภ�พด้ หร,อไม�ด้ ก�รที่��ก�รที่ด้ลอง Bernoulli หล�ยๆค้ร�!งต่)ด้ต่�อ

ก�น จำะกล�ยเป็.นก�รที่ด้ลองส่$�มแบบที่ว)น�ม โด้ย p ค้,อ ค้ว�มน��จำะเป็.นของก�รเก)ด้ส่)�งที่ �ส่นใจำหร,อค้ว�มส่��เร7จำ โด้ย q ค้,อ ค้ว�มน��จำะเป็.นของก�รเก)ด้ส่)�งที่ �ไม�

ส่นใจำ หร,อค้ว�มลมเหลว n ค้,อ จำ��นวนค้ร�!งที่ �ที่��ก�รที่ด้ลองที่�!งหมด้

การแจกแจงแบบทว�น่าม (Binomial Distribution)

ล�กษัณ์ะการแจกแจงแบบทว�น่าม1. ก�รที่ด้ลองส่$�มแต่�ละค้ร�!งจำะม ผลล�พธ์0ได้เพ ยง 2

อย��งเที่��น�!น ค้,อ ค้ว�มส่��เร7จำ และค้ว�มลมเหลว2. ค้ว�มน��จำะเป็.นของก�รเก)ด้ค้ว�มส่��เร7จำ (p) จำะต่องม ค้��ค้งที่ �เส่มอ

ค้ว�มน��จำะเป็.นของก�รเก)ด้ค้ว�มส่��เร7จำ = p ค้ว�มน��จำะเป็.นของก�รเก)ด้ค้ว�มลมเหลว = 1-p หร,อ q p จำะค้งที่ � ต่องเก)ด้จำ�กก�รส่$�มต่�วอย��งแบบซื้�!� ถี่�ส่$�มต่�วอย��งแบบไม�ซื้�!� ต่องส่$�มต่�วอย��งที่ �ม ขน�ด้ค้�อนข�งเล7กเม,�อเที่ ยบก�บขน�ด้ป็ระช�กร เม,�อ n = ขน�ด้ต่�วอย��ง N = ขน�ด้ป็ระช�กร

3. ก�รที่ด้ลองส่$�มแต่�ละค้ร�!งต่องเป็.นอ)ส่ระต่�อก�น

,...,2,1,0,

pnp 12

การแจกแจงแบบทว�น่าม(Binomial Distribution)

การแจกแจงแบบทว�น่าม(Binomial Distribution)เพ��มเต่�ม ต่�วอย�าง

ทดลองโยน่เหร�ยญ 1 เหร�ยญจ$าน่วน่ 5 คร�.ง จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ยญจะออกห�วจ$าน่วน่ 3 คร�.งให( x ค�อ จ$าน่วน่คร�.งท��เหร�ยญออกห�วP(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ยญออกห�ว = =0.5

จะได(ว�า x = 3 , n = 5 , P = 0.5 , q = =0.5

การแจกแจงแบบทว�น่าม(Binomial Distribution)ให( x ค�อ จ$าน่วน่คร�.งท��เหร�ยญออกห�ว

P(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ยญออกห�ว = 0.5

จะได(ว�า x = 3 , n = 5 , p = 0.5 , q = 0.5

P(X=3) = nCx (p)x (q)n-x

= 5C3 (0.5)3 (0.5)5-3

= 5! (0.125) (0.25)

(5-3)! 3!

= 0.3125

การแจกแจงแบบทว�น่าม(Binomial Distribution)ให( x ค�อ จ$าน่วน่คร�.งท��เหร�ยญออกห�ว

P(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ยญออกห�ว = 0.5จะได(ว�า x = 3 , n = 5 , p = 0.5 , q = 0.5

BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)

Number_s is the number of successes in trials.Trials is the number of independent trials.Probability_s is the probability of success on each trial.Cumulative is a logical value that determines the form of the function. If cumulative is TRUE, then BINOMDIST returns the cumulative distribution function, which is the probability that there are at most number_s successes; if FALSE, it returns the probability mass function, which is the probability that there are number_s successes.

