aljabar linier elementer - digilib.unmuhjember.ac.id
TRANSCRIPT
i
ALJABAR LINIER ELEMENTER
Christine W. Suryaningrum, S.Pd, M.Pd
ii
ALJABAR LINIER ELEMENTER
Penulis:
Christine W. Suryaningrum, S.Pd, M.Pd
Editor:
Asmedy, M.Pd
Penyunting:
Imam Sahroni
Desain Sampul:
Imam Sahroni
Penerbit:
LPPM Unmuh Jember
Redaksi:
Jl. Karimata 49 Jember
Telp. (0331) 336728
Fax. (0331) 337957
email: [email protected]
Distributor Tunggal:
LPPM Unmuh Jember
Jl. Karimata 49 Jember
Telp. (0331) 336728
Fax. (0331) 337957
Cetakan pertama, Mei 2015
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara
apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segara rahmat dan hidayah-Nya
sehingga buku Aljabar Linier elementer dapat diselesaikan dengan baik.
Buku ini dimakudkan untuk dapat digunakan sebagai referensi bagi
mahasiswa yang menempuh mata kuliah aljabar linier. Dengan membaca
buku ini, diharapkan mahasiswa dapat memiliki pengetahuan tentang sistem
persamaan linier, matriks, vektor, ruang vektor, sub ruang, vektor bebas linier
dan bergantung linier, nilai eigen dan ruang eigen , transformasi linier serta
dapat menjadi dasar untuk mempelajari mata kuliah selanjutnya.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada
Civitas Akademika Universitas Muhammadiyah Jember yang telah memberi
kontribusi sehingga buku ini dapat diterbitkan. Penulis sadar bahwa buku ini
jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan banyak
masukan dan usulan demi kesempurnaan buku ini.
Jember, Mei 2015
Penulis
iv
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................... iii
DAFTAR ISI .......................................................................................... iv
BAB I PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER
1.1 Persamaan Linier ............................................................................... 1
1.2 Sistem Persamaan Linier ................................................................... 2
1.3 Eliminasi Gauss ................................................................................ 12
BAB II MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
2.1 Definisi ............................................................................................. 35
2.2 Macam-Macam Matriks ................................................................... 37
2.3 Operasi Pada Matriks ........................................................................ 43
2.4 Sifat Operasi matriks ......................................................................... 48
2.5 Matriks Yang Dipartisi ...................................................................... 50
2.6 Perkalian Matriks Dengan Kolom ..................................................... 54
2.7 Perkalian Matriks Dengan Baris ....................................................... 55
2.8 Perkalian Matriks Dengan Baris – Kolom ........................................ 57
2.9 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier ................................. 58
2.10 Invers Matriks ................................................................................. 59
BAB III DETERMINAN MATRIKS
3.1 Definisi ............................................................................................. 83
3.2 Menghitung Determinan .................................................................. 85
3.3 Sifat-Sifat Determinan ...................................................................... 85
3.4 Aturan Cramer .................................................................................. 94
3.5 Menyelesaikan SPL Dengan Aturan Cramer ................................... 94
v
BAB IV VEKTOR
4.1 Pengantar Vektor .............................................................................. 103
4.2 Hasil Kali Titik Dari Vektor ............................................................. 109
4.3 Panjang Dan Jarak Dua Vektor ........................................................ 111
4.4 Menentukan Sudut Antar Dua Vektor .............................................. 113
4.5 Vektor – Vektor Ortogonal .............................................................. 115
BAB V RUANG VEKTOR REAL
5.1 Ruang Vektor ................................................................................... 119
5.2 Sub ruang .......................................................................................... 122
5.3 Kombinasi Linier .............................................................................. 123
5.4 Kebebasan Linier .............................................................................. 125
5.5 Merentang .......................................................................................... 126
5.6 Basis dan Dimensi ............................................................................ 128
BAB VI RUANG EIGEN DAN DIAGONALISASI
6.1 Nilai Eigen dan Ruang Eigen ............................................................ 135
6.2 Diagonalisasi .................................................................................... 138
6.3 Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simeri ................................... 140
BAB VII TRANSFORMASI LINIER
7.1 Definisi ............................................................................................. 145
7.2 Kernel Dan Range ............................................................................ 147
7.3 Jenis-Jenis Transfomasi Linier ......................................................... 148
7.4 Rank dan Nulitas ............................................................................... 149
7.5 Jenis-Jenis Transfomasi Linier .......................................................... 153
Glosarium ............................................................................................... 156
Daftar Rujukan ..................................................................................... 158
1
BAB I
PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER
Dalam bab ini akan membahas sistem persamaan linier, sistem persamaan
linier homogen, dan eliminasi gauss. Setelah mempelajari bab ini,
diharapkan mahasiswa dapat menentukan selesaian dari suatu sistem
persamaan linier dengan eliminasi gauss
1.1 Persamaan Linier
1.1.1 Definisi Persamaan Linier
Persamaan linier adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Dimana a,b adalah konstanta riil sedangkan
x1, x2, ...,xn adalah variabel.
Contoh 1 persamaan linier
x = 0
y = 0
x + y = 1
a + b = 1
x1 + x2 = 0
Non contoh persamaan linier
2 + 2 = 4
x1²+ x2 = 0
x² = 0
x + y2 = 3
2
1.1.2 Himpunan Selesaian Dari Suatu Persamaan Linier
Diberikan persamaan linier : 2x - y = 6
Jika x = 1 , y = -4 di subtitusikan kedalam persamaan maka akan
membuat persamaan tersebut bernilai benar, maka x = 1, y = -4 disebut
selesaian dari persamaan linier.
Jika terdapat x = 5, y = 0 subtitusikan kedalam persamaan maka akan
membuat persamaan tersebut bernilai salah maka x = 5, y = 0 bukan selesaian
dari persamaan linier.
Dapat ditarik kesimpulan bahwa himpunan selesaian di persamaan
linier adalah sederet n angka r1, r1, …,rn jika disubtitusikan x1 = r1, x2 =r2, …,
xn = rn akan memenuhi persamaan linier tersebut (persamaan linier akan
bernilai benar)
1.1.3 Himpunan Selesaian Dalam Bentuk Parameter
Misal terdapat persamaan linier 4x1 – 2x2 = 8
Jika x1 = 2, maka dapat ditemukan nilai x2 = 0
Jika x1 = 2
1, maka dapat ditemukan nilai x2 = -3
Jika x1 = 3, maka dapat ditemukan nilai x2 = 2
Jika x1 sebarang bilangan real, maka dapat ditemukan nilai x2
Jika x1 = t, maka dapat ditemukan nilai x2 = 2t – 4
Selesaian diatas disebut selesaian dalam bentuk parameter
1.2 Sistem Persamaan Linier
1.2.1 Definisi Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dari m persamaan dalam n peubah adalah
kumpulan (himpunan) terhingga dari persamaan linier atas m persamaan
dalam variabel x1, x2, …,xn .
3
Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Contoh 2
Contoh sistem persamaan linier
a) -x + 2y = 5
4x - 3y = 8
b) 4a – b + 2c = 2
2a + 2b – c = 4
c) p + q = 2
p – q = 1
p = 4
d) x1 – 2x2 + 3x3 = 4
x1 – 2x2 = -1
– 2x2 + 3x3 = 2
x1 - 3x3 = 4
Non contoh sistem persamaan linier
a) x2 – y = 3
x – y = 3
b) a + b = -1
a - b2
= 8
c) –x3 + 2y = 5
4x - 3y = 8
4
1.2.2 Selesaian Dari Suatu Sistem Persamaan Linier
Selesaian dari sistem persamaan linier m persamaan dan n variabel
adalah sebuah urutan bilangan-bilangan (x1, x2, ..., xn) yang memenuhi semua
persamaan dalam sistem.
Contoh 3
Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut
x + 2y = 5
2x + 3y = 8
Selesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah (1, 2), karena
bilangan tersebut memenuhi setiap persamaan dam sistem persamaan linier,
dengakata lain bilangan tersebut jika disubstitusi ke masing-masing
persamaan linier, membuat persamaan linier bernilai benar. Mari kita coba
substitusikan
Pada persamaan pertaman (1) + 2 . (2) = 5 bernilai benar
Pada persamaan kedua 2 .(1) + 3 . (2) = 8 bernilai benar
Contoh 4
Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut
3x + 3y = 6
-3x - 3y = -6
Sistem persamaan linier di atas mempunyai selesaian salah satunya adalah
(2,0). Artinya masih banyak nilai x dan y yang membuat persamaan linier
dalam SPL tersebut bernilai benar. Mari kita coba substitusikan
Pada persamaan pertaman 3 (2) + 3 .(0) = 6 bernilai benar
Pada persamaan kedua -3 .(2) + 3 .(0) = -6 bernilai benar
5
Contoh 5
Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut
x + y = 4
2x + 2y = 6
Karena tidak terdapat bilangan real yang memenuhi kedua persamaan
dalam Sstem Persamaan Linier di atas, maka sistem persamaan linier tersebut
tidak memiliki penyelesaian.
Pernyataan 1
Suatu sistem persamaan linear mempunyai paling sedikit satu penyelesaian,
maka sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear yang
konsisten (consistent).
Pernyataan 2
Suatu sistem persamaan linier yang tidak mempunyai selesaian disebut
sistem persamaan linier yang tak konsisten (inconsistent).
Jadi pada contoh 3 dan 4 merupakan sistem persamaan linier yang
konsisten, dan contoh 5 merupakan sistem pesamaan linier yang tidak
konsisten.
1.2.3 Kemungkinan Selesaian Dari Sistem Persamaan Linier
Perhatikan sistem persamaa linier berikut:
(a) x1 + x2 = 2
x1 – x2 = 2
Grafik dari persamaan-persamaan linier di atas adalah
6
Dari grafik di atas, terlihat bahwa terdapat satu titik potong. Titik
potong pada grafik di sebut selesain dari sistem persamaan linier. Maka dapat
kita simpulkan bahwa sistem persamaan linier di atas merupakan sistem
persamaan linier yang mempunyai tepat satu selesaian.
Perhatikan grafik dai persamaan linier berikut
(b) x1 + x2 = 2
x1 + x2 = 1
Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik
potong. Maka dapat kita simpulkan bahwa sistem persamaan linier di atas
merupakan sistem persamaan linier yang tidak mempunyai selesaian atau
tidak konsisten.
x2
x1
(i)
x1
x2
(ii)
7
Perhatikan grafik dai persamaan linier berikut
(c) x1 + x2 = 2
-x1 – x2 = 2
Dari grafik di atas, terlihat bahwa garis persamaan sau berhimpit
dengan garis persamaan kedua. Karena titik potong pada grafik di sebut
selesain dari sistem persamaan linier. Maka dapat kita simpulkan bahwa
sistem persamaan linier di atas merupakan sistem persamaan linier yang
mempunyai banyak selesaian selesaian.
Dari tiga contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa penyelesaian
dari suatu sistem persamaan linier terdapat tiga kemungkinan yaitu kedua
garis yang berpotongan pada satu titik yang artinya sistem persamaan linier
di atas merupakan sistem persamaan linier yang mempunyai tepat satu
selesaian, kedua garis sejajar artinya tidak memiliki titik potong. Maka dapat
sistem persamaan linier tersebut merupakan sistem persamaan linier yang
tidak mempunyai selesaian atau tida konsisten, atau kedua persamaan
menyatakan garis yang sama atau berhimpit.
Maka himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linier
tersebut mengandung satu, nol, atau banyak titik yang tidak terhingga aritnya
sistem persamaan linier yang mempunyai banyak selesaian selesaian.
x1
x2
(iii)
8
Dari tiga kasus sistem persamaan linier di atas dapat kita simpulkan
bahwa sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel
mempunyai tiga kemungkinan selesaian yaitu sistem persamaan linier m x n
tidak mempunyai selesaian atau tidak konsisten dan sistem persamaan linier
m x n konsisten, artinya sistem persamaan linier memiliki tepat satu
penyelesaian atau tak berhingga banyaknya penyelesaian.
1.2.4 Cara Menyelesaikan Suatu SPL
Ada beberapa cara untuk mencari selsaian dari suatu sistem
persamaan linier yaitu
a. Metode eliminasi
b. Metode substitusi
c. Metode grafik
d. Metode campuran
Contoh 6
Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut
ini
x + y − z = -1 (1)
8x + 3y − 6z = 1 (2)
−4x − y + 3z = -1 (3)
Kita coba selesaikan dengan metode campuran
Dalam metode ini, kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel-
variabel di dalam sistem persamaan linier hingga hanya tinggal satu variabel.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua
persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun
negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3).
Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita
9
dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk mengeliminasi y dan kita
mendapatkan persamaan (4).
x + y − z = -1 (1)
−4x − y + 3z = -1 (3)
------------------------- +
−3x + 2z = -2 (4)
Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita
perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan
(4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan mengeliminasi y dari
persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y
adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan
persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan
(1).
x + y − z = -
1 (1) ×3 3x + 3y − 3z = -3 (1)
8x + 3y − 6z = 1 (2)
8x + 3y − 6z = 1 (2)
------------------------- -
−5x + 3z = -4 (5)
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk mengeliminasi z.
−3x + 2z = -2 (4) × 3 −9x + 6z = -6 (4)
−5x + 3z = -4 (5) ×2 −10x + 6z = -8 (5)
------------------------- −
x = 2 (6)
10
Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan
(masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
−3(2) + 2z = -2 (4)
−6 + 2z = -2
2z = 4
z = 4 ÷ 2
z = 1
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk
mendapatkan y.
2 + y − 1 = -1 (1)
y = -1 − 2 + 1
y = -2
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah
x = 2, y = -2, z = 1.
Untuk meode substitusi, elimasi, dan grafik sebagai latihan pembaca
1.2.5 Matriks yang Diperbesar
Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dengan n
variabel dapat disingkat dengan dengan hanya menuliskan deretan bilangan-
bilangan dalam matriks.
Perhatikan sistem persamaan linier berikut:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
11
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
....
....
....
21
222221
111211
Contoh 7
a. Diberikan sistem persamaan linier sebagai berikut
x – y + 2z = 2
2x + y + 3z = -1
-3x + 6y + z = 0
matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
0163
1312
2211
b. Diberikan sistem persamaan linier sebagai berikut
x + y + 2z = 9
2x + 6y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
0563
1362
9211
12
Catatan:
Untuk menyusun suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan
linier, koefisien dari variabel harus ditulis dengan urutan yang sama untuk
setiap persamaan dan konstanta harus berada pada bagian paling kanan.
1.3 Eliminasi Gauss
1.3.1 Operasi Baris Dasar (OBD)
Untuk menentukan selesaian dari suatu sistem persamaan linier, kita
dapat mengubah sistem persamaan linier yang ada menjadi suatu sistem
persamaan linier baru yang memiliki selesaian yang sama tetapi cara
menyelesaikannya lebih mudah.
Sistem persamaan linier yang baru dapat diperoleh dengan beberapa
langkah. Lankah-langkah tersebut dinamakan Operasi Baris Dasar yang
terdiri dari tiga jenis operasi sebagai berikut:
1. Kalikan persamaan dengan konstanta tak nol
2. Pertukarkan dua persamaan
3. Tambahkan perkalian dari suatu persamaan ke persamaan lain
Perhatikan matriks yang diperbesar, baris-baris dari matriks yang
diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem
persamaan linier maka operasi baris dasar untuk menyelesaikan sistem
persaaan linier yang sudah di ubah menjadi matriks yang diperbesar adalah
1. Kalikan matriks dengan konstanta tak nol
2. Pertukarkan dua baris
3. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris yang lain.
