Vol. XVII, 1966 183

A c h t I l a c h g e t i i g e u n d S a t z y o n IVORY

Dora Gedenken an Herrn Professor Dr. E. REMBS gewidmet

Yon

WoLr'aa.~ B6rnn

Als ,,8atz von IvoRY" hat M. CHASr.ES [6] den fblgenden Satz bekannt gemacht:

In einem yon drei Paaren kon[okaler Fliichen 2. Grades gebildeten krummflfichigen Quader Bind die geradlinigen Diagonalen gleich lang. ~)iese D" kon~, aagonalen berfihren die gleichen beiden zu den Seitenflgchen des Quaders

~ k a l e n Quadriken [1], S. 118. svne~ie, sen wird der Satz i .a . anMytisch mit Hilfe der Affinitgt yon Ivo~:r [6].

~ t l s c h e ]~eweise gelangen 1911 J. Gtti~)/EWALD and W. BLASCHKE [2] und 1964 vo:~: ortM [4] nut fiir den ebenen euklidischen Fall konfokaler Kegelschnitte. In der ein',t?geaden Arbeit 1) will ich fiir den Raum zuniichst einen synthetischen Beweis fl~-:~r Veraligemeinerung des Satzes yon I v o r y auf die Diagonalen eines krumm- ~el~m gen 0ktaeders geben und dann durch spezielle Annahmen den Satz von IvoRY

ust herleiten.

I. Seharen und Gewebe yon Fliichen zweiter Klassee). 1. E i = ~

~1_ ue 14uadri k heil]t als Erzeu~nis ihrer Tangentialebenen eine Flgche zweiter eia ~ " ~lne Flgche zweiter Klasse kann insbesondere auch in einen Kegelschnitt, in

~rtlnktepaar oder in einen DoDDelounkt entarten. =: , uneares S, ,s~- , i ~,,c~ Flachen zweiter Klasse heil~t eine Schar In ihr ~mtl i j . . . . . . . . . . . von ~o~ �9 a. vier Kecelsehnitte als entartete Flgchen enthalten. Die ~emeinsamen

~ 2 i l i : i L: fen Vierseits, als zerfallende Quadriken enthalten.

ein.~gen die Trgger der vier Ebenenbtisehel in einer Ebene, so besteht die Sehar aus 8e~.- uaar yon Kegelsehnitten in dieser Ebene, die vier Geraden berfihren. In dieser

'~ar sind i �9 �9 " �9 - ~ , . a. drm Punktepaare, die Gegeneekenpaare des Vmrsmts, enthalten.

tag)u:U~zug aus der Habilitationsschrift des Verf., vorgetragen im Sept. 1963 auf der Geometrie-

2ud [ a. ,en Begriffe in [8], mart vgl. auch ab-

184 W. B~iH~ A,tC1L ~ATt~'

Fallen schliel31ieh noeh je zwei der Tr/~ger zusammen, so besteht die Schar auS den Kegelsehnitten, die einem Punktepaar mit gemeinsamen Tangenten umschriebe~ sind. In einer ,~olchen Biischelschar sind als ausgeartete Kegelschnitte das Punktepaar und ein Doppelpunkt, n/imlich der Schnitt beider gemeinsamen Tangenten, enthalfe~'

2. Ein System yon Kegeln an vier gemeinsame Tangentialebenen heiIlt eine SchaI' yon Kegeln. So bilden (tie Kege l ' aus einem Punkt an die Fl/ichen einer Schar v0~ Quadriken einc Schar yon Kege]n und ihre Schnitte mit einer Ebene eine Schar x,0~ Kcgelschnitten.

3. Ein linearcs System 2. Stufe yon Fl/ichen zweiter Klasse heiBt ein Gewebe. pie F1/ichen eines Gewebes haben i. a. acht Tangentialebenen gemein. Durch sieben v0~ ihnen ist (lie achte bestimmt.

Enthitlt ein Gewebe z.B. drei Punktepaare in allgemeiner Lage, so besteht es a# allen Quadriken, die eincm Oktaeder einbeschrieben sind. Die drei Gegeneckenp aare dieses Oktaeders sind die Punktepaare des Gewebes.

