aljabar linear elementer dan...

ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA

Didit Budi Nugroho

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

2010

KATA PENGANTAR

Buku ini merupakan suatu pengantar untuk aljabar linear yang didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh penulis selama lebih dari 4 tahun dalam mata kuliah Aljabar Linear Elementer di Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga. Sebagian besar buku ini dipengaruhi oleh kuliah Aljabar Linear dari Prof. Drs. Setiadji, SU selama penulis kuliah S-1 di FMIPA UGM.

Materi dalam buku ini disajikan secara terurut yang dimulai dari pengertian tentang matriks beserta operasinya di Bab I dan dilanjutkan dengan fungsi determinan yang dibahas di Bab II. Sistem persamaan linear yang merupakan bagian utama dari Aljabar Linear disajikan dalam Bab III. Dalam bab ini diberikan beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear termasuk metode yang paling umum yaitu eliminasi Gauss (Jordan). Di Bab IV didiskusikan tentang ruang vektor beserta ruang bagiannya seperti ruang kolom, ruang baris, dan ruang nol. Pembahasan mengenai suatu ruang vektor diperluas dengan melengkapinya dengan suatu fungsi yang disebut hasil kali dalam sehingga membentuk suatu ruang hasil kali dalam, dan ini diberikan pada Bab V. Pembicaraan yang lebih luas lagi mengenai ruang vektor dijumpai di Bab VI yang menghubungkan dua ruang vektor menggunakan transformasi linear. Dari situ selanjutnya diambil kasus untuk operator linear pada suatu ruang vektor untuk mencari suatu nilai dan vektor eigennya, dan ini diberikan dalam Bab VII sebagai penutup dari materi Aljabar Linear.

Buku ini menyediakan teorema-teorema dengan bukti yang memadai. Teorema-teorema tersebut dilengkapi dengan contoh-contoh yang bervariasi dengan teknik penyelesaian yang mudah dipahami. Untuk melihat bahwa Aljabar Linear diperlukan bagi banyak bidang ilmu, di setiap bab diberikan contoh-contoh aplikasinya. Aplikasi tersebut antara lain analisa sirkuit elektrik, jaringan lalu lintas, persamaan reaksi kimia, dan model Leontief menggunakan sistem persamaan linear. Ada juga Kriptografi yang merupakan aplikasi dari transformasi linear. Aplikasi dari nilai dan vektor eigen diambil dalam bidang geometri yaitu untuk mengidentifikasi kurva, dalam bidang fisika untuk sistem massa pegas dan dalam bidang biologi untuk masalah genetika.

Buku ini masih perlu untuk terus menerus dikembangkan guna memperlihatkan kemudahan dan keindahan dari Aljabar Linear. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan dan saran-saran dari pembaca.

Salatiga, Desember 2010

Penulis

DAFTAR ISI

BAB I: MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS ...…….…..………………… 1 1.1 Pengantar …………………………..…….………………………. 1 1.2 Jenis-jenis Matriks ……….………..……..……..……………….. 2 1.3 Kesamaan Dua Matriks ..……….……………………………….. 5 1.4 Operasi Matriks …………………..…….……………………….. 5 1.5 Matriks Eselon ……………………..….………………………… 11 1.6 Fungsi Skalar Matriks ……………..……..………………………. 12

BAB II: DETERMINAN ……..………………….…….….…………………….. 19 2.1 Ekspansi Laplace Baris Pertama …..….…………………………. 19 2.2 Ekspansi Kofaktor …………………..….………………………… 22 2.3 Adjoin ……………………………….……..…………………….. 25 2.4 Operasi Baris Elementer …………………..…………………….. 27 2.5 Matriks Tak Singular dan Invers …….…………..……………… 31 2.6 Sifat-sifat Determinan ……………….…………………………… 37 2.7 Peringkat Matriks ……………………...………………….……… 39 2.8 Aplikasi Determinan ……………….…………………….……… 40 BAB III: SISTEM PERSAMAAN LINEAR ….……...………………….…….. 51 3.1 Definisi-definisi …………………….………………..…….……. 51 3.2 Eksistensi Penyelesaian ……………….…..……………….…….. 55 3.3 Menyelesaikan SPL Menggunakan Invers ………………….…… 58 3.4 Aturan Cramer ……………………….…………..………….…… 58 3.5 Reduksi Baris ……………………….………………………...…. 60 3.6 Penyelesaian Sistematis dari SPL ………………………….. 65 3.7 Dekomposisi LU ……………………………………………..….. 68 3.8 Aplikasi Sistem Persamaan Linear ……………………………… 71 BAB IV: RUANG VEKTOR ………...………………………………………..… 93 4.1 Ruang Vektor ……….……..………………..…………………… 93 4.2 Ruang Bagian Vektor …..………….………….………………….. 95 4.3 Kombinasi Linear ……..…………………………………………. 96 4.4 Bebas Linear ………………..……………………………………. 99 4.5 Basis ………………………………..……………………………. 101 4.6 Ruang Nol, Ruang Kolom, Ruang Baris …………..…………….. 105 BAB V: RUANG HASIL KALI DALAM …………………………..…………. 119 5.1 Hasil Kali Dalam …………………….…………………..………. 119 5.2 Norm ……………………………………………………….……. 121 5.3 Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt ………………..….. 125 5.4 Perubahan Basis ……………………………………………….… 130 BAB VI: TRANSFORMASI LINEAR ….…….……………………………...... 139 6.1 Pengantar …………………………………………………..……. 139 6.2 Kernel dan Image dari Transformasi Linear …………………..… 144 6.3 Teorema Dimensi ……………………………….…….…………. 153 6.4 Transformasi Linear dari Rn ke Rm ………………….……………. 155 6.5 Representasi Matriks dari Transformasi Linear ……….……..….. 158 6.6 Komposisi Transformasi Linear dan Perkalian Matriks …….….... 166 6.7 Inversibilitas ………………………………….….………………. 172 6.8 Aplikasi Transformasi Linear: Kriptografi ……….…..………….. 174 BAB VII: Nilai dan Vektor Eigen ………………………………..…………….. 183 7.1 Motivasi ………………………………………….……….……… 183

