aljabar linear elementer · 13/03/2014 13:12 ma-1223 aljabar linear 3 ruang vektor umum misalkan...
TRANSCRIPT
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 2
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
– Ruang Vektor Umum
– Subruang
– Basis dan Dimensi
– Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
Beberapa metode optimasi
Sistem Kontrol
Operation Research
dan lain-lain
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 3
Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap
2.
3.
4. Terdapat sehingga untuk setiap
berlaku
5. Untuk setiap terdapat sehingga
Vwvu ,,
Vvu maka, Vvu
vu uv
wvuwvu
uuu 00
V0 Vu
Vu u
0 uuuu
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 4
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap dan k Riil maka
7.
8.
9.
10.
Vu Vuk
vkukvuk
ulukulk
ukluklulk
uu .1
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 6
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
nn vuvuvuvu ...,,, 2211
nkukukuuk ,...,, 21
nnvuvuvuvu ...2211
21
uuu
vuvud , 22
22
2
11 ... nn vuvuvu
22
2
2
1 ... nuuu
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh :
Diketahui dan
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua
vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
Jarak kedua vektor
3,2,1,1u 1,1,2,2v
vuvud ,
21
uuu 153211 2222
101122 2222 v
222213122121
7
2111 2222
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 8
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W { }
2. W V
3. Jika maka
4. Jika dan k Riil maka
Wvu , Wvu
Wu Wuk
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B W
Tulis
dan
maka00
001. WO
W
0
0
2
1
a
aA
0
0
2
1
b
bB
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 10
Perhatikan bahwa :
Ini menunjukan bahwa
4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil
maka
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
0
0
0
0
0
0
22
11
2
1
2
1
ba
ba
b
b
a
aBA
WBA
Wka
kakA
0
0
2
1
WkA
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
00
baA
abB
00
Ambil sembarang matriks A, B W
Pilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (A) = 0
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 12
BA
ab
ba
Perhatikan bahwa :
=
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 13
u
1v 2v nv
nnvkvkvku ...2211
Sebuah vektor
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
, , … ,
jika vektor – vektor tersebut
dapat dinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 14
Contoh
u v
a
b
c
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)
a.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 15
6
2
4
3
1-
1
0
4
2
21 kk
6
2
4
3 0
1- 4
1 2
2
1
k
k
a. Tulis
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :
avkuk 21
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 16
0 0 0
2 1 0
2 1
~
6 3 0
6- 3- 1
2 1 21
21
a u
vua
2
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 17
bvkuk
21
6
5
1
3
1-
1
0
4
2
21 kk
6
5
1
3 0
1- 4
1 2
2
1
k
k
b. Tulis :
ini dapat ditulis menjadi:
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 18
3 0 0
2 1 0
1
~
6 3 0
3 3- 0
0 1
~
6 3 0
5 1- 4
1 1 2 21
21
21
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 19
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis
cvkuk
21
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 20
1v
2v
3v
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangun dan bebas linear
nvvvS ,...,, 21
Contoh :
Tentukan apakah
membangun V???
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 21
3
2
1
3
2
1
312
101
211
u
u
u
k
k
k
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
Ambil sembarang vektor di R2
332211 vkvkvku
3
2
1
u
u
u
u
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 22
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Agar SPL itu konsisten
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 23
nuuuS ,...,, 21Misalkan
0...1211 nnukukuk
01 k 02 k 0nk
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
,...,
adalah himpunan vektor diruang vektor V
JIKA SPL homogen :
,
Jika solusinya tidak tunggal
(Bergantung linear / linearly dependent)
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 24
2,3,1u 1,1,1 a
021
akuk
0
0
0
12
13
11-
2
1
k
k
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh :
Jawab :
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 25
~
0
0
0
12
13
11-
~
0
0
0
10
40
11
0
0
0
00
10
01
dengan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 26
2
3
1
a
1
1
1
b
4
6
2
c
ckbkak 3210
412
613
211
3
2
1
k
k
k
0
0
0
Contoh 8 :
Misal :
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Contoh :
Misalkan
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 27
~
010
040
211
000
010
211
cba ,,
dengan OBE diperoleh :
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 28
Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 29
21
01,
412
80,
01
10,
63
63M
dc
bakkkk
21
01
412
80
01
10
63
634321
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau
dc
ba
kkkkkkk
kkkkk
4314321
32141
246123
863
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 30
d
c
b
a
k
k
k
k
4
3
2
1
2406
11213
0816
1003
dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK) 0 SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 31
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
10
00,
01
00,
00
10,
10
01
juga merupakan basisnya.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 32
1221
1321
1121
A Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 33
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
2
3
1
,
1
1
1
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 34
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
1
3
2
1
,
1
1
2
1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 35
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :
03003
01421
01211
02212
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 36
00000
00000
00210
01001
ba
s
r
q
p
0
1
2
0
1
0
0
1
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 37
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
0
1
2
0
,
1
0
0
1
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 38
80
36
31
21
42
10
20
24
Latihan Bab 5
1.Nyatakanlah matriks
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
dan
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
, ,
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2 !
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 39
2222 cbacxbxaJ
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 40
6. Diberikan SPL homogen :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.
1221
1321
1121
7. Tentukan rank dari matriks :