13
Contoh 8
Tentukan selesaian dari sistem sistem persamaan linier berikut dengan
menggunakan opersai baris dasar
a. 2x + 2z = 2
3x – y + 4z = 7
6x + y – z = 0
Penyelesaian
Bentuk SPL
2x + 2z = 2
3x – y + 4z = 7
6x + y – z = 0
Kalikan pers (1) dengan ½
x + z = 1
3x – y + 4z = 7
6x + y – z = 0
Pers (3) ditambah (-3) kali pers (1)
x + z = 1
– y + z = 4
6x + y – z = 0
Persamaan (3) ditambah (-6) kali pers (1)
x + z = 1
– y + z = 4
y – 7z = -6
Pers 2 dikali (-1)
x + z = 1
y - z = -4
y – 7z = -6
14
Pers 3 ditambah (-1) Pers 3
x + z = 1
y - z = -4
-6z = -2
Persamaan 3 kali -1/6
x + z = 1
y - z = -4
z = 1/3
Pers 2 + pers 3
x + z = 1
y - z = -33
2
z = 1/3
Pers 1 + (-1) pers 3
x = 3
2
y = -33
2
z = 3
1
Diperoleh solusi x = 3
2, y = -3
3
2 dan z =
3
1
Bentuk Matriks
0116
7413
2202
15
Baris 2 dikali ½
0116
7413
1101
Baris 2 + (-3) baris 1
0116
4110
1101
Baris 3 + (-6) baris 1
6710
4110
1101
Baris 2 dikali (-1)
6710
4110
1101
Baris 3 ditambah (-1) baris 3
2600
4110
1101
Baris 3 dikali -1/6
3
1100
4110
1101
Baris 2 + baris 3
16
3
1100
3
23010
1101
Baris 1 + (-1) baris 3
3
1100
3
23010
3
2001
Jadi dari matriks diatas didapat x = 3
2, y = -3
3
2, dan z =
3
1
Dari penyelesaian bentuk SPL dan bentuka matriks dapat disimpulkan bawa
SPL mempunyai tepat satu selesaian yaitu
x = 3
2, y = -3
3
2, dan z =
3
1
b. x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian
Ubah SPL menjedi matriks yang diperbesar, kemudian lakukan operasi baris
dasar sehingga memperoleh selesaian dari SPL tersebut
0563
1342
9211
17
Baris 2 + (-2) baris 1
0563
17720
9211
Baris 3 + (-3) baris 1
271130
17720
9211
½ baris 2
2711302
17
2
710
9211
Baris 3 + (-3) baris 2
2
3
2
100
2
17
2
710
9211
(-2) x baris 3
31002
17
2
710
9211
Baris 2 + 7/2 baris 3
3100
2010
9211
Baris 1 + (-2) baris 3
18
3100
2010
3011
Baris 1 + (-1) baris 2
3100
2010
1001
Jadi dari matriks diatas didapat
x = 1, y = 2, z = 3
maka selesaian dari SPL adalah x = 1, y = 2, dan z = 3
1.3.2 Bentuk Baris Eselon Tereduksi
Perhatikan sifat-sifat matriks berikut:
1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka taknol
pertama dalam baris tersebut adalah anga satu (disebut utama)
2. Jika dalam sembarang dua baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka
baris ini dikelompokan bersama dibagian bawah matriks.
3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya nol, maka
utama satu dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama
satu pada baris yang lebih atas.
4. Masing – masing kolam yang berisi sebuah utama satu mempunyai nol
ditempat yang lainnya.
Suatu matris yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 (tetapi tidak perlu 4)
disebut mempunyai bentuk baris-eselon. (Jadi matriks dalam bentuk baris
tereduksi sudah
19
Contoh 8
Perhatikan matriks berikut,
3100
2010
1001
Matriks di atas memenuhi keempat sifat, maka matriks tersebut merupakan
matriks baris eselon tereduksi.
Pernyataan 3
Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi pasti merupakan matriks
dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya.
Berikut ini merupakan beberapa contoh matriks yang berbentuk
eselon baris tereduksi.
0
3
1
000
100
021
.
0
1
0
000
000
110
.
1
2
3
100
010
001
.10
01
Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris
5100
2010
2121
,
000
110
011
,
11000
01100
06210
1.3.3 Metode Eliminasi
Proses menggunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah
suatu matriks menjadi bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss (Gaussian
Elimination). Sedangkan proses menggunakan operasi-operasi baris
20
elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris
tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan (Gauss-Jrordan Reduction).
Contoh 9
Gunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
berikut
a. x + y + 2z = 9
2x + 2y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
0563
1322
9211
Penyelesaian
Baris (2) ditabah (-2) baris (1)
0563
17700
9211
Baris (3) ditabah (-3) baris (1)
271130
17700
9211
Baris (2) dikali 7
1
2711307
17100
9211
21
Baris (2) tukar dengan baris (3)
7
17100
271130
9211
Baris (2) dikali 7
1
7
17100
93
1110
9211
Baris (2) ditabah (3
11) baris (3)
7
17100
21
2010
9211
Baris (1) ditabah (-1) baris (2)
7
17100
21
2010
21
141201
22
Baris (1) ditabah (-2) baris (3)
7
17100
21
2010
21
89001
matriks yang dihasilkan berbentuk Baris Eselon Tereduksi (BET). Dan
diperoleh penyelesaian dari SPL adalah
x = 21
89, y =
21
2 , z =
7
17
maka SPL mempunyai tepat satu selesaian
b. x + 2z = 1
–x + y – z = 0
2x + y + 5z = 3
Matriks diperbesar dari SPL di atas adalah
3512
0111
1201
Baris (2) ditambah baris (1)
3512
1110
1201
Baris (3) ditambah (-2) baris (1)
1110
1110
1201
23
Baris (3) ditambah (-1) baris (2)
0000
1110
1201
Dari matriks di atas diperoleh
baris 1 dapat ditulis x + 2z = 1 maka x = 1 – 2z
baris 2 dapat ditulis y + z = 1 maka y = 1 – z
Ambil nilai z sembarang
misalkan z = s, maka diperolah nilai
x = 1 – 2s dan y = 1 – s .
setiap kita ambil nilai s sebarang maka kita dapatkan nilai x, dan z.
Penyelesaian tersebut menunjukkan bahwa SPL mempunyai penyelesaian
yang tak hingga banyak.
c. 2x + 2z = 4
–2x + y = –3
x + 2y + 5z = 6
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
6521
3012
4202
Baris (1) dikali ½
6521
3012
2101
24
Baris (2) ditambah (2) baris (1)
6521
1210
2101
Baris (3) ditambah (-1) baris (1)
4420
1210
2101
Baris (3) ditambah (-2) baris (2)
2000
1210
2101
Kita dapat melihat pada baris ketiga matriks baris eselon tereduksi diperoleh
persamaan:
0x + 0y + 0z = 2
hal tersebut menunjukkan bahwa tidak ada nilai untuk x, y dan z yang dapat
memenuhi persamaan karena berapapun nilai x, y dan z nya, ruas kiri dari
SPL akan selalu bernilai nol jadi nilai 2 tidak akan tercapai.
Jadi bentuk matriks baris eselon tereduksi seperti diatas, dapat disimpulkan
bahwa SPL tidak memiliki penyelesaian atau SPL tidak konsisten.
d. Gunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier berikut
-2c + 7e = 12
2a + 4b – 10c + 6d + 12e = 28
2a + 4b – 5c + 6d – 5e = -1
25
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
156542
281261042
1270200
Penyelesaian
Baris (1) ditukar baris dua
156542
1270200
281261042
Baris (1) dikali ½
156542
1270200
1463521
Baris (3) ditambah (-2) baris (1)
29170500
1270200
1463521
Baris (2) dikali -½
29170500
62
70100
1463521
Baris 3 ditambah (-5) baris 2
12
10000
62
70100
1463521
26
Baris 3 dikali 2
210000
62
70100
1463521
Baris 2 + 7/2 baris 3
210000
100100
1463521
Baris 1 + (-6) baris 3
210000
100100
203521
Baris 1 + 5 baris 2
210000
100100
703021
matriks yang dihasilkan berbentuk Baris Eselon Tereduksi (BET)
selsaian dai SPL di atas adalah
e = 2, c = 1 dan a + b +d = 7 a = 7 – b – d
misalkan b = p dan d = q
diperoleh a = 7 – p – q
27
1.3.4 Sistem Persamaan Linier Homogen
Sistem persamaan linier homogen adalah sitem persamaan linier yang
konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan ini
mempunyai bentuk umum sebagai berikut
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
untuk setiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem persamaan linier
yang konsisten. Sistem persamaan linier homogen paling sedikit mepunyai
satu selesaian yaitu x1 = 0, x2 = 0, ….., xn = 0. Selesaian yang demikian
disebut selesaian yang trivial (trivial solutiuon).
Karena suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten,
maka hanya terdapat dua kemungkinan selesaian dari sistem persamaan linier
homogen tersebut yaitu
1. Sistem persamaan linier homogen tersebut mempunyai pemecahan trival
2. Sistem persamaan linier homogen mempunyai tak terhingga banyak
pemecahan yang disebut selesaian yang tak trival selain selesaian yang
trival.
Suatu sistem persamaan linier homogen yang jumlah variabelnya lebih besar
dari pada jumlah persamaan liniernya, maka sistem persaman linier homegen
tersebut memiliki selesaian yang tak trivial.
Contoh 10
Selesaikan sistem persamaan linier berikut
a. 5a – 2b + 6c = 0
-2a + b + 3c = 0
28
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah
0312
0625
Baris 1 + (2) baris 2
0312
01201
Baris 2 + (2) baris 1
02710
01201
Dari matriks di atas diperoleh
a + 12 c = 0 ...(1)
b + 27 c = 0 ...(2)
Dari pers (1) diperoleh a= -12c
Dari pers (2) diperoleh b= -27c
Misal c = t
Maka diperoleh nilai a = -12t dan b = - 27t
Jadi persamaan linier homogen tersebut mempunyai selesaian yang tak
trivial.
b. x + 2y = 0
-x – y + z = 0
2x + y + z = 0
29
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier
0112
0111
0021
Baris (2) ditambah baris (1)
0112
0100
0021
Baris (3) ditambah (-2) baris (1)
0110
0100
0021
Baris (3) ditukar baris (2)
0100
0110
0021
Baris (2) ditambah (-1) baris (3)
0100
0010
0021
Baris (2) dikali (-1)
0100
0010
0021
30
Baris (1) ditambah (-2) baris (1)
0100
0010
0001
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki
satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu
z
y
x
=
0
0
0
atau
dapat di tulis x = 0, y = 0 dan z = 0. Dari penyelesaian tersebut dapat
disimpulkan bahwa SPL homogen mempunyai tepat satu selesaian yang
trivial.
c. Selesaikan sistem persamaan linier berikut
x + y + 6z + w = 0
x – y – 3z – w = 0
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier
01311
01611
Baris 2 + (-1) baris 1
02320
01611
Baris 2 (-1/2)
012
310
01611
31
Baris 1 + (-1) baris 2
012
310
002
901
Dari matriks di atas diperoleh
x + 9/2z = 0
x = - 9/2 z
y + 3/2z + w = 0
y = - 3/2 z – w
Misal z = a dan w = b sehingga diperoleh
x = - 9/2 a, y = -3/2a – b
32
Latihan
1. Buatlah sistem persamaan linier yang mempunyai selesaian:
a. Tepat satu selesaian
b. Tak hingga selesaian
c. Tidak punya selesaian
2. Buatlah Sistem Persamaan Linier dengan
a. 5 persamaan 3 variabel
b. 6 persamaan 4 variabel
3. Perhatikan sistem persamaan linier berikut
-2x + 4y = 16
2x – 4y = -16
Selidiki selesaian dari sistem persamaan linier tersebut
4. Tentukan matriks yang dipebesar dari sistem persamaan linier berikut
a. 2x + 4y =6
3x - y + 2z = 7
2x + y + 2z = 4
x – 2y - z = 5
b. 2x + y – 6z = 1
y + 2z = 5
c. x – 12x + z – 4w = 4
x + 3y + 2z + 2w = -2
x – 2y - 11z - 6w = 1
5. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi
Gauss
a. 2x + y + 3z = 6
2y – z = 3
x + y + z = 5
33
b. 2x + y = 3z + 1
x – 2y + 2 = 0
c. 2x + y = 1
y + 2z = 5
x + y + z = 3
d. 6x + y = 0
x + 5y = 0
x = 4y
6. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi
Gauss-Jourdan
a. 2x + 4y =6
3x + 6y + 2z = 7
2x + 4y + 2z = 4
x – 2y = 5
b. 2x – 3y + 4 =12
4x – 6y + 8z = 20
2x + 6y – z = 1
c. x - 4y + 3z = 10
2x + y – z = -1
3x – y - 4z = 11
d. 2x + 4y =6
3x + 6y + 2z = 7
2x + 4y + 2z = 4
x + 2y + 3z = 3
7. Buatlah sistem persamaan linier yang homogen mempunyai selesaian:
a. Tepat satu selesaian trivial
b. Tak hingga selesaian
8. Syarat apakah yang arus dipenuhi oleh linier yang homogen agar
mempunyai selesaian yang tak hingga?
34
9. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier homogen berikut dengan
eliminasi Gauss
a. 2x – y – 3z = 0
x + 2y – 3z = 0
x + y + 4z = 0
b. 3x + y + z + w = 0
5x - y + z - w = 0
c. x – 2x + z – 4w = 0
x + 3y + 7z + 2w = 0
x – 12y - 11z - 16w = 0
10. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier homogen berikut dengan
eliminasi Gauss–Jourdan
a. 3x + 6y + 2z = 0
2x + 4y + 2z = 0
x + 2y + 3z = 0
b. 2x + y - 3z = 0
x – 2y + 2 = 0
c. 6x + y = 0
x + 5y = 0
x - 4y = 0
d. 2x – 3y + 4 = 0
4x – 6y + 8z = 0
2x + 6y – z = 0
35
BAB II
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Dalam bab ini akan membahas matriks, operasi matriks, partisi matriks,
invers matriks, matriks dasar, dan transpose matriks. Setelah mempelajari
bab ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan selesaian dari suatu
sistem persamaan linier dengan invers matriks
2.1 Definisi
Sebuah matrik adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-
bilangan. Bilangan-bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di
dalam matriks.
Contoh 1
Berikut ini beberapa contoh matriks
A =
957
712
101
B = [2 7 0 -3]
C =
040
03
212
2
1
D =
6
1
E = 0
Ukuran sebuah matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya
baris (garis horizontal) dan banyaknya kolon (garis vertical) yang terdapat di
dalam matriks tersebut. Matriks A pada contoh di atas mempunyai 3 baris
dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 3 (yang dituliskan 3 x 3).
36
Matriks B pada contoh di atas mempunyai 1 baris dan 4 kolom sehingga
ukurannya adalah 1 kali 4 (yang dituliskan 1 x 4). Matriks C pada contoh di
atas mempunyai 3 baris dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 3
(yang dituliskan 3 x 3). Matriks D pada contoh di atas mempunyai 2 baris
dan 1 kolom sehingga ukurannya adalah 2 kali 1 (yang dituliskan 2 x 1).
Matriks E pada contoh di atas mempunyai 1 baris dan 1 kolom sehingga
ukurannya adalah 1 kali 1 (yang dituliskan 1 x 1).
Angka pertama selalu menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua
menunjukkan banyaknya kolom. Jadi, matriks yang selebihnya pada contoh
tersebut berturut-turut mempunyai ukuran 3 x 3, 1 x 4, 2 x 1, dan 1 x 1.
Ukuran-ukuran matriks tersebut dinamakan ordo suatu matriks
Jika A adalah sebuah matrik, maka kita akan menggunakan aij untuk
menyatakan entri yang terdapat di dalam baris I dan kolom j dari A. Jadi
sebuah matrik 3 x 4 yang umum dapat dituliskan sebagai
A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
Sudah tentu, jika kita menggunakan B untuk menyatakan matriks,
maka kita akan menggunakan bij untuk entrinya di dalam baris i dan j. jadi
sebuah matriks m x n yang umum dapat dituliskan sebagai
B =
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
......
......
......
21
22221
11211
Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan kuadrat
berorde n (square matrix of order n), dan entri-entri a11, a22,…….ann dikatakan
berada pada diagonal utama dari A (lihat gambar berikut).
37
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
......
.....