7.2 Menghitung Nilai dan Vektor Eigen …………….………….…… 185 7.3 Sifat-sifat Polinomial Karakteristik ……………….…………..…. 191 7.4 Diagonalisasi dan Diagonalisasi Ortogonal ….………………….. 195 7.5 Pangkat Matriks dan Persamaan Diferensial ….………………… 208 7.6 Bentuk Kuadratik dan Irisan Kerucut ………………..………….. 216 7.7 Aplikasi Untuk Sistem Massa Pegas ………………..…………… 222 7.8 Aplikasi Untuk Genetika …………………….……..……………. 223

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal 4 Gambar 1.2: Transpos dari matriks m´n …………..…………………….………… 9 Gambar 1.3: Matriks eselon baris ………………………………………………….. 11 Gambar 2.1: Bangun segitiga ………………………………………………………. 40 Gambar 3.1: Irisan garis ……………………………………………………………. 53 Gambar 3.2: Irisan bidang ………………………………………………………….. 53 Gambar 3.3: Skema ketunggalan dan eksistensi penyelesaian SPL …….…………. 57 Gambar 3.4: Algoritma Gauss-Jordan …………………………………..………… 61 Gambar 3.5: Dekomposisi LU dari matriks n´n …………………………………… 69 Gambar 5.1: Vektor x = (x1, x2) ………………………………………………..….. 119 Gambar 5.2: Dekomposisi ortogonal vektor u …………………………………..… 123 Gambar 5.3: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan segitiga ………………...….. 124 Gambar 5.4: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan jajaran genjang …………….. 125 Gambar 5.5: Proyeksi vektor u ….…………………………………………………. 128 Gambar 5.6: Rotasi sumbu koordinat kartesius ………………………..…………. 134 Gambar 6.1: Representasi skematis dari suatu transformasi linear ………..…….… 139 Gambar 6.2: Representasi skematis dari range T ………………………………..… 144 Gambar 6.3: Representasi skematis dari ruang nol ………………………..……… 149 Gambar 6.4: Rotasi oleh sudut q ………………………………………..………… 157 Gambar 6.5: Refleksi bangun persegi ………………………………..…………… 157 Gambar 6.6: Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu x ….………………………. 158 Gambar 6.7: Pergeseran dalam arah x dan arah y ………………………………….. 158 Gambar 6.8: Ilustrasi dari representasi matriks …….……………………………… 164 Gambar 6.9: Perubahan matriks basis sebagai suatu representasi matriks ………… 165 Gambar 6.10: Representasi komposisi oleh perkalian matriks …………………….. 167 Gambar 6.11: Perubahan basis dan transformasi linear ……………………………. 169 Gambar 7.1: Rotasi sumbu ………………………………………………………… 183 Gambar 7.2: (a) Dilatasi l >1, (b) Kontraksi 0 < l < 1, (c) Pembalikan arah (l < 0) 185 Gambar 7.3: Grafik ( ) ( ) 12

22

3 =+ vu ………………………………….…………….. 221 Gambar 7.4: Grafik 13x2 – 10xy + 13y2 = 72 ……………………………………… 221 Gambar 7.5: Grafik ( ) ( ) 12

32

2 -=- vu …..……………..……………………………. 220 Gambar 7.6: Grafik –64x2 +104xy + 14y2 – 10 = 0 ………………………………… 221 Gambar 7.7: Sistem massa pegas …………………….……………………………. 222

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1: Sifat NS(A) dan CS(A) ……………………………………………….…. 106 Tabel 7.1: Probabilitas genotip keturunan …………………………………………. 223

© 2010 Didit B. Nugroho 1

Bab 1

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Pada bab pertama ini akan diberikan beberapa definisi dasar yang berkaitan dengan matriks dan operasi aljabar elementer pada matriks. Selain itu akan diperkenalkan beberapa jenis matriks yang akan sering dijumpai pada bab-bab selanjutnya.

1.1 Pengantar DEFINISI 1.1.1 Matriks (matrix) adalah susunan segi empat siku-siku dari elemen-elemen di suatu field (F, •, +). Elemen tersebut dapat berupa pernyataan yang simbolis ataupun bilangan-bilangan.

Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar oleh persamaan A = [aij] yang berarti bahwa elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sama dengan aij. Seringkali dituliskan elemen matriks dengan bentuk aij = (A)ij. Matriks A secara jelas dituliskan dalam bentuk

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

!""

!!

21

22221

11211

dengan setiap (i, j) Î {1, 2, …, m} ´ {1, 2, …, n} dan aij Î F. Baris ke-i dari matriks A yaitu

[ ]inii aaa !21 mempunyai n unsur, sedangkan kolom ke-j yang mempunyai m unsur yaitu

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

mj

j

j

a

aa

!2

1

.

