Diagonalisasi

Definisi : Suatu matriks bujursangkar 𝐴𝑛×𝑛 dikatakan dapat

didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang

mempunyai invers sehingga P–1AP merupakan matriks

diagonal.

• Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan

(pendiagonal) dari A.

• Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-vektor

eigen dari A.

Misal 𝐴𝑛×𝑛, cara menentukan matriks P yang mendiagonalkan A :

a. Tentukan nilai eigen

b. Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang diperoleh

c. Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya berupa basis ruang

eigen 𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛.

d. Matriks 𝑃−1𝐴𝑃 merupakan matriks diagonal dengan 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛

sebagai entri-entri diagonalnya secara berurutan.

Jika 𝐴𝑛×𝑛, maka kedua pernyataan berikut adalah ekuivalen.

a. Matriks 𝐴 dapat didiagonalisasi

b. Matriks 𝐴memiliki 𝑛 vektor eigen yang bebeas linear

Contoh :

Tentukan matriks 𝑃 yang mendiagonalkan

1 0 0

0 1 1

0 1 1

A

=

. 0I A − =

0 0 1 0 0

det 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

− =

Jawab :

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :

atau

( )

( )

( )

1 0 0

det 0 1 1 0

0 1 1

−

− − = − −

11 11 12 12 13 13det .I A a c a c a c − = + +

( ) ( )2

1 1 1 0 0 = − − − + +

( ) ( ) ( )1 2 = − −

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :

Pilih Baris 1

Sehingga diperoleh nilai eigen

0 ; 1 ; 2 = = =

0 =

( ). ~I A −1 0 0

0 1 1

0 1 1

−

− − − −

1 0 0

~ 0 1 1

0 1 1

− −

1 0 0

~ 0 1 1

0 0 0

Untuk

Dengan OBE maka

0 =

1

2

3

0

1

1

x

x t

x

= −

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

1

0

1

1

P

= −

adalah

1 =

( ). ~I A −0 0 0

0 0 1

0 1 0

− −

0 0 0

~ 0 0 1

0 1 0

0 1 0

~ 0 0 1

0 0 0

Untuk

Dengan OBE maka

1 =

1

2

3

1

0

0

x

x t

x

=

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

2

1

0

0

P

=

adalah

Untuk

Dengan OBE maka

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

adalah

2 =

( )

1 0 0

. ~ 0 1 1

0 1 1

I A

− − −

1 0 0

~ 0 1 1

0 0 0

−

1

2

3

0

1

1

x

x t

x

=

3

0

1

1

P

=

2 =

1 1 2 2 3 3 0k P k P k P+ + =

1

2

3

0 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 0

k

k

k

= −

0 1 0 1 0 1

1 0 1 ~ 0 1 0

1 0 1 1 0 1

− −

1 0 1

~ 0 1 0

0 0 2

1 0 1

~ 0 1 0

0 0 1

1 0 0

~ 0 1 0

0 0 1

1 2 3, ,P P P

Perhatikan

Jadi

merupakan himpunan yang bebas linear

Dengan OBE

Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :

Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :

Hal yang perlu diperhatikan, matriks

Juga mendiagonalkan A.

Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :

0 1 0

1 0 1

1 0 1

P

= −

1

0 0 0

0 1 0

0 0 2

D P AP−

= =

1 0 0

0 1 1

0 1 1

P

= −

1

1 0 0

0 0 0

0 0 2

D P AP−

= =

1

0 1 1 1 0 0 0 1 01

2 0 0 0 1 1 1 0 12

0 1 1 0 1 1 1 0 1

P AP−−

=

−

0 0 0 0 1 01

2 0 0 1 0 12

0 2 2 1 0 1

= −

0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1

= −

0 0 0

0 1 0

0 0 2

=

0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1

−

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1

−

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 2 0 1 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 102 2

1 101 0 0 2 2

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 102 2

−

Terimakasih