21
22221
11211
Sebegitu jauh kita telah menggunakan matriks untuk menyingkatkan
kerja di dalam memcahkan system-sistem persamaan linear. Akan tetapi,
untuk pemakaian lain, maka diinginkan untuk mengembangkan suatu “ilmu
hitung matriks” di dalam mana matriks-matriks dapat ditambahkan dan
dikalikan dengan cara yang berguna. Bagian selebihnya dari pembicaraan ini
akan dikhususkan untuk mengembangkan ilmu hitung ini.
2.2 Macam-Macam Matriks
2.1.1 Jenis Matriks Berdasarkan Jumlah Baris dan Kolom
Berdasarkan jumlah baris dan kolomnya, secara umum matriks dibagi
menjadi lima jenis, yaitu:
1. Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya
sama. Matriks persegi memiliki ordo n x n. Misalkan 2x2, 3x3, 4x4, dan
seterusnya.
Contoh matriks persegi berukuran 3 x 3
957
712
101
38
2. Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa
kolom. Matriks baris memiliki ordo 1 x n ; dengan n > 1. Misalkan 1x3, 1x5,
dan sebagainya.
Contoh matriks baris berukuran 1 x 3
301
3. Matriks kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan
beberapa baris. Mariks kolom memiliki ordo n x 1 ; dengan n > 1 misalkan
3x1, 4x1, dan sebagainya.
Contoh matriks kolom berukuran 2 x 1
6
1
4. Matriks mendatar
Matriks mendatar adalah matriks yang jumlah kolomnya lebih banyak
dari jumlah barisnya misalnya matriks dengan ordo 2x4, 2x6, dan
sebagainya.
Contoh matriks mendatar berukuran 2 x 4
1312
0625
39
5. Matriks tegak
Matriks tegak adalah matriks yang jumlah barisnya lebih banyak dari
jumlah kolomnya misalnya matriks dengan ordo 3x2, 4x2, 6x3, dan
sebagainya.
Contoh matriks mendatar berukuran 3 x 2
32
92
21
2.1.2 Jenis Matriks Berdasarkan Pola Elemennya
Berdasarkan pola elemen-elemennya, matriks dibagi menjadi
beberapa jenis, yaitu:
1. Matriks nol
Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya
bernilai nol.
Contoh matriks nol berukuran 4x1 adalah sebagai berikut
0
0
0
0
Teorema
Dengan menganggap bahwa semua ukuran-ukuran matriks adalah
sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilalkukan,
maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks yang berikut akan berlaku.
(a) A + 0 = 0 + A = A
(b) A – A = 0
(c) 0 – A = - A
40
(d) A0 = 0; 0A = 0
Terdapat beberapa aturan yang belaku pada perkalian bilangan real
tetapi tidak berlaku pada matriks yaitu
a. Jika ab = ac dan ac ≠ 0 , maka b = c. (Ini dinamakan hukum peniadaan)
b. Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya satu dari faktor disebelah kiri sama
dengan nol
Seperti yang diperlihatkan contoh berikutnya, maka hasil-hasil yang
bersangkutan ternyata tidak berlaku di dalam perkalian matriks.
Contoh
Tinjaulah matriks-matriks
20
10A
43
11B
43
52C
00
73D
diperoleh
86
43ACAB
Walaupun A ≠ 0, namun tidaklah belaku untuk meniadakan A dari
kedua-dua ruas persamaan AB = AC dan menuliskan B = C. Jadi hukum
peniadaan tersebut gagal berlaku untuk matriks-matriks.
Juga, AD = 0; namun demikian A ≠ 0 dan D ≠ 0 sehingga hasil
tersebut dalam (b) yang di daftarkan diatas tidak dapat digunakan kepada
ilmu hitung matriks.
2. Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain
diagonal utama bernilai nol.
41
Contoh matriks nol berukuran 3x3 adalah sebagai berikut
200
030
007
3. Matriks identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di
diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama
bernilai nol.
Contoh matriks nol berukuran 3x3 adalah sebagai berikut
100
010
001
Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka seperti yang dilukiskan di dalam
contoh berikutnya, AIn = A dan ImA = A.
Contoh
Tinjaulah matriks
aaa
aaaA
232221
131211
Maka
A
aaa
aaa
aaa
aaaAI
232221
131211
232221
131211
2 10
01
dan
aaa
aaaAI
232221
131211
3
100
010
001
=
aaa
aaa
232221
131211 = A
42
4. Matriks segitiga
Matriks segitiga terdiri dari dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan
matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga
bawah merupakan matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya
bernilai nol.
Contoh matriks segitiga atas adalah sebagai berikut
100
310
221
Contoh matriks segitiga bawah adalah sebagai berikut
124
032
001
5. Matriks simetris
Matriks simetris adalah matriks yang elemen-elemen di bawah dan di
atas diagonal utamanya simetris. Dengan kata lain, elemen pada baris m dan
kolom n sama dengan elemen pada baris n dan kolom m, misalnya elemen
pada baris 1 dan kolom 2 sama dengan elemen pada baris 2 dan kolom 1.
Pada gambar di bawah dapat dilihat bahwa elemen baris 2 dan kolom 1 sama
dengan elemen pada baris 1 dan kolom 2 yaitu 2.
Contoh matriks simetri 3 x 3 adalah sebagai berikut
138
362
824
43
6. Matriks skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya sama dan elemen yang lain bernilai nol.
Contoh matriks skalar 3 x 3 adalah sebagai berikut
300
030
003
7. Matriks yang sama
Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai
ukuran yang sama dan entri-entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks
tersebut sama.
Contoh
Tinjaulah matriks-matriks
A =
43
12 B =
53
12 C=
043
012
Di sini A ≠ C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena
alas an yang sama maka B ≠ C, juga A ≠ B karena tidak semua entri yang
bersangkutan sama
2.3 Operasi Pada Matriks
2.3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka
jumlah A + B adalah matriks yang didapatkan dengan menambahkan
bersama-sama entri yang berbersesuaian di dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Hal ini
44
juga berlaku untuk pengurangan matriks. Secara jelas dapat di tulis sebagai
berikut:
Misal A =
dc
ba dan B =
sr
qp
Maka A + B =
dc
ba +
sr
qp
=
sdrc
qbpa
Dan A - B =
dc
ba -
sr
qp
=
sdrc
qbpa
Contoh 2
Tinjaulah matriks-matriks
A =
12
21
1
1
1
423
022
134
0
2
3
724
211
011
CB
Maka
1
1
4
307
211
145
BA dan
1
1
2
301
233
123
BA
Sedangkan A + C, B + C, A – C, dan B – C tidak didefinisikan karena ukuran
A tidak sama dengan C dan ukuran B tidak sama dengan C.
45
2.3.2 Perkalian Matriks Dengan Skalar
Definisi
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu scalar, maka hasil kali
(product) cA adalah matriks yang didapatkan dengan mengalikan setiap entri
dari A oleh c.
Secara jelas dapat di tulis sebagai berikut:
Misal A =
dc
ba sembarang skalar k, maka diperoleh perkalian matriks A
dengan skalar k adalah
kA = k
dc
ba =
kdkc
kbka
Contoh 3
Jika
0
1
2
1
1
4
A
Maka 2 A =
0
1
2
1
1
4
)1(
0
2
4
2
2
8
Adan
2.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi
Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks m x n, maka
hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai
berikut. Untuk mencari entri di dalam baris i dan kolom j dari AB, maka
pilihkan baris i dan matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-
46
entri yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan
kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.
Definisi perkalian matriks mengharuskan bahwa banyaknya kolom
dari matriks pertama A harus sama seperti banyaknya baris dari matriks
kedua B supaya membentuk hasil perkalian AB. Jika kondisi ini tidak
dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan. Maka bilangan-
bilangan yang disebelah luar akan memberikan ukuran hasil perkalian
tersebut yaitu ukuran matriks hail kalinya adalah baris matriks pertama dikali
jumlah kolom matriks kedua. Seperti diilustrasika pada gambar berikut.
Misalkan matriks A berukuran m x r dan matriks B berukuran r x n maka
ukuran hasil kali matriks AB adalah x n
Contoh 5
Tinjaulah matriks-matriks
2
1
3
012
310
111
0
1
12
21BA
Penyelesaian
Perhitungan-perhitungan untuk hasil-hasil perkalian adalah
Untuk baris (1)
1. (1 . 1) + (2 . 0) + (1 . 2) = 1
2. (1 . 1) + (2 . (-1)) + (1 . 1) = 0
3. (1 . (-1)) + (2 . 3) + (1 . 0) = 5
4. (1 . 3) + (2 . 1) + (1 . 2) = 7
AB
m x n
A
x r r m
Di dalam
Di luar
n
47
Untuk baris (2)
5. (2 . 1) + ((-1) . 0) + (0 . 2) = 2
6. (2 . 1) + ((-1) . (-1)) + (0 . 1) = 3
7. (2 . (-1)) + ((-1). 3) + (0 . 0) = -5
8. (2 . 3) + ((-1) . 1) + (0 . 2) = 5
Dari perhitungan diperoleh
5532
7501AB
2.3.4 Transpose Matriks
Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks
yang baris-barisnya merupakan kolom dari A. Atau transpose matriks dapat
didefinisikan sebagai pertukaran baris dan kolom dari matriks A.
Secara jelas dapat di tulis sebagai berikut:
Misal A =
dc
ba maka diperoleh transpose dari matriks A adalah A
t =
db
ca
Contoh
Tentukan transpose dari matriks berikut
A =
18145
40291
56341
Tranpose dari matriks A adalah
48
At =
145
806
123
494
511
2.4 Sifat-sifat Operasi Matriks
Beberapa teorema berikut ini berhubungan dengan operasi matriks.
Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian
sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka berlaku
teorema
(a) A + B = B + A (Hukum komulatif untuk
penambahan)
(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif
untuk penambahan)
(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk
perkalian)
(d) A + (B + C) = AB + AC (Hukum distributif)
(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)
(f) A(B – C) = AB – AC
(g) (B – C)A = BA – CA
(h) a(B + C) = aB + aC
(i) a(B – C) = aB – aC
(j) (a + b)C = aC + bC
(k) (a – b)C = aC – bC
(l) (ab)C = a(bC)
(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
49
Contoh 6
Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah
1
0
2
0
3
1
A
12
31B
12
01C
Maka
1
0
2
0
3
1
AB
12
31=
1
9
1
2
3
3
Sehingga
1
9
1
2
3
3
)( CAB
12
01=
1
9
1
4
21
1
Sebaliknya
12
31BC
12
01=
14
37
Sehingga
1
0
2
0
3
1
)(BCA
14
37=
1
9
1
4
21
1
Terbukti bahwa (AB)C = A(BC)
Walaupun banyak hukum-hukum ilmu hitung yang sudah biasa
dikenal akan berlaku untuk matriks. Namun hukum komutatif tidak berlaku
pada matriks yaitu AB dan BA tidak perlu sama. Kesamaan dapat gagal untuk
berlaku karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi, misalnya, bahwa AB
didefinisikan tetapi BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus jika A sebuah
matriks 2 x 3 dan B adalah sebuah matriks 3 x 4. Juga hal itu dapat terjadi
50
bahwa AB dan BA kedua-duanya didefinisikan tetapi kedua-duanya
mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Ini adalah situasi jika A adalah
sebuah matriks 2 x 3 dan B adalah sebuah matriks 3 x 2. Akhirnya, seperti
yang diperlihatkan oleh contoh kita berikutnya, maka mungkin untuk
memperoleh AB ≠ BA walaupun jika AB dan BA didefinisikan dan
mempunyai ukuran yang sama.
Contoh
Tinjaulah matriks-matriks
32
01A
03
21B
Dengan mengalikannya maka akan memberikan
411
21AB
03
63BA
Jadi AB ≠ BA
2.5 Matriks Yang Dipartisi
Sebuah matriks dapat dipartisi menjadi bagian-bagian matriks yang
lebih kecil dengan cara menyisipkan garis-garis horizontal atau vertikal
diantara baris dan kolom yang ingin dipartisi. Partisi matriks ini bermanfaat
untuk membantu kita dalam mnyelesaikan perkalian matriks berukuran besar
yaitu n ≥ 4
51
Contoh 7
Matriks A diparisi menjadi 4 bagian seperti berikut
A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
2221
1211
AA
AA
Contoh 8
Matriks A di partisi menjadi matriks-matriks baris
A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
3
2
1
r
r
r
Contoh 9
Matriks A di partisi menjadi matriks-matriks kolom
A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
= 4321 cccc
Contoh 10
a. Tentukan perkalian matriks yang dipartisi berikut ini
A =
10000
01000
03100
22010
11001
dan B =
0010
0001
3123
2231
3112
52
Penyelesaian
Maka dapat kita tulis matriks A =
2221
1211
AA
AA dan
B
2221
1211
BB
BB
Maka AB =
2221
1211
AA
AA
2221
1211
BB
BB
=
2222122121221121
2212121121121111
BABABABA
BABABABA
A11B11 =
100
010
001
23
31
12
=
23
31
12
A12B21 =
03
22
11
10
01 =
03
22
11
A11B12 =
100
010
001
31
22
31
=
31
22
31
A12B22 =
03
22
11
00
00 =
00
00
00
A21B11 =
000
000
23
31
12
=
00
00
53
A22B21 =
10
01
10
01 =
10
01
A21B12 =
000
000
31
22
31
=
00
00
A22B22 =
10
01
00
00=
00
00
A11B11 + A12B21=
23
31
12
+
03
22
11
=
26
13
03
A11B12 + A12B21=
31
22
31
+
03
22
11
=
34
00
20
A21B11 =
00
00 +
10
01 =
10
01
A21B12 + A22B22 =
00
00 +
00
00 =
00
00
Maka diperoleh
AB =
0010
0001
3426
0013
2003
54
b. Jika mungkin tentukan perkalian matriks berikut
A =
0013
1022
0111
B =
0110
1221
0101
1111
Maka AB =
2221
1211
AA
AA
2221
1211
BB
BB
=
2222122121221121
2212121121121111
BABABABA
BABABABA
A11B11 =
22
11
21
01
11
= tidak terdefinisi
Karena A11B11 tidak terdefinisi maka pekalian matriks AB yang dipartisi
tidak dapat ditemukan hasilnya. Dalam arti lain AB tidak terdefinisi.
2.6 Perkalian Matriks Dengan Kolom
Diberikan matriks A berukuran p x q dan matriks B adalah matriks
yang di partisi menjadi matriks kolom yang beruran q x n sebagai berikut
B = nbbb 21
Maka
AB = A nbbb 21 = nAAA bbb 21
Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per
kolom.
55
Contoh 11
A =
201
120
011
B =
21
03
22
B1 =
1
3
2
dan B2 =
2
0
2
AB1 =
201
120
011
1
3
2
=
4
5
1
AB2 =
201
120
011
2
0
2
=
4
2
2
Maka AB =
44
25
21
2.7 Perkalian Matriks Dengan Baris
Diberikan matriks A matriks yang di partisi menjadi matriks baris
berukuran p x q dan matriks B adalah yang beruran q x n sebagai berikut
Jika A =
na
a
a
2
1
56
maka AB =
na
a
a
2
1
B =
B
B
B
na
a
a
2
1
Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per baris.
Contoh 12
A =
2101
1221 B =
12
02
20
31
A1 = 1221
A2 = 2101
A1B = 1221
12
02
21
31
= 67
A2 = 2101
12
02
21
31
= 15
Maka AB =
15
67
57
2.8 Perkalian Matriks Dengan Baris – Kolom
Diberikan matriks A adalah matriks yang di partisi menjadi matriks
kolom yang berukuran p x q dan matriks B adalah matriks yang di partisi
menjadi matriks baris yang beruran q x n sebagai berikut
Jika B =
nB
B
B
2
1
dan A = nAAA 21
Maka AB = nAAA 21
nB
B
B
2
1
= nnBABABA 2211
Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per baris-
kolom.