Setiap matriks mempunyai baris dan kolom yang mendefinisikan ukuran matriks. Jika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ukuran (ordo) matriks dinyatakan dengan mń, dan selanjutnya matriks A bisa dituliskan dengan Amń atau mAn. Simbol Mmń(F) menotasikan himpunan semua matriks berukuran mń atas field F.

Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks

© 2010 Didit B. Nugroho

2

CONTOH 1.1.1 Diberikan rumus ji

aij +=1 untuk 1 £ i £ 3 dan 1 £ j £ 4 yang

mendefinisikan suatu matriks A = [aij] berukuran 3´4. Matriks A dapat dituliskan secara eksplisit dalam bentuk

úúú

û

ù

êêê

ë

é

=

71

61

51

41

61

51

41

31

51

41

31

21

A .

1.2 Jenis-jenis Matriks DEFINISI 1.2.1 Vektor (vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom. DEFINISI 1.2.2 Vektor baris (row vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja, seperti

[ ]naaaA 11211 != atau A = (a11, a12, …, a1n) dengan n adalah dimensi dari vektor baris. DEFINISI 1.2.3 Vektor kolom (column vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Sebagai contoh, vektor kolom berdimensi m:

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

2

21

11

ma

aa

A!

.

DEFINISI 1.2.4 Jika beberapa baris dan atau kolom dari suatu matriks A dihapus maka matriks sisanya disebut matriks bagian (submatrix) dari A.

CONTOH 1.2.1 Matriks-matriks bagian dari úû

ùêë

é- 213

264 antara lain yaitu

úû

ùêë

é- 213

264, ú

û

ùêë

é-1364

, [ ]264 , [ ]4 , úû

ùêë

é22

.

DEFINISI 1.2.5 Jika banyaknya baris dari suatu matriks A Î Mm´n(F) sama dengan banyaknya kolom, m = n, maka matriksnya disebut matriks persegi (square matrix) dengan elemen-elemen a11, a22, …, ann dinamakan elemen-elemen diagonal utama. Selanjutnya, matriks persegi A berukuran n´n cukup dituliskan dengan notasi An.

CONTOH 1.2.2 Matriks úúú

û

ù

êêê

ë

é=

71561510532025

A merupakan matriks persegi sebab

banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yaitu 3. Sedangkan elemen-elemen diagonal utamanya adalah a11 = 25, a22 = 10, a33 = 7.



3

DEFINISI 1.2.6 Matriks A Î Mmń(F) dengan elemen aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas (upper triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. CONTOH 1.2.3 Matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é--

150500601,000710

adalah suatu matriks segitiga atas. DEFINISI 1.2.7 Matriks A Î Mmń(F) dengan elemen aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah (lower triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. CONTOH 1.2.4 Matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é

15,26,0013,0001

adalah suatu matriks segitiga bawah. DEFINISI 1.2.8 Matriks persegi A Î Mn(F) dengan semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utama sama dengan nol, aij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks diagonal (diagonal matrix), dituliskan A = diag(a11, a22, …, ann). Beberapa atau semua masukan diagonal dari matriks diagonal bisa juga nol. CONTOH 1.2.5 Matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é

500020003

dan úúú

û

ù

êêê

ë

é

000020003

adalah matriks diagonal. DEFINISI 1.2.9 Matriks In = [dij], dij disebut delta Kronecker, yang didefinisikan oleh dij = 1 untuk i = j dan dij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks identitas (identity matrix) berukuran n, dan dituliskan

)1...,,1,1(diag10

01=

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

!"#"

!

nI

atau In = (e1, e2, …, en) dengan ei adalah vektor kolom berdimensi n dengan masukan 1 di posisi ke-i. DEFINISI 1.2.10 Matriks A Î Mmń(F) dengan semua elemennya sama dengan nol, aij = 0 untuk semua i dan j, disebut matriks nol (zero matrix), dan dinotasikan dengan Omń.



4

CONTOH 1.2.6 Matriks

úû

ùêë

é000000

, [ ]000 , dan [0]

adalah matriks nol. DEFINISI 1.2.11 Suatu matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah suatu matriks persegi dengan semua elemen diagonal dari matriks bagian persegi di atas diagonal utama dan di bawah diagonal utama adalah nol. CONTOH 1.2.7 Matriks

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

6300250009320042

merupakan matriks tridiagonal sebab matriks bagian persegi perseginya yaitu úû

ùêë

é0900

dan

úû

ùêë

é0000

mempunyai elemen-elemen diagonal yang semuanya nol.

Pada Gambar 1.1 diberikan ilustrasi beberapa jenis matriks dengan elemen-elemen pada daerah yang diarsir tidak semuanya nol, sedangkan elemen-elemen pada daerah yang tidak diarsir semuanya sama dengan nol. (a) (b) (c)

Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal

DEFINISI 1.2.12 Suatu matriks A Î Mn(F) disebut matriks dominan diagonal (diagonally dominant matrix) jika

å¹=

³jijijii aa

,1 untuk semua i = 1, 2, …, n

dan

å¹=

>jijijii aa

,1 untuk suatu i.