Fs eines dieser Punktepaare in einen Doppelpunkt D zusammen, so sind die acht gemeinsamen Tangentialebenen die vier doppelt z~hlenden Ebenen aus D an die beiden iibrigen Punktepaare PI und P2. Zu den in diesem Gcwebe enthaltcnen l(egel" schnitten geh6ren insbesondere solehe durch P1 bzw. P2, deren Tangenten in dieSe~ Punktepaaren dureh D gehen. Sind K1 bzw. K2 zwei solehe Kegelschnitte dutch/~ bzw. I)2 und sind BI bzw. B2 ihre Ber/ihrungspunktepaare mit einem Paar ger~ei~" samer, die Kegelschnitte nicht trennender I angentialebenen, so gilt: Trennen s~cll B1 und P1 auf K1 (nicht), so trennen sieh aueh B2 und P2 auf K2 (nieht).

4. Ein lineares System 3. Stufe yon Fl/ichen zweiter Klasse heil~t ein Gewebe 3. S title" Die Quadriken eines Gewebes 3. Stufe haben i. a. keine Ebene gemein. Alle Quadrike~' die sechs Ebenen beriihren, bilden ein spezie]les Gewebe 3. Stuf'e use

Bildet man die ooa Fl/ichen eines Gewebes 3. Stufe ab auf die ooa ]2unkte des ~s' wobei lineare Systeme in ebensolche fibergehen, so folgt sofort:

Zwei Scharen, deren Quadriken einem Gewebe angeh6ren, haben eine Fliiche g e~tei~' Zwei Gewebe, deren Quadriken einem Gewebe 3. Stu/e angeh6ren, haben die Fl~ch#

einer Sehar gemein. Ein Gewebe und eine Sehar, deren Quadrilcen einem Gewebe 3. Stu[e angeh6ren, babe#

eine Fliiche gemein u4'/.

5. Nach M. CHASLES sind die Seiten eines Oktaeders assoziiert, d.h. eine F l~che zweiter KIasse, die sieben Seiten eines Oktaeders einbeschrieben ist, berfihrt auch cli~ achte Seite. Da die sieben Seiten des Oktaeders die achte bestimmen, folgt [3]:

Es gelingt ]eder Versuch, aus den gemeinsamen Tangentialebenen der Fliiehen ei#r Schar q ein Oktaeder zu bilden.

6. Eine Terse vierter Kl~sse erster Art ist durch acht allgemeine Ebenen bes timr �9 F~be~ e' oder dutch acht assoziierte Ebenen (z.B. eines Oktaeders) und eme neunte

Zerf~illt die Terse in eine dritter Klassc und ein Ebenenb/ischel, so haben Terse 0 ~ B/iscbel ein Ebenenpaar gemein. Eine Terse dritter Klasse ist durch sechs Ebe~e~ ein Biischel durch zwei Ebenen best immt.

VoI.XVll, 1 9 6 6 Achtflachgefiige und Satz yon IVOltY 185

I I . Ebenfl~iehige A ehtflaehgefiige.

,7 . E.i~e Einteilun- des gaumes durch die L~emeinsamen Tom~enti~lebencn der

�9 ,. aehte in einem solch-~n Acbtflactwef6~e ein Oktaeder A Alle FI~cl , a-iaase, d~ ̂ ,. , ~ . . . . ~, ~ . . . . . len z~ rater ~e- �9 "~ ulesem Oktaeder einbcsehrieben werden k6nnen, geh6ren nach 3. einem

Webe X an. In diesem Gewebe ;t sind insbesondere (tie drei Gegeneckenpgare P1, Pe ~nd ps des Oktaeders und die von allen Geffigeebenen berfihrten Quadriken Q der ~ehar g enthalten.

A : ~ ir~ Gegeneckenpaar des Oktaeders A, etwa P1, liege auf einem Kegelsehnitt K1. ~effi~legeh. en -- wie an alle Quadr,ken, dm meht zu 2 geh6ren -- aeht Ebenen d ' des

~v~ p " p~ar unseres Oktaeders A enth/ilt, et- S K 2, gibt es daher naeh 4 einen Kegelschnitt

2 , d e r z �9 ~ x =

I<, ~':P.a.are p , , P2 und beide Kegelschnitte IQ, S . . . . - * - / ~ / / / J l ~ % ~'h ~ mit D einem Gewebe ~n, also haben / f T ~ ......... [ .2"..3~-..1 I', \ ~ehar uar, der die beiden Punktepaare, und die " 4 [ ~/P,~NI>]4.. X llael/'s der die beiden Kegelschnitte angeh6ren, \ " - ~ [ ~ " - , - / ~ ~ * D ~

, ~. eine �9 �9 T �9 �9 ~" ~ll~e8 �9 Quadlak Q12 gemem. U eft aber dm ~ " ' ~ - I k ~ / eille ;cl.h.arzu 2 nnd die andere zu 2' geh6rt, ist Q12 ~ ~ " ~ g ~ x ~ I / " / A tt.h ~?ehe de,. a und 2' gemeinsamen Schar q, A ' \ \ ,,2 \ll/'/ ""