Contoh 13
A =
20
21 B =
1320
2201
A1 =
0
1 dan A2 =
2
2
B1 = 2201 dan B2 = 1320
A1B1 =
0
1 2201 =
0000
2201
A2B2 =
2
2 1320 =
2640
2640
Maka AB =
2640
4441
58
2.9 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier
Diberikan matriks A berukuran m x n dan matriks X adalah matriks
matriks kolom yang beruran n x 1 sebagai berikut
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
dan x =
nx
x
x
2
1
Maka
Ax =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
=
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
2211
2222121
1212111
= x1
na
a
a
2
1
+ x2
na
a
a
2
1
+ ... + xn
na
a
a
2
1
Contoh 14
A =
123
310
121
B =
2
2
1
59
AB =
123
310
121
2
2
1
=
1
8
1
atau
AB = (1)
3
0
1
+ (-2)
2
1
2
+ (2)
1
3
1
=
1
8
1
2.10 Invers Matriks
2.10.1 Definisi
Jika A adalah matriks persegi dan jika matriks persegi B yang
berukuran sama, didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I maka A
mempunyai invers dan B disebut invers dari A.
Contoh 15
Diberikan Matriks
11
12A
Maka
21
11B adalah invers dari A
karena
AB =
11
12
21
11 =
10
01
dan
AB =
21
11
11
12 =
10
01
60
Contoh 16
Perhatikan matriks A berikut ini
023
032
011
A
matriks A di atas tidak mempunyai invers. Karena tidak ada matriks B
sedemikian hingga jika dikalikan dengan matriks A menghasilkan matriks
identitas. Atau dapat ditulis
AB ≠
100
010
001
IBA
Dalam bentuk umum dapat dituliskan
Misalkan
B =
bbbbbbbbb
333231
232221
131211
adalah sebarang matriks 3 x 3. Kolom ketiga dari BA adalah
bbbbbbbbb
333231
232221
131211
0
0
0
=
0
0
0
Jadi
100
010
001
IBA
61
2.10.2 Sifat-Sifat Invers
Berikut ini merupakan Teorema yang menunjukkan bahwa invers
suatu matriks adalah tunggal adanya. Artinya invers suatu matriks hanya ada
satu.
Teorema 2.6.2.1
Jika B dan C keduanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.
Bukti. Karena B adalah sebuah invers dari A, maka BA = I. Dengan
mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan
(BA)C = IC = C, tetapi (BA)C = (BA)C = BI = B, sehingga B = C.
Teorema 2.6.2.2
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran
sama, maka.
(a) AB dapat dibalik
(b) (AB)-1
= B-1
A-1
Teorema 2.6.2.3
Jika A adalah sebuah matriks yang mempunyai invers , maka:
a) A 1 mempunyai invers dan (A 1 ) 1
b) An mempunyai invers dan (A
n) 1 =(A 1 )
n untuk n = 0,1,2,…
c) Untuk setiap skalar k yang tidak sama dengan nol, maka kA mempunyai
invers dan (kA) 1 = 11 Ak
Bukti
(a) Karena AA 1 = A 1 A, maka A 1 mempunyai invers dan (A 1 ) 1 = A
Poin (b) dan (c) sebagai latihan pembaca
62
Untuk menentukan invers matriks berukuran 2 x 2 kita dapat
menggunakan teorema berikut ini
Teorema 2.6.2.4
Tinjaulah matriks 2 x 2
dc
baA
Jika ad – bc ≠ 0, maka
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
ac
bd
bcadA11
Contoh 17
Tentukan invers dari matriks berikut
11
12A
Penyelesaian
A-1
=
1.11.2
2
1.11.2
11.11.2
1
1.11.2
1
=
21
11
2.10.3 Menentukan invers matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss–
Jordan
Invers suatu matriks (misalkan invers A ) dapat dihitung dengan
menggunakan eliminasi Gauss–Jordan dengan menyandingkan matriks A
dengan matriks identitas yang dapat ditulis sebagai matriks yang diperbesar
[A | I] dimana ukuran matriks identitas sama dengan ukuran A. Matriks yang
63
diperbesar [A | I] dikenakan operasi baris dasar sehingga membentuk
Matriks yang diperbesar [I |A-1
]. Cara perhitungan seperti ini didasarkan
dari sifat AA-1
= I. Jika setelah melakukan eliminasi Gauss–Jordan tidak
diperoleh bentuk [I |A-1
] maka disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak
memiliki invers. Perhitungan invers ini apat digunakan untuk menentukan
selesaian dari suatu SPL.
Contoh
Diketahui A =
518
172
143
jika ada, tentukan Invers matriks A tersebut
dengan eliminasi Gauss–Jordan
Penyelesaian
[A | I] =
100518
010172
001143
Baris (1) ditambah (-1) baris (2)
100518
010172
0112111
Baris (2) ditambah (-2) baris (1)
100518
0325290
0112111
Baris (3) ditambah (-8) baris (1)
18811870
0325290
0112111
64
Baris (2) dikali (29
1 )
18811870
029
3
29
2
29
510
0112111
Baris (1) ditambah (-11) baris (2)
18811870
029
3
29
2
29
510
029
4
29
7
29
301
Baris (3) ditambah (87) baris (2)
129
29
29
58
29
11600
029
3
29
2
29
510
029
4
29
7
29
301
Baris (3) dikali (116
29 )
116
29
116
29
116
58100
029
3
29
2
29
510
029
4
29
7
29
301
65
Baris (2) ditambah (29
5 ) baris (3)
116
29
116
29
116
58100
116
5
116
7
116
11010
029
4
29
7
29
301
Baris (1) ditambah (29
3 ) baris (3)
116
29
116
29
116
58100
116
5
116
7
116
11010
116
3
116
19
116
34001
Dari matriks di atas di peroleh A-1
yaitu
A-1
=
116
29
116
29
116
58116
5
116
7
116
11116
3
116
19
116
34
Untuk membuktikan apakah jawaban tersebut benar atau tidak , makaka
hitunglah perkalian A-1
dengan A, jika hasilnya diperoleh matriks identitas
maka jawaban tersebut benar.
Diketahui matriks A =
521
142
461
jika ada, tentukan Invers matriks A
tersebut dengan eliminasi Gauss–Jordan
66
Penyelesaian
[A | I] =
100521
010142
001461
Baris (2) ditambah (-2) baris (1)
100521
012980
001461
Baris (3) ditambah baris (1)
101980
012980
001461
Baris (3) ditambah baris (2)
111000
012980
001461
Walaupun matriks belum dalam bentuk matriks baris eselon
tereduksi, tapi perhitungan sudah dapat dihentikan pada tahap ini sudah
terlihat bahwa bentuk [I | A-1
] tidak akan bisa didapatkan sehingga dapat
disimpulkan matriks A tidak memiliki invers
2.10.4 Matriks Dasar
Definisi
Suatu matriks n x n disebut matriks dasar jika matriks ini bisa diperoleh dari
matriks identitas n x n (In) dengan melakukan suatu operasi baris dasar
tunggal
67
Contoh 18
Berikut ini adalah contoh matriks dasar
100
010
011
1E , E2 =
1000
0100
0020
0001
Pernyataan 1
E1 dan E2 adalah matriks dasar yang dproleh dari matrks identitas yang
dkenakan satu kali operasi baris dasar. Jika suatu matriks dasar tersebut
dikalikan dengan matriks A yang berukuran m x n, maka hasil EA adalah
matriks yang dihasilkan jika operasi baris dasar yang sama dikenakan pada
A.
Contoh 19
Perhatikan matriks berikut
Misal A =
0421
3314
3201
dan
matriks dasar E =
103
010
001
EA =
103
010
001
0421
3314
3201
=
0424
3314
3201
Dari suatu matriks identitas I dapat dibuat suatu matriks dasar dengan
melakukan satu kali operasi baris dasar E. Maka untuk mgembalikan suatu
68
matriks dasar E untuk menjadi matriks identitas terdapat suatu operasi baris
dasar yang disebut operasi baris dasar invers dari operasi yang bersesuaian
di bagian kiri.
Berikut ini adalah operasi baris dasar dan operasi baris dasar invers
OBD pada I yang
menghasilkan E
OBD pada E yang
menghasilkan I lagi
Kalikan baris i dengan C Kalikan baris i dengan
c
1
Pertukarkan baris (i) dengan
baris lain (j)
Pertukarkan baris i dengan j
Tambahkan C kali baris i ke
baris j
Tambahkan –C kali baris ke
baris j
Contoh 20
Matriks identitas I3x3 dikenakan satu kali operasi baris dasar menghasilkan
matriks dasar
I =
100
010
001
baris (1) ditambah (1) baris (2)
100
010
011
= E
Matriks dasar i I3x3 dikenakan satu kali operasi baris dasar menghasilkan
matriks dentitas
E =
100
010
011
69
baris (1) ditambah (-1) baris (2)
100
010
001
= I
Teorema 2.6.3.1
Setiap matriks dasar mempunyai invers dan inversnya juga
merupakan matriks dasar.
Contoh 21
Pada contoh di bawah ini terlihat bahwa matriks A dan A-1
adalah matriks
dasar
A =
40
01 A
-1 =
4
10
01
B =
70
01 B
-1 =
7
10
01
Teorema 2.6.3.1
Jika A adalah matriks nxn maka pernyataan berikut ini ekivalen, yaitu
semua benar atau semua salah
a. A mempunyai invers
b. Ax = 0 mempunyai selesaian trivial
c. Bentuk baris eselon tereduksi dari A adalah In
d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks – matriks dasar
Bukti :
A mempunyai invers ada A-1
sehingga A.A 1 = I
A 1 .A = I
Misal x0 adalah selesaian dari Ax = 0
A x0 = 0 kedua ruas dikali A-1 dari kiri
70
A 1 A x0 = A 1 .0
I. x0 = 0
x0 = 0
Selesaian dari Ax = 0 adalah 0. jadi Ax = 0 mempunyai selesaian yang
trivial.
2.10.5 Menyelesaikan SPL Dengan Invers Matriks
Jika A adalah suatu matriks nxn yang mempunyai invers, maka untuk
setiap matriks bn x 1, sistem persamaan Ax= b tepat mempunyai satu selesaian
yaitu
x = A 1 b
Contoh 22
a. Tentukan selesaian dari SPL
x1 + 2x2 - x3 = 2
2x1 + 2x2 + 4x3 = -2
x1 + 3x2 - 3x3 = 6
Penyelesaian
Misal A =
331
422
121
x =
3
2
1
x
x
x
b =
6
2
2
A-1
=
12
12
315
52
39
71
x = A-1
b
x =
12
12
315
52
39
6
2
2
=
1
6
9
Jadi selesaian SPL adalah x1 = -9, x2 = 6, x3 = 1
b. Tentukan selesaian dari SPL dengan invers matriks
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
x1 + x2 + 3x3 = 1
2x1 + 4x2 + 5x3 = 3
Penyelesaian
Misal A =
542
311
321
x =
3
2
1
x
x
x
b =
3
1
5
A-1
=
102
011
327
x = A-1
b
x =
102
011
327
3
1
5
=
7
4
24
Jadi selesaian SPL adalah x1 = -24, x2 = 4, x3 = 7
72
Teorema 2.6.3.2 (Perluasan Teorema 2.6.3.1)
Jika A adalah suatu matriks nxn,maka pernyataan berikut ekuivalen
a. A mempunyai invers
b. A X = 0,hanya mempunyai selesaian trivial
c. Bentuk baris eselon tereduksi dari A adalah In
d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar
e. A X = b konsisten matriks bnx1
f. A X = b mempunyai tepat satu selesaian, matriks bn x 1
Teorema 2.6.3.2 (Perluasan dari Teorema 2.6.3.2)
Jika A adalah suatu matriks nxn,maka pernyataan berikut ekuivalen
a. A mempunyai invers
b. A X = 0,hanya mempunyai selesaian trivial
c. Bentuk baris eselon tereduksi dari A adalah In
d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar
e. A X = b konsisten matriks bn x 1
f. A X = b mempunyai tepat satu selesaian, matriks bn x 1
g. Determinan A ≠ 0
2.10.6 Suatu Masalah Mendasar
Diberkan matriks A berukuran mxn dan matriks b adalah matriks
kolom berukuran mx1 sedemikian hingga SPL yang diubah dalam bentuk Ax
= b konsisten.
73
Contoh 23
a. Tentukan nilai a agar SPL berikut konsisten
x + 2y – 3z = 4
3x – y + 5z = 2
4x + y + (a2 – 14)z = a + 2
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari SPL diatas adalah
)2(1414
2513
4321
2 aa
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks di atas kita peroleh
)4(1600
101470
4321
2 aa
Kasus I
Jika a = 4 maka a2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0
Maka diperoleh matriks
0000
101470
4321
Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL mempunyai tak hingga
selesaian.
Kasus II
Jika a = -4 maka a2 – 16 = 0 dan a – 4 = -8
Maka diperoleh matriks
74
8000
101470
4321
Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL tidak mempunyai
selesaian.
Kasus II
Jika a ≠ ± 4 maka a2 – 16 ≠ 0 dan a – 4 ≠ 0
Maka diperoleh matriks
16
4100
101470
4321
2a
a
Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL mempunyai tepat satu
selesaian.
Dari tiga kasus di atas dapat ditarik kesimpulan
1. Sistem persamaan linier mempunyai mempunyai tak hingga selesaian
jika a = 4
2. Sistem persamaan linier mempunyai tidak mempunyai selesaian jika a = -
4
3. Sistem persamaan linier mempunyai mempunyai tepat satu selesaian jika
a = ±4
b. Syarat b1, b2, b3 agar SPL berikut konsisten
x1 + x2 + 2x3 = b1
x1 + + x3 = b2
2x1 + x2 + 3x3 = b3
75
Penyelesaian
Matriks yang diperbesar dari SPL diatas adalah
3
2
1
312
101
211
b
b
b
Baris (2) di tambah baris (1)
3
12
1
312
110
211
b
bb
b
Baris (3) di tambah (-2) baris (1)
13
12
1
2110
110
211
bb
bb
b
Baris (2) di kali (-1)
13
21
1
2110
110
211
bb
bb
b
Baris (3) di tambah baris (2)
2113
21
1
2000
110
211
bbbb
bb
b
Dari matriks terlihat bahwa agar SPL konsisten haruslah b3 – b2 – b1 = 0
Sehinnga diperoleh b3 = b2 + b1 atau b2 = b3 – b1
b1 = b3 – b2
Misal b1 = 3, b2 = 1, maka b3 = b2 + b1 = 1 + 3 = 4
76
Latihan
1. Buatlah contoh dari masing-masing matriks berikut
a. Matriks persegi
b. Matriks baris
c. Matriks kolom
d. Matriks Mendatar
e. Matriks tegak
f. Matriks nol
g. Matriks diagonal
h. Matriks identitas
i. Matriks segitiga atas
j. Matriks segitiga bawah
k. Matriks simetri
l. Matriks skalar
2. Perhatikan matriks berikut
A =
0000
101470
4321
,
B =
331
422
121
,
C =
5321
23112
0275
9219
,
77
D =
731
426
191
Tentukan
a. AB, AC, AD
b. BA, BC, BD
c. CA, CB, CD
d. A – B, A - C, A – D
e. B - A, B - C, B - D
f. C - A, C - B, C - D
g. 8A, 3B, -6D, 7C
h. TRanspose dari matriks A, B, C, D
3. Buktikan masing-masing sifat operasi matriks berkiut
a. A + B = B + A
b. A + (B + C) = (A + B) + C
c. A(BC) = (AB)C
d. A + (B + C) = AB + AC
e. (B + C)A = BA + CA
f. A(B – C) = AB – AC
g. (B – C)A = BA – CA
h. a(B + C) = aB + aC
i. a(B – C) = aB – aC
j. (a + b)C = aC + bC
k. (a – b)C = aC – bC
l. (ab)C = a(bC)
m. a(BC) = (aB)C = B(aC)
78
4. Diberikan matiks sebagai berikut
A =
342
014
552
B =
352
328
806
Tentukan
a. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks baris
b. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks kolom
c. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks baris-kolom
d. Tentukan perkalian AB sebagai kombinasi linier
5. Tentukan manakah dari matriks berikut yang merupakan matrks dasar!
a. P =
10
12
b. Q =
13
01
c. R =
20
02
d. S =
100
001
010
e. T =
100
100
010
79
f. U =
100
310
001
g. V =
30
01
h. W =
0001
0100
0010
1002
i. X =
0000
0100
0010
1001
6. Perhatikan matriks berikut
A =
25
01
B =
105
015
001
a. Tentukan A sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar
b. Tentukan B sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar
c. Tentukan A-1
sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar
7. Dengan mereduksi matriks berikut menjadi matriks identitas, Tentukan
invers dari matriks berikut
A =
342
011
552
80
B =
521
142
461
C =
801
352
321
D =
352
321
801
8. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan selesaian dari SPL
berikut
e. 2x + z = 2
–2x + y = –1
x + 2y + z = 6
f. -x + 2z = 1
–x + y – 2z = 0
x + y + 5z = 3
g. x + 2y - 3z = 1
2x - 5y + 3z = 6
x + y - 8z = –6
9. Diketahui SPL berbentuk :
ax + 2y = 2
x +by = 2
a. Tentukan nilai a dan b agar SPL memiliki penyelesaian tunggal,
kemudian tulis penyelesaian SPL nya !
b. Tentukan nilai a dan b agar SPL memiliki penyelesaian banyak,
kemudian tulis penyelesaian SPL nya!