Dengan kata lain, untuk setiap baris pada matriks dominan diagonal, nilai mutlak

dari elemen diagonal lebih besar atau sama dengan jumlahan nilai-nilai mutlak dari elemen-elemen sisa pada baris tersebut, dan juga terdapat ketidaksamaan yang lebih besar secara tegas untuk suatu baris.



5


úúú

û

ù

êêê

ë

é--=6232427615

B

merupakan matriks dominan secara diagonal sebab ½b11½ = ½15½ = 15 ³ ½b12½+½b13½ = ½6½+½7½ = 13, ½b22½ = ½-4½ = 4 ³ ½b21½+½b23½ = ½2½+½-2½ = 4, ½b33½ = ½6½ = 6 ³ ½b31½+½b32½ = ½3½+½2½ = 5 dan terdapat suatu baris, baris 1 atau baris 3, ketaksamaannya adalah ketaksamaan yang lebih besar secara tegas. CONTOH 1.2.9 Matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

11214418641525

C

bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab ½c22½ = ½8½ = 8 £ ½c21½+½c23½ = ½64½+½1½ = 65.


úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

5232429615

D

bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab diantara ketaksamaan-ketaksamaan berikut tidak ada yang lebih besar secara tegas: ½d11½ = ½–15½ = 15 ³ ½d12½+½d13½ = ½6½+½9½ = 15, ½d22½ = ½–4½ = 4 ³ ½d21½+½d23½ = ½2½+½2½ = 4,

½d33½ = ½5½ = 5 ³ ½d31½+½d32½ = ½3½+½2½ = 5. 1.3 Kesamaan Dua Matriks DEFINISI 1.3.1 Matriks A = [aij] sama dengan matriks B = [bij] jika ukuran dari A dan B sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (berkorespondensi) juga sama, yaitu untuk A, B Î Mm´n(F) maka aij = bij , 1 £ i £ m dan 1 £ j £ n.

CONTOH 1.3.1 Agar úû

ùêë

é=

7632

A sama dengan úû

ùêë

é=

22

11

63b

bB , maka haruslah

b11 = 2 dan b22 = 7. 1.4 Operasi Matriks DEFINISI 1.4.1 (Penjumlahan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat dijumlahkan jika keduanya berukuran sama. Jumlahan dari matriks A dan B, ditulis A + B, adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berkorespondensi dari A dan B, yaitu

A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij].



6

DEFINISI 1.4.2 (Pengurangan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat dikurangkan hanya jika keduanya berukuran sama. Pengurangan A oleh B, yang dituliskan A – B, didefinisikan oleh

A – B = [aij] – [bij] = [aij – bij].

DEFINISI 1.4.3 (Perkalian skalar dengan matriks) Diberikan suatu matriks A = [aij] Î Mm´n(F) dan skalar k Î F. Perkalian skalar k dengan A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen dari A dengan skalar k, yaitu

kA = k[aij] = [k.aij].

CONTOH 1.4.1

1. úû

ùêë

é721325

+ úû

ùêë

é -1953276

= úû

ùêë

é+++-++1975231237265

= úû

ùêë

é26741911

.

2. úû

ùêë

é721325

– úû

ùêë

é -1953276

= úû

ùêë

é-------1975231)2(37265

= úû

ùêë

é---

--1232551

.

3. úû

ùêë

é615231,2

2 = úû

ùêë

é6.21.25.22.23.21,2.2

= úû

ùêë

é12210462,4

.

Operasi-operasi matriks memenuhi hukum-hukum aritmatika seperti berikut. (Diambil sebarang skalar s dan t, dan matriks-matriks A, B, C, O yang berukuran sama.)

(1) (A + B) + C = A + (B + C); [Hukum asosiatif] (2) A + B = B + A; [Hukum komutatif] (3) O + A = A + O; [Hukum identitas] (4) A + (–A) = O; [Hukum invers] (5) (s + t)A = sA + tA, (s – t)A = sA – tA; [Hukum distributif kanan] (6) t(A + B) = tA + tB, t(A – B) = tA – tB; [Hukum distributif kiri] (7) s(tA) = (st)A; (8) 1A = A, 0A = O, (–1)A = –A; (9) tA = O Þ t = 0 atau A = O.

DEFINISI 1.4.4 (Hasil kali matriks) Matriks A dan B dapat dikalikan, dalam hal ini AB, hanya jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B (A dan B dikatakan dapat menyesuaikan diri/ conformable). Jika matriks A = [aij] berukuran m´n dan matriks B = [bjk] berukuran n´p, maka hasil kali matriks A dan B, ditulis AB, adalah matriks C = [cik] yang berukuran m´p dengan elemen ke-(i,k) didefinisikan oleh

nkinkiki

n

jjkijik babababac ....... 2211

1+++==å

=

.

Secara simbolis, untuk baris-baris R1, R2, …, Rm pada matriks A dan kolom-

kolom C1, C2, …, Cm pada matriks B, dapat dituliskan hasil kali A dan B yaitu

A×B =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

mR

RR

!2

1

×úúú

û

ù

êêê

ë

é

pCCC !21 =

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

pmmm

p

p

CRCRCR

CRCRCRCRCRCR

!""

!

21

22212

12111

.



7

CONTOH 1.4.2

1. úû

ùêë

éúû

ùêë

é8765

4321

= úû

ùêë

é++++

8.46.37.45.38.26.17.25.1

= úû

ùêë

é50432219

.