'~nen Gefiigeebenen einbesehrieben. " \',, '~\ " ~ ~.~ \, ',,\ /

ebetl~ tin sei r eine be/iebige feste Tangential- "~ " , \ /lg ~,~ ~ Yon 0 . . . . . n . . . . . . :-.. m ,.~._. ., .~:_ "-.\'~..\_/ Ix,

/fa. I :h~ nktpaare dieser Ebene mit K1 bzw. "'"\ behaupte: ~lg 1

~, - .D~ der Punktepaare PI und uul R1 ist gleich dem .Doppelverh#ltnis der Pt~nktepaare P,~ und T2 au] K2.

%a r~ ea ]~erfihrung@unkt, in eine geeignete Ebene d. Dann zerf/~llt das Bild (~i2 ~aa~e~+ als Klassenerzeugnis in ein Punktepaar, aus dem sich nach 2. vier gemeinsame ~tld~, ~ea an die Bilder/51 und P2 yon P1 und P2 und vier gemeinsame Tangenten ~er~l~ ilder R1 und R2 yon K~ und K2 ziehen lassen. Das Bild u yon r entartet in die ,..~,UUng des Punktepaares ~1~.

~) ~iese and andere Einteilungen in [3].

86 W. B/~HM ARCIt. NA'fg'

Nun sei ~ einer der Punk te yon (~12 und 5 die Verbindungsgerade des Schnitt punktes ~ dcr Tr~ger yon ]51 und P2 mit dem Tangen tenschn i t tpunk t O. Ieh be" t rachtc sodann einc Persnektivit '~t mit dem Zent rum ~ und der Achse g die eine~, P u n k t yon P l in einen yon P2 iiberf/ihrt. Diese PersDektivit/it flihrt -- well ~

. . . . . �9 ~ �9 - - ' ill Y'~ bleJbt -- -Pl m ~ 2 u n d - - well D fest blelbt -- die ~ angenten m P I ~n K1 m die an K2 fiber. Mit einer der beiden Tangenten a u s Z an R~ ha t dann das perspekt!V2 Bild y o n / ~ 1 mi t /~2 ffinf Best immungsst / icke gemein, d .h . I~l wird in/(2/iberf/i~l~ und dami t aueh das ~uf ~ gelegene Bild yon f/'I in das von T2. Dami t ist u!aser Satz bewiesen, denn Projekt ion und Perspektivit/~t lassen ein Doppelverh/iltnis u~" ge/indert.

. ~4:._~<.---'~

Fig. 2

10. Das gilt fiir alle drei Gegeneckenpaare P , unseres Oktaeders A. So folg ~ #s Absehni t t 8 :

Liefft in einem A chtflachge]iige ein Gegeneckenpaar P1 eines Oktaeders mau] e i~ I Kegelschnitt K, , so ffehen an die.sen Kegelsehnitt acht Ebenen A' des Ge/iiges und esJ;e# auch jedes andere Gegeneckenpaar P~ von A au/ :e einem Kegelschnitt K~, der d e ~ 4. acht Ebenen A' einbesehrieben ist. Die Tangenten in den Pun]ctepaaren an die hindw" gelegten Kegelschnitte gehen alle durch D.

Bezeichnen wir dann mit Tt das Schn i t tpunk tepaar des Kegelsch.nittes K~ mit ei~e~ beliebigen Ebene z des Gefiiges, so folgt - - well Mle Quadriken der Schar q .40~ beriihrt werden - - aus Absehni t t 9:

Die Doppelverhiiltnisse tier Punlctepaare Pt und Tt haben au/ allen Kegelscltnitte# I(L den gleichen, nur yon A, A' und T abhi~ngenden Weft 4). ,,

])iesen Satz m6chte ich das ,,Analogon zum Satz yon IvoRY in Acht[lachge/gge# /2e/ l l leF/ .

Dabei geht nicht e twa dutch jeden P u n k t des Raumes ein Kegelschnit t , der do~ acht Ebenen A' einbeschrieben ist. Vielmehr erffillen diese Kege]schnitte ,ao,

4) Umgekchrt foIgt aus der Gleichheit der Doppetverh~ltnisse, dal] die Kegelschni~te K~ div selben Gcfiigeebenen beriihren miissen, denn ffir diese hat des Doppelverhiiltnis den Wer~ 1.