81
10. Diketahui SPL
a2x + by = 1
x – y = 1
Tentukan nilai untuk a dan b agar SPL memiliki banyak penyelesaian
dan tulis penyelesaian SPL tersebut !
11. Syarat apa yang dipenuhi b1,b2,b3 agar SPL berikut konsisten
x1 + x2 + 2x3 = b1
x1 + + x3 = b2
2x1 + x2 + 3x3 = b3
12. Diketahui SPL berikut :
a2 x + y – z = a
x + by – z = –1
by + z = 0
Tentukan semua nilai untuk a dan b agar SPL memiliki solusi banyak,
kemudian untuk setiap pasangan nilai a dan b tersebut tuliskan solusi
SPL !
82
83
BAB III
DETERMINAN MATRIKS
Dalam bab ini akan membahas determinan, sifat-sifat determinan, aturan
cramer. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan mahasiswa dapat
menentukan selesaian dari suatu sistem persamaan linier dengan aturan
cramer.
3.1 Definisi
Misalkan A adalah suatu matriks persegi. Determinan matriks A yang
disimbulkan dengan det(A) dapat didefinisikan sebagai penjumlahan semua
hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.
Dari definisi di atas dapat dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:
det(A) =
njjj
nn jajajaja
,,
332211
21
Beberapa hasil pencarian untuk menentukan determinan matriks akan
dijabarkan sebagai berikut:
a. Untuk matriks berukuran 2 x 2
2221
1211
aa
aaA
Perhatikan pola beikut untuk menentukan determinan dari matriks A
2221
1211
aa
aa
- +
Dari pola di atas akan diperoleh rumus det(A) sebagai berikut:
det (A) = a11a22 – a12a21
84
b. Untuk matriks berukuran 3 x 3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Perhatikan pola beikut untuk menentukan determinan dari matriks A
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
- - - + + +
Dari pola di atas akan diperoleh rumus det(A) sebagai berikut:
det (A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 – a12a23a32 –
a13a22a31
c. Untuk matriks berukuran 4 x 4
44414241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
det (A) = a11a22a33a44 + a11a23a34a42 + a11a24a32a43 + a12a21a34a43 + a12a23a31a44 +
a12a24a33a41 + a13a21a32a44 + a13a22a34a41 + a13a24a31a42 +
a14a21a33a42 + a14a22a31a43 + a14a23a32a41 – (a11a22a34a43 +
a11a23a32a44 + a11a24a33a42 + a12a21a33a44 + a12a23a34a41 +
a12a24a31a43 + a13a21a34a42 + a13a22a31a44 + a13a24a32a41 +
a14a21a32a43 + a14a22a33a41 + a14a23a31a42)
85
3.2 Menghitung Determinan
Diberikan matriks
11
21A dan
211
112
101
B
Dengan metode pencarian determinan matriks diperoleh
Det (A) = 1 (1) – (2) (-1) = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3 dan
Det (B) = (1)(1)(2) + (0)(1)(-1) + (1-)(2)(1) – ((-1)(1)(-1) + (1)(1)(1) +
(0)(2)(2))
= 2 + 0 + (-2) – (1 + 1 + 0)
= 0 – (2)
= -2
3.3 Sifat-Sifat Determinan
Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:
1 Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris
bilangan nol, maka det(A) = 0.
Contoh
Det
271
000
151
A = 0
2 Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-
entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann
Contoh
Det
200
050
151
A = (1) . (5) . (2) = 10
86
3 Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A
dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)
Jika
211
112
101
A dan
422
224
202
B
Kita telah menghitung determinan A
Det
211
112
101
A = -2
maka det
422
224
202
B = (2) (-2) = -4
karena matriks B = 2A
4 Jika A adalah sebarang matriks pesegi yang terdapat suatu kolom
sebanding dengan kolom yang lain maka det (A) =0
Contoh
A
4 7 2
2 5 1
6 0 3
karena kolom pertama dan ketiga matriks A sebanding, maka det(A) = 0
5 Jika A adalah sebarang matriks pesegi, maka det A = det At.
Contoh
Diberikan
148
723
516
A
87
Maka Transpos matriks A adalah,
175
421
836tA
Mari kita cari det (A)
148
723
516
det
A
= ( ) ( ) (5)
6
2 7
4 11
3 7
8 1
3 2
8 4
( )( ) ( )( ) (5)( )6 2 28 1 3 56 12 16 83 (i)
175
421
836
det
tA
= ( ) ( ) ( )
6
2 4
7 13
1 4
5 18
1 2
5 7
83)107)(8()201)(3()282)(6( (ii)
Dari penyelesaian di atasdiperoleh bahwa det A = det At
6 Jika A dan B adalah dua matriks berukuran n x n, maka det (A + B) det
A + det B
Contoh
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
053
342
121
A B
2 0 5
3 1 3
4 6 7
88
A B
1 2 1
2 4 3
3 5 0
2 0 5
3 1 3
4 6 7
1 2 6
5 5 0
7 11 7
053
342
121
det A
= ( ) ( ) ( )14 3
5 02
2 3
3 01
2 4
3 5
1)1210)(1()90)(2()150)(1( ...(1)
764
313
502
det
B
= ( ) ( ) (5)
21 3
6 70
3 3
4 7
3 1
4 6
20)418)(5()1221)(0()187)(2( ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
det A + det B = -1 + (- 20) = -21 ...(3)
Sekarang kita mencari det (A + B)
7117
055
621
)det(
BA
= ( ) ( ) ( )
15 0
11 72
5 0
7 76
5 5
7 11
15)3555)(6()035)(2()035)(1(= ...(4)
Dari (3) dan (4) diperoleh det (A + B) de A + det B
89
7 Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam
baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A”
dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam
baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) +
det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]
8 Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka
det(AB) = det(A) det(B)
Contoh
Perhatikan matriks-matriks berikut,
A
1 3 0
4 6 1
5 0 2
B
3 1 4
2 0 6
1 5 3
351
602
413
205
164
031
AB
261513
5591
2213
det A
1 3 0
4 6 1
5 0 2
= (1) 6 1
0 2
(3)
4 1
5 2
+ (0)
4 6
5 0
90
= ( )( ) ( )(8 ) ( )( )1 12 0 3 5 0 0 30 3 ...(1)
det B
3 1 4
2 0 6
1 5 3
= (3) 0 6
5 3 (1)
2 6
1 3 (4)
2 0
1 5
( )( ) ( )( ) ( )( )3 0 30 1 6 6 4 10 0 130 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh,
(det A)(det B) = 3(-130) = -390
Sekarang kita hitung det (AB)
det( )AB
3 1 22
1 9 55
13 15 26
= (3)
9 55
15 26 (1)
1 55
13 26 + (22)
1 9
13 15
( )( ) ( )( ) ( )( )3 234 825 1 26 715 22 15 117 390
Dari penyelesaian di atas dapat disimpulkan bahwa det (AB) = det (A).det
(B)
9 Sebuah matriks persegi mempunyai invers jika dan hanya jika det(A) 0
Contoh
Perhatikan matriks-matris berikut,
A
4 7 2
2 5 1
6 0 3
91
B
6 4 3
4 3 4
3 2 2
Det (A) = 0 karena A tidak mempunyai invers
1)98)(3()128)(4()86)(6(
23
34 )3(
23
44 )4(
22
43 )6(
223
434
346
det
B Karena det B = 1
0, maka matriks A mempunyai invers.
10 Jika A dapat dibalik, maka det(A-1
) = )det(
1
A
Contoh 1
A-1
=
5
1
5
45
2
5
3
maka
det(A-1
) = (-3/5)(-1/5) – (4/5)(2/5)
= 3/25 – 8/25
= -5/25
= -1/5
karena det(A) = -5
maka berlaku det(A-1
) = 1/det(A) = -1/5
92
11 Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka AA
A 1 1
detadj
Contoh
Diberikan matriks A sebagai berikut
A
1 2 1
2 4 1
3 0 2
Kofaktor-kofaktor matriks A ini adalah
C11
4 1
0 28 = = C12
2 1
3 27 = =
C13
2
312 =
4
0 =
C21
2 1
0 25 = =
C22
1 1
3 25 = =
C23
1 2
3 06 = =
C31
2 1
4 16 = =
C32
1 1
2 11 = =
93
C33
28 =
1
2 4 =
Determinan matriks A adalah (dengan menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang baris pertama),
det ( )(8) ( )( ) ( )( )A a C a C a C 11 11 12 12 13 13 1 2 7 1 12 34
Matriks kofaktornya adalah,
8 7 12
4 5 6
6 1 8
Matriks adjoin A adalah,
adj A
8 4 6
7 5 1
12 6 8
Sekarang kalikan matriks A dengan adj A,
8612
157
648
203
142
121
)A (adj A
3400
0340
0034
100
010
001
34
= det A (I)
94
Dari hasil perkalian ini diperoleh bahwa A (adj A) = det A (I). Jika ruas kanan
dan kiri dikalikan dengan A maka diperoleh
AA
1 1
detadj A
3.4 Aturan Cramer
Teorema 3.4.1
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam
n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut
mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah
x1 = )det(
)det( 1
A
A, x2 =
)det(
)det( 2
A
A, …, xn =
)det(
)det(
A
An
dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-
entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
B =
nb
b
b
2
1
3.5 Menyelesaikan SPL Dengan Aturan Cramer
Salah satu metode untuk menentkan selesaian dari suatu sistem
persamaan linier adalah dengan menggunakan aturan cramer.
95
Contoh 2
a. Carilah selesaian dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan
cramer.
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 – 2x2 + 3x3 = 8
ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks
A =
321
643
201
Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk
matriks A1, A2 dan A3. seperti dibawah ini.
A1 =
328
6430
206
, A2 =
381
6303
261
,
A3 =
821
3043
601
Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat
menggunakan Menghitung Determinan Menggunakan Kofaktor.
det(A) =
321
643
201
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1
M11 + a12(-1)1+2
M12 + a13(-1)1+3
M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 132
64
– 0
31
63
+ 2
21
43
96
= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]
= 24 – 0 – 20 = 44
det(A1) =
328
6430
206
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1
M11 + a12(-1)1+2
M12 + a13(-1)1+3
M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 632
64
– 0
38
630 + 2
28
430
= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]
= 144 – 0 – 184 = -40
det(A2) =
381
6303
261
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1
M11 + a12(-1)1+2
M12 + a13(-1)1+3
M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 138
630 – 6
31
63
+ 2
81
303
= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]
= 42 + 18 + 12
= 72
det(A3) =
821
3043
601
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1
M11 + a12(-1)1+2
M12 + a13(-1)1+3
M13
97
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 182
304
– 0
81
303
+ 6
21
43
= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]
= 92 – 0 + 60 = 152
Berdasarkan Teorema 3.4.1 diatas, maka diperoleh:
x1 = )det(
)det( 1
A
A=
44
40 =
11
10
x2 = )det(
)det( 2
A
A=
44
72 =
11
18
x3 = )det(
)det(
A
An = 44
152=
11
38
b. Carilah selesaian dari sistem persamaan linier dibawah ini menggunakan
aturan cramer.
2 2 2
10 3 5
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
Penyelesaian:
Dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linier ini dapat dituliskan
sebagai AX = B yaitu,
111
3101
212
A
3
2
1
x
x
x
X
3
5
2
B
Kita ganti komponen-komponen kolom pertama matrik A dengan komponen-
komponen matriks B, sehingga diperoleh matriks baru yaitu,
98
113
3105
212
1A
Kita ganti komponen-komponen kolom kedua matrik A dengan komponen-
komponen matriks B, sehingga diperoleh matriks baru yaitu,
131
351
222
2A
Kita ganti komponen-komponen kolom ketiga matrik A dengan komponen-
komponen matriks B, sehingga diperoleh matriks baru yaitu,
311
5101
212
3A
Tentukan determinan matriks-matriks A, A1, A2, dan A3 (akan ditentukan
dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama)
111
3101
212
det
A
=210 3
1 11
1 3
1 12
1 10
1 1
( )
4622226)101(2)31)(1()310(2
113
3105
212
det 1
A
99
= 210 3
1 11 2
5 3
3 1
5 10
3 1
( )
9270426)305(2)9)(51()3+10(2=
131
351
222
det 2
A
=
31
51 2
11
31 2
13
35 2
0448)53(2)31(2)95(2=
311
5101
212
det 3
A
= 210 5
1 31
1 5
1 32
1 10
1 1
( )
4622270)111(2)53)(1()530(2=
Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas
adalah,
xA
A1
1 92
462
det
det x
A
A2
2 0
460
det
det
xA
A3
3 46
461
det
det
100
Latihan
1. Hitunglah determinan invers matriks-matris berikut tanpa harus
menghitung inversnya dahulu
243
131
142
A
4162
6153
2434
1321
B
2. Diberikan matrik A sebagai berikut,
A
1 3 0
2 6 4
1 0 2
a. Tentukanlah kofaktor-kofaktor matriks tersebut
b. Hitunglah det A dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua
c. Tentukanlah adj A
d. Tentukanlah A-1
dengan menggunakan hasil dari (b) dan (c)
3. Buktikanlah bahwa det A = det At untuk matriks-matriks berikut
A
5 1 8
15 3 6
10 4 2
B =
425
5610
143
101
4. Perhatikan matrik pada soal nomor 3 no Hitunglah
a. det(5A)
b. det (3B)
c. det (2C)
5. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks
berikut,
A
2 1 0
3 4 0
0 0 2
B
4 1 4 2
1 3 1 1
2 4 5 3
6 7 8 0
6. Tentukanlah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers atau
tidak, tanpa harus menghitung inversnya terlebih dahulu. Jika
mempunyai invers hitunglah determinan inversnya.
A =
613
211
412
B =
4382
0001
3162
2743
102
7. Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini,
P =
97
56
Q =
425
5610
143
Tentukanlah
a. Determinannya,
b. Adjoinnya
c. Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.
8. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer
dan eliminasi Gauss-Jordan. Kemudian bandingkan hasilnya
a.
3 7 9 4
4 4 7
2 3 0
2 4 6 6
x y z w
x y z w
x z w
x y z w
b.
x y z
x y z
x y z
2 0
3 3
2 5 3 4
c.