BINOMDIST(3,5,0.5,FALSE) = 0.3125

5 0 0.95099 0.77378 0.59049 0.44371 0.32768 0.23730 0.16807 0.11603 0.07776 0.05033 0.03125

1 0.99902 0.97741 0.91854 0.83521 0.73728 0.63281 0.52822 0.42842 0.33696 0.25622 0.18750

2 0.99999 0.99884 0.99144 0.97339 0.94208 0.89648 0.83692 0.76483 0.68256 0.59313

0.50000

3 1.00000 0.99997 0.99954 0.99777 0.99328 0.98437 0.96922 0.94598 0.91296 0.86878

0.81250

4 1.00000 1.00000 0.99999 0.99992 0.99968 0.99902 0.99757 0.99475 0.98976 0.98155 0.96875

5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

Cumulative Binomial Probability Distribution Table

n x .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

P(X=3) = P(X≤3) – P(X≤2)= 0.8125 – 0.5000

= 0.3125

ต่�วอย�าง 4.4.5 หน่(า 140 โรงง�นผล)ต่เส่,!อ ต่รวจำส่อบค้$ณ์ภ�พโด้ยส่$�มมต่�วอย��งเส่,!อ

ม� 10 ต่�วต่�อหน��งล9อต่ก�รผล)ต่ โรงง�นแห�งน !ผล)ต่เส่,!อไม� ได้ม�ต่รฐ�นด้วยโอก�ส่ 0.01 จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �

1. ม เส่,!อไม�เก)น 1 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น n= 10, p = 0.01, q = 1-0.01 = 0.99

9958.0

09135.09044.0

9135.001.0109044.011

99.001.099.001.0

101000

nxqpCpnxXP xnxx

n ,...,2,1,0,,,

10 0 0.90438 0.59874 0.34868 0.19687 0.10737 0.05631 0.02825 0.01346 0.00605 0.00253 0.00098

1 0.99573 0.91386 0.73610 0.54430 0.37581 0.24403 0.14931 0.08595 0.04636 0.02326 0.01074

2 0.99989 0.98850 0.92981 0.82020 0.67780 0.52559 0.38278 0.26161 0.16729 0.09956 0.05469

3 1.00000 0.99897 0.98720 0.95003 0.87913 0.77588 0.64961 0.51383 0.38228 0.26604 0.17188

4 1.00000 0.99994 0.99837 0.99013 0.96721 0.92187 0.84973 0.75150 0.63310 0.50440 0.37695

5 1.00000 1.00000 0.99985 0.99862 0.99363 0.98027 0.95265 0.90507 0.83376 0.73844 0.62305

6 1.00000 1.00000 0.99999 0.99987 0.99914 0.99649 0.98941 0.97398 0.94524 0.89801 0.82812

7 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99992 0.99958 0.99841 0.99518 0.98771 0.97261 0.94531

8 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99997 0.99986 0.99946 0.99832 0.99550 0.98926

9 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99997 0.99990 0.99966 0.99902

10 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

pn x .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

ต่�วอย�าง โรงง�นผล)ต่เส่,!อ ต่รวจำส่อบค้$ณ์ภ�พโด้ย ส่$�มต่�วอย��งเส่,!อม� 10 ต่�วต่�อหน��งล9อต่ก�รผล)ต่

โรงง�นแห�งน !ผล)ต่เส่,!อไม�ได้ม�ต่รฐ�นด้วยโอก�ส่0.01

ให X เป็.นจำ��นวนเส่,!อที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�นจำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �

1) ม เส่,!อไม�เก)น 1 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�นP(X ≤ 1) = 0.99573

เป็;ด้ต่�ร�ง Binomial ที่ � p = 0.01,n = 10, x = 1

จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��2. ไม�ม เส่,!อที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�นเลย

P(X = 0) 3. ม เส่,!อไม�เก)น 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น

P(X ≤ 2) 4. ม เส่,!อ 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น

P(X = 2) 5. ม เส่,!ออย��งนอย 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น

P(X ≥ 2)

จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��2. ไม�ม เส่,!อที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�นเลย=BINOMDIST(0,10,0.01,FALSE)

P(X = 0) = 0.90438

3. ม เส่,!อไม�เก)น 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น=BINOMDIST(2,10,0.01,TRUE)

P(X ≤ 2) = 0.99989

จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��4. ม เส่,!อ 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น =BINOMDIST(1,10,0.01, FALSE)