V~ 1 9 6 6 Achtfladlgcfiige und Satz yon Ivoav 187

~ : ~ nur eine Fl/~ehe der 8. Ordnung und 24. Klasse, und die E b e n e n dieser Kege|- ~, ":,~re erf/ilIen eine Torse 6. Klasse, die der Fl/tche 8, Ordnung doppel t um- "~Urteben ist [9].

!I1. l~ine Abbildung wm Tu. ll,~Y~.

l~il~le'~E,}ne Quadrik heiftt als Erzeugnis ihrer Punk t e einc F1/iche zweiter Ordnung. ])o~ ~'. 18`che zweiter Ordnung kann in einen Kegel, in ein E b e n e n p a a r oder in eine

vpelebene en ta r ten ~irl liue~res S stem" ' f ~ "" " �9 ~la h ~ y . 1. Stu e yon ~lachen zwelt, el Ordnung helftt em Buschel yon

e " ~ u Z " .~ �9 vier- welter Ordnung, die ]~Mchen eines B/isclmls haben 1. a. eine Grundkurve

~[:r ,grdnung 1. Ar t gemein land besitzen i. a. ein gemeinsames Polar te t raeder . t~l/i-~' nneares System 2. Stufe von Flgchen zweiter Ordnung lleii]t ein Biindel von

~aea zw ' �9 �9 . ~es:, elter Ordnung. Dm Flgchen emes Bfindels haben 1 a. ach t P u n k t e ~emein Gr~': zen die F1/iehen eines Bfindels ein gemeinsames Polar te t raeder , so liegen die ach t

~"uPunkte zu diesem konjugiert.

~V.~'b~ in lineares Sys tem 3. Stufe yon Flgchen zweiter Ordnung hei[3t ein Gebiisch. ~raehten im l%aum H das s~ezielle Gebfisch / ' in dem die vier Ebenen eine etraed . ' v . , , s

0rn~ ers d als Doppclebenen enthMtcn sind Es bes teh t aus den Flgchen zweiter ~ulln d' ' " '

des G l~g' m A z u m gemeinsamen Po la r t e t r aeder haben. Die n ich ten ta r t e ten Flgehen das de busehs geh6ren daher als Ebenenerzeugnisse dem dualen Gewebe 3. Stufe an,

~r m. Eeken von A Ms Doppe lpunk te enth'Xlt. l~iia~ r t i lden dieses Gebfisch dual zu 4. ab auf die ooa Ebenen eines Raumes II*. Ein bur: ; l , v~ Flgehen des Gebfisehs 1 ~ ha t in H * ein Bfindel von Ebenen zum Bild5). bilcl,,~ ]eclen P u n k t y o n / ] geh t t in Biindel yon Flgchen des Gebfischs. M i t d e r Ab- bhna^~g st daher eme Abbi ldung der P u n k t e von H als G r u n d p u n k t e eines Flgchen-

~ c ~ s a u f die P u n k t e von ]-/*~als Trgger eines Ebenenbfindels ve rbunden- < ' ~ T ~ ~ '

Jede~ ~ e~raeder A der Doppelebenen in H h a t in 1/* ein Te t raeder A* zum Bild. l i eu , : f unkt und dami t jede Figur in H * ist Bild V O I ' I aeht beztiglieh A konjugier t (re:~ uen Punk ten bzw Figuren in H Daher liegen die Bilder Mler ei ent l ichen ~-ea) p " ~ " ~ ' g

unkte yon H i m (dadureh definierten) Inne ren yon A *.

l~:n~, ]~ine beliebige Gerade g a u s H schneider jede Flgehe G des Gebfischs F in zwei t r o ~ f n, ihr Bild g* wird daher von jeder Ebene G* aus H * in zwei P u n k t e n ~ e-

- ~ t l " g m;, ' 1st also yon zweiter Ordnung Insbesondere fallen die Sehni t t u n k t aare yon ~,,~ ~ea . ~. p P

l)i~ {)a. uer tier Dmmelebenen yon A und dami t auch deren Bilder zusammen. So folg~: . ~ lde r de ~ ~- �9 �9 , e ~ b e s , r Geraden aus H stud m / / die c~4 Kegelschni t te , die dem Te t raeder A *

hildkmi~,leben sind. Liegt eine Gerade h spezie]l in einer Ebene yon d , so liegt ihr ~ese]a~.g~sehnitt h* ganz in der entsprechenden Ebene yon A*. J e d e r A* eJn- ka / / Cuene Kegelsehni t t ist Bild yon aeht bezfiglich A konjugier t l iegenden Geraden

14. l)ie l~ilder der Tangen ten einer 1~ lache G des Gebfischs /" sind die e~a Kcgel- ~ , . .