3 3
2 2 3 1
2 2
x y z
x y z
x y z
103
BAB IV
VEKTOR
Dalam bab ini akan membahas vektor, hasil kali titik, hasil kali silang,
panjang dan jarak dua vektor, vektor orthogonal. Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan panja dan jarak dua vektor
serta dapat membedakan vektor-vetor yang orthogonal
4.1 Pengantar Vektor
4.1.1 Definisi
Vektor dalam R2 dan R
3 dapat didefinisikan sebagai segmen garis
berarah atau panah. Ekor panah disebut titik dari vektor dan ujung panah
disebut titik akhir dari vektor.
a b
Vektor dilambangkan dengan ABa
4.1.2 Kesamaan Dua Vektor
Vektor v ekuivalen dengan w jika arah dan ukurannya sama.
w v
w dan v ekuivalen karena ukuran dan arahnya sama
104
4.1.3 Aljabar Vektor
Definisi Jumlah Dua Vektor
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v + w
adalah vektor yang di temukan sebagai berikut:
Tempat vektor w sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpit dengan
titik akhir vektor v . Vektor v + w diawali oleh anak panah yang titik
awalnya v hinggan titik akhir w . Penjumlahan dua vektor dapat
diilustrasikan sebagiai berikut:
v + w =
3
2
1
a
a
a
+
3
2
1
b
b
b
=
33
22
11
ba
ba
ba
Secara grafik penjumlahan dua vektor sebagai berikut
Contoh
Diberikan vektor a dan b berikut. Tentukan a + b
a =
3
5
2
b =
6
3
4
v
w
v + w v
w
v + w w
v
(v + w = w + v)
v w
105
Maka diperoleh
a + b =
3
5
2
+
6
3
4
=
63
35
42
=
9
8
6
Definisi Selisih Dua Vektor
Jika v dan w adalah sembarang vektor, maka selisih w dari v dirumuskan
sebagai berikut :
v - w =
3
2
1
a
a
a
-
3
2
1
b
b
b
=
33
22
11
ba
ba
ba
Secara grafik selisih dua vektor sebagai berikut
Contoh
Diberikan vektor a dan b berikut. Tentukan a - b
a =
3
5
2
b =
6
3
4
Maka diperoleh
a - b =
3
5
2
-
6
3
4
=
63
35
42
=
3
2
2
-w w
-w
v v - w v v
w
v - w
106
Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor dengan skalar merupakan perkalian vektor dengan
bilangan real dirumuskan sebagai berikut:
k a = k
3
2
1
a
a
a
=
3
2
1
ka
ka
ka
Contoh
Dberikan vektor a dan skalar k = 3
a =
3
5
2
k a = (3)
3
5
2
=
33
53
23
x
x
x
=
9
15
6
4.1.4 Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol (berupa titik).
Penjumlahan vektor nol didefinisikan sebagai berikut:
0 + v = v + 0 = v
Definisi
Jika v adalah vektor tak nol, k adalah bilangan real tak nol, hasil k v
didefinisikan sehingga vektor yang panjangnya │k│ kali panjang v dan
arahnya sama dengan v jika k >0, arahnya berlawanan dengan v jika k < 0,
dan didefinisikan k v = 0 jika k = 0 atau v = 0
107
P1 = (x, y, z)
P2 = (x2, y2, z2)
P1P2 = P2 – P1
= (x2, y2, z2) – (x1, y1, z1)
= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Contoh
Tentukan komponen – komponen v yang titik awalnya dititik awal P1 = (2, 4,
6) dan titik akhirnya dititik awal P2 = (1, 2, 4)
Penyelesaian
v = P2 – P1= (1, 2, 4) – (2, 4, 6) = (-1, -2, -2)
4.1.5 Vektor Negatif
Vektor v adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor v dan
panjangnya sama dengan vektor v .
Contoh
Diberikan v = (1, 2, 4)
Maka - v = (-1, -2, -4)
v
-v
v -v
108
4.1.6 Sifat-Sifat Aritmaika Vektor
Teorema 4.1.7
Sifat aritmatika vektor jika u , v dan w adalah vektor pada R2 atau R
3
sedangkan k dan l adalah skalar maka aturan-aturan berikut ini berlaku:
a. u + v = v + u
b. (u + v) + w = u + (v + w)
c. u + 0 = 0 + u= u
d. u+ (-u) = 0
e. k (lu) = (kl) u
f. k (u+ v) = ku + kv
g. (k + k) u = ku + lu
h. 1u = u
Bukti (b)
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
w = (w1, w2, w3)
(u + v) + w = [ (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ] + (w1, w2, w3)
= [ (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) ] + (w1, w2, w3)]
= [ (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2, u3 + v3 + w3) ]
= [ (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 + w3) ]
= (u1, u2, u3) + [ (v1 + w1, v2 + w2, v3 + v3)]
= (u1, u2, u3) + [(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)] = u + (v + w)
109
4.2 Hasil Kali Titik Dari Vektor
Definisi
Jika v dan u adalah vektor – vektor pada R2 dan R
3 dan θ adalah sudut
antara u dan v , maka hasil titk u . v didefinisikan oleh
u v cos θ, jika u ≠ 0 dan u ≠ 0
u . v =
0 jika u = 0 atau v = 0
Contoh :
Di ketahui u = (0, 0, 2) dan v = (0, 3, 3) tentukan u . v !
Penyelesaian
u = 222 200 = 2
v = 222 330 = 18 = 3 2
u , v = u v cos θ
= 2 . 3 2 . Cos 45 = 6
Teorema berikut akan membahas sifat–sifat hasil titik
y
x
z v = (0, 3, 3)
u = (0, 0, 2)
= 45 o
110
Teorema 4.2.1
Jika u, v dan w vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau
berdimensi 3 dan k adalah skalar, maka
a. u.v = v.u
b. u (v + w) = u.v + u.w
c. k (u.v) = (k.u). v = u. (k.v)
d. u.v >0 jika v ≠ 0 dan
e. u.v = 0 jika v = 0
Pembuktian: (c)
Misal : u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
k (u.v) = k [(u1, u2, u3) (v1, v2, v3)]
= k (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3)
= (k (u1.v1)) + (k (u2.v2)) + (k (u3.v3))
= u1 (k.v1) + u2 (k.v2) + u3 (k.v3)
= u (k.v)
k (u.v) = k [(u1, u2, u3) (v1, v2, v3)]
= k (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3)
= (k (u1.v1)) + (k (u2.v2)) + (k (u3.v3))
= (k. u1) v1 + (k. u2 ) v2 + (k .u3 ) v3
= (k. u) v
Terbukti bahwa k (u.v) = u (k.v) = (k. u) v
111
4.3 Panjang Dan Jarak Dua Vektor
Definisi
Norma suatu vektor adalah ukuran atau panjang suatu vektor. Panjang vektor
u disimbulkan u
Misal u = (u1, u2) pada ruang berdimensi 2 seperti gambar berikut
Berdasarkan teorema pythagoras
u = 2
2
2
1 UU
Misal u = (u1, u2, u3) pada ruang berdimensi 3
Berdasarkan teorema pythagoras
u 2 =
2
OR + 2
RP
= 2
OQ + 2
QR + 2
RP
= 2
OQ + 2
OS + 2
RP
= u12 + u2
2 + u3
2
u
u2
u1
R
P
Q
O y
x
z
u2
u1
1
u3
u
112
u = 2
3
2
2
2
1 uuu ... (1)
Jika P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) maka jarak (d) antara P1 ke P2 ( 21PP )
Dari (1) diperoleh
d = 2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx
Contoh
a. Tentukan panjang vektor u = (2, 7, 5)
b. Tentukan jarak antara P1 = (2, 6, 8) dan P2 = (4, 6, 10)
Jawab
a. u = 222 572 = 78
b. d = 222 )810()66()24( = 404
= 8 = 2 2
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
x
z
y
113
4.4 Menentukan Sudut Antar Dua Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang
berdimensi 3. θ adalah sudut antara u dan v yang diasumsikan titik awal u
dan v berhimpit. Dimana 0 ≤ θ ≤ л
Misal terdapat vektor u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), maka kita dapat
menentukan sudut antara v dan u dengan rumus sebagai berikut
u.v = u v cos θ atau
vu
vu.cos dimana u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3
Definisi
Apabila diketahui a =
3
2
1
a
a
a
dan b =
3
2
1
b
b
b
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|
2 + |b|
2 + 2|a||b| cos
u u
u v v
u
v u
v
114
4. |a – b|2 = |a|
2 + |b|
2 – 2|a||b| cos
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
Contoh
Diketahui u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) tentukan sudut θ!
Penyelesaian
u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3
= 2.1 + 1. (-1) + 2.1 = 3
u = 222 1)1(2 = 6
v = 222 21)1( = 6
vu
vu.cos =
66
3 =
6
3 =
2
1
maka θ = 60
Teorema 3.3.1
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau
berdimensi 3 maka
a. v.v = v 2 yaitu v = (v.v) 2/1
b. Jika vektor – vektor u dan v adalah tak nol dan θ sudut diantaranya maka:
θ adalah lancip jika dan hanya jika u.v > 0
θ adalah tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
θ = л/2 jika dan hanya jika u.v = 0
Bukti
a. v.v = v 2
Misal θ adalah sudut antara v dan v maka θ = 0
v.v = v v cos θ
= v v cos 0 = v v . 1 = v 2
115
b. θ memenuhi 0 ≤ θ ≤ л
θ lancip jika dan hanya jika cos θ > 0
θ tumpul jika dan hanya jika cos θ < 0
θ = л/2 jika dan hanya jika cos θ = 0
u.v = u v cos θ dan u > 0, v > 0
cos θ > 0 maka u.v > 0
cos θ > 0 maka u.v < 0
cos θ = 0 maka u.v = 0
Contoh
Diketahui u = (1, -2, 3), v = (-3, 4, 2) dan w = (3, 6 ,3)
Tentukan jenis sudut antara :
a. u dan w
b. v dan w
c. u dan w
Penyelesaian
a. u.v = 1.(-3) + (-2).4 + 3.2 = -5 , mak θ adalah sudut tumpul
b. v.w = (-3).3 + 4.6 + 2.3 = 21, maka θ adalah sudut lancip
c. u.w = 1.3 + (-2).6 + 3.3 = 0 , maka θ adalah sudut siku – siku
4.5 Vektor – Vektor Ortogonal
Definisi
Dua vektor tak nol adalah ortogonal jika dan hanya jika hasil kali titiknya
adalah nol. u dan v ortogonal jika u.v = 0 dan u v.
116
Contoh
Tunjukan bahwa pada ruang berdimensi 2 vektor tak nol n = (a, b) adalah
tegak lurus terhadap garis ax + by + c = 0
Penyelesaian
Misalkan titik P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) terletak pada garis maka 21PP = (x2
– x1, y2 – y1) karena vektor 21PP terletak pada garis, kita bisa langsung
membuktikan n 21PP
P2 = ax2 + by2 + c = 0
P1 = ax1 + by1 + c = 0
(ax2 – ax1) + (by2 – by1) = 0
a (x2 – x1) + b (y2 – y1) = 0
(a,b) (x2 – x1, y2 – y1) = 0
n . 21PP = 0, dapat disimpulkan bahwa n 21PP
Jadi n garis ax + by + c = 0
ax + by + c = 0
x
y
117
Latihan
1. Diketahui
3
2
3
u dan
4
3
2
v , tentukan:
a. vu 32
b. vu 3
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1, 2), B(6, 1, 3), dan C(6, 7, 2). Jika
u mewakili AB dan v mewakili AC . Tentukan sudut yang dibentuk
oleh vektor u dan v
3. Tentukan besar sudut antara vektor
3
3
2
4
2
3
bdana
4. Diberikan vektor–vektor u = 2i – 2j + 3k dan v = i + 3j + 2k. Tentukan
besar sudut yang dibentuk vektor u dan v
5. Diketahui vector a = 3i – 2j + k dan vector b = 2i – 4j + 5k. Tentukan
proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b
6. Tentukan nilai x yang memenuhi agar vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k,
7. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k tegak lurus. dan
diberian vektor c = –2i + 3j – 5k. Tentukan
a. a – c
b. b – c
118
8. Diketahui panjang proyeksi vektor
1
3
3
a pada vektor
3
3
pb
adalah 2
3.
Tentukan nilai p
9. Diberikan u , v dan w saling tegak lurus. Jika vektor
3
2
1
a ,
1
4
5
b dan
1
4
5
c . Tentukan
a. ba 32
b. cba 32
10. Diketahui 5x , dan
4
3y , jika sudut antara x dan y lancip
dan panjang proyeksi x pada y sama dengan 2, tentukan komponen
vektor x
11. Diketahui
5
4
2
u dan
2
3
4
v . Tentukan proyeksi vektor ortogonal u
pada v
12. Tentukan nilai x agar vektor-vektor
x
bdana 4
2
2
1
3
saling
tegak lurus.
119
BAB V
RUANG VEKTOR REAL
Dalam bab ini akan membahas ruang vektor, sub ruang, kombinasi linier,
kebebasan linier, merentang, basis dan dimensi. Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan basis dan dimensi suatu
ruang vektor.
5.1 Ruang Vektor
Definisi
Ruang vektor x adalah himpunan x yang dilengkapi oleh dua operasi.
1.Operasi Penjumlahaan
a. A,B Є x A + B Є x
b. A + B = B + A komutatif
c. (A + B) + C = A + (B + C) asosiatif
d. Ada vektor 0 Є x sehingga A + 0 = 0 + A = A A Є x Identitas
e. A Є x, ada –A sehingga A + -A = O
2. Perkalian Skalar
f. k Є R, A Є x k.A Є x
g. k (A + B) = kA + kB, A,B Є x, k Є R
h. k + l)A = kA + lA, A,B Є x, k, l Є R
i. k(lA) = (kl)A, A,B Є x, k, l Є R
j. IA = A, AЄ x
Contoh 1
Diketahui vektor x = {(a1, a2, ..., an) | ai Є R, i = 1, 2, ..., n}. Apakah x ruang
Vektor?
120
Penyelesaian: (bukti)
1. Operasi Penjumlahaan
a. A, B Є x A + B Є x
Ambil A,B Є x
A = (a1, a2, ..., an)
B = (b1, b2, ..., bn)
A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
A + B Є x memenuhi
b. A + B = B + A
A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
= (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)
= (b1, b2, ..., bn) + (a1, a2, ...,an)
A + B = B + A memenuhi
c. (A + B) + C = A + (B + C)
C = (c1, c2, ..., cn)
(A + B) + C
= (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) + (c1, c2, ..., cn)
= (a1 + b1+ c1, a2 + b2 + c2, ..., an + bn + cn)
= (a1, a2 ..., an) + (b1 + c1, b2 + c2, ..., bn + cn)
(A + B) + C = A + (B + C) memenuhi
d. 0 Є x sehingga A + 0 = 0 + A = A
A + 0 = (a1, a2, ..., an) + (0, 0, ..., 0)
= (a1 + 0, a2 + 0, ..., an + 0)
= ( 0 + a1, 0 + a2, ..., 0 + an)
A + 0 = 0 + A = A memenuhi
e. -A sehingga A + (-A) = 0
A = (a1, a2, ..., an)
- A = (-a1, -a2, ...,-an)
121
A + (-A) = (a1 + (-a1), a2 + (-a2), ..., an + (-an))
A + (-A) = (0, 0, ..., 0) memenuhi
2. Operasi Perkalian Skalar
f. k Є R, A Є x kA Є x
A Є x A = (a1, a2, ..., an)
kA = k (a1, a2, ..., an)
kA = (ka1, ka2, ..., kan) kA Є x, memenuhi
g. k (A + B) = kA + kB
A Є x (a1, a2, ..., an)
B Є x (b1, b2, ..., bn)
k (A + B) = k [(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn)]
= k [a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn]
= [ ka1 + kb1, ka2 + kb2, ..., kan + kbn)
= [ ka1, ka2, ..., kan] + [ kb1, kb2, ..., kbn]
k (A + B) = kA + kB memenuhi
h. (k + l) A = kA + lA
A Є x (a1, a2, ..., an), l Є R
(k + l) A = (k + l) (a1, a2, ..., an)
= [ (k + l a1, (k + l) a2, ..., (k + l) an]
= ka1 + la1, ka2 + kb2, ..., kan + lan
= k (a1, a2, ..., an) + l (a1, a2, ..., an)
= kA + lA memenuhi
i. k (lA) = (kl) A
k (lA) = k (la1,la2, ...,lan)
= kla1, kla2, ..., klan
= kl (a1, a2, ..., an)
= kl (A) memenuhi
122
j. IA = A
IA = I (a1, a2, ..., an)
= (a1, a2, ..., an)
IA = A memenuhi
Karena x memenuhi ke – 10 aksioma maka x adalah ruang vektor.