P(X = 2) = P(X ≤ 2) - P(X ≤ 1)= 0.99989 – 0.99573 =

0.004165. ม เส่,!ออย��งนอย 2 ต่�วที่ �ไม�ได้ม�ต่รฐ�น

P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2)= 1 – P(X ≤ 1)= 1 – 0.99573 = 0.00427

การแจกแจงแบบทว�น่าม(Binomial Distribution)แบบฝึ:กห�ด

ใน่การท$าข(อสุ่อบป็รน่�ย 5 ต่�วเล�อก จ$าน่วน่ 5 ข(อ จงหาความน่�าจะเป็�น่1 .ท��จะท$าข(อสุ่อบถื6กไม�เก�น่ 3 ข(อ2. ท��จะท$าข(อสุ่อบถื6ก 3 ข(อ3. ท��จะท$าข(อสุ่อบถื6กอย�างน่(อย 3 ข(อ ให( x แทน่จ$าน่วน่ข(อท��ท$าถื6กp(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��ท$าข(อสุ่อบถื6ก = 1/5 = 0.2

q = 1 – 0.2 = 0.8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

5 00.59049

0.32768

0.16807

0.07776

0.03125

0.01024

0.00243

0.00032

0.00001

10.91854

0.73728

0.52822

0.33696

0.18750

0.08704

0.03078

0.00672

0.00046

20.99144

0.94208

0.83692

0.68256

0.50000

0.31744

0.16308

0.05792

0.00856

30.99954

0.99328

0.96922

0.91296

0.81250

0.66304

0.47178

0.26272

0.08146

40.99999

0.99968

0.99757

0.98976

0.96875

0.92224

0.83193

0.67232

0.40951

51.00000

1.00000

1. p(x≤3) =

= P(X= 3, 5, 0.2)

= 0.99328

P(X= x,n,p)

ก�รแจำกแจำงแบบที่ว)น�ม (Binomial Distribution)

ก�รที่ด้ลองม ล�กษณ์ะเหม,อนก�บก�รที่ด้ลองแบบที่ว)น�ม(Binomial) แต่�ผลที่ �เก)ด้ข�!นได้ (ส่)�งที่ �ส่นใจำ) ม ม�กกว�� 2 อย��ง

เช�น ต่รวจำส่อบส่)นค้�หน��งล9อด้ ได้ผลก�รต่รวจำ ส่อบ 3 อย��ง ค้,อ

ช��ร$ด้ใชก�รไม�ได้ ช��ร$ด้แต่�ซื้�อมได้ ด้

การแจกแจงแบบพห�น่าม(Multinomial Distribution)

ล�กษณ์ะก�รที่ด้ลองส่$�มที่ �ที่��ใหต่�วแป็รส่$�ม x ม ก�รแจำกแจำง แบบพห$น�ม ค้,อ

1. ที่��ก�รที่ด้ลองส่$�ม n ค้ร�!ง แต่�ละค้ร�!งเป็.นอ)ส่ระต่�อก�นและในแต่�ละค้ร�!งของก�รที่ด้ลองจำะเก)ด้ผลล�พธ์0ที่ �แยก

ก�นโด้ยเด้7จำข�ด้ จำ��นวน k อย��ง ค้,อ E1 ,E2 ,…En

2. ผลล�พธ์0 E1 ,E2 ,…En เก)ด้ข�!นด้วยค้ว�มน��จำะเป็.น เที่��ก�บ p1 , p2,…,pk

ต่�มล��ด้�บ โด้ยผลรวมของ p1 ถี่�ง pk ต่องเที่��ก�บ 1

3. จำ�กก�รที่ด้ลองส่$�ม n ค้ร�!ง เม,�อน�บจำ��นวนค้ร�!งของก�ร เก)ด้เหต่$ก�รณ์0ต่��ง ได้ด้�งน !E1 เก)ด้ข�!น x1 ค้ร�!ง

E2 เก)ด้ข�!น x2 ค้ร�!ง..

En เก)ด้ข�!น xn ค้ร�!ง

kk ppp

nxxxP ...

!!...!

!,...,, 21

เม��อ x1 + x2 +…+ xn = n

และ p1 + p2 +…+ pk = 1

ต่�วอย�าง เพ��มเต่�มกล�องใบหน��งม ล กบอล 12 ล ก ส่ แด้ง 5 ล ก ส่ เข ยว 4 ล ก ส่ ฟ<� 3 ล ก ส่$�มหย)บล กบอลจำ�กกล�องใบน !ม� 6 ล ก โด้ยก�รหย)บที่ ละล กแบบใส่�กล�บค้,น จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะหย)บได้ล กบอล ส่ แด้ง 3 ล ก ส่ เข ยว 2 ล ก ส่ ฟ<� 1 ล ก

321321

pppxxx

nxxxP xxx

ความน่�าจะเป็�น่ท��หย�บได(ล6กบอล สุ่�แดง =

ความน่�าจะเป็�น่ท��หย�บได(ล6กบอล สุ่�เข�ยว =

ความน่�าจะเป็�น่ท��หย�บได(ล6กบอล สุ่�ฟั;า =

จ$าน่วน่ล6กบอลท�.งหมด = 5 + 4 + 3 = 12

321321

pppxxx

nxxxP xxx

จ$าน่วน่ล6กบอลสุ่�แดง ท��หย�บได( = 3

จ$าน่วน่ล6กบอลสุ่�เข�ยว ท��หย�บได( = 2

จ$าน่วน่ล6กบอลสุ่�ฟั;า ท��หย�บได( = 1

ห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะหย)บได้ล กบอล ส่ แด้ง 3 ล ก ส่ เข ยว 2 ล ก ส่ ฟ<� 1 ล ก

n = 3 + 2 + 1 = 6

LOGO 39

1205.025.01111.00723.060

!1!2!3

321321

xxx pppxxx

การแจกแจงแบบพห�น่าม(Multinomial Distribution)ส่$�มหย)บล กบอลจำ�กกล�องใบน !ม� 6 ล ก โด้ยก�รหย)บ

ที่ ละล กแบบใส่�กล�บค้,น 1.ห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะหย)บได้ล กบอล ส่ แด้ง 3 ล ก ส่ เข ยว 2 ล ก ส่ ฟ<� 1 ล ก

2.ห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะหย)บได้ล กบอล ส่ แด้ง 2 ล ก ส่ เข ยว 2 ล ก ส่ ฟ<� 2 ล ก

1083.00625.01111.01735.090

!2!2!2

321321

xxx pppxxx

LOGO 40

ต่�วอย�างท�� 4.4.6 หน่(า 143ก�รใหเกรด้ในว)ช�ส่ถี่)ต่) ม ด้�งน !

ถี่�ส่$�มน�กศึ�กษ�ม� 3 ค้น จำ�กน�กศึ�กษ�ที่�!งหมด้ที่ �ลงที่ะเบ ยนว)ช�ส่ถี่)ต่) 1. จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะม น�กศึ�กษ�ส่อบได้เกรด้ A 1 คน่

B 1 คน่ C 1 คน่

เกรด การกระจาย ความน่�าจะเป็�น่A 10% 0.1

B 20% 0.2

C 70% 0.7

LOGO 41

321321

pppxxx

nxxxP xxx

ความน่�าจะเป็�น่ท��สุ่อบได(เกรด A = 0.1

ความน่�าจะเป็�น่ท��สุ่อบได(เกรด B = 0.2

ความน่�าจะเป็�น่ท��สุ่อบได(เกรด C = 0.7

จ$าน่วน่น่�กศ1กษัาท��สุ่อบได(เกรด A= 1 จ$าน่วน่น่�กศ1กษัาท��สุ่อบได(เกรด B= 1 จ$าน่วน่น่�กศ1กษัาท��สุ่อบได(เกรด C= 1

n = 1+1+1= 3

LOGO 42

ถี่�ส่$�มน�กศึ�กษ�ม� 3 ค้น จำ�กน�กศึ�กษ�ที่�!งหมด้ที่ �ลงที่ะเบ ยนว)ช�ส่ถี่)ต่) 1. จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะม น�กศึ�กษ�ส่อบได้เกรด้ A 1 คน่

2. จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะม น�กศึ�กษ�ส่อบได้เกรด้ A 0 คน่

7.02.01.06

7.02.01.0!1!1!1

321321

xxx pppxxx

2940.0

49.02.013

7.02.01.0!2!1!0

321321

xxx pppxxx

LOGO 43

การแจกแจงแบบไฮเป็อร#จ�ออเมต่ร�ก (Hypergeometric Distribution)