2. úû

ùêë

éúû

ùêë

é4321

8765

= úû

ùêë

é++++4.82.73.81.74.62.53.61.5

= úû

ùêë

é46313423

¹ úû

ùêë

éúû

ùêë

é8765

4321

.

3. [ ]4321úû

ùêë

é = ú

û

ùêë

é4.23.24.13.1

= úû

ùêë

é8643

.

4. [ ] úû

ùêë

é21

43 = [11].

CONTOH 1.4.3 Bob ingin mengurangi berat badannya melalui satu rencana diet dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari Tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik seperti dalam Tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana tersebut?

Tabel 1 Tabel 2

Kalori yang terbakar setiap jam Jumlah jam per hari untuk setiap aktivitas

Aktivitas latihan Berat dalam lb

Jadwal latihan

152 161 170 178 Jalan Lari Bersepeda Tenis

Jalan kaki

2 mil/ jam 213 225 237 249 Senin 1,0 0,0 1,0 0,0

Lari 5,5 mil/ jam 651 688 726 764 Selasa 0,0 0,0 0,0 2,0

Bersepeda

5,5 mil/ jam 304 321 338 356 Rabu 0,4 0,5 0,0 0,0

Tenis secukupnya 420 441 468 492 Kamis 0,0 0,0 0,5 2,0

Jumat 0,4 0,5 0,0 0,0

Penyelesaian. Informasi mengenai Bob berada dalam kolom keempat dari Tabel 1. Informasi ini dinyatakan oleh suatu vektor kolom X. Informasi dalam Tabel 2 dapat dinyatakan oleh suatu matriks A berukuran 5´4. Untuk menjawab pertanyaan, dihitung AX.

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

492356764249

0,00,05,04,00,25,00,00,00,00,05,04,00,20,00,00,00,00,10,00,1

=

JumatKamisRabuSelasaSenin

6,4810,11626,4810,9840,605

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

.

CONTOH 1.4.4 Suatu perusahaan menghasilkan tiga produk dengan perkiraan biaya produksinya dibagi dalam tiga kategori (disajikan dalam Tabel 3). Dibuat juga suatu perkiraan, dalam Tabel 4, untuk jumlah dari setiap produk yang akan dihasilkan untuk setiap kuartal. Tentukan biaya total untuk setiap kuartal dari ketiga kategori.



8

Tabel 3 Tabel 4

Biaya produksi per barang (dollar) Jumlah yang dihasilkan per kuartal

Biaya Produk

Produk Musim

A B C Panas Gugur Dingin Semi

Bahan mentah 0,10 0,30 0,15 A 4000 4500 4500 4000

Tenaga kerja 0,30 0,40 0,25 B 2000 2600 2400 2200

Biaya tambahan 0,10 0,20 0,15 C 5800 6200 6000 6000

Penyelesaian. Setiap tabel dapat dinyatakan oleh matriks seperti berikut

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

15,020,010,025,040,030,015,030,010,0

A dan úúú

û

ù

êêê

ë

é=

600060006200580022002400260020004000450045004000

B .

Jika dibuat hasil kali AB, maka kolom-kolom dari AB berturut-turut menyatakan biaya untuk musim panas, gugur, dingin, semi.

tambahanBiayakerjaTenagamentahBahan

174018301900167035803810394034501960207021601870

úúú

û

ù

êêê

ë

é=AB .

Perkalian matriks memenuhi beberapa hukum aritmatika, yaitu

(1) (AB)C = A(BC), jika A, B, C secara berurutan berukuran mń, n´p, p´q; (2) k(AB) = (kA)B = A(kB), A(–B) = (–A)B = – (AB) dengan k adalah skalar; (3) (A + B)C = AC + BC, jika A dan B berukuran mń dan C berukuran n´p; (4) D(A + B) = DA + DB, jika A dan B berukuran mń dan D berukuran p´m. Di sini hanya akan dibuktikan sifat yang pertama di atas (hukum asosiatif). Lebih dahulu diklaim bahwa (AB)C dan A(BC) keduanya mariks berukuran m´q. Diambil matriks A = [aij], B = [bjk], dan C = [ckl], sehingga akan diperoleh

( )( )ilCAB = ( )å=

p

kklik cAB

1. = å å

= =÷÷

ø

ö

çç

è

æp

kkl

n

jjkij cba

1 1. = åå

= =

p

k

n

jkljkij cba

1 1.

Sejalan dengan itu, juga diperoleh

( )( )ilCAB = åå= =

n

j

p

kkljkij cba

1 1.

Hasil jumlahan ganda kedua bentuk tersebut adalah sama. Jumlahan dari bentuk

åå= =

n

j

p

kjkd

1 1 dan åå

= =

p

k

n

jjkd

1 1

menyatakan jumlahan dari np elemen matriks [djk] dalam baris dan kolom secara berurutan. Akibatnya

( )( )ilCAB = ( )( )ilBCA untuk 1 £ i £ m dan 1 £ l £ q. Karena itu (AB)C = A(BC). DEFINISI 1.4.5 (Pangkat matriks) Diberikan suatu matriks A Î Mn(F) dan bilangan bulat tak negatif k. Didefinisikan Ak sebagai berikut

A0 = In dan Ak+1 = AkA untuk k ³ 0.



9

CONTOH 1.4.5

1. úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é2222

1111

1111

1111 2

.

2. úúû

ù

êêë

é=ú

û

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é3

33

3002

27008

3002

9004

3002

3002

3002

3002

.