5.2 Sub ruang
Definisi
Jika W sub ruang dari ruang vektor V maka W ruang vektor di bawah operasi
penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.
Teorema
Jika W dalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari
ruang vektor V, mak W adalah sub ruang dari V , jika hanya jika syarat
tersebut memenuhi:
a. Jika A,B Є W A + B Є W
b. k Є R , A Є W kA Є W
Jika W sub ruang dari V, maka W harus memenui syarat
a. W ≠ Ø
b. W V (subset)
c. A,B Є W A + B Є W
d. k Є R, A Є W k A Є W
Contoh 2
Buktikan U = {(x1, x2, x3) Є R 3 | x1 = 0} adalah sub ruang dari R 3 !
123
Bukti :
a. U ≠ Ø
(0,0,0) Є U berarti U ≠ {}
b. U R3
Ambil (0, x2, x3) Є U
Karena x2, x3 Є R (0, x2, x3) Є R3
Jadi U R 3
c. A,B Є U A + B Є U
A Є U (0, x, y)
B Є U (0, a, b)
(A + B) = (0, x, y) + (0, a, b)
= (o, x + a, y + b)
d. k Є R, A Є W kA Є W
A Є W (0, x, y)
kA = k (0, x, y)
= (k0, kx, ky) Є U
Karena U memenuhi Ke–4 aksioma maka U sub ruang dari R 3
5.3 Kombinasi Linier
5.3.1 Definisi kombinasi linear
Sebuah vektor u , dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor jika
vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
Contoh 3
Misal u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)
nnvkvkvku ...2211
124
adalah vektor-vektor di R3
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
a. a = (4, 2, 6)
b. b = (1, 5, 6)
c. c = (0, 0, 0)
Penyelesaian:
f. Tulis avkuk 21
akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian, a merupakan kombinasi linear dari vector u dan v atau
vua 2
Untuk b dan c sebagai latihan pembaca
6
2
4
3
1-
1
0
4
2
21 kk
6
2
4
3 0
1- 4
1 2
2
1
k
k
0 0 0
2 1 0
2 1
~
6 3 0
6- 3- 1
2 1 21
21
125
5.4 Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor.
k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
k1 = 0, k2 = 0, ..., kr = 0
merupakan satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas
linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan
himpunan tak bebas linear (linearly dependent).
Contoh 4
1. A = {0}, apakah A bebas linier?
Penyelesaian
. 0 = 0
= 0
= 1
= 2 dst
Maka A Bergantung Linier
2. B = {2
1} apakah B bebas linier?
Penyelesaian
. 0.5 = 0 Bebas Linier
= 0
Maka B Bebas Linier
3. Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) pada R3
dselidiki apakah vektor-vektor tersebut bebas atau bergantung linier?
Penyelesaian
126
Komponen persamaan vektor
kiv1 + 1 + k2v2 + ... + krvr = 0
Menjadi
k1 (1, 0, 0), + k2 (0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
secara ekivalen dapat ditulis
(k1, k2, k3) = (0, 0, 0)
Sehingga diperoleh
k1 = 0, k2 = 0, k3 =0;
sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linear pada Rn.
5.5 Merentang
Definisi
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V
selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
Contoh 5
Diberikan
1v = (1, 1, 2),
2v = (1, 0, 1), dan
3v = (2, 1, 3)
Apakah vektor-vektor di atas merentang di V?
nvvvS ,...,, 21
127
Penyelesaian
Ambil sembarang vektor di R3
Misalkan
3
2
1
u
u
u
u
Tuliskan 332211 vkvkvku
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk
321
31
321
32
2
2
kkk
kk
kkk
=
3
2
1
u
u
u
secara ekivalen dapat ditulis
3
2
1
3
2
1
312
101
211
u
u
u
k
k
k
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai
penyelesaian. Dengan OBD diperoleh
1 1 2 u1
0 -1 -1 u2 u1
0 0 0 u3 u1 u2
Agar SPL tersebut mempunyai selesan haruslah
u3 – u2 – u1 = 0
hal tersebut kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-
unsurnya bebas, tidak memiliki syarat) dengan demikian vektor-vektr
tersebut tida membangun R3
128
5.6 Basis dan Dimensi
Definisi
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan
vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2
syarat berikut ini dipenuhi :
a. S bebas linier;
b. S serentang V.
Keunikan Represenasi Basis
Jika S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka
setiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... +
cnvn dengan tepat satu cara.
Contoh 6
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1
).
Karena S = { e1, e2, … , en} adalah himpunan bebas linier dengan Rn . dan
vektor v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2+
… + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis
tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Contoh 7
Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} merupakan basis untuk ruang vektor
matriks M2x2, dengan M1= , M2 = , M3 = dan M4 =
sebab S bebas linier dan S merentang M2x2.
Ini dapat dilihat bahwa setiap matriks M yang berukuran 2 x 2 dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier M1, M2, M3, M4.
129
M =
= a + b + c + d
Atau M = aM1 + bM2 + cM3 + dM4
Definisi
Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi berhingga dinotasikan dengan
dim(V), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis
untuk V. Jika tidak demikian, dapat didefinisiskan ruang vektor nol sebagai
berdimensi nol.
Contoh 8
a) Tentukan basis dan dimensi untuk ruang vektor berikut
a. W1 =
b. W2 = {a + bx – bx2 + ax
3}
c. W3 = dengan a dan b adalah bilangan real
Penyelesaian
(i) = + = a + b = au + bv
jadi u = dan v = merentang W1 dan kedua vektor tersebut juga
bebas linier. Dengan demikian, kedua vektor tersebut merupakan basis
untuk W1.
Maka dapat disimpulkan bahwa W1 adalah ruang vektor yang berdimensi
dua
130
Untuk soal pasa poin (ii) dan (iii) sebagai latihan pembaca
b) Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem
homogen.
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
- x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
penyelesaian dari SPL di atas adalah
x1 = – s – 1, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t,
Sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut dapat dituliskan sebagai
1
2
3
4
5
x s t s t 1 1
x s s 0 1 0
x t 0 t 0 1
x 0 0 0 0 0
x t 0 t 0 1
Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor
1 2
1 1
0 0
v dan v0 1
0 0
0 1
v1 dan v2 vektor tersebut merupakan basis SPL
SPL tersebut berdimensi dua
131
Latihan
1. Diketahui vektor x = {(a, 1, 0) | a Є R}. Apakah x ruang Vektor?
2. Diketahui vektor v = {(1, 1, a) | a Є R}. Apakah x ruang Vektor?
3. Diketahui vektor w = {(a, b, c) | a – b = 0, a, b, c Є R}. Apakah x ruang
Vektor?
4. Diketahui Matriks P = {
dc
ba | a = 1, a, b, c, d Z }. Apakah P ruang
Vektor?
5. Diketahui Matriks Q = {
dc
ba | ad – bc = 0, a, b, c, d Z }. Apakah
Q ruang Vektor?
6. Diketahui vektor x = {(a, 1, -1) | a Є R}. Apakah x sub ruang Vektor?
7. Diketahui vektor v = {(1,0, a) | a Є R}. Apakah x sub ruang Vektor?
8. Diketahui vektor w = {(a, b, c) | a + b = 0, a, b, c Є R}. Apakah x sub
ruang Vektor?
9. Diketahui Matriks R = {
dc
ba | a = 1, b = -1, c, d Z }. Apakah R
sub ruang Vektor?
10. Diketahui Matriks S = {
dc
ba | a – b = 0, a, b, c, d Z }. Apakah S
sub ruang Vektor?
11. Diberikan 5,2,3 u dan 2,2,1v adalah vektor-vektor di R3.
Selidiki apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor –
vektor di atas
a. X = (4, 6, 2)
b. Y = (3, 5, 4)
c. Q = (1, -2, 3)
d. R = (-3 4, -2)
132
12. Perhatikan vektor-vektor berikut, selidiki apakah vektor-vektor tersebut
bebas atau bergantung linier?
a. 3,1,2 , 2,3,3 , 4,5,2
b. 1,1,3 , 3,1,2 , 3,0,2
c. 3,3,1 , 5,1,0 , 3,4,5 , 1,2,5
d. 241 xx , 2223 xx , 2442 xx
13. n21 V,...,V,VS himpunan vektor bebas linear, perlihatkan bahwa
masing-masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang
bebas linear
14. 321 V,V,V himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V1.
Buktikan bahwa 4321 V,V,V,V juga tak bebas linear dimana V4
sebarang. Vektor lain di dalam V.
15. Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor
beikut:
a. 1,1,2u dan 4,3,2v
b. 1,3,2u , 1,3,2v dan 4,2,2 w
c. 1,3,2u , 1,3,2 v , 4,2,5 w dan 3,2,1z
16. Selidiki apakan vektor-vektor berikut merupakan basis dari R
a. 2,11 u , 3,22 u , 4,23 u untuk R2
b. V1 = 1,0 V2 = 3,1 untuk R2
c. V1 = 7,3 V2 = 9,4 untuk R3
d. 2,3,11 u 1,1,52 u untuk R3
e. 4,1,11 V , 1,3,22 V , 3,2,13 V untuk R3
f. 2,1,31 V , 1,5,22 V , 3,4,13 V untuk R3
g. V1 = 0,1,1 , V2 = 0,0,2 , V3 = 3,3,3 untuk R3
133
h. 2
1 2 xxP , 32 xP untuk P2
i. 2231 xx , 221 xx , x51 untuk P3
j. 243 xx , 2231 xx , 221 xx untuk P3
k. P =
43
62 Q =
02
10
R =
49
80
23
01untuk M22
l.
32
11A
71
05B
31
03C
24
13D
32
15E untuk M22
134
135
BAB VI
RUANG EIGEN DAN DIAGONALISASI
Dalam bab ini akan membahas nilai eigen dan ruang eigen, diagonalisai,
diagonalisasi ortogonal dan matriks simetri. Setelah mempelajari bab ini,
diharapkan mahasiswa dapat menentukan basis ruang eigen dan dapat
mendiagonal sebuah matriks secara ortogonal.
6.1 Nilai Eigen dan Ruang Eigen
6.1.1 Definisi
Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka sebuah vektor tak nol x pada Rn
disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x
sehingga berlaku
Ax = λx
Untuk sembarang skalar λ yang disebut nilai eigen dari A dan x disebut
sebagai vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.
6.1.2 Langkah-langkah Menentukan Nilai Eigen
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks A yang berukuran n x n adalah sebagai berikut
1. Tentukan polonimial karakteristika det (λI – A) dari matriks A
2. Tentukan nilai eigen dari A dengan menyelesaikan persamaan
karakteristik det (λI – A) = 0 untuk λ
3. Untuk tiap nilai eigen λ, tentukan ruang null dari matriks A – λI. Vektor
tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen dari A
4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut
136
Contoh 1
Tentukan nilai eigen dari matriks A =
Jawab
λI – A = λ - =
det (λI – A) = det = λ2 - 3λ + 2
polinomial karakteristik dari A adalah λ2 - 3λ + 2 = 0 atau (λ – 1)( λ – 2) = 0
dan penyelesaiannya adalah λ = 1 dan λ = 2 sehingga nilai-nilai eigen dari A
adalah 1 dan 2
Contoh 2
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A=
000
010
001
!
Penyelesaian:
I – λI =
00
010
001
00
00
00
000
010
001
0
00
010
001
(1-) (1-) (-) = 0
Jadi polinomial karakteristik: (1-) (1-) (-) = 0
Akar-akar polinomial karakteristik: 1=0, 2=3=1
Jadi nilai eigen matriks A adalah 0 dan 1.
Vektor eigen untuk =0
137
A-I =
000
010
001
00
010
001
(A-I)x = 0
0
0
0
000
010
001
3
2
1
x
x
x
Jadi x1=0, x2=0, x3=t, t0, tR
Jadi x=
t
0
0
merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan =0
Vektor eigen untuk =1
A-I =
100
000
000
00
010
001
(A-I)x = 0
0
0
0
100
000
000
3
2
1
x
x
x
Jadi x1=a, x2=b, x3=0, a,b0, a,bR
Jadi x=
0
b
a
merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan =1
Teorema 6.1.1
Jika A adalah sebuah matriks segitiga n x n (seitiga atas, segitiga bawah atau
diagonal), maka nilai-nilai eigen dari A adalah entri-entri yang terletak pada
diagonal utama pada matriks A
138
Contoh 3
Tentuka nilai-nilai dari matriks segitga atas berikut ini
2
100
120
211
A
Nilai-nilai eigen dari matriks di atas adalah λ = 1, λ = 2 dan λ = ½
6.2 Diagonalisasi
6.2.1 Definisi
Sebuah atriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah
matriks P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga P-1
AP adalah
sebuah matrks diagonal.
Teorema 6.2.1
Jika A adalah matriks berukura n x n, maka kedua pernyataan berikut ini
kuivelen
a. A dapat didiagonalisasi
b. A mempuyai n vektor eigen yang bebas linier
6.2.2 Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks
Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks berukuran n x n
adalah sebagai berikut:
1. Cari n vektor eigen yang bebas linier dai A yaitu nppp ,,
21 ,
2. Bentuklah matriks P yang mempunyai nppp ,,
21 sebagai vektor
kolomnya
139
3. Maka matriks P-1
AP akan didiagonal dengan λ1, λ2, λ3, ..., λn sebagai
elemen-elemen diagonalnya yang berurutan, dimana λ1 adalah nilai eigen
yang bersesuaian dengan i
p , dengan i = 1, 2, 3, ..., n
Contoh 3
Carilah matriks P yang mendigonal matrik A berikut
500
032
023
A
Penyelesaian:
Nilai-nilai eigen dari matriks A adalah λ = 1 dan λ = 5.
Vektor-vektor eigen yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 5 adalah
1p =
0
1
1
dan 2
p =
1
0
0
Vektor-vektor eigen yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 1 adalah
3p =
0
1
1
Dan terliat bahwa {321
,, ppp } adalah bebas linier sehingga
P =
010
101
101
akan mendiagonalkan matriks A
P-1
AP =
02
1
2
1100
02
1
2
1
500
032
023
010
101
101
140
=
100
050
005
Contoh 3
Apakah
253
022
001
A dapat didiagonalisasi?
Penyelesaian:
Syarat dapat didiagonalisasi, harus mempunyai vektor basis sebanyak nilai
eigennya, sehingga matriks A tidak dapat didiagonalisasi karena vektor
basisnya hanya 2.
6.3 Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simeri
6.3.1 Definisi
Sebuah matriks A yang berukuran n x n dikatakan dapat didiagonal secara
ortogonal jika ada matriks P yang ortogonal sehingga P-1
AP (atau PTAP)
diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Definisi
Matriks simetri adalah matriks yang memiliki sifat A = AT
Teorema 6.3.1
Jika A adalah sebuah matriks berukuran n x n maka pernyataan-pernyataan
berikut ini ekuivalen sau sama lain:
1. A dapat didiagonalisasi secar ortogonal
2. A simetris
141
Teorema 6.3.2
Jika A adalah sebuah matriks simetris, maka
1. Nilai eigen matriks A semunya adalah bilangan real
2. Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling
ortogonal
6.3.2 Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks secara
ortogonal
Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks secara ortogonal
adalah sebagai berikut:
a. Mencari basis untk setiap ruang eigen dari matriks A
b. Gunakan proses Gramm-Schmidt kepada setiap baris ini ntuk
mendapatkan sebuah baris ortogoal untuk setiap ruang eigen
c. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektr-vekor basis
yang dibangun pada langkah 2, matriks ini akan mendiagonalisasi
matriks A secara ortogonal
Contoh 4
Diketahui A =
101
000
101
simetri. Tentukan matriks yang mendiagonalisasi
secara ortogonal dan matriks digonalnya
Penyelesaian:
Nilai-nilai eigen dari matriks A adalah λ = 0 dan λ = 2.
Vektor-vektor basis yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 0 adalah
142
0
1
0
dan
1
0
1
Bentuk ortonormal dari vektor tersebut adalah
0
1
0
dan
2
102
1
Vektor-vektor basis yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 2 adalah
1
0
1
.