0.~,) ~i ~ r~ . . . . " ~ ' ~ . wird ieder Fliiche des Gebfischs ihre Polarebene zu einem festen Punkt zuge-

" ~' ~. 248--250, Man vgl. auch [5].

188 W. BSuM ,xltcm ~tar~'

e /I * ~ Bild O* schnitte, die aul3er an die l~benen wm noeh an eine weitere Ebene, dem von G gehen.

Die Bilder der gemeinsamen Tangenten zweier Fl'aehen des Gebfisehs _F ber/ihren d auBer den Ebenen yon A* noeh zwei weitere Lbenen. Dureh jeden Punkt yon//*

go.hen daher vicr Kegelsehnitte, dis A* und zwei weitere Ebenen beriihren, niimlicl~ entspreehend den vier Get'aden, die sich aus einem Punkt v o n / - / a n zwei Quadril~eO ziehen lassen.

1,5. Die oo 'J Flgehen des Gebiisehs 1, dm eine beliebige Gerade g aus /7 berllh , haben in /7* dis Ebenen zum Bilde, die dort einen Kegelsehnitt, n/imlieh das 13ild g yon g, umhiillcn.

Die ~ t Fl/ichen ties Geb/ischs F, die zwei beliebige windsehiefe Geraden gJ uud tl~ in l l bertihren, haben in H* die Ebenen zum Bilde, die dort zwei Kegelscltnitte'

= e geh6ren d~he[ n/tmlieh die Bilder gx* und g* der Geraden, ber/ihren. Diese Lbenen naeh 1. einer A* einbeschriebenen Torse vierter Klasse an. Dieser sind i. a. zwo. weitcre Kegelsehnitte einbeschrieben. So folgt: Die Iqgehen des Gebiisehs _/; die zw0 windschiefe Geraden allgemeiner Lage beriihren, beriihren i. a. noeh zwei weitere nieht unbedingt reelle Geraden (und alle zu diesen vier beztiglich ,j konjugier~eO Geraden), diese sind dutch die ersten beiden bestimmt.

Dureh jeden Punkt yon H* gehen vier Ebenen der Terse vierter Klasse, also gelleo dutch jeden Punkt yon 11 i. a. vier Flgehen ties Gebiisehs F, die zwei vorgeg ebe~e Geraden berfihren.

16. Haben die beiden Ger~den gl und g2 in f / insbesondere eine sotehe Lage, d~/3~i unter den beide Geraden berfihrenden Flgchen yon _/" eine Flgche G1 ~ibt, die gl ga

tD J* d r enthglt, und eine andere Fl'gche G~, die g2 ganz enthglt, so sind dis Bilder gT un. ~: of[bnbar zwei Kegelschnitte mit gemeinsamer Tangente. Mithin zerfiillt die belgie" Kegelsehnitten in 11" umsehriebene Terse vierter Klasse in eine solehe dritter ElaSSe und ein Ebenenbfischel dureh die gemeinsame Tangente.

Das Ebenenbiisehel ist ]3ild eines Bfisehels yon Flgehen des Gebiisehs 1", die 5e" raden gl und g2 also Wangenten der Grundkurve dieses Biischels. Die obigc" ~:i dingungen i~ir die Geraden ffl und 9'2 sind, wie die Flgehen des Gebr sicl~ sew dual, so folgt: Die Ebenen der Terse drit ter Klasse sind Bilder der FlgeheI1 .eJ2er r im Gebiiseh 1' enthaltenen Sehar, die Geraden gl und g~ mithin Erzeugende der J.~ e Sehar umsehriebenen Terse viert.er Klasse. Biisehel und Sehar in ]7 haben dabel , bciden Flgehen G~ und G2 gemein. Durch beide sind Bfisehel und Schar b e s t i ~

Dureh jeden allgemeinen Punkt yon 17" gehen drei Ebenen einer Terse driVW" Klasse, also gehen dureh jeden allgemeinen Punkt yon H drei Fl'gehen einer Sebar'

17. Auf einer Get'aden g in /7 , die die Grundkurve e eines Biisehels aus f ' ei~r trifft, schneiden die Flgchen des Biischels eine Punktreihe aus. Das Bild in ]1" ist ei0e Punktreihe auf dem Kegelsehnitt g*, die dort von den Ebenen eines BiischelS ~s i gesehnitten wird, dessen Trgger c* den Kegelsehnitt trifft. Beide Biischel abet s ~ nach 12. projektiv, so folgt: Das Doppelverhgltnis yon vier Punkten einer Geratl d g i n / 7 ist gleieh dem der vier Bildpunkte auf dem Bildkegelschnitt g* in ]7* ~9 umgekehrt..