เป็�น่การทดลองสุ่��มต่�วอย�างแบบไม�ค�น่ขน่าด n จากป็ระชากรขน่าด N

โดยใน่กล��มป็ระชากร N แบ�งเป็�น่ 2 กล��ม ค�อ สุ่��งท��สุ่น่ใจ(ความสุ่$าเร=จ) k สุ่��ง และสุ่��งท��ไม� สุ่น่ใจ(ความล(มเหลว) N-k สุ่��ง

ค้ว�มแต่กต่��งระหว��งก�รแจำกแจำงแบบไฮเป็อร0จำ ออเมต่ร)ก ก�บก�รแจำกแจำงแบบที่ว)น�ม

ป็ระชากรท��ศ1กษัา ค�าต่�วอย�างN = จำ��นวนหน�วยที่�!งหมด้ n = จำ��นวนต่�วอย��งที่ �ส่$�มแบบไม�ซื้�!�k = จำ��นวนค้ว�มส่��เร7จำ x = จำ��นวนค้ว�มส่��เร7จำที่ �ต่องก�ร

ห�ค้ว�มน��จำะเป็.นN-k = จำ��นวนค้ว�มลมเหลว n-x = จำ��นวนค้ว�มลมเหลว

การแจกแจงแบบไฮเป็อร#จ�ออเมต่ร�ก การแจกแจงแบบทว�น่าม 1.ส่$�มต่�วอย��งแบบไม�ซื้�!�(ไม�ใส่�ค้,น) 1.ส่$�มต่�วอย��งแบบซื้�!�(ใส่�ค้,น)

2. ผลล�พธ์0ที่ �เก)ด้จำ�กก�รส่$�มแต่�ละค้ร�!งไม�เป็.นอ)ส่ระก�น

2. ผลล�พธ์0ที่ �เก)ด้จำ�กก�รส่$�มแต่�ละค้ร�!งเป็.นอ)ส่ระก�น

CCkNnxP

,...,2,1,0,,,,

ต่�วอย�าง เพ��มเต่�ม กล�องใบหน่1�งบรรจ�หลอดไฟัฟั;าท�.งหมด 10 หลอด โดยเป็�น่หลอดไฟัท��ใช(งาน่ได(ด�จ$าน่วน่ 8 หลอด หลอดเสุ่�ยจ$าน่วน่ 2 หลอด ถื(าสุ่��มหลอดไฟัฟั;าข1.น่มาจ$าน่วน่ 6 หลอด1. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะได(หลอดเสุ่�ยจ$าน่วน่ 1 หลอด N = 10, n = 6, k =2, x = 1

5333.0210

!6!4!10

!1!1!2

!5!3!8

!6!610!10

!1!12!2

!5!58!8

ต่�วอย�าง เพ��มเต่�ม กล�องใบหน่1�งบรรจ�หลอดไฟัฟั;าท�.งหมด 10 หลอด โดยเป็�น่หลอดไฟัท��ใช(งาน่ได(ด�จ$าน่วน่ 8 หลอด หลอดเสุ่�ยจ$าน่วน่ 2 หลอด ถื(าสุ่��มหลอดไฟัฟั;าข1.น่มาจ$าน่วน่ 6 หลอด2. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะได(หลอดเสุ่�ยจ$าน่วน่ 2 หลอด N = 10, n = 6, k =2, x = 2

!6!4!10

!1!1!2

!4!4!8

!6!610!10

!1!12!2

!4!48!8

ต่�วอย�างท�� 4.4.8ธุน่าคารแห�งหน่1�งต่(องการร�บน่�กศ1กษัา MBA เข(าฝึ:กงาน่ 5 คน่ จากน่�กศ1กษัาท��สุ่ม�ครท�.งหมดจากสุ่ถืาบ�น่การศ1กษัา 3 แห�ง ด�งน่�.

1. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(น่�สุ่�ต่จ�ฬา ท�.ง 5 คน่ N = 18, n = 5, k =9, x = 5

0147.0

สุ่ถืาบ�น่การศ1กษัา

จ$าน่วน่ท��สุ่ม�ครฝึ:กงาน่

จ�ฬาลงกรณ์# 9

มห�ดล 5

น่�ด(า 4

รวม 18

ต่�วอย�างท�� 4.4.8

2. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มไม�ได(น่�กศ1กษัาจากน่�ด(าเลย N = 18, n = 5, k =4, x =0

3. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(น่�กศ1กษัาจากมห�ดลท�.ง 5 คน่4. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะสุ่��มได(น่�สุ่�ต่จ�ฬา 2 คน่ มห�ดล 1 คน่ และ

น่�ด(า 1 คน่

2337.0

LOGO 49

การแจกแจงแบบป็กต่�ม�ล�กษัณ์ะท��วไป็ด�งน่�.1 .ขอม ลส่�วนใหญ่�จำะอย �ก��งกล�งของโค้ง ป็ล�ย

ที่�!งส่องข�งของโค้งป็กต่)จำะล�ด้ลงส่ �แกนนอน แต่�จำะไม�จำรด้แกนนอน

2. เม,�อล�กเส่นต่�!งฉ�กก�บแกนนอนใหแบ�งค้ร��งโค้ง เส่นที่ �ล�กจำะผ��นค้��เฉล �ย μ และที่��ใหส่�วนของโค้งป็กต่)ที่�!งส่องข�งส่มม�ต่รก�น

3. พ,!นที่ �ภ�ยใต่โค้งป็กต่)ม ค้��เที่��ก�บ 1 เม,�อล�กเส่นแบ�งค้ร��งโค้ง พ,!นที่ �ภ�ยใต่โค้งด้�นซื้�ยและด้�นขว�จำะเที่��ก�น และม พ,!นที่ �เที่��ก�บ 0.5

4. ล�กษณ์ะของโค้งป็กต่)แต่�ละร ป็จำะม ล�กษณ์ะแต่กต่��งก�น ข�!นอย �ก�บค้��เฉล �ย (µ) และส่�วนเบ �ยงเบนม�ต่รฐ�น (σ)

การแจกแจงแบบป็กต่� (Normal Distribution)

LOGO 50

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบป็กต่� (Normal Distribution)

LOGO 51

การแจกแจงแบบป็กต่�มาต่รฐาน่

LOGO 52

การแจกแจงแบบป็กต่�มาต่รฐาน่ (Standard Normal Distribution)

ก�รแจำกแจำงแบบป็กต่)ม�ต่รฐ�น ม ล�กษณ์ะด้�งน ! ค้��เฉล �ย (µ) = 0

ส่�วนเบ �ยงเบนม�ต่รฐ�น (σ) = 1 ก�รเป็ล �ยนค้�� x บนเส่นโค้งป็กต่)ใหเป็.นค้��

ม�ต่รฐ�น Z ใชส่ ต่รด้�งน !

LOGO 53

หาค�า P (0<Z≤2)1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z =

2.002. ค�าท��ได( ค�อ 0.47723. ค�า P (0<Z≤2) = 0.4772 หร�อ

47.72%

การหาพ�.น่ท��ภายใต่(โค(งป็กต่�มาต่รฐาน่

0 2.00

0.4772

LOGO 54

หาค�า P( -2.55 < Z < 2.55)

1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z = 2.552. ค�าท��ได( ค�อ 0.49463. ค�า P( -2.55 < Z < 2.55) = 0.4946 +

0.4946 = 0.9892

Z=-2.55 Z=2.55

การแจกแจงต่�วอย�าง

LOGO 55

หาค�า P (Z > 2.71)

1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z = 2.71

2 .ค�าท��ได( ค�อ 0.49663.P (Z > 2.71) = 0.5 - 0.4966

= 0.0034

0.50 0.4966

LOGO 56

การใช(ป็ระโยชน่#เสุ่(น่โค(งป็กต่�

ผจำก. ของบร)ษ�ที่ CP ค้)ด้ว��ค้ะแนนจำ�กก�รที่ด้ส่อบก�รใช ภ�ษ�จำ นของพน�กง�นใหม�ที่�!งหมด้ ม ก�รแจำกแจำงป็กต่) ม ค้��

เฉล �ยเที่��ก�บ 10 และส่�วนเบ �ยงเบนม�ต่รฐ�น 2.5 ถี่�ส่$�มพน�กง�นม�หน��งค้น จำงห�ค้ว�มน��จำะเป็.นที่ �จำะที่��

ค้ะแนนได้เที่��ก�บ 15 ค้ะแนน หร,อม�กกว��2.5

0.2280

การแจกแจงแบบท� (t-Distribution)

เม��อป็ระชากรม�การแจกแจงป็กต่� หร�อใกล( เค�ยงเสุ่(น่โค(งป็กต่�

• สุ่��มต่�วอย�างขน่าดเล=ก (n <30) และ ไม�ทราบความแป็รป็รวน่ของป็ระชากร

• ล�กษัณ์ะเสุ่(น่โค(ง t จะข1.น่อย6�ก�บพาราม�เต่อร# “ ” ท��เร�ยกว�า องศาอ�สุ่ระ (Degree of

Freedom, df)• จะใช(ต่าราง t แทน่ค�า Z

LOGO 58

ค�ณ์สุ่มบ�ต่�ของการแจกแจงแบบ t

1. ค�าเฉล��ย µ=0 , σ>12 .โค(งม�ล�กษัณ์ะสุ่มมาต่ร3. เม��อขน่าดต่�วอย�างใหญ�ข1.น่ σ จะเข(าใกล( 14. ต่�วแป็ร t จะม�ค�าระหว�าง -∞ ถื1ง ∞ 5. ถื(ากล��มต่�วอย�างใหญ�ข1.น่ การแจกแจงจะใกล(

การแจกแจงแบบป็กต่�

LOGO 59

ถื(าต่�วแป็รสุ่��ม x ม�การแจกแจงแบบ t, df = 10

05.081246.1 xP

0 1.81246

LOGO 61

จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��สุ่��มคน่มา 1 คน่ แล(วพบว�าม�รายได(มากกว�า 120 บาท

เป็@ดต่าราง t, df = n-1 = 18-1 = 17

140120

-1.333

สุ่มม�ต่�ว�ารายได(ป็ระจ$าว�น่ของคน่กล��มหน่1�งม�การแจกแจงป็กต่� และ ม�ค�าเฉล��ยเท�าก�บ 140 ถื(าสุ่��มคน่ 18 คน่ และพบว�าสุ่�วน่เบ��ยงเบน่มาต่รฐาน่ เท�าก�บ 15

LOGO 62

การแจกแจงแบบไคสุ่แควร# (Chi-square Distribution)

ใช(สุ่�ญล�กษัณ์#ล�กษัณ์ะเสุ่(น่โค(งไคสุ่แควร#1. ม�ค�าระหว�าง -∞ ∞ถื1ง2. เสุ่(น่โค(งไคสุ่แควร#ม�ล�กษัณ์ะเบ(ขวา3. ล�กษัณ์ะเสุ่(น่โค(งจะข1.น่ก�บพาราม�เต่ร#ต่�วเด�ยว

ค�อ องสุ่าอ�สุ่ระ (df) และเม��อ df เพ��มข1.น่เสุ่(น่โค(งไคสุ่แควร#จะม�ล�กษัณ์ะคล(ายเสุ่(น่โค(งระฆั�งคว$�า(เสุ่(น่โค(งป็กต่�)

211.34

LOGO 63

การแจกแจงแบบF (F Distribution)

ค�ณ์สุ่มบ�ต่�ของการแจกแจงแบบ F1. ค�า F เป็�น่บวกเสุ่มอ2. เสุ่(น่โค(งม�ล�กษัณ์ะเบ(ขวา3. ล�กษัณ์ะเสุ่(น่โค(งจะข1.น่ก�บองสุ่าอ�สุ่ระ (df) 2

ค�าn1-1 และ n2-1

21 , sss

สถิติ บทที่ 4

distribution

gt

gt

logo

Documents

สถิติ เบื้องต้น...

บทที่ 4...

บทที่ 4...

สถิติ เบื้องต้น 3

สถิติ:...

สถิติ เบื้องต้น 4

คณิตศาสตร์ สถิติ - weebly ·...

สถิติ ม.6...

บทที่ 4...

บทที่ 4...

สถิติ ( statistics )

บทที่ 3...

การศึกษาผลการจัดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์...

บทที่ 1¸„ู่มือ... · บทที่...

สถิติmultiple regression...

สถิติ เบื้องต้น 2

statistics สถิติ

สถิติ แนวข้อสอบ

บทที่...

บทที่ 4 -...