Bentuk ortonormal dari vektor tersebut adalah
2
102
1
Matriks yang mendiagonalisasikan A secara ortogonal yaitu
2
1
2
10
0012
1
2
10
dan matriks diagonalnya adalah
200
000
000
143
Latihan
1. Tentukan nilai eigen dari mariks berikut
a.
30
11A
b. B =
102
032
103
c.
003
012
201
C
d. D =
200
012
002
2. Tentukan vektor eigen dari mariks berikut
a.
30
12A
b. B =
132
102
103
c.
013
012
201
C
3. Tentukan matriks diagonalisasi dari mariks berikut
a.
121
113
131
C
144
b. D =
201
012
002
c. F =
200
210
112
4. Tentukan matriks yang mendiagonalisasi secara ortogonal dan matriks
digonalnya
a.
541
113
121
C
b. D =
213
012
302
c. F =
205
410
112
145
BAB VII
TRANSFORMASI LINIER
Dalam bab ini akan membahas transformasi linier, kernel dan range, sifat-
sifat transformasi linier. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan
mahasiswa dapat menentukan jenis menyelidiki basis ruang eigen dan
dapat mendiagonal sebuah matriks secara ortogonal.
7.1 Definisi
Sebelum memahami definisi tranformasi linier, sebaiknya kita pahami
terlebih dahulu pemetaan pada ruang vektor
Definisi pemetaan
Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan
perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan dengan
vektor tunggal w W. Kita mengatakan bahwa f memetakan vektor v ke w,
dan juga f memetakan ruang V ke W. Pada transformasi f: V W, ruang V
disebut domain dan W disebut kodomain untuk f. Jika u V, maka vektor
f(u) W disebut bayangan dari u oleh f.
Definisi Tranformasi Linier
Sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W dapat ditlis dalam
bentuk matematika sebagai F: V W. F dikatakan transformasi linier jika
a. F ( vu ) = F ( u ) + F ( v ) untuk semua u dan v di V
b. F (k u ) = k F ( u ) untuk semua u di V dan semua skalar k.
Jika T : V V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator
linier pada V
146
Contoh 1
Selidiki apakah pemetaan berikut merupakan transformasi linier?
Misalkan F: R2 R
3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F (x, y) = (x – y,
x, -y)
Penyelesaian
Ambil u = (x1, y1), v = (x2, y2) di R2
Maka u + v = (x1+x2, y1+y2)
F (α u + β v ) = F ((αx1, αy1) + (βx2, βy2))
= F ((αx1 + βx2, αy1 + βy2))
= ((αx1 + βx2 – (αy1 + βy2), αx1 + βx2, - (αy1 + βy2))
= (αx1 - αy1, αx1, - αy1) + (βx2 - βy2, βx2, - βy2)
= αF ( u ) + βF ( v )
Jadi T merupakan transformasi Linier
Contoh 2
Misalkan T:R2 R
2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (2x, y)
dengan v= (x, y) di R2. buktikan bahwa T merupakan transformasi linier
Penyelesaian
Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)
Bukti pertama:
T(u + v) = T((x1, y1) + (x2, y2))
= T(x1+x2, y1+y2)
= (2(x1+x2), (y1+y2))
= ((2x1, y1) + (2x2, y2))
T(u + v) = T(u) + T(v) => terbukti
147
Bukti kedua:
T(ku) = T(kx1, ky1)
= (2kx1, ky1)
= k (2x1, y1)
T(ku) = k T(u) => terbukti
Jadi T adalah trasnformasi linier
Sifat Transformasi Linier
Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka
1. T(0) = 0
2. T(-v) = -T(v) untuk semua v di V
3. T(v-w) = T(v) –T(w) untuk semua v dan w di V
7.2 MATRIKS TRANSFORMASI
Definisi
Misalkan A adalah suatu matriks berukuran mxn. Jika notasi matriks
digunakan untuk vektor di Rm
dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi
T: Rn R
m dengan T(x) = Ax
Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T
memetakan Rn ke dalam R
m dan T linier
Teorema
Jika T: Rn R
m adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis
baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau
T(x) = Ax
dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(en)
Contoh 3
148
Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi T: R3 R
2 yang
didefinisikan oleh
T(x) = (x1 + x2, x2 + x3), untuk setiap x = (x1 , x2, x3) dalam Rn
Penyelesaian
T: R3 R
2
Basis baku dari R3 adalah:
1. e1 = (1, 0, 0) T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0)
2. e2 = (0, 1, 0) T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1)
3. e3 = (0, 0, 1) T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)
Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e1), T(e2), dan
T(e3) yaitu
110
011
untuk Bukti dari jawaban di atas diserahkan pada pembaca.
Contoh 3
Misalkan T: R2 R
2 adalah perkalian oleh matriks
A =
cossin
sincos
yakni perputaran R2 melalui sudut , merupakan transformasi linier
7.3 Kernel Dan Range
Definisi Kernel
Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan semua vektor pada
V yang ditetapkan oleh transformasi linier T yang dipetakan T ke 0 disebut
kernel dari T dan dinotaskan dengan ker(T) yaitu ker(T) = { v di V: T(v) = 0}
149
Definisi Range
Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan semua vektor pada
W yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu vektor pada V
disebut range dari T, dan dinotasikan dengan Range(T) yaitu Range (T) = {
T( v ): v di V}
Contoh H 135
Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka
1. Kernel dari T adalah sub-ruang dari V
2. Jangkauan dari T adalah subruang dari W
7.4 Rank dan Nulitas
Definisi
Jika T: V W adalah sebua transformasi linier, maka dimensi range dari T
disebut sebagai rank dari T dan dinotasi dengan rank(T); dimensi kernelnya
disebut nulitas dari T dan dinotasikan dengan nulitas (T)
Contoh
Misal T : R2 R
2 adalah perputaran R
2 melalui sudut
4
, maka R(T) = R
2
dan ker (T) = {0}. Sehingga rank (T) = 2 dan nulitas(T) = 0
Rank dan Nulitas dari Persamaan Linear Ax = y
SPL dengan p persamaan dan q variabel dapat disajikan oleh matriks
Ax = y, dengan A adalah matriks pxq, x adalah vektor q, dan y vektor p.
Persamaan ini dapat dipandang sebagai operator (pemetaan) linear a: Kq
Kp yang didefinisikan dengan a(x) = Ax untuk semua x Kq.
150
Dalam pemetaan di atas berlaku:
a. dom (a) = Kq
b. bayangan/im (a) = { y Kp | Ax = y),
c. ker (a) = { x Kq | Ax = 0}.
d. Dim (dom (a)) = dim (Kq) = q,
e. dim ( im (a)) = rank (A),
f. dim (ker (a)) = nulitas (a) = q – rank (A)
Teorema (rank dan nulitas)
Persamaan Ax = y mempunyai solusi x jika y im (a).
Perlu diingat bahwa rank (A) ≤ minimum (p, q). Kasus-kasus yang dapat
terjadi:
Kasus 1: Banyak persamaan melebihi banyak variabel: p < q.
(i) Jika rank (A) < p < q = Dim (dom (a)) maka pernyataan berikut
ekuivalen
(a) Dim (dom (a))
(b) nulitas (a) > 0
(c) a singular
(d) ada banyak solusi jika y im (a) dan
(e) tidak ada solusi jika y im (a);
(ii) Jika rank (A) = p = Dim Kp maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) a adalah onto
(b) untuk setiap y ada solusi.
(iii) Jika rank (a) = p < q maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) nulitas (A) = q – p > 0
(b) a singular
(c) terdapat solusi jika y im (a) atau tidak ada solusi jika y im (a);
151
Kasus 2: Banyak persamaan melebihi banyak variabel: p > q.
(i) Jika rank (A) < q < p = im (a) Kp. maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) Kp = q – rank (A) > 0
(b) a singular
(c) terdapat banyak solusi jika y im (a) atau tidak terdapat solusi jika y
im (a);
(ii) Jika rank (A) = q = Dim (dom (a)) maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) Dim (dom (a))
(b) nulitas (a) = q – rank (a) = 0
(c) a nonsingular
(d) terdapat solusi tunggal jika y im (a) dan
(e) tidak ada solusi jika y im (a);
Kasus 3: Banyak persamaan sama dengan banyak variabel: p = q.
(i) Jika rank (A) = q = p maka im (A) = Kp. Dari sisi lain nulitas (a) = q –
rank (A) = 0. Jadi terdapat solusi tunggal jika y im (a);
(ii) Jika rank (A) < p = q im (A) Kp. Dari sisi lain nulitas (a) = q – rank
(A a singular. Jadi, ada banyak solusi jika y im (a) dan tidak
ada solusi jika y im (a);
Teorema Dimensi
Jika T:V W adalah transformasi linier dari ruang vektor V yang
berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka:
Rank dari T + nulitas dari T = n
Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0
adalah
n – rank(A)
152
Contoh
Diketahui sebuah SPL homogen yang mempunyai ruang pemecahan
berdimensi 2 memiliki matriks koefisien sebagai berikut
A =
11100
10211
13211
10122
tentukan rank (A)
Penyelesaian
Sesuai teorema di atas bahwa Jika A adalah matriks m x n, maka dimensinya
didefinisikan sebagai:
dimensi = n – rank(A)
sehingga rank (A) = n – dimensi = 5 –2 = 3
Contoh
Jika T : Rn R
m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari
sebuah matriks A yang berukuran m × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Penyelesaian
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalah matriks m × n yang
vektor-vektor kolomnya adalah T(e1), T(e2), ..., T(en), maka dapat dibuktikan
bahwa T(x) = Ax, untuk setiap x Rn. Dengan demikian setiap transformasi
linier T : Rn R
m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaitu
merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
153
Contoh
Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana v1= (1, 1, 1); v2=(1, 1, 0);
v3=(1, 0, 0), dan misalkan T: R3 R
2 adalah transformasi linier sehingga
T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) = (4,3).
Tentukan T(2, -3, 5)
Penyelesaian
Nyatakan v = (2, -3, 5) sebagai kombinasi linier dari v1, v2, dan v3 maka v =
k1v1 + k2v2 + k3v3
Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5
Sehingga:
(2,-3,5) = 5 v1 – 8 v2 + 5 v3
T(2,-3,5) = 5T(v1) –8T(v2) + 5T(v3)
= 5(1,0) –8(2,-1) + 5(4,3)
= (9,23)
7.5 Jenis-Jenis Transfomasi Linier
Terdapat beberapa jenis transformasi linier yaitu:
1. Transformasi Linier Injektif
Transformasi linier T: V W disebut injektif jika T memetakan
vekor yang berbeda dalam V ke vektor yang berbeda dalam W. Demikian
pula dapat diktakan bahwa T: V W adalah injektif untuk semua u , v di
V. Jika T (u ) = T ( v ), maka u = v
2. Transformasi Linier Surjektif (onto)
Transformasi linier T: V W disebut surjektif (onto) jika Range(T)
= W. Dengan kata lain T: v W disebut surjektif (onto) jika untuk semua
w di W, terdapat paling sedikit satu v di V sehingga w = T ( v ).
154
3. Transformasi Linier Isomorfisme
Transformasi linier T: V W disebut isomorfisme jika T merupakan
transformasi linier injektif dan surjektif. Jika V dan W adlah dua ruang
vektor sehingga ada isomorfisme dari V ke W, maka kita katakan bahwa V
somorfis dengan W dan disimbolkan dengan V W.
Contoh
Perhatikan transformasi lnier berikut
T: R2 R
3 dengan T (x, y) = (2x, x – y, 0)
Tunjukkan apakah transfmasi linier tersebut injektif atau surjektif?
Penyelesaian
a. Ambil 1v = (x1, y1) dan 2v = (x2, y2) dan
T(x1, y1) = T (x2, y2)
maka (2x1, x1 – y1, 0) = (2x2 x2 – y2, 0)
akan didapat dua persamaan yaitu 2x1 = 2x2 dan x1 – y1 = x2 – y2
sehingga diperoleh x1 = x2 dan y1 = y2. Atau dengan kata lain 1v = 2v .
Dengan demikian T adalah transformasi linier yang injektif
b. Karena range dari transormasi linier di atas tidak semua di R3, maka T
tidak surjektif.
Misalkan tidak ada (x, y) di R2 yang memenuhi
T(x, y) = (0, 0, 1)
4. Transformasi Linier Nol
Pemetaan T : V W dengan aturan T(v) = 0, untuk setiap v V
merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol
5. Transformasi Linier Identitas
Pemetaan T : V V dengan aturan T(v) = v, untuk setiap v V
merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas
155
Latihan
1. Misalkan T: R2 R
3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (x, 2x-
y, x*y) dengan v = (x,y) di R2. Buktikan bahwa T merupakan
transformasi linier.
2. Buktikan linieritas transformasi T: R2 R
3 dengan T(x,y) = (x+2y, 2x-
3y, 3x+y)
3. Misalkan T: R3 R
2 adalah transformasi matriks, dan didefinisikan:
T(1,0,0) = (2,1)
T(0,1,0) = (3,2)
T(0,0,1) = (4, -5)
Hitunglah:
a. Matriks transformasinya
b. T(2, 3, 5)
c. T(x, y, z)
156
Glosarium
SPL : Sistem Persamaan Linier
SPL homogen : sistem persamaan linier yang konstanta-konstanta di
ruas kanan semuanya nol
OBD : Operasi Baris Dasar
Metode
eliminasi
: Proses menggunakan operasi-operasi baris elementer
untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon
baris
Bentuk baris
eselon tereduksi
: Bentukmatris yang telah dikenakan OBD sehingga
terdapat utama satu dan nol ditempat yang lain
SPL kobsisten : SPL yang mempunyai selesaian
SPL tak
konsisten
: SPL yang tidak mempunyai selesaian
Matriks : sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-
bilangan
Matriks yang
dipartisi
: Matriks yang dibagi menjadi blok-blok dengan cara
menyisipkan menyisipkan garis-garis horizontal atau
vertikal diantara baris dan kolom yang ingin dipartisi
Matriks baris : Matriks yang hanya terdiri dari satu baris
Matriks kolom : Mariks yang hanya terdiri dari satu kolom
Aturan cramer : Aturan yang digunakan untuk menentukan selesaian
SPL dengan perhitungan determinan
Proyeksi
orthogonal
: Vektor tegak lurus yang merupakan proyeksi dari
vekttor lain
Ruang vector : Kumpulan vector yang memenuhi 10 aksioma
Sub ruang : Kumpulan vector yang memenuhi 4 aksioma
157
Kebebasan linier : Himpunan vector yang meempunyai selesaian yang
trivial
Basis : Himpunan verktor yang bebas linier dan merentang
Dimensi : Suatu bilangan yang menyatakan banyaknya basis dan
ukuran vektor
Nilai eigen : Bilangan yang memenuhi Ax = λx
Ruang eigen : Rueng vector yang dibangun oleh vector kolom dari
suatu
matriks
Diagonalisasi : Proses untuk mendapatkan matriks diagonal dari suatu
matriks persegi
Basis orthogonal : Basis yang setiap anggotanya tegak lurus
Transformasi
linier
: Pemetaan ruang vector ke ruang vector yang lain yang
mempunyai sifat linier
Kernel : Himpunan vector yang dipetakan pada vector nol
Jangkauan : Himpunan vector yang mempunyai pra peta
158
Daftar Rujukan
Anton, Howard and Rorres, Chris. (2006) Elementary Linear Algebra with
Applications. Ninth Edition. New Jersey: John Wiley and Sons.
Leon , S.J.( 2001 ) . Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5 . Penerbit
Erlangga
Lipschutz, Seymour. (1991) Schaum’s Outline of Theory and Problems of
Linear Algebra. Second Edition. USA: McGraw Hill Companies,
Inc.
Janich, Klaus. (1994) Linear Algebra. New York: Springer.
Nicholson, W. Keith. Linear Algebra with Applications. Third Edition.
Boston: PWS Publishing Company.
Robinson, Derek J. S. (2006) A Course in Linear Algebra with Applications.
2nd
Edition. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd
Strang, Gilbert. (1988) Linear Algebra and Its Applications. Third Edition.
USA: Thomson Learning, Inc.