Vo]. W/I, 1 9 6 6 Adufladlgefiige und Satz yon Ivmn' 189

IV. EineVerallg.emeinerung. des Satzes yon h'o,tu ~iir krummfl~ichi~,'e Oktaedergefiig'e.

18. Nit ltilfe der Abbildung aus Abschnitt 12 will ich aus dem Analogon zum Sat.z Voa IvoRy f~r ebene Achtflachgeffige (siehe Abschnitt 10) eine Verallgemeinerm,g ~[es Satzes yon Ivol~g ffir krummfl/ichige Oktaedergef~ige herleit~en.

leh betrachte dazu das System i t derjenigen Quadriken F, (tie dem GeMisch I ' ~g:]16ren und die augerdem zwei Geraden gl und g2 allgemeiner Lage beriihren. Von ie., n t~Uadriken gchen naeh 15 durch jeden Punkt des Raumes vier, und es gelingt ~ e r Versuch, rnit diesen Quadriken ein Oktaeder zu bilden. Denn die Abbildung aus ~usennstt 12 fiihrt die Flitchen F in dicjeniuen Ebcnen F* von H* fiber, die dort zwci ~'egetSehnitten 9 . und q.,* umschrieben sind, und daher einer Torse vierter Klasse [* ~g~6ren. Nach C.ASL~S (siehe Abschnitt 5) gelingt jeder Versuch, aus den Ebenen

~ ~.Orse/, ein Oktaeder O* zu bilden, also gelingt er auch mit den F1/~chen yon J. ~,i~P~.eg elf man ein Oktaeder O proiektiv an A, so erh/ilt ,nan aeht Oktaeder O ,. die

t raeht un , �9 l ~ e k tetsehelden wollen. Als Gegeneckenpaare kommen dann aber nut solche w, "enpaare in Betracht, die yon den uleiehen P~aren der Ebenen yon ~1 get.rennt

ttiile9: Ich betraehf, e nun ein solehes aus den Flgehen F v o n / gebildetes krumm- ~, alges Oktaeder O und sein ebenfl'aehi~es Bild O* in H*. Die ~eradlinige DiagonMe

* , u l e d v - . .

as gekenpaar P t yon O verbindet, wird naeh 13 dutch (he Abblldung/iber- ~efiibr~ in einen Kegelsehnitt, d* (lurch das Gegeneekenpaar P* yon 0" . An diesen l~Ugel~ehnitt d* und die be|den Kegelsehnitte g* und g* gehen naeh 3. i. a. aeht; ~e~eillsarne Ebenen A *, n/hnlieh die Ebenen yon d * und vier weitere Ebenen yon [* 6).

/),20. ]3ann gibt es naeh dem Analogon in 10. dureh die Gegeneekenpaare P* und ~ea~ v~ O* je einen KegelsehniLt d.* und d*, die denselben aeht Ebenen A* einbe-

'w~et) . . - ~ . . ~lie i~ ~n stud. Dlese be|den Kegelsehnitte sind u. a. Bflder zwemr Geraden d2 und r/a, P- a 11 solehe (auf acht konjugierten Oktaedern O,t gelegenen) Punkt.epaare P2 und

~ve~binden, die P* und P* zu Bildern haben. ~egze . ~ ][nu- n wlr dann O als reell voraus, so liegen O* und damlt (tie d* naeh 12. ganz im

gil§ eren yon d *. File die Seil,enpaare y o n / ! * und die Kegelsehnil;te d* dureh die P * i~ ~Uann die Bemerkung in 3 die sieh auf fol ende Weise auf die Punkte bare P, S,~, uoertriigt. Auf den d~ werden die EckenDaare P~ yon den gleichen Paaren der oleo{ '2~. yon d getrennt. So fblgt: Die di sind die Diagonalen yon O, sie ber/ihren alle

~ U l e gleiehen vier Flgchen~des Systems [.

.~?!" Die Schnittpunktpaare der drei Diagonalen d, von O m i t irgendeiner Flgehe p~hvon / Werden dutch die Abbildung aus Abschnitt. 12 iibergefiihrt in die Sehnitl,-

t(te der Ke * * * '~ e c den d i" gelschnit.te d,: mit ciner Ebene F 0 der Torse I �9 Na h 10. s inl auf 8el,-.rei Kegelsehnit, ten d* (tie Doppelverh'gltnisse der Gegeneekenpaare und der ~hr2'~,tgPunktpaare gleieh, also sind naeh lV. aueh die Doppelverhiiltnisse der en~-

henden Punkt, epaare auf den d~ gleieh.