3. úúû

ù

êêë

é¹ú

û

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é

0320

018120

0320

6006

0320

0320

0320

0320

3

33

.

4. úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

éúû

ùêë

éúû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é160151

4031

4031

2011

2011

2011

2011

2011 4

.

Khusus untuk matriks diagonal A = [aii], 1< i < n, pangkat k dari matriks A

didefinisikan oleh [ ]kiik aA )(= atau secara jelas dinyatakan dengan

( )( )

( ) úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

knn

k

kk

nn

k

a

aa

a

aa

A

!""

!

!""

!

00

0000

00

0000

22

11

22

11

.

Berikut ini hukum-hukum yang berlaku untuk matriks berpangkat yang mempunyai sifat AB = BA.

(1) AmAn = Am+n, (Am)n = Amn; (2) (AB)n = AnBn; (3) AmBn = BnAm; (4) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;

(5) (A + B)n = inin

iBA

in -

=å ÷÷

ø

öççè

æ

0; dengan

!)!.(!ini

nCin n

i -==÷÷

ø

öççè

æ

(6) (A + B)(A – B) = A2 – B2. DEFINISI 1.4.6 (Transpos matriks) Transpos dari matriks Am´n = [aij], dinotasikan AT, adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengubah setiap baris ke-i menjadi kolom ke-i atau sebaliknya kolom ke-j menjadi baris ke-j. Dengan kata lain AT = [aji] atau ( ) ijji

T aA = yang berukuran n´m.

T

inii aaa

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

!21 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

in

i

i

a

aa

!2

1

Gambar 1.2: Transpos dari matriks m´n



10

CONTOH 1.4.6 Transpos dari matriks úúú

û

ù

êêê

ë

é=

2771662515105232025

C adalah

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

2725271531610206525

TC .

Operasi transpos mempunyai beberapa sifat sebagai berikut :

(1) ( ) AATT = ;

(2) ( ) TTT BABA ±=± jika A dan B berukuran mń;

(3) ( ) TT kAkA = ;

(4) ( ) TTT ABAB = jika A berukuran mń dan B berukuran n´p;

(5) [ ]222

21 ... n

T xxxXX ++= jika [ ]TnxxxX !21= adalah vektor kolom.

Berikut ini akan dibuktikan hanya untuk sifat keempat. Pertama diperiksa bahwa (AB)T dan BTAT mempunyai ukuran yang sama p´m. Selain itu, elemen-elemen yang berkorespondensi dari kedua matriks adalah sama. Untuk A = [aij] dan B = [bij] maka

( )( )kiTAB = ( )ikAB = å=

n

jjkijba

1 = ( ) ( )å

=

n

jji

Tkj

T AB1

= ( ) iTT kAB .

DEFINISI 1.4.7 Suatu matriks A disebut matriks simetris (symmetric matrix) jika AT = A. Dengan kata lain, A haruslah matriks persegi (misalkan nń) dan aji = aij untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena itu

úû

ùêë

é=

abba

A

adalah suatu matriks simetris 2´2 yang umum.

CONTOH 1.4.7 Matriks úúú

û

ù

êêê

ë

é=

98682136321

D adalah suatu matriks simetris karena

d12 = d21 = 3, d13 = d31 = 6; dan d23 = d32 = 8. DEFINISI 1.4.8 (Matriks simetris miring) Suatu matriks A Î Mn(F) dikatakan simetris miring (skew-symetric) jika AT = –A.

Dengan kata lain, untuk matriks simetris miring A, maka A haruslah matriks persegi (misalkan nń) dan aji = –aij untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena elemen-elemen diagonal utama tidak berubah oleh transposisi, maka matriks simetris miring A haruslah nol pada diagonal utamanya atau dengan kata lain aii = 0 untuk setiap i.



11


úúú

û

ù

êêê

ë

é

---=052501210

E

adalah suatu matriks simetris miring.

Perlu dicatat bahwa untuk suatu matriks persegi A, maka A – AT adalah simetris

miring karena ( )TTAA- = ( )TTT AA - = AT – A = –(A – AT), sedangkan A + AT adalah

simetris karena ( )TTAA+ = AT + A = A + AT. Karena itu

( ) ( )TT AAAAA ++-=21

21 .

Mudah dibuktikan juga bahwa jumlahan dari dua matriks simetris miring adalah juga simetris miring dan kuadrat dari matriks simetris miring (simetris) adalah simetris sebab

A2 = ( )TTT AA = ( )( )( )TAA -- = ( )TA2 . 1.5 Matriks Eselon DEFINISI 1.5.1 (Matriks eselon baris) Suatu matriks A mempunyai bentuk eselon baris (row-echelon form) jika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) baris nol (semua unsurnya nol), jika ada, terletak pada baris bagian bawah; (2) untuk suatu baris tak nol (unsurnya tidak seluruhnya nol), bilangan pertama yang

tak nol dalam baris tersebut adalah 1, disebut 1 utama (leading 1); (3) untuk sembarang dua baris tak nol yang berurutan, 1 utama dalam baris yang

bawah terletak di sebelah kanan dari 1 utama dalam baris diatasnya.

Suatu matriks berbentuk eselon baris mempunyai “langkah tangga” seperti diilustrasikan pada Gambar 1.3, dengan daerah yang tidak diarsir semua unsurnya nol.

