# docfoc.com-aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Post on 13-Apr-2018

220 views

Category:

## Documents

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

1/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerAljabar Linear Elementer

MA1223MA1223

3 SKS3 SKS

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

2/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 2

Hari IIHari II jamjam

Sistem PenilaianSistem PenilaianUTSUTS 40%40%

UASUAS 40%40%

QuisQuis 20%20%

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

3/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 3

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

4/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 4

REFERENSI :

Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear

Algebra :Applications Version, 6th edition, JohnWilley and Sons, Ne !or"

Ari#in, A., \$%%1, Aljabar Linear, edisi "ed&a,'ener(it I)*, *and&n+

&r(in, J. R., 199\$, Modern Algebra:AnIntroduction, -rd edition, John Willey and Sons,Sin+aore

/reys0i+ E., , 199-,Advanced EnginereengMathematics, th edition, John Willey 2 Sons,

)oronto 3eon, S. J., \$%%1, Aljabar Linear dan Aplikasinya,

ter4eahan 'ener(it Erlan++a, Ja"arta

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

5/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 5

1.Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan

Matriks dan Jenisnya

Operasi Matriks

Operasi Baris Elementer

Matriks Invers (Balikan)

Beberapa Aplikasi Matriks

Representasi image (citra)

Chanel/Frequency assignment Operation Research

dan lain-lain.

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

6/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 6

1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo)mxn

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

11

21111

11111 Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn

(barismkolom n)

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

7/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 7

jika

aij=bijuntuk setiapidanj

Jenis-jenis Matriks

Matriks bujur sangkar (persegi)Matriks yang jumlah baris dan jumlahkolomnya adalah sama (nxn)

Contoh :

=210

121012

B ns&r dia+onal

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

8/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 8

Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

Matriks segi tiga atas

Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.

Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.

=

800

710

395

E

=

203

015

002

F

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

9/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 9

Matriks Diagonal

Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur

yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

Matriks satuan(Identitas)

Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya

=

100

020

003

D

=100

010001

I

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

10/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 10

Transpos Matriks

sebaliknya.Notasi At(hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = Atmaka matriks A dinamakan

matriks Simetri.Contoh :

=01-2-3

12

A

= 02-1

1-32t

A

=

31

12A

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

11/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 11

2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

1. Penjumlahan Matriks

2. Perkalian Matriks

Perkalian skalar dengan matriks

Perkalian matriks dengan matriks

3. Operasi Baris Elementer (OBE)

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

12/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 12

Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriksberordo sama dapat

dijumlahkan

Contoh

a.

+

b.

+

dc

ba

hg

fe

++

++=

hdgc

fbea

43

21

87

65

=

10

6 8

12

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

13/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 13

Perkalian MatriksPerkalian Skalar dengan MatriksContoh :

=

Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordopxqdan B berordomxn

Syarat : A X B haruslahq=m hasil perkalian AB berordopxn

B X A haruslahn=phasil perkalian BA berordomxq

Contoh :Diketahui

dan

sr

qpk

skrk

qkpk

32

xfed

cbaA

=

23

xur

tq

sp

B

=

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

14/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 14

Maka hasil kali A dan B adalah :

dan , merupakan unsur bilangan Riil,

Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :

1. A+B=B+A

2. A+ (B+C) = (A+B) +C (A+B) =A+ B

4. ( + ) (A) =A+A

=

= 23

32

x

x ur

tq

sp

fed

cbaAB

ap+bq+cr

dp+eq+fr

as+bt+cu

ds+et+fu 2x2

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

15/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 15

=

01-

2-312

A

Contoh :

Diketahui matriks :

Tentukana.A At

b.AtA

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

16/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 16

Jawab :

=

02-1

1-32tA

maka

=

01-

2-3

12tAA

02-1

1-32

sedangkan

01-

2-3

12

= 02-11-32

AAt

=

=

5

-2

-2

13

-2

-3

1-3

4

-4-4 514

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

17/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 17

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris

yang lain.

Contoh : OBE 1

=

420

321

1-2-3-

A

420

1-2-3-

321

~21

bb

Baris pertama (b1) ditukar

dengan baris ke-2 (b2)

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

18/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 18

OBE ke-2

b1~

OBE ke-3

=

311-2

7120

4-04-4

A

311-2

7120

1-01-1

Perkalian Baris pertama (b1)

dengan bilangan

=

311-2

7120

1-01-1

A

+

7120

1-01-1

~2 31 bb

Perkalian (2) denganb1lalu

0 1 1 5

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

19/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 19

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

Baris pertama dan ke-2 dinamakanbaris tak nol, karenapada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)dinamakansatu utama.

=0000

1300

3111

B

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

20/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 20

Sifat matriks hasil OBE :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendahmemuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsuryang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika

dipenuhi sifat 1, 2, dan 3Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika

dipenuhi semua sifat

(Proses EliminasiGauss)

(Proses EliminasiGauss-Jordan)

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

21/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 21

Contoh :

Tentukan matrik eil!n bari tere"uki "ari

#a\$ab :

=311-27120

1-01-1

A

+

7120

1-01-1

2~31

bbA

1-01-1

~32

bb

0 1 1 5

0 1 1 5

0 2 1 7

• 7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

2

Recommended