Q) lbie aeht Ebenen sind n~eh a. ~ssoziierf, d. h. durch sieben yon ihnen |st die aehge best|mint.

190 W. BSHM AaC:4. I~A~'~"

22, So folgt:

Die co: Quadriken F, die ein gemeinsames Polartetraeder besitzen 7) und zwei Gerade~ allgemeiner Lage ber'iihre,n, bilden ein krummfliichiges Tetraeder-Oktaeder.Ge]iige, g.h. es gehen i. a dutch jeden Punkt des Racemes vier Ge/iigefldchen und es gelingt ]ede~ Versuch, aus die.s'en Quadriken ein Oktaeder zu bilden.

Die drei geradlini~len Diaqonalen eines solchen krummfliichigen Oktaeders beriihre~ dieselben vier Ge]i~:gefliichen.

A u] den drei Diagonalen hat dc~ Doppelverhgiltnis der Gegenecken 'tend SchnittTunkle mit einer ]esten Ge]iigeflZiche den gleichen Wert.

Dieser Satz ist eine ,,pro}ektive Verallgemeinerung des Satzes von IVORY /ii, r k run-z" fli~chiffe Oktaederge/i~ffe".

[st das Mai]gebilde einer Klein-Cayleyschen Metrik eine Gefiigefl/iche F~, so ka~ man den letzten TeiI des Satzes aus 22. auch so aussprechen:

Die drei Diaffonalen eine.~' solchen krummfliichigen Oktaeders sind gleich la~uJ.

23. Das System ] i s t sich selbst dual, also gehen nach 15. an jede Ebene vier Fl/~chen yon /. Ffir die zu der in 22. betraehteten duale Figur folgt dann, wobei ~a~ den vier Gegeneekenpaaren eines ebenfl~chigen Sechsflaehs S vier F1/~chenpaare des Systems [ zuordnet:

Es gelingt ]eder Versuch zur Konstrulction eines Sechsflachs S, so daft ]e drei Seitea, die durch eine gemeinsame Eeke des Seehsflaehs gehen, auch die gleiche gemeinSa~le Fliiche de~v Sy,~tems ] beriihren.

Mit anderen Worten : Auch der achten Ecke des Sechsflachs wird somit eine F l~che aus / zugeordnet. Welter fotgt:

Die Schnittgeraden der Gegenseiten von S beriihren die gleichen vier Fliichen d~ Systems/ ,

und, falls (l~s Mal~gebilde dem System ] angehSrt:

Die dr~i Sehnitlwinkel der Gegenseiten von S sind gleich.

24. Von besonderem Interesse ist der euklidische Fall we der Ku~elkreis durch de: alle Kugeln gehen, im Gebiiseh Fen tha l t en ist, und die Ger~den gl und g2 isotrop sl d.h. den Kugelkreis treffen. Dann sind die Fl/~chen des Gebfischs konzentrisch ~ " koaxial. Die beiden Geraden g: und g2 und damit aueh die beiden Geraden ffs ul~d g~: die nach 15. yon den Fl/~chen F des Oktaedergeffiges beriihrt werden, sind soge I~u~ Minimalgeraden. Ihre Bilder g~ in Y/* liegen daher nach ] 2. ganz im ~uf3eren vor~ ~ ' ] )amit iiberdeeken die Ebenen der Te r se /* das Innere yon /1" viermal. So foIg ~:

7) Es wtirdc gcnfigen, anstelle des gemeinsamcn Poh~rtetraeders zu fordern, dab die Quadril~e~ einem Gebiisch angeh6ren, das sich selbst dual ist.

Vol. Xu 1 9 6 6 Achtfladagefiige und Satz yon IvoRY 191

MDie Ft~chen ei ~ - :~. n~s ~ysten~ konzentrischer und koaxialer Quadriken, die zwei gegebene a'~'d~lgeraden beriihren, /iillen den R a u m viermal 9anz aus. Es gelingt ]eder Versuch, , '.~ _ en Fldchen ein Oktaeder zu bilden. I n }edem dieser Oktaeder sind die Diagonalen Jer~a lany und beriihren die fleichen vier Flachen des Ge]@es.

biese la ih~ s ~ystern ste]lt offenbar eine Verallgemeinerung eines konfokalen Systems dar.