Gambar 1.3: Matriks eselon baris CONTOH 1.5.1 Diberikan matriks-matriks seperti berikut

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

0000100052104301

A ,

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

-

=

00000201000000013210

B , úúú

û

ù

êêê

ë

é

-=

321100210

C , úúú

û

ù

êêê

ë

é=

210010200001

D .

Matriks A merupakan matriks eselon baris, tetapi B bukan matriks eselon baris karena terdapat baris nol (baris 2) yang terletak di atas baris tak nol (baris 3). Demikian juga matriks C bukan matriks eselon baris karena 1 utama pada baris 3 terletak di sebelah kiri 1 utama pada baris 2. D juga bukan matriks eselon baris karena bilangan tak nol pertama pada baris 2 bukan 1 tetapi 2.



12

DEFINISI 1.5.2 (Matriks eselon baris tereduksi) Suatu matriks mempunyai bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) jika (1) Matriks berbentuk eselon baris; (2) setiap kolom yang memuat 1 utama mempunyai elemen-elemen nol untuk lainnya. CONTOH 1.5.2 Matriks

úû

ùêë

é1001

dan

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

000000410000301000200210

mempunyai bentuk eselon baris tereduksi, sedangkan matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é

200010001

dan úúú

û

ù

êêê

ë

é

000010021

tidak berbentuk eselon baris tereduksi.

Perlu dicatat bahwa matriks nol untuk semua ukuran selalu dalam bentuk eselon baris tereduksi. 1.6 Fungsi Skalar Matriks

Fungsi skalar dari suatu matriks meringkas berbagai karakteristik dari elemen-elemen matriks. Suatu fungsi skalar yang penting adalah fungsi determinan. Secara formal, determinan dari suatu matriks persegi A, dinotasikan det(A), adalah jumlahan semua hasil kali elementer bertanda dari A. Diskusi yang lebih mendalam akan dipelajari secara lebih detail di bab dua.

Selain determinan, fungsi skalar yang lain yaitu trace. Trace dari matriks An = [aij] didefinisikan sebagai jumlahan elemen-elemen diagonal utama, yaitu

å=

=n

iiiaA

1)(tr .

Diberikan A dan B adalah matriks berukuran n´n dengan h dan k adalah skalar. Fungsi trace mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) tr(A) = tr(AT); (2) tr(hA + kB) = h.tr(A) + k.tr(B); (3) tr(AB) = tr(BA); (4) tr(In) = n.

Berikut ini hanya akan dibuktikan sifat yang ketiga. Diperhatikan bahwa

å=

=n

kkjik baAB

1 dan å

=

=n

kkjik abBA

1, maka

tr(AB) = åå= =

n

i

n

kkiikba

1 1 = åå

= =

n

k

n

iikkiab

1 1 = tr(BA).



13

SOAL-SOAL UNTUK BAB 1

1. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = ji .

2. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = ij. 3. Tentukan A + B dan AB, jika diberikan

úúú

û

ù

êêê

ë

é

-+--

=10

02

babacaa

A , dan úúú

û

ù

êêê

ë

é

----=10

21

bababaca

B

adalah matriks-matriks persegi dengan masukannya adalah bilangan real.

4. Tentukan x dan y sehingga

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é+ú

û

ùêë

é811737

45312

202113

yxx

.

5. Tentukan matriks A dan B berukuran 2´2 sehingga

2A – 5B = úû

ùêë

é -1021

dan –2A + 6B = úû

ùêë

é0624

.

6. Tentukan hasil kali

úû

ùêë

éúû

ùêë

é-

-úû

ùêë

é -2111

1012

1111

.

7. Tentukan AB dan BA jika diberikan matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

111011001

A dan úúú

û

ù

êêê

ë

é=

acbbaccba

B .

8. Diberikan matriks

úúú

û

ù

êêê

ë

é-=

221102413

A dan úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

142113201

B .

Hitunglah: (a) 2A (b) A + B (c) 2A – 3B (d) (2A)T – (3B)T (e) AB (f) BA (g) ATBT (h) (AB)T

9. Jika úúú

û

ù

êêê

ë

é=

654321

A dan úúú

û

ù

êêê

ë

é-=

431

B , maka tentukan matriks AAT, ATA, BBT, BTB.



14

10. Diberikan perkiraan harga (dalam dollar) dari empat jenis telur dalam periode empat minggu yang disajikan pada Tabel 5. Terdapat tiga toko yang memesan keempat jenis telur tersebut dengan banyaknya pesanan disajikan dalam Tabel 6. Tentukan biaya total pesanan dari setiap toko per minggu.

Tabel 5 Tabel 6

A B C D Toko 1 Toko 2 Toko 3

Minggu 1 0,60 0,70 0,80 0,90 A 10 20 20

Minggu 2 0,55 0,65 0,75 0,85 B 20 30 40

Minggu 3 0,60 0,75 0,85 0,95 C 80 160 100

Minggu 4 0,65 0,70 0,85 0,95 D 30 40 40

11. Selesaikan persamaan

úû

ùêë

é-

-=ú

û

ùêë

é--

1001

44 2

xx

.

12. Buktikan apakah benar, untuk setiap A, B Î Mn(F) berlaku

(A + B)(A – B) = A2 – B2.

13. Buktikan apakah benar, jika A, B Î Mn(F) dan AB = On maka BA = On.

14. Untuk bilangan real dimiliki rumus (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 dan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Apakah rumus berlaku untuk matriks (dengan 1 diganti oleh matriks identitas berukuran n´n dan x serta y diganti matriks berukuran n´n)? Kenapa?

15. Jika An = [aij], tunjukkan bahwa

( ) åå= =

=n

k

n

hhjkhikij aaaA

1 1

3 .. .

16. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika, bahwa

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é10

11011 nn

.

17. Buktikan dengan induksi bahwa In = I.

18. Diberikan úû

ùêë

é-

-=

1111

A . Tentukan A6.

19. Diberikan A Î M2(R) yang didefinisikan dengan

úû

ùêë

é -=

aaaa

cossinsincos

A .

Tunjukkan dengan induksi bahwa untuk setiap n Î N berlaku

úû

ùêë

é -=

aaaannnn

Ancossinsincos

.



15

20. Jika úû

ùêë

é -=

0134

A , tunjukkan bahwa A2 = 4A – 3I2.

21. Diberikan A Î M3(R) yang didefinisikan dengan

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

100110111

A .

Buktikan bahwa

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

+

10010

1 2)1(

nn

A

nn

n .

22. Buktikan dengan menggunakan arti dari induksi bahwa untuk matriks berukuran

n´n berlaku

úúúúúúú

û

ù

êêêêêêê

ë

é

=

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

--

-

+

1000

100310631

1000

110011101111

2)1)(2(

2)1(2)1(3

!"!"""

!

!

!

!"!"""

!!!

nn

nn

nn

.

23. Diberikan úû

ùêë

é=

dcba

A . Tunjukkan bahwa

A2 – (a + d)A + (ad – bc)I2 = O2.

24. Tentukan semua matriks A Î M2(R) sehingga (a) A2 = O2. (b) A2 = I2.

25. Tentukan suatu penyelesaian A Î M2(R) untuk

A2 – 2A = úû

ùêë

é-3601

.

26. Diberikan A Î M2(F) dan k Î Z, k > 2. Buktikan bahwa Ak = O2 jika hanya jika A2

= O2. 27. Diberikan matriks A, B, C, D yang didefinisikan oleh

úúú

û

ù

êêê

ë

é-=

112103

A , úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

314011251

B , úúú

û

ù

êêê

ë

é --=

341213

C , úû

ùêë

é -=

0214

D .

Manakah dari operasi-operasi matriks di bawah ini yang terdefinisi? Hitung matriks-matriks yang terdefinisi tersebut.

A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D2.



16

28. Tunjukkan bahwa tidak ada matriks A, B, C, D Î Mn(R) sehingga AC + DB = In dan CA + BD = On.

29. Untuk matriks di bawah ini, hitunglah A2 dan A3. Selanjutnya, berapakah An?

úúû

ù

êêë

é

--

=21

21

21

21

A .

30. Diberikan matriks úû

ùêë

é-=

110101

A . Tunjukkan bahwa jika matriks B berukuran 3 ´

2 sehingga AB = I2, maka

úúú

û

ù

êêê

ë

é

+---=bababa

B1

11

untuk nilai a dan b yang sesuai. Gunakan hukum asosiatif untuk menunjukkan bahwa (BA)2B = B.

31. Manakah diantara matriks-matriks berikut yang mempunyai bentuk eselon baris

tereduksi ?

(a) úúú

û

ù

êêê

ë

é -

210004010030001

(b) úúú

û

ù

êêê

ë

é

--310004010050010

(c) úúú

û

ù

êêê

ë

é

- 201001000010

(d)

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

00000410001000020010

(e)

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

00000100000010000021

(f)

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

0000100021000000

(g)

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-00000110002001010001

.

32. Diberikan matriks persegi A, B Î M7(R) sehingga tr(A2) = tr(B2) = 1, dan

(A – B)2 = 3I7, tentukan tr(BA).

33. Diberikan matriks úû

ùêë

é=

dcba

A Î M2(R). Tentukan syarat perlu dan cukup untuk a,

b, c, dan d agar tr(A2) = (tr(A))2.



17

34. Diberikan matriks persegi A Î M4(R) sehingga tr(A2) = –4, dan (A – I4)2 = 3I4.

Tentukan tr(A).

35. Diberikan A Î Mn(F). Buktikan bahwa tr(AAT) = åå= =

n

i

n

jija

1 1

2 .

36. Diberikan X Î Mn(R). Buktikan bahwa jika XXT = On maka X = On. 37. Diberikan m, n, p Î Z+ dan A Î Mm´n(R), B Î Mn´p(R), C Î Mp´m(R). Buktikan

bahwa jika (BA)TA = (CA)TA maka BA = CA. 38. Diberikan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, dengan A simetris dan B

simetris miring. Buktikan bahwa A2BA2 adalah simetris miring. 39. Jika A adalah matriks simetris berukuran n´n dan B berukuran n´m, buktikan

bahwa BTAB adalah matriks simetris berukuran m´m. 40. Diberikan matriks A, B, C Î Mn(F). Buktikan apakah tr(ABC) = tr(BAC).

INDEKS

Ddiagonal

utama,2

Mmatriks,1

bagian,2diagonal,3dominandiagonal,4eselonbaris,11eselonbaristereduksi,12identitas,3nol,3persegi,2segitigaatas,3segitigabawah,3simetris,10simetrismiring,10tridiagonal,4

Ttrace,12transpos,9

Uukuran

matriks,1

Vvektor,2

baris,2kolom,2

aljabar linear elementer dan...

Documents