~111 e �9 -

g lten ebenfalls dm dualen Sgtze aus Abschmt t 23.

V. Zer~allende krummfl~ehige 0ktaedergefiige und Satz yon IVORY.

lr Wenden wir die Abbildung aus Absehni t t 12 anf ein yon drei Paaren von ~berl en emer Sehar gebildetes krummfi~chiges Hexaeder an, so ffihren dieselben .~ ~vgu~gen wie oben zum Satz yon IvoRy selbst Ich will den Satz "edoch durch "PeZMisieru n . . . . . . . �9 . . J

Iffabe n nttrnl~ieahud.zZ ner, m~en ~Verdea . m belden Geraden ffl und g2, dm yon den Gefiigeflachen F beruhr t

tinct diese un te r allen Fl'Xehen y o n / " bes t immen eine solehe L~ e dab "ede

Die Qu �9 habea _.adrsken einer Schar und eines Biischels, die beide zwei Fldehen gemeinsam ber4n' b*lden ein (spezielles) Oktaedergetiige Die drei DiazonaIen "edes Oktaeders ~uren -,. . "' " - " - - ~ " I9o~ , u~e fle*ehen beiden Scharflachen uncl die gleichen beiden B~schelfliichen. Die d ~etverhdltnisse der Geqenecken~aare mit den Durchsto unkten der Dia onalen u_~,~ ei . . . . . . ~ - tip g dens~lL ae .~'lache der Sehar oder eine Fldche des BiZvchels haben /iir alle drei Diagonalen

~ouen Weft.

tlk-~6' wir yon einem aus den F1/~chen der Sehar q gebildeten I t exaeder H aus Gehen

a~tiberffihren es dureh die Abbildung aus Abschni t t 12 in ein Sechsflaeh H*. Dann ~rbi l :~ lmmer dutch ein Ebenenpaar zu einem Aehtflaeh O* erg/~nzt werden, dessen gilt. in ~" rait H drei Gegeneekenpaare gemein hat und ffir welches der Satz aus 25. erg~rtz uerrt man so alas Seehsfl~eh H* auf versehiedene Weisen zu einem Aehtflach

t, folgt �9

krI~ einem aus drei Paaren yon Fliichen einer ( in F enthaltenen) Schar ebildeten Oc~tr~..~chigen Hexaeder beriihren die geradlinigen Diagonalen die gleichge: beiden Oeoe~ Itachen. A u / allen geradlinigen Diagonalen haben die DoDDelverhiiltni~.se der

'~eetcen und der Durchstoflpunkte durch eine ]este Scharfliiche den gleiehen Weft. b~s i

~all ' �9 st die projekt ive Fassung des Satzes yon IvoRY, der daraus folgt, wenn alas gebilde, insbesondere also der Kugelkreis, der Sehar angeh6rt [1].

[t] Llteraturverzeichnis [2] ~' ~ BAKmr Principles of Geometry, vol. ]II. Cambridge 1934.

61" ~ a s c ~ , Euklidische Kinematik uncl nichteuklidische Geometric. Z. Math. Phys. 60, [al ~ -~ 1 (1911)

gasc~mm und G. BoL, Geometrie der Gewebe, Berlin 1938.

192 W. BSum Aact~. ~tA#'

[4] W. ]'~6HM, Ein geometrischer Beweis des Satzes von Ivory. Arch. Math. 16, 135--137 ( l f l~ [5] W. BOlt.~, ]~ber eine Abbildung von Th. Reye. Ann. Mat. Purer Appl., Ser. 1V, 69, 201t

(,965). 16] M. CHASL~zS, Solution nouvelle du probl6me de l'attraetion d'un ellipsoide hdt6rogbne sttr un

point ext6rieur. J. Math. Pures Appl., ]. S6r./~, 465--488 (1840). [7] TH. Rl,zYl.~, Geometrie der Lage, Bd. III. Leipzig 1910. ~ii(~ , 18] 0. STAUDE+ FlSehen zweiter Ordnung und ihre Systeme. In: Enzyklopfidie Math.Wiss. *

161--256 Leipzig 1904. Math' 70, [9] R. STURM, Untersuehungen iiber das Flgehennetz zweiter Ordmmg. J. reine angew.

212--240 (1869).

Eingegangen am 30.9. 1964

Anschrift des Autors: Wolfgang B6hm ]nstitut fiir Angewandte Mathem~tik Teehnisehe Hoehsehule Br~unsehweig 33 ]]r